Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến thức đã học
và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết. Việc làm đó thể hiện được
sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp với mục đích giúp
cho học sinh hiểu được bài và vận dụng nó vào giải bài tập.
Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo khoa lớp 10 có
trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và thời lượng cũng còn quá ít.
Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp
một vấn đề có thể nói là phức tạp, học sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này. Tuy
nhiên nếu nắm vững tốt về các phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán
một kỹ năng, kỹ xão nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có
cả sự khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết cách
giải.
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn.
Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ
phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự chọn của môn toán lớp 10 nhằm
trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình
đại số.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :
Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại và nhận dạng
khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại hệ phương trình đối xứng
loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán như sau:
Dạng 1 : Giải hệ phương trình:
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi dưỡng học sinh
giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng
tìm ra phương pháp chứng minh được bất đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này
vào việc giải toán, từ đó làm nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường
Đại học và Cao đẳng sau này.

Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị bài tốt trước
khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết suy nghĩ tìm tòi và sáng
tạo. Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài, từ đó đi tìm tòi lời giải
đúng và sáng tạo, ngắn gọn. Muốn làm tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo
hướng tích cực hoá hoạt động học tập, cụ thể tiến hành theo các bước:
I. BƯỚC CHUẨN BỊ :
1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt:
Vạch ra mục tiêu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị trước, lập
phương án kiểm tra nội dung kiến thức dùng cho tiết ôn tập.

Trang 1
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
2)Chọn bài tập mẫu :
Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các đối tượng học sinh
nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư duy thuật toán hay kiểm
tra sự lĩnh hội của học sinh .
3/Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò:
Cần phải phân bố thời gian phù hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian cho mỗi học
sinh giải bài tập trên bảng.
4) Bước chuẩn bị của trò và thầy :
4.1) Chuẩn bị của trò : Các kiến thức cần nắm
4.1.1 Định lý Viét:
• Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2

1 2

.

= + = −




= =


b
S x x
a
c
P x x
a
• Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
+ =x x S
và
1 2
. =x x P
thì x
1

, x
2
là nghiệm của
phương trình bậc hai; X
2
− SX + P = 0.
4.1.2 Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y:
1. Phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y bởi x thì
phương trình không thay đổi.
2. Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trình khi ta thay x bởi y
và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi.
3. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại một nếu trao
đổi vai trò của x, y thì mỗi phương trình hệ này trở thành chính nó(không thay đổi)
Dấu hiệu nhận biết:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=


=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=



=

4. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai nếu trao đổi
vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ.
Dấu hiệu nhận biết:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=


=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y g y x
g x y f y x
=


=

.
4.2)Chuẩn bị của thầy:
* Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh.
* Giấy A
2

cho 4 nhóm học sinh hoạt động
* Giáo án và các dụng cụ có liên quan.
* Phiếu học tập về các bài tập đề nghị để học sinh tự làm thêm bài tập ở nhà

Trang 2
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
* Bảng tóm tắt phương pháp giải toán cụ thể:
Hệ phương trình đối xứng loại 1
Dạng 1: Giải phương trình:
Phương pháp giải chung:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4≥S P
.
• Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét
đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3

– 3SP.
+ Nếu
( )
0 0
;x y
là nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1, thì
( )
0 0
;y x
cũng là
nghiệm tương ứng.
+ Nếu hệ phương trình đối xứng loại 1 có nghiệm duy nhất thì theo trên ta được
0 0
x y=
.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
• Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ
điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều
kiện của u, v.
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Phương pháp giải chung:

Chọn ẩn số phụ u và v thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng.
CÁC BÀI TẬP MẪU:
Dạng 1 : Giải hệ phương trình:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
+ =


+ =

x y xy
x y
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
− = −


− =

xy x y
x y
.

Trang 3

Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4

+ + + =




+ + + =


x y
x y
x y
x y
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)

+ + =



+ =


x y xy
x y
.
Dụng ý:
 Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.
 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
 Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình về hệ
phương trình đối xứng loại 1.
 Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu
thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện
(*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều
kiện của u, v.
Bài tập :
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có
nghiệm thực:
1
1 3
+ =



+ = −

x y
x x y y m
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
+ + =


+ = −

x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
− + − =


+ =

x y
x y m
có nghiệm thực.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình

2 2
4 4 10
( 4)( 4)
+ + + =


+ + =

x y x y
xy x y m
có nghiệm thực.
Ví dụ 5. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y m
x y
+ = +


+ =

có đúng hai nghiệm thực.
Ví dụ 6. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m

+ + = +


+ = +

có nghiệm duy nhất.

