Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau cho học sinh lớp 7 THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI
TOÁN TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAUCHO HỌC SINH
LỚP 7 THCS

Người thực hiện: Trịnh Mai Xuân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2020


Mục lục:
Trang
1.M
ở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.5 Những điểm mới của SKKN
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

kinh nghiệm
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị.
- Kết luận.
- Kiến nghị.

1
1
2
2
2
2
3
4
17
18
19


1.Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán là một môn học khó đối với đối tượng là học sinh bậc Trung
học cơ sở, nhất là hiện nay khi mà cuộc sống hiện đại bùng nổ thì mỗi con người
cần phải năng động về mọi mặt. Chính vì thế việc đòi hỏi chất lượng ngày càng
cao ở tất cả các môn học là cần thiết, đặc biệt là môn Toán.
Được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 7, bản thân tôi luôn suy nghĩ,
trăn trở làm sao để nâng cao chất lượng của học sinh và phát huy tính chủ động
sáng tạo của các em trong khi học Toán. Vì thế, tôi nhận thấy rằng phải giúp các

em phát huy tính tích cực và tính sáng tạo trong học Toán, thông qua đó các em
say mê yêu thích môn Toán và cũng từ đó các em năng động hơn trong quá trình
học tập các môn học khác.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân tôi thấy rằng các bài toán về tỉ lệ
thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7.
Từ một tỉ lệ thức, ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích và ngược
lại, trong một tỉ lệ thức nếu biết được ba số hạng thì ta có thể tính được số hang
thứ tư, tìm các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh đẳng
thức, các bài toán liên quan đến thực tế cuộc sống... Trong chương II Đại số 7,
khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, ta thấy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng
nhau là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong hình học, tính tỉ số
giữa các đoạn thẳng, định lí Talet, tính chất đường phân giác của tam giác, tam
giác đồng dạng (lớp8) thì không thể thiếu được kiến thức về tỉ lệ thức. Ngoài ra,
còn rất nhiều bài toán khi ta giải cần phải sử dụng đến kiến thức về tỉ lệ thức và
dãy tỉ số bằng nhau. Khi học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau còn rèn luyện tư
duy và sự sáng tạo cho các em, các em có thể từ một bài toán ban đầu khai thác
nhiều cách giải hoặc suy ra nhiều bài toán mới.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện năng lực tư duy sáng
tạo trong giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau cho học sinh lớp 7 THCS”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tôi nghiên cứu sáng kiến này nhằm ba mục đích chính:
- Phân dạng các bài tập về tỉ lệ thức và sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó để
GV dễ dạy, HS học dễ hiểu.
- Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm ra một định hướng, một quy
luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải.
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng
nhau.
Khi học sinh giải toán tỉ lệ thức đòi hỏi các em thường xuyên sử dụng
nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Đồng thời cần
có kỹ năng trong việc sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải, đặc biệt là

năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải. Mỗi bài toán tỉ lệ
thức có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải trong đó có cả cách ngắn gọn hợp
lý, đôi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo. Đó là cơ hội để học sinh so sánh,
lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong trường hợp có thể, giúp học
1


sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp và khả năng
khái quát hóa, đặc biệt hóa bài toán...
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp cơ bản giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo
trong giải toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau.
Học sinh lớp 7 THCS trường THCS Nguyễn Văn Trỗi – TP Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp.
- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được
chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học
sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I để đánh giá từng bước tiến bộ của học
sinh.
1.5 Những điểm mới của SKKN
Đề tài đã đề xuất các biện pháp cụ thể và mang tính mới lạ để rèn luyện và
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đây chính là điểm mới và quan trọng của
đề tài. Trong mỗi biện pháp đều được phân ra thành các loại bài tập theo các dạng
toán khác nhau, các bài tập minh họa đều có lời giải rõ ràng và dễ hiểu. Đồng thời
đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để xác định tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp đã đề xuất.

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Tri thức khoa học của nhân loại ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì vậy việc
giảng dạy trong nhà trường đòi hỏi ngày càng nâng cao chất lượng toàn diện,
đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có
khả năng tư duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức
khoa học. Môn toán là môn khoa học góp phần rất lớn tạo ra các yêu cầu đó.
Việc hình thành năng lực giải toán cho học sinh là việc làm không thể thiếu
được của người thầy, rèn cho các em khả năng tư duy sáng tạo, nắm chắc kiến
thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em yêu thích môn toán.
Môn toán có tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic. Toán
học được coi là môn thể thao trí tuệ, rèn cho học sinh trí thông minh, sáng tạo.
Trong các môn học thì toán học được xem là môn học cơ bản, là nền tảng để các
em phát huy năng lực cho bản thân. Vậy dạy như thế nào để các em không
những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn nâng cao được
kiến thức để các em có hứng thú say mê môn học mà mỗi thầy cô đặt ra cho
mình thì người giáo viên phải biết chọn lọc và phân tích, nhìn nhận, đánh giá và
chỉnh sửa những sai lầm thường xuyên mắc phải cho học sinh.

