SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN

MI CC BN N VI CU LC B TON TIU HC
(violet.vn/toantieuhoc)
NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN MễN TON TIU HC
NI CUNG CP CC TI LU V TON TIU HC T A N Z
Suy nghĩ trên mỗi bài toán
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
********************************************
Các bạn yêu toán thân mến! Trong học toán nếu chúng ta giải toán mà chỉ cốt tìm
ra đáp số và dừng lại ở đó thì cha thật hiệu quả. Còn sau khi tìm đợc đáp số bài toán rồi
chúng ta lại tiếp tục suy nghĩ trên mỗi bài toán đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm
những ý mới của bài toán thì đó là con đờng tốt để đi lên trong học toán.
Dới đây là một thí dụ :
Bài toán 1. Cho tam giác ABC. I là một điểm ở
trong tam giác. Từ I lần lợt kẻ các đờng song song
với các cạnh BC, AB, AC chúng lần lợt cắt các cạnh
BA, AC, BC tại các điểm E, F, K. Nối CE, BF, AK,
chúng cắt nhau tại các điểm M, N, P (nh hình vẽ
bên).
Hãy chứng tỏ rằng : S
MNP
= S
NEB
+ S
MAF
+ S
PCK
Bài giải . Nối CI. Tứ giác IEBC là hình thang vì IE
song song với BC (theo đề bài). Nối IB ta có :
S

IBC
= S
EBC
vì chúng chung đáy BC và chiều cao hạ
từ I và E xuống đáy BC là chiều cao của hình thang
IEBC. Nối IA. Vì IF song song AB nên tứ giác
IFAB là hình thang nên S
IAB
= S
FAB
. Vì IK song
song AC nên tứ giác IKCA là hình thang. Do đó :
S
KAC
= S
IAC
. Vậy ta có :
S
IBC
+

S
IAB
+ S
IAC
= S
EBC
+ S
FAB
+ S

KAC
. Hay S
EBC
+ S
FAB
+ S
KAC
= S
ABC
. Điều này
có nghĩa là diện tích ba tam giác EBC, FAB, KAC có thể phủ kín tam giác ABC, nhng
theo hình vẽ chúng đã không phủ lên tam giác MNP mà lại phủ hai lần các tam giác
PCK, NBE, MAF. Chứng tỏ rằng : S
MNP
= S
NEB
+ S
MAF
+ S
PCK
.
* Thay hình tam giác ABC bởi hình chữ nhật ABCD thì ta có bài toán mới khó hơn
chút xíu nh sau :
Bài toán 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Từ điểm I
trong hình chữ nhật kẻ các đờng song song với các
cạnh AB, BC. Chúng lần lợt cắt các cạnh CB, BA,
AD, DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối DM, CN, BP
và AQ chúng cắt nhau tại các điểm E, G, H, K (nh
hình vẽ bên). Hãy chứng tỏ rằng :
S

ECM
+ S
GNB
+ S
HAP
+ S
KQD
= S
EGHK
.
Tóm tắt bài giải. Nối IA, IB, IC và ID ta có : Tứ
giác IPAB là hình thang vì IP song song với AB
(theo đề ra) nên S
IAB
= S
PAB
(1) vì chúng chung đáy
AB và chiều cao hạ từ I và P xuống đáy ABC là
chiều cao của hình thang IPAB. Tơng tự ta có : S
IAD
= S
QAD
(2) ; S
IDC
= S
MDC
(3) ; S
IBC
= S
NBC

(4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có : S
IAB
+ S
IAD
+ S
IDC
+ S
IBC
= S
PAB
+ S
QAD
+ S
MDC
+ S
NBC
.
Hay S
PAB
+ S
QAD
+ S
MDC
+ S
NBC
= S
ABCD
. Điều này có nghĩa là diện tích bốn tam giác
PAB, QAD, MDC, NBC có thể phủ kín hình chữ nhật ABCD, nhng theo hình vẽ chúng

đã không phủ lên tứ giác EGHK mà lại phủ hai lần các tam giác ECM, GNB, HAP và
KQD. Chứng tỏ rằng : S
ECM
+ S
GNB
+ S
HAP
+ S
KQD
= S
EGHK
.
* Trong quá trình giải bài toán 2, chúng ta không sử dụng đến yếu tố vuông góc của
hình chữ nhật. Vậy nếu ta thay hình chữ nhật ABCD bởi hình thang ABCD thì kết quả
trên còn đúng nữa không ? Suy nghĩ đó cho ta bài toán mới sau :
Bài toán 3. Cho hình thang ABCD. Từ điểm I trong
hình thang kẻ các đờng song song với các cạnh AB,
BC và AD. Chúng lần lợt cắt các cạnh CB, BA, AD,
DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối DM, CN, BP và
AQ chúng cắt nhau tại các điểm E, G, H, K (nh
hình vẽ bên). Hãy chứng tỏ rằng :
S
ECM
+ S
GNB
+ S
HAP
+ S
KQD
= S

EGHK
.
Cách giải bài toán này tơng tự cách giải bài toán 2, các bạn tự giải nhé.
* Nh vậy khi ta thay hình chữ nhật ABCD bởi hình thang ABCD thì kết quả bài toán
không thay đổi. Điều đó giúp ta nghĩ đến bài toán tổng quát sau:
Bài toán 4. Cho tứ giác ABCD. Từ điểm I trong
hình tứ giác kẻ các đờng song song với các cạnh
AB, BC, DC và AD. Chúng lần lợt cắt các cạnh
CB, BA, AD, DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối
DM, CN, BP và AQ chúng cắt nhau tại các điểm
E, G, H, K (nh hình vẽ bên).
Hãy chứng tỏ rằng :
S
ECM
+ S
GNB
+ S
HAP
+ S
KQD
= S
EGHK
.
Tóm tắt cách giải. Nối IA, IB, IC và ID ta có : Tứ
giác IPAB là hình thang vì IP song song với AB
(theo đề ra) nên S
IAB
= S
PAB
(1) vì chúng chung

đáy AB và chiều cao hạ từ I và P xuống đáy AB là
chiều cao của hình thang IPAB.
Tơng tự ta có : S
IAD
= S
QAD
(2) ; S
IDC
= S
MDC
(3) ;
S
IBC
= S
NBC
(4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có :
S
IAB
+ S
IAD
+ S
IDC
+ S
IBC
= S
PAB
+ S
QAD
+ S

MDC
+ S
NBC
.
Hay S
PAB
+ S
QAD
+ S
MDC
+ S
NBC
= S
ABCD
. Điều này có nghĩa là diện tích bốn tam giác
PAB, QAD, MDC, NBC có thể phủ hình tứ giác ABCD, nhng theo hình vẽ chúng đã
không phủ lên tứ giác EGHK mà lại phủ hai lần các tam giác ECM, GNB, HAP và KQD.
Chứng tỏ rằng : S
ECM
+ S
GNB
+ S
HAP
+ S
KQD
= S
EGHK
.

Với cách học toán nh thế này thật là thú vị phải không các bạn. Hi vọng rằng qua bài

viết này các bạn sẽ có đợc cách học toán thật hiệu quả. Chúc các bạn thành công !
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh)