Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM
KHI HỌC CHƯƠNG" ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ"

Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HOÁ NĂM 2020
0


MỤC LỤC
Mục
1. Mở đầu.
1.1.Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1Cơ sở lí luận
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1.Các giải pháp chung

2.3.2. Nội dung thực hiện cụ thể
2.3.3.1- Phân tích những sai lầm thường gặp và cách khắc phục
thông qua một số ví dụ minh họa
1.Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
2.Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
3.Sai lầm khi sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp
4.Sai lầm khi giải bài toán về cực trị hàm số
5.Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất
6.Sai lầm khi giải bài toán tiếp tuyến
2.3.3.2- Bài tập tương tự
2.4. Hiệu quả của SKKN
3. Kết luận-Kiến nghị
3.1.Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ
loại C trở lên

Trang
2
2
2
2
2
3
3
4
4
5
5

5
5
9
10
11
13
14
17
18
18
19
19
19
20

1


1- MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết,trong chương trình giải tích lớp 12, chương I" ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " có một vị trí đặc biệt quan
trọng, chiếm thời lượng lớn trong phân phối chương trình, và là một công cụ rất
sắc bén để giải quyết nhiều bài toán trong các đề thi THPTQG, thi học sinh giỏi
các cấp…
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khi giải các bài toán liên quan
đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, các em thường
mắc những sai lầm mà các em không phát hiện ra ,hoặc đôi khi phát hiện ra bạn
làm sai mà không biết sửa như thế nào nếu không có sự hướng dẫn của thầy cô.
Nhằm giúp học sinh nắm vững các kiến thức về đạo hàm,tránh được

những sai lầm và có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan
đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai
lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số "
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề thông qua việc phân tích
các sai lầm ,nguyên nhân dẫn đến sai lầm,cách khắc phục để học sinh tránh được
những sai lầm khi giải bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị của hàm số
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán, từ đó nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo của các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

2


2- NỘI DUNG SKKN
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Các định nghĩa, định lí và quy tắc (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
1. Tính đơn điệu của hàm số:
*Định nghĩa:
- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,
x1 < x2 � f(x1) < f(x2).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x 1, x2 thuộc
K, x1 < x2 � f(x1) > f(x2).

* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a. Nếu f '(x) > 0 với x�K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b. Nếu f '(x) < 0 với x�K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c. Nếu f '(x) = 0 với x�K thì hàm số f(x) không đổi trên K.
2 . Cực trị của hàm số
Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
ç Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0  h; x0  h)
và có đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0 , với h > 0.
a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0  h; x0) và f '(x) < 0 trên khoảng
(x0; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b. Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0  h; x0) và f '(x) > 0 trên khoảng
(x0; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

ç Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(x0  h;x0  h) , với h > 0. Khi đó:
a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

3


3. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
�f(x) �m , x�D
�f(x) �M , x�D
f
(
x

)
��
, M  max
D
x0 �D : f(x0 )  m
x0 �D : f(x0 )  M
�
�

m min
f(x) � �
D

4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
ç Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) � (C) có phương trình:
y = f '(x0).(x - x0) + y0.
ç Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương
trình: y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:
�f(x)  k(x x1)  y1
�
�f '(x)  k

5. Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN
Học sinh thường mắc những sai lầm sau đây khi giải bài toán liên quan đến ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững
định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số , điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng (a;b) hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số.
2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính

xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các
hàm đồng biến, nghịch biến.
3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng
sai công thức tính đạo hàm hàm hợp
4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi
vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị .
5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua
một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số; bài toán liên quan đến số tiếp
tuyến của đồ thị.
2.3 .CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
4


2.3.1.CÁC GIẢI PHÁP CHUNG
Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí ,đưa ra các ví dụ, phản ví dụ
minh họa để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí
đó.Qua đó giúp học sinh:
- Nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, hiểu
chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
một miền D.
- Nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
Như vậy học sinh sẽ tránh được sai lầm khi giải các bài toán liên quan .
2.3.2. NỘI DUNG THỰC HIỆN CỤ THỂ
2.3.3. 1. Phân tích những sai lầm và cách khắc phục thông qua một số

ví dụ minh họa
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Ø Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số: y 

x 2
x 1

Tập xác định: D=R \   1

Một số học sinh trình bày như sau:
3

Ta có: y  ( x  1) 2  0x  D
Bảng biến thiên:
x
y'
y

-1

-

+

+

+
+

1

1
- 

5


Vậy hàm số đồng biến trên ( ; 1)  ( 1;)
Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận
của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi
x1, x2 thuộc D, x1 < x2 � f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy
x1 = - 2  D và x2 = 0 D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???
Lời giải đúng : Chỉ cần thay kết luận của lời giải trên thành:
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 1) và ( 1;) .
Ø Khi sử dụng Định lí I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
Ÿ y ç  0x  (a; b)  hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
Ÿ y ç  0x  (a; b)  hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
1
3

Ví dụ minh họa 2: Tìm m để hàm số y= x 3  mx 2  x đồng biến trên R
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định :R

y ç  x 2  2mx  1 .

Hàm

số

đồng

biến

trên

R

khi

y ç  0x  R



  0  m 2  1  0   1  m  1
2
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên R, nhưng y 3x 0x  R

dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!). Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a;b), f ç( x) 0x  (a; b) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
Sai lầm ở đây là không xét trường hợp y ç 0 ,dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm
Lời giải đúng là:
Tập xác định :R

y ç  x 2  2mx  1 . Hàm số nghịch biến trên R khi y ç 0x  R (dấu bằng xảy ra tại

hữu hạn điểm)   0  m 2  1 0   1 m 1
Vậy m    1;1

6


Ø Nhiều khi các em không chú ý đến mở rộng của định lí về điều kiện đủ của
tính đơn điệu của hàm số, dẫn đến giải sai bài toán toán tìm tham số để hàm số
đơn điệu trên một miền.
Ví dụ minh họa 3:Tìm m để hàm số y 

xm
đồng biến trên từng khoảng xác
x

định.
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định :R\  0
yç 

 m
.
x2

Hàm

số

đồng

biến

trên

từng

khoảng

xác

định

khi

y ç 0x  ( ;0)  (0;)   m 0  m 0

Phân tích:Với m=0 dễ dàng thấy y=1 là hàm không đổi vậy sai lầm là ở đâu?
Sai lầm ở đây là trường hợp y ç 0 dấu bằng xảy ra tại mọi

điểm

x  ( ;0)  (0;)

Tập xác định :R\  0

Lời giải đúng là:
yç 

 m
.
x2

Hàm

số

đồng

biến

trên

từng

khoảng

xác

định

khi

y ç 0x  ( ;0)  (0;) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)   m 0  m 0

Khi m=0 thì y ç 0 tại mọi điểm x  ( ;0)  (0;) nên m=0 không thỏa mãn
Vậy m<0
Ø Nhiều khi các em không chú ý đến điều kiện xác định của hàm số, dẫn đến
giải sai bài toán toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền.

Ví dụ minh họa 4:Tìm m để hàm số y=

mx  9
đồng biến trên (- ;2)
x m

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định : R\  m
 m2  9
yç 
.Để hàm số đồng biến trên (- ;2) thì y ç 0x  ( ;2) và dấu bằng
( x  m) 2

xảy ra tại hữu hạn điểm) suy ra  m 2  9 0   3 m 3 .Dấu bằng xảy ra tại
hữu hạn điểm nên m ( 3;3) thỏa mãn bài toán.

7


Phân tích:Sai lầm ở đây là không tìm điều kiện để hàm số xác định với mọi x
thuộc khoảng (- ;2)
Lời giải đúng là:
Tập xác định : R\  m
yç 

 m2  9
Để hàm số đồng biến trên (- ;2) thì hàm số phải xác định với mọi
( x  m) 2

x thuộc (- ;2) và y ç 0x  ( ;2) ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) suy ra

ç  m2  9  0

ç
ç m  ( ;2)

ç 3  m  3
 2 m  3
ç
ç m 2

Vậy m   2;3 thỏa mãn bài toán
Ø Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 5:Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f(x)  x  1 4 x2
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ]
Ta có: y'  1
y'  0 � 1

x
4 x2

�
x  2
 0 � 4  x2  x � 4  x2  x2 � �
4 x2
x 2
�

x

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
-2
- 2
2
x
+
0
y'
0
y

-3

2
-

2 2- 1

-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; -

2) và ( 2; 2) .

8

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn



2;2 giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - 2 không phải

là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = [- 2; 2] .
y'  0 � 1

Ta có: y'  1

x
4  x2

�x � 0
 0 � 4  x2  x � �
� x
4  x2  x2
4 x2
�
x

2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

-2

x
y'

2

2

+

0

-

2 2- 1

y

1
-3
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng
( 2; 2) .

2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
Ø Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 6: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)


2

Chứng minh rằng: tanx > x, với x  (0; )
Một số học sinh trình bày như sau:

2

Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x  (0; )

có

f '(x) =

1

 1  0x  (0; ) ,
2
2
cos x


2

suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng x  (0; )

2

Từ x > 0  f(x) > f(0)  tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với x  (0; )

9

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau

2

khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng x  (0; ) thì vì sao từ x > 0 
f(x) > f(0) ???

2

Sai lầm ở đây là 0  (0; ) .
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a; b ] (tức là f(x) liên tục trên [a; b ] và
f '(x)> 0 với x  (a; b) ) thì với x1 ; x 2   a; b , x1  x 2  f ( x1 )  f ( x2 )
Lời giải đúng là:


ç
ç
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x  ç0; ç
ç 2ç
1

ç ç



Hàm số f(x) liên tục trên nửa khoảng ç0; ç và f '(x) = 2  1  0x  (0; ) ,
2
cos x

ç 2ç
ç ç
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng ç0; ç
2ç

ç


2

Từ x > 0  f(x) > f(0)  tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với x  (0; )
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm hàm hợp
Ø Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp:
Ví dụ minh họa 8: Tìm m để hàm số: y=

 cos x  m

đồng biến trên (0; )
cos x  m
2

Học sinh Sơn lên bảng trình bày như sau:

2

Đặt u=cosx . Với x  (0; )  u  (0;1) .
y 

 2m
.

(u  m) 2

Ta có y=

 um
.
u m


2

( u  m )

Hàm số đã cho đồng biến trên (0; ) khi hàm số y=

 um
u m

đồng biến trên (0;1)  y ç 0x  (0,1)   2m 0  m 0
Với m=0 thì y=-1 là hàm hằng nên m=0 không thỏa mãn.

2

Vậy m<0 thì hàm số đã cho đồng biến trên (0; )
Nhưng học sinh Trang có ý kiến khác.Sau đó em Trang trình bày cách khác
như sau:
10


Điều kiện xác định : cosx  m

yç 

2m
sin x
(cos x  m) 2


2

.Để hàm số sau đồng biến trên (0; ) thì hàm số phải xác

2


2

định với mọi x thuộc ( 0; ) và y ç 0x  (0; ) ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn
điểm)

Vì

sinx>0

với

mọi

x

thuộc


2

( 0; )

suy

ç 2m  0
ç  m  (0;1)

ra ç

çm  0
 ç
 m0
ç m  1  m 0

Vậy m>0 thỏa mãn bài toán
Phân tích: Đáp số khác hẳn nhau.Vậy cách giải nào là đúng,cách nào sai và
sai ở chỗ nào???
Ở cách giải của em Sơn, ta thấy học sinh đã nhầm lẫn hàm số đã cho với hàm
số sau khi đặt ẩn phụ(thực chất là hàm hợp qua hàm trung gian u=cosx),dẫn
đến tính đạo hàm theo biến u nhưng lại sử dụng như đạo hàm theo biến x
Từ đó có thể sửa cách giải của em Sơn như sau

2

Đặt u=cosx . Với x  (0; )  u  (0;1)

.

