Chuyên đề hàm số bậc 2

Trang 1
HÀM SỐ
2
, 0y ax a= ≠
1. Tính chất hàm số
2
, 0y ax a= ≠
:
 Nếu
0a
>
thì hàm số nghịch biến khi
0x
<
và đồng biến khi
0x
>
.
 Nếu
0a <
thì hàm số đồng biến khi
0x <
và nghịch biến khi
0x >
.
Ví dụ 1 : Cho hàm số
2
y x=
lập bảng tính giá trị của hàm số
y
tương ứng với các giá trị của

1 1
2; 1; ;0; ;2;3;9
2 3
x = − − −
.
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
3
2 3 9
2
y x=
4 1
1
4
0
1
9
4 9 81
Ví dụ 2 : Cho hàm số
2
3y x=
lập bảng tính giá trị của hàm số
y

tương ứng với các giá trị
của
1 1
2; 1; ;0; ;2;3;9
2 3
x = − − −
.
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
3
2 3 9
2
3y x=
12 3
3
4
0
1
3
12 27 243
Ví dụ 3 : Cho hàm số
2
3

2
y x= −
lập bảng tính giá trị của hàm số
y
tương ứng với các giá trị
của
1 1
2; 1; ;0; ;2;3;9
2 3
x = − − −
.
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
3
2 3 9
2
3
2
y x=
6
3
2
3

8
0
1
6
6
27
2
81
2
2. Đồ thị hàm số
2
, 0y ax a= ≠
: là một đường cong đi qua gốc tọa độ
( )
0;0O
và nhận trục
Oy
làm trục đối xứng; đường cong đó có tên là parabol.
 Nếu
0a
>
thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và
( )
0;0O
là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu
0a
<
thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và
( )

0;0O
là điểm cao nhất của đồ thị.

Trang 2
Ví dụ 1 : Vẽ đồ thị hàm số
2
y x=
.
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
y x=
4 1
1
4
0
1
4
1 4 9
Ví dụ 2 : Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị các hàm số :
2
2y x=

và
2
3y x=
.
So sánh và có kết luận gì ?
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
2y x=
8 2
1
2
0
1
2
2 8 18
2
3y x=
12 3
3
4

0
3
4
3 12 27
Đồ thị hàm số
2
3y x=
bao giờ cũng nằm trên đồ thị hàm số
2
2y x=
.
Khi
a b>
thì đồ thị hàm số
2
y ax=
bao giờ cũng nằm trên đồ thị
hàm số
2
y bx=
.
Ví dụ 3 : Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị các hàm số :
2
3y x=
và
2
3y x= −
.
So sánh và có kết luận gì ?
Bài giải

x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
3y x=
12 3
3
4
0
3
4
3 12 27
2
3y x= − 12−
3−
3
4
−
0
3
4
−
3−

12−
27−
Đồ thị hàm số
2
3y x=
bao giờ cũng đối xứng với đồ thị hàm số
2
3y x= −
qua
trục hoành Ox.
Đồ thị hàm số
2
y ax=
bao giờ cũng đối xứng với đồ thị hàm số
2
y ax= −
qua
trục hoành Ox.
Ví dụ 4 : Xác định hệ số a của hàm số
2
y ax=
biết :
a) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
3;12A
.
b) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
2;3B −
.

Trang 3
Bài giải
a) Đồ thị hàm số
2
y ax=
đi qua điểm
( )
3;12A
ta có
2
12 .3a=
⇔
12 4
9 3
a = =
.
b) Đồ thị hàm số
2
y ax=
đi qua điểm
( )
2;3B −
ta có
( )
2
3 . 2a= −
⇔
3
4
a =

.
Ví dụ 5 : Cho hàm số
2
0,2y x=
.
a) Biết điểm
( )
2;A b−
thuộc đồ thị, hãy tính b ? Điểm
( )
' 2;A b
có thuộc đồ thị không ? Vì sao
?
b) Biết điểm
( )
;6B b
thuộc đồ thị, hãy tính b ? Điểm
( )
; 6C b −
có thuộc đồ thị không ? Vì sao
?
Bài giải
a) Biết điểm
( )
2;A b−
thuộc đồ thị hàm số
2
0,2y x=
, ta có
( )

2
0,2 2 0,8b = − =
.
Điểm
( )
' 2;A b
cũng thuộc đồ thị
2
0,2y x=
. Vì
'A
đối xứng với A qua trục tung.
b) Biết điểm
( )
;6B b
thuộc đồ thị hàm số
2
0,2y x=
, thì
2
6 0,2b=
⇔
2
30b =
⇔
30b = ±
.
Điểm
( )
; 6C b −

không thuộc đồ thị
2
0,2y x=
. Vì
( )
; 6C b −
đối xứng với B qua trục hoành.
Ví dụ 6 : Cho hai hàm số
2
0,2y x=
và
y x=
.
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số.
b) Tìm tọa độ của các giao điểm.
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
0,2y x=
0,8
0,2 0,05

0
0,05 0,2
0,8
1,8
y x=
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
0,2y x=
và
y x=
là nghiệm của hệ phương trình
2
0,2
y x
y x
=


=

⇔

2
0,2 0
y x
x x
=


− =

⇔
1
2
0
5
y x
x
x
=


=




=


⇔
1

1
2
2
0
0
5
5
x
y
x
y
 =



=


=




=


.
Ví dụ 7 : Cho hàm số
2
3y x=

và
y x=
.
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số.
b) Tìm tọa độ của các giao điểm.
Trang 4
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
3y x=
12 3
3
4
0
3
4
3 12 27
y x=
2−
1−
1

2
−
0
1
2
1 2 3
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
3y x=
và
y x=
là nghiệm của hệ phương trình
2
3
y x
y x
=


=

⇔
2
3 0
y x
x x
=


− =


⇔
1
2
0
1
3
y x
x
x
=


=






=



⇔
1
1
2
2
0

0
1
3
1
3
x
y
x
y

=



=





=





=





.
LUYỆN TẬP
Bài 1 : Cho hàm số
2
2y x=
lập bảng tính giá trị của hàm số
y
tương ứng với các giá trị của
1 1 1 1
2; 1; ; ;0; ; ;2;5
2 3 4 3
x = − − − −
.
Bài 2 : Cho hàm số
2
4
3
y x= −
lập bảng tính giá trị của hàm số
y
tương ứng với các giá trị
của
1 1 1 1
2; 1; ; ;0; ; ;2;5
2 3 4 3
x = − − − −
.
Bài 3 : Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị các hàm số :
2

4y x=
và
2
5y x= −
.
Bài 4 : Xác định hệ số a của hàm số
2
y ax=
biết :
a) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
2;2A −
. b) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
2;5B −
.
Bài 6 : Cho hai hàm số
2
0,3y x= −
và
y x=
.
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số.
b) Tìm tọa độ của các giao điểm.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Nghiệm-tập nghiệm của phương trình
 Giá trị
0
x x=
làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì

0
x x=
là một
nghiệm của phương trình.
Trang 5
 Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình, ký
hiệu là S.
 Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm, nghĩa là
S
φ
=
.
 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn gọi là phương trình có vô số nghiệm,
nghĩa là
S R
=
.
2. Các phép biến đổi phương trình
 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình mà đổi dấu là phép
biến đổi tương đương.
 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số ( hoặc cùng một biểu
thức ) khác O thì được một phương trình mới tương đương.
 Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức là những phép biến đổi
không tương đương.
3. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn số
x
là phương trình có dạng
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠

.
Ví dụ 1 : Giải phương trình, bằng cách biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
a)
2
3 2 0x x− + =
b)
2
3 0m m+ =
c)
2
4 9 0t − =
d)
2
2 3 0x x+ + =
e)
2
6 5 0x x− + =

f)
2
3 7 0x x− − =
g)
2
3 12 1 0x x− + =
h)
2
3 6 5 0x x− + =
.
Bài giải
2
0ax bx c+ + =
⇔
2 2
2
2
2 2 2
b b b c
x x
a a a a
   
+ + = −
 ÷  ÷
   
⇔
2
2
2
4

2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
.
a)
2
3 2 0x x− + =
⇔
2 2
2
3 3 3
2 2
2 2 2
x x
   
− + = −
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
3 1
2 2
x
   

− =
 ÷  ÷
   
Hoặc là
3 1
2 2
x − =
⇔
3 1
2
2 2
x = + =
hoặc là
3 1
2 2
x − = −
⇔
3 1
1
2 2
x = − =
.
b)
2
3 0m m+ =
⇔
( )
3 0m m + =
⇔
1 2

0; 3m m= = −
.
c)
2
4 9 0t − =
⇔
2
9
4
t =
⇔
9 3
4 2
t = ± = ±
.
d)
2
2 3 0x x+ + =
⇔
2 2
2.1 1 2x x+ + = −
⇔
( )
2
1 2x + = −
: phương trình vô nghiệm.
e)
2
6 5 0x x− + =
⇔

2 2 2
2.3 3 3 5x x− + = −
⇔
( )
2
2
3 2x − =
⇔
3 2
3 2
x
x
− =


− = −

⇔
1
2
5
1
x
x
=


=

.

f)
2
3 7 0x x− − =
⇔
2 2
2
3 3 3
2. 7
2 2 2
x x
   
− + = +
 ÷  ÷
   
⇔
2
2
3 37
2 2
x
 
− =
 ÷
 
⇔
3 37
2
x
±
=

.
g)
2
3 12 1 0x x− + =
⇔
2 2 2
1
2.2 2 2
3
x x− + = −
⇔
( )
2
11
2
3
x − =
⇔
11
2
3
x = ±
.
h)
2
3 6 5 0x x− + =
⇔
2
5
2 0

3
x x− + =
⇔
2 2
5
2 1 1
3
x x− + = −
⇔
( )
2
2
1
3
x − = −
pt vô nghiệm.
Trang 6
CÔNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
1. Phương trình bậc hai khuyết

2
0ax =
⇔
2
0x =
⇔
1 2

0x x= =
.

2
0ax bx+ =
⇔
( )
0x ax b+ =
⇔
1
2
0x
b
x
a
=



= −


2
0ax c+ =
⇔
2
c
x
a
= −

⇔
1/ 2
0 : _
0 :
ac Vo nghiem
c
ac x
a
>



< = ± −


.
2. Phương trình bậc hai đủ
( )
2
0, 1ax bx c+ + =
a) Nhẩm nghiệm ( nếu được )
 Nếu
0a b c+ + =
thì
1
1x =
;
2
c
x

a
=
.
 Nếu
0a b c− + =
thì
1
1x = −
;
2
c
x
a
= −
.
b) Nếu b là số chẵn : tính
'
2
b
b =
và tính
2
' 'b ac∆ = −
( gọi là biệt số thu gọn của pt bậc 2).
 Nếu
' 0
∆ >
phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt :
1
' 'b

x
a
− + ∆
=
,
2
' 'b
x
a
− − ∆
=
.
 Nếu
' 0
∆ =
phương trình bậc 2 có nghiệm kép :
1 2
'b
x x
a
= = −
.
 Nếu
' 0∆ <
phương trình bậc 2 vô nghiệm.
c) Nếu b là số lẻ : tính
2
4b ac∆ = −
( gọi là biệt số của phương trình bậc 2).
 Nếu

0∆ >
phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt :
1/ 2
2
b
x
a
− ± ∆
=
.
 Nếu
0∆ =
phương trình bậc 2 có nghiệm kép :
1 2
2
b
x x
a
= = −
.
 Nếu
0
∆ <
phương trình bậc 2 vô nghiệm.
Ghi nhớ : Phương trình bậc hai
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
bao giờ cũng có hai nghiệm phân biệt
khi hai hệ số a và c trái dấu nhau.
Ví dụ 2 : Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt số và xác định số

nghiệm của phương trình :
a)
2
3 5 0x x− =
b)
2
2 7 3 0x x− + =
c)
2
4 3 5 0x − =

d)
2
5 2 10 2 0x x+ + =
e)
2
1 2
7 0
2 3
x x+ + =
f)
2
1,7 1,2 2,1 0x x− − =
Bài giải
a)
2
3 5 0x x+ =
ta có
3, 5, 0a b c= = =
phương trình bậc hai khuyết c.

