Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán về cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán ở trường THPT triệu sơn 3

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình
giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đich là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ
bản, hình thành phương pháp giải toán, phát triển tư duy logic, từ đó tạo được thái
độ và động cơ học tập đúng đắn. Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giảng dạy
phù hợp với mỗi nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng. Nó vừa giúp
người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu,
nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh, vừa giúp người học dễ dàng
tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vận dụng vào làm bài thi đạt được
kết quả cao nhất.
Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được
hình thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này
học sinh hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới.
Trong tác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như
dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến
đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với
chúng ta”. Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biết
cách chuyển từ bài toán mới về những bài toán quen thuộc, bài toán “khó” trở về
bài toán “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề về các tình huống đơn
giản là điều rất cần thiết và thiết thực.
Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung
học phổ thông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở
các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho
học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT
áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không
những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương
pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp bài

toán về cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở
trường THPT Triệu Sơn 3’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong
năm học 2019– 2020. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh
giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy, quy lạ về quen
thông qua một lớp các bài toán về cực trị của hàm số nhằm rèn luyện các kỹ năng
toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyết
các tình huống thực tiễn.
- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
1


- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán về cực trị của hàm số
trong
chương trình học lớp 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán
học của học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa
Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài
liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực học sinh, đề minh họa và đề thi THPT Quốc gia của các năm 2016, 2017,
2018, 2019.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp

thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò
quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả
năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết
Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế
giải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh
phát triển tư duy cũng như đam mê học toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện
kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến
kết quả học tập của các em.
Kỹ năng giải toán còn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở
đã có, khả năng quy lạ về quen còn nhiều hạn chế. Do đó học sinh gặp nhiều lúng
túng, sai lầm khi gặp các bài toán có sự thay đổi dạng.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kiến thức cơ bản về cực trị hàm số:

f

Định lý: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng
( a; x0 ) ( x0 ; b )
trên các khoảng

và
. Khi đó :

Nếu

Nếu

 f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( a; x0 )

 f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( x0 ; b )
 f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( a; x0 )

 f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( x0 ; b )

( a; b )

x0

chứa điểm

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

thì hàm số đạt cực đại tại điểm

x0

x0

và có đạo hàm

.

.

Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số
Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp
f ( x)
x0
f '( x )
là điểm cực trị của hàm số
nếu qua
đạo hàm
đổi dấu.
Chú ý : Nếu
1. Điểm

x0

là một điểm cực trị của hàm số

( x0 ; f ( x0 ))

f ( x)

D x0 ∈ D
.

thì:

được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

f ( x)

.
3


2.

y0 = f ( x0 )

được gọi là giá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)

2.3.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng
giải các bài tập liên quan.
2.3.2.1. Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:
Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số
f ( x)
cực trị của hàm số

f ( x)

. Xác định số điểm

Bài tập 1.1: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) [1]
y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ )
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.

2

0
B. .
1
D. .

.

3
C. .

Bài tập 1.2: (Đề minh họa THPTQG năm 2019) [1]
Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đã cho có mấy điểm cực đại?
A.

3.

B.

2.

0

D. .

1
C. .

Dạng 2:Cho đồ thị

f '( x )

. Xác định số điểm cực trị của hàm số

f ( x)

Bài tập 2.1: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) [2]
Cho hàm số
vẽ

y = f ( x)

liên tục trên

¡

. Biết đồ thị của hàm số

y = f ′( x )

như hình

4

y

1
O
−1

Số điểm cực trị của hàm số
A.

4

.

0
B. .

Bài tập 2.2: Cho hàm số

y = f ( x)
C.

2

x

1

là:

.

3
D. .

y = f ( x)

có đạo hàm
y = f ′( x )
liên tục trên R. Đồ thị của hàm số
được cho bởi hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
y = f ( x)
hàm số
là
0
A. 1.
B. .
C.

2

.

