Tính Taut Của Miền Hartogs

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN THỊ THẢO LY

TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN THỊ THẢO LY

TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN HUỆ MINH

Thái Nguyên – 2016

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng luận văn mà tôi trình bày ngay sau đây là công
trình nghiên cứu của riêng tôi với sự hướng dẫn chu đáo và tận tình của
TS. Trần Huệ Minh.
Tôi không sao chép từ bất kỳ một công trình nào khác. Tôi kế thừa và
phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân
thành.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Thảo Ly

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của
TS. Trần Huệ Minh, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người đã
dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo bộ môn
của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy, khích lệ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi trong quá trình học tập của em. Em cũng xin bày tỏ lòng
biết ơn tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán cao học K22, thầy Trần Nguyên
An, người đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập.
Em xin cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa
Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong suốt thời gian em học tập.
Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn, các anh chị học viên học cùng lớp cao

học Toán K22 đã luôn giúp đỡ em trong quá trình học tập, cảm ơn người
thân và gia đình đã luôn luôn động viên và ủng hộ em về mọi mặt để em có
thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Thảo Ly
ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Các hàm bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến . . . . . . . . . .

6

1.4

Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian phức

7

1.5

Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Miền cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8

Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.9

Siêu lồi và miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

iii

1.10 Dạng Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tính taut của các miền Hartogs

11
12

2.1

Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn . .

12

2.2

Tính taut của miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Tính taut của miền Hartogs với thớ cân bằng . . . . . . . .

32

2.4

Tính taut của miền Hartogs - Laurent . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

40

iv


Danh mục kí hiệu
B1 (λ0 , γ0 ) := B|·| (λ0 , γ0 ), λ0 ∈ C, γ0 > 0;
Bn (z, R) := B · (z, R), R ∈ Cn , R > 0;

| · |≡ ·
· ≡ ·
L

C:

chuẩn Euclid trong C;

n
C:

chuẩn Euclid trong Cn ;

G : L là compact tương đối trong G;

∂G: Biên của G;
E := B1 (0, 1) : đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức;
TX: không gian tiếp xúc Zariski của X;

O(G1 , G2 ) : tập hợp các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 ;
O(G) := O(G, C);
C ↑ (G) : tập hợp tất cả các hàm nửa liên tục trên f : G → [−∞, +∞);
C(G) := C(G, C);
SH(B): tập hợp tất cả các hàm điều hòa dưới trên B;
PSH(G): tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên G;

d := (dG )G∈G ;
kG : giả khoảng cách Kobayashi trên G.
v


Mở đầu
Bài toán quan trọng đầu tiên của giải tích phức hyperbolic là chỉ ra lớp
các không gian phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu
tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể cũng như tìm hiểu
những lớp không gian phức hyperbolic ở dạng tường minh đã thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Miền Hartogs thuộc vào một trong số
những lớp không gian phức như vậy.
Như chúng ta đã biết, mỗi không gian phức taut là hyperbolic do đó ta có
thể chứng tỏ tính hyperbolic của một không gian phức bằng cách chứng tỏ
tính taut của nó. Luận văn "Tính taut của miền Hartogs" nhằm tìm hiểu và
nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) thông qua tính taut của X;
sử dụng tiêu chuẩn của Royden cho các miền taut để nghiên cứu tính taut
của miền Hartogs Ω = Ωu,h (G) trên một miền G ⊂ Cn với thớ cân bằng
m chiều, đồng thời chỉ ra điều kiện cần cho một miền Hartogs - Laurent

Σ = Σu,v (G) trên một miền G ⊂ Cn là taut.
Luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, nội dung hai chương,
phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống lại các khái niệm, các tính
chất cần thiết cho chương sau.

1


Chương 2. Trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong
Cn , nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) và chỉ ra đặc trưng đầy
đủ cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng m chiều Ωu,h (G)
đồng thời nghiên cứu tính taut của miền Hartogs - Laurent Σu,v (G).
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả được nghiên
cứu trong luận văn và danh mục tài liệu tham khảo.
Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này thêm hoàn thiện hơn.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 ta kí hiệu E là đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức,

O(G1 , G2 ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 với tôpô compact
mở, O(G) = O(G, C).