Trang 4
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Dụng ý :
 Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.
 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số để hệ
phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm duy nhất.
 Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình về hệ
phương trình đối xứng loại 1.
 Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu
thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
+ − =x x
.
Dụng ý:
 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng đặt ẩn số phụ để đưa một phương trình
đại số vế hệ phương trình đối xứng, thông qua đó để giải một số phương
trình đại số phức tạp.
Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Phương pháp giải chung:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0. Khi đó ta được
x−y=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường
hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
CÁC BÀI TẬP MẪU:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( )
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
= +



= +


x x y
y y x
(I)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1


+ − =


+ − =


x y
y x
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
2
2
= − +


= − +

x y y m
y x x m
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1+ = −x x
.

Trang 5
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

II.BƯỚC SOẠN GIẢNG:
Ngày soạn: ……………
Ngày dạy: …………….
Tiêt PPCT : 28,29
Tên bài : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
( Chuyên đề tự chọn Toán 10 – Nâng cao)
A> Mục tiêu bài dạy:
1. Kiến thức : Hiểu và nhận biết được hệ phương trình đối xứng. Hệ thống hóa được
các hằng đẳng thức cơ bản thường dùng.
2. Kỹ năng : Biết cách giải các dạng bài tập của hệ phương trình đại số, biết vận dụng
các hằng đẳng thức liên quan để biến đổi đưa về biểu thức đối xứng của S = x + y và P =
x.y.
3. Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh, tư duy thuật toán, tương tự hoá và tư duy logic.
B>Đồ dùng dạy học:
1.GV : Bảng tóm tắt các phương pháp giải toán theo từng dạng và phiếu học tập phát
cho học sinh kiểm tra ở phần củng cố cuối mỗi dạng toán.
2. HS : Bảng tóm tắt các hằng đẳng thức thường dùng của biểu thức đối xứng.
C>Hoạt động dạy và học :
1.Kiểm tra bài cũ
Tiết 1( Tiết 34) 2 phút: Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các công thức lượng giác ở
nhà của học sinh.
Tiết 2(Tiết 35) 2 phút:
2. Hoạt động trên lớp :
Hoạt động của giáo giáo viên và học sinh Nội dung ghi bảng
Tiết: 1( Tiết 28)
Hoạt động 1 (20 phút)
•GV giới thiêu hệ phương trình đối xứng
loại 1
Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập
dạng 1 cho học sinh. Sau đó chia lớp thành

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân
chia như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
VD1
VD3
VD2
VD4
VD1
VD3
VD2
VD4
Dạng 1 :
Giải hệ phương trình
Phương pháp:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4≥S P
.
• Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ
phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng hệ
thức Viét đảo tìm x, y.

Trang 6
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ
phương trình theo các biểu thức của S và P
vào 4 ví dụ của bài tập dạng 1.
GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề bài

và nêu cách giải của từng ví dụ
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P,
x
3
+ y
3
= S
3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v =
v(x)
và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối
xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
* Đối với VD 1:
GV: Em hãy cho biết VD1 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
( Cho đại diện nhóm 1 )
HS nhóm 1:
+VD1 yêu cầu giải phương trình
+Muốn giải phương trình thì ta phải
biến đổi từng phương trình của hệ qua biểu

thức S và P bằng cách đặt
.
S x y
P x y
= +


=

và
giải hệ để tìm S,P rồi dùng Định lý Viet1
đảo tìm x, y
VD 1: Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
+ =


+ =

x y xy
x y
.
Giải:
Đặt
S , Px y xy= + =
, điều kiện
2

4S P≥
.
Hệ phương trình trở thành:
( )
2
2
SP 30

S(S 3P) 35
30
P
S
90
S S 35
S
=
ì
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
ì
ï
=
ï
ï
ï

Û
í
ï
ï
- =
ï
ï
î
S 5
P 6
x y 5
xy 6
x 2 x 3
y 3 y 2
=
ì
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í

=
ï
ï
î
= =
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= =
ï ï
ï ï
î î
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
là:
(2;3) và (3;2)

Trang 7
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
* Đối với VD 2:
GV: Em hãy cho biết ví dụ 2 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
( Cho đại diện nhóm 2 trả lời)
HS nhóm 2:
+VD2 yêu cầu giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
− = −



− =

xy x y
x y
+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa
về hệ đối xứng loại 1, bằng cách đặt :
t = - y. Từ đó biến đổi hệ phương trình trở
thành:
3 3
xt(x t) 2
x t 2
ì + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đây là hệ đối xứng
loại 1 đã biết cách giải.
VD 2: Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
− = −



