Khóa luận tốt nghiệp toán học: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HUÊ

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
VÀ TRONG KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HUÊ

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
VÀ TRONG KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Tốn

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này của em hồn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây
Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cơ giáo,
Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Lý - Tin. Phịng KH&QHQT, Trung tâm thông tin
thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Huyện
Điện Biên, tỉnh Điện Biên, các em học sinh lớp 12C1, 12C2, 10A1, 10A2
(trường THPT Huyện Điện Biên) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán.
Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo,
các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong q trình hồn thành khóa luận.
Với khóa luận này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cơ
giáo và các bạn sinh viên để đề tài hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2014
Ngƣời thực hiện
Vũ Thị Huê


BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT
1. Cao đẳng: CĐ
2. Đại học: ĐH
3. Học sinh: HS
4. Nhà xuất bản: NXB
5. Phương trình tham số: ptts
6. Phương trình tổng quát: pttq
7. Trung học phổ thông: THPT
8. Vectơ chỉ phương: vtcp
10. Vectơ pháp tuyến: vtpt

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2
2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 3
1.1. Khái niệm phương pháp .............................................................................. 3
1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán ............................................................. 3
1.2.1. Các mức độ của kỹ năng ........................................................................... 3
1.2.2. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập tốn cho học sinh .............. 4
1.2.3. Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập ............................................... 4
1.3. Vị trí, vai trị của bài tập tốn học trong q trình dạy học .......................... 5
1.4. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian trong
chương trình tốn THPT..................................................................................... 7
1.4.1. Mục đích .................................................................................................. 7
1.4.2. Yêu cầu .................................................................................................... 7
1.4.3. Nội dung................................................................................................... 7
1.4.3.1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ........................................... 7
1.4.3.2. Phương trình đường thẳng trong khơng gian .......................................... 9
1.5. Thực trạng việc dạy và học phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong không gian ở một số trường THPT .......................................................... 10
1.5.1. Điều tra đối với giáo viên ....................................................................... 10
1.5.2. Điều tra đối với học sinh......................................................................... 11

CHƢƠNG 2. RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VIẾT
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG
KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH THPT ..................................................... 12
2.1. Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng và trong không gian ........................................................................ 12
2.2. Rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng .......... 12
2.2.1. Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ............................. 12
2.2.2. Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ........................... 22
2.3. Rèn luyện một số kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong khơng gian...... 39
2.3.1. Phương trình tham số của đường thẳng ................................................... 39
2.3.2. Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ........................... 55
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 63
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 63
3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 63
3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 63
3.4. Đối tượng thực nghiệm .............................................................................. 63
3.5. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 63
3.6. Kết quả thử nghiệm ................................................................................... 64
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 67
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Chúng ta đang sống trong thế kỷ XXI, thế kỷ của khoa học, công nghệ và
hội nhập. Tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong
sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri
thức cho con người.
Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối

với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Trong chương trình toán THPT lớp 10, học sinh bước đầu được làm quen với
phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và đến lớp 12 học sinh được tiếp cận
và nghiên cứu mở rộng của phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là
phương trình đường thẳng trong khơng gian. Đây là hai nội dung quan trọng
trong chương trình tốn THPT. Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT và trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung học
chuyên nghiệp.
Hơn nữa, do số tiết dạy về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong
khơng gian khơng đủ để giáo viên có thể đưa ra nhiều dạng toán và rèn luyện kỹ
năng cho học sinh mà chỉ có thể dừng lại ở một số dạng tốn và kỹ năng cơ bản. Vì
vậy học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán tổng hợp và phức tạp.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân đang là sinh viên năm cuối, tương lai là một
giáo viên THPT với mong muốn giúp học sinh có được một số kỹ năng giải bài
tập toán. Đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng giải bài tập, từ đó
tạo hứng thú học tập và giúp học sinh thấy được sự giống nhau, khác nhau giữa
phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian. Chính từ các lý
do trên khóa luận chọn hướng nghiên cứu là “ Rèn luyện một số kỹ năng giải bài
toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian cho
học sinh THPT” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.

