Chuyên đề Hàm số bậc hai

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

MỤC LỤC

 1


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Danh sách các kí hiệu sử dụng
Ký hiệu
Đọc là

Khác

Thuộc

 
Tương đương

Max
Giá trị lớn nhất

 
Suy ra

Min 
Giá trị nhỏ nhất

Danh sách các tài liệu tham khảo

 2

+ Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

­

NXB GD

+ Nâng cao và phát triển Toán 9 
+ Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm Toán 9
+ Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 9

­ 
­ 

Vũ Hữu Bình
Phan Lưu Biên
­ 
PGS – TS Đặng Đức Trọng


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

HÀM SỐ y = ax2 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A.  KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
A.
Hàm số y = ax2 (a  0)
a) Tính chất 
Hàm số y = ax2 (a 0) được xác định vói mọi giá trị của  

a > 0. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x < 0
          y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
a < 0. Hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x > 0
          y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
b) Đồ thị
Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0)  là một parapol có đỉnh là góc tọa độ O(0 ; 0) và nhận trục 
tung làm tục đối xứng.
y

­1

y
O

O 1

x

y = ax2

y = ax2

­1

1

x

a < 0

a > 0

 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P)
x

0

 

y = ax  (a 0

0

 

2

 3


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
  + Dựa và bảng giá trị  vẽ (P).
B.
Phương trinh bâc hai môt ân:
̀
̣

̣ ̉
a) Đinh nghia
̣
̃ : Phương trinh bâc hai môt ân la ph
̀
̣
̣ ̉
̀ ương trinh co dang:  trong đo  la ân sô ; , ,  la 
̀
́ ̣
́ ̀ ̉
́
̀
cac sô cho tr
́ ́
ước goi la cac hê sô .
̣ ̀ ́ ̣ ́
b) Cách giai: 
̉
Công thưc nghiêm tông quat cua ph
́
̣
̉
́ ̉
ương trinh bâc hai: .
̀
̣
   
 : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ,.
̀

́
̣
̣
 : Phương trinh co nghiêm kep: 
̀
́
̣
́ .
 : Phương trinh vô nghiêm.
̀
̣
Công thưc nghiêm thu gon cua ph
́
̣
̣
̉
ương trinh bâc hai: .
̀
̣
 : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt:
̀
́
̣
̣
.
 : Phương trinh co nghiêm kep: 
̀
́
̣
́ .

 : Phương trinh vô nghiêm.
̀
̣
C.
Hê th
̣ ưc Vi­et va 
́
́ ̀ưng dung
́
̣ :
1. Hệ thức Vi­ét: Nếu phương trình  có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Hệ  thức Vi­ét thường được áp dụng để  tính nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm hay tìm hai số  
khi biết tổng và tích của chúng dựa vào các kết quả sau đây:
a. Kết quả 1: Cho phương trình  
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 
Nếu a  b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 =1, x2 = 
b. Kết quả 2: Cho phương trình  
có  với 
Điều kiện

Dấu các nghiệm

Mô tả

P < 0 hay a.c < 0

x1 < 0 < x2

Phương trình có hai nghiệm trái dấu

P > 0, S > 0

0 < x1  x2

Phương trình có hai nghiệm dương

P > 0, S < 0

x1  x2 < 0

Phương trình có hai nghiệm âm

c. Kết quả  3: Nếu hai số  a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghiệm của phương  
trình:  (Điều kiện để có a và b : )
 4


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
D.  CÁC DẠNG  BÀI TẬP  CƠ  BẢN 
Dạng 1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠  0)
1.
Phương pháp chung:
   Thực hiện theo các bước sau:
a)  Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định  x   R.
b)  Tính biến thiên: phụ thuộc vào a > 0 (hoặc a < 0)
c)  Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0) hoặc  
điểm cao nhất (a < 0).
d)  Vẽ  đồ  thị  và nhận xét: đồ  thị  của hàm số  y = ax 2(a ≠ 0) là một đường cong parabol (như  
phần II).
2.

 Các ví dụ :
Ví dụ 1: Xác định m để đồ thị hàm số (P)  
a) Đồng biến khi x > 0 và nghich biến khi x < 0
b) Đi qua điểm . Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.
Lời giải:
a) Đề hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 thì
hoặc  
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm  nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình

   

Với m = 2 ta được: (P) y = 2x2
 Hàm số y = 2x2  xác định  x   R.
 Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = 2 >0  nên hàm số:
+  Đồng biến khi x > 0.
       + Nghịch biến khi x < 0.
 Bảng giá trị:

x
y = 2x2

…
…

­2
8

­1
2

0
0

1
2

2
8

y

8

…
…

 Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 Nhận xét:  
Đồ thị hàm số y = 2x2  là một đường cong parabol (P):
+ Đi qua gốc tọa độ.
+ Nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Nằm phía trên trục hoành. 
 5

x
­2

­1

O

1

2


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
+ Có đỉnh O là điểm thấp nhất.