Ta có y u =

 um
.
u m

( u  m )


2

Hàm số đã cho đồng biến trên (0; ) thì hàm số phải xác định với mọi x thuộc (


0; ) và y çx 0x  (0; ) ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)
2
2

Suy ra

y çx  y uç.u çx  y uç.( sin x) 0 .

y uç 0u  (0;1) .Từ đó ta có y uç 

và - m uu  (0;1)

Vì sinx>0


2

với mọi x thuộc ( 0; ) nên

 2m
0 ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)
(u  m ) 2

çm  0
 ç
 m0
ç  m  (0;1)

Vậy m>0 thỏa mãn bài toán

11


Bình luận:Cách giải của em Trang hoàn toàn đúng vì đã vận dụng chính xác
các định lí về tính đơn điệu của hàm số. Và đối với bài toán này thì cá nhân tôi
thấy cách của em Trang có phần hay hơn.
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng thường
quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
ç f ç( x ) 0

0
 x0 là điểm cực tiểu

Ÿç
ç
ç
ç f ( x0 )  0

ç f ç( x ) 0

0
 x0 là điểm cực đại
Ÿç
ç
ç
f
(
x
0)  0
ç

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x 4 + mx3+ 2. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
ç f ç(0) 0

Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: ç çç
ç f (0)  0

çç 4.0 3  3m.0 2 0
ç

çç12m.0 2  6m.0  0

Hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 2 có y ' = 4x3
y ' = 0  x = 0.
Bảng biến thiên:
x
y'
y

-
+

0
0

+
+
+

1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (!)
Vậy lời giải trên sai ở đâu ???

12


ç f ç( x ) 0

0
 x0
Nhớ rằng, để áp dụng định lí II thì f çç( x0 ) 0 . Nếu x0 thỏa mãn ç çç
ç f ( x0 )  0

là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!)
Lời giải đúng là: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
v m = 0: Ta có y = x4 + 2 có y ' = 4x3 , y ' = 0  x = 0.
Bảng biến thiên:
-

x
y'

+

y

0
0

+
+
+

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 nên m=0 thỏa mãn
3m
v m > 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = 0 � x = 0 hoặc x = . Lập bảng

4

biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm
số không có cực trị tại x = 0.
v m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 0  x = 0 hoặc x = -

3m
. Lập bảng
4

biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm
số không có cực trị tại x = 0.
Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
hàm số
Ø Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = cos 2 x 

1
1
 2(cos x 
)  1.
2
cos x
cos x

Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t = cosx +

1
1
 cos 2 x +
= t2 - 2.
cosx
cos 2 x

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4  4t
13


Vậy min f (x) =- 4 , khi t = - 1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ
nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), t  R .
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx +

1
= - 1 (!)
cosx

f(x) �m , x�D
�
x0 �D : f(x0 )  m
�

in f(x) � �
Nhớ rằng, số m mD
Lời giải đúng là:
Đặt t = cosx +


1
, với x   k
cosx
2

 t  cos x 

1
2 . Dấu "=" xảy ra khi
cos x

và chỉ khi cosx = 1
Khi đó: cos 2 x +

1
= t2 - 2.
cos 2 x

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3.