2


2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình toán THCS tỉ lệ thức là một mảng kiến thức quan
trọng. Đây là một mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có
tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhuần nhuyễn nhiều mảng kiến thức khác nhau, có
sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Khi học sinh giải toán tỉ lệ thức đòi hỏi các em thường xuyên sử dụng
nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Đồng thời cần
có kỹ năng trong việc sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải, đặc biệt là

năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải. Mỗi bài toán tỉ lệ
thức có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải trong đó có cả cách ngắn gọn hợp
lý, đôi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo. Đó là cơ hội để học sinh so sánh,
lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trong trường hợp có thể, giúp học
sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp và khả năng
khái quát hóa, đặc biệt hóa bài toán...
Nội dung các vấn đề về tỉ lệ thức rất phong phú. Tuy nhiên trong khuôn
khổ chương trình sách giáo khoa 7 nội dung về tỉ lệ thức được đưa vào chương I
gồm hai bài (§) dự kiến thực hiện trong 4 tiết và 6 tiết tự chọn dạy buổi chiều.
Qua thời gian dạy thử nghiệm ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao
đổi với các giáo viên dạy Toán và các em học sinh tôi nhận thấy :
Do thời gian tiết học trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt
nhiều đồng thời phải đúng lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng,
khai thác ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc.
Trong chương trình sách giáo khoa, số lượng các dạng toán về tỉ lệ thức không
mẫu mực còn hạn chế. Hệ thống bài tập về tỉ lệ thức trong sách tham khảo đa
dạng và phong phú nhưng còn rời rạc và thiếu sự liên kết. Đây là một nội dung
khó đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt thì học sinh phải bỏ nhiều
thời gian và công sức. Khi làm bài tập nhiều học sinh thường bị động, áp dụng
phương pháp giải một cách máy móc nên khi gặp các dạng toán không phải
dạng bài tập đã gặp thì học sinh không giải quyết được.
Từ những kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học
sinh cho thấy: Dạy học sinh giải tỉ lệ thức không chỉ đơn thuần giúp học sinh có
được lời giải bài toán đó, mà cần giúp học sinh cách tìm ra lời giải bài toán
thông qua dạy tri thức, truyền thụ tri thức. Với cách làm như vậy dần dần học
sinh tự đúc kết được phương pháp giải toán tiến tới có được phương pháp học
tập bộ môn. Giáo viên không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần
dự kiến phân phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm chú ý các bài tập trọng tâm
(bài tập có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng...) lựa chọn thêm cho
học sinh bài tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập. Làm bài tập là

cách củng cố, khắc sâu hệ thống kiến thức.
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài toán giáo viên phải đóng vai trò
người học, tự tìm ra chương trình giải các dạng toán. Trên cơ sở đó giáo viên
phân bậc hoạt động phù hợp với từng đối tượng học sinh, dự kiến các câu hỏi
3


dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh không những tìm được
lời giải bài toán mà còn nắm được tri thức về phương pháp giải toán.
Các bài tập phần này khá đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công
chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Đồng thời giáo viên yêu cầu và hướng dẫn học sinh tự học, tự
tìm hiểu thêm ở nhà.
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó
khăn học sinh gặp phải khi giải toán tỉ lệ thức để chỉnh sửa và giúp đỡ kịp thời.
Ngoài ra khi dạy giải toán tỉ lệ thức giáo viên nên liên hệ với các nội dung kiến
thức khác.
2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
A. Hệ thống các kiến thức lí thuyết:
( Để làm được các bài tập thì GV cần truyền đạt cho HS hệ thống kiến thức lí
thuyết đầy đủ, dễ hiểu, dễ nhớ )
a c
= .
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
b d
Ta còn viết: a : b = c : d. Trong đó: a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài)
b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
b. Tính chất của tỉ lệ thức:
a c
= thì a.d = b.c

Tính chất 1: Nếu
b d
( Từ tính chất 1 ⇒ a =

b.c
a.d
a.d
;b =
;c =
)
d
c
b

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
= ; = ; = ; = .
b d c d b a c a
a c
Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức = suy ra các tỉ lệ thức:
b d
a b
= (Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ trung tỉ)
+
c d
d c
= (Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ ngoại tỉ)
+
b a
d b

= ( Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau)
+
c a
c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c a+c a−c
= =
=
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức = suy ra
, (b ≠ ± d)
b d
b d b+d b−d
a c e
Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau = =
ta suy ra:
b d f

4


a c e a+c+e
a−c+e
= = =
=
, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d f b+d + f b−d + f
Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n ≥ 2):

a1 a2 a3
a

= = = ... = n thì:
b1 b2 b3
bn

a1 a2 a3
a a + a + a3 + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an
= = = ... = n = 1 2
=
b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn b1 − b2 + b3 + ... − bn
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
x y z
Chú ý: Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: = = . Ta cũng
a b c
viết: x : y : z = a : b : c.
B. Các biện pháp và dạng toán tương ứng:
Sau khi học xong lí thuyết tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và
hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ
số bằng nhau. Sau đó, cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm
ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có
thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến
phức tạp sau đây:
Dạng 1 : Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước:
Phương pháp:
+ Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, ta dựa vào tính chất 2:
Tính chất 1: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
= ; = ; = ; = .
b d c d b a c a
+ Lập tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước, ta dựa vào tính chất 3:

a c
Tính chất 2: Từ tỉ lệ thức = suy ra các tỉ lệ thức:
b d
a b
= (Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ trung tỉ)
+
c d
d c
= (Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ ngoại tỉ)
+
b a
d b
= ( Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau)
+
c a
Bài toán 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:
a) 3 . 15 = 5 . 9
b) AB . 5 = CD. 4
Giải
a) Từ 3 . 15 = 5 . 9 ta lập được các tỉ lệ thức:
3 9
=
5 15

;

3 5
=
9 15

;

15 9
15 5
=
=
;
5 3
9 3

b) Từ: AB . 5 = CD. 4 ta lập được các tỉ lệ thức:
5


AB 4
=
CD 5

;

AB CD
=
4
5

;

5
4
=

;
CD AB

5 CD
=
4 AB

Bài toán 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các tỉ lệ thức sau:
a)

6 2
=
21 7

b)

a+b a−b
=
5
9

Giải
6 2
6
= ta lập được các tỉ lệ thức:
=
21 7
2
a +b a−b
=

b) Từ
ta lập được các tỉ lệ thức:
5
9

a) Từ

21
7 2 7 21
=
;
; =
7
21 6 2 6
a+b 5
9 a −b
= ;
=
;
a −b 9
5 a+b

9
5
=
a −b a +b

Dạng 2. Chứng minh tỷ lệ thức
Từ dạng 1 các em đã nắm vững kiến thức sẽ là cơ sở trong việc chứng
minh tỷ lệ thức với hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ

bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến
tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
a
b

Bài toán 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
ra tỷ lệ thức:

a −b c −d
=
.
a
c

Giải
Cách 1: Xét tích: (a - b)c = ac – bc
Từ

(1) ;

a(c – d) = ac – ad

a c
= ⇒ ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a - b)c = a(c - d) suy ra

a −b c −d
=

a
c

a c
= =k ⇒ a = bk ; c = dk
b d
a − b bk − b k − 1
=
=
Ta có:
(1) ( b ≠ 0)
a
bk
k
c − d dk − d k − 1
=
=
(2) ( d ≠ 0)
c
dk
k
a −b c −d
=
Từ (1) và (2) suy ra:
( Đpcm)
a
c
a c
b d
= ⇒ =

Cách 3: Từ
b d
a c
a −b a b
b
d c−d
a−b c−d
=
Ta có: a = a − a = 1 − a = 1 − c = c . Do đó:
a
c

c
hãy suy
d

(2)

( Đpcm)

Cách 2: Đặt

( Đpcm)

a c
a b
⇒ = Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
=
b d
c d

a b a −b
a a −b
a −b c −d
⇒
⇒
= =
=
=
( Đpcm)
c d c−d
c c−d
a
c
a c
b d
b
d
⇒ 1− = 1−
= ⇒ =
Cách 5: Từ
b d
a c
a
c

Cách 4: Từ

6

⇒

a−b c−d
=
a
c

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
sau:

( Đpcm)
a c
= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức
b d

a±b c±d a+b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
a c
= .
b d
5a + 2b 5c + 2d
=
5a − 2b 5c − 2d

Bài toán 2. Cho tỷ lệ thức
Hãy chứng minh:

2
5

2
5

( c ≠ ± d, a ≠ ± b)

Giải
Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hoá
kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm
hướng giải cụ thể.
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số bằng k để chứng minh.
a c
= = k ⇒ a = bk ; c = dk
b d
5a + 2b 5bk + 2b b(5k + 2) 5k + 2
Ta có: 5a − 2b = 5bk − 2b = b(5k − 2) = 5k − 2
5c + 2d 5dk + 2d d (5k + 2) 5k + 2
=
=
=
5c − 2d 5dk − 2d d (5k − 2) 5k − 2
5a + 2b 5c + 2d
⇒
=
(Đpcm)

5a − 2b 5c − 2d

Đặt

Cách 2: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ
bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
a c
=
b d

a b
=
(hoán vị các trung tỷ)
c d
a b
5a 2b
=
Theo đề bài: = ⇒
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
c d
5c 2d
5a 2b 5a + 2b 5a − 2b
5a + 2b 5c + 2d
⇒
=
=
=
=
(Đpcm)
5c 2d 5c + 2d 5c − 2d

5a − 2b 5c − 2d

Từ

⇒

Cách 3: Các em học sinh khá, giỏi cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính
chất cơ bản của tỷ lệ thức:
Từ

a c
⇒ ad = bc ⇒ ad – bc = 0
=
b d

Xét tích:

(5a+2b)(5c-2d) = 5a(5c-2d) + 2b(5c -2d)
= 25ac -10ad +10bc -4bd
= 25ac – 10(ad- bc) – 4bd
= 25ac – 4db
(5a- 2b)(5c + 2d) = 5a(5c+2d) - 2b(5c +2d)
= 25ac +10ad -10bc -4bd
= 25ac + 10( ad – bc) – 4bd
= 25ac – 4db
7


