Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ thị hàm số

MỤC LỤC
Nội dung
1.MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2.NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
2.2.Thực trạng của vấn đề.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Phân dạng, nhận dạng, xây dựng các bài toán tổng quát.
2.3.1.1. Dạng 1:Từ đồ thị hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
2.3.1.2.Dạng 2:Từ đồ thị hàm số tìm điểm cực trị của hàm số.
2.3.1.3 Dạng 3:Từ đồ thị hàm số nhận biết hàm số .
2.3.1.4. Dạng 4: Các phép biến đổi đồ thị .
2.3.1.5 Dạng 5.Từ đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình.
2.3.2. Các bài tập rèn luyện kĩ năng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Trang
2
2
2
3
3
3

3-5
5
6
6
6
7-8
8-10
10-12
12-15
15-18
18
18
18
19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Năm học 2019 -2020 là năm học tiếp tục thực hiện Nghị quyết 29 của Ban
chấp hành TW Đảng khóa XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và
đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế
thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá
trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm
hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với
kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Ý thức được điều đó, tôi
luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng

tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến
thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tòi các
phương pháp mới phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt hơn với sự thay đổi
của hình thức thi THPT Quốc Gia. Đặc biệt, bắt đầu từ năm học 2016 - 2017
(Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán đã áp dụng hình thức thi trắc
nghiệm. Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên mà cả với
học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới. Việc chuyển từ thi tự
luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quen
thuộc của các em. Do hình thức thi trắc nghiệm môn Toán còn mới nên các tài
liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi trắc nghiệm còn ít, các thầy cô,
nhà trường cũng chưa có nhiều kinh nghiệm về thi trắc nghiệm môn Toán. Hơn
nữa, các em học sinh còn chưa định hướng đúng được cách học để làm bài thi
trắc nghiệm.
Làm thế nào để giải quyết được những khó khăn của các em học sinh và
định hướng đúng cách học của các em học sinh? Vì vậy tôi đã nghiên cứu xây
dựng các chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho các em trong các kì
thi THPT Quốc Gia năm học 2018-2019 và năm học 2019-2020. Trong các
chuyên đề xây dựng ở các năm học 2018-2019 và 2019-2020, có nhiều chuyên
đề hay được áp dụng trong kì thi THPT Quốc Gia như: Các bài toán vận dụng
Toán học vào thực tế; Bài toán về hàm hợp; …Tuy nhiên, tôi tâm đắc nhất là
chuyên đề đồ thị hàm số và các bài toán liên quan. Trong khuôn khổ đề tài này,
tôi xin được trình bày: “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về
đồ thị hàm số” giúp học sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán
theo hình thức trắc nghiệm.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Từ đồ thị hàm số để nhận dạng và suy ra các tính chất của hàm số là dạng
toán được khai thác từ sách giáo khoa theo hướng thi trắc nghiệm. Với hình thức
thi trắc nghiệm, học sinh không phải vẽ đồ thị hàm số trong bài thi nhưng phải
hiểu đúng bản chất của đồ thị. Đây là hướng khai thác mới của bài toán đồ thị

hàm số để phù hợp với hình thức thi trắc nghiêm. Trong đề thi THPT Quốc Gia
2


những năm qua, có nhiều câu hỏi dạng cho đồ thị hàm số sau đó giải quyết các
bài toán liên quan ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng. Vì vậy, cần phải
xây dựng chuyên đề “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ
thị hàm số”
Mục đích: Đề tài này góp phần trang bị cho các em cách nhìn nhận một đồ
thị hàm số để giải quyết yêu cầu của bài toán. Qua đó học sinh có thể giải được,
giải đúng, giải nhanh dạng toán về đồ thị trong các đề thi. Đồng thời, phát triển
tư duy cho học sinh: tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tổng hợp, tư duy trừu
tượng, và thói quen đặt câu hỏi ngược khi giải quyết một vấn đề, nhìn nhận vấn
đề dưới nhiều góc cạnh từ đó tìm phương án nhanh gọn để giải quyết hiệu quả
nhất. Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thành công của mỗi
học sinh trong tương lai.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Lớp 12A4 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.
- Lớp 12A10-12A11 năm học 2019-2020 của trường THPT Yên Định 1.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là phương pháp:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến
thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và các đề minh họa, đề khảo sát của
Sở GD Thanh Hóa từ năm học 2016-2017; đọc tài liệu tham khảo có liên quan
đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào bài
toán cụ thể.
Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định
hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A4 năm học 2018-2019 và lớp
12A10- 12A11 năm học 2019-2020.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập cho học sinh ”.
- Dựa vào các kiến thức về hàm số trong SGK giải tích 12 nâng cao.
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
Định lí 1. (Về mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm)
Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K
'
- Nếu f ( x )  0, x �K thì f (x) đồng biến trên K
'
- Nếu f ( x )  0, x �K thì f (x) nghịch biến trên

K

2.1.2. Cực trị của hàm số
3


Định lí 2. Giả sử hàm số y  f (x) liên tục trên khoảng K  x0  h; x0  h  và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  với h  0 .
�f '  x0   0, x � x0  h; x0 
- Nếu �
thì x0 làmột điểm cực đại của hàm số f (x)
�f '  x0   0, x � x0 ; x0  h 
�f '  x0   0, x � x0  h; x0 
- Nếu �
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x)

�f '  x0   0, x � x0 ; x0  h 

2.1.3. Đồ thị của hàm số
- Hàm số y ax 3  bx 2  cx  d (a 0)
a>0

a<0
y

Phương trình
y , 0 có
hai nghiệm
phân biệt

y

o
o

x

a<0

a>0
y

Phương trình
y , 0 có
nghiệm kép

y

o

Phương trình
y’= 0 vô
nghiệm

x

x

x

y

y

o

o

x

o

x

4

- Hàm số bậc 4 trùng phương y ax 4  bx 2  c (a 0)

- Hàm số

y

ax  b
(c �0,ad-bc �0)
cx  d

y

y

0

x

ad – bc > 0

0

x

ad – bc < 0

2.2. Thực trạng của vấn đề.
Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài toán về đồ thị hàm số
học sinh không cần phải vẽ đồ thị hàm số. Tuy nhiên, trong quá trình học, các

em phải biết vẽ đồ thị hàm số từ đó biết suy luận ra các tính chất của hàm số.
Chính vì vậy, bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi khai thác rất nhiều câu
hỏi từ đồ thị để yêu cầu học sinh phải nắm được đúng bản chất của đồ thị.
Khi gặp dạng toán về đồ thị hàm số, đối vói học sinh giỏi thì có thể suy luận
được. Tuy nhiên, vói những học sinh khá, trung bình thì lúng túng và không có
5


định hướng giải bài toán một cách chủ động. Trong khi đó, tài liệu cơ bản vói
các em là sách giáo khoa thì các câu hỏi cho hình thức trắc nghiệm cho bài toán
về đồ thị hàm số còn chưa nhiều.
Đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa từ các năm 2017 có nhiều câu hỏi
về đồ thị hàm số. Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn
gặp nhiều khó khăn trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải, đặc
biệt đối với học sinh có năng lực khá, trung bình . Vì vậy, tôi xây dựng đề tài
“Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ thị hàm số” để ôn
luyện cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Phân dạng, nêu cách nhận dạng, xây dựng các bài tổng quát.
2.3.1.1. Dạng 1:Từ đồ thị hàm số tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Cách nhận biết tính đơn điệu của hàm số khi biết đồ thị:
- Nếu đồ thị có hướng “đi lên” từ trái qua phải thì hàm số đồng biến.
- Nếu đồ thị có hướng “đi xuống” từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến.
Ví dụ 1
Cho hàm số y  f (x) liên tục trên R và có đồ thị
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. f (x) nghịch biến trên khoảng  2;  
B. f (x) đồng biến trên khoảng   ;  2
C. f (x) nghịch biến trên khoảng  0; 2

D. f (x) nghịch biến trên khoảng   2; 0

y

1
2

2
O

x

3

Hướng dẫn
Chọn đáp án C
Từ đồ thị ta có:
Đồ thị có hướng “đi lên” trên các khoảng   2; 0 và  2;  
Đồ thị có hướng “đi xuống” trên các khoảng  0; 2 và   ; 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng   2; 0 và  2;   và nghịch biến trên các
khoảng  0; 2 và   ; 2
Ví dụ 2[1]. Đường cong hình bên là đồ
thị hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
(�;1) và (1;  �) .
B. Hàm số nghịch biến trên R
C. Hàm số đồng biến trên R
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
(�;1) và (1;  �) .