3
D. .

Nhận xét: Ở dạng 2 này học sinh thường mắc một số sai lầm:
- Lấy số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)

y = f ′( x )

là số điểm cực trị của hàm số

- Số điểm chung của đồ thị với trục Ox là số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)

Để tránh được những sai lầm, GV nhấn mạnh đối với dạng này ta chỉ cần tìm số
y = f '( x )
Ox
giao điểm của đồ thị
và trục
, không kể các điểm mà đồ thị
y = f '( x )
Ox
tiếp xúc với trục
.
5


Nếu yêu cầu bài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu thì GV hướng dẫn học sinh
y = f ′( x )
lập bảng xét dấu của hàm số
, từ đó đưa ra kết luận.

y = f ′( x )

Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị
có thể dựa theo nguyên tắc:

y = f ′( x )
( a; b )
Ox
Trên khoảng
đồ thị
nằm phía trên trục
thì trên khoảng đó
y = f ′( x )
( a; b )
đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng
đồ thị
nằm phía dưới
Ox
trục
thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm. Tại “điểm nối” giữa hai
khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.

f '( x)

Dạng 3: Cho biểu thức của

. Xác định số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)

Bài tập 3.1: Cho hàm số
có đạo hàm
y = f ( x)
điểm cực trị của hàm số
là:

A.

4

B.

3

C.

5

Bài tập 3.2: Cho hàm số
có đạo hàm
y = f ( x)
điểm cực trị của hàm số
là:
A.

4

B.

3

C.

5

Bài tập 3.3: Cho hàm số

có đạo hàm
y = f ( x)
x ∈ R.
Hàm số
đạt cực đại tại

x = 0.

B.

x = 1.

Bài tập 3.4: Cho hàm số
điểm cực đại của hàm số
A.

4

B.

3

y = f ( x)
y = f ( x)

C.

có đạo hàm

. Số

2

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( 3 − x )

x = 2.

. Số

2

f ′ ( x ) = x 2 ( x + 3) ( x 2 − 5 )

D.

y = f ( x)

A.

f ′ ( x ) = x ( x + 3) ( 2 x 2 − 5 )

D.

y = f ( x)

f ( x)

D.

với mọi

x = 3.

f ′ ( x ) = ( x − 1) 2 ( x − 3) ( x 2 − 5 )

. Số

là:
C.

5

D.

2

6


Nhận xét: Ở dạng 3, giáo viên cần chú ý cho học sinh qua nghiệm kép của pt
f ′( x ) = 0
f ′( x )
thì
không đổi dấu; khi đó giá trị nghiệm kép không được gọi là
điểm cực trị.
2.3.2.2. Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho
vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học
sinh; từ đó định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng
toán.
Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về

lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải
là ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải
qua quá trình tích cực suy nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt
động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có…
Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã
có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin
rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết
được.

f '( x )
f '( x )
Dạng 1: Cho đồ thị
hoặc BBT của hàm số
. Xác định số điểm cực
f u ( x )  .
trị của hàm số
f '( x )

Từ dạng bài tập cho đồ thị
. Xác định số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)
f '( x )
f '( x )
, GV mở rộng vấn đề cho đồ thị
hoặc BBT của hàm số
.
f u ( x )  .
Xác định số điểm cực trị của hàm số
Bài tập 1.1: (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh
y = f ( x)

y
Hóa) [2] . Cho hàm số
xác định và có đạo
hàm
1
y = f '( x )
x
-1
o
1
2
¡
trên . Biết đồ thị của hàm số
-1
y = f '( x )
như hình vẽ dưới.
g ( x ) = f ( 2 x − 1)
Số điểm cực trị của hàm số
là
0
2
A. .
B. .
3
1
C. .
D. .
-2

-4

7


Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

 f ( 2 x − 1) 

- Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu của
sau:

'

ta có thể thực hiện như

 f ( 2 x − 1)  = ( 2x − 1) '. f ' ( 2 x − 1) = 2. f ' ( 2 x − 1)
'

•
•

Sử dụng công thức:
.

 2 x − 1 = −1 ⇔ x = 0 (nghiem kep)
 f ( 2x − 1)  ' = 0 ⇔ f ' ( 2 x − 1) = 0 ⇔ 
2 x − 1 = 2 ⇔ x = 3

2

 f ( 2 x − 1)  = 2. f ' ( 2 x − 1)
'

•

Xét dấu

Ví dụ trên khoảng

3

 ;+ ∞ ÷
2


- Từ đó ta có bảng xét dấu của
−∞
x
−
g '( x )

- Vậy hàm số

y = f ( 2 x − 1)

( số điểm cực trị của hàm số

cho

x=2

trên các khoảng.
ta có:

g ' ( x ) =  f ( 2 x − 1) 
0
0

−

g ' ( 2 ) = 2. f ' ( 3) > 0

'

như sau

+∞

3/2

+

0

x=
có 1 điểm cực trị (cực đại) tại

y = f ( 2 x − 1)

3

2

. Chọn D.

bằng số điểm cực trị của

y = f ( x)

)

y

x

O

f ( x)

f ′( x )

Bài tập 1.2: Cho hàm số
có đồ thị
của
y = f ( x − 2020 )
K,
K
nó trên khoảng
như hình vẽ. Khi đó trên
hàm số
có bao

nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B. 4.
8


C. 3.

D . 2.