b)
2
2 7 3 0x x− + =
ta có
2, 7, 3a b c= = − =
.
Trang 7
( )
2
2
4 7 4.2.3 25b ac∆ = − = − − =
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c)
2
4 3 5 0x − =
ta có
4, 0, 3 5a b c= = = −
. Phương trình bậc hai khuyết b.
d)
2
5 2 10 2 0x x+ + =
ta có
5, 2 10, 2a b c= = =
.
( )
2
2
4 2 10 4.5.2 0b ac∆ = − = − =
phương trình có nghiệm kép.
e)

2
1 2
7 0
2 3
x x+ + =
ta có
1 2
, 7,
2 3
a b c= = =
.
( )
2
2
1 2 2
4 7 4. . 47
2 3 3
b ac∆ = − = − =
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
f)
2
1,7 1,2 2,1 0x x− − =
ta có
1,7, 1,2, 2,1a b c= = − = −
.
( ) ( )
2
2
4 1,2 4.1,7. 2,1 15,72b ac∆ = − = − − − =
phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3 : Giải phương trình
a)
2
3 5 0x x− =
b)
2
4 9 0x − =
c)
2
3 5 0x + =

d)
2
2 7 3 0x x− + =
e)
2
6 5 0x x+ + =
f)
2
6 5 0x x+ − =

g)
2
3 5 2 0x x+ + =
h)
2
8 16 0y y− + =
k)
2
16 24 9 0z z+ + =

.
Bài giải
a)
2
3 5 0x x− =
⇔
1
0x =
;
2
5
3
x =
. b)
2
4 9 0x − =
⇔
1/ 2
9 3
4 2
x = ± ±
c)
2
3 5 0x + =
do a và c cùng dấu nên phương trình vô nghiệm.
d)
2
2 7 3 0x x− + =
vì
( )

2
2
4 7 4.2.3 25b ac∆ = − = − − =
nên
( )
1/ 2
7 25
7 5
2 2.2 2.2
b
x
a
− − ±
− ± ∆ ±
= = =
⇔
1
12
3
4
x = =
;
2
2 1
4 2
x = =
.
e)
2
6 5 0x x+ + =

vì
2
1 4.6.5 119 0∆ = − = − <
nên phương trình vô nghiệm.
f)
2
6 5 0x x+ − =
vì
( )
2 2
1 4.6. 5 121 11∆ = − − = =

nên
1/ 2
1 11
2.6
x
− ±
=
⇔
1
12
1
12
x = − = −
;
2
10 5
2.6 6
x = =

.
g)
2
3 5 2 0x x+ + =
vì
2
5 4.3.2 1∆ = − =

nên
1/ 2
5 1
2.3
x
− ±
=
⇔
1
1x = −
;
2
4 2
2.3 3
x
−
= = −
.
h)
2
8 16 0y y− + =
vì

( )
2
8 4.1.16 128∆ = − − =
nên
1/ 2
8 128
2
y
±
=
.
k)
2
16 24 9 0z z+ + =
vì
2
24 4.16.9 0∆ = − =
nên
1 2
24 3
2 2.16 4
b
z z
a
= = − = − = −
Ví dụ 4 : Phương trình tích
( ) ( )
0x a x b− − =
luôn có hai nghiệm
1 2

;x a x b= =
.
Lập phương trình có cặp nghiệm là :
a)
1 2
2; 5x x= =
b)
1 2
1
; 3
2
x x= − =
c)
1 2
0,1; 0,3x x= = −
d)
1 2
1 2; 1 2x x= − = +

Bài giải
Trang 8
a) với
1 2
2; 5x x= =
thì phương trình là
( ) ( )
2 5 0x x− − =
⇔
2
7 10 0x x− + =

.
b)
1 2
1
; 3
2
x x= − =
ph trình là
( )
1
3 0
2
x x
 
+ − =
 ÷
 
⇔
2
1 3
3 0
2 2
x x x− + − =
⇔
2
2 5 3 0x x− − =
.
c)
1 2
0,1; 0,3x x= = −

phương trình là
( ) ( )
0,1 0,3 0x x− + =
⇔
2
0,2 0,03 0x x+ − =
.
d)
1 2
1 2; 1 2x x= − = +
phương trình là
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2 0x x− − − + =
⇔
2
2 1 0x x+ − =
.
Ví dụ 5 : Giải phương trình
2
2 3 0x x+ − =
bằng đồ thị.
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số
2
2y x=
và
3y x= − +
.