− =

xy x y
x y
.
Giải:
Đặt
= −


= +


=

t y
S x t
P xt
,
điều kiện
2
4S P≥

Hệ phương trình trở thành:
3
3 3
SP 2
xt(x t) 2
S 3SP 2
x t 2

=
ì + =
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
- =
+ =
ï ï
î
î
S 2 x 1 x 1
t 1 y 1
P 1
= = =
ì
ì ì
ï
ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
= = -ï ï ï
=
ï ï ï
î î

î
Vậy hệ phương trình có một nghiệm là
(1;-1)
* Đối với VD 3:
GV: Em hãy cho biết ví dụ 3 yêu cầu gì ?
Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?
( Cho đại diện nhóm 3 trả lời)
HS nhóm 3:
+VD3 yêu cầu giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4

+ + + =




+ + + =


x y
x y
x y
x y
+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa
về hệ đối xứng loại 1, bằng cách xem

1
x
x
+
và
1
y
y
+
là hai ẩn số mới, đặt :

( )
( )
2
1 1
S x y ,
x y
1 1
P x y ,
x y
S 4P
æ ö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
è ø
æ ö

÷
ç
= + +
÷
ç
÷
è ø
³
VD3: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4

+ + + =




+ + + =


x y
x y
x y
x y
.
Giải:

Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
( )
( )
2
2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö
ï
÷
ç
+ + + =ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï

÷
ç
+ + + =
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
î
Đặt
( )
( )
2
1 1
S x y ,
x y
1 1
P x y ,
x y
S 4P
æ ö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
è ø

æ ö
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
è ø
³


Trang 8
Kinh nghim ging dy Rốn luyn cho hc sinh k nng gii h phng trỡnh i xng
T ú bin i h phng trỡnh theo S, P.
Gii h tỡm S,P

x, y.
ta cú:
( )
( )
2
S 4
S 4
P 4
S 2P 8
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4

x y
=
=
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
=
- =
ù ù
ợ
ợ
ỡ ổ ử
ù
ữ
ỗ
+ + + =ù
ữ
ỗ
ữ
ù
ố ứ
ù
ù

ớ
ù
ổ ử
ù
ữ
ỗ
+ + =
ù
ữ
ỗ
ữ
ù
ố ứ
ù
ợ
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ỡ
ù
+ =
ù
=
ỡ
ù

ù
ù ù

ớ ớ
=ù ù
ù ù
ợ
+ =
ù
ù
ợ
.
Vy nghim ca h phng trỡnh l : (1 ; 1)
i vi VD 4:
GV: Vớ d ny yờu cu mc khú hn 3
vớ d u. phng trỡnh (2) ca h cú
cha
x
v
y
tuy nhiờn khi bỡnh phng
hai v li xut hin
xy
, do ú nu t
t =
xy
.Em hóy bin i
2 2
x y v x y+ +
theo t? Mun gii bi toỏn ny ta lm nh

th no?
( Cho i din nhúm 4 tr li)
HS nhúm 4:
+ t
0t xy=
, ta cú:
2
xy t=
.
+ T
(2) x y 16 2tị + = -
.
+
2 2
x y+
=
2
t 32t 128- +
+ n bc bi toỏn ó n gin v ó bit
GV cho cỏc nhúm tho lun.Sau ú nhúm 1
v nhúm 3 kim tra chộo ln nhau; nhúm 2
v nhúm 4 kim tra chộo ln nhau. Mi
nhúm c mt ngi lờn bng trỡnh by sau
ú cho c lp nhn xột. Cui cựng giỏo
viờn nhn xột ỏnh giỏ.
VD 4: Gii h phng trỡnh
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy

x y

+ + =


+ =


.
Gii:
iu kin
, 0x y
.
t
0t xy=
, ta cú:

2
xy t=
v
(2) x y 16 2tị + = -
.

