RÈN LUYỆN CHO học SINH kỹ NĂNG GIẢI QUYẾT bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến mặt bên của HÌNH CHÓP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT
BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MẶT BÊN CỦA HÌNH CHÓP

Người thực hiện: Hà Duyên Dũng
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2020


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Mục lục
Trang
1. MỞ ĐẦU

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Định nghĩa chân đường cao của hình chóp
2.1.2. Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2
2
2
2
3
3
3

2.1.3. Các tính chất của quan hệ vuông góc và quan hệ song song

3

2.1.4. Một số cách xác định chân đường cao của hình chóp

4

2.1.5. Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt bên
của hình chóp.

5

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

7

2.3. Giải pháp

7

2.3.1. Bài toán 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của
hình chóp khi biết chân đường cao của hình chóp.

7

2.3.2. Bài toán 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của
hình chóp khi chưa biết chân đường cao của hình chóp.

7

2.3.3. Bài tập trắc nghiệm áp dụng.

15

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

19

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

20

3.2. Kiến nghị

20

Tài liệu tham khảo
Danh mục các chữ cái viết tắt
Danh mục SKKN đã đạt giải

2
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

2


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt bên của hình chóp là bài toán
thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ II lớp 11, trong các đề thi tốt nghiệp
THPT , đề thi vào các trường ĐHCĐ và đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm.
Từ năm học 2016 - 2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc
nghiệm, bên cạnh sự cần thiết của nắm chắc lý thuyết thì việc hiểu và thuần thục
các kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng đối với các em học sinh.
Khi giảng dạy cho học sinh các kỹ năng giải quyết bài toán “ tính khoảng
cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp” đạt hiệu quả cao cần làm cho
học sinh nắm được ba vấn đề đề sau:
- Vấn đề 1: Xác định được chân đường cao H của hình chóp.
- Vấn đề 2: Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên của hình
chóp.
- Vấn đề 3: Biểu diễn mối liên hệ khoảng cách từ điểm cần tính với
khoảng cách từ điểm H đến mặt bên của hình chóp.

Với xu hướng ra đề thi trắc nghiệm môn Toán học theo 4 mức độ: nhận
biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao thì bài toán “ tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt bên của hình chóp” ở mức độ nào thì phụ thuộc vào chân
đường cao H của hình chóp dễ xác định hay khó xác định; phụ thuộc vào biểu
diễn mối liên hệ khoảng cách từ điểm cần tính với khoảng cách từ điểm H đến
mặt bên của hình chóp dễ hay khó.
Các bài toán tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau, khoảng
cách giữa đường thẳng song với mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song đều có thể quy về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.
Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng
giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình
chóp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 11 làm tốt bài toán toán tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt bên của hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm tốt bài toán
tính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa đường thẳng
song song với mặt phẳng và khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt bên của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận dạy học.
2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
3
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

3


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một

điểm đến mặt bên của hình chóp
3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các
năm.2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Định nghĩa chân đường cao của hình chóp.
Cho hình chóp
. Điểm H được
S
gọi là chân đường cao của hình chóp
nếu SH ⊥ ( A1 A2 A3 ... An ) và

H

2.1.2. Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm
đến mặt
M
phẳng
là khoảng cách giữa điểm
và hình chiếu vuông góc của
trên
mặt phẳng
. Khoảng cách từ điểm
H
đến mặt phẳng
kí hiệu là:
P
.
2.1.3. Các tính chất của quan hệ vuông góc và quan hệ song song
a. Tính chất 1:

Đường thằng
nếu đường thẳng
với 2 đường thẳng cắt nhau nằm
trong .