( số điểm cực trị của hàm số
)

y = f ( x − 2020 )

bằng số điểm cực trị của

y = f ( x)

y = f ( x ) y = f ( ax + b )
Nhận xét: Với
, số cực trị của các hàm số
,
y = f ( ax − b )
x0
và
là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị
khác nhau mà thôi. Tuy nhiên, với cách suy luận này thì các em chưa thấy rõ
được mấu chốt của vấn đề. Ví dụ ta chỉ cần thay đổi yêu cầu của bài là xác định

y = f ( ax − b ) y = f ( ax + b )
số điểm cực tiểu, cực đại của hàm số
,
; nếu không
hiểu rõ bản chất là các em chọn sai đáp án. Để hiểu rõ hơn, GV giới thiệu cho
học sinh một số bài tập sau:

a ≠ 0, b > 0

Bài tập 1.3: ( Đề thi thử THPTQG năm 2019Trường THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh) [2]

y = f ( x) .

y = f ′( x )

Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( x 2 − 3) .
A.
C.

2.
4.

B.
D.

3.
1.

Phân tích và lựa chọn đáp án:
Ta có

g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 3) ;

9


x = 0
x = 0

theo do thi f '( x )
g′ ( x ) = 0 ⇔ 
¬ 
→  x 2 − 3 = −2
2
 f ′ ( x − 3) = 0
 x 2 − 3 = 1 ( nghiem kep )

x = 0

⇔  x = ±1
.
 x = ±2 ( nghiem kep )

g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 3)

Xác định dấu của
bằng cách chọn một khoảng bất kì, ví dụ

g ' ( 3) = 2.3. f ' ( 6 ) > 0
( 2;+ ∞ )
x=3
khoảng
lấy
ta có:
.
Nhận thấy các nghiệm

x = ±1

và
x = ±2

x=0

là các nghiệm bội lẻ nên

g′( x )

qua

nghiệm đổi dấu; các nghiệm
là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta
f ′( x )
1
thấy
tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên qua nghiệm
không đổi dấu.

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

y = f ( x)

Bài tập 1.4: [3] Cho hàm số
có đạo
f ( 0 ) < 0, f ( 1) > 0,
R
hàm liên tục trên
và
đồng
y = f ′( x )
thời đồ thị hàm số
như hình vẽ bên. Số
g ( x) = f 2 ( x)
điểm cực trị của hàm số
là
A.
C.

1.
3.

B.
D.

2.
4.

Phân tích và lựa chọn đáp án:

10


Dựa vào đồ thị, ta có

 x = −2
f ′( x ) = 0 ⇔ 
 x = 1 ( nghiem kep )

Bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x) :

Xét

 x = −2

 f ′ ( x ) = 0 theo BBT f ( x )  x = 1 ( nghiem kep )
g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) f ( x ) ; g′ ( x ) = 0 ⇔ 
¬ 
→
.
x
=
a
a
<
−
2

(
)
f
x
=
0
 ( )

 x = b ( 0 < b < 1)

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số

g ( x)

có

3

g ( x)

điểm cực trị. Chọn C.

Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương
pháp cho dạng toán 1:
+ Từ đồ thị hàm số
trục hoành.

f '( x )

hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị

+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của

f '( x )

f '( x )

với

g ( x) = f u ( x )  .
và biểu thức của

g '( x )

để xét dấu

g '( x )

.

11


Nhận xét: Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện
khả năng tìm phương pháp, lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định
trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán. Do vậy, khi dạy học sinh giải toán,
giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết

cách suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải
một bài toán cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến
thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán.
Dạng 2: Cho đồ thị
cực trị của hàm số

f '( x )

hoặc BBT của hàm số
f u ( x )  + v ( x ) .

f '( x )

.