2 2
x y+
=
2
t 32t 128- +
Th vo (1), ta c:

2
t 32t 128 8 t- + = -
(
0t
)
2 2
8 t 0
t 0
t 32t 128 64 16t t
0 t 8
t 4
t 4
ỡ
ù
-
ù
ù
ù
ù

ớ
ù
ù
ù
- + = - +
ù
ù
ợ
Ê Ê
ỡ

ù
ù

ớ
=ù
ù
ợ
=
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
= =
ỡ ỡ
ù ù
ù ù

ớ ớ
+ = =ù ù
ù ù
ợ ợ
.
Vy nghim ca h phng trỡnh l : (4 ; 4)

Trang 9
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Hoạt động 2 ( 20 phút) : GV phát phiếu bài
tập dạng 2 cho HS.
GV : Hãy nêu điều kiện để hệ phương trình
đối xứng loại 1 có nghiệm ?
HS : Hệ phương trình đối xứng loại 1 có

nghiệm khi và chỉ khi
2
4S P≥
.
GV chia lớp thành 4 nhóm:
* Nhóm I và II giải 2 Ví dụ 1, 3, 5.
* Nhóm III và IV giải 2 Ví dụ 2, 4, 6.
Sau đó hoán vị cho mỗi nhóm cùng làm
bài tập giống nhau nhận xét rồi cho cả lớp
cùng nhận xét và GV đánh giá. Cuối cùng
GV treo phiếu trả lời và chỉnh sửa cho học
sinh những sai lầm.
Sơ đồ nhóm như sau:
Bảng đen
Nhóm I Nhóm II
Nhóm III Nhóm IV
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối
xứng loại 1có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương
trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều
kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x)
và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác

điều kiện của u, v.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Phiếu trả lời 2.1
Điều kiện
, 0x y ≥
ta có:
3 3
x y 1

x x y y 1 3m
x y 1
( x) ( y) 1 3m
+ =
ì
ï
ï
í
+ = -ï
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î

Đặt
S x y 0,P xy 0= + ³ = ³
,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
=
=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï
î
î
.
Từ điều kiện
2

S 0,P 0,S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
VD1: (trích đề thi ĐH khối D – 2004).
Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có
nghiệm thực:
1
1 3
+ =


+ = −

x y
x x y y m
Giải:
Điều kiện
, 0x y ≥
ta có:
3 3
x y 1

x x y y 1 3m
x y 1
( x) ( y) 1 3m
+ =

ì
ï
ï
í
+ = -ï
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
Đặt
S x y 0,P xy 0= + ³ = ³
,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
=

=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï
î
î
.
Từ điều kiện
2
S 0,P 0,S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Phiếu trả lời 2.2
VD2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình

Trang 10
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

2 2
x y xy m

x y xy 3m 9
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
+ + =
ì
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
ì + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương
trình trở thành:

S P m
SP 3m 9
+ =
ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = -
ì ì
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2

2
3 4(m 3)
(m 3) 12
21
m m 3 2 3
4
é
³ -
ê
Û
ê
- ³
ê
ë
Û £ Ú ³ +
.
2 2
3 9
+ + =


+ = −

x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
Giải:
2 2
x y xy m

x y xy 3m 9
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
+ + =
ì
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
ì + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
+ =

ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = -
ì ì
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
(m 3) 12

21
m m 3 2 3
4
é
³ -
ê
Û
ê
- ³
ê
ë
Û £ Ú ³ +
Phiếu trả lời 2.3
Đặt
u x 4 0,v y 1 0= - ³ = - ³

hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
+ =
ì
ï
+ =
ì
ï

ï
ï ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không
âm.
VD3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
− + − =



+ =

x y
x y m
có nghiệm.
Giải:
Đặt
u x 4 0,v y 1 0= - ³ = - ³

Hệ phương trình trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
+ =
ì
ï
+ =
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
-

ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không
âm.

Trang 11
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

/
0
S 0
P 0
3m 13
0

2
21 3m
0
2
13
m 7
3
ì
ï
D ³
ï
ï
ï
ï
Û ³
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
-
ì
ï
³
ï
ï
ï

Û
í
-ï
ï
³
ï
ï
î
Û £ £
.

/
0
S 0
P 0
3m 13
0
2
21 3m
0
2
13
m 7
3
ì
ï
D ³
ï
ï
ï

ï
Û ³
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
-
ì
ï
³
ï
ï
ï
Û
í
-ï
ï
³
ï
ï
î
Û £ £
.
Phiếu trả lời 2.4
2 2
2 2

2 2
x y 4x 4y 10

xy(x 4)(y 4) m
(x 4x 4) (y 4y 4) 18
(x 4x)(y 4y) m
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0,v (y 2) 0= + ³ = + ³
.

Suy ra
2
x 4x u 4+ = -
;
2
y 4y v 4+ = -
Hệ phương trình trở thành:
u v 18
S 18
P m 56
uv 4(u v) m 16
+ =
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
- + = -
ï ï
î
î
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P

S 0 56 m 25
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
ï
³ Û - £ £
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
VD4: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
+ + + =


+ + =

x y x y
xy x y m
có nghiệm thực.