Ký hiệu:
b. Tính chất 2:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc
với nhau nếu trong mặt phẳng này tồn
tại một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia.
Ký hiệu:
4
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

4


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
c. Tính chất 3:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau
thì đường thẳng nào nằm trong mặt
phẳng này mà vuông góc với giao
tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

a

Ký hiệu:

Q
P

d. Tính chất 4:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba.
Ký hiệu:
e. Tính chất 5:
Nếu đường thẳng a song song với
đường thẳng và a vuông góc với (P)
thì b vuông góc với (P)
Ký hiệu:

a

b

(P)

f. Tính chất 6:
Nếu mặt phẳng

song song với
đường thẳng
và đường thẳng a
vuông góc với (P) thì a vuông góc với
(Q )

a

(P)

(Q)

Ký hiệu:
2.1.4. Một số cách xác định chân đường cao của hình chóp.
5
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

5


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
a. Cách 1: Dựa vào các tính chất của quan hệ vuông góc và quan hệ song
song của mục 2.1.3.
b. Cách 2:
Nếu hình chóp là hình chóp đều
hoặc hình chóp có các cạnh bên
bằng nhau thì chân đường cao của
hình chóp là tâm của đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy

S

H

c. Cách 3:( Áp dụng học sinh ôn thi TN THPT)

Nếu hình chóp có tâm đường tròn
ngoại tiếp là và tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp là thì chân đường
cao H của hình chóp là giao điểm
của mặt phẳng đáy với đường thằng
đi qua S song song với .

S

I

H
O

2.1.5. Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt bên
(P) của hình chóp.
* Bước 1: Dựa vào lý thuyết mục 2.1.4 để xác định chân đường cao
của hình chóp
* Bước 2: Tính khoảng cách
chứa đỉnh và cạnh đáy là
, ta có

. Giả sử mặt bên
.

6
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

của hình chóp

6


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Tìm một mặt phẳng
vuông góc với
là
hình chiếu của lên
-

Xác

định

chứa
với

và
là

tuyến

của

S

.

giao

.

- Trong mặt phẳng
, từ điểm
dựng đường thẳng
vuông góc với
tại thì là hình chiếu vuông góc
của
trên mặt phẳng
, do đó
.
- Dựa vào giả thiết tính
,
. Từ đó
dựa vào hệ thức lượng trong tam giác

K
H
E

vuông
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

với

.

- Khả năng 1:
Với

M

H

Ta có:
K
P

- Khả năng 2:
Với

H

H
M

Ta có:
P
P

K

F

K

I

I

M

7
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

7


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Khả năng 3: Ta tìm 1 điểm phụ mới N và tìm mối liên hệ

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực
học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp rất thuộc phương pháp nhưng lúng túng khi áp
dụng với lý do là các em chưa có kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt bên của hình chóp.
2.3. Giải pháp
Trước thực trạng trên tôi đã phân chia bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp thành hai bài toán và mỗi bài toán lại chia
thành ba loại nhỏ, đồng thời cụ thể hóa phương pháp bằng các ví dụ minh họa
để giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng.
2.3.1. Bài toán 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình
chóp khi biết chân đường cao của hình chóp.
* Loại 1:
* Loại 2:
* Loại 3: Tìm một điểm phụ mới là N và tìm mối liên hệ giữa
với
và

với
2.3.2. Bài toán 2. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình
chóp khi chưa biết chân đường cao của hình chóp.
Đối với bài toán 2 giáo viên phân tích để học sinh tìm được chân đường
cao của hình chóp và quay về bài toán 1.
2.3.3. Bài tập trắc nghiệm áp dụng.
2.3.1. Bài toán 1. Cho biết chân đường cao H của hình chóp và tính khoảng
cách từ một điểm M đến mặt bên (P) của hình chóp.
Ví dụ 1: Hình chóp
Tính Khoảng cách từ
Phân tích:

đáy hình vuông cạnh

,

;

.

đến mặt phẳng

* Bước 1: Chân đường cao của hình chóp là điểm
A.
* Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
- Mặt phẳng phụ chứa SA vuông góc với (SCD)
là (SAD).
- Ta có:
.
8

Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

8


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Từ A kẻ
- Tính AH.