Ví dụ 2:  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2, biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2;  
b)

1).
Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số vừa tìm được: M(–8 ; –16) và N(–6 ; 9)
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là , điểm Q có  
tung độ bằng 3.

Lời giải 
a) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2.
 A(2; 1)   (P): y = ax2 
 
Vậy (P) là đồ thị của hàm số: .
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P): 
 Hàm số  xác định  x   R.
 Tính biến thiên: Hàm số  có  nên hàm số:
­  Đồng biến khi x > 0.
­  Nghịch biến khi x < 0.
 Bảng giá trị: 
x

… –4
…

4

–3

–2

0

2

1

0

1

3

 6

4

4 …
4 …

 Vẽ đồ thị: (như hình trên)

 Nhận xét:  Đồ thị hàm số  là một đường cong parabol (P):
­4
­ Đi qua gốc tọa độ.
­ Nhận trục tung làm trục đối xứng.
­ Nằm phía trên trục hoành.
­ Có đỉnh O là điểm thấp nhất.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
Với điểm M(–8; –16):
Giả sử M(–8; –16)   (P):    
  (sai)
Vậy M(–8; –16)   (P).
Với điểm N(–6;9):

y

­2

O

2

x
4


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Giả sử N(–6;9)   (P):    
  (đúng)
Vậy N(–6;9)   (P).
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là , điểm Q có tung  

độ bằng 3:
 
Vậy 
 hoặc 
Vậy có 2 điểm Q thỏa đề bài: 
Ví dụ 3: Hàm số y = x2 đồng biến khi x > 0 nếu:
A. m < 
B. m > 
C. m > 

D. m = 0
    Đáp án: B

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng xOy, đồ thị hàm số nào nhận trục Oy làm trục đối xứng?
A. y = 2x + 1
B. y = x
C. y = 3
D. x = y2

    Đáp án: C

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai một ẩn cơ bản
1) Phương pháp chung
Công thưc nghiêm tông quat cua ph
́
̣
̉
́ ̉
ương trinh bâc hai: .
̀

̣
   
 : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ,.
̀
́
̣
̣
 : Phương trinh co nghiêm kep: 
̀
́
̣
́ .
 : Phương trinh vô nghiêm.
̀
̣
Công thưc nghiêm thu gon cua ph
́
̣
̣
̉
ương trinh bâc hai: .
̀
̣
 : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt:
̀
́
̣
̣
.
 : Phương trinh co nghiêm kep: 

̀
́
̣
́ .
 : Phương trinh vô nghiêm.
̀
̣
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
a)

4x2 – 8x + 3 = 0      

Lời giải
a)
 7

4x2 – 8x + 3 = 0    

b) x2 – 6x + 14 = 0 

c) x2 – 4x + 4 = 0 


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Ta có:  > 0 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:    
b) x2 – 6x + 14 = 0 
Ta có:  
Phương trình vô nghiệm

c)  x2 – 4x + 4 = 0 
Ta có:  
Phương trình có nghiệm kép: 
Ví dụ 2:  Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm
a)
7x2 –  9x + 2 = 0        .
b)
23x2 –  9x –  32 = 0     
c)
()x2 + 2x –  (2 + ) = 0            
Lời giải
a) 7x2 –  9x + 2 = 0        

Ta có: a + b + c = 7 + (– 9) + 2 = 0  phương trình có hai nghiệm: 
x1 = 1 ; x2 =  
b) 23x2 –  9x –  32 = 0     
Ta có: a – b + c = 23 – (–9) + (–32) = 23 + 9 – 32 = 0 
 phương trình có hai nghiệm: x1 = phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 =  
c) ()x2 + 2x –  (2 + ) = 0            
Ta có: a + b + c =  + 2– (2 + ) =  + 2– 2 –  = 0
 phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 =  
Ví dụ 3:  Giá tị x nào sau đây là nghiệm của phương trình: 
A.
B.  
B.
D. 
   Đáp án: B
Ví dụ 3:  x = 3 là nghiệm của phương trình nào say đây:
A. 
B. 

C. 
D. 
   Đáp án: A
Dạng 3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
a.1) Phương pháp chung:
a) Phương trình trùng phương : 
Đặt t = x2() đưa về dạng : 
 8


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Thay gí tri vừa tìm được rồi suy ra x
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu : 
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác  
định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
c) Phương trình tích.
Đưa phương trình về dạng tích rồi áp dụng tính chất: A.B = 0  A = 0 hoặc B = 0
Giải hai phương trình A = 0 và B = 0 rồi suy ra nghiệm 
a.2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
 x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0     

b)  5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2

Lời giải
a)