b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích tại sao các hoành độ này đều là
nghiệm của phương trình đã cho.
c) Dùng công thức nghiệm giải phương trình, so sánh các kết quả tìm được.
Bài giải
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số
2
2y x=
và
3y x= − +
.
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
2y x=
8
2
1
2
0
1
2
2

8
18
3y x= − +
5 4
1
3
2
3
5
2
2 1 0
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
2y x=
và
3y x= − +
là
1
1x =
;
2
3
2
x = −
.
1
1x =
;
2
3

2
x = −
là nghiệm của phương trình hoành độ
2
2 3 0x x+ − =
.
c) Dùng công thức nghiệm giải phương trình :
2
2 3 0x x+ − =
Vì
( )
2 2 2
4 1 4.2. 3 25 5b ac∆ = − = − − = =
nên
1/ 2
1 5
2 2.2
b
x
a
− ± ∆ − ±
= =
⇔
1
1x =
;
2
3
2
x = −

.
Hai cách giải cho ta kết quả như nhau.
Bài tập 5 : Với giá trị nào của
x
thì giá trị của hai hàm số bằng nhau :
a)
2
1
2
y x=
và
2 3y x= −
a)
2
1
2
y x= −
và
8y x= −
.
Ghi nhớ : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
( )
y f x=
,
( )
y g x=
là nghiệm của
phương trình
( ) ( )
f x g x=

và ngược lại.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
a)
2
5 6 1 0x x− − =
b)
2
3 14 8 0x x− + − =
c)
2
7 4 3x x− + =
d)
2
9 6 1 0y y+ + =

Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
2 2
3 2 3x x x− = +
b)
( )
( ) ( )
2
2 2 1 1 1x x x− − = − +
c)
( )
2
3 3 2 1x x+ = +
d)
( ) ( )

2
0,5 1 1x x x+ = −

Trang 9
4. Phương trình có hệ số bằng chữ
Giải và biện luận phương trình :
2
0ax bx c+ + =
, (1).
 Nếu
0a =
, phương trình (1) về dạng
0bx c+ =
, (1).
o Nếu
0b =
và
0c
=
thì phương trình (1) có vô số nghiệm
x
.
o Nếu
0b =
và
0c ≠
thì phương trình (1) có vô nghiệm.
o Nếu
0b ≠
thì phương trình (1) có duy nhất một nghiệm

b
x
a
= −
.
 Nếu
0a ≠
,
0b c= =
phương trình (1) ở dạng
2
0ax =
⇔
1 2
0x x= =
.
 Nếu
0a ≠
,
0b =
,
0c ≠
phương trình (1) ở dạng
2
0ax c+ =
:
o a và c cùng dấu phương trình (1) vô nghiệm.
o a và c trái dấu phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau
1 2
;

c c
x x
a a
= − = − −
.
 Nếu
0a
≠
,
0b ≠
,
0c
=
phương trình (1) ở dạng
2
0ax bx+ =
⇔
1 2
0;
b
x x
a
= = −
.
 Nếu
0a
≠
,
0b ≠
,

0c
≠
phương trình (1) ở dạng
2
0ax bx c+ + =
, tính
2
4b ac∆ = −
.
o Nếu
0
∆ >
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
1
2
b
x
a
− + ∆
=
,
1
2
b
x
a
− − ∆
=
.
o Nếu

0
∆ =
phương trình bậc 2 có nghiệm kép :
1 2
2
b
x x
a
= = −
.
o Nếu
0∆ <
phương trình bậc 2 vô nghiệm.
Ví dụ 1 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có nghiệm kép ?
a)
2
2 3 1 0x mx− + =
b)
( ) ( )
2
1 2 1 2 0m x m x− + + + =
c)
2
9 4 1 0x mx− + =
d)
2
2 3 0x x m+ − =
e)
2
2 2 0x mx m− + + =

f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
.
g)
2
2 10 1 0x x m− + − =
h)
2
5 12 3 0x x m− + − =
Hướng dẫn
Phương trình
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm kép khi và chỉ khi
0
0
a ≠


