Vành Các Hàm Số Học Và Một Vài Ứng Dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU GIANG

VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU GIANG

VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu

1

1 Các
1.1
1.2
1.3

kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con . . . . . . . .
Định nghĩa vành, idean, miền nguyên . . . . . . . . . . .
Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3
5

2 Vành các hàm số học
2.1 Vành các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các tính chất của vành các hàm số học . . . . . . . . . .

8
8
10

3 Một vài hàm số học cơ bản
3.1 Giá trị trung bình của hàm số học . . .
3.2 Hàm số M¨obius . . . . . . . . . . . . .
3.3 Hàm nhân tính . . . . . . . . . . . . .
3.4 Giá trị trung bình của phi - hàm Euler
3.5 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . .

16
16
26
30
33
36

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43


1

Mở đầu
Trong lý thuyết số, các hàm số học có vai trò hết sức quan trọng.
Nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới khi nghiên cứu về các hàm số học
đã có nhiều kết quả hết sức lý thú và có giá trị, được ứng dụng rộng rãi
trong lý thuyết số nói riêng và trong toán học nói chung.
Mục đích của luận văn là hệ thống các tính chất của vành các hàm
số học, đạo hàm của hàm số học. Tiếp theo, trình bày một số kết quả,
tính chất của một vài hàm số học đặc biệt và các dạng bài toán ứng
dụng liên quan.
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba
chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 trình bày về các kiến thức chuẩn bị liên quan đến khái
niệm nhóm, vành, các vấn đề về ước số và ước chung lớn nhất.
Chương 2 trình bày các tính chất và các dạng toán về vành số học.
Chương 3 trình bày một số lớp hàm số học như hàm M¨obius (thuận
và đảo), hàm nhân tính, phi - hàm Euler và các ứng dụng liên quan
trong số học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Phó Giáo sư, Tiến sĩ
Nông Quốc Chinh, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu
và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,
phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Trường
THPT Hòn Gai và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành bản luận văn này.


2

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị

1.1

Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm). Một tập hợp G được gọi là một
nhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh của
phần tử (a, b) ∈ G × G, với a, b là những phần tử tùy ý của G, qua ánh
xạ này ta kí hiệu là ab) thỏa mãn các tính chất sau đây
(G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G.
(G2) Có đơn vị: Tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho ae = ea = a, ∀a ∈
G.
(G3) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G luôn tồn tại một phần tử
b ∈ G sao cho ab = ba = e. Phần tử ab được gọi là tích của a và
b và ánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhóm
nhân G. Phần tử e trong(G2) được gọi là phần tử đơn vị của G,
phần tử b trong (G3) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong
G và kí hiệu là a−1 .
Nếu ab = ba, ∀a, b ∈ G, thì nhóm G được gọi là nhóm Abel, hay là nhóm
giao hoán.
Một nhóm G được gọi là hữu hạn hay vô hạn nếu tập hợp G là hữu
hạn hay vô hạn phần tử. Trường hợp nhóm G là hữu hạn thì số phần tử
của G được gọi là cấp của nhóm đó và kí hiệu là |G|.


3

Định nghĩa 1.2. Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu mọi phần
tử của nó đều là lũy thừa của một phần tử a ∈ G. Khi đó ta gọi a là
phần tử sinh của nhóm xyclic G và kí hiệu là G = a .
Theo định nghĩa, một nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thể

viết dưới dạng G = {an | n ∈ Z}.
Định nghĩa 1.3. Một tập hợp con H của của một nhóm G được gọi là
một nhóm con của G nếu các điều kiện sau đây được thõa mãn:
(i) Phép toán nhân là đóng đối với H, tức xy ∈ H ∀ x, y ∈ H;
(ii) H chứa phần tử đơn vị e của G;
(iii) x−1 ∈ H, ∀x ∈ H.
Nói cách khác, H = ∅ và là một nhóm con với phép toán nhân chính
là phép toán của G.. Để chỉ H là nhóm con của G kí hiệu H ≤ G.
Định lý 1.1. Một tập hợp con H là một nhóm con của một nhóm G khi
và chỉ khi H = ∅ và xy −1 ∈ H, ∀x, y ∈ H.