Giải phương trình   x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0  (1)
  (1)   (x2 – 2)(x + 3) = 0   (x + )(x – )(x + 3) = 0
        x = –; x = ; x = –3 
  Vậy phương trình (1) có nghiệm x = –; x = ; x = – 3
b)
Giải phương trình 5x4 + 2x2 ­16 = 10 – x2  (3)
      Ta có: (3)   5x4 – 3x2 – 26 = 0
  Đặt x2 = t (t   0) thì (3)   5t2 – 3t – 26 = 0
  Xét   = (–3)2 – 4.5.( –26) = 529.> 0   = 23
   Nên:   t1 =(thoả mãn t   0) ;
              t2 = (loại)
Với t =   x2 =   x = 
     Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ;   x2 = 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)  
Lời giải
a)

b)  (x2+ x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0

Giải phương trình    (2)    

  Với ĐK: x ≠ – 1; x ≠ 4 thì 
 (2)   2x(x –`4) = x2 – x + 8    x2 – 7x – 8 = 0 (*)
 Do a – b + c = 1– (–7) + (–8) = 0   phương trình (*) có nghiệm x1 = –1(không thoả mãn ĐK)  
  ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
 9


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

  Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
b)  Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0  (4)
     Đặt x2 + x = t . Khi đó  (4)    3t2 – 2t – 1 = 0
            Do a + b + c = 3 + (– 2) + (– 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 
      t1 = 1  x2+x = 1  x2 + x – 1 =  0 
2 
      
1 = 1 – 4.1.( –1) = 5 > 0. Nên x1 = ;  x2 =
      t2 =   x2+x =   3x2 + 3x + 1 = 0  (*)
             2 = 32 – 4.3.1 = –3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = ;  x2 =
Ví dụ 3:  Số nghiệm của phương trình: (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.

A. 2

B. 3

C. 4

D. Vô nghiệm

    Đáp án: A
Ví dụ 3:  Phương trình  
A. có 1 nghiệm
nghiệm vô tỉ

B. vô nghiệm

C. có hai nghiệm hữu

  tỉ           D.   có   hai  
   Đáp án: B

Dạng 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
1) Phương pháp chung:
Nếu hai số a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghiệm của phương trình:  
(Điều kiện để có a và b : )
Giải phương trình  để tìm nghiệm 
 
2) Các ví dụ:
 Ví dụ 1 :   Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
a) x + y = 7  và  xy = 72
b) x + y = 12  và  xy = 35
Lời giải 
a)

Ta có:  

Vậy không có giá trị x và y nào thỏa mãn x + y = 7  và  xy = 72
b) Ta có: 

 x và y là hai nghiệm của phương trình: X2 + 12X – 35 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được X1 =  ; X2 = 
Vậy x =  ; y =  hoặc  x =  ; y =  
 Ví dụ 2 :   Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
 10


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
a)

b)

x2 + y2 = 80  và xy =32
x  y = 10  và xy = 21

Lời giải 
a) Ta có: x2 + y2 = 80    
­ Ứng với trường hợp x + y = – 4  và  xy =32. Ta có: 
    x; y là nghiệm của phương trình  (*)
  Giải phương trình (*) ta được X1 = 4 ; X2 = – 8   
  Vậy x = 4 ; y = – 8 hoặc x = – 8 ; y = 4
­ Ứng với trường hợp x + y =  4  và  xy =32. Ta có: 
    x; y là nghiệm của phương trình  (*)
  Giải phương trình (*) ta được X1 = – 4 ; X2 =  8   
  Vậy x = – 4 ; y = 8 hoặc x = 8 ; y = – 4
 Ví dụ 3 :    Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ?
A. x2 – 3x + 10 = 0 B. 2x2 – 6x  + 1 = 0 C. –x2 + 3x – 5 = 0

D. x2 + 2x + 1 = 0
       Đáp án: A, B, C

 Ví dụ 4 :    Cho phương trình 0,1x2 – 0,6x – 0,8 = 0. Khi đó  x1 + x2 ; và x1x2 là :
A. x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = 8
B. x1 + x2 = 6; x1.x2 = – 8
C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8
D. Kết quả khác
           Đáp án: B
Dạng 5.  Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
a.1) Phương pháp chung:
Xét trường hợp  a = 0, phương trình trở thành  (*)

Nếu b = 0 và c = 0  Phương trình (*) có vô số nghiệm
Nếu b = 0 và c  0  Phương trình (*) có vô nghiệm
Nếu b  0  Phương trình (*) có một nghiệm nghiệm
Xét trường hợp a  0, lập biệt thức   hoặc  ’
Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm )       0 hoặc  ’   0  m
Vô nghiệm     < 0 hoặc  ’ < 0  m
Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)     = 0 hoặc  ’ = 0  m
Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)     > 0 hoặc  ’ > 0  m
Kết luận: 
a.2) Các ví dụ
Ví dụ 1:  Giải phương trình (giải và biện luận):   x2 – 2x + k = 0  (tham số k)
Lời giải
 11


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Ta có:  ’ = (–1)2 – 1.k = 1 – k
    