Giải:
2 2
2 2
2 2
x y 4x 4y 10

xy(x 4)(y 4) m
(x 4x 4) (y 4y 4) 18
(x 4x)(y 4y) m
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
.
Đặt

2 2
u (x 2) 0,v (y 2) 0= + ³ = + ³
.
Suy ra
2
x 4x u 4+ = -
;
2
y 4y v 4+ = -
Hệ phương trình trở thành:
u v 18
S 18
P m 56
uv 4(u v) m 16
+ =
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
- + = -
ï ï
î
î
(S = u + v, P = uv).

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P
324 4m 224
S 0 18 0
m 56 0
P 0
56 m 25
ì
ì
ï
ï
³
³ +
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
³ Û ³
í í
ï ï
ï ï
ï ï
+ ³
³
ï ï
ï

ï
î
î
Û - £ £
Vậy:
56 m 25- £ £
Ví dụ 5. Tìm điều kiện m để hệ phương

Trang 12
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Phiếu trả lời 2.5
2 2 2
2 2
2(1 ) ( ) 2 2(1 )
( ) 4 ( ) 4
x y m x y xy m
x y x y
+ = + + − = +
 
⇔
 
+ = + =
 
Đặt
S x y,P xy= + =
, với
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2

2
S 2P 2(1 m) S 2
P 1 m
S 4
ì
- = + = ±
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= -
=
ï ï
î
î
.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P 4 4(1 m) 0 m 0³ Û - - ³ Û ³
Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
•
2
t 2t 1 m 0− + − =
có biệt số
'
1

m∆ =
•
2
t 2t 1 m 0+ + − =
có biệt số
'
2
m∆ =
Nếu
m > 0
thì
'
1,2
0∆ >
nên cả 2 phương
trình có 4 nghiệm do đó hệ phương trình có
4 nghiệm.
Vậy để hệ phương trình có đúng hai
nghiệm thì
m 0=
, khi đó
t x y 1; t x y 1= = = = = = −
Vậy
m 0=
thì hệ phương trình có đúng hai
nghiệm.
trình
2 2
2
2(1 )

( ) 4
x y m
x y
+ = +


+ =

có đúng hai
nghiệm thực.
Giải:
2 2 2
2 2
2(1 ) ( ) 2 2(1 )
( ) 4 ( ) 4
x y m x y xy m
x y x y
+ = + + − = +
 
⇔
 
+ = + =
 
Đặt
S x y,P xy= + =
, với
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2

2
S 2P 2(1 m) S 2
P 1 m
S 4
ì
- = + = ±
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= -
=
ï ï
î
î
.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P 4 4(1 m) 0 m 0³ Û - - ³ Û ³
Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
•
2
t 2t 1 m 0− + − =
(1)
•
2

t 2t 1 m 0+ + − =
(2)
Phương trình (1) có biệt số
'
1
m∆ =
Phương trình (1) có biệt số
'
2
m∆ =
Vì cả hai phương trình (1) và (2) đều có
'
m∆ =
nên cả 2 phương trình có 4 nghiệm
khác nhau là
1,2 1,2
t 1 m;t 1 m khi m > 0= ± = − ±
, do
đó hệ phương trình có 4 nghiệm.
Nên để hệ phương trình có đúng hai nghiệm
thì
m 0=
, khi đó
t x y 1; t x y 1= = = = = = −
Vậy
m 0=
là giá trị cần tìm.
Phiếu trả lời 2.6
Đặt
S x y,P xy= + =

, với
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
S P 2m 1

S.P m m
+ = +
ì
ï
ï
í
ï
= +
ï
î

Ví dụ 6. Tìm điều kiện m để hệ phương
trình
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m
+ + = +


+ = +


có nghiệm duy
nhất.
Giải:

Trang 13
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Suy ra S ; P là hai nghiệm của phương
trình :
2 2
t (2m 1)t m m 0− + + + =
(*)
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
phương trình (*) có nghiệm hay :
0∆ ≥
Mà
2 2
(2m 1) 4(m m) 1 0∆ = + − + = >
Nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị
của m.
S m S m 1
(*)
P m 1 P m
x m
x m 1

y m 1 y m
= = +
ì ì
ï ï
ï ï

Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï
ï ï
î î
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
=x y
m 1
⇔ =
Đặt
S x y,P xy= + =
, với
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
( )
( )

2
S P 2m 1
S m m 1

P m. m 1
S.P m m
S m S m 1
P m 1 P m
x m
x m 1
y m 1 y m
+ = +
= + +
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= +
= +
ï ï
î
î
= = +
ì ì
ï ï

ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï
ï ï
î î
Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm
với mọi giá trị của m
Do tính đối xứng nếu
( )
0 0
;x y
là nghiệm của
hệ thì
( )
0 0
;y x
cũng là nghiệm tương ứng.