1


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán về viết phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng và trong không gian cho HS THPT.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc nghiên cứu như:
phương pháp, kỹ năng, kỹ năng giải bài tập...
- Tìm hiểu thực trạng việc giải bài tập về viết phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh lớp 10 và lớp 12 THPT.
- Đề xuất một số giải pháp về rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường
thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tốn về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong
khơng gian trong chương trình tốn THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khối 10 và khối 12 trường THPT Huyện Điện Biên.
- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp quan sát - điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
6. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và kết luận. Khóa
luận gồm ba chương với những nội dung sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải bài tốn viết phương trình đường
thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

2


CHƢƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm phƣơng pháp
Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để chủ thể đạt được mục
đích đã đề ra.
Theo Nguyễn Bá Kim trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Tốn, NXB
giáo dục, năm 2008” thì phương pháp dạy học là cách thức tổ chức hoạt động và
giao lưu của thầy gây lên nhưng hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt
được mục tiêu dạy học.
1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng có
mục đích, sáng tạo những kiến thức tốn học để giải những bài tập toán học.
Một số học sinh có kỹ năng giải bài tập tốn tức là biết phân tích bài tốn từ
đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách lơgic, chính xác
trong một thời gian nhất định.
1.2.1. Các mức độ của kỹ năng
Trong tốn học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản
- Kỹ năng giải bài tập tốn tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có ba mức độ khác nhau:
Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập tốn cơ bản nào
đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như
bài tập mẫu nhưng chưa có biến đổi nhiều.
Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc
đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không
chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.
3

1.2.2. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập toán cơ bản,
từ đó hình thành ở học sinh những thao tác cơ bản như: viết các đại lượng theo
ngơn ngữ tốn học, viết chính xác cơng thức ký hiệu, tính giá trị dựa vào cơng
thức,... Việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập mẫu,
cụ thể cho học sinh biết được thao tác giải bài tập tốn cơ bản (có thể giáo viên
tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải).
Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức, thao tác để giải bài tập tốn cơ
bản qua đó hình thành kỹ năng giải các bài tốn cơ bản. Việc hình thành kỹ
năng riêng rẽ của giai đoạn này là luyện giải một số bài tập toán học tương tự
bài tập mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài tốn
học cơ bản.
Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho
học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn. Việc hình thành
đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là rèn luyện giải một bài tập toán học
(khác bài tập mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm giúp
học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp.
Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập tốn học cần hiểu được cấu trúc
của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như: kỹ
năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính tốn, kỹ năng thực hành các phép biến
đổi,... mà các kỹ năng này là một thể thống nhất.
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống các kỹ năng đều có
mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược
lại, hình thành kỹ năng sau lại góp phần củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
1.2.3. Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán tương tự bài tập mẫu.
Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác qua

một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán theo sơ đồ
4


định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập
toán học cụ thể.
Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu
cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp.
Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các
kỹ năng bậc cao.
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau, giải
bằng lời, giải dưới dạng viết, giải bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh
thực hiện thành thạo, vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng
trong tiết học, trong hoạt động học ở nhà.
1.3. Vị trí, vai trị của bài tập tốn học trong q trình dạy học
Ở trường phổ thơng, bài tập có vai trị quan trọng trong mơn tốn. Điều căn
bản là bài tập có vai trị là giá mang hoạt động của học sinh. Các bài tốn ở
trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình
thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Thông qua việc giải
quyết bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định lí, định nghĩa, quy tắc hay phương pháp những hoạt
động toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học,
những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của
học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
Chính vì vậy mà vai trị của bài tập tốn học được thể hiện trên cả ba bình diện:
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập tốn học ở trường phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức

năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mơn tốn cụ
thể là:
- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
5


- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri
thức nhất định trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học.
Những bài tốn cịn là phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh hay bổ sung
cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là
phương pháp đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập
và trình độ phát triển của học sinh. Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay
nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình

+ Bài tập tổng hợp nhằm ơn lại, hệ thống hóa các kiến thức
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi
- Thực hiện các bước tìm tịi lời giải
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình bốn
bước của G.pơlia

6


1.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian
trong chƣơng trình tốn THPT
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian được trình
bày ở chương III của hình học lớp 10 và lớp 12 nhằm:
1.4.1. Mục đích
Giới thiệu về vtcp và vtpt của đường thẳng trong mặt phẳng và vtcp của
đường thẳng trong không gian. Trên cơ sở đó trình bày pttq, ptts, phương trình
chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
1.4.2. Yêu cầu
Hiểu được khái niệm vtcp, vtpt của đường thẳng trong mặt phẳng, vtcp của
đường thẳng trong không gian và biết cách xác định chúng.
Viết được ptts, pttq, phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt
phẳng và trong không gian.
Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng, từ đó viết được pttq của
đường thẳng trong khơng gian.
Biết cách chuyển từ một dạng của phương trình đường thẳng sang một dạng
khác của nó.
1.4.3. Nội dung
1.4.3.1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Nội dung về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng được trình bày ở

chương 3 hình học lớp 10 THPT trong 6 tiết bao gồm:
§1: Phương trình đường thẳng (4 tiết)
Câu hỏi và bài tập (2 tiết)
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

 Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ u là một vtcp của đường thẳng
 nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng với 

Nhận xét: Nếu u là một vtcp của  thì ku  k  0  cũng là một vtcp của
 . Do đó đường thẳng  có vơ số vtcp.