∆ =

.
a)
2
2 3 1 0x mx− + =
,
2
9 8m∆ = −
b)

( ) ( )
2
1 2 1 2 0m x m x− + + + =
,
2
' 3m∆ = +
c)
2
9 4 1 0x mx− + =
,
2
' 4 9m∆ = +
d)
2
2 3 0x x m+ − =
,
' 1 3m∆ = +
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
,
( ) ( )
2
' 2 1 2m m m m∆ = − − = + −
f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
,
( )
2

' 2 1m∆ = −
Ví dụ 2 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ?
a)
2
3 0x x m− + =
b)
( )
2
3 2 1 2 0x m x m− + + − =
c)
2
2 3 0x x m+ − =
d)
2
4 3 0mx x m− + =
e)
2
4 2 1 0mx x m− + − =
f)
2
2 4 0x mx m− + − =
.
Trang 10
g)
2 2
2 0x kx k+ − =
h)
2 2
2 0m x mx− + =
.

Hướng dẫn
Phương trình
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0
0
a ≠


∆ >


a)
2
3 0x x m− + =
,
9 4m
∆ = −
b)
( )
2
3 2 1 2 0x m x m− + + − =
,
2
' 4 9m∆ = +
c)
2
2 3 0x x m+ − =
,

' 1 3m
∆ = +
d)
2
4 3 0mx x m− + =
,
2
' 4 3m∆ = −
e)
2
4 2 1 0mx x m− + − =
,
( )
2
' 2 1m∆ = −
f)
2
2 4 0x mx m− + − =
,
2
' 4m∆ = −
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình vô nghiệm ?
a)
2 2
5 1 0m x mx− + =
b)
( )
2
2 3 1 0mx m x m+ − + − =
c)

2
3 2 0x mx+ + =
d)
( )
2
2 1 2 0x m x m− + + − =
e)
( )
2
2 1 1 0mx m x m− + + − =
f)
2
3 5 0mx mx+ + =
g)
2
3 1 0x mx− + =
.
Hướng dẫn
Phương trình
2
0ax bx c+ + =
vô nghiệm khi và chỉ khi
0
0
0
a
b
c
=



=


≠

hoặc
0
0
a ≠


∆ <

.
a)
2 2
5 1 0m x mx− + =
,
2
21m∆ =
b)
( )
2
2 3 1 0mx m x m+ − + − =
,
' 9 5m
∆ = −
c)
2

3 2 0x mx+ + =
,
2
' 9 8m∆ = −
d)
( )
2
2 1 2 0x m x m− + + − =
,
2
4 9m∆ = +
e)
( )
2
2 1 1 0mx m x m− + + − =
,
' 2 2m
∆ = +
f)
2
3 5 0mx mx+ + =
,
2
' 11m∆ = −
g)
2
3 1 0x mx− + =
,
2
' 9 4m∆ = −

.
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có nghiệm ?
a)
( )
2
2 1 2 0mx m x m+ − + + =
b)
( )
2 2
2 4 3 2 1 0x m x m− + + − =
a)
2
2 3 1 0x mx− + =
,
2
9 8m∆ = −
b)
( ) ( )
2
1 2 1 2 0m x m x− + + + =
,
2
' 3m∆ = +
c)
2
9 4 1 0x mx− + =
,
2
' 4 9m∆ = +
d)

2
2 3 0x x m+ − =
,
' 1 3m∆ = +
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
,
( ) ( )
2
' 2 1 2m m m m∆ = − − = + −
f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
,
( )
2
' 2 1m∆ = −
Trang 11
Ph trình
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm khi và chỉ khi
0a b c= = =
hoặc
0
0
a
b
=



≠

hoặc
0
0
a ≠


∆ ≥

.
Ví dụ 5 : Giải và biện luận phương trình
a)
2 2
2 0x mx m− + =
b)
2
2 3 0x x m+ − =
c)
2
2 4 0x mx− + =
d)
2
2 3 0x x m+ − =
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
f)

2
4 2 1 0mx x m+ + − =
i)
( )
2 1 3m x x− = +
j)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +

k)
( )
2 3m mx x− = +
l)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
.
Hướng dẫn
a)
2 2
2 0x mx m− + =
,
2
7m∆ = −
b)
2
2 3 0x x m+ − =
,
' 1 3m
∆ = +
c)