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
=x y
m 1
⇔ =
Vậy
m 1
=
là giá trị cần tìm.
Tiết 2( Tiết 29)
Hoạt động 3 ( 10 phút) : GV giới thiệu bài
tập về một số bài toán đưa về hệ phương
trình, bằng cách chọn u và v thích hợp để
đưa về hệ phương trình đối xứng.
Dạng 3:
Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ
phương trình
1) Phương pháp:
Chọn u và v thích hợp để đưa về hệ phương
trình đối xứng.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV : Phương trình đã cho có chứa căn bậc
ba. Các biểu thức trong hai căn bậc ba ấy
có tổng là một hằng số. Nếu đặt
3
u x=
và
3
v 1 x= −
em hãy cho biết điều kiện của u

và v. Đồng thời theo cách đặt đó ta suy ra
được hệ phương trình như thế nào ?
HS : Dựa vào bài toán ta thấy :
• Ta có tổng của hai biểu thức trong
căn bậc ba là x + 1 – x = 1.
• Nếu đặt
3
u x=
và
3
v 1 x= −
thì u
và v là hai số thực nào đó.
• Ta có :
+
3
u
= x và
3
v
= 1 – x.
VD1: Giải phương trình:
3 3
3
1
2
+ − =x x
.
Đặt:
3

3
x u
1 x v

=


− =


.
Ta có hệ:
3 3
3
u v
2
u v 1

+ =



+ =

⇔
2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1


+ =



+ + − =
 
 

⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36








Trang 14
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
+ Ta có hệ:
3 3
3
u v

2
u v 1

+ =



+ =

với
,u v∈¡
+ Đây là hệ phương trình đối xứng đã
biết cách giải.
Suy ra u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12







⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12

 

 ÷

 

 

 ÷

 

Vậy phương trình có tập nghiệm là:
S =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
 

   
+ −
 
 ÷  ÷ 
   
 
 
.
Hoạt động 4 ( 30 phút) :
• GV giới thiêu hệ phương trình đối xứng
loại 2
• Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập
dạng 1 cho học sinh. Sau đó chia lớp thành
4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân
chia như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
VD1 VD2 VD3 VD4
Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ
phương trình đã cho tương đương với hai
hệ phương trình theo hai trường hợp
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với
phương trình (1) hoặc (2) suy ra được
nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với
phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong
trường hợp này hệ phương trình mới trở về
hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô
nghiệm.
• GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề
bài và nêu cách giải của từng ví dụ

Hệ phương trình đối xứng loại 2
1. Phương pháp :
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta
được: (x−y)g(x,y)=0. Khi đó ta được x−y=0
hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với
phương trình (1) hoặc (2) suy ra được
nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với
phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong
trường hợp này hệ phương trình mới trở về
hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô
nghiệm.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 1 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD1 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
VD1:Giải hệ phương trình

Trang 15
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Học sinh đại diện nhóm 1:
• Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
• Để giải hệ này ta làm như sau:

+ Lấy (1) − (2) ta được:
2 2
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
x - y = 0
x + xy + y + 5 = 0

⇔


+ Xết hai trường hợp:
TH1: Khi x = y
TH2:
2 2
x + xy + y + 5 = 0
+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 1 thảo luận và giải VD1,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
( )
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
= +




= +


x x y
y y x
(I)
GIẢI
• Lấy (1) − (2) ta được:
2 2
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
x - y = 0
x + xy + y + 5 = 0

⇔


Trường hợp 1:
3
x = 3x + 8y
(I)
x = y

⇔




3

x = 0
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y





⇔ ⇔
 




.
Trường hợp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y


⇔



(hệ

này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập
nghiệm:
{ }
S= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 2 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD2 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 2:
• Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
• Để giải hệ này ta làm như sau:
+ Đặt ĐK để phương trình có nghĩa.
+Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt:
4
4
x - 1 = u 0; y - 1 = v 0≥ ≥
+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 2 thảo luận và giải VD2,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1


+ − =


+ − =


x y
y x
GIẢI
Đặt:
4
4
x - 1
y - 1
u
v

=


=


với u≥ 0 và v ≥ 0
Hệ phương trình trở thành

4 4
4 4
u + 1 + v = 1 u + v = 0

v + 1 + u = 1 v + u = 0
 
⇔
 
 

u = 0
v = 0

⇔


(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1

⇒


.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm
là: ( 1; 1)

