Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị của hàm số tìm số nghiệm của phương trình f (x) = a, f(u(x)) = a

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài……………………………………………………………1
1.2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….1
1.3.Đối tượng nghiên cứu………………………………………………….. .…2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………..2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến………………………………………………...2
2.2. Thực trạng của sáng kiến…………………………………………………..2
2.3. Các giải pháp giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình…………..…3
Dạng 1 : Biết BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f  x  , xét các bài toán liên
quan đến phương trình có dạng f  x   a . ……………….…….…......3
Dạng 2 : Biết BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f  x  , xét các bài toán liên
quan đến phương trình có dạng f  u ( x )   a . ……………….………...9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………………………………………………..18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………………………….19
3.1. Kết luận………………………………………………………………….19
3.2.Kiến nghị…………………………………………………………………20

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức môn Toán trang bị cho học
sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí mà còn cả các kĩ năng, phương
pháp và tư duy logic. Vì vậy, hệ thống tri thức đó ngoài được truyền tải trong bài
giảng lí thuyết còn có trong bài tập vận dụng tương ứng. Dạy học giải toán có
vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông. Và đặc biệt hơn bắt đầu
từ kỳ thi THPT QG năm 2017 bộ Giáo dục và Đào tạo quy định môn Toán là
môn thi trắc nghiệm 100% thì các bài toán là phương tiện có hiệu quả không

thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,
hình thành kỹ năng để bài làm có kết quả nhanh và chính xác nhất. Những năm
gần đây hàm số là nội dung không thể thiếu trong các đề thi THPT QG. Trong
các bài toán về hàm số thì các bài toán có sử dụng tính chất của bảng biến thiên,
đồ thị của hàm số rất phong phú, đa dạng, gây nhiều khó khăn cho học sinh.
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy, trực tiếp ôn thi THPTQG cho học sinh
tôi nhận thấy đối với hình thức thi trắc nghiệm bài toán “Sử dụng bảng biến
thiên, đồ thị của hàm số tìm số nghiệm của phương trình f  x   a f  u( x )   a
” ngày càng được khai thác nhiều theo cả chiều rộng và chiều sâu, gây cho học
sinh không ít khó khăn nếu như các em không được tiếp cận theo trình tự, có hệ
thống. Trước sự lúng túng, khó khăn của các học sinh đã thúc đẩy và tạo động
lực cho tôi tìm tòi nghiên cứu các tài liệu và ghi chép lại các bài toán liên quan
đến bảng biến thiên, đồ thị của hàm số và cuối cùng tổng hợp, tích lũy thành
chuyên đề “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị của hàm số tìm số nghiệm của
phương trình f  x   a f  u ( x )   a . ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Lựa chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm, trước hết giúp bản thân tôi
hoàn thiện kỹ năng, phương pháp dạy học dạng bài toán “Sử dụng bảng biến

thiên, đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình f  x   a f  u( x  )  a ”.
Từ đó góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán của học sinh trung học
phổ thông.
- Giới thiệu dạng bài tập được phân dạng với các bài tập cụ thể, giúp học
sinh hiểu đúng bản chất, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải nhanh, chính xác
các bài toán tương giao đồ thị. Tạo cho các em có đủ tự tin và năng lực giải
quyết các bài toán khó hơn, tạo cơ sở cho các em ôn thi THPTQG được tốt hơn.
- Được đồng nghiệp đón nhận, góp ý xây dựng và áp dụng vào thực tiễn
giảng dạy. Được hội đồng khoa học các cấp nhận xét, đánh giá và ghi nhận sự
2

cố gắng của bản thân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này tập trung giải quyết các nội dung:
- Phân dạng chi tiết các bài tập.
- Từ bài toán cơ bản mở rộng ra lớp bài toán mới.
- Đưa ra một số bài toán có tính chất điển hình.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu sách giáo
khoa.
- Phương pháp thu thập thông tin: Điều tra thực tế, quan sát tình hình dạy và
học dạng tìm số nghiệm phương trình ở trường trung học phổ thông.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, khái quát hóa: Từ bài toán cụ thể, nghiên
cứu xây dựng, mở rộng bài toán ở các dạng bài tập trong nội dung sáng kiến
kinh nghiệm.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng
toán liên quan đến bài toán tìm số nghệm của phương trình. Đặc biệt là các bài
toán, dạng toán liên quan đến bảng biến thiên, đồ thị của hàm số trong các kì
thi tuyển sinh Đại học, các năm gần đây.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành luyện tập chủ đề cho học
sinh.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến.

