Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT thường xuân 2

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Phương trình đường tròn là phần kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa
hình học 10, cũng là phần kiến thức chiếm tỉ trọng cao trong các bài kiểm tra
cuối năm, tuy nhiên thời lượng bài tập sách giáo khoa chỉ có 01 tiết và ôn tập
thêm buổi chiều khoảng 6 tiết, để có được tài liệu dạy học được đầy đủ phần cơ
bản của phương trình đường tròn này trong thời gian trên thì cần phải phân loại
và đưa ra các phương pháp phù hợp với các bài tập này.
Hiện tại các sách bài tập, sách tham khảo về phần phương trình đường
tròn hình học 10 phong phú và đa dạng tuy nhiên hệ thống bài tập phù hợp với
học sinh học chương trình ban cơ bản và thời lượng ôn tập trên lớp không nhiều.
Do vậy tôi biên soạn và lựa chọn đề tài “Phân loại và phương pháp giải
bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường
Xuân 2”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Truyền đạt đến học sinh hệ thống bài tập và phương pháp giải phù hợp về
phương trình đường tròn theo tinh thần sách giáo khoa hình học 10 ban cơ bản.
Qua đó rèn luyện các kĩ năng toán học và nâng các năng lực tư duy cho
học sinh khi gặp các bài tập liên qua đến đường tròn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu bài phương trình đường tròn trong sách giáo khoa cơ bản lớp 10
hiện hành và các tính chất của của đường tròn ở các phần trước đó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phân loại các dạng bài về phương trình đường tròn theo bám theo nội
dung bài “Phương trình đường tròn” sách giáo khoa hình học 10 cơ bản hiện
hành, qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp với mỗi loại bài tập.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [1]:
2.1.1.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn (C ) tâm I (a;b) bán kính R có phương

2
2
2
trình: (x - a) + (y - b) = R

2
2
2
Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính R là x + y = R
2.1.2.Nhận xét
2
2
2
● Phương trình đường tròn (x - a) + (y - b) = R có thể viết dưới dạng

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2
2
trong đó c = a + b - R
2
2
● Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường
2
2
tròn (C ) khi a + b - c > 0 . Khi đó, đường tròn (C ) có tâm I (a;b) bán kính

1


R = a2 + b2 - c

2.1.3.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C ) có tâm I (a;b) và bán kính R và đường thẳng D là tiếp
tuyến với (C ) tại điểm M 0(x0;y0) .
Ta có
● M 0(x0;y0) thuộc D .
uuu
r
IM = (x0 - a;y0 - b)
●
là vectơ pháp tuyến của D .
Do đó D có phương trình là (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua các năm giảng dạy tôi thấy còn nhiều học sinh vẫn còn lúng túng khi
làm bài tập về phường trình đường tròn, một phần các em chưa có mối liên hệ
với kiến thức đường tròn lớp dưới, phần còn lại đa số các em chưa phân loại
tổng hợp, đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập về phần này nên các em thấy
nhiều bài tập và khó nhớ cách làm.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn
1. Phương pháp
1.1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I (a;b), bán kính R có phương
(x - a)2 + (y - b)2 = R 2
trình:
Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là
2
x + y2 = R 2.
1.2. Nhận xét
2
2

2
● Phương trình đường tròn (x - a) + (y - b) = R có thể viết dưới dạng

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2
2
2
trong đó C = a + b - R .
2
2
● Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường
2
2
tròn (C ) khi a + b - c > 0. Khi đó, đường tròn (C ) có tâm I (a;b), bán kính

R = a2 + b2 - c.
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn
(C ) : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.
Lời giải

2


Đường tròn có tâm I (1;- 2), Bán kính : R = 3.
Ví dụ 2: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn
(C ) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0.

Lời giải
Ta có:

(C ) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 � x2 + y2 - 4x + 2y -

� a = 2,b = - 1,c = -

1
= 0.
2

1
22
1
R = 4 + 1+ =
.
.
2
2
2 Suy ra I (2;- 1),

Ví dụ 3: Cho các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của
một đường tròn?
2
2
a) x + y + 2x - 4y + 9 = 0.
2
2
b) x + y - 6xy + 13 = 0.
2
2
c) 2x + 2y - 8x - 4y - 6 = 0.

2
2
d) 5x + 4y + x - 4y + 1 = 0.
Lời giải
a = - 1,b = 2,c = 9 � a2 + b2 - c < 0.
a)
Do đó không phải là phương
trình đường tròn.
2
2
b) x + y - 6xy + 13 = 0 phương trình không có dạng

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 nên không phải là phương trình đường tròn.
2
2
2
2
c) 2x + 2y - 8x - 4y - 6 = 0 � x + y - 4x - 2y - 3 = 0. Nên
a2 + b2 - c = 22 + 12 - (- 3) = 8 > 0. Do đó phương trình trên là phương trình