. Ta có

* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

với

.
-

Ta

có:

AB//CD

nên

AB//(SACD)

Lời giải

- Ta có:

. Kẻ

,

.

- Từ

,

ta có:

.

- Trong tam giác vuông
Ví dụ 2:

.

Cho hình chóp

vuông góc của

:
có đáy là tam giác đều cạnh bằng

lên mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng
mặt phẳng

là trung điểm
. Tính theo

của

, mặt phẳng

khoảng cách từ điểm

Phân tích:
* Bước 1: Chân đường cao H của hình
chóp là điểm của BC .
* Bước 2: Tính khoảng cách từ C đến
(SAB)
- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với
(SAB) là (SHK) với
- Ta có:
.
C
- Từ H kẻ
. Ta có
- Tính HM.

, hình chiếu

đến

S

M
H

B

600
K

a

I
A
C
H

9
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn
P

M

9

B


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp

* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa
với

.

- Ta có:
của BC nên

và

là trung điểm

* Đã có sẵn
trung điểm
) ta được
Từ

kẻ

Lời giải
(
là trung điểm của

, kẻ

tại

- Ta có:

và mp

là

,

.
và

Ví dụ 3: Cho hình chóp
điểm trên cạnh
sao cho
là trung điểm

là

. Xác định

*
* Tính
:
- Xác định góc giữa mp

* Tính
- Ta có:

với

của

Tính khoảng cách từ điểm

Phân tích:

là trung điểm của BC nên
có tam giác
vuông tại ,
, hình chiếu vuông góc của
, mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng

đến mặt phẳng

theo .

* Bước 1: Chân đường cao H của hình chóp
là điểm của BC .
* Bước 2: Tính khoảng cách từ C đến (SAB)
- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với
(SAB) là (SHK) với
và K là trung
điểm của AB.
- Ta có:
.
- Từ H kẻ
. Ta có
- Tính HM.
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

, là
lên mặt phẳng

S

I

C

10
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

M
H

B
K 10


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
với
phụ C.

bằng cách chọn thêm điểm
A

- Theo giả thiết ta có:
. Mà

nên
là trung điểm

của BC nên
- Ta có:
Lời giải
- Gọi

là trung điểm

thì

và

- Ta có:
- Kẻ
- Theo giả thiết ta có:
điểm của BC nên

.

.
nên

.

nên

. Mà

là trung

- Ta có:
2.3.2. Bài toán 2. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình chóp
khi chưa biết chân đường cao của hình chóp
Ví dụ 4: Cho hình chóp đều
có
,
với là giao điểm của
và
. Khoảng cách từ
Phân tích:

đến mặt phẳng

bằng

* Bước 1:Vì hình chóp
là hình chóp
đều và
là giao điểm của
và
nên
chân đường cao của hình chóp là điểm điểm
O.
* Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến (SCD)
- Mặt phẳng phụ chứa SO vuông góc với
(SCD) là (SOM) với
và M là trung
điểm của CD.
- Ta có:
.

- Từ H kẻ
. Ta có
11
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

11


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Tính OH.
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

với

.
- Ta có:
BD nên

và

là trung điểm của
Lời giải

- Gọi

là trung điểm của cạnh

, ta có

.
- Trong mặt phẳng
cách từ điểm

,

đến mặt phẳng

- Ta có
Ta có:
-

Ví dụ 5: Cho hình chóp
giác

kẻ

thì

là khoảng

.
.

và

là

có đáy

trung

điểm

của

BD

nên

là hình vuông cạnh bằng . Tam

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

. Tính

khoảng cách từ đến
Phân tích:
hình chóp
có tam giác
* Bước 1:Vì
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt đáy
đáy nên chân đường cao
H là trung điểm của AB
* Bước 2: Tính khoảng cách từ H đến (SCD)
- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với
(SCD) là (SOM) với
và M là trung
điểm của CD.