Trang 16
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 3 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung

VD3 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 3:
• Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
• Bài toán yêu cầu là tìm m để hệ phương
trình có nghiệm, có nghiệm duy nhất.
• Để giải bài toán này ta làm như sau:
+ Lấy (1) – (2) về theo vế để đưa hệ đã
cho tương đương với hai hệ phương trình
mới.
+ Dùng phương pháp thế để đưa về :

2 2
x = y x = - y
x - 2x + m = 0 y + m = 0
 
∨
 
 
+ Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi có ít nhất một trong hai phương trình :
2
x - 2x + m = 0
và
2
y + m = 0

có nghiệm.
+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi phương trình :
2
x - 2x + m = 0
có nghiệm kép và
2
y + m = 0
vô nghiệm
hoặc phương trình :
2
x - 2x + m = 0
vô
nghiệm và
2
y + m = 0
có nghiệm kép.
GV cho nhóm 3 thảo luận và giải VD3,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
VD 3: Cho hệ phương trình
2
2
= − +


= − +


x y y m
y x x m
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất.
Giải:

2 2
2
2
2 2
2 2
x - y = y - y - x + x
(I)
x = y - y + m
x = ± y

x = y - y + m
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0

x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0


⇔





⇔


 
 
 
 
 
 
⇔ ⇔
 
 
 
 
 
 
 
a) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi:
'
x
'
y
Δ 0
1 - m 0
- m 0
Δ 0
m 1
m 1

m 0
≥

≥

⇔


≥
≥


≤

⇔ ⇔ ≤

≤

Vậy m
≤
1 thì hệ phương trình có nghiệm.
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
'
x
'
y
'
x
'
y

Δ = 0
Δ < 0

Δ < 0
Δ = 0








⇔









⇔
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0















⇔ m = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 4 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

3
3
1 2 2 1+ = −x x
.

Trang 17
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
VD4 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 4:
• Đây là phương trình vô tỉ .Để giải
phương trình này ta làm như sau:

+ Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.
⇒ t
3
+1 = 2x
+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 4 thảo luận và giải VD4,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
Giải:
Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.
Ta có hệ phương trình:

3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x





⇔
3
2 2
x + 1 = 2t
(x - t)(x + xt + t + 1) = 0




⇔
3
x - 2x + 1 = 0
x = t



⇔
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t



⇒
x = 1
- 1 ± 5
x =

2





Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
1;
- 1 ± 5
2
.
3. Củng cố và dặn dò: ( 5 phút/ 1 tiết ) :
Tiết 28:
 Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
 Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
 Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm.
Tiết 29:
 Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
 Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
 Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm.
 Xem laị 3 dạng toán vừa học và các ví dụ đã làm.
 Bài tập về nhà:( Làm các bài trong phiếu bài tập đề nghị)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 :
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
3 3
5 5 2 2
1+ =



+ = +

x y
x y x y
2)
2 2
4 2 2 4
5
13
+ =


− + =

x y
x x y y
3)
30
35

+ =


+ =


x y y x
x x y y
4)
2 2

18
( 1)( 1) 72
+ + + =


+ + =

x x y y
xy x y

Trang 18
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
5)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49

+ + =




+ + =


x y
xy

x y
x y
6)
( ) ( )
2 2 3 3
4
280
+ =



+ + =


x y
x y x y
7)
6 6
3 3
1
3 3
+ =


− = −

x y
x x y y
8)
4 4

6 6
1
1
+ =


+ =

x y
x y
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận:
a)
2 2 2
4+ =


+ =

x y
x y m
b)
4 4 4
+ =


+ =

x y m
x y m

c)
1
2 5
2
2
2

+ + =

−


+

=

−

x y
x y
x y
m
x y
2. Tìm giá trị của m:
a)
( )
5 4 4
1
+ − =



+ − = −

x y xy
x y xy m
có nghiệm.
b)
2 2
2
1
+ + = +


+ = +

x y xy m
x y xy m
có nghiệm duy nhất.
c)
( )
( )
2
2 2
4
2 1

+ =


+ = +



x y
x y m
có đúng hai nghiệm.
3.
2 2
+ + =


+ =

x xy y m
x y m
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
4.
2 2
3 8
+ + =


+ = −

x xy y m
x y xy m
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
5.
2 2

1+ + = +


+ =

x xy y m
x y xy m
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình:
4 4
1 18 3− + − =x x
.
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

Trang 19
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
a.
1 1− + + =x x m
b.
− + + =m x m x m
c.
3 3
1 1− + + =x x m
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 :
1.Giải các hệ phương trình sau:
a.
1 3
2

1 3
2

+ =




+ =


x
y x
y
x y
b.
2
2
3
2
3
2

+ =




+ =



x y
x
y x
y
c.
3
3
1 2
1 2
+ =


+ =

x y
y x
d.
9 9
9 9

+ + =


+ + =


x y
y x
e.