 Nếu  ’< 0   1 – k < 0    k > 1   phương trình vô nghiệm
     
Nếu  ’= 0   1 –  k = 0    k = 1   phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
    
 Nếu  ’> 0   1 –  k > 0    k < 1   phương trình có hai nghiệm phân biệt
                                                              x1 = 1– ;   x2 = 1+
     
Kết luận: 
     
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
     
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

   
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 –; x2 = 1+                                                    
Ví dụ 2:  Cho phương trình  (m – 1)x2 + 2x – 3 = 0   (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có  nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có)?
Lời giải
a)
    
      
    

+ Nếu m – 1 = 0   m = 1 thì (1) có dạng  2x – 3 = 0   x =  (là nghiệm) 

    + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có:  ’=12– (–3)(m – 1) = 3m – 2
      (1) có nghiệm    ’ = 3m – 2   0   m   
    + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m    thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m – 1 = 0   m = 1 thì (1) có dạng  2x – 3 = 0   x =  (là nghiệm) 

     
    + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có:  ’ = 1– (– 3)(m – 1) = 3m – 2
                   (1) có nghiệm duy nhất    ’ = 3m – 2 = 0   m =  (thoả mãn m ≠ 1)
                Khi đó x = 
    
    + Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 
              
    với m =  thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3
c)  Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
                 (m – 1)22 + 2.2 – 3 = 0    4m – 3 = 0   m = 
                Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m – 1 = – 1= ≠ 0)

                Theo đinh lí Viet ta có:  x1.x2 = 
     
   Vậy m =  và nghiệm còn lại là x2 = 6
Ví dụ 3:   Cho phương trình  (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có: 
a) bốn nghiệm phân biệt
b) hai nghiệm phân biệt
 12


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
c) ba nghiệm phân biệt 
d) một nghiệm
e) vô nghiệm
Giải:
Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó (1)  
Ta có 
a) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt   phương trình (2) có một nghiệm dương và một  
nghiệm bằng 0
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc hai  
nghiệm trái dấu.
  hoặc P < 0     hoặc 
d) Phương trình (1) có một nghiệm  phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc hai nghiệm  
gồm một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm
 hoặc   hoặc   m = 
e) Phương trình (1) có vô nghiệm  phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm
 hoặc   hoặc  hoặc 
Ví dụ 4:  Phương trình mx2 – 4x – 5 = 0 ( m ≠ 0) có nghiệm khi và chỉ khi
và m0 B. và m0     và m0

 và m0
           Đáp án: C
Ví dụ 5:  Giá trị của m để phương trình : mx2 – (2m – 1)x + m +2 = 0  có hai nghiệm phân biệt là :
A. m < 
B. m > 
C. m 
D. m  và m0
           
   Đáp án: D
Dạng 6.  Tìm tham số m khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương  
hoặc cùng âm, hai nghiệm đối nhau, hai nghiệm nghịch đảo nhau) 
a.1)
Phương pháp chung:
Lập biệt thức  hoặc ’
Dựa vào định lý Vi­et tính tổng và tích của hai nghiệm (S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 =) 
Từ ĐK đã cho và hệ thức Vi­ét tìm ra tham số m 
 Phương trình có hai nghiệm cùng dấu   
 0 và P > 0  m
 Phương trình hai nghiệm trái dấu     > 0 và P < 0   a.c < 0  m

Phương trình hai nghiệm dương (lớn hơn 0)   
 0; S > 0 và P > 0  m
 13


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

Phương trình hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0)   
  Hai nghiệm đối nhau   
 0 và S = 0

 0; S < 0 và P > 0  m

  Hai nghiệm nghịch đảo nhau     0 và P = 1  m
a.2)
Các ví dụ:
Ví dụ 1:  Cho phương trình:  x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
 
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Lời giải
a) Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = (m – 1)2 + 3 + m =  
      
       

 Do  với mọi m;      > 0 với mọi m
   Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

         Hay phương trình luôn có nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu    a.c < 0   – 3 – m < 0   m > – 3 
     

Vậy  m > – 3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

    
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1.x2 = – (m + 3)
   
 Khi đó phương trình có hai nghiệm âm   S < 0 và P > 0

     
     
Vậy m < – 3
Ví dụ 2: Cho phương trình:  x2 + 2x + m – 1= 0  ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Lời giải
a) Ta có  ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m
    
     
    

Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu   a.c < 0  m – 1 < 0  m < 1

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
A. m > 1
B. m < 1
C. m > –1 hoặc m < 1
   
 14

D. m  1
   Đáp án: C


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Ví dụ 3: Giá trị của m để phương trình  x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm cùng âm là:

A. 
B. m > 0
C. m > 0 và 
D. m < 0
  
Dạng 7. Vận dụng định lý Viet để tính giá trị của biểu thức đối xứng
1) Phương pháp chung:

   Đáp án: C

Bước 1: Áp dụng hệ thức Vi­ét ta tính được :
Bước 2: Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa và  từ đó thay các giá trị a, b và 
tính giá trị biểu thức vừa tìm được.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1:  Cho phương trình  x2 + x –  = 0 có hai nghiệm x1 và x2 
               Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
     
 A = ;         B = x12 + x22 ;         C = ;        D = x13 + x23
Lời giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và  x2 nên theo định lí Vi­et ta có:
x1 + x2 =;      x1.x2 = 
Ta có: A = ; 
 B = x12 + x22 = (x1+x2)2 –  2x1x2
;  
D = x13 + x23 =  
Lần lượt thay x1 + x2 =;      x1.x2 = ta được
 
 B = 
      
 

      
D =  
Ví dụ 2: Không giải phương trình 3x2 + 5x  6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
      
      
      
    

A = 
Lời giải
Phương trình 3x2 + 5x  6 = 0 có a.c = 3.( 6) < 0  có hai nghiệm.
Theo Vi­et ta có: x1 + x2 =  ;      x1.x2 = 2
Ta có: A = 
   =   
Thay  x1 + x2 =  ;      x1.x2 = 2 vào (*) ta được:
A = (2). + (2) =  
Ta có:  
 15


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
   
Thay  x1 + x2 =  ;      x1.x2 = 2 vào (*) ta được: 
Ví dụ 3: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + x – 1 = 0. Khi đó biểu thức x12 + x22 có giá trị là:
A. 1
B. 3
C. 1
D. 3
   Đáp án: B
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 3x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Tínhđược kết quả nào sau đây:

A.  
B.  
C. 
D. 
3
   Đáp án: D
Dạng 8. Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (T) cho trước:
c.1)
Phương pháp chung:
Bước 1­ Tìm điều kiện để  phương trình có nghiệm x1;x2 :  (*)
Bước 2 ­ Áp dụng định lý Vi­ét ta được: 
Bước 3 ­  Từ ĐK (T) đã cho và hệ thức Vi­ét tìm ra tham số m. Đối chiếu  m với điều kiện 
c.2)

(*) và kết luận.
Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho phương trình:  x2 + 2x + m – 1= 0  ( m là tham số)
a)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
b)
Lập phương trình ẩn y thoả mãn ;  với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên
Lời giải
a) Ta có  ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m
     
    
     
 
   
   

Phương trình có nghiệm       0   2 – m   0   m   2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2  (1);  x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1 + 2x2 = 1 (3)
 Từ (1) và (3) ta có:  
Thế vào (2) ta có:   5(– 7) = m – 1   m = – 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = – 34 là giá trị cần tìm
b) Với m   2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm 

     
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2  (1) ;    x1x2 = m – 1 (2)
      
Khi đó:  (m  ≠ 1)
                         (m ≠ 1 )
     
 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 – .y +  = 0  (m ≠ 1)
   
 Phương trình ẩn y cần lập là:  (m – 1)y2 + 2my + m2 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình:  (m là tham số)   (1)
 16


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức   
đạt giá trị nhỏ nhất?
Lời giải
Phương trình: .
 
 Có  = (2m+1)2  4 = 4m 1
 

 Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  > 0   4m 1 > 0  m >         
Theo hệ thức Viét ta có      và  
Ta có:   = 
Vậy m đạt giá trị nhỏ nhất là  khi   m 1 = 0  m = 1 ( thỏa mãn điều kiện m >)
Ví dụ 3: Cho phương trình 
a)
 Giải phương trình khi m = 0.
b)
Tìm m để  phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
c)
Gọi x1, x2, x3  là ba nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị  lớn nhất của biểu  
thức:
Lời giải:
a) Thay m = 0 và phương trình (1) ta được:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1
b) Thay x = 1 vào vế trái của phương trình (1) ta được: 
nên (1) có nghiệm x = 1
Do đó (1)  
      x = 1 hoặc  (2)
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  
 
 x = 1 không là nghiệm của (2)  2 + 2m + 2 + m2 + 4m + 3 0  
   m2 + 6m + 7  0     
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi  5 < m < 1 và 
c) Do phương trình (1) có  một nghiệm là 1 và vai trò của x 1, x2, x3 trong biểu thức A là như  
nhau, nên giả sử x1 = 1 và x2, x3  là hai nghiệm của phương trình (2). Theo hệ thức Viét ta có:  
Thay vào  ta được:
 17

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Với 5 < m < 1 thì m + 1 < 0 và m + 7 > 0
Do đó . Dấu “=” xảy ra khi m =  4 (thỏa mãn đk)
Vậy GTLN của A là 4,5 khi m =  4
Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai:   (1) 
nghiệm  thoả mãn hệ thức:  là:
A. 5

(với m là tham số). Giá trị m để phương trình (1)  có hai  

B. 6

C. 7

D. 8

Đáp án:  D
 Ví dụ 4
   : Cho phương trình: x  2(n 1)x + 2n 3 = 0 (1) n là tham số. Biểu thức P = x1  + x22 đạt giá tri 
nhỏ nhất khi n bằng:
A. 
B.  
C. 
D. 
2

2

Đáp án:  A

Dạng 9.    Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc 
tham số.
1) Phương pháp chung:
Bước 1: §iều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2:
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi­ét ta tính được :
Bước 3:  Khử m từ bước 2 bằng phương phép thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc 
cộng đại số ta sẽ được biểu thức cần tìm.
2)  Các ví dụ:
Ví dụ 1:   Giả sử x1;x2 là nghiệm của phương trình: x2 – 2 (m – 1 ) x + m 2 –  1= 0
    Tìm hệ thức giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m
Lời giải:
Phương trình có nghiệm    ≥ 0  m 
  
            Áp dụng hệ thức Vi­ét ta  được:
            Từ (1)suy ra m= Thay vào (2) ta được:
                P =   4P = S2 +4S
                Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 + 4(x1+x2 =) 4 x1x2
Ví dụ 2:  Cho phương trình:  x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
b)  Hãy biểu thị x1 qua x2
Lời giải 
 18


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
a)  Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = 
  
 Do  với mọi m;      > 0 với mọi m
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
  Theo định lí Viet ta có:    

Tư (1)  m = thay vào (2) ta được   x1 + x2+2x1x2 = – 8 
    
Vậy  x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
b)  Từ ý a) ta có: x1 + x2 + 2x1x2 = – 8   x1(1+2x2) = – ( 8 + x2)   
      
       
       

Vậy      ()
Ví dụ 3:  Cho phương trình  có hai nghiệm x1 và x2. Hệ thức  liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc 
vào m là: 
A.  
B. 

B. 
D. 
    Đáp án: A

Ví dụ 4:  Cho phương trình . Công thức biểu thị x1 theo x2 là:
A.  

B. 

C. 

D. 

   Đáp án: C
Dạng 10. Tìm giao điểm và xác định số giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax (a0) và (D): y = ax + 
2 

b
1)

Phương pháp chung:

a)

Tìm giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a0) và (D): y = ax + b

b)

 Lâp ph
̣
ương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D): cho 2 vê phai cua 2 ham
̀
̀
̣
̉
̉
̀
́ ̉ ̉
̀  
2
sô băng  nhau đ
́ ̀
ưa vê pt bâc hai dang ax
̀
̣
̣

 + bx  + c = 0.
 Giai pt hoanh đô giao điêm:
̉
̀
̣
̉
+ Nêu  > 0  pt co 2 nghiêm phân biêt (D) căt (P) tai 2 điêm phân biêt.
́
́
̣
̣
́
̣
̉
̣
+ Nêu  = 0  pt co nghiêm kep  (D) va (P) tiêp xuc nhau.
́
́
̣
́
̀
́ ́
+ Nêu  < 0  pt vô nghiêm (D) va (P) không giao nhau.
́
̣
̀
 Xac đinh sô giao điêm c
́ ̣
́
̉ ủa hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham sô m:

́
Lâp ph
̣
ương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D
̀
̀
̣
̉
̉
̀ m): cho 2 vê phai cua 2 ham sô băng
́ ̉
̉
̀
́ ̀  
2
nhau  đưa vê pt bâc hai dang ax
̀
̣
̣
 + bx  + c = 0.
Lâp  (hoăc) cua pt hoanh đô giao điêm.
̣
̣
̉
̀
̣
̉
Biên luân:
̣
̣

+ (Dm) căt (P) tai 2 điêm phân biêt khi  > 0 giai bât pt  tim m.
́
̣
̉
̣
̉
́
̀
+ (Dm) tiêp xuc (P) tai 1 điêm  = 0 giai  pt  tim m.
́ ́
̣
̉
̉
̀

 19


CHUYấNHMSBCHAI
+(Dm)va(P)khụnggiaonhaukhi<0giaibõtpttimm.




2)
Cỏcvớd
Vớd1:Choparabol(P):y= x2vngthng(d):y=mx 1
a)
Chngminhrngvimigiỏtr camthỡngthng(d)luụnctparabol(P)ti
haiimphõnbit.

b)
Gix1,x2lnltlhonh cỏcgiaoimcangthng(d)vparabol(P).
Tỡmgiỏtrcam:
Ligii
a)
Phngtrỡnhhonhgiaoimca(P)v(d)l:
x2=mx1 x2+mx1=0(1),phngtrỡnh(1)cúa.c=1<0vimim
(1)cú2nghimphõnbittrỏiduvimim (d)luụnct(P)ti2imphõnbit.
b)
Tacúx1,x2lnghimca(1)nờntheohthcViộttacú:x1+x2=mvx1.x2=1
Theogithit:
m+1=3 m=2
Vyvim=2thỡhonhgiaoimca(d)v(P)thamónngthctrờn.
Vớd2:Chohmsy=x2vy=x+m(mlthams).
a)
Tỡmmsaochoth(P)cay=x2vth(D)cty=x+mcúhaigiaoimphõn
bitAvB.
b)
Tỡmphngtrỡnhcangthng(d)vuụnggúcvi(D)v(d)tipxỳcvi(P).
Ligii:
a) Phngtrỡnhhonhgiaoimca(P)v(D)l:x2=m+xx2x+m=0(*)
(P)v(D)ctnhautihaiimphõnbit:(*)cúhainghimphõnbit

