Chuyên đề hàm số bậc ba

Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Hàm số bậc 3
1. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2) Tìm k để phơng trình: -x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
2. Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
+ m (1)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 .
3. Cho hàm số: y =

xxx 32
3
1
23
+
(1) có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến
của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4. Cho hàm số y = x
3
- 3mx
2
+ 9x + 1 (1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1.
5. Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số: y =
3 2
1 1
3 2 3
m
x x +
(*) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2
2. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m

) tại điểm
M song song với đờng thẳng 5x - y = 0.
6. Cho hàm số: y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m + =
.
7. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
8. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
-1)x - 3m
2
- 1 (1) m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

cách đều gốc toạ đọ O.
9. Cho hàm số: y =
3
1
22
3
1
23
+
mxmxx
(1) (m là tham số)
1) Cho m =
2
1
GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
1
Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng d: y = 4x + 2.
2) Tìm m thuộc khoảng






6
5
;0

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và
các đờng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
10. Cho hàm số: y = (x - m)
3
- 3x (m là tham số)
1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
3) Tìm k để hệ bất phơng trình sau có nghiệm:
( )





+
<
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xlogxlog
kxx
11.a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =

xxx 32
3
1
23
+
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.
12. Cho hàm số: y = (x - 1)(x
2
+ mx + m) (1) (m là tham số)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4.
13. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số: y = 2x
3
- 3x
2
- 1
b/ Gọi d
k
là đờng thẳng đi qua điểm M(0 ; -1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đờng
thẳng d
k
cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
14. Cho hàm số: y = x
3
- 3mx + 2 có đồ thị là (C
m
) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số khi m = 1.

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
1
) và trục hoành.
3) Xác định m để (C
m
) tơng ứng chỉ có một điểm chung với trục hoành.
15. Cho hàm số: y = x
3
- mx
2
+ 1 (C
m
)
1) Khi m = 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
2) Xác định m để đờng cong (C
m
) tiếp xúc với đờng thẳng (D) có phơng trình
y = 5. Khi đó tìm giao điểm còn lại của đờng thẳng (D) với đờng cong (C
m
).
16. Cho hàm số: y = x
3
- 3mx
2
+ 3(2m - 1)x + 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
2

Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
2) Xác định m sao cho hàm số (1) đồng biến trên tập xác định.
3) Xác định m sao cho hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Tính toạ độ của điểm
cực tiểu.
17. Cho hàm số: y = x
3
- (2m + 1)x
2
- 9x (1)
1) Với m = 1;
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Cho điểm A(-2; -2), tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm A qua tâm đối xứng của đồ
thị (C).
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ
lập thành một cấp số cộng.
18. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k. Xác định k để (d) cắt đồ thị hàm
số (1) tại ba điểm phân biệt.
19. Cho hàm số: y =
( ) ( )
431
3
1
23
+++ xmxmx

(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng: 0 < x < 3
20. Cho đờng cong (C
m
): y = x
3
+ mx
2
- 2(m + 1)x + m + 3, đờng thẳng (D
m
): y = mx - m + 2
m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
-1
) của hàm số với m = -1.
2) Với giá trị nào của m, đờng thẳng (D
m
) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt?
21. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
- 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm t để phơng trình:
023
2

23
=+
tlogxx
có 6 nghiệm phân biệt.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
xx
x
32
3
2
3
+
2) Dựa và đồ thị (C) ở Câu trên, hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng
trình:
mee
e
xx
x
=+
32
3
2
3
.
22. Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành.

GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
3
Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m. Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đ-
ờng cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng.
23. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)
2
(x - 2).
2/ Cho đờng thẳng đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k. Hãy xác định tất cả giá trị
của k để đờng thẳng cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt: y =
23
3

xx
.
24. Cho hàm số: y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1.
a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau
qua đờng thẳng y = x + 2.
b) (C
0
) là đồ thị hàm số ứng với m = 0. Tìm điều kiện của a và b để đờng thẳng
y = ax + b cắt (C
0
) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. Khi đó chứng minh rằng đ-

ờng thẳng y = ax + b luôn đi qua một điểm cố định.
25. Cho hàm số: y = f(x) = x
3
+ ax + 2, (a là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
2) Tìm giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
26. Cho hàm số: y = x
3
- x
2
- x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
( )
mxx
=+
11
2
.
27. Cho hàm số: y = x
3
+ 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x + m
3
- 3m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.
2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời

chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy
trên hai đờng thẳng cố định.
28. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m
1) Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 1).
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = -1.
29. Cho hàm số: y = f(x) = -x
3
+ 3mx - 2 (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác định các giá trị của m để bất phơng trình: f(x) -
3
1
x
đợc thoả mãn x 1.
30. Cho hàm số: y = x
3
- 6x
2
+ 9x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các đờng thẳng đi qua điểm A(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
31. Cho hàm số: y = x
3
+ mx
2
+ 9x + 4 (1) (m là tham số)

GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
4
Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. Khi đó hãy chỉ ra số giao
điểm của đồ thị với trục Ox .
2) Tìm điều kiện của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) có một cặp điểm đối xứng
với nhau qua gốc toạ độ.
32. Cho hàm số: y = x
3
- 6x
2
+ 9x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y =
xxx 96
23
+

b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
0396
23
=++
mxxx
33. Cho hàm số: y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Lập pt đờng thẳng đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1).

3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đờng thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đờng thẳng y = kx (k cho trớc)? Biện luận
theo k số giá trị của m.
33. 1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x
3
+ ax
2
+ bx + c cắt trục hoành tại 3
điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
2) Cho hàm số: y = x
3
- 3mx
2
+ 2x(m - 4)x + 9m
2
- m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau
34. Cho hàm số: y = x
2
(m - x) - m (1)
1) CMR đờng thẳng: y = kx + k + 1 luôn cắt đờng cong (1) tại một điểm cố định.
2) Tìm k theo m để đờng thẳng cắt đờng cong (1) tại ba điểm phân biệt.
3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2.
35. Cho hàm số: y = 4x
3
+ (a + 3)x
2
+ ax
1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
2) Xác định a để

y
1 khi
x
1.
36. Cho các đờng: y = -
x
x
3
3
3
+
(P) và y = m(x - 3) (T)
1) Tìm m để (T) là tiếp tuyến của (P).
2) Chứng minh rằng họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
3) Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T). Hãy tìm m để OB OC (O là gốc toạ độ).
37. Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
- 9x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
5