- Ta có:
.
- Từ H kẻ
. Ta có
- Tính OH.
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

với

.
12
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

12


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Ta có: BH//CD nên

Lời giải
- Gọi

,

lần lượt là trung điểm của

và

suy ra

,

và
- Vì tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

nên

.

- Vì

nên

trong
Ví dụ 6:

. Do đó

.Ta có:

Cho hình chóp

.
có đáy

hai mặt phẳng
;

với

là trung điểm

là hình thang vuông tại
và

. Tính khoảng cách từ

,

;

cùng vuông góc với
đến mặt phẳng

Phân tích
* Bước 1:Vì hình chóp
có hai mặt
phẳng
và
cùng vuông góc với
nên
* Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
- Mặt phẳng phụ chứa SA vuông góc với
(SCD) là (SAC) với
vì
có CM
là đường trung tuyến và

- Ta có:
.
- Từ A kẻ
. Ta có
- Tính AH.
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa
với

.

- Ta có: M là trung điểm của AD nên
13
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

13


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Lời giải
- Ta có:
- Kẻ

tại

nên
. Ta có:

nên

. Suy ra:

Suy ra:
-

và

tại

.

.

.
vuông tại

có:

.

Suy ra:
- Ta có:

vuông tại

.
nên

.

Suy ra:
Ví dụ 7: Cho hình chóp
có
. Tính khoảng cách từ điểm A đến

và

,

,

Phân tích
* Bước 1: Xác định chân đường cao
của hình SABC.
- Vì hình chóp
có
nên chân đường cao
của hình chóp
là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tam giác
.
- Dựa vào định lý hàm số cos trong
tam giác ta tính được:
.
- Tam giác ABC vuông tại B nên tâm
O của đường tròn ngoại tiếp là trung
điểm của AC và O là chân đường cao
của hình chóp

S

H

A

C

O

* Bước 2: Tính
- Chọn mặt phẳng phụ chứa
và vuông góc
là
của
14
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

M
B

với

là trung điểm
14


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
- Ta có:
. Từ kẻ

ta có
- Tính
* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa
- Ta có: là trung điểm của
nên

với

.

Lời giải
* Chứng minh: Tam giác ABC vuông tại B.
- Xét tam giác
theo định lí cosin ta có :
- Xét tam giác

theo định lí cosin ta có :

- Xét tam giác

theo định lí cosin ta có :

Ta có
nên
là trung điểm của
- Gọi

vuông tại .
. Ta có
là tâm đường tròn ngoại tiếp

.
* Chứng minh: Điểm O là chân đường cao.
và là trung điểm của
nên
- Vì
- Gọi là trung điểm của
ta có
- Ta có:
. Từ đó ta có:
cao của hình chóp.
* Tính
- Theo trên ta có:
kẻ

ta có

.
O là chân đường

mà

nên từ

.

- Tính
* Vì
Ví dụ 8:
trên cạnh

là trung điểm của

Cho hình chóp

nên
có đáy

là tam giác vuông cân tại

, góc giữa 2 mặt phẳng
và
sao cho
. Tính khoảng cách từ

bằng
đến

15
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

. Gọi

,

,

là điểm

15

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Phân tích
S

* Bước 1: Xác định chân đường cao H
của hình SABC.
H

- Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên

I

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
là trung điểm O của BC.
- Vì
nên tâm I của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp
là trung
điểm I của SA. Suy ra
vì là
trục của đường tròn đáy.
từ S kẻ 1 đường
- Trong mặt phằng
thẳng song song với
cắt
tại . Suy
ra

và
là chân đường cao

O

C

B

A

của hình chóp
.
- Vì I là trung điểm của SA và IO//SH
nên O là trung điểm của AH tứ giác
là hình hình bình hành.
là tam giác vuông cân
- Vì tam giác
tại tứ giác
là hình vuông.
* Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm H

S

đến (SBC).
- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với
(SBC) là (SHA) với
- Ta có:
.
- Từ H kẻ

. Ta có
- Tính HK.