=1+4m>0m>
b) Phngtrỡnhcangthng(d)vuụnggúcvi(D)v(d)tipxỳcvi(P)cúdng:
(d)(D)nờna.1=1a=1.Tacú(d):y=x+b
Phngtrỡnhhonhgiaoimca(d)v(P)l:x2=x+bx2x+b=0
(d)tipxỳcvi(P)x2x+b=0cúnghimkộp.
=1+4b=0b=.
Phngtrỡnhngthng(d)cntỡml:y=x

Vớd3:TrênmặtphẳngtọađộOxy,đồthịcáchàmsốy=x2vày=4x+mcắtnhautạihaiđiểm
phânbiệtkhivàchỉkhi
A.m>1.
B.m<4.
C.m<1.
D.m>4
ỏpỏn:D
2
Vớd3:Chongthng(d):y=2x+3v(P):y=x .Khiúsimchungca(d)v(P)l:
20


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
A. 1

B. 2

C. không có điểm chung nào?
Đáp án:  B

Dạng 11.  Giải bài toán bằng cách lập  phương trình 
1) Phương pháp chung
Bước 1: Lập hệ phương trình
­

Chọn hai ẩn và đặt điều 

kiện thích hợp cho chúng
­

Biểu diễn các đại lượng 

chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết
­

Lập hai phương trình biểu  

diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích 
hợp với vài toán và kết luận
2) Các ví dụ
Ví dụ 1:  Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu  
thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Phân tích đề bài
x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: )
Đổi đơn vị:  

Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Đi xuôi dòng

80

Đi ngược dòng

80

Phương trình :  
Lời giải.  
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: )
Vận tốc của tàu thủy  khi xuôi dòng:  (km/h)
Vận tốc của tàu thủy  khi ngược dòng:  (km/h)
Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng:  (km/h)
Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng:  (km/h)
Vì thời gian cả đi lẫn về là  nên ta có phương trình:  (1)
 21


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Giải phương trình (*) ta được  (loại)
Vậy vận tốc của tàu thủy là: 
Ví dụ 2:  Một ca nô đi xuôi dòng nước từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ đi từ bến A  
dọc theo bờ sông về hướng B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay trở lại và gặp người đi bộ  tại  
địa điểm C cách bến A 18km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi  
bộ và vận tốc dòng nước đều bằng 4km/h.
Phân tích đề bài
x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: )
Vận tốc
Cano
Người đi bộ

Thời gian

Đi xuôi

Quãng đường
24

Đi ngược
4

18

PT:   
Lời giải.
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: )
Vận tốc của cano khi xuôi dòng:  (km/h)
Vận tốc của cano khi ngược dòng:  (km/h)
Thời gian của cano khi xuôi dòng:  (km/h)
Thời gian của cano khi ngược dòng:  (km/h)
Theo đề ta có phương trình:  (1)
Giải phương trình (*) ta được   (loại)
Vậy vận tốc của tàu thủy là: 
Ví dụ 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, được bao bọc bằng x mét  
hàng rào. Diện tích khu vườn tính theo x là: 
A.  
B. 
C. 

D. 

             Đáp án:  D
Ví dụ 4: Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A và một ôtô đi từ B. 
Xe máy và ôtô cặp nhau tại điểm C cách A 120km. Nếu xe máy khởi hành sau ôtô 1h thì sẽ gặp nhau 
ở điểm D cách C 24km. Khi đó vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là:

A. 40 km/h và 60 km/h
B. 60 km/h và 40 km/h 
C. 50 km/h và 60km/h
D. 50 km/h và 40 km/h
 22


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
      

Đáp án:  B

E.  BÀI TẬP VẬN DỤNG
1.  BÀI TẬP TỰ LUẬN 
TL 1.1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = x2 có đồ thị (P).
a)
Vẽ (P).
b)
Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 1 và 2. Chứng minh rằng  
tam giác OAB vuông .
TL 1.2  Cho hàm số .
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm .
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.
d) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ.