2
2 4 0x mx− + =
,
2
' 4m∆ = −
d)
2
2 3 0x x m+ − =
,
' 1 3m
∆ = +
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
,
( ) ( )
2
' 2 1 2m m m m∆ = − − = + −
f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
,
( )
2
' 2 1m∆ = −
i)
( )
2 1 3m x x− = +
j)
( ) ( )

3 2 2 3m mx x− = +

k)
( )
2 3m mx x− = +
l)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
.
Bài tập 1 : Cho phương trình
( )
2
2 4 0x m n x n− + + =
, ( m, n là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
b) Tính giá trị của m, n để phương trình có nghiệm kép bằng 2.
Bài tập 2 : Cho phương trình
2 2
2 4 0x ax a− + − =
, (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình (1). Không giải phương trình hãy tính theo a giá
trị của biểu thức : a)
2 2

1 2
x x+
b)
2 2
1 2
x x−
c)
3 3
1 2
x x−
d)
1 2
1 1
x x
+
.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình bậc 2 :
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
thì
1 2
1 2

.
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


.
Ví dụ 1 : Không giải phương trình hãy điền thêm vào chỗ trống ( ... ).
a)
2
2 17 1 0x x− + =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
;

b)
2
5 35 0x x− − =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
;
c)
2
8 1 0x x− + =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
;
d)
2
25 10 1 0x x+ + =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
.
Trang 12
Ví dụ 2 : Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình
a)
2
4 2 5 0x x+ − =
b)
( )
2 2
2 1 0x m x m+ − + =

c)
( )
2
2 3 4 2 3 0x x− + + + =
b)
2
5 2 0x x+ + =

2
1,4 3 1,2 0x x− + =
Ví dụ 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. Tính tổng, tích các nghiệm theo m.
a)
2
2 0x x m− + =

b)
2
9 12 4 0x x− + =
c)
2
5 2 0x x+ + =
d)
2
159 2 1 0x x− − =
.
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 ( nếu được )
Nếu
0a b c+ + =
thì ph trình bậc hai
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
có 2 nghiệm
1
1x =
;
2
c
x
a
=
.
Nếu
0a b c− + =
thì ph trình bậc hai
2

0, 0ax bx c a+ + = ≠
có 2 nghiệm
1
1x = −
;
2
c
x
a
= −
.
Ví dụ 1 : Nhẩm nghiệm phương trình
a)
2
2007 2006 0x x− + =
b)
2
2 5 3 0x x+ + =
c)
2
6 0x x+ − =
d)
2
7 12 0x x+ + =
e)
2
6 8 0x x− + =
b)
2
12 32 0x x− + =

c)
2
3 10 0x x− − =
d)
2
3 10 0x x+ + =
a)
2
2 3 1 0x x− + =
⇔
1
1x =
,
2
1
2
x =
b)
2
2 1 0x x− − =
⇔
1
1x =
,
2
1
2
x = −
c)
2

2 1 0x x+ − =
⇔
1
1x = −
,
2
1
2
x =
d)
2
2 3 1 0x x+ + =
⇔
1
1x = −
,
2
1
2
x = −
a)
( )
2
2 2 2 2 0x x− + + =
⇔
1
1x =
,
2
2

2
x =
b)
( )
2
2 2 2 2 0x x+ − − =
⇔
1
1x =
,
2
2
2
x = −
c)
( )
2
2 2 2 2 0x x− − − =
⇔
1
1x = −
,
2
2
2
x =
d)
( )
2
2 2 2 2 0x x+ + + =

⇔
1
1x = −
,
2
2
2
x = −
a)
( )
2
2 2 3 3 0x x− + + =
⇔
1
1x =
,
2
3
2
x =
b)
( )
2
2 3 2 3 0x x+ − − =
⇔
1
1x =
,
2
3

2
x = −
c)
( )
2
2 2 3 3 0x x+ − − =
⇔
1
1x = −
,
2
3
2
x =
d)
( )
2
2 2 3 3 0x x+ + + =
⇔
1
1x = −
,
2
3
2
x = −
Ví dụ 2 : Nhẩm nghiệm phương trình