2 2
2 2

+ − =


+ − =


x y
y x
g.
5 2 7
5 2 7

+ + − =


+ + − =


x y
y x
2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
− + =



− + =

x x y m
y x y m
.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:
3 2 2
3 2 2
7
7
= + −


= + −

x y x mx
y x y my
có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình:
a.
2
5 5+ + =x x
.
b.
3
3
3 3 2 2− + =x x

.

Trang 20
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
D> ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:
Quá trình chuẩn bị một tiết dạy khoa học , khéo léo và chu đáo thì tiết học sinh động,
học sinh sẽ nắm chắc được nội dung bài học, hiểu và vận dụng được kiến thức vào việc giải
bài tập, Qua tiết dạy tôi đã kiểm tra để đánh giá từng lớp học sinh như sau:
LỚP 10 T( Năm học 2008- 2009) và Lớp 10T2(Năm học 2009- 2010)

Đề kiểm tra 15 phút :
Cho hệ phương trình:
2 2
+ + =


+ =

x xy y m
x y m
1. Giải hệ phương trình khi m = 5.
2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Kết quả:

Lớp Số lượng
Điểm xếp theo loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
10T 47 14 20 10 3 0
10T2 38 9 18 8 3 0

Nhận xét:
Lớp 10T( Năm học 2008- 2009)
• Đa số học sinh làm được bài.
• Có 13 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được S và P trong
trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều kiện có nghiệm của hệ.
• Có ba học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.
Lớp 10T2( Năm học 2009- 2010)
• Đa số học sinh làm được bài.
• Có 11 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được S và P trong
trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều kiện có nghiệm của hệ.
• Có ba học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.

Trang 21
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
LỚP 10 T1( Năm học 2009- 2010)
Đề kiểm tra 15 phút :
Cho hệ phương trình:
( )
( )
2
2 2
4
2 1

+ =


+ = +



x y
x y m

1. Giải hệ phương trình khi m = 2.
2. Tìm m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm.
Kết quả:
Lớp Số lượng
Điểm xếp theo loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
10T1 42 15 18 7 2 0
Nhận xét:
• Đa số học sinh làm được bài.
• Có 9 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được S và P trong
trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều kiện có nghiệm của hệ.
• Có 2 học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.

Trang 22
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
II. KẾT LUẬN:
Trải qua thực tế công tác giảng dạy toán phổ thông., công việc hướng dẫn giúp cho học
sinh nêu ra phương pháp giải toán là một việc rất cần thiết, phải biết chuẩn bị chọn các kiến
thức trọng tâm, các dạng bài toán cơ bản đề ra phương pháp giải dễ hiểu, đơn giản dễ vận
dụng nó để từ đó kích thích sự ham học tập của các em.
Nhìn chung việc giải các hệ phương trình đại số là một công việc rất khó khăn và đòi
hỏi người học cần phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến thức đã biết để
vận dụng vào việc giải toán. Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu kiến thức
mới và công việc giải toán thì người thầy giáo phải là người tiên phong trong việc phát huy
tính tích cực của mình để tìm ra những phương pháp giải toán mới, tìm ra những công cụ
mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những người làm toán những
công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học.

Trên đây là những kinh nghiệm giảng dạy về hệ phương trình đại số nhằm giúp cho
người học rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng. Ngoài ra chúng ta phải biết
quan tâm, tận tụy dìu dắt và giúp đỡ các em học tập tạo cho các em có một niềm tin và tin
tưởng vào năng lực của mình trong học tập và nghiên cứu. Kết quả của các em có khả quan
hay không là do sự thể hiện nhiệt huyết cao của người thầy đối với học sinh.
Chúng ta dạy cho các em với mục đích “Lương tâm nghề nghiệp và tất cả vì học sinh
thân yêu”.
Nhơn sơn, ngày 25 tháng 05 năm 2010
Người viết

TRẦN ĐÌNH TOẢN

Trang 23
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Đánh giá của Hội đồng khoa học Trường THPT Lê Duẩn














Đánh giá của Hội đồng khoa học Sở Giáo Dục và Đào tạo Ninh Thuận:

Trang 24