y

1
-1
-3

O

-1

1

x

-3

6


Hướng dẫn
Chọn D
Đồ thị hàm số có hướng “đi xuống” từ trái qua phải trên từng khoảng xác định.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (�;1) và (1;  �) .
2.3.1.2. Dạng 2:Từ đồ thị hàm số tìm các điểm cực trị .
Cách nhận biết cực trị từ đồ thị hàm số y  f  x  .
Nếu qua x0 đồ thị “chuyển hướng” . Khi đó y , đổi dấu qua điểm x0
Suy ra x0 là điểm cực trị của hàm số.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  xác
định, liên tục trên đoạn [1;3] và có đồ
thị là đường cong như hình vẽ. Hàm

số f  x  đạt cực đại tại điểm nào dưới
đây ?
A. x  2 .
B. x  0 .
C. x  2 .
D. x  1 .
Hướng dẫn
Chọn đáp án B
Phân tích đồ thị:
- Đồ thị hàm số “chuyển hướng” qua hai điểm x  0 và x  2 .
- Qua điểm x  0 đồ thị từ có hướng “đi lên” chuyển sang hướng “đi xuống”
.Khi đó, y’ đổi dấu từ “ + ‘’ sang “-“
Vậy x = 0 là điểm cực đại của hàm số .
y
Ví dụ 4[3]. Cho hàm số y  f ( x) liên tục
trên R và có đồ thị là đường cong như hình
2
vẽ bên. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số y  f ( x) .
x
A. y  2.
B. x  0.
-2 -1 O
1 2
C. M (0; 2).
D. N (2; 2).
-2

Hướng dẫn
Chọn đáp án C

Phân tích đồ thị:
- Đồ thị “chuyển hướng” qua ba điểm x= -2; x = 0; x = 2
- Qua điểm x = 0 từ có hướng “đi xuống” sang hướng “đi lên”.
Khi đó, y’ đổi dấu từ “ - ‘’ sang “+“ nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M  0; 2 .
7


Lưu ý: Bài toán này học sinh dễ chọn nhầm phương án B. Do vậy, giáo viên cần
nhấn mạnh cho học sinh là điểm của đồ thị là điểm hình học .
Ví dụ 5[ 2]. Cho hàm số
y ax 3  bx 2  cx  d ( a, b, c, d  R) có

đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực
trị của hàm số này là ?
A. 0
C. 3

B. 1
D. 2

C. 3

D. 2

Hướng dẫn
Chọn đáp án D
Phân tích đồ thị:
- Đồ thị hàm số “chuyển hướng “ qua hai điểm.
Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

2.3.1.3. Dạng 3:Từ đồ thị hàm số nhận biết hàm số.
Cách nhận biết hàm số khi biết đồ thị hàm số:
- Căn cứ vào hình dạng đồ thị của các hàm số thường gặp như:
y ax 4  bx 2  c (a 0)

y ax 3  bx 2  cx  d (a 0)

y

ax  b
(c �0,ad-bc �0) .
cx  d

- Căn cứ vào các yếu tố khác như tiệm cận, giao vói trục tung, cực trị ,…
Ví dụ 6[3]. Hình vẽ bên là đồ thị của
hàm số nào?
A. y   x 3  4 x.
B. y  x3  4 x.
C. y  x 4  4 x 2 .
D. y   x 4  4 x 2 .

Hướng dẫn
Chọn đáp án D
Phân tích đồ thị:
- Hình vẽ là dạng đồ thị của hàm số y ax 4  bx 2  c (a 0) (nên ta loại phương
án A, B.
8


- Từ hình dạng của đồ thị hàm số y ax 4  bx 2  c (a 0) ta có a < 0

Vậy hình vẽ là đồ thị của hàm số y   x 4  4 x 2 .
Ví dụ 7[2]. Đồ thị của hàm số nào
dưới
đây có dạng như đường cong trong
hình vẽ bên .
y   x4  2 x2  1
A.
y   x3  3x  1
B.
y  x3  3x 2  1
C.
y  x4  2x2  1
D.
Hướng dẫn
Chọn đáp án B
- Đồ thị đã cho có dạng là đồ thị của hàm số y ax 3  bx 2  cx  d (a 0) nên ta
loại đáp án A, D.
Căn cứ vào hướng đi của đồ thị ta có a < 0 nên ta chọn đáp án B
y

Ví dụ 8[2]. Cho đường cong trong hình
vẽ bên dưới là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A,B,C,D dưới đây. Hỏi đó là
hàm số nào ?
2x  3
.
x 1
C. y  2 x  2 .
x 1

A. y 

2x 1
.
x 1
D. y  2 x  1 .
x 1

2
1

B. y 

O

x

Hướng dẫn
Chọn đáp án B
- Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận x = -1 và y = 2 nên ta loại đáp án
C, D
- Đồ thị hàm số đã cho có hướng “đi lên” nên hàm số đồng biến ta loại đáp án A.
Ví dụ 9[1]. Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y  

x4
 2x2  1?
4

9

y
3
y

2

3

1

2

x

1

-3

x
-3

-2

-1

1

2

-2

-1

3

1

2

3

-1

-1

-2

-2
-3

A.

.

y

-3

B.

.
y

3
3

2

2

1

1

x
-3

-2

C.

-1

1

2

x

3

-3

-2

-1

1

-1

-1

-2

-2

-3

.

D.

2

3

-3

Hướng dẫn
Chọn đáp án C
- Đáp án A, B không là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương nên loại.
- Giao điểm của đồ thị hàm số y  

x4
 2 x 2  1 với trục tung là điểm (0; -1) nên
4

ta loại đáp án D.
Ví dụ 10[3]. Cho hàm số y 

ax  b
có đồ
cx  d

thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. bc  0, ad  0 .
B. ac  0, bd  0 .
C. bd  0, ad  0 .
D. ab  0, cd  0 .

y

f(x)=(2x+1)/(2x-2)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t)=t

O

x

Hướng dẫn
Chọn đáp án A
Từ đồ thị ta thấy:
a
c
d
-Tiệm cận đứng x  nằm bên phải Oy
c
 b
- Giao điểm của đồ thị vói trục Oy là  0;  ở phía dưới trục Ox
 d
 b 
- Giao điểm của đồ thị với trục Ox  ;0  ở bên trái trục Oy
 a 

-Tiệm cận ngang y  nằm phía trên trục Ox

10


�ac  0
d
�a

0,



0
�
�
cd  0
bc  0
�
�c
�
c
�
��
Do vậy �
�
bd  0
ad  0
�
�b  0,  b  0
�
�d
�
a
�ab  0

2.3.1.4. Dạng 4: Các phép biến đổi đồ thị.
Phương pháp:
- Từ đồ thị hàm số y  f (x) suy ra đồ thị các hàm số y | f ( x) | và y  f (| x |)
voi f ( x ) 0
 f ( x)
y | f ( x ) | 

  f ( x ) voi f ( x )  0
 f ( x) voi x 0
y  f ( x ) 
 f (  x) voi x  0
Lưu ý. Đồ thị hàm số y | f ( x) | nằm phía trên và trên trục hoành. Đồ thị hàm số
y  f (| x |) nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ta có:

3
Ví dụ 11. Hàm số y  x  3x  2 có đồ thị nào dưới đây:

A.

.

B.

. C.
Hướng dẫn

.

D.

.

Chọn A
3
- Chúng ta thấy rằng y  x  3x  2 �0 nên đồ thị phải nằm trên trục hoành, loại

đáp án D.
- Đáp án B, C hai đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng là hàm chẵn mà hàm
số đề bài cho không phải là hàm chẵn nên loại B, C.
Ví dụ 12[1]. Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị
Hình 2 là của hàm số nào dưới đây ?

11


.
3

A. y  x  6 x  9 x .

B. y  x  6 x 2  9 x .

C. y   x3  6 x 2  9 x .

D. y  x  6 x  9 x .

3

2

3

2

Hướng dẫn
Chọn B

Đồ thị hàm số ở hình 2 nhận trục tung làm trục đối xứng nên loại đi hai đáp án
A và C
Mặt khác, với x  1, ta có y  1  4 (nhìn vào đồ thị) nên chọn phương án
3

y  x  6x2  9 x .

Ví dụ 13[1]. Đường cong trong hình
bên dưới là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào ?
A. y  ln  x  1  ln 2
B. y  ln x .
C. y  ln x  1  ln 2 .
D. y  ln x .
Hướng dẫn
Chọn B
Đồ thị đã cho nằm bên phải trục tung nên tập xác định của hàm số là D  0;  
nên ta loại các đáp án A, C, D
Mặt khác đồ thị đã cho nằm phía trên trục hoành nên là đồ thị hàm số y  ln x
2.3.1.5 Dạng 5. Từ đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình.
Cách giải.
Số nghiệm của phương trình f  x  m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f (x)
và đường thẳng y m .

12


4

2
Ví dụ 14[1]. Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của
phương trình f  x   1  0 là.

A. 4 .
C. 3 .

B. 2 .
D. 1 .

Hướng dẫn
Chọn C
- Ta có f  x   1  0 � f  x   1 .
- Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và
đường thẳng y  1 .
- Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  1 tại 3 điểm
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Ví dụ 15 [1]. Cho hàm số y  f  x  có đồ
thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của
1 f  x

phương trình 1  f x  2 là:
 
A. 2 .
D. 1 .

B. 4 . C. 3 .

Hướng dẫn

Chọn B

1 f  x

1
- Ta có 1  f x  2 � 1  f  x   2  2 f  x  � f  x   
 
3

- Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y  

1
tại bốn
3

điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.

13


Ví dụ 16. Cho hàm số y  f  x  đồ thị
như hình bên. Tìm số nghiệm của
phương trình 2 f  x   1  0 .
A.
C.

6.
0.

B. 4 .
D. 3 .

Hướng dẫn
Chọn A
- Ta có : 2 | f ( x) |  1 0  | f ( x) |

1
2

- Số nghiệm của phương trình | f ( x) |
và đồ thị hàm số y  f  x  .

1
1
là sô giao điểm của đường thẳng y 
2
2

- Ta có đồ thị hàm số y  f  x  .

Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Chú ý: Đồ thị hàm số chỉ cần xác định một cách tương đối thông qua giá trị cực
đại, cực tiểu.
Ví dụ 17[1]. Cho hàm số
f  x   x 3  3x 2  2 có đồ thị là đường cong
trong hình bên. Hỏi phương trình :

x

3

 3x 2  2   3  x 3  3 x 2  2   2  0
3

2

có bao nhiêu nghiệm thực dương phân
biệt ?
A. 5 .
B. 7 .
C. 1 .
D. 3 .
Hướng dẫn
Chọn A
14


t 1
�
�
t  1 3 .
- Đặt t  x 3  3x 2  2 , ta có phương trình t 3  3t 2  2  0 � �
�
t  1 3
�

- Với t  1 � f  x   1 . Quan sát đồ thị hàm số y  f  x  , ta thấy đường thẳng y  1
cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành
độ dương nên phương trình t  1 có hai nghiệm x dương phân biệt.

- Với t  1  3 . Quan sát đồ thị hàm số y  f  x  , ta thấy đường thẳng y  1  3
cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại một điểm và là điểm có hoành độ dương nên
phương trình t  1  3 có một nghiệm x dương.
- Với t  1  3 . Quan sát đồ thị hàm số y  f  x  , ta thấy đường thẳng y  1  3
cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành
độ dương nên phương trình t  1  3 có hai nghiệm x dương phân biệt.
Vậy phương trình bài ra có 5 nghiệm phân biệt dương.
2.3.2. Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng.
- Xây dựng các bài tập có đủ 3 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp.
- Xây dựng bài tập đủ 5 dạng đã nêu trong đề tài.
Câu 1. Cho đồ thị hàm số y  f  x 
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
y  f  x  đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.  2; 2  .

B.  �; 0  .

C.  0; 2  .

D.  2;  � .

Câu 2. Cho hàm số f  x  liên tục
trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới
15


đây, hàm số f  x  nghịch biến trên
khoảng nào?
A.  1; � .