⇒ (5a+2b)(5c-2d) = (5a - 2b)(5c + 2d)
5a + 2b 5c + 2d

⇒
=
(Đpcm)
5a − 2b 5c − 2d

Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng
giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, để
trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập
tương tự ở bài 3:
Bài toán 3.
a c
= . Hãy chứng minh:
b d
2a + 3b 2c + 3d
3
3
=
( c ≠ ± d, a ≠ ± b)
2
2
2a − 3b 2c − 3d

a) Cho tỷ lệ thức

b). Chứng minh rằng : Nếu

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=

với a, b, c, d ≠ 0.
b d
a−b c−d

a c
Bài toán 4: Cho = Hãy chứng minh:
b d

( a− b) 2
( c − d) 2

=

ab
cd

Giải
Từ

a c
a b
⇒ =
=
(hoán vị các trung tỷ)
c d
b d
a b a 2 b 2 2ab
⇒
= =
=

=
c d c 2 d 2 2cd

Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau

( a− b) 2 = ab
ab ( a − b )
=
Hay :
(Đpcm)
cd ( c − d ) 2
( c − d) 2 cd
2

a 2 b 2 2ab a 2 − 2ab + b 2
⇒
=
=
=
c 2 d 2 2cd c 2 − 2cd + d 2

Học sinh tự giải các bài tập tương tự ở bài 5:
a c
= Hãy chứng minh:
b d
a2 + b2 ab
a2 + b2 a
=
;
b) 2 2 =

c
c2 + d2 cd
b +c
2
( a+ b) = ab
a 2019 − b 2019 c 2019 − d 2019
=
d)
e)
a 2019 + b 2019 c 2019 + d 2019
( c + d) 2 cd

Bài toán5: Cho
a)
c)

(20a 2020 − 11c 2020 ) 2019

( 20a

2019

+ 11c 2019 )

2020

( 20b
=
( 20b

2020
2019

− 11d 2020 )

+ 11d 2019 )

2019
2020

Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết:
Phương pháp:
+ Muốn tìm một số hạng chưa biết, từ tính chất cơ bản tỉ lệ thức:
a c
b.c
a.d
a.d
= ⇒ a.d = b.c ⇒ a =
;b =
;c =
b d
d
c
b
a c a+c a−c
= =
=
= .........
+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
b d b+d b−d

Nếu

8


+ Vận dụng tính chất cơ bản của phân số:

a c am ck a : n
= =
=
=
b d bm dk b : n

+ Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k. tìm mối quan hệ của ẩn số qua k.
Bài toán 1: Tìm x, y biết:
x y
= và x+ y = 20
3 7
x y
= và xy = 900
4 9

a)
c)

b) 5x = 11y vµ x - y = 18
d)

x y

=
và y2 –x2 = 36
8 10

Giải
a) Từ :

⇒

x y
= , áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
3 7
x y x + y 20
= =
=
=2
3 7 3 + 7 10

x = 3.2 = 6 ; y = 7 . 2 = 14
Vậy x = 6 ; y = 14

x y
= , áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
11 5
x y x − y 18
= =
= =3
11 5 11 − 5 6

b) Từ 5x = 11y ⇒

⇒ x = 11 .3 = 33 ;

y = 5 . 3 = 15

Vậy x = 33 ; y = 15
c) Không thể áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như hai câu trên được vì
không có công thức:

a c a.c
= =
. GV hướng dẫn HS giải theo các cách sau:
b d b.d

Cách 1: (Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k, tìm mối quan hệ của ẩn số qua k)
Đặt

x y
= = k ⇒ x = 4k ; y = 9k
4 9
⇒ x. y = 4k . 9k = 36 k2
Mà x.y = 900
2
2
Suy ra : 36 k = 900 ⇒ k = 25 ⇒ k = ± 5

Với k = 5 thì x = 4.5 = 20 ; y = 9.5 = 45
Với k = - 5 thì x = 4 .(-5)= -20 ; y = 9.(- 5) = -45
Vậy (x;y) = (20; 45); (-20; -45)
Cách 2: Khái quát hoá toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan

đến tích các tử số với nhau
x y
= nên x , y cùng dấu
4 9
2
2
x y x  y
xy
=
⇒
=
Ta có:
.
 ÷  ÷ =
4 9
4.9
4  9

Vì

2

Nên :

Mà xy = 900

2

xy 900
 x  y

=
= 25
 ÷ = ÷ =
4.9 36
4  9

9


2

x
x
⇒  ÷ = 25 ⇒ = ±5 ⇒ x = ±20
4
4
2
y
 y
 ÷ = 25 ⇒ 9 = ±5 ⇒ y = ±45
9

Do x, y cùng dấu nên x = 20 ; y = 45 hoặc x = -20; y = - 45
Vậy (x;y) = (20; 45); (-20; -45)
d) (Vì xuất hiện x2 và y2 nên ta phải chú đến dấu của x , y)
x y
=
nên x , y cùng dấu, bình phương hai vế ta có :
8 10
2

2
2
y2
 x  y  ⇒ x
=
=
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
 ÷  ÷
64 100
 8   10 