Xác định số điểm

f ( x)

¡
Bài tập 2.1: [3] Cho hàm số
xác định trên
f ′( x )
và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ . Hàm
y = g ( x ) = f ( x ) + 4x
số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Phân tích và lựa chọn đáp án:
Cách 1:

y ' = g '( x ) = f '( x ) + 4
phương

Oy

có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

f '( x )

theo

lên trên 4 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số

g '( x )

Cách 2: Số cực trị của hàm
trình

cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.

g ( x)

bằng tổng số nghiệm đơn và bội lẻ của phương

g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 = 0 ⇔ f ' ( x ) = −4
f '( x )

Dựa vào đồ thị của hàm
ta thấy phương trình
trên có một nghiệm đơn. Vậy hàm sô có 1 cực trị.

12


y = f ( x)

Bài tập 2.2: Cho hàm số
có đạo hàm trên
như hình vẽ bên dưới.Số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( x − 2019 ) − 2020 x + 2021
là
A.

1.

B.

2.

C.

3.

D.

R.

y = f '( x )

Đồ thị hàm số

4.

Phân tích và lựa chọn đáp án:
Cách 1:

y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) − 2020
phương

Oy

có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

f '( x )

theo

xuống dưới 2020 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số

g '( x )

cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.

Cách 2:
Ta có

g ′ ( x ) = f ' ( x − 2017 ) − 2018; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x − 2019 ) = 2020.

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x )

f ' ( x − 2019 ) = 2020

suy ra phương trình
g ( x)
1
nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số
có điểm cực trị. Chọn A.

v( x)

Nhận xét: Cách giải 1 chỉ phù hợp với
là hàm số bậc nhất. Nếu
phải hàm số bậc nhất thì ta nên phân tích bài toán theo cách 2.

v( x)

có

1

không

y = f ( x)

R.
Bài tập 2.3: [3] Cho hàm số
có đạo hàm trên
Đồ thị
y = f ′( x )
hàm số
như hình vẽ bên dưới. Hàm số
3
x
g ( x ) = f ( x ) − + x2 − x + 2
3
đạt cực đại tại
A.
C.

x = −1
x =1

.

.

B.
D.

x=0
x=2

.
.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

13


g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 2 + 2 x − 1; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = ( x − 1) .
2

Ta có

g′( x ) = 0

Suy ra số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
2
f ′( x )
( P ) : y = ( x − 1) .
và parapol

Dựa vào đồ thị ta suy ra

x = 0
g′( x ) = 0 ⇔  x = 1 .

 x = 2

Bảng biến thiên

cực đại tại

x = 1.

Dựa vào bảng biến
g ( x)
thiên ta thấy
đạt
Chọn C.

( −∞;0 )

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: trên khoảng
ta thấy đồ thị
2
y = ( x − 1)
g′( x )
f ′( x )
−.
hàm
nằm phía trên đường
nên
mang dấu

Nhận thấy các nghiệm
g′( x )
đổi dấu.

x = 0; x = 1; x = 2

là các nghiệm đơn nên qua nghiệm

y = f ( x)
Bài tập 2.4 : [3] Cho hàm số
và đồ thị
f '( x )
hình bên là đồ thị của hàm
. Hỏi đồ thị của
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)
hàm số
nhiêu điểm cực trị ?
A. 9.

B. 11.

2

có tối đa bao
C. 8.

D.7.

14

Phân tích và lựa chọn đáp án:
Đặt

h ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) ⇒ h ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x − 1)
2

Ta vẽ thêm đường thẳng

y = x −1

.

.

Ta có :

h '( x ) = 0 ⇔ f '( x ) = x − 1

⇔ x = 0; x = 1; x = 2; x = 3; x = a ( a ∈ ( 1;2 ) )
Theo đồ thị
h '( x ) > 0 ⇔ f '( x ) > x − 1

⇔ x ∈ ( 0;1) ∪ ( a;2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .
Lập bảng biến thiên của hàm số

Đồ thị hàm số

g ( x)

h( x)

.

h( x)

có nhiều điểm cực trị nhất khi
có nhiều giao điểm với
h( x)
trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy
g ( x)
ra đồ thị hàm số
có tối đa 11 điểm cực trị. Chọn B.
15


Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt
phương pháp cho dạng toán 2:
+ Từ đồ thị hàm số
trục hoành.

f '( x )

, tìm hoành độ giao điểm của đồ thị

+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của

f '( x )

f '( x )

với

g ( x ) = f u ( x )  + v ( x ) .
và biểu thức của

g '( x )

để xét dấu

g '( x )

.

f '( x )
( a; b )
Chú ý: * Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
nằm trên đồ thị hàm số
g '( x) = f '( x) + v '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) .
−v '( x )
thì
f '( x )
( a; b )
* Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
nằm dưới đồ thị hàm số
g '( x) = f '( x) + v '( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) .

−v '( x )
thì
Dạng 3: Cho biểu thức

f '( x ) .

Xác đinh số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1)

Bài tập 3.1: Cho hàm số
có đạo hàm
g ( x) = f ( x) − x
x ∈ R.
với mọi
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.

1.

B.

f u ( x )  .

2.

C.

3.

D.

2

( x − 2) + 1

4.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có

g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 = ( x + 1) ( x − 1)

2

( x − 2) ;

 x = −1
g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 ⇔  x = 1 .

 x = 2
2

nghiệm đơn còn
Vậy hàm số

x =1

g ( x)

có

Ta thấy

x = −1

và

x=2

là các

là nghiệm kép.

2

điểm cực trị. Chọn B.

16


Chú ý: Nếu bài toán hỏi điểm cực đại ( cực tiểu) của hàm số thì ta phải lập bảng
g' ( x)
xét dấu của
để kết luận.
f ′ ( x ) = ( x 2 − 1) ( x − 4 )

y = f ( x)

Bài tập 3.2: Cho hàm số
có đạo hàm
g ( x) = f ( 3 − x)
x ∈ R.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại ?
A.

0.

B.

1.

C.

2.

D.

với mọi

3.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có

2

g ′ ( x ) = − f ′ ( 3 − x ) = ( 3 − x ) − 1  4 − ( 3 − x )  = ( 2 − x ) ( 4 − x ) ( x + 1) ;



 x = −1
g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 − x ) ( 4 − x ) ( x + 1) = 0 ⇔  x = 2 .

 x = 4
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số
Bài tập 3.3: Cho hàm số
mọi

x ∈ R.

A.

Hàm số

2.

y = f ( x)

g ( x) = f ( x

B.

g ( x)

2

)

đạt cực đại tại

có đạo hàm

x = 2.

Chọn B.

f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 4 )

2

với

có bao nhiêu điểm cực trị ?

3.

C.

4.

D.

5.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 ) = 2 x5 ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ;
2

Ta có

x = 0

2
g ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x 5 ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  x = ±1
.

2
2
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0

Ta thấy

x = ±1

và

x=0

là các nghiệm bội lẻ


→

hàm số

g ( x)

3
có điểm cực trị.

Chọn B.

17


Bài tập 3.4: Cho hàm số

g ( x ) = f ( x2 − 8x )

Hàm số
A.

y = f ( x)

3.

B.

f ′( x ) = x2 − 2x

có đạo hàm

với mọi

x ∈ R.

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

4.

C.

5.

D.

6.

Phân tích và lựa chọn đáp án:

Ta có

2
g ′ ( x ) = 2 ( x − 4 ) f ′ ( x 2 − 8 x ) = 2 ( x − 4 ) ( x 2 − 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x )  ;



x = 4
x − 4 = 0
x = 0
2

2
2
2

g ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 ( x − 4 ) ( x − 2 x ) − 2 ( x − 2 x )  = 0 ⇔  x − 2 x = 0 ⇔ 
.


x = 2
 x2 − 2 x = 2


 x = 1 ± 3
g' ( x)

Lập bảng xét dấu

x
y′

Vậy hàm số

−∞

.
0

1− 3

−

0

+

2
0

0

+

0

+∞

4

1+ 3

− 0

+

−

g ( x)

có

3

điểm cực tiểu là

x =1− 3

 x=2
 x=4


. Chọn A.

Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt
phương pháp cho dạng toán 3:
+ Tính đạo hàm của hàm số
+Từ biểu thức của
trị của

f '( x )

f u ( x )  .

Dạng 4: Cho đồ thị

f ( x) .

và

g ( x ) = f u ( x ) 

u '( x)

( g ' ( x ) = u '( x). f ' ( u( x) ) ) .

hãy xét dấu

g '( x )

rồi suy ra số điểm cực

Xác định số điểm cực trị của hàm số

f u ( x )  .

18


y = f ( x)

Bài 4.1: [3] Cho hàm số
có đạo hàm trên R
và có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số

g ( x ) =  f ( x ) 

2

có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu

điểm cực tiểu ?
A.
B.
C.
D.