B.  1;1 .
C.  �;0  .
D.  �; 1 .

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  xác định,
liên tục trên đoạn  2; 2 và có đồ thị
là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số f  x  đạt cực đại tại điểm nào
dưới đây?
A. x  2 .
B. x  1 .
C. x  1 .
D. x  2
D. x  2

Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  1;3
và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  2.
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x  0, x  3.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  1.
D. Hàm số có hai điểm cực đại là x  1, x  2.
Câu 5. Trong các hình vẽ sau, hình nào biểu diễn đồ thị của hàm số
y   x 4  2x 2  3 .

A.

.

B.

.

16


C.

.

D.

.

Câu 6. Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có
đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Câu 7. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên
đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong như
hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương
trình f  x   1 trên đoạn  2;2 .
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.

y
4
2
-2

x1

x2

O

x

2

-2
-4

Câu 8.Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
như đường cong hình dưới. Phương trình
f  x   1 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .

y

17

O

x


Câu 9. Hàm số y   x  2   x  1 có đồ
thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây
2
là đồ thị của hàm số y  x  2  x  1 ?
2

O

y

y

y

O

x

y

x
O

A.

B.

x

O

C

x

D

Câu 10. Cho hàm số f  x   x  3x  2 có đồ thị là đường cong trong hình bên
3
dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình x  3x 2  2  m
có nhiều nghiệm thực nhất.
3

A. 2 �m �2 .

2

B. 2  m  2 .

D. 0  m  2 .

C. 0 �m �2 .

ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

C

D

B

A

C

D

D

D

A

B

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- Trong quá trình giảng dạy triển khai đề tài, tôi thấy đề tài của mình phần nào
đã giúp học sinh phân loại và nêu cách giải, có thể giải được tốt một số dạng bài
toán về đồ thị hàm số. Đặc biệt, với những học sinh có lực học trung bình, khá
thì việc phân loại và nêu từng dạng cho các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
áp dụng vào bài giảng là rất thành công. Các em nhận dạng, nêu được phương
pháp giải và ứng dụng tốt vào bài làm. Ngoài ra các em còn rèn luyện được kỹ
năng làm bài, tránh được sai sót trong tính toán.
18


- Trong năm học 2019 – 2020 từ các đề của năm học trước tôi bổ sung, xây dựng
hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở lớp 12A10,
12A11. Kết quả hai lần kiểm tra được thống kê tại bảng sau:
Tỉ lệ điểm
Sĩ
Trước khi áp dụng

Sau khi áp dụng
Lớp
số
SKKN
SKKN
Giỏi Khá TB
Yếu Giỏi Khá TB
Yếu
12A1 45
2%
18% 58% 22% 15% 36% 49%
0
12A1 43
3%
19% 57% 21% 16% 35% 49%
1
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng toán và qua thực
nghiệm tôi nhận thấy: Học sinh đã tự tin hơn khi giải dạng toán về đồ thị hàm
số. Việc vận dụng “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ
thị hàm số” vào từng bài toán cụ thể học sinh đã có hướng đi rõ ràng và thành
thạo. Học sinh hứng thú học tập dạng toán đồ thị hàm số. Trên lớp cũng như làm
bài tập về nhà học sinh đã tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập khi giải dạng
toán về đồ thị hàm số.
Qua hai đề kiểm tra ở trên ta nhận thấy kết quả học tập của học sinh đã tiến
bộ rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nâng cao. Trong các lần thi kiểm tra
kiến thức thi THPT Quốc Gia của trường và các lần thi học kì hầu hết các học
sinh được học đề tài này đều hoàn thành tốt dạng toán về đồ thị hàm số. Điều đó
thể hiện sự hiệu quả của đề tài.

3.2. Kiến nghị.
Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá trình
tham khảo các đề thi : THPT Quốc Gia từ năm 2017 ; Các đề minh họa của các
năm học, các tài liệu liên quan trên mạng. Qua quá trình tìm hiểu khó khăn của
học sinh có lực học trung bình, khá khi giải dạng toán đồ thị hàm số. Bản thân
tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc
phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học. Do
đó tôi xây dựng đề tài“Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về
đồ thị hàm số” để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia. Với định hướng
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả
năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say
mê, hứng thú học tập cho các em và để các em không còn sợ môn toán.
Tôi mong đề tài “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ
thị hàm số” được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi
nhận và được giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù
hợp với thực tiễn về sự thay đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục.
19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 7 năm
2020
Tôi cam đoan đây là SKKN tôi viết,
không sao chép nội dung của người
khác.