Cách 1 Từ

x2
y2
y 2 − x 2 36
=
=
= =1
64 100 100 − 64 36
⇒

x2
x
= 1 ⇒ = ±1 ⇒ x = ±8
64
8
y2
y
= 1 ⇒ = ±1 ⇒ y = ±10

100
10

Do x, y cùng dấu nên x = 8 ; y = 10 hoặc x = - 8; y = - 10
Vậy (x;y) = (8; 10); (-8; - 10)
Cách 2: (Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k, tìm mối quan hệ của ẩn số qua k)
Đặt:

x y
= = k ⇒ x = 8k ; y = 10k
8 10

Từ: y2 –x2 = 36 , ta có : (10k)2 – (8k)2 = 36 ⇒ k2 = 1 ⇒ k = ± 1
Với k = 1 thì x = 8.1 = 8 ; y = 10.1 = 10
Với k = - 1 thì x = 8.(- 1) = - 8 ; y = 10.(- 1) = - 10
Vậy (x;y) = (8; 10); (-8; - 10)
Với các phương pháp cụ thể của từng bài các em sẽ vận dụng để tự giải
bài toán 2 tương tự.
Bài toán 2. Tìm x, y, z biết:
a)

x
y
=
và 2x + 4y = 68
−3 −7

b)

x y

= và 3x2 – 5y2 = - 20
3 2

c)

x y z
= =
và xyz = - 30
2 3 5

d)

x y
z
= =
và x2 – y2 – z2 = 12
4 3 −2

Bài toán 3. Tìm x, y, z biết:
a)

x y y z
= ; = và 2x + 3y - z = 248
3 4 5 7

b) 3x = - 4y = 2z và x - 2y + 3z = 56
10


c)

x +1 y + 2 z + 3
=
=
và x + y + z =18
3
4
5

d)

y+ z+1 x+ z+ 2 x+ y− 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+ z

Giải
a) GV : Hướng dẫn cách giải ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng
nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số
y
y
và có hai số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng
5
4
số hạng dưới (ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng

nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm
BCNN(4;5) = 20 từ đó mẫu chung là 20
+ Tìm được tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau.
+ Từ 2x + 3y – z = 248 , dựa vào tính chất của phân số bằng nhau để biến đổi
các tử của dãy tỉ số bằng nhau lần lượt là 2x, 3y, z.
Ta có:

x y
x 1 y 1
x
y
= ⇒ . = . hay =
3 4
3 5 4 5
15 20
y z
y 1 z 1
y
z
= ⇒ . = . hay
=
5 7
5 4 7 4
20 28
x
y
z
2x 3y z
⇒
⇒

=
=
=
=
15 20 28
30 60 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
2x 3y z
2 x + 3 y − z 248
=
=
=
=
=4
30 60 28 30 + 60 − 28 62
⇒
2x = 30.4 ⇒ x = 60
3y = 60.4 ⇒ y = 80

z = 28.4= 112
Vậy x = 60; y = 80; z = 112.
b) Đối với bài toán này có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc
đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời
giải cho phù hợp.
Cách1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải
sau:
Ta có: b) 3x = - 4y = 2z và x - 2 y + 3z = 56
x

y
x 1 y 1
x
y
= ⇒ . = . hay
=
−4 3
−4 2 3 2
−8 6
y
z
y 1 z 1
y
z
- 4y = 2z ⇒ = ⇒ . = . hay =
2 −4
2 3 −4 3
6 −12
x
y
z
x −2 y 3 z
⇒
⇒
= =
=
=
−8 6 −12
−8 12
−36

3x = - 4y ⇒

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x 2 y 3z
x − 2 y + 3z
56
=
=
=
=
= −1
−8 12 −36 −8 − 12 − 36 −56

⇒ x = -8.(-1) = 8

11


2y = 12 . (-1) ⇒ y = -6
3z = -36.(-1) ⇒ z = 12
Vậy x = 8; y = -6; z = 12
Cách 2: Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã
biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 4; 2. Từ đó các em có lời giải của bài toán
như sau:
Ta có BCNN(3; 4; 2) = 12
Từ 3x = - 4y = 2z

⇒
⇒

1
1
1
= −4 y. = 2 z.
12
12
12
x −y z
x −2 y 3 z
=
=
=
Hay : =
4 3 6
4
6
18

3 x.

(Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có giải tương tự như trên được
x = 8; y = - 6; z = 12)
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã
hướng cho các em tìm ra cách giải sau:
x
y
z
=
=

Từ : 3x = - 4y = 2z ⇒ 1 1 1
3 −4 2

x −2 y 3 z
=
=
⇒ 1
1
3
3
2
2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x −2 y 3 z
=
=
=
1
1
3
3
2
2
1
⇒ x = .24 =8 ;
3

x − 2 y + 3z 56
=

= 24
1 1 3
7
+ +
3 2 2
3
1
-2y = .24 ⇒ y= - 6 ;
2

3
2

3z = .24 ⇒ z = 12

Vậy x = 8; y = - 6; z = 12
c) Cách 1 : ( Quan sát đề bài ta có thể áp dụng ngay tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau sẽ xuất hiện luôn tổng x+y+z ở tử)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x + 1 y + 2 z + 3 x + 1 + y + 2 + z + 3 x + y + z + 6 18 + 6
=
=
=
=
=
=2
3
4
5
3+ 4+5