1

điểm cực đại,

2

điểm cực đại,

2
3

3

điểm cực đại,

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

2
3

2

điểm cực tiểu.
điểm cực tiểu.
điểm cực tiểu.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Dựa vào đồ thị, ta có:
x = 0

f ( x ) = 0 ⇔  x = 1( nghiem kep )
 x = 3

và

 x = a ( 0 < a < 1)

f ′( x ) = 0 ⇔  x = 1
.
 x = b ( 1 < b < 3)


Ta có

 x = a ( 0 < a < 1)

x =1
 x = b ( 1 < b < 3)
 f ′( x ) = 0
g′( x ) = 2 f ′( x ) . f ( x ) ; g′( x ) = 0 ⇔ 
⇔
.
x = 0
 f ( x ) = 0

 x = 1 ( nghiem boi 2 )
 x = 3

Bảng biến thiên

19


Dựa vào BBT, ta kết luận
Bài 4.2: Cho hàm số

g ( x)

y = f ( x)

có

2

C.

3.

điểm cực tiểu. Chọn C.

g ( x ) = f  f ( x ) 

B.

5.

3

có đạo hàm trên R và

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.

điểm cực đại,

D.

4.
6.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Dựa vào đồ thị ta thấy

Suy ra

Ta có

+)

f ( x)

đạt cực trị tại

x = 0, x = 2.

 x = 0 ( nghiem don )

f ′( x ) = 0 ⇔ 
.
x
=
2
nghiem
don
(
)

 f ′( x ) = 0
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
.
′
 f  f ( x )  = 0

 x = 0 ( nghiem don )
f ′( x ) = 0 ⇔ 
.
x
=
2
nghiem
don
(
)


suy ra

 f ( x ) = 0 ( 1)
f ′  f ( x )  = 0 ⇔ 
.
f
x
=
2
2
(
)
(
)


Dựa vào đồ thị suy ra:

( 1)
x=0
- Phương trình
có hai nghiệm
(nghiệm
x = a ( a > 2) .
kép) và
20


- Phương trình

( 2)

Vậy phương trình
Suy ra hàm số

x = b ( b > a) .

có một nghiệm

g′( x ) = 0

4

có

g ( x ) = f  f ( x ) 

nghiệm bội lẻ là

4

có

x = 0, x = 2, x = a

x = b.

và

điểm cực trị. Chọn B

y = f ( x)

Bài 4.3: [3] Cho hàm số
có đạo hàm trên
R.
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm
cực trị của hàm số
A.
C.

2.

g ( x) = 2

B.

4.

D.

f ( x)

−3

f ( x)

.

3.

5.

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
Ta có

g′ ( x ) = f ′ ( x ) 2


f ( x)

.ln 2 − 3

f ( x)

.ln 3 ;


 f ′( x ) = 0
 f ′( x ) = 0
( 1)
 f ′( x ) = 0


g′( x ) = 0 ⇔  f x
⇔  3  f ( x ) ln 2 ⇔ 
.
ln 2
f
x
( )
( )

f ( x ) = log 3
< −1 ( 2 )
 2 .ln 2 − 3 .ln 3 = 0  ÷ =

ln 3
2 ln 3
 2 
Dựa vào đồ thị ta thấy:

( 1)

+) pt
cực trị).
+)

có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số

f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ R 
→

Vậy hàm số

g ( x) = 2

f ( x)

−3

phương trình
f ( x)

có

3

( 2)

y = f ( x)

có

3

điểm

vô nghiệm.

điểm cực trị. Chọn B.

Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt
phương pháp cho dạng toán 4:
+ Tính đạo hàm của hàm số

g ( x) = f u ( x ) 

( g ' ( x ) = u '( x). f ' ( u( x) ) ) .
21


+ Dựa vào đồ thị hàm số

f ′( x ) = 0
f ( x) = 0
và
Từ đó xét dấu

g '( x )

y = f ( x)

xác định nghiệm của phương trình

rồi suy ra số điểm cực trị của

f u ( x )  .