7


Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtcp
của nó.

 Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0  và

 x  x0  tu1
nhận u  u1; u2  làm vtcp. Khi đó hệ phương trình 
được gọi là ptts
y  y0  tu2

của đường thẳng  , với t là tham số, t  R
Khi cho t là một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng.
Để viết phương trình tham số của đường thẳng  ta thực hiện các bước sau:
+ Tìm một vectơ chỉ phương u  u1; u2  của đường thẳng 
+ Tìm một điểm M  x0 ; y0  thuộc 

 x  x0  tu1
+ Phương trình tham số của  là 
 y  y0  tu2

 Chú ý: Nếu u1 , u2 đều khác 0 thì người ta cịn có thể viết phương trình
đường thẳng  dưới dạng chính tắc như sau:

x  x0 y  y0

u1
u2

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n  0 và n
vng góc với vectơ chỉ phương của 
Nhận xét: Nếu n là một vtpt của  thì ku  k  0  cũng là một vtpt của  .
Do đó một đường thẳng có vơ số vtpt.
Một đường thẳng hồn tồn được xác định nếu biết một điểm và một vtpt
của nó.

 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0  và có vtpt n  a; b  là:
a  x  x0   b  y  y0   0 .

8

Phương trình ax  by  c  0 , với a và b không đồng thời bằng 0 gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng.
Đường thẳng  cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A a;0  , B  0; b  có phương
trình theo đoạn chắn là

x y
  1  a  0, b  0  .
a b

Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng qt ax  by  c  0 thì
 có vtpt là n  a; b  và có vtcp là u  b; a  hoặc u  b;a  .

Để viết pttq của đường thẳng  ta thực hiện các bước sau đây:
+ Tìm một vectơ pháp tuyến n  a; b  của 
+ Tìm một điểm M  x0 ; y0  thuộc 

 Viết pttq của  theo công thức a  x  x0   b  y  y0   0
+ Biến đổi về dạng ax  by  c  0
1.4.3.2. Phương trình đường thẳng trong khơng gian
Nội dung phương trình đường thẳng trong khơng gian được trình bày ở
chương III hình học 12 gồm 16 tiết với những nội dung sau:
§1: Hệ tọa độ trong khơng gian (4 tiết)
§2: Phương trình mặt phẳng (5 tiết)
§3: Phương trình đường thẳng (5 tiết)
Ơn tập chương (2 tiết)
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

 Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm
M  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương u  a1;a 2 ; a3  là phương trình có dạng

 x  x0  ta1

 y  y0  ta2 , trong đó t là tham số, t  R
 z  z  ta
0
3


 Chú ý: Nếu a1, a 2 , a3 đều khác 0 thì người ta cịn có thể viết phương trình
của đường thẳng  dưới dạng chính tắc như sau:

9

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3


Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng   : A1 x  B1 y  C1z  D1  0 và    : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 có dạng

 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
A B
B C
C
A

, với 1  1 hoặc 1  1 hoặc 1  1

A2 B2
B2 C2
C2 A2
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

 Chú ý: Nếu gọi a là một vtcp của d, n là một vtpt của   và m là một
vtpt của    thì a  n  m
1.5. Thực trạng việc dạy và học phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt
phẳng và trong không gian ở một số trƣờng THPT
1.5.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải
tốn về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở trường
THPT Huyện Điện Biên.
Bảng 1: Đội ngũ giáo viên
Số

Tuổi nghề (năm)

lượng

Dưới

10-

Trên

10

20

20

6

giáo

4

2

viên
12

Hệ đào tạo
CĐ

ĐH

0

11

Trình độ chun mơn

Trên
ĐH
1

Giỏi

Khá

3

Trung

8

bình
1

- Nội dung điều tra: Dùng phiếu điều tra (phần phụ lục)
- Kết quả điều tra:
Câu

1

2

3

4

A

0(0%)

1(8,3%)

6(50%)