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t 2 ):
t
-
g '(t)
+
g(t)

-

-2

-

-1
0

+

+

2

+
+
5

-3

g(t) = - 3
f(x) = min
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m min
t �2
D
đạt được khi t = - 2  cos x 

1
 2  cos x  1  x   k 2
cos x

6. Sai lầm khi giải bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ø Các em thường mắc sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
nằm trên đồ thị
Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x. Ta có điểm A(-1;4) thuộc đồ thị (C) ,suy ra phương trình
tiếp tuyến là:

y = f '(-1).(x+1)+4

14


 y  9( x  1)  4
 y  9 x  5

Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm
tiếp điểm)tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi
qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4) và có hệ số góc k là:
y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
çç  3 x 2  6 x k
ç 3
(I).
çç  x  3x 2 k ( x  1)  4
çç  3x 2  6 x k

ç x 2 ç x   1

 ç
ç
Hệ (I) ç 3
çç x  3 x  2 0
ç k 0 ç k  9

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y=4 và y=-9x-5
Ø Các em còn mắc sai lầm khi giải một số bài toán về số tiếp tuyến với đồ thị
,cho rằng số tiếp điểm bằng số tiếp tuyến.
Ví dụ minh họa 12: Cho hàm số y= x 4  2 x 2  1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ
thị kẻ từ A(0;-2)
Một số học sinh trình bày như sau:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;-2) và có hệ số góc k là:
y = kx - 2
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
çç x 4  2 x 2  1 kx  2
ç 3
çç 4 x  4 x k

Dùng phép thế ta có : x 4  2 x 2  1 (4 x 3  4 x) x  2  x  1  x 1
Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ A

15


Phân tích: ở đây học sinh giải được 2 nghiệm x nhưng khi thay vào chỉ tìm
được một giá trị k=0 nên thực chất chỉ có một tiếp tuyến. Đây chính là tiếp tuyến
tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm cực tiểu của đồ thị

Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;-2) và có hệ số góc k là:
y = kx - 2
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
çç x 4  2 x 2  1 kx  2
ç 3
çç 4 x  4 x k

Dùng phép thế ta có : x 4  2 x 2  1 (4 x 3  4 x) x  2  x  1  x 1
Với x=-1  k 0
Với x=1  k 0
Vậy có một tiếp tuyến qua A(0;-2)
Bình luận:Nếu không phân tích sai lầm này thì học sinh sẽ mắc sai lầm ở
bài toán chứa tham số mà rất khó để các em biết mình sai chỗ nào
Ví dụ minh họa 13:(ĐHY/D TPHCM) Cho hàm số y= x 4  2 x 2  1 có đồ thị
(C ) .Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị
Một số học sinh trình bày như sau:
Giả sử điểm A(0;b) thuộc Oy
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;b) và có hệ số góc k là:
y = kx +b
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
çç x 4  2 x 2  1 kx  b
ç 3
çç 4 x  4 x k

Dùng phương pháp thế ta có phương trình:
x 4  2 x 2  1 ( 4 x 3  4 x ) x  b  3 x 4  2 x 2  b  1 0

(1)

Để có 3 tiếp tuyến thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Đặt t  x 2 (t 0) ta có

3t 2  2t  b  1 0

(2)

16


Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có một nghiệm
dương và một nghiệm bằng 0. Từ đó suy ra b=-1 và điểm cần tìm là A(0;-1)
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá là khó phát hiện
đối với học sinh (?!). Vấn đề đặt ra là: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
nhưng thay vào có thể chỉ thu được 2 hoặc 1 giá trị k???hay(1) có thể có 4
nghiệm phân biệt nhưng thay vào chỉ thu được 3 giá trị k thì sao?
Sai lầm của lời giải này là khẳng định số nghiệm của phương trình (1) bắng
số tiếp tuyến, trong khi điều này không khẳng định được như đã minh họa
ở VD12.
Lời giải đúng là:
Giả sử diểm A(0;b) thuộc Oy
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;b) và có hệ số góc k là:
y = kx +b
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
çç x 4  2 x 2  1 kx  b
ç 3
çç 4 x  4 x k