2.3.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo mức độ nhận thức từ
biết, hiểu đến vận dụng.
Khi giao bài tập cho học sinh, GV cần ra với mức độ kiến thức tăng dần để kích
thích học sinh phát huy tính sáng tạo và tư duy của mình để tìm ra lời giải của
bài tập một cách tối ưu.
Ví dụ như dạng toán cho biết đồ thị hàm số
kiến thức theo mức độ tăng dần:
Bài tập 1: Cho hàm số

y = f ′( x )

, tôi cho học sinh tiếp cận

y = f ( x)

có đạo hàm liên
y = f ′( x)
tục trên R. Đồ thị của hàm số
được cho
bởi hình vẽ bên dưới.
y = f ( x)
Số điểm cực trị của hàm số
là
0
B. .

A. 1.
C.

2

.

3
D. .

y = f ( x)

Bài tập 2: Cho hàm số
xác định và có đạo hàm
y = f '( x )
đồ thị của hàm số
như hình vẽ dưới.

g ( x ) = f ( 2 x − 1)

a. Số điểm cực trị của hàm số
0
3
2
A. .
B. .
C. .

trên

¡

. Biết

y
1
-1

là

g ( x ) = f ( 2 x − 1)

b. Số điểm cực tiểu của hàm số
0
3
2
A. .
B. .
C. .

y = f '( x )

o

1

2

x

-1

1

D. .
là

-2

-4

1
D. .

22


Bài tập 3: Cho hàm số
y = f ′( x )

như hình bên.

y = f ( x) .

a. Tìm số điểm cực trị của hàm số
A.

2.

B.

3.

C.

g ( x ) = f ( x 2 − 3) .

4.

b. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số
A.

2.

B.

3.

C.

Bài tập 4: Cho hàm số
R.

trên
Đồ thị hàm số
bên dưới

C.

1.

B.

3.

D.

D.

y = f ( x)

y = f '( x )

D.

có đạo hàm
như hình vẽ

là

4.

Bài tập 5: Cho hàm số
có đạo hàm trên
y = f ′( x )
số
như hình vẽ bên dưới.
3
x
g ( x ) = f ( x ) − + x2 − x + 2
3
đạt cực đại tại

C.

x = −1
x =1

.

.

B.
D.

1.

2.

y = f ( x)

A.

1.

g ( x ) = f ( x 2 − 3) .

4.

Số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019
A.

Đồ thị hàm số

x=0
x=2

R.

Đồ thị hàm
Hàm

số

.
.

y = f ( x)
Bài tập 6 : Cho hàm số

và đồ thị hình
f '( x )
bên là đồ thị của hàm
.
23


g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)

2

a. Hỏi đồ thị của hàm số
trị ?
A. 9.

B. 11.

có tối đa bao nhiêu điểm cực
C. 8.
D.7.
2
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)

b. Hỏi đồ thị của hàm số
đại ?
A. 6.

B. 11.

có tối đa bao nhiêu điểm cực

C. 8.

D.5.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
- Qua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 12 tại trường THPT Triệu Sơn
3 trong năm học 2018-2019, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em cảm thấy tự tin
và say mê hơn trong việc học toán, có tinh thần tìm tòi học hỏi đối với các dạng
toán khó liên quan đến cực trị của hàm số. Kết quả trong các kỳ thi thử THPT QG
mà các em tham gia thi, các em đều giải quyết được nhanh gọn và chính xác đáp
ứng nhu cầu thi trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG.

24


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12, đề tài này đã giúp cho các
em thêm tự tin và say mê trong việc giải các bài toán về hàm số đặc biệt là phát
hiện xu hứng mới của câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về hàm số
trong đề thi THPTQG ba năm gần đây đó là năm học 2016-2017, năm học 20172018 và năm học 2018-2019.
- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán rộng và nhiều hướng phát
triển nên tôi chỉ tập trung vào khai thác bốn dạng toán, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu
tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng toán hoàn thiện hơn nữa cho đề tài
này.
- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi rút
ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh nghiệm
chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung và
hoàn thiện dần trong những năm học tới, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến

của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụng nhiều
hơn và đạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy.
3.2. Kiến nghị
- Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến những đề tài nghiên cứu
có chất lượng được áp dụng rộng rãi trong các trường. Nhà trường và tổ bộ môn
nên có kế hoạch tổ chức những buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất
lượng giảng dạy.
- Tăng cường bồi dưỡng cho giáo viên về kinh nghiệm giảng dạy cũng như
các chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh; quan tâm và tạo điều kiện cho thế hệ trẻ
phát huy tốt nhất năng lực của mình, nâng cao chất lượng giảng dạy.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Trịnh Thị Thanh Huyền
25