 

TL 2.1  Giải các phương trình
                  a)   x2  49x  50 = 0 

                  b)  (2 )x2 + 2x – 2 –  = 0
TL 2.2  Giái các phương trình sau:
a)
b)
TL 3.1  Cho phương trình bậc hai: x2  2(m +2)x + 2m + 3 = 0   ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi  là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: .
TL 3.2  Cho phương trình bậc hai:   (1) 
(với m là tham số).
a)
Giải phương trình (1) với .
b)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị  của  
m.
c)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm  thoả mãn hệ thức: .
TL 3.3  Cho phương trình  (1) (x là ẩn).
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  thỏa mãn
     .
TL 3.4  Cho phương trình : x2 + nx – 4 = 0 (1) (với n là tham số)
a)
Giải phương trình (1) khi n = 3
b)
Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1), tìm n để: 
TL 3.5  Cho phương trình: x2 2(n 1)x + 2n 3 = 0 (1) n là tham số.
a)
Giải phương trình khi n = 3
b)
Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi n.

 23


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Gọi x1, x2 là 2 ngiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 

c)
+ x22. 
TL 4.1  Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm 
I =  có hệ số góc m.
a)
Viết phương trình của (D).
b)
Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
TL 4.2  Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho parabol (P): y =  và đường thẳng (D) : 

y = mx  2m  1 .Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
TL 4.3  Cho hàm số số y = ax2 ()
a) Xác định hàm số y = ax2 biết đồ thị của nó đi qua A ( 2; 2 ).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số vừa tìm tại hai điểm  
c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với  đồ thị hàm số vừa tìm được.  
Hãy tìm tiếp điểm đó.
TL 4.4   Cho parabol (P) :  và đường thẳng (d): 
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn đi qua một điểm cố  định.
b) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N.
Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
TL 5.1  Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được  
quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc  
dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24  
phút.

TL 5.2  Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ  A đến B. Khi đến B, người đó  
nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ  
lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
TL 5.3   Một người dự định đi xe đạp từ  địa điểm A tới địa điểm B cách nhau 36km trong một thời  
gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ  18 phút. Do đó  
để đến B đúng hạn, người đó đã tăng thêm vận tốc 2km trên quãng đường còn lại. Tính vận  
tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.
TL 5.4  Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau  
khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn,  
xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
 TL 5. 5
    Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định. Khi đi được  quãng  
đường AB, người đó dừng xe nghỉ  12 phút. Để  đảm bảo đến B đúng thời gian dự  định,  
người đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của  
người đi xe máy đó.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 24


CHUN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
TN 1.1  Cho hàm số y = (–m2 – 1)x2. Với x < 0 thì hàm số trên:
A. Ln nghịch biến với mọi m thuộc R.
B. Ln đồng biến với mọi m thuộc R.
C. Nghịch biến khi m < –1
D. Đồng biến khi m > –1
TN 1.2  : Với x > 0 . Hàm số y = (m2 +3) x2 đồng biến khi m :
A. m > 0
  B. m 0
   C. m < 0
    D. Với mọi m 

2
TN 2.1  Cho phương trình x  – (a + 1)x + a = 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm là:
A. x1 = 1; x2 = – a
 B. x1 = –1; x2 = – a    C. x1 = –1; x2 =  a     D. x1 = 1; x2 =  a
TN 3.1  Cho hai số u và v thỏa mãn điều kiện u + v = 5; u.v = 6. Khi đó u, v là hai nghiệm của 
phương trình
A. x2 + 5x + 6 = 0

B. x2 – 5x + 6 = 0

C. x2 + 6x + 5 = 0

D. x2 – 6x + 5 = 0

TN 3.2  Phương trình mx2 – 3x + 2m + 1 = 0 có một nghiệm x = 2. Khi đó m bằng
A. 

B. 

C. 

D. 

C. m  4.

D. m > – 4

TN 4.1  Phương trình  có nghiệm khi:
A. m – 4

B. m < 4.

TN 4.2  Cho phương trình x2 – 3ax + 2a2 – a – 1=0 (a là tham số). Khẳng định nào sau đây là sai?
a.A. Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của a
a.B. Phương trình vơ nghiệm nếu a + 2 < 0.
a.C. Phương trình có hai nghiệm là 2a  + 1 và a – 1 nếu a –2.
a.D. Phương trình có nghiệm kép là –3 khi và chỉ khi a = – 2.
TN 5.1  Phương trình nào sau đây có hai nghiệm dương?
A. x2 – 2x + 4 = 0

  B. 2x2 – 3x + 1 = 0      C. x2 + 3x + 4 = 0        D. 2x2 + 7x + 4 = 0

TN 5.2   Cho pt x2 – mx +m – 2 = 0. Giá trị của m để pt có hai nghiệm dương là:
A. m > 0
B. m < 2
C. m > 2
      D. 0 < m < 2
TN 6.1  Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 5x – 4 = 0. Khi đó giá trị của biểu thức  là:
A. 33

B. 17

C. –17

2.  HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN 
2.1. TỰ LUẬN
TL 1.1  Hàm số y = x2
Bảng giá trị

 25

x

– 
2

– 
1

0

1

2

y = x2

4

1

0

1

4

   D. –33