K
N
H

* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa
với
thêm điểm phụ A.

bằng cách chọn C

- Theo giả thiết ta có:

M

O

B

A

nên

16
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

16

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
. Mà
điểm của

là trung

nên

- Ta có:
Lời giải
* Theo phân tích bước 1 ta có H là chân đường cao và H đối xứng với A
qua O.
Xác định góc giữa 2 mặt phẳng
*
- Từ kẻ
mà ta chứng minh
- Ta có:

và
.

góc giữa 2 mặt phẳng

góc của 2 đường thẳng

và

. Theo giả thiết:

và

bằng với

.

- Chứng minh:
+ Ta có
mà
vuông tại nên
mà
vuông tại nên
.
+ Trong
ta có
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên
cân tại
là đường phân giác
* Tinh
;

- Ta có
- Trong

ta có

.
và trong

ta có

nên

.
- Ta có:
* Theo bước 3: Ta có
2.3.3. Bài tập trắc nghiệm áp dụng.

17
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

17


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng . Góc giữa cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng
. Tính khoảng cách từ đỉnh
đến mặt phẳng
.
A.
.
B.
.
Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều
đến mặt phẳng

,

đến

bằng

. Tính khoảng cách từ

?
.

B.

Câu 4: Cho hình chóp
giác

C. .
. Khoảng cách từ

B. .
C. .
D.
.
có đáy là hình bình hành, cạnh bên
vuông

góc với đáy. Biết khoảng cách từ

A.

có

.

bằng

A.
.
Câu 3: Cho hình chóp

đến mặt phẳng

C.

.

C.

có đáy

.

D.

.

là hình vuông cạnh bằng . Tam

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

khoảng cách từ

đến

A. .

B.

Câu 5: Cho hình chóp

A.

C.

bằng

.

.

B.

vuông góc với đáy

.

D.

.

là hình vuông cạnh

hợp với mặt đáy

đến mặt phẳng

Câu 6: Cho hình chóp
mặt phẳng

.
có đáy

và mặt bên
cách từ điểm

. Tính

một góc

C.

.

có đáy là tam giác vuông cân tại

.

. Khoảng

D.

,

(Hình tham khảo). Khoảng cách từ điểm

.
. Biết
đến

bằng

18
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

18


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp

A.

.

B.

Câu 7: Cho hình chóp

A.

. Biết góc giữa

từ

đến mặt phẳng

.

B.

Câu 8: Cho hình chóp

, cạnh bên
bằng

.

là hình vuông cạnh

.

B.

C.

.

vuông
bằng

.

D.

.

, cạnh bên

D. .
là hình chữ nhật cạnh
, góc giữa

là trung điểm của cạnh

tới mặt phẳng
.

.

đến mặt phẳng

có đáy

. Gọi

,

C. .

vuông góc với mặt phẳng

hình vẽ). Khoảng cách từ điểm

A.

D.

.

. Khoảng cách từ

A.
.
B.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác
và mặt phẳng

.

và mặt phẳng

.
có đáy

vuông góc với đáy và
bằng

,

C.

có đáy là hình vuông cạnh bằng

góc với mặt phẳng
Tính khoảng cách

.

(tham khảo

bằng
C.

.

19
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

D.

.

19


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Câu 10: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông, cạnh bên
vuông góc với đáy và
cách từ điểm

. Biết diện tích tam giác

đến

A.

là

, khoảng

là

.

B.

Câu 11: Cho hình chóp

.
có đáy

. Tính khoảng cách từ
A.
.
Câu 12: Cho hình chóp
và

B.

C.

.

D.

là hình vuông cạnh

đến mặt phẳng
.
có đáy

C.

.

,

,

.
.
D. .
là hình vuông cạnh

. Khi đó khoảng cách từ điểm

.

đến mặt phẳng

bằng
A.

.

C.