8(66,7%)

B

0(0%)

5(41,7%)

2(16,7%)

1(8,3%)

C

0(0%)

4(33,3%)

3(40%)

2(16,7%)

D

12(100%)

2(16,7%)

1(8,3%)

1(8,3%)

10


Nhận xét: Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn giáo viên có tuổi nghề
cịn rất trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao.
Các thầy, cô chủ yếu rèn luyện giải toán cho học sinh ở mức độ biết làm, mặc dù
mong muốn rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh ở cả ba mức độ
nhưng do nhiều nguyên nhân như: thiếu thời gian, thiếu phương tiện dạy học….
nên việc làm đó diễn ra với tần số ít.
1.5.2. Điều tra đối với học sinh
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải
tốn về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
-Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 10A1(38 HS), 10A2 (37HS), 12C1(38HS),
12C2(35HS) thuộc trường THPT Huyện Điện Biên.
- Nội dung điều tra: Dùng phiếu điều tra (phần phụ lục)
- Kết quả điều tra:
Câu

A

B

C

1

0(0%)

48(32,4%/)

100(67,6%)

2

65(43,9%)

57(38,5%)

26(17,6%)

Nhận xét: Qua kết quả điều tra cho thấy học sinh không thường xuyên rèn
luyện kỹ năng giải toán kết hợp cả ba mức độ: Biết làm, thành thạo và mềm dẻo,
linh hoạt, sáng tạo.
Như vậy, việc rèn luyện một số kỹ năng giải bài tốn viết phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng và trong khơng gian hiện nay chưa nhiều do
khơng có những điều kiện thuận lợi về thời gian, phương tiện dạy học…
Do đó cần có sự quan tâm sâu sắc đến vấn đề này hơn nữa để các em phát
triển khả năng của mình.

11


CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH

ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHƠNG GIAN
CHO HỌC SINH THPT
2.1. Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng viết phƣơng trình đƣờng thẳng
trong mặt phẳng và trong khơng gian
Để rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong không gian cần dựa vào mức độ và trình độ, kỹ năng giải bài tập toán học
cụ thể là:
- Cần rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong khơng gian ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình
tổng quát.
- Mỗi loại trên bao gồm nhiều bài toán khác nhau và cần rèn luyện ở ba mức
độ: mức độ biết làm, mức độ thành thạo và mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
2.2. Rèn luyện kỹ năng viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng
2.2.1. Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Bài tốn 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và
biết vectơ chỉ phương của nó

 Mức độ biết làm
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 1;2 
và có vectơ chỉ phương là u  1;4  .
Giải

x  1  t
Ta có điểm M  d và u là vtcp của d nên ptts của d là 
, tR
 y  2  4t

 Mức độ thành thạo
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết phương trình
chính tắc của nó là

x  3 y 1

.
2
3

12


Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts của d ta phải xác định một điểm thuộc d và vtcp của nó.
Từ phương trình chính tắc của d suy ra điểm M  3;1  d và vectơ u  2;3
là vtcp của d

 x  3  2t
Vậy phương trình tham số của d là 
, tR
 y  1  3t

 Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD có tâm I  4; 1 và

 x  1  2t
phương trình tham số của cạnh AB là 
, t  R . Viết phương trình tham
 y  t
số hai đường chéo của hình vng.
Hướng dẫn - Giải
Ta đã có điểm I thuộc hai đường chéo AC,BD nên để viết ptts của AC, BD

phải xác định vtcp chúng dựa vào cơng thức tính góc giữa hai vectơ.

 x  4  tu1
Giả sử phương trình tham số hai đường chéo là 
với u  u1; u2  là
y  1  tu2

vtcp của nó.

A

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là v  2; 1

B

45
I

C





Ta có: cos u; AB  cos 45  u  v 

2u1  u2
u12  u2 2  22  12

D



2
2

 2  2u1  u2   5  u12  u2 2   u1  3u2 hoặc u2  3u1
2

+ Với u1  3u2 , chọn u2  1 suy ra u1  3 và u  3;1
+ Với u2  3u1 , chọn u1  1 suy ra u2  3 và u 1; 3

 x  4  3t1
 x  4  t2
Vậy ptts hai đường chéo của hình vuông là 
và 
,
 y  1  3t1
 y  1  3t2
t1 , t2  R
13


Bài tốn 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm

 Mức độ biết làm
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm

M 1;2  , N  4;3 .
Hướng dẫn - Giải

Ta đã có M, N  d , để viết ptts của d phải xác định vtcp của nó chính là vectơ
đi qua hai điểm M, N
Ta có MN  5;1

 x  1  5t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 
,t  R
y  2  t

 Mức độ thành thạo
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d1 , d 2 có phương

 x  1  t1
x  t
trình tham số lần lượt là 
, t  R và 
, t1  R và điểm
y  2  2t
y  2  t1



M  3;0  . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M cắt
d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.