Hoàng Thị Thể

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Các đề thi thử của các trường THPT trên các trang mạng.
[2] Các đề thi khảo sát của Sở GD Thanh Hóa từ năm 2017.
[3] Đề thi và đề minh họa của Bộ GD từ năm 2017.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.
Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thể
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Yên Định 1 - Yên Định Thanh Hóa.
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại

Kết quả Năm học
đánh giá đánh giá
xếp loại xếp loại
20


1

Một số sai lầm khi giải phương Sở GD&ĐT
trình bất phương trình của học
sinh lớp 10 và hướng khắc phục

C

2011-2012

21


PHỤ LỤC
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1
GIÁO VIÊN: HOÀNG THỊ THỂ

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ
BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thời gian làm bài: 15 phút
(Trước khi áp dụng SKKN)

ĐỀ SỐ 1
Họ và tên: ………………………………………………………..………. Lớp:…………………
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  xác định
trong khoảng  a; b  và có đồ thị như
hình bên dưới. Trong các khẳng định
dưới đây, khẳng định nào là sai?
 x1   0 .
A. f �
 x3   0 .
B. f �
C. Hàm số y  f  x  có đạo hàm trong
khoảng  a; b  .
 x2   0 .
D. f �

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đồ
thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x 
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �;0 
B.  2; 2 
C.  2;  �
D.  0; 2 

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
như hình bên dưới. Hàm số có giá trị
cực đại bằng ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .

22


Câu 4. Cho hàm số y  f  x  xác
định, liên tục trên R và có đồ thị là
đường cong trong hình vẽ bên. Hàm
số f  x  đạt cực đại tại điểm nào dưới
đây ?
A. x  1 .
B. x  0 .
C. y  0 .
D. x  1 .

Câu 5. Biết hình bên là đồ thị của
một trong bốn hàm số sau, hỏi đó là
đồ thị của hàm số nào?
A. y  x 4  2 x 2 . B. y  x 4  2 x 2  1 .
C. y  x 4  2 x 2 . D. y   x 4  2 x 2 .

Câu 6. Cho hàm số y 

y
O

x

ax  1
có đồ thị
xb

như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. a  b  0 .
B. a  0  b .
C. a  b  0 .

D. a  0  b .

Câu 7. Cho hàm số y 
hàm số nào sau đây?

x2
có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là đồ thị của

2x 1

23


x2

A. y  2 x  1 .

B. y 

x 2

x2
.
2x 1

C. y  2 x  1 .

D. y 

x2
.
2x 1

Câu 8. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
trong hình bên. Phương trình f  x   1
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt
lớn hơn 2 .
A. 1 .

B. 2 .
3
C. .
D. 0 .

Câu 9. Hình vẽ bên dưới là đồ thị
của hàm số y  x 3  3x  1 . Tất cả các
giá trị của m để phương trình
| x 3  3 x  1 | m có 3 nghiệm đôi một
khác nhau là
A. m 0
B. 1  m  3 , m  0
C. m  0 , m  3
D.  1 m 0
Câu 10. Cho hàm số
f  x   x 4  4 x 2  3 có đồ thị là đường
cong trong hình bên. Hỏi phương
trình
4
2
 x4  4 x 2  3  4  x4  4 x2  3  3  0 có
bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
A. 0
B. 9 .
C. 8 .
D. 4 .

ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

D

D

C

B

A

B

C

A

B

A

24


TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1
GIÁO VIÊN: HOÀNG THỊ THỂ

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ
BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thời gian làm bài: 15 phút
(Trước khi áp dụng SKKN)

ĐỀ SỐ 2
Họ và tên: ………………………………………………. Lớp:……..
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây ?
A.  �;0  .

C.  0; 2  .

B.





2; � .

D.  2;2  .

Câu 2 Đường cong trong hình vẽ
bên là đồ thị của hàm số có dạng
y  ax 3  bx 2  cx  d  a �0  . Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;1
B.  1; �
C.  �;1
D.  1; �

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
hình bên. Hàm số y  f  x  có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .
C. 2 .

B. 1 .
D. 5 .

25