đường tròn.
2
2
d) Phương trình không có dạng x + y - 2ax - 2by + c = 0 do đó không
phải là phương trình đường tròn.
2
2
Ví dụ 4: Cho phương trình x + y - 2mx - 4(m - 2)y + 6- m = 0 (1).
Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

Lời giải
x2 + y2 - 2mx - 4( m - 2) y + 6 - m = 0.
Ta có:
a = m, b = 2( m - 2) , c = 6 - m � a2 + b2 - c > 0
Nên

3


�
m<1
� 5m - 15m + 10 > 0 � �
.
�
m>2
�
Vậy m �(- �;1) �(2;+�).
2

2
2
Ví dụ 5: Cho phương trình x + y - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao
nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của
đường tròn?
2
2
+ 10 = 0 nên
Lời giải. Ta có: x + y - 2x + 2my�

�

m<- 3
�
�
m> 3
a = 1,b = - m,c = 10 � a2 + b2 - c > 0 � m2 - 9 > 0 �
�
m �{ 4;5;6;7;8;9;10} .
Do đó có 7 giá trị nguyên dương của
Dạng 2: Thiết lập phương trình đường tròn
1. Phương pháp:
Cách 1:
I ( a;b)
+ Tìm toạ độ tâm
của đường tròn (C)
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
2
2
2
+ Viết phương trình của (C) theo dạng : (x - a) + (y - b) = R .

Cách 2:
2
2
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x + y - 2ax - 2by + c = 0
2
2
(Hoặc x + y + 2ax + 2by + c = 0 ).
a,b,c
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là
.

a,b,c
+ Giải hệ để tìm
từ đó tìm được phương trình đường tròn (C ) .

2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn có tâm I (1;2) , bán kính R = 3.
Lời giải

(C ) : ( x - 1)
Phương trình

2

2

+ ( y - 2) = 9.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm
Lời giải

I ( 1;- 5)

và đi qua

O ( 0;0) .

2
2
Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = 26 nên có phương
trình là

( x - 1)

2

2

+ ( y + 5) = 26

4


Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính với
A ( 1;1) , B ( 7;5)
.
Lời giải
I ( 4;3)
Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra
,
AI =

( 4 - 1)

2

2

+ ( 3 - 1) = 13

Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận

13 nên có phương trình là: ( x - 4)

2

I ( 4;3)

làm tâm
2

+ ( y - 3) = 13

và bán kính R = AI =
.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn
(C ) đi qua ba điểm A ( - 3;- 1) , B ( - 1;3) và C ( - 2;2) .
Lời giải
C ) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
(
Phương trình đường tròn có dạng
, với
2
2
a + b - c > 0.

(C ) nên ta có hệ phương trình
Vì A, B, C thuộc
�
6a + 2b - c = 10 �
a =- 2
�

�
�
�
�
2a - 6b - c = 10 � �
b=1
�
�
�
�
�
�
4a - 4b - c = 8
c = - 20
�
�
�
�
.
C ) : x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0
(
Vậy phương trình đường tròn cần tìm
.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I (- 2;1) và tiếp xúc với
đường thẳng D : 3x - 4y + 5 = 0.
Lời giải
- 6- 4 + 5
R = d(I , D) =
= 1.

9 + 16
Bán kính của đường tròn là
2

2

� ( C ) : ( x + 2) + ( y - 1) = 1.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng
d : 2x - y - 5 = 0 và hai điểm
A ( 1;2) , B ( 4;1)

qua hai điểm A, B .
Lời giải

. Viết phương trình đường tròn

(C )

có tâm thuộc d và đi

5


(C ) . Do I �d nên I ( t;2t - 5) .Hai điểm A, B cùng
Gọi I là tâm của
2

2

2

2

IA = I B � ( 1- t) + ( 7 - 2t) = ( 4 - t) + ( 6 - 2t) � t = 1
nên
.
I ( 1;- 3)
Suy ra
và bán kính R = I A = 5.

(C )
thuộc

(C ) : ( x - 1)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm

2

2

+ ( y + 3) = 25

.

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm
A( �
1;1) �
, B ( 3;3)
và đường thẳng
d : 3x �4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C ) đi qua hai điểm

A, B và tiếp xúc với d .
Lời giải

D đi qua M ( 1;2) là trung điểm AB và nhận
Đường
trung
trực
uuur
AB = ( 4;2)
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình D : 2x + y - 4 = 0.
(C ) đi qua hai điểm A, B nên tâm I của (C ) thuộc trung trực D nên
Do
I ( t;4 - 2t)
.
Theo giả thiết bài toán, ta có
3t - 4( 4 - 2t) + 8
2
2
IA = d ( I ,d) � ( - 1- t) + ( 2t - 3) =
9 + 16
31
t=
� 5 5t 2 - 10t + 10 = 11t - 8 � 2t 2 �37t + 93 � t = 3
2.
hoặc
I ( 3;- 2)
 Với t = 3, suy ra
. Bán kính R = I A = 5.
Khi đó phương trình đường tròn cần tìm

(C ) : ( x - 3)

2

2

+ ( y + 2) = 25

31
t=
2 , suy ra
 Với

.

�
�
31
65
�
I�
;- 27�
�
�
R = IA =
�
�
2
�
�

2.
. Bán kính

6


Khi đó phương trình đường tròn cần tìm
2
� 31�
�
2
4225
�
x+
y
+
27
=
�
(C ) : �
(
)
�
�
4
� 2�
�
.}
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua điểm M (1;2) và tiếp xúc
Ox,Oy

với hai trục tọa độ
Lời giải
Vì

M ( 2;1)

thuộc góc phần tư (I) nên

A ( a;a) , a > 0.

Khi đó:

�
a =1
2
2
R = a2 = IM 2 = ( a - 2) + ( a - 1) � �
�
a=5
�
2

2

2

2

a = 1 � I ( 1;1) , R = 1, ( C ) : ( x - 1) + ( y - 1) = 1.
a = 5 � I ( 5;5) , R = 5, (C ) : ( x - 5) + ( y - 5) = 25.

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

d : x + 2y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C )
2 10
có bán kính bằng 5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D .
Lời giải
I ( - 2t + 3;t) �d
(C ) . Theo giả thiết bài toán, ta có
Gọi
là tâm của
�
a - 2 2 10
a=6
d( I , D) = R �
=
��
�
a =- 2
5
10
�
.
I ( - 9;6)
● Với a = 6, suy ra
. Phương trình đường tròn
2
2
(C ) : ( x + 9) + ( y - 6) = 85
.

I ( 7;- 2)
● Với a = - 2, suy ra
. Phương trình đường tròn
2
2
(C ) : ( x - 7) + ( y + 2) = 85
.
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn

(C ) : x + y + 4 3x - 4 = 0. Tia Oy cắt (C ) tại A . Viết phương trình đường
(C ') , bán kính R ' = 2 và tiếp xúc ngoài với (C ) tại A .
tròn
2

2

Lời giải

7


Đường tròn

(C )

có tâm

(

) , bán kính R = 4.

I - 2 3;0

�
x2 + y2 + 4 3x - 4 = 0
�
�
�
x=0
�
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ �
với y > 0, suy
A ( 0;2)
ra
. Đường thẳng IA đi qua hai điểm I và A nên có phương trình
�
x = 2 3t
�
IA : �
�
y = 2t + 2
(C ') tiếp xúc ngoài với (C ) nên tâm I ' thuộc
�
�
. Đường tròn
I �2 3t;2t + 2
IA
đường thẳng
, suy ra
. Hơn nữa, R = 2R ' nên

�
uur
uur
- 2 3 - 0 = 2 0 - 2 3t
�
1
AI = 2I �
A ��
�t=
�
�
2
0- 2 = 2( 2 - 2t - 2)
�
�
.
1
t=
I ' 3;3
2 , suy ra
Với
. Phương trình đường tròn

(

)

(

(

(

(C ') : x -

)

2

)

)

2

3 + ( y - 3) = 4

.
Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng, đường tròn với đường tròn
1. Phương pháp:
1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Phương pháp 1
( D ) và đường tròn (C ) có tâm I bán kính R
Cho đường thẳng
d( I ;D) < R
( D ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu
thì
d( I ;D ) = R
( D ) tiếp xúc với (C )

- Nếu
thì
d( I ;D) > R
( D ) và (C ) không có điểm chung.
- Nếu
thì
Phương pháp 2
( D) : Ax + By +C = 0 và đường tròn
Cho đường thằng
(C ) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
�
Ax + By +C = 0
�
�2
(I )
2
�
x
+
y
2
ax
2
by
+
c
=
0
�
Xét hệ phương trình �

( I ) có hai nghiệm thì ( D) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu hệ
( I ) có một nghiệm thì ( D ) tiếp xúc (C ) .
- Nếu hệ

8


( I ) vô nghiệm thì ( D) và (C ) không có điểm chung.
- Nếu hệ
1.2. Vị trí tương đối của đường tròn với đường tròn
Cho hai đường tròn

tròn

(C ) ;(C )
1

2

có tâm lần lượt là I ;K bán kính R1;R2 . Ta có

+)

(C )

và

(C )

ở ngoài nhau (không có điểm chung) � IK > R1 + R2

+)

(C )

và

(C )

đựng nhau (không có điểm chung)

+)

(C )

và

(C )

đồng tâm (không có điểm chung) �‫ۺ‬I

+)

(C )

và

(C )

tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi I 1I 2 = R1 + R2

+)

(C )

và

(C )

tiếp xúc trong khi và chỉ khi

+)

(C )

và

(C )

cắt nhau khi và chỉ khi

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

� IK < R1 - R2
K ;R1

R2

I 1I 2 = R1 - R2

R1 - R2 < I 1I 2 < R1 + R2

2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng D : x - 2y + 3 = 0và
C ) : x2 + y2 - 2x - 4y = 0
(
đường tròn

.
Lời giải
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau
�
�
x = 2y - 3
x - 2y + 3 = 0
�
�
�
�
�2
�
2
2
�
�
x
+
y
2
x
4
y
=
0
2
y
3
(

) + y2 - 2( 2y - 3) - 4y = 0
�
�
�
�
�
�
y =1
y=3
y2 - 4y + 3 = 0 �
�
�
�
��
��
�
�
�
�
x =- 1
x=3
x = 2y - 3
�
�
hoặc �
( 3;3) và ( - 1;1) .
Vậy tọa độ giao điểm là
2: Tìm m để đường thẳng d : y = x + m có điểm chung với đường
Ví dụ
(C ) : x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0

Lời giải
Đường tròn

(C )

có tâm

( ) và có bán kính R =

I 2;1

2.

(C ) khi và chỉ khi
Đường thẳng d có điểm chung với đường tròn
2 - 1+ m
d I , D�‫ۺ‬
�R+�
2
m 1 2
2
� - 2 �m + 1 �2 � - 3 �m �1.

(

)

9

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn:
(C 1) : x2 + y2 - 2x - 4y = 0 và (C 2) : (x + 1)2 + (y - 1)2 = 16. Viết phương
trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn đó.
Lời giải
(C 1)
có tâm I 1(1;- 2) và bán kính R1 = 3
(C 2)

có tâm I 2(- 1;1) và bán kính R2 = 4

I 1I 2 = (- 1- 1)2 + (1+ 2)2 = 13
Ta thấy

R1 - R2 < I 1I 2 < R1 + R2

.

suy ra hai đường tròn cắt nhau.

Gọi điểm M (x;y) thuộc đường thẳng cần tìm
�
x2 + y2 - 2x - 4y = 0
�
�
�
(x + 1)2 + (y - 1)2 = 16
�
Tọa độ M thỏa mãn hệ �
�
x2 + y2 - 2x - 4y = 0

(1)
�
� �2
2
�
x + y + 2x - 2y - 14 = 0 (2)
�
�
(1) - (2) � - 4x + 6y + 10 = 0 � 2x - 3y - 5 = 0(3)
Lấy
Nhận thấy M (x;y) luôn thỏa mãn phương trình (3)

Suy ra đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn là: 2x - 3y - 5 = 0 .
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường tròn
(C ) : x2 + y2 + 2x - 8y - 8 = 0 và (C �
) : x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0. Tìm m
để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua
M ( - 3;4)
điểm
.
Lời giải
Điều kiện để phương trình
2

2

x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 � ( x + 2) + ( y - 3) = 13 - m

là phương

13 - m > 0 � m < 13( *)
(C ) có tâm
trình đường tròn là:
. Đường tròn
I ( - 1;4)
(C �
) có tâm K ( - 2;3) bán kính
bán kính R = 5, Đường tròn
R�
= 13 - m . Ta có vì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B nên tọa độ
A, B tỏa mãn hệ phương trình
�
x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0
�
� 2x + 2y + m + 8 = 0
�2
2
�
x
+
y
+
2
x
8
y
8
=
0
�

�

10


Do đó phương trình đường thẳng AB là: 2x + 2y + m + 8 = 0, Đường
M ( - 3;4)
2( - 3) + 2.4 + m + 8 = 0 � m = - 10
thẳng trên đi qua điểm
nên
thỏa mãn (*).
m = - 10 � ( C �
: x2 + y2 + 4x - 6y - 10 = 0
(C �
) có tâm
)
Với
khi đó
K ( - 2;3)
bán kính R = 23
Ta có IK = 2 và 5 - 23 < 2 < 5 + 23 nên
R - R�
< IK < R + R �suy ra hai đường tròn cắt nhau. Vậy m = - 10.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn

(C ) : x

2

+ y2 + 2x - 8y - 8 = 0

. Viết phương trình đường thẳng song song với
đường thẳng d : 3x + 4y - 2 = 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài
bằng 6.
Lời giải

(C ) : x
Đường tròn

2

+ y2 + 2x - 8y - 8 = 0

có tâm

I ( - 1;4)

và bán kính

R =5
Đường thẳng d�song song với đường thẳng d nên phương trình của d�là:
3x + 4y + m = 0( m �- 2)
Kẻ IH ^ d�� HA = HB = 3 và I H là khoảng cách từ I đến d�
:
- 3+ 4 + m
m +1
IH =
=
5
5

2
2
2
Xét tam giác vuông IHA : IH = IA - HA = 25 - 9 = 16
2
�
m + 1)
m = 19 � d ' : 3x + y + 19 = 0
(
�
= 16 � m + 1 = 20 � �
�
m = - 21 � d ' : 3x + y - 21 = 0
25
�
.
( thỏa mãn ĐK)
Vậy có hai đường thẳng là: 3x + 4y + 19 = 0;3x + 4y - 21 = 0.

11


Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
�
(x - 1)2 + (y + 1)2 �m
�
�
�
(x + 1)2 + (y - 1)2 �m
�

�
.
Lời giải

Với m �0 hệ phương trình vô nghiệm, với m > 0
2
2
Ta có (x - 1) + (y + 1) �m là hình tròn (C 1) có tâm A(1;- 1) , bán kính
R1 = m
.
(x + 1)2 + (y - 1)2 �m là hình tròn (C 2) có tâm B (- 1;1) , bán kính

R2 = m

Dễ thấy hai đường tròn (C 1) , (C 2) khác tâm và có cùng bán kính nên hệ đã
cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (C 1) , (C 2) tiếp xúc ngoài với nhau
� AB = R1 + R2 � 8 = 2 m � m = 2
Vậy với m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 7: Định m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm
�
x2 + y2 + 2x - 4y + 4 = 0
�
�
�
mx - y + 2 = 0
�
�
Lời giải
C ) : x2 + y2 + 2x - 4y + 4 = 0 � (C )
(

D
:
mx
y
+
2
=
0
Gọi
và
có
I ( - 1;2)
tâm
, bán kính R = 1
Số nghiệm của hệ phương trình đã cho cũng là số giao điểm của đường
(C )
thẳng D và đường tròn
Hệ phương trình đã cho có đúng một nghiệm
- m - 2+ 3
� d ( I ;D ) = R �
= 1 � m2 - 2m + 1 = m2 + 1 � m = 0
m2 + 1
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

12


�
x2 + y2 = 9
�

�
�
(2m + 1)x + my + m + 1 = 0
�
Ví dụ 8: Cho hệ phương trình �
(1)
( x ;y ) , ( x2;y2) sao cho biểu thức
Tìm m đề hệ có hai nghiệm 1 1
A = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải

2
2
Ta có x + y = 9 là phương trình đường tròn (C ) tâm O(0;0) và
(2m + 1)x + my + m + 1 = 0 là phương trình đường thẳng d .

Hệ (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại hai
điểm phân biệt.
M ( x1;y1) , N ( x2;y2)
Giả sử giao điểm là
A = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = MN 2 .
Khi đó
A lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất � MN = 2R = 6 � d đi qua
tâm O của đường tròn (C )
� m +1= 0 � m = - 1
Vậy với m = - 1 thì hệ đã cho có hai nghiệm thỏa mãn A đạt giá trị lớn
nhất.
Dạng 4: Tiếp tuyến đường tròn
1.Phương pháp:

•Bài toán 1: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng D
cho trước và thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
2
2
2
Giả sử đường tròn (C ) : (x - a) + (y - b) = R .
Nếu D : Ax + By +C = 0ta dùng điều kiện tiếp xúc:
Aa + Bb +C
d(I , D) = R �
=R
A2 + B 2
.
(C ) có tâm I ( a;b) , bán kính R . Viết
•Bài toán 2: Cho đường tròn

13


phương trình tiếp tuyến tại điểm
Phương pháp:

M 0 ( x0;y0)

.

(

(C ) đi qua
Cách 1: Tiếp tuyến D của

pháp tuyến nên nó có có phương trình:
D : ( x0 - a) ( x - x0) + ( y0 - b) ( y - y0 ) = 0

M 0 x0; y0

) , nhận

uuuur
IM 0

.

M ( x;y)

D của đường tròn
thuộc
u
uur utiếp
uuuu
rtuyến
IM 0 ^ MM 0 � IM 0 .M 0M = 0

Cách 2: Điểm

làm vectơ

(C )

tại M 0 khi

và chỉ khi:
uuur uuu
uuur uuu
r uuur 2
r uuur
� IM 0. IM - IM = 0 � IM 0.IM = IM 0
0

(

)

� D : ( x0 - a) (x - a) + ( y0 - a) (y - a) = R 2

.

M ( xM ; yM )
•Bài toán 3: Tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm
nằm
( C) .
ngoài
Phương pháp:
•
� M ( x ;y ) �D
M
M
D :�
� D : A ( x - xM ) + B ( y - yM ) = 0;(A 2 + B 2 > 0)
�
r

�
D�
c�PVT
�
�
n = ( A;B )
�
�
(C ) � d(I , D) = R
• D tiếp xúc
• Giải phương trình điều kiện trên ta được mối liên hệ tuyến tính giữa A và
B ; Chọn A, B thích hợp ta được phương trình D .
•Bài toán 4: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng
D : ax + by + c = 0,�
(a2 + b2 > 0) .

• Xác định tâm và bán kính của 2 đường tròn:
(C 1) có tâm I 1 ( a1;b1) , bán kính R1 và (C 2) có tâm I 2 ( a2;b2) , bán kính R2 .
�d(I , D) = R
1
� 1
�
(C ) (C ) �d((I , D) = R2 (1)
• D tiếp xúc 1 và 2 ⇔ � 2
• Giải hệ phương trình (1) ta tìm được mối liên hệ giữa a, b, c (Lưu ý: Rút
c theo a, b).
• Chọn a, b, c thích hợp và viết phương trình của D .
Cách 2: Sử dụng đường thẳng có hệ số góc k .
• Xác định tâm & bán kính của 2 đường tròn:

14


I ( a ;b )
I ( a ;b )
(C )
có tâm 1 1 1 , bán kính R1 và 2 có tâm 2 2 2 , bán kính R2 .
•Ta xét 2 trường hợp:
�
x = a1 �R1
�
�
�
x = a2 �R2
TH1: Xét tiếp tuyến vuông góc với trục hoành, có dạng: �
.
+Nếu hệ có nghiệm x = x0 thì đó chính là phương trình tiếp tuyến chung

(C )
1

(C ) (C )
vuông góc với trục hoành của 1 và 2 .
(C ) (C )
+Nếu hệ vô nghiệm thì 1 và 2 không có tiếp tuyến chung vuông góc
với trục hoành.
TH2: Xét tiếp tuyến không vuông góc với trục hoành, có dạng:
D : y = kx + m .
�d(I , D) = R

1
� 1
�
(C ) (C ) �d((I , D) = R2 (1)
+ D tiếp xúc 1 và 2 ⇔ � 2
+Giải hệ phương trình (1) ta tìm được mối liên hệ giữa k, m ; Từ đó viết
phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
Lưu ý: Để kiểm tra kết quả ta dùng tính chất của vị trí tương đối giữa 2
đường tròn. Hạn chế của cách 2 là phải chia trường hợp, học sinh thường nghĩ
đến đường thẳng có hệ số góc k , do vậy nếu không xét trường hợp tiếp tuyến
vuông góc với trục hoành trong một số trường hợp sẽ dẫn tới thiếu nghiệm.
2. Các ví dụ mẫu:
(C ) có tâm I ( - 3;2) và
Ví dụ 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn
một tiếp tuyến của nó có phương trình là: 3x + 4y - 9 = 0. Viết phương trình
(C ) .
của đường tròn
Lời giải
3(- 3) + 4(2) - 9 10
R=
=
=2
2
2
5
3 +4
Bàn kính của đường tròn là

( x + 3)
Vậy phương trình đường tròn là:

2

2

+ ( y - 2) = 4

.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

(C ) :( x - 1)

2

2

+ ( y + 5) = 4

Lời giải
Đường tròn
IM =

( 3- 1)

2

(C )

có tâm

tại điểm

(

M ( 3;- 5)

.

) , bán kính R = 2.

I 1;- 5

2

+ ( - 5 + 5) = 2 = R

15


Do đó điểm

M ( 3;- 5)

Tiếp tuyến của

(C )

tại

thuộc đường tròn
M ( 3;- 5)

(C ) .

uuu
r
IM = 2;0

( )

có véctơ pháp tuyến là
.
(C ) tại M ( 3;- 5) là
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn
d : 2( x - 3) + 0( y + 5) = 0 � x - 3 = 0.
(C ) có tâm I ( 2;- 3) tiếp
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn
(C ) .
xúc với đường thẳng d : 3x - 4y + 7 = 0. Tính bán kính của đường tròn
Lời giải
(C ) tiếp xúc với đường thẳng d, nên (C ) có bán kính:
Vì đường tròn
6 + 12 + 7
R = d ( I ;d) =
=5
9 + 16
.
(C ) : x2 + y2 + 4x - 2y = 0. Biết tiếp tuyến của
Ví dụ 4: Cho đường tròn

(C ) vuông góc với đường thẳng d : 3x - y = 0.
Lời giải
Gọi D là đường thẳng vuông góc với d : 3x - y = 0
� D : x + 3y + c = 0 .
(C ) có tâm I ( - 2;1) , bán kính R = 5 . D là tiếp tuyến của (C )
�
- 2+ 3+ c
c = - 1+ 5 2
�
� d ( I ;D ) = R �
= 5 � c +1 = 5 2 � �
�
c = - 1- 5 2
10
�
�
x + 3y - 1+ 5 2 = 0
�
�
�
x + 3y - 1- 5 2 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là �
.

(C ) : x + y + 2x - 6y + 5 = 0. biết tiếp tuyến
Ví dụ 5: Cho đường tròn
(C ) song song với đường thẳng d : x + 2y - 10 = 0.
của
2

2

Lời giải
Gọi D là đường thẳng song song với d : x + 2y - 10 = 0
� D : x + 2y + c = 0, ( c �- 10) .
(C ) có tâm I ( - 1;3) , bán kính R = 5 .

16


D là tiếp tuyến của ( C )
- 1+ 2.3 + c
� d( I ;D) = R �
= 5 � c+5 = 5�
5

�
c=0
�
�
c = - 10(l )
�
�
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là D : x + 2y = 0.
2

2

(C ) : ( x - 2) + ( y - 2) = 9. Lập phương trình

Ví dụ 6: Cho đường tròn
(C ) biết tiếp tuyến của (C ) qua A ( 5;- 1) .
tiếp tuyến của
Lời giải
(C ) có tâm I ( 2;2) , bán kính R = 3.

uu
r
n = ( a;b) a2 + b2 � 0

A ( 5;- 1)
Đường thẳng qua
có véc tơ pháp tuyến
có phương trình dạng D : ax + by - 5a + b = 0.
D là tiếp tuyến của ( C ) � d ( I ; D ) = R .
- 3a + 3b
�
= 3 � b - a = a2 + b2 � 2ab = 0 �
a2 + b2

(

)

�
a=0
�
�
b= 0
�

.

�
x=5
�
�
y=- 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là �
.

A ( 1;2)
B ( 2;1)
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm
và
.
M ( x;y)
Chứng minh tập hợp các điểm
trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn
2MB 2 = 11+ 3MA 2 là một đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến của đường
D :4x + 3y - 3 = 0
tròn đó, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
.
Lời giải
2MB 2 = 11+ 3MA 2
2
2
2
2�
�
�

� 2�
= 11+ 3�
1- x) + ( 2- y) �
�
(�2- x) + ( 1- y) �
(
�
�
�
� x2 + y2 + 2x - 8y + 16 = 0
2

2

� ( x + 1) + ( y - 4) = 12 ( 1)
M ( x;y)

trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn
2MB 2 = 11+ 3MA 2 là một đường tròn ( C ) có phương trình ( 1)
(C ) có tâm I ( - 1;4) , bán kính R = 1.
Đường tròn
Chứng tỏ tập hợp các điểm

17


Phương trình đường thẳng D �song song với đường thẳng D có dạng:
4x + 3y + c = 0( c �- 3)
.
C

d I ,D�
) =R
D �là tiếp tuyến của ( ) khi và chỉ khi: (
�
- 4 + 12 + c
c =- 3
�
=1� �
�
c = - 13
16 + 9
�
�
Vì c �- 3 nên chỉ có c = - 13 thỏa mãn.
D�
:4x + 3y - 13 = 0.
Vậy tiếp tuyến cần tìm là
(Oxy) , cho đường tròn
Trong mặt phẳng
Ví dụ 8:

(C ) : ( x - 1)

2

2

+ ( y + 1) = 10

. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

D : 2x + y - 4 = 0
0
biết tiếp tuyến tạo với
một góc bằng 45 .
Lời giải
Đường tròn

(C )

có tâm
M ( x0;y0)

(

) và bán kính R =

I 1;- 1

(C )

10 .

Gọi tiếp điểm
, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
d : ( x - 1) ( x0 - 1) + ( y + 1) ( y0 + 1) = 10

� ( x0 - 1) x + ( y0 + 1) y - x0 + y0 - 8 = 0 ( 1)
2

2

M ( x0;y0) �( C ) � ( x0 - 1) + ( y0 + 1) = 10( 2)

Vì
0
Đường thẳng d tạo với D một góc bằng 45 khi và chỉ khi
2( x0 - 1) + 1.( y0 + 1)
cos450 =
2
2
4 + 1. ( x0 - 1) + ( y0 + 1)
�
y0 = 6- 2x0
� 2x0 + y0 - 1 = 5 � �
�
y = - 4 - 2x0
�
�0

( 3)
( 4)

�
�
x0 = 2
�
�
�
�
�

�
y0 = 2
M 1 ( 2;2)
�
�
�
�
.
�
�
�
x
=
4
M
4;
2
�
(
)
�
�0
�2
�
�
�
y0 = - 2
( 2) ,( 3) ta được: �
�
�

Giải hệ phương trình tạo bởi

18


�
�
x0 = 0
�
�
�
�
�
y0 = - 4 �
M 3 ( 0;- 4)
�
�
��
.
�
�
�
x
=
2
M
2;0
�
)
�

�0
�4(
�
�
�
y0 = 0
�
2) ,( 4)
(
�
�
Giải hệ phương trình tạo bởi
ta được:
M 1 ( 2;2)

( 1) ta được tiếp tuyến d1 : x + 3y - 8 = 0.
, thay vào
M ( 4;- 2)
( 1) ta được tiếp tuyến d2 : 3x - y - 14 = 0.
Với 2
, thay vào
M ( 0;- 4)
( 1) ta được tiếp tuyến d3 : x + 3y + 12 = 0.
Với 3
, thay vào
M ( - 2;0)
( 1) ta được tiếp tuyến d4 : 3x - y + 6 = 0.
Với 4
, thay vào
d, d, d , d

(C ) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Vậy có bốn tiếp tuyến 1 2 3 4 tới
Với

2

2

(Oxy) , cho (C ) : ( x - 2) + ( y - 1) = 5. Viết
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng
(C ) biết tiếp tuyến cắt Ox; Oy lần lượt tại A; B sao
phương trình tiếp tuyến của
cho OA = 2OB
Lời giải
(C ) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = 5
A; B
Ox; Oy
Tiếp tuyến cắt
lần lượt tại
sao cho OA = 2OB � Tiếp tuyến
OB
1
k=�
=�
OA
2.
có hệ số góc
1
1
k= �

D : y = x +b
2
2
Trường hợp 1: Với
Phương trình tiếp tuyến có dạng
� 5
�
b=
2b
� 2
�
= 5� �
5
�
5
b
=
�
2.
�
D là tiếp tuyến của ( C ) � d ( I ; D ) = R
1
5
1
5
y= x+
y = x- .
2
2 và
2

2
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1
k =- �
2
Trường hợp 2: Với
Phương trình tiếp tuyến có dạng
1
d : y = - x +m
(C ) � d( I ;d) = R
2
do d là tiếp tuyến của

19


� 9
�
m=
4 - 2m
� 2
�
= 5��
1
�
5
m=�
2.
�
y =-

1
9
1
1
x+
y =- x2
2 và
2
2

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ 10: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
(C 1) : x2 + y2 - 4y - 5 = 0 và (C 2) : x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0.
Lời giải
I ( 0;2)
(C )
Đường tròn 1 có tâm 1
bán kính R1 = 3.

I ( 3;- 4)
(C )
Đường tròn 2 có tâm 2
bán kính R2 = 3.
2
2
Gọi D : ax + by + c = 0 với a + b > 0;
�
d(I 1, D) = 3

��
�
�
d(I 2, D) = 3
C 1)
C 2)
(
(
�
D là tiếp tuyến chung của
và
�
2b + c = 3 a2 + b2 ( *)
�
�
��
�
3a - 4b + c = 3 a2 + b2
�
�
�
a = 2b
�
2b + c = 3a - 4b + c � � - 3a + 2b
�
c=
�
2
�
Suy ra

a = 2,b = 1
TH1: Nếu a = 2b chọn
thay vào (*) ta được c = - 2 �3 5

nên ta có 2 tiếp tuyến là 2x + y - 2 �3 5 = 0
- 3a + 2b
c=
2b - a = 2 a2 + b2 �
2
TH2: Nếu
thay vào (*) ta được
a = 0 hoặc 3a + 4b = 0
+ Với a = 0 � c = b, chọn b = c = 1 ta được D : y + 1 = 0
a = 4,b = - 3,c = - 9
+ Với 3a + 4b = 0 � c = 3b, chọn
ta được
D : 4x - 3y - 9 = 0
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là:
2x + y - 2 �3 5 = 0; y + 1 = 0; 4x - 3y - 9 = 0
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

20


2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2019-2020 tôi dạy 2 lớp 10C6 và
10C7 là hai lớp cơ bản có học lực tương đương theo đánh giá trong kỳ 1. Do
điều kiện về thời gian lớp 10C6 không được ôn tập bài tập trong sáng kiến này,
còn lớp 10C7 được ôn tập đầy đủ các dạng bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm
này. Kết quả bài kiểm tra 45’ sau thời gian học và ôn tập bài “Phương trình

đường tròn” theo đánh giá của tôi là học sinh lớp 10C7 làm bài tốt hơn lớp
10C6. Cụ thể như sau:
Số hs
Số hs
Số hs Điểm trung
Điểm
điểm
Điểm thấp
Sĩ số điểm
khá,
bình trung
cao
Lớp
trung
nhất
yếu
giỏi
cả lớp
nhất
10C6
bình
37

Lớp
10C7

5

Số hs
Sĩ số điểm

yếu
40

2

27

5

5,9

3

8

Số hs
điểm
trung
bình

Số hs
khá,
giỏi

Điểm trung
bình trung
cả lớp

Điểm thấp
nhất

Điểm
cao
nhất

26

12

6,8

5

10

2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: có tài liệu tham khảo khi
giảng dạy bài “Phương trình đường tròn” chương trình hình học lớp 10.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chuyên đề này, tôi thấy các em
học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về phương trình đường tròn và kết
quả làm bài tập về phần này có nhiều tiến bộ.
Với thời lượng hạn chế trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi
có bổ sung thêm một số kiến thức liên quan ở trong phần phụ lục. Bên cạnh đó
tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho học
sinh học bài “Phương trình đường tròn” và được lưu ở thư viện nhà trường để
các đồng nghiệp và học sinh tham khảo.
4.Tài liệu tham khảo

1. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoàn, Trần Đức Huyên
và cộng sự (2006). Hình học 10, nhà xuất bản giáo dục, 3, 81-83.
5. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2
T
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh
Kết
Năm
T
giá xếp loại
quả
học
(Ngành GD
đánh
đánh
cấp
giá xếp
giá
huyện/tỉnh;
loại
xếp
21


1

2

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và
phát triển một bài toán.
Hướng dẫn học sinh THPT
Thường Xuân 2 sử dụng máy
tính Casio FX-570ES trong

Tỉnh...)

(A, B,
hoặc C)

Ngành GD

C

2006-2007

Ngành GD

C

2012-2013

Ngành GD

C

2015-2016

loại

giải toán.
Hướng dẫn học sinh THPT sử
dụng đường thẳng và đường
3

tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ
phương trình và hệ bất
phương trình đại số.

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 02 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này
do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu
sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
Tác giả

Đỗ Văn Hào

22