B.
.

Câu 13: Cho hình chóp
và
,

.

D.

.

có đáy là tam giác vuông tại , biết
. Tính khoảng cách
từ điểm
đến mặt phẳng

.
A.
.
Câu 14: Cho hình chóp
. Tính khoảng cách

B.

. C.
.
D.
.
có đáy
là hình thang vuông tại , ;
cạnh bên
vuông góc với đáy;
là trung điểm
từ

đến mặt phẳng

A.
B.
Câu 15: Cho hình chóp
trung điểm của
điểm

hình chiếu vuông góc của

của

cách từ điểm
A.

có tam giác

, mặt phẳng

C.
vuông tại

theo .

.

.

B.

,

lên mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng

đến mặt phẳng

D.

C.

.

20
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

, là
là trung
. Tính khoảng

D.

.
20


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều
có độ dài cạnh đáy bằng , cạnh
bên bằng
. Gọi
là tâm của đáy
,
là khoảng cách từ
đến mặt
phẳng

và

là khoảng cách từ

A.
.
B.

Câu 17: Cho hình chóp
,
điểm của

. Tính

. C.
.
D.
.
, đáy là hình thang vuông tại
và

,
,

đến mặt phẳng

và

. Gọi

. Tính khoảng cách từ

đến

và

.

, biết

lần lượt là trung

theo .

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng
. Gọi ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
. Khoảng cách từ điểm
A. .
Câu 19: Cho hình chóp
và

đến mặt phẳng
B.

. Khoảng cách từ

.
đều có

B.

.

,

D. .
là giao điểm của

với
bằng

.
C. .
D.
.
, cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt

. Tính khoảng cách từ điểm

A. .
Câu 21: Cho hình chóp

C.

đến mặt phẳng

A.
.
B.
Câu 20: Cho hình chóp đều
đáy là

bằng

đến mặt phẳng

.
có đáy

.

C.
.
D. .
là tam giác vuông tại

,

. Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là trung điểm
của
. Biết
. Tính theo khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

cạnh
?

A.
.
Câu 22: Cho hình chóp

B.

,
chóp

.
C.
.
D.
có đáy là hình thang vuông tại và ,
là trung điểm cạnh
,
là đường cao của hình

. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

21
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

.

21

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
A.
.
B.
Câu 23: Cho hình chóp đều

.
có

C.
.
và cạnh đáy bằng

D.
.
. Gọi

là một điểm thuộc miền trong của hình chóp này sao cho
, với
là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Gọi , , lần lượt là khoảng cách từ
đến các mặt phẳng
.

,

,

. Tính giá trị của biểu thức

A.
.
B.
.
C.
. D.
.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả
thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Đạt yêu cầu
Không đạt yêu cầu
Lớp
Sĩ số
Số lượng
%
Số lượng
%
11A5
45
17
37.7
28
62.3
12A5

44
15
34.09
29
65.91
- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Đạt yêu cầu
Lớp
Sĩ số
Số lượng
%
11A6
44
39
88.63
12A6
44
40
90.0

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.37
4
10.0

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến
thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt bên của hình chóp.
2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học
sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn.
3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt
động giáo dục.
22
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

22


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra
bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng
tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin,
hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng
trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh
học tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung
thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hoá, ngày 10 tháng 07 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Hà Duyên Dũng

23
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

23


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt bên của hình chóp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao- Văn Như Cương chủ biênNhà xuất bản giáo dục, 2007.
2/ Giải toán hình học 11- Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn - Nhà xuất bản
Hà Nội, 2008.
3/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia từ năm 2015 đến năm 2019.
4/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015 đến năm 2019.

24
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

24


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một

điểm đến mặt bên của hình chóp
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT
ĐHCĐ
TN THPT
SKKN

Trung học phổ thông
Đại học cao đẳng
Tốt nghiệp Trung học phổ thông
Sáng kiến kinh nghiệm

25
Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

25