Vì đồ thị (C ) có trục đối xứng là Oy nên để có 3 tiếp tuyến với đồ thị thì điều
kiện cần là phải có một tiếp tuyến nằm ngang(song song với Ox),nghĩa là k=0

 4 x 3  4 x 0  x 0  x 1 . Mặt khác theo giả thiết,tiếp tuyến này đi qua

A(0,b),nên chỉ có x=0 thỏa mãn,suy ra b=-1
çç x 4  2 x 2  1 kx  1
Thử lại : với b=-1. Giải hệ ç 3
çç 4 x  4 x k

4 2

được k 0  k 

3 3

nên qua

A(0;-1) kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C )
Vậy A(0;-1) thỏa mãn bài toán
2.3.2.Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y =

x 1
2x 1

Bài tập 2: Tìm m để hàm số y 

b. y = cosx - sinx
sin x  4
sin x  m


2

nghịch biến trên( 0; )

17


Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx2 + x- 1
đồng biến trên R:
Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau không có cực trị: y =

x 2 + 2mx - 3
x- m

Bài tập 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. sinx<x với mọi x>0

2

b. sinx+tanx>0 x  (0; )
Bài tập 6: Cho hàm số y = (x + 1) 2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
Bài tập 7: (Đề 72 -BĐTS)Cho hàm số y= x 4  x 2  1 có đồ thị (C ) .Tìm trên trục
tung những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị
2.4.HIỆU QUẢ CỦA SKKN:
Trong các năm học 2017-2018 ,tôi đã tiến hành thực nghiệm sáng kiến này
vào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệp đánh giá tương đối tốt .
Liên tục trong các năm học từ 2018-2019 đến 2019-2020 tôi thực nghiệm
với học sinh trong các tiết dạy tự chọn .Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy ở

một số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan.
Lớp12A2;và 12A1 năm học 2018-2019.
Lớp12A8và 12A2 năm học 2019-2020.
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như
sau:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số đạt cực đại tại x = 0 ?
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài
12-15%

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1 bài
được bài
50-62%
23-38%

*Sau khi đã áp dụng đề tài trong giảng dạy thì vẫn 2 bài tập đó kết quả
đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1bài .
được bài

18

72-76%

90-96%

3-5%

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt.

3. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận
Như trên đã nói,chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
có thể giải quyết rất nhiều các bài toán liên quan . Ngoài ra, đạo hàm còn là công
cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác như giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình và hệ bất phương trình ; chứng minh bất đẳng thức…
Tuy nhiên số tiết trong phân phối chương trình có hạn nên giáo viên nên dùng
các tiết tự chọn để hướng dẫn cho học sinh.
Với những nội dung đã triển khai trong đề tài, học sinh sẽ có cái nhìn sâu
sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những
sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán, có
thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán.
3.2.Kiến nghị
Trong khuôn khổ của SKKN này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh . Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc
rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được
những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn. Tuy nhiên để đề tài được hoàn
chỉnh hơn chắc chắn vẫn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm. Vậy

tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các em học sinh và các bạn đồng
nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 06 năm 2020

19


CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Hà Thị Nguyệt
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.SGK,SBT,SGV Giải tích nâng cao 12.
2.SGK,SBT ,SGV Giải tích cơ bản 12.
3."Phương pháp giải toán hàm số "-Lê Hồng Đức ,trường THKT in 2004
4."Khảo sát hàm số "-Trần Văn Hạo-NXBGD 2001.
5."Tài liệu chuẩn kiến thức Toán 12"-Văn Như Cương -NXBGD 1994
6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học của các trường
THPT,của các sở GD-ĐT trên cả nước.
7. Các đề thi Đại học của Bộ giáo dục và đào tạo.

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Phương pháp thể tích giải
một số bài toán hình học

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
SỞ
GD&ĐT
C
2009-2010
Thanh hóa

không gian

2.
3.
4.
5.
...
------------------------------------

21