1.1

Các hàm bất biến

Định nghĩa 1.1.1. Cho G là tập các miền trong Cn , ρ là khoảng cách
Poincare trên đĩa đơn vị E , tức là
|1−ζ|
ρ(λ, ζ) = tanh−1 ( |1−
¯ ), λ, ζ ∈ E .
λζ|

Một họ d := (dG )G∈G các hàm dG : G × G → R

0

được gọi là co rút chỉnh

hình nếu
i) d là chuẩn tắc, tức là dE = ρ.
ii) d thoả mãn tính chất giảm, tức là G, D ∈ G ta có

dD (f (z), f (ω))

dG (z, ω), f ∈ O(G, D), z, ω ∈ G.

Chú ý 1.1.2. - Điều kiện ii) suy ra được họ d là bất biến đối với các ánh xạ
3

song chỉnh hình, để cho ngắn gọn, ta gọi dG ∈ d(G ∈ G) là hàm bất biến.
- Với Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2} ta có

dG1 ×G2 ( (z1 , z2 ), (z1 , z2 ) ) ≥ max{ dG1 (z1 , z1 ), dG2 (z2 , z2 ) }

(∗)

Ta nói họ d của các hàm bất biến có tính chất tích nếu đẳng thức trong

(∗) đạt được với bất kỳ Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2}.
Định nghĩa 1.1.3. Cho D là một tập khác ∅, một hàm d : D × D → R

0

gọi là một giả khoảng cách trên D nếu
i) d(x, x) = 0, x ∈ D
ii) d là đối xứng, tức là d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ S
iii) d thoả mãn bất đẳng thức tam giác, tức là

d(x, y)

d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ D.

Giả khoảng cách d trên D được gọi là khoảng cách trên D nếu thoả mãn
thêm điều kiện d(x, y) = 0 ⇔ x = y với mọi x, y ∈ D.
Nhận xét 1.1.4. Cho G ∈ G, z, ω ∈ G. Tồn tại một ánh xạ ϕ ∈ O(E, G) có
miền giá trị chứa cả z và ω . Và bất kỳ f ∈ O(G, E), ta có f ◦ ϕ ∈ O(E, E)
và do đó

ρ(f (z), f (ω)) = ρ( (f ◦ ϕ)(λ), (f ◦ ϕ)(ζ) )

ρ(λ, ζ),

trong đó λ, ζ ∈ E với ϕ(λ) = z, ϕ(ζ) = ω.
Như vậy, ta có thể xác định được hai co rút chỉnh hình bằng cách xét các
ánh xạ từ G vào E và từ E vào G như sau, với z, ω ∈ G ∈ G , ta đặt

cG (z, ω) :=

sup
f ∈O(G,E)
4

ρ(f (z), f (ω)),


k˜G (z, ω) :=

inf

ρ(λ, ζ).

ϕ∈O(E,G)
ϕ(λ)=z,ϕ(ζ)=ω

Theo chú ý 1.1.4, hàm k˜G là hàm giá trị thực không âm và do vậy cG cũng
là hàm giá trị thực không âm. Dễ thấy rằng c := (cG )G∈G và k˜ := (k˜G )G∈G
là các hàm co rút chỉnh hình và với bất kỳ G ∈ G , hàm cG là giả khoảng
cách, k˜G là đối xứng nhưng trong trường hợp tổng quát nó không thoả mãn
bất đẳng thức tam giác. Hơn nữa, nếu (dG )G∈G là các hàm co rút chỉnh hình

cG

thì

k˜G ,

dG

G ∈ G.

Ta gọi cG là giả khoảng cách Caratheodory của G và k˜G là hàm Lempert
của G.