Hướng dẫn - Giải
Ta thấy M  d nên để viết ptts của d phải xác định tọa độ điểm A hoặc B,
bài toán được đưa về viết ptts của đường thẳng đi qua hai điểm.
Giả sử A xA ; y A  , B  xB ; y B 

 xA  t
Theo giả thiết A  d1 suy ra 
và y A  2 xA  2
 y A  2  2t
 xB  1  t1
và yB   xB  3
B  d 2 suy ra 
yB  2  t1

 xA  xB  2  3
 x  xB  6
 A
Do M là trung điểm của AB nên ta có 
 y A  y B  2  0  2 x A  xB  5
Giải hệ phương trình này ta được x A 

14

11
16
 11 16 
suy ra y A  . Vậy A  ; 
3
3
3 3


 2 16 
Đường thẳng d đi qua điểm A và có vtcp là AM   ;  
 3 3

 11 2
x  3  3 t

,t  R
Vậy phương trình tham số của d là 
16 16
y   t

3 3

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm của
cạnh AB là I  2; 1 và trọng tâm G  2;1 . Viết ptts của đường thẳng chứa
cạnh AC biết A thuộc đường thẳng d1 có phương trình tham số là

 x  1  2t
, t  R và B thuộc đường thẳng d 2 có phương trình tham số là

y  2t


 x  2  t1
, t1  R .

y  3t1

Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts của đường thẳng chứa cạnh AC phải xác định tọa độ hai điểm
A, C.
Do A  d1 , B  d 2 nên giả sử A  1  2t;2  t  , B  2  t1 ;3t1 

Theo giả thiết I là trung điểm của AB nên ta có hệ phương trình

1  2t  2  t1  4 t  1

 A(1;3)

2  t  3t1  2
t1  1

2
Vì G là trọng tâm của ABC và I là trung điểm của AB nên CG  GI .
3
Giả sử C  xC ; yC 

2

 xC  2   2  xC 

 xC  2

3

thì 
, suy ra C  2;5 .
2
yC  5

1  y   1  y 
C
C


3


Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vtcp là AC 1;2 

x  1  t
,t  R .
Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC là 
y  3  2t


15


 Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 , d 2 có

 x  11  4t1
x  2  t
phương trình lần lượt là 
, t  R và 
, t1  R . Viết ptts của
 y  1  9t
 y  2  3t1
đường thẳng d đi qua điểm M  5;0  sao cho d cắt d1 , d 2 lần lượt tại B, C với M
thuộc BC, đồng thời SBAM  2SCAM .
Hướng dẫn - Giải
Ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm B, C nên để viết ptts của d phải xác
định tọa độ hai điểm B, C.

Do B  d1, C  d2 nên giả sử B  2  t; 1  9t  , C 11  4t1;2  3t1 
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC

1
1
Do M  BC nên SBAM   AH  MB và SCAM   AH  MC
2
2
Theo giả thiết thì SBAM  2SCAM  MB  2MC
2  t  5  2 11  4t1  5  t  1



t1  1
1  9t  2  2  3t1 


Suy ra B 1; 10  , C  7;5 . Đường thẳng d đi qua B và có vtcp là BC  6;15

 x  1  6t
,t  R .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 
 y  10  15t
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC cân tại A, biết phương
x  1  t

trình của đường thẳng chứa cạnh AB có dạng 
, t  R , điểm B, C  Ox
 y  3 7t


và A thuộc góc phần tư thứ nhất.
a.Viết ptts của đường thẳng chứa các cạnh còn lại của tam giác ABC, biết
nửa chu vi của tam giác bằng 9
b.Viết ptts của đường thẳng MN với M  AB, N  BC và đường thẳng MN
đồng thời chia đơi chu vi, chia đơi diện tích của tam giác ABC.