Kiến thức cơ sở.
- Nghiệm của phương trình
số

y  f  x

là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm

và đường thẳng y  m .

- Nghiệm của phương trình
hàm số

f  x  m

y  f  x

và đồ thị hàm số

f  x  g  x
y  g  x

là hoành độ giao điểm của đồ thị

.

2.2. Thực trạng của sáng kiến.
Đối với giáo viên: Trên thực tế, qua khảo sát tình hình giảng dạy của
giáo viên sở tại và một số trường đa số các thầy cô khi dạy phần này chỉ mô tả
những gì viết trong sách giáo khoa và một số tài liệu tham khảo một cách đơn lẻ
và rời rạc, không có tính hệ thống và chưa đầy đủ. Vì vậy đa phần học sinh lúng
túng chưa nắm vững dạng toán này.
3


Đối với học sinh: Khả năng của một bộ phận học sinh còn hạn chế. Khi

gặp dạng toán này các em thường e ngại, bỏ qua không làm hoặc hiểu sai bản
chất dẫn đến lời giải sai.
2.3. Giải pháp giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình.
Để thuận lợi cho học sinh trong việc tiếp cận bài toán, tôi chia các phương
trình liên quan đến đồ thị hàm số thành các dạng.
Dạng 1: Biết BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f  x  , xét các bài toán liên
quan đến phương trình có dạng f  x   a .
Bài 1:
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �có đồ
thị như hình bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương
trình 2 f  x   3  0 là
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

2 f  x  3  0 � f  x  

D. 4 .
3
2 . (1)

1
Số nghiệm của   chính là số giao điểm của đồ

thị hàm số

y  f  x

và đường thẳng

y

3
2.

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị
tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thực
phân biệt.
Bài 2:
Cho hàm số
như hình bên:

f  x

có bảng biến thiên

Số nghiệm thực của phương trình
2 f  x 1  0

2

 2

2

O

2

Lời giải:
Ta có:

y

là:
4

x


A. 2 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .
Lời giải:

Ta có:

2 f  x  1  0 � f  x 

1
2

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường

thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 3
nghiệm thực phân biệt.
Bài 3:
Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục
trên đoạn  2; 2 và có đồ thị là đường cong
trong hình bên.
Tất cả các giá trị thực của tham số m để

phương trình f  x   m có 3 nghiệm phân
biệt trên đoạn  2; 2 là
A. m � 2; � .
C. m � 2;3 .

f  x  m

số

B. m � 2; 2

D. m � 2; 2  .
Lời giải:

Số nghiệm của phương trình
bằng số điểm chung của đồ thị hàm

y  f  x

(hình vẽ) và đường thẳng y  m .

Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m � 2; 2 

.

Bài 4

5


Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên �có đồ

thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực phân biệt của phương
trình 1  f  x   2 là:
A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3
Lời giải

Ta có:

�
�f  x  �1
1 f  x  2 � �
1 f  x  4
�
�
�f  x  �1
��
� f  x  3
�f  x   3

.

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y  3 cắt đồ
thị hàm số tại 1 điểm.
Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Bài 5
2
Cho hàm số y  ax  bx  c , có đồ thị như

hình vẽ bên. Hỏi phương trình

f  x  1

có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 . D. 1 .

Lời giải

6


Cách 1:
Cách vẽ đồ thị hàm số
hàm số

y  f  x

y  f  x

từ đồ thị

:

- Giữ nguyên phần nằm trên phía
trục hoành và các điểm thuộc trục hoành
y  f  x  (C1 )

của đồ thị hàm số

.

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía dưới trục hoành qua trục
y  f  x

hoành, sau đó bỏ phần đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

y  f  x

là hợp của (C1 ) và (C2 ) .
f  x  1

Số nghiệm của phương trình
y  f  x

nằm phía dưới trục hoành (C2 ) .

là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng y  1 .

Dựa vào đồ thị hàm số
nghiệm.

y  f  x

ta có kết luận: Phương trình

Cách 2:
�f  x   1
f  x  1 � �
.
f  x   1
�
Ta có

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
+ Phương trình

f  x  1

có 1 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình  
biệt khác hai nghiệm trên.

f x  1

Vậy phương trình
biệt.

f  x  1

có 2 nghiệm phân

có 3 nghiệm phân

Bài 6

7

f  x  1

có 3

Cho hà

Hàm số y  f ( x) xác định và liên tục

trên đoạn  2; 2 và có đồ thị là đường
cong trong hình vẽ bên dưới. Xác định
giá trị của tham số m để phương trình
f  x  m

có số nghiệm thực nhiều nhất.

A. m � 2; 2  .

B. . m � 2;2

C.. m � �; 2 

D. m � 2 : �
Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số
y  f ( x)

( hình bên).

Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa

0  m  2 thì phương trình f  x   m có số

nghiệm nhiều nhất là 6.
Vậy m � 2; 2 
Bài 7
Cho hàm số

y  f  x

có đạo hàm liên

f x
tục trên �. Đồ thị hàm   như hình vẽ.
g  x 

x2 1
f 2  x  4 f  x

Hỏi đồ thị hàm số
bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 4.

B. 3.

C. 1.

có

D. 2.
Lời giải

Ta có:

�f  x   0
f 2  x  4 f  x  0 � �
�f  x   4 .

Xét  
có 2 nghiệm x1  a ��1 và x2  1 là nghiệm bội 2 (do đồ thị tiếp
xúc với trục hoành tại x  1 ). Trường hợp này đồ thị có 2 tiệm cận đứng.
f x 0

8


f  x  4

Xét

có 2 nghiệm x3  b ��1 và x4  1 là nghiệm bội 2 (do đồ thị

tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại x  1 ). Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 4 đường tiệm cận đứng.

Bài tập tương tự ( đáp án được gạch chân)
Câu 1.
y  f  x

Cho hàm số

liên tụct rên �

có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực phân biệt của
Phương trình

2 f  x  7  0

B. 4

A. 2 .

C. 3.

là
D. 0 .

Câu 2.

  xác ðịnh trên
Cho hàm số
ðịnh và có bảng biến thiên
y f x

�\  0

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của
tham số thực m sao cho phýõng trình
f  x  m

có ba nghiệm thực phân biệt.

1; 2

A. 
.

1; 2 
B. 
.

C.  1; 2

D.  �; 2

Câu 3. ( Đề minh họa THPT 2020- BGDĐT )
Cho hàm số
thiên như sau:

f  x

có bảng biến

Số nghiệm thực của phương trình
3 f  x  2  0

A. 2 .

là:

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

Câu 4.
9

, liên tục trên mỗi khoảng xác


Cho đồ thị hàm số

y  f  x

như hình vẽ.

Tìm số nghiệm thực phân biệt của
phương trình

f  x 

3
2.

A. 5 .

B.6.

C. 3.

D. 4.

Câu 5.
Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
3

x
g  x 

2

2

 3x  2  . x  1

2
x. �
�f  x   f  x  �
� có bao nhiêu đường

tiệm cận đứng?
A. 5 .

B. 4 .

C. 6 . D. 3 .

Dạng 2:
Biết BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f  x  , xét các bài toán liên quan

đến phương trình có dạng f  u ( x )   a .

Bài 1:
Cho hàm số y  f  x  xác định trên
�\  0

có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình

2 f  3x  5  7  0

A. 1 .

là

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .
Lời giải

10


Ta có:
2 f  3x  5   7  0 � f  3 x  5  

7
2.

Đặt t  3x  5 , phương trình trở thành

f  t 

7
2.

Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm
f  t 

x

t 5
3 nên số nghiệm t của phương trình

7
2 bằng số nghiệm của phương trình 2 f  3 x  5   7  0

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

y  f  x

suy ra phương trình

f  t 

có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình 2 f  3 x  5   7  0 có 3 nghiệm phân
biệt.
Bài 2:
Cho hàm số

y  f  x

có bảng

biến thiên như hình vẽ
f 1  3x   6
Phương trình 
có bao
nhiêu nghiệm âm?

A. 1 .

B. 3

C. 0 .

D. 2 .
Lời giải

Ta có: x  0 � 1  3x  1
Đặt: t  1  3x , Suy ra: f (t )  6


Phương trình 
có nghiệm
âm tương đương phương trình f (t )  6
có nghiệm t  1 .
f 1  3x  6

Từ BBT phương trình f (t )  6 có
duy nhất một nghiệm t  1 . Vậy phương

trình f  1  3x   6 có một nghiệm âm.

Bài 3:

11

7
2


Cho hàm số bậc ba
thị hàm số như hình vẽ .

y  f  x

có đồ

Tìm số nghiệm thực của phương
trình

f





 x 2  4 x  3  2.

A. 1
C. 4

B.
D.

3.
5.

Lời giải

2
Ta có  x  4 x  3 xác định khi 1 �x �3.

Từ đồ thị của hàm số, ta có :

f



�  x 2  4 x  3  a  0  loa�
i
�
�
 x 2  4 x  3  2 � �  x 2  4 x  3  1
.
� 2
 x  4 x  3  b � 2;3 
�
�



2
•  x  4 x  3  1 � x  2.

•

 4   3  b 2   1  b 2  0, b � 2;3 .
 x 2  4 x  3  b � x 2  4 x  3  b 2  0 có  �

Vậy phương trình

f





 x 2  4 x  3  2

có đúng 1 nghiệm.

Bài 4:
Cho hàm số bậc ba
Phương trình
nghiệm?
A. 3
C. 5.

y  f  x

f  f  x   2

có đồ thị như hình vẽ.
có bao nhiêu

B. 4.
D. 6.

Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:
12


�f  x   2
f  f  x   2 � �
�f  x   1 .

Số nghiệm của các phương trình
đồ thị hàm số

y  f  x

f  x   2

và

f  x  1

lần lượt là số giao điểm

và các đường thẳng y  2, y  1 .

Dựa vào đồ thị ta có  
có hai nghiệm phân biệt x1  1; x2  2 và
có ba nghiêm x3  a; x4  b; x5  c và -2 < a < -1 < b < 1 < c < 2 .
f x  2

Vậy phương trình

f  f  x   2

f  x  1

có 5 nghiệm phân biệt.

Bài 5:
Cho hàm số

y  f  x

Khi đó phương trình

có đồ thị như hình vẽ:
4 f  3x 4   3  0

có bao

nhiêu nghiệm dương?
A. 2.

B. 4.

C. 5

D. 1.
Lời giải
4
Bảng biến thiên của hàm số y  3 x :

4 f  3x4   3  0 � f  3x4 

Từ đồ thị ta có:

�
3x 4  x1 , x1 � 1;0 
�4
3
 ��
3 x  x2 , x2 � 0;1
4
�4
3x  x3 , x3 � 1;2 
�
.

4
4
Dựa vào bảng biến thiên ta có 3x  x1 vô nghiệm; 3x  x2 có một nghiệm âm
4
một nghiệm dương; 3x  x3 có một nghiệm âm một nghiệm dương.

Vậy phương trình

4 f  3x 4   3  0

có 2 nghiệm dương.

Bài 6:

13


Cho hàm số
hình vẽ sau.

y  f  x

có đồ thị như

Số nghiệm của phương trình
f  2sin x   1

0; 2 
trên đoạn 
là

A. 1 .
C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .
Lời giải

t � 2; 2
Đặt t  2sin x , 
.

Xét phương trình f  t   1 , dựa vào đồ thị ta thấy
�
t  3
�
t  2
�
f  t  1 � �
t  1
�
�
t 5
�

Với

sin x  1 � x  

 l
sin x  1
 n  �2 sin x  2 �
�
�
�

1
�
2sin x  1
sin x  
 n �
�
2
�
 l
.


3
 k 2 x � 0; 2  � x 
2
2 .
,


�
x    k 2
�
1
3
sin x   � �
4
2
5 4
�
x

 k 2 x � 0; 2  � x 
�
� 3
3 , 3 .
Với
,

Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Bài 7: Cho hàm số

y  f  x

có bảng

biến thiên. Số nghiệm thuộc đoạn
x � 0;2  của phương trình

3 f  sin 2 x   2  0

là:

A. 7

B. 8 .
Lời giải

14

C. 5 .

D. 6


Đặt sin 2x  t , x � 0; 2  � t � 1;1 .
Phương trình trở thành:

f  t 

2
3.