1.2

Giả khoảng cách Kobayashi

Cho G ∈ G là một miền trong Cn , z, ω ∈ G. Xét dãy các điểm

{p0 = z, p1 , ..., pµ−1 , pµ = ω} ⊂ G,
xét dãy các điểm {λj }j=1,µ của E và dãy các ánh xạ {ϕj }j=1,µ trong O(E, G)

∀j = 1, ..., µ.

thoả mãn ϕj (0) = pj−1 , ϕj (λj ) = pj ,

Ta gọi tập α = {p0 , ..., pµ , λ1 , ..., λµ , ϕ1 , ..., ϕµ } là một dây chuyền chỉnh
hình nối z và ω trong G.
µ

ρ(0, λj ). Đặt

Với mọi dây chuyền như vậy, ta lập tổng
j=0
µ

kG (z, ω) = inf {
α

ρ(0, λj ), α ∈ Ω z,ω },
j=0

trong đó Ω z,ω là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình trong G nối z và ω .
Khi đó kG là giả khoảng cách và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên

G.
5


Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của kG
i) kG là hàm liên tục
ii) Nếu f ∈ O(G1 , G2 ) thì f là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách
Kobayashi, tức là kG1 (p, q) ≥ kG2 (f (p), f (q)), ∀p, q ∈ G1
iii) kE =

E.
(2)

Ta định nghĩa một hàm kG xác định bởi

(2)

kG (a, z) := inf { (0, λ) + (0, ζ) : ϕ, ψ ∈ O(E, G),
λ, ζ ∈ E, ϕ(0) = a, ϕ(λ) = ψ(0),
ψ(ζ) = z }, a, z ∈ G.
Rõ ràng

1.3

(2)

kG ≥ kG .

Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến

Định nghĩa 1.3.1. Cho (dG )

G∈G

là họ các hàm bất biến. Ta nói miền

G ∈ Cn là d - hyperbolic nếu dG (z, ω) > 0 với mọi z, ω ∈ G với z = ω .
Nếu miền G là d - hyperbolic thì tôpô sinh ra bởi dG trùng với tôpô ban
đầu của G.
Định nghĩa 1.3.2. Cho D ⊂ Cm là một miền và (G, dG ) là một không
gian mêtric. Ta nói họ F ⊂ O(D, G) là liên tục đồng bậc tương ứng với
khoảng cách dG nếu với bất kỳ ε > 0 và z0 ∈ D, tồn tại một lân cận mở

U ≡ U (z0 ) ⊂ D của z0 sao cho
dG ( f (z0 ), f (z) ) < ε với bất kỳ z ∈ U, f ∈ F.

6


Chú ý 1.3.3. 1. Lấy (dG ) G∈G là một họ co rút chỉnh hình là giả khoảng
cách. Nếu một miền G ⊂ Cn là d - hyperbolic, thì O(E, G) là liên tục đồng
bậc ứng với kG .
2. Dễ thấy rằng nếu miền G ⊂ Cn mà họ O(E, G) là liên tục đồng bậc ứng
với dG , trong đó (G, dG ) là một không gian mêtric thì G là k - hyperbolic.
3. Lấy G

Cn là một miền compact tương đối trong Cn , thì tồn tại

R > 0 sao cho G
kG (z, ω)

k

Bn (z, R) với bất kỳ z ∈ G. Vì vậy
Bn (z,R) (z, ω)

= ρ(0,

||z − ω||
)
R

||z − ω||
,
R

z, ω ∈ G,

suy ra G là k - hyperbolic.

1.4

Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian
phức

Giả sử X là một không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zariski của
X, e0 =

∂
∂z |z=0

∈ T0 Er là véctơ tiếp xúc đơn vị.

- Nón Royden - Kobayashi của X được định nghĩa như sau

Con X = {υ ∈ T X; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ∃u ∈ T0 Er sao cho ϕ (u) = υ}.
- Giả mêtric vi phân Royden - Kobayashi là hàm trên TX được định nghĩa
như sau



inf { 1 ; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ϕ(0) = z, ϕ (e0 ) = υ}, nếu υ ∈ Con X.
r
FX (z, υ) =



∞, nếu υ ∈ Con X.

7


1.5

Hàm điều hòa dưới

Hàm u : G → [−∞, ∞) được gọi là điều hoà dưới trong miền G ⊂ Cn
nếu u thoả mãn hai điều kiện sau
i) u là nửa liên tục trên trong G, tức là tập {z ∈ G|u(z) < s} là tập mở
với mỗi số thực s.
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối Ω của G và mọi hàm h : Ω → R

¯ , ta có nếu u
là điều hoà trong Ω và liên tục trong Ω

h ở trên ∂G thì u

h

ở trên Ω.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau
Để hàm u nửa liên tục trên trong miền G là điều hòa dưới trong G, điều
kiện cần và đủ là với mỗi điểm z ∈ G, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho

1
u(z) ≤

2π
1.6

0

u(z + reit )dt, với mọi r < r0 .
2π

Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.6.1. Hàm ϕ : G → [−∞; ∞) được gọi là đa điều hoà dưới
trong miền G ⊂ Cn ( ký hiệu ϕ ∈ PSH(G) ) nếu
i) ϕ là hàm nửa liên tục trên trên G sao cho ϕ = −∞ trên mỗi thành
phần liên thông của G.
ii) Với mỗi điểm a ∈ G, với mọi b ∈ Cn , hàm λ → ϕ(a + λb) là điều
hoà dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần liên thông của tập

{λ ∈ C : a + λb ∈ G}.
Định lý 1.6.2. [10] Cho ϕ : G → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên
8


và ϕ = −∞ trên bất cứ thành phần liên thông của G. Khi đó ϕ ∈ P SH(G)
khi và chỉ khi với mỗi a ∈ G, b ∈ Cn mà {a + λb : λ ∈ G, |λ|

ϕ(a)

có
trong đó l(ϕ; a, b) =

2π
0

1
2π

1} ⊂ G, ta

l(ϕ; a, b),

ϕ(a + eit b)dt.

Định lý 1.6.3. [10](Nguyên lý cực đại) Giả sử D ⊂ Cm là một miền bị
chặn và u là hàm đa điều hoà dưới trên D, u ≡ const. Khi đó

u(z) < sup {lim
sup u(z)}.
z→ω
ω∈∂D z∈D

1.7

Miền cân bằng

Định nghĩa 1.7.1. Cho D là một miền trong Cm , D gọi là miền cân bằng

¯ , ta có λω ∈ D.
nếu với bất kỳ ω ∈ D, λ ∈ E
Ta định nghĩa một hàm h ≡ hD : Cm → R

hD (ω) = inf {α > 0 :

0

bởi

ω
∈ D}, ω ∈ Cm ,
α

hD được gọi là hàm Minkowski của D.
Như vậy D = {ω ∈ Cm |hD (ω) < 1}, và ta viết D = Dh .
Dễ thấy h là một hàm nửa liên tục trên và

h(λω) = |λ|, h(ω), λ ∈ C, ω ∈ Cm ,
h ≡ 0 nếu và chỉ nếu Dh = Cm .
Mệnh đề 1.7.2. [10] Cho D = Dh ⊂ Cm là một miền cân bằng trong Cm .
Khi đó
(1) D là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại C > 0 sao cho h(ω)
bất kỳ ω ∈ Cm .
9

C||ω||, với


(2) D không chứa đường thẳng phức qua 0 khi và chỉ khi h là xác định
dương trên Cm , tức là h(ω) > 0 với ∀ω ∈ Cm
∗ .
(3) Nếu h ∈ C(Cm ), h > 0 trên Cm
∗ thì D là miền bị chặn.

Mệnh đề 1.7.3. [10] Nếu một miền cân bằng D = Dh ⊂ Cm là bị chặn thì

h là một tựa chuẩn trên Cm .

1.8

Miền taut

Cho G là một miền trong Cn , trên O(E, G) ta trang bị tôpô compact mở
- Dãy {fj }∞
j=1 ⊂ O(E, G) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập
con compact K của E, mỗi tập con compact L của G, tồn tại j0 ∈ N sao
cho fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 .
- Họ O(E, G) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi }∞
i=1 trong O(E, G)
chứa một dãy con {fiυ } hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới
K

ánh xạ f ∈ O(E, G) ( ký hiệu fiυ =⇒ f ) hoặc là phân kỳ compact.
- Miền G được gọi là taut nếu họ O(E, G) là một họ chuẩn tắc.