12
12
⇒ x + 1 = 3.2 ⇒ x =5
y + 2 = 4.2 ⇒ y = 6
z+3=5.2 ⇒ z=7

Vậy: x = 5 ; y = 6 ; z = 7
Cách 2:(Ta có thể đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k, tìm mối quan hệ của ẩn số qua k)
x +1 y + 2 z + 3
=
=
=k ⇒ x = 3k – 1 ; y = 4k – 2 ; z = 5k – 3
3
4
5
Từ : x + y + z =18 ⇒ 3k – 1 + 4k - 2 + 5k – 3 = 18
⇒ 12 k = 24 ⇒ k = 2

x = 3.2 – 1 = 5 ; y = 4.2 -2 = 6 ; z = 5.2 – 3 = 7
Vậy: x = 5 ; y = 6 ; z = 7
d) ( Đối với bài toán này ta thấy khác các dạng so với những bài trước. Vậy ta sẽ
phải khởi đầu từ đâu, đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy
12


có chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để
xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau )
Ta có:
Điều kiện x, y, z ≠ 0

Mà:

y + z + 1 x + z + 2 x + y − 3 y + z + 1+ x + z + 2 + x + y − 3 2(x + y + z)
=
=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+ z
x+ y+ z
y+ z+1 x+ z+ 2 x+ y− 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+ z
⇒

1
1
= 2 ⇒ x + y + z = = 0,5
x+ y+ z
2

⇒

x + y = 0,5 – z ; y + z = 0,5 – x ; x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:

y + z +1
0,5 − x + 1
=2⇒
= 2 ⇔ 0,5 - x + 1 = 2x ⇔ x = 0,5
x
x
x + z + 2 0,5− y + 2
5
=
=2
⇔ 2,5 - y = 2y ⇔ y =
y
y
6
5
x + y − 3 0,5− z − 3
⇔ -2,5 - z = 2z ⇔ z = −
=
=2
6
z
z
5 5
Vậy (x; y; z) = (0,5; ; - )
6 6

Từ các cách giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các
em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát
huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các bài tập tương tự
Bài toán 4: Tìm x, y, z biết :
a)

x y y z
= ; = và 2x + 4y - 2z = - 4
3 5 3 8

b)
c)

3x = 4y ; 2y = 5z và 2x +5y - 5z = 55
2x = 3y = -2z và 2x - 3y - 4z = 48

d)
e)

x−1 y+ 4 z+ 2
=
=
vµ2x + 3y − 5z = 10
3
2
2
y
x
z

=
=
= x+ y+ z
y+ z+1 x+ z+1 x+ y− 2

Bài toán 5 : a) Tìm x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , biết :

x1 − 1 x2 − 2 x3 − 3 x4 − 4 x5 − 5
=
=
=
=
và x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 30
5
4
3
2
1

b) Tìm x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ,x8 ,x9 , biết :

x + 8 x9 + 9
x1 + 1 x2 + 2 x3 − 3
=
=
= ... = 8
=
và x1 + x2 + x3 + ...+ x8 + x9 = 90
9
8

7
2
1

Dạng 4. Các bài toán liên quan đến thực tế và hình học
Các bài toán liên quan đến thực tế và hình học rèn luyện khả năng tìm ra
những liên tưởng và những kết hợp mới, khả năng tìm ra những mối liên hệ
giữa các đối tượng với nhau để từ đó áp dụng tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau để giải. Thông qua đó học sinh rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và
13


giải quyết vấn đề mới trong thực tiễn từ đó phát triển năng lực tư duy cho học
sinh.
* Toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch
Bài toán 1. Một lớp có 35 học sinh. Sau khảo sát chất lượng được xếp thành ba
loại : giỏi, khá, trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh
khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại ?
Giải:
Gọi số học sinh mỗi loại theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta có:
x 2 y 4
x + y + z = 35, = , = .
y 3 z 5
x 2
x y
x y
Từ = ⇔ = ⇔ =
(1)
y 3
2 3

8 12
y 4
y z
y
z
Từ = ⇔ = ⇔ =
(2)
z 5
4 5
12 15
x y z
Từ (1) và (2) ta có = =
.
8 12 15
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z
x+y+z
35
= =
=
=
=1
8 12 15 8 + 12 + 15 35
Từ đây tìm được x = 8; y = 12; z = 15.
Vậy số học sinh giỏi là 8 em, số học sinh khá là 12 em, số học sinh trung bình là
15 em.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài
toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số
liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
* Dạng chuyển động

Bài toán 3: Hai máy bay cùng bay từ thành phố A đến thành phố B . Một máy
bay bay hết 2 giờ 30 phút, còn máy bay kia bay hết 2 giờ 20 phút. Tính vận tốc
trung bình của mỗi máy bay, biết cứ mỗi phút máy bay này bay nhanh hơn máy
bay kí là 10 km.
Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề bài.
Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động trên một
đoạn đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là hai
v1

t2

đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức: v = t và các em đã có
2
1
hướng đi tìm t1, t2.
Giải: Gọi v1, t1 là vận tốc, thời gian của máy bay thứ nhất. Gọi v 2, t2 là vận tốc,
thời gian của máy bay thứ hai.
v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0)
14


Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ
nghịch.
Giả sử v1 > v2 thì t1 < t2 , do đó : t2 = 2 giờ 30 phút = 150 phút, còn t1 = 2 giờ 20
phút = 140 phút.
v1 150
v1 t2
v
v
⇔ 1 = 2

Do đó: v = t ⇔ =
v2 140
150 140
2
1
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có :
v1
v
v +v
10
= 2 = 1 2 = =1
150 140 150 − 140 10
⇒ v1= 150 , v2 = 140
Vậy v1= 150 (km/phút ) , v2 = 140 (km/phút)
Khai thác lời giải của bài toán 3 học sinh có thể dễ dàng giải được các bài
toán sau:
Bài toán 4: Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu xe chạy
với vận tốc 54 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 63 km/h thì
đến sớm hơn 2 giờ.Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi.
* Dạng hình học
Bài toán 5: Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3 ; 5 ; 7. Tính số
đo các góc của tam giác ABC.
Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi
đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa các góc và tổng số đo các góc của một tam
giác. Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời giải của bài
toán.
Giải:
Gọi số đo các góc của tam giác ABC lần lượt là x, y, z.
x y z
Số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3 ; 5 ; 7, nên ta có : = = .

3 5 7
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có :
x y z x + y + z 180
= = =
=
= 12
3 5 7 3 + 5 + 7 15
⇒ x = 36 , y = 60, z = 84
Vậy số đo các góc của tam giác ABC lần lượt là 360 , 600 , 840.
Bài toán 6: Độ dài các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Hỏi các chiều cao
tương ứng của tam giác đó tỉ lệ với nhau theo tỉ số nào?
Với phương pháp hệ thống hoá các kiến thức, giáo viên cần làm cho học
sinh hiểu được mối quan hệ chặt chẽ giữa các kiến thức với nhau. Từ đó các em
mới vận dụng tốt, để thao tác tư duy tốt và giải toán đạt hiệu quả cao.

15


Dạng 5: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỉ số bằng
nhau
a c a+c a−c
=
* Sai lầm khi áp dụng tương tự công thức = =
b d b+d b−d
Học sinh áp dụng công thức sai:

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =

a b a.b
a b c a.b.c
2

2

x y x  y
xy
Chỉ được áp dụng công thức: = ⇒  ÷ =  ÷ =
a b
ab
a b

Bài tập 1: (Bài 62 – SGK-T31)Tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm như sau :

x y
= và x.y =10
2 5

x y x. y 10
= =
= = 1 suy ra x = 2,y = 5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng như sau:
Cách 1: Từ

x y
x.x x. y

x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 từ đó suy ra y = ±5
2 5
2
5
2
5

Vậy x = 2, y = 5 hoặc x = - 2, y = -5
Cách 2: Đặt

x y
= = k = > x = 2k ; y = 5k vì xy = 10 nên 2k. 5k = 10
2 5

=> k = 1 => k = 1; k = -1 .vậy x = 2, y = 5 hoặc x =-2, y = -5
2

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4
x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27 .Suy ra a = 54, b = 81, c = 108
2 3 4 2.3.4 24

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng :
H/s sai lầm như sau:

* Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu
giá trị cần tìm.
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó?
Giải:

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

a
b
c
=
=
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
b+c c+a a +b
a
b
c
a +b+c
a+b+c
=

=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)
1
(Học sinh thường bỏ quên đk a + b + c = 0 mà rút gọn luôn bằng là làm thiếu)
2

Ta có

+ Nếu a + b + c = 0 thì b + c = - a; c + a = - b; a + b = - c
a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b
a
b
c
a +b+c
1
+ Nếu a + b + c ≠ 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2

nên mỗi tỉ số

16

1
2
Bài tập tương tự mà học sinh cần phải xét thêm điều kiện bằng 0:
Bài tập 4: Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện:
Vậy giá trị của mỗi tỉ số đó bằng – 1 hoặc bằng

a +b −c b+c − a c + a −b
=
=
c
a
b
 b  a  c 
Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 a  c  b 

* Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2 = B2 suy ra A = B, mà làm đúng phải là A = ± B
Bài tập 5: Tìm x biết:
Giải:
Từ :

x+2
9
=
4
x+2

x+2
9

⇒ (x+2)2 = 36 ⇒ x+2 = ± 6 ⇒ x = 4 hoặc x = - 8
=
4
x+2

Vậy: x = 4 hoặc x = - 8
(Học sinh thường sai lầm (x+2)2 = 36 suy ra x + 2 = 6 suy ra x = 4)
x
2

Bài tập 6: Tìm các số x,y,z biết rằng: =

y z
= biết rằng: 2x2 + 3y2 – 5z2 = - 180
3 4

Giải:
x y z
= = =k suy ra x = 2k, y = 3k, z = 4k
2 3 4
Từ : 2x2 + 3y2 – 5z2 = - 180 ⇒ 2(2k)2 + 3(3k)2 – 5(4k)2 = - 180