Từ bảng biến thiên ta có:
f  t 

�
t a ( 1  a  0)
2
��
3
�t  b (0  b  1)

Xét BBT của hàm số y  sin 2 x trên  0; 2  :
Dựa vào BBT của hàm số ta có
+) Phương trình
nghiệm.

sin 2x  a

có 4

+) Phương trình sin 2x  b có 4 nghiệm
không trùng với 4 nghiệm trên.
Vậy phương trình 3 f  sin 2 x   2  0 có 8 nghiệm.
Bài 8:
Cho hàm số trùng phương y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
�
0;2p)
thuộc �
của phương trình

f ( cos2 x ) =1

A. 4 .

bằng
B. 6 .
C. 3 .

D. 8 .
Lời giải

�f  cos 2 x   1
��
f ( cos 2 x) = 1
�f  cos 2 x   1
Ta có :
cos2 x  0
�
�

cos2 x  a  1  VN 
cos2 x  0
�
�
��
��
� sin 4 x  0
sin 2 x  0
cos2 x  b  1  VN 
�
�
�
cos2 x  �1
�

Phương trình sin 4 x = 0 có 8 nghiệm thuộc [ 0; 2p) .
Bài 9:
15


  có đồ thị
Cho hàm số bậc ba
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của
y f x

f  x3  3 x  

phương trình

3

2 là

A. 8 .

B. 4 .

C. 7 .

D. 3 .
Lời giải

Phương trình :
3
� 3
f  x  3x  
�
3
2
f  x3  3x   � �
2
�f  x 3  3x    3
�
2.
�
x 3  3x  a1 ,  2  a1  0 
�3
3
f  x3  3x   � �
x  3 x  a2 ,  0  a2  2 
2

�3
x  3x  a3 ,  a3  2 
�

Phươngtrình
f  x3  3x   

3
� x 3  3 x  a4 ,  a4  2 
2
.

3
Đồ thị hàm số y  x  3x có dạng như
hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình
phân biệt.

x 3  3 x  a1

có 3 nghiệm

- Phương trình
phân biệt.

x 3  3 x  a2

có 3 nghiệm

- Phương trình

x 3  3x  a3

có 1 nghiệm.

- Phương trình

x 3  3 x  a4

có 1 nghiệm.

Vậy phương trình

f  x3  3x  

3
2 có 8 nghiệm phân biệt.

16


Bài 10
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
� và có bảng biến thiên như hình bên.
Xác định số nghiệm của phương trình
f  x3  3 x 2  

A. 9 .

D. 10 .

3
2 , biết f  4   0

B. 6 .

C. 7 .

Lời giải
x  2 � y  4
�
2
�
g
(
x
)

3
x

6
x

0
�
�
3
2

x0� y 0
�
Đặt g ( x)  x  3x . Ta có

Theo đề bài ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình
hàm số

y  f ( x 3  3x 2 )

f  x3  3x 2  

và đường thẳng

y

3
2 bằng số giao điểm của đồ thị

3
2.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 10 nghiệm.
Bài 11: ( Đề KSCL lớp 12 sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2009)
y  f  x

y

liên tục trên �

Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để phương
trình

f



 �
�
x �� ;  �
�2 �.

A. 5 .



2 f  cos x   m

có

nghiệm

2
1
- 2

1

- 1 O
- 1
- 2

B. 3 .
17

2

x


C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Đặt

 �
�
t  2 f (cos x ), x �� ;  �� cos x � 1;0 � t � 0;2 
�2 �
Yêu cầu đề bài tương đương với tìm m để

phương trình f  t   m có nghiệm t � 0;2  .

Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có
nghiệm

m � 2;2 

 �
�
x �� ;  �
�2 � khi

và

chỉ

khi

. Vậy có 4 giá trị nguyên của m
thỏa mãn yêu cầu.
Bài 12:
y  f  x
Cho hàm hàm số
có bảng
biến thiên như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

f  x 2  1  m
m
tham số để phương trình
có 6 nghiệm phân biệt.

A. 12 .
C. 6 .

B. 198 .
D. 190 .
Lời giải

2
Đặt t  x  1 , điều kiện t �1 , từ đó

phương trình trở thành

f  t   m t �1
,
.

Do t �1 nên ta xét bảng biến thiên của
hàm

y  f  t

1; �
trên 
như hình bên:

18


Bảng biến thiên của hàm số

y  f  t

1; �
trên 
là

Cứ mỗi nghiệm t  1 cho được hai nghiệm x , do vậy để phương trình

f  x 2  1  m

t 1

f  t  m
có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình
cần có 3 nghiệm

Dựa bảng biến thiên của hàm

y  f  t

m � 4;5;6; 7;8;9
khác m nguyên nên
.

ở trên ta có điều kiện 3  m  10 , mặt

Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.
Bài tập tương tự (Đáp án được gạch chân)
Câu 1:
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm dương của phương trình
f  2 x  1  5  0

là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4

Câu 2:
Cho hàm số   có bảng biến thiên
như sau:
Số nghiệm của phương trình
f x

f  3x 4  6 x 2  1  1

là

A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 3 .

Câu 3: ( Đề minh họa THPT 2020- BGDĐT )

19


Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến

thiên như sau:
� 5 �
0; �
�
Số nghiệm thuộc đoạn � 2 �của

phương trình
A. 7 .

f  sin x   1

B. 4 .

là:
C. 5 .

D. 6 .

Câu 4:
Cho hàm số

f  x

có bảng biến

thiên như hình bên
5
�
�
;3 �
�
�của
Số nghiệm thuộc đoạn �6

phương trình

4 f  cos2x   1  0

A. 5

B. 9 .

C4 .

D. 10 .

là

Câu 5:

  có đồ
Cho hàm số bậc ba
thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực
y f x

của phương trình
A. 8 .

f  x4  2 x2   2

là
B. 9 .

C. 7 .

D. 10 .

Câu 6: ( Đề KSCL lớp 12 sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2009)
f x  x3  3x 2  6 x  1
Cho hàm số  
. Phương trình
nghiệm thực là

A. 4 .
Câu 7: Cho hàm số

B. 6 .
y  f  x

C. 7 .

f  f  x   1  1  f  x   2

D. 9 .

liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ

20

có số


Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số m để phương trình
f  sin x   3sin x  m

0; 
khoảng   .

có

nghiệm

thuộc

Tổng các phần tử của S bằng
A. 9 .

B. 10 .

C. 6 .

D. 5 .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
1) Đề tài đã phân dạng, đưa ra ví dụ cụ thể, giải chi tiết bài toán tìm số nghiệm
của phương trình. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân.
2) Nội dung đề tài được triển khai trong sinh hoạt chuyên môn của tổ. Và có
nhiều phẩn hồi tích cực từ đồng nghiệp. Được dùng trong những tiết luyện tập
để nâng cao kết quả hoạt động giáo dục.
3) Đề tài đã cung cấp kiến thức một cách hệ thống và có chọn lọc các ví dụ
điển hình, tháo gỡ các vướng mắc của một lớp đối tượng học sinh trong khi
giải toán, tiếp thu kiến thức. Chỉ ra hýớng ði nhằm ðõn giản các ðõn vị kiến
thức làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, rèn luyện thành
thạo kĩ năng giải toán để bài làm có kết quả chính xác và nhanh nhất.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong giảng dạy nhiều năm, học sinh dễ
dàng tiếp thu và hứng thú học tập, nâng cao khả năng giải bài toán tìm số
nghiệm của phương trình. Ở những lớp có hướng dẫn chuyên đề này các em học
sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết
áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra trắc nghiệm ( năm học 2018-2019), làm bài trắc
nghiệm (năm học 2017-2018) kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Năm
học

2018 2019

Lớp

12A1
12A3

Tổng
số

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến
8

Điểm dưới 5

Số
lượn
g

Số
lượn
g

Số
lượn
g

42

28

42

20

Tỷ lệ
66,7
%
47,6
%

21

Tỷ lệ

11

26,2
%

13

30,9
%

3
4

Tỷ lệ
7,1%
9,5%

2017
-2018

12A4

36

15

41,7 %

14

38,9 %

7

19,4 %

12A3

42

18

42,9%

19

45,2%

5

11,9%

Như vậy tôi thấy phương pháp giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình
khi biết bảng biến thiên, đồ thị của hàm số có hiệu quả trong giảng dạy.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong quá trình thực hiện và áp dụng sáng kiến trên, đã thu được những
kết quả nhất định, học sinh đã hứng thú hơn đối với các bài toán tìm số nghiệm
của phương trình, kết quả học tập môn toán được nâng lên rõ rệt. Với học sinh
các em không còn e ngại khi giải các bài toán về tìm số nghiệm của phương
trình trong các đề thi của các kỳ thi. Bởi các em đã được cung cấp kiến thức một
cách hệ thống và chọn lọc cẩn thận qua đó rèn luyện thành thạo kĩ năng giải
toán. Và đây cũng là cơ sở để tôi xây dựng cho học sinh các chuyên đề về tìm
đường tiệm cận, sự biến thiên và cực trị của hàm số mà nội dung có liên quan
đến bảng biến thiên và đồ thị của hàm sô; tuy nhiên để sáng kiến được sử dụng
hiệu quả và rộng hơn thì rất mong có những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để
khắc phục những thiếu sót, hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu.
3.2.Kiến nghị.
Đối với cơ quan quản lý Nhà nước: Cần tiếp tục đổi mới sách giao khoa
theo hướng tích cực hóa học sinh. Bộ Giáo dục và Đào tạo cần biên soạn và
thẩm định tài liệu hướng dẫn giáo viên, học sinh phương pháp dạy, học theo
hình thức thi trắc nghiệm.
Đối với Sở GD&ĐT Thanh Hóa: In ấn và cho lưu hành rộng rãi những
sáng kiến kinh nghiệm thiết thực, có hiệu quả.
Đối với trường sở tại: Tiếp tục duy trì chỉ đạo tốt việc sinh hoạt chuyên
môn để bản thân được học hỏi và chia sẻ kinh nghiệm.

Đối với tổ, nhóm chuyên môn: Duy trì tốt và thường xuyên việc trao đổi
kinh nghiệm, học tập, đánh giá khi tiến hành phương pháp dạy học mới. Tích
cực áp dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy.
Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị của hàm số tìm số nghiệm của phương trình

f  x   a f  u( x  )  a .

”. được ðýợc tôi nêu trong đề tài này tưởng như không có
gì mới mẻ, tuy nhiên nó lại tạo ra một hýớng giải toán hiệu quả và phù hợp với
ðại bộ phận học sinh. Quá trình giảng dạy tôi đã nhận được không ít những câu
hỏi, thắc mắc và bằng cách sử dụng giải pháp trên hýớng dẫn cho học sinh thì
học sinh nắm ðýợc vấn ðề và giải tốt các bài toán týõng tự. Đề tài này có thể
22


không tránh khỏi những sai sót, và để sáng kiến được sử dụng hiệu quả và rộng
rãi hơn thì rất mong những ý kiến đóng góp của quý thầy cô để khắc phục
những thiếu sót, hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 01 tháng 07 năm 2020

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết

Vũ Văn Thành

Nguyễn Thị Sen
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo và cộng sự, 2016. Sách giáo khoa, sách bài tập: Đại số và
giải tích 12. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Trần Văn Hạo và cộng sự, 2001. Chuyên đề luyện thi vào đại học: Giải
Tích- Đại Số. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Trần Phương-Lê Hồng Đức,2002. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại
học môn Toán: Hàm Số. Hà Nội: Nhà xuất bản Hà Nội.
4. Trần Thị Vân Anh, 2011. Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi
Quốc gia. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
5. Nguyễn Tất Thu, 2018. 18 chủ đề vận dụng và vận dụng cao toán trắc
nghiệm 12 . Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
6. Lê Hoành Phò, 2016. 10 trọng điểm luyện thi THPT Quốc gia môn Toán
Hà Nội: Nhà xuất bản Thanh niên .
7. Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của các sở GD &ĐT, trang Web violet.vn,
Thư viện eLib.VN, toanmath.com….

23


24


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Sen.

Chức vụ và đơn vị công tác: GV trường THCS&THPT Thống Nhất.

TT

Tên đề tài SKKN

1

Thiết kế bài học theo

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

hướng tích hợp, góp phần
phát triển năng lực của học
sinh trong học tập môn Toán

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2014-2015

đại số và giải tích lớp 11chương trình chuẩn.

2

Phương pháp giải bài toán về
tạo số.

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

25

C

2016-2017