1.9

Siêu lồi và miền Hartogs

- Hàm ϕ : X −→ [−∞, ∞) gọi là hàm vét cạn nếu ϕ−1 ( [−∞, c] ) là
compact với mọi c ∈ R.
- Không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và X có một hàm
vét cạn đa điều hòa dưới âm liên tục.

10


- Giả sử ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X. Miền Ωϕ (X) cho bởi

Ωϕ (X) = { (x, λ) ∈ X × C; | λ |< e−ϕ(x) },
được gọi là miền Hartogs liên kết với ϕ.

1.10

Dạng Levi

Giả sử u là hàm lớp C 2 trong một tập con mở của Cn và ω = (ω1 , ..., ωn ) ∈
Cn . Ta định nghĩa
n

∂ 2 u(p)
Lu(p)ω, ω =
ωi ω
¯j
∂z
∂
z
¯
i
j
i,j=1
là dạng Levi của u tại p.
Với G là tập con mở của Cn ta có: Hàm u thuộc lớp C 2 trong G là hàm
đa điều dưới nếu và chỉ nếu Lu(p)ω, ω ≥ 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn .

Nếu Lu(p)ω, ω > 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn , ω = 0 thì u được gọi là hàm đa
điều hòa dưới chặt.

11


Chương 2

Tính taut của các miền Hartogs
Trước tiên, ta sẽ trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền
trong Cn , sử dụng tiêu chuẩn này, ta sẽ chỉ ra được một đặc trưng đầy đủ
cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng, hơn nữa ta có thể
đưa ra một điều kiện cần để một miền Hartogs - Laurent là taut.

2.1

Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn

Định lý 2.1.1. [5] Cho G ⊂ Cn là một miền. Các tính chất sau là tương
đương
a) G là một miền taut
(m)

b) Với bất kỳ m ∈ N, R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là
một tập con compact tương đối của G
(2)

c) Với bất kỳ R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là một tập
con compact tương đối của G.
Chứng minh.

a) ⇒ b). Giả sử b) không đúng, tức là ta có thể tìm được m ∈ N, R > 0,
12


z0 ∈ G và một dãy (zυ )υ∈N các điểm zυ ∈ G có các tính chất sau
υ→∞

(m)

kG (z0 , zυ ) < R và zυ −→ z˜ ∈ ∂G hoặc zυ → ∞ khi υ → ∞. (∗)
Từ định nghĩa, ta có thể chọn các hàm ϕυ,j ∈ O(E, G), 1 ≤ j ≤ m và
các điểm συ,j ∈ E, 1 ≤ j ≤ m có tính chất

zυ,1 (0) = z0 , ϕυ,j (συ,j ) = ϕυ,j+1 (0), 1 ≤ j ≤ m
m

ϕυ,m (συ,m ) = z0 và

ρ(0, συ,j ) < R.
j=1

Vì ϕυ,1 (0) = z0 , tồn tại một dãy con (ϕ1υ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ) sao cho ϕ1υ,1 hội tụ
đều trên các tập compact đến ϕ1 ∈ O(E, G) và ϕ1 (0) = z0 .
υ→∞

Ta có thể giả thiết rằng σ1υ,1 −→ σ1 ∈ E và ta viết ϕ1 (0) = z0 và

ϕ1 (σ1 ) = lim ϕ1υ,1 (σ1υ,1 ) = lim ϕ1υ,2 (0).
υ→∞

υ→∞

Lặp lại lập luận trên nhiều lần, ta có một dãy con (ϕmυ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ), ...

..., (ϕmυ,m ) ⊂ (ϕυ,m ) và (σmυ,1 ) ⊂ (συ,1 ), ..., (σmυ,m ) ⊂ (συ,m ) với
j→∞

K

ϕ mυ,j =⇒ ϕj ∈ O(E, G), σ mυ,j −→ σj ∈ E
υ→∞

và ϕ1 (0) = z0 , ϕj (σj ) = ϕj+1 (0), 1 ≤ j ≤ m

ϕm (σm ) = lim zmυ .
υ→∞

Điều này mâu thuẫn với (*).

b) ⇒ c) Hiển nhiên.
c) ⇒ d) Lấy dãy (fj )j ⊂ O(E, G).
Ta giả sử dãy này là không phân kỳ compact, tức là tồn tại các tập
compact K ⊂ E và L ⊂ G và một dãy con (f1j ) ⊂ (fj ) sao cho f1j (K)∩L =
∅ với mọi j.
13


Lấy các điểm ξj ∈ K mà f1j (ξj ) =: zj ∈ L.
Vì tính chất compact của K, L nên ta có thể giả thiết rằng

ξj → ξ ∗ ∈ K và zj → z ∗ ∈ L.
Chọn một số dương phù hợp r > 0 và j0 ∈ N

r
B(z ∗ , r) ⊂ G, ρ(ξj , ξ ∗ ) < 1, zj ∈ B(z ∗ , ) nếu j ≥ j0 .
4
Lấy một dãy các ánh xạ chỉnh hình gj ∈ O(E, G) xác định bởi

1
gj (λ) := z ∗ + 3λ(zj − z ∗ ) thì gj (0) = z ∗ và gj ( ) = zj = f1j (ξj ).
3
Do vậy, với θ ∈ E mà ρ(ξ ∗ , θ) < R (R tùy ý) ta có bất đẳng thức sau

1
(1)
(1)
(2)
kG (z ∗ , f1j (θ)) ≤ kG (gj (0), gj ( )) + kG (f1j (ξj ), f1j (θ))
3
1
≤ ρ(0, ) + ρ(ξj , θ)
3
1
≤ ρ(0, ) + ρ(ξ ∗ , ξj ) + ρ(ξ ∗ , θ)
3
1
ˆ (∗∗)
< ρ(0, ) + 1 + R := R.
3

Từ giả thiết, (**) suy ra dãy (f1j ) bị chặn đều địa phương. Áp dụng Định
lý Montel ta tìm được một dãy con (f2j ) ⊂ (f1j ) sao cho (f2j ) hội tụ đều
trên các tập compact tới ánh xạ f ∈ O(E, Cn ).
Hơn nữa, (**) chỉ ra rằng nếu ρ(ξ ∗ , θ) < R thì f (θ) thuộc bao đóng của

ˆ theo giả thiết nó bị chứa trong G.
{ω ∈ G, k (2) (z ∗ , ω) < R},
Do vậy f ∈ O(E, G). Định lý được chứng minh.
Từ Định lý trên, ta có ngay kết quả sau

14


Bổ đề 2.1.2. [11] Cho G ⊂ Cn là một miền. Nếu G không phải là miền taut,
thì tồn tại một số R > 0, một dãy (zj )j≥0 ⊂ G, (fj )j≥1 , (gj )j≥1 ∈ O(E, G)
và (αj )j≥0 , (βj )j≥0 ∈ [0, 1) sao cho với mọi j ≥ 1 thì
(2)

(+1)

kG (z0 , zj ) < R,

(+2)

fj (0) = z0 ∈ G,

(+3)

fj (αj ) = gj (0),

(+4)

gj (βj ) = zj , zj −→ ∃ zˆ0 ∈ ∂G

(+5)

αj −→ α0 , βj −→ β0 .

j→∞

j→∞

hoặc

j→∞

zj −→ ∞,

j→∞

Tiếp theo, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Royden, ta đưa ra một kết quả
tổng quát hóa kết quả của Kerzman - Rosay [7]. Trước tiên ta nhắc lại định
nghĩa sau
Định nghĩa 2.1.3. Cho miền G ⊂ Cn . Ta nói rằng
- ϕ là hàm peak đa điều hòa dưới địa phương tại vô cực nếu tồn tại một

¯ ∩ UR (∞)) ∩ P SH(G ∩ UR (∞)) và lim ϕ(ω) = 0 >
R > 0 sao cho ϕ ∈ (G
ω→∞

¯ ∩ UR (∞), ω ∈ G, trong đó UR (∞) = U n (∞) := Cn \ Bn (0, R).
ϕ(z), z ∈ G
R
- ϕ là hàm peak yếu đa điều hòa dưới địa phương tại vô cực nếu tồn tại R

¯ ∩ UR (∞)) ∩ P SH(G ∩ UR (∞)) và lim ϕ(ω) = −∞ <
> 0 sao cho ϕ ∈ (G
ω→∞

¯ ∩ UR (∞).
ϕ(z), z ∈ G
Ta có định lý
Định lý 2.1.4. [10] Cho G ⊂ Cn là một miền. Giả sử rằng G là một miền
taut địa phương và O(E, G) là đồng liên tục đối với

· . Nếu G có một

hàm peak yếu đa điều hòa dưới địa phương ϕ tại vô cực và

(2.1.4a)

ϕ(z) < 0, z ∈ G ∩ UR (∞),
15


(2.1.4b)

lim ϕ(z) tồn tại và bằng 0.

G z→∞

Thì G là taut.
Chứng minh.
Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau
Bổ đề 2.1.5. [10] Cho G ⊂ Cn là một miền taut địa phương. Giả sử
rằng O(E, G) là đồng liên tục đối với

· . Nếu tồn tại dãy (zj )j≥1 ⊂
j→∞ ∃

G, (ψj )j≥1 ⊂ O(E, G), và (αj )j≥1 ⊂ [0, 1) sao cho ψj (αj ) = zj −→

zˆ0 ∈

j→∞

∂G và αj −→ ∃ α0 ∈ [0, 1), thì tồn tại một dãy con (ψjν )ν≥1 của dãy (ψj )j≥1
ν→∞ ∃

sao cho ψjν (0) −→

υˆ0 ∈ ∂G.

Chứng minh.
Vì tính đồng liên tục của họ O(E, G), ta có thể chọn một phủ mở

(Bx )x∈[0,α0 ] thuộc khoảng đóng [0, α0 ] ⊂ E sao cho
(2.1.5a)

ψj (λ) − ψj (x) < 1, ∀j ∈ N, ∀λ ∈ Bx := B1 (x, rx )

E,

trong đó (rx )x∈[0,α0 ] là một họ các số thực dương. Từ tính compact của

[0, α0 ], ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn (Bxν )N
ν=1 ⊂ (Bx )x∈[0,α0 ] , sao
cho [0, α0 ] ⊂ B :=

N
ν=1 Bxν .

Đặc biệt, B là liên thông và ta có thể giả sử

(2.1.5b) α0 ∈ BxN , Bxν ⊂ Bxµ (ν = µ), Bxν ∩Bxν+1 = Ω(∀ν = 1, ..., N −1).
Vì ψj (αj ) = zj → zˆ0 ∈ ∂G khi j → ∞, ta lấy j ∈ N đủ lớn sao cho

(2.1.5c)

αj ∈ BxN ,

ψj (αj ) − zˆ0 < 1, j ≥ j .

Nếu ζ ∈ B , thì ∃Nζ ∈{1,...,N } với ζ ∈ BxNζ , và theo (2.1.5b), ta có thể lấy

λν ∈ Bxν ∩ Bxν+1 (ν = Nζ , ..., N − 1) và cũng có
ψj (ζ) − zˆ0 ≤
≤ ψj (ζ) − ψj (xNζ )

+

ψj (xNζ ) − ψj (λNζ )
16

+

ψj (λNζ ) − ψj (xNζ +1 )


+

ψj (xNζ +1 ) − ψj (λNζ +1 )

+

ψj (λN −2 ) − ψj (xN −1 )

+

ψj (λN −1 )−ψj (xN )

+

ψj (λNζ +1 ) − ψj (xNζ +2 )

+
+

+...

ψj (xN −1 ) − ψj (λN −1 )

ψj (xN )−ψj (αj )

+

ψj (αj )− zˆ0

và từ (2.1.5a) và (2.1.5c), ta có

ψj (ζ) − zˆ0 < 2N − 2Nζ + 3 với mọi j ≥ j .
Do vậy, ta có

ψj (ζ) < 2N + 3+

zˆ0 < ∞ với ∀j ≥ j , ∀ζ ∈ B.

Từ đó, theo Định lý Montel, ta trích được một dãy (ψ1j )j∈N ⊂ (ψj )j∈N
sao cho

(2.1.5d)

K
¯ khi j → ∞.
ψ1j =⇒ ∃ ψ0 ∈ O(B, G)

Đặc biệt,

(2.1.5e)

ψ0 (α0 ) = lim ψ1j (α1j ) = zˆ0 ∈ ∂G.
j→∞

Đặt

K := {λ ∈ B : ψ0 (λ) ∈ ∂G}.
Rõ ràng, tập K là một tập khác rỗng, đóng tương đối trong B; hơn nữa,
nó là một tập mở. Bởi vì nếu λ0 ∈ K , thì pˆ0 := ψ0 (λ0 ) ∈ ∂G, và từ giả
thiết của ta, ta có thể chọn một hằng số c0 = c0 (ˆ
p0 ) > 0, sao cho bất kỳ
thành phần liên thông của G ∩ Bn (ˆ
p0 , c0 ) đều là taut.
Từ tính liên tục của ψ0 , ta có

∃γ0 =γ(λ0 ,c0 )>0 : ψ0 (λ) − ψ0 (λ0 ) <

17

c0
,
3

∀λ ∈ B1 (λ0 , γ0 )

B.


Theo (2.1.5d) ta có

∃j0 =j(γ0 )∈N : ψ1j (λ) − ψ0 (λ) <

c0
,
3

∀λ ∈ B1 (λ0 , γ0 ), ∀j ≥ j0 .

Bởi vậy, với bất kỳ j ≥ j0 và λ ∈ B1 (λ0 , γ0 ), ta có

ψ1j (λ) − ψ0 (λ0 ) ≤ ψ1j (λ) − ψ0 (λ)

+

2
ψ0 (λ) − ψ0 (λ0 ) < c0 .
3

Từ đó suy ra, ψ1j (B1 (λ0 , γ0 )) ⊂ G ∩ Bn (ˆ
p0 , c0 ) với mọi j ≥ j0 ; và như
vậy, theo (2.1.5e), không có dãy nào trong (ψ1j )j≥j0 có thể hội tụ đều trên
các tập con compact của B1 (λ0 , γ0 ).
Ngoài ra, từ tính bị chặn của Bn (ˆ
p0 , c0 ) và (2.1.5d) ta có

ψ0 (B1 (λ0 , γ0 )) ⊂ ∂G.
Tức là, B1 (λ0 , γ0 ) ⊂ K , hay λ0 là một điểm trong của K. Nhưng vì λ0
tùy ý, K là một tập mở liên thông của B nên K = B.
j→∞

Vì 0 ∈ B , ta có ψ1j (0) −→ ∃ υˆ0 ∈ ∂G.

Chứng minh Định lý 2.1.4
Giả sử ngược lại, G không là taut. Ta chọn các dãy (zj )j≥0 ⊂ G, (fj )j≥1 ,

(gj )j≥1 ∈ O(E, G), và (αj )j≥1 , (βj )j≥1 ⊂ [0, 1) thỏa mãn (+2) ∼ (+5).
j→∞

Trước tiên giả sử rằng gj (βj ) = zj −→ zˆ0 ∈ ∂G. Theo Bổ đề 2.1.5,
ta có thể trích được một dãy con (g1j )j∈N của (gj )j∈N sao cho f1j (α1j ) =

g1j (0) −→ ∃ ω
ˆ 0 ∈ ∂G khi j → ∞. Chú ý rằng α1j → α0 khi j → ∞.
Lại áp dụng Bổ đề 2.1.5 đối với dãy (f1j (α1j ))j , ta có thể chọn được một
dãy con (f2j )j∈N của (f1j )j∈N sao cho f2j (0) −→∃ υˆ0 ∈ ∂G. khi j → ∞,
điều này mâu thuẫn với tính chất (+2).
Do vậy ta có
18