Đặt

8k2 + 27k2 – 80k2 = -180 ⇒ k2 = 4
Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 2, mà phải suy ra k = ± 2
+ k = 2 ⇒ x = 4, y = 6, z = 8
+ k = -2 ⇒ x = - 4, y = - 6, z = - 8
Vậy x = 4, y = 6, z = 8 hoặc x = - 4, y = - 6, z = - 8
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tiến hành so sánh kết quả học tập ở các lớp không thử nghiệm và lớp thử
nghiệm, tôi thu được kết quả như sau:
Lớp không áp dụng sáng kiến này kết quả thu được thấp hơn nhiều. Cụ
thể là lớp 7A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi năm học 2018-2019
Tổng số
học sinh
43

Giỏi
Số lượng %
2
5%

Khá
Số lượng %
6
14%

Trung bình
Số lượng %
31
72%

Yếu
Số lượng %
4
9%

Lớp áp dụng sáng kiến này kết quả thu được cao hơn nhiều. Cụ thể là lớp

7A5 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi năm học 2019-2020

17


Tổng số
học sinh
49

Giỏi
Số lượng %
15
30%

Khá
Số lượng %
20
42%

Trung bình
Số lượng %
14
28%

Yếu
Số lượng %
0
0%

Căn cứ kết quả trên, ta thấy khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh

thường lúng túng khi giải các bài tập về tỉ lệ thức và ngại làm bài tập về tỉ lệ
thức, dãy tỉ số bằng nhau và có ác cảm với các bài toán về tỉ lệ thức. Sau khi áp
dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào dạy học thì số em hiểu được cách giải bài
toán tỉ lệ thức tăng lên rất rõ rệt. Các em thấy toán về tỉ lệ thức thật dễ, thật
thích và có hứng thú say mê học. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng và sắp xếp
bài tập, hướng dẫn giải các bài tập tỷ lệ thức là không thể thiếu được trong môi
trường toán THCS.
Theo kết quả kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm ở lớp 7, tôi có nhận
xét sau:
- Về học sinh tham gia thực nghiệm:
+ Trong các giờ dạy thực nghiệm, các em tích cực tham gia xây dựng bài
thông qua việc thực hiện các hoạt động thành phần phù hợp.
+ Trong mỗi giờ học, vai trò của HS được đề cao; mỗi ý kiến của các em
trở thành một thành phần nhỏ trong nội dung bài học nên các em thấy tự tin, hào
hứng, mạnh dạn đưa ra những ý kiến đóng góp xây dựng bài.
+ Sau mỗi bài kiểm tra đã xuất hiện những cuộc tranh luận sôi nổi về kết
quả và phương pháp giải toán.
+ Các em HS ở lớp sau khi tiến hành dạy thực nghiệm hăng hái, tích cực
phát biểu ý kiến xây dựng bài và đưa ra nhận xét chính xác hơn so với trước khi
bắt đầu thực nghiệm.
- Các giáo viên tham gia thực nghiệm đều khẳng định dạy học theo phương
pháp này có tác dụng giúp học sinh phát triển tư duy, rèn luyện được cho
học sinh tính tích cực chủ động trong học tập. Đặc biệt là góp phần phát
triển khả năng sáng tạo cho học sinh.
3 Kết luận, kiến nghị.
- Kết luận
Với kinh nghiệm như đã đưa ra, sau hai năm giảng dạy bản thân tôi thấy
trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt. Hầu hết học sinh đã làm thành thạo
các bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. Các em đã sáng tạo hơn trong
quá trình giải bài tập và một bài tập các em có thể giải theo nhiều cách khác

nhau, từ đó tạo niềm say mê hứng thú khi học toán.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi hy vọng các em tự tin
hơn khi làm bài tập về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau, từ đó cảm thấy tự tin và
yêu thích hơn khi học bộ môn toán. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu đề
tài của mình, tôi không tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong các thầy cô
và các bạn đồng nghiệp góp chân thành để sáng kiến lần sau ngày một tốt
hơn.
18


- Kiến nghị
Phòng giáo dục thường xuyên mở các lớp bồi dưỡng nâng cao nghiệp
vụ sư phạm, tổ chức các hội thảo theo các chuyên đề để giáo viên có điều
kiện học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
Nhà trường tạo điều kiện về tài liệu tham khảo để cho giáo viên và học
sinh có điều kiện bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

THỦ Thanh Hóa, ngày 14 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác
(Kí và ghi rõ họ tên)

Trịnh Mai Xuân

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 7 - tập 1
2. Sách giáo viên toán 7 - tập 1
3. Sách bài tập toán 7 - tập 1
4. Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7- Nhóm tác giả Thăng Long
5. Nâng cao và phát triển toán 7- tập 1- VŨ HỮU BÌNH
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề - Bùi Văn Tuyên

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Mai Xuân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi

TT Tên đề tài SKKN
1.
2.

Rèn luyện kĩ năng
nghiệm cho học sinh
Chương I: Quang học
Rèn luyện kĩ năng
nghiệm cho học sinh
Chương I: Quang học

Kết quả

Cấp đánh
đánh giá Năm
học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A,
B, loại
Tỉnh...)
hoặc C)
làm thí
lớp 7 – Cấp phòng

A

2015-2016

làm thí
lớp 7 – Cấp Sở

C

2015-2016

21