16


Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts đường thẳng chứa các cạnh AC, BC phải xác định tọa độ các
điểm A, B, C. Tương tự, để viết ptts đường thẳng MN cần xác định tọa độ hai
điểm M, N.





a. Do A  AB nên giả sử A 1  t;3 7t , do B  AB và B  Ox nên B 1;0 

C  Ox và ABC cân tại A nên C  2t  1;0 
Suy ra AB  AC  8 t ,BC  2 t
Từ A thuộc góc phần tư thứ nhất ta suy ra t  0 .
Theo giả thiết ta có AB  AC  BC  18  2  8 t  2 t  18  t  1 hoặc

t  1 (loại)





Suy ra A 2;3 7 , B 1;0  , C  3;0 



Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vtcp là AC 1; 3 7



Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và có vtcp là BC  2;0 
Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC, BC lần lượt là
x  2  t
 x  1  2t1

, t1  R
, t  R và 

 y  3 7  3 7t
y  0


b. Ta có AB  AC  8, BC  2
Đặt x  BM ,0  x  8 . Khi đó BN  p  x  9  x,7  x  9
Theo giả thiết ta có SABC  2  SBMN 

x 9  x  1
BM  BN 1
 


AB  AC 2
16
2

Giải phương trình này ta được x  8;x  1 (loại)
Với x  8 thì M  A và N(2 ;0) là trung điểm của BC
Suy ra đường thẳng MN chính là đường trung tuyến AN của tam giác ABC,



nó đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là AN 0; 3 7



x  2

Vậy phương trình của đường thẳng MN là 
,t  R
 y  3 7  3 7t

17


Bài tốn 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm
và song song với một đường thẳng cho trước

 Mức độ biết làm
Ví dụ 1 : Viết ptts của đường thẳng d đi qua điểm M(4 ;-1) và song song với

 x  1  t

đường thẳng  có phương trình là 
,t  R .
y 1 t

Hướng dẫn - Giải
Ta có điểm M  d nên để viết ptts của d phải xác định vtcp của nó
Do d / / nên vtcp của  cũng là vtcp của d và ngược lại
Vectơ chỉ phương của  là u 1;1

x  4  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 
,t  R
 y  1  t
Ví dụ 2 : Viết ptts của đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết
trung điểm các cạnh AB, BC, AC lần lượt là P(9 ;1), M(-1 ;-1), N(1 ;9).
Hướng dẫn - Giải
Ta có P  AB,M  BC, N  AC nên để viết ptts của đường thẳng chứa các
cạnh AB, BC, AC ta còn phải xác định các vtcp của chúng
Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB nên AB / /MN ,
AC//PM, BC//PN
Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm P và có vtcp là MN  2;10 
Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm M và có vtcp là PN 8; 8
Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm N và có vtcp là PM 10;2 
Vậy phương trình tham số của đường thẳng chứa các cạnh AB, BC, AC lần

 x  9  2t  x  1  8t1  x  1  10t2
;
;
, t , t1 , t2  R
lượt là 

 y  1  10t  y  1  8t1  y  9  2t2

 Mức độ thành thạo
Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng  song song với
18


 x  2  2t
đường thẳng d có phương trình tham số là 
, t  R và cắt Ox, Oy lần
 y  3  3t
lượt tại điểm A, B sao cho AB  13 .
Hướng dẫn - Giải
Từ d / / ta xác định được vtcp của  nên để viết ptts của  cần tìm một
điểm thuộc nó chính là tìm tọa độ điểm A hoặc điểm B.
Do  cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B nên giả sử A(a ;0), B(b ;0)
Ta có u  2;3 là một vtcp của d. Do  / / d nên u  2;3 cũng là một vtcp
của  .
Mặt khác, AB  a; b  cũng là một vectơ chỉ phương của  , suy ra

  a  2k
AB  ku  k  0   
b  3k
Theo giả thiết thì AB  13  a 2  b2  13  4k 2  9k 2  13  k  1
Vậy A  1;0  hoặc A 1;0 

 x  1  2t
Ptts của  đi qua A  1;0  và có vtcp u  2;3 là 
,t  R
y  3t


 x  1  2t1
Ptts của  đi qua A 1;0  và có vtcp u  2;3 là 
, t1  R
y  3t1

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD biết
phương trình tham số của đường thẳng chứa các cạnh AB, AD lần lượt là

 x  3  3t1
x  1  t
, t  R và 
, t1  R , tâm I(2 ;2). Viết ptts của đường thẳng

 y  2  2t
 y  4  4t1
chứa các cạnh BC, CD.
Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts của đường thẳng chứa cạnh BC, CD phải xác định một điểm
thuộc BC, CD và vtcp của BC, CD dựa vào tính chất hình bình hành.

1  t  3  3t1
t  1
 A  0;0 

Do A  AB  AD nên ta có là 
t1  1
2  2t  4  4t1
19