1.2

Định nghĩa vành, idean, miền nguyên

Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa vành): Một tập hợp R được gọi là một
vành nếu trên R có hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một
gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(R1) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.(R1 ) Tập hợp R
là một nhóm Abel đối với phép cộng.
(R2) Phép nhân trên R là kết hợp và có đơn vị.
(R3) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng, nghĩa
là với các phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta luôn có
(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy.
Như thông thường ta kí hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của
R và eR và phần tử không của nhóm Abel cộng của R và 0R . Trường


4

hợp vành R đã xác định cụ thể trước thì ta kí hiệu đơn giản 1 cho phần
tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R.
Một vành R được gọi là vành giao hoán, nếu phép nhân của R thỏa
mãn thêm điều kiện
xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Định nghĩa 1.5. Một vành giao hoán không có ước của không được gọi
là một miền nguyên
Định nghĩa 1.6. Một vành R được gọi là một trường, nếu R là một
vành giao hoán và mọi phần tử khác không của R đều có nghịch đảo,
nghĩa là tập hợp R∗ = R\{0} lập thành một nhóm đối với phép nhân
của R.
Định nghĩa 1.7. (i) Một tập hợp con A của một vành R được gọi là
một vành con của R, nếu A lập thành một nhóm con Abel với phép
cộng của R và đóng đối với phép nhân, tức ab ∈ A. Trường hợp R là
một trường thì một vành con của R được gọi là một trường con nếu nó
là một trường với phép toán trên R.
(ii) Một tập hợp con a của một vành R được gọi là một idean trái
(hoặc idean phải) của R, nếu a là một vành con của R và thỏa mãn tính
chất
Ra ⊆ a (hoặc aR ⊆ a).
Nếu a vừa là idean phải vừa là idean trái của R thì được gọi là một
idean của R.
Định nghĩa 1.8. Cho R là một vành giao hoán, phần tử x ∈ R.
• x được gọi là một ước của y nếu tồn tại z ∈ R sao cho xz = y. Khi
đó, ta kí hiệu x|y.
• x được gọi là một ước của 0 nếu x khác 0 và tồn tại phần tử y khác
0 thuộc R sao cho xy = 0.
• x được gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại y thuộc R sao cho
xy = 1.

5

Ví dụ 1.1. Trong 6Z, các ước của 0 là ¯2, ¯3, ¯4. Các phần tử khả nghịch
là ¯1, ¯5.
Trong mZ, các ước của 0 là a
¯ sao cho a không chia hết m và (a, m) >
1. Các phần tử khả nghịch là a
¯ sao cho (a, m) = 1.

1.3

Ước chung lớn nhất

Định nghĩa 1.9. Cho A ⊂ Z; A = {0}; nếu với mọi a ∈ A ta đều có a
chia hết cho d thì ta nói d là ước chung của tập A. Số nguyên d được
gọi là ước chung lớn nhất của A nếu c|d với mọi ước chung c của A, kí
hiệu là d = gcd(A).
Định lý 1.2. Cho H là một nhóm con của nhóm các số nguyên với phép
cộng. Tồn tại duy nhất một số nguyên không âm d sao cho H là tập gồm
tất cả các bội của d, đó là H = {0, ±d, ±2d, . . .} = dZ.
Chứng minh. Ta có 0 ∈ H với mọi nhóm con H. Nếu H = {0} thì
ta chọn d = 0 và H = 0. Hơn nữa, d = 0 là phần tử sinh duy nhất của
nhóm con này.
Nếu H = {0} thì tồn tại a ∈ H, a = 0.. Vì −a cũng thuộc H nên
kéo theo H chứa số nguyên dương. Do tập hợp số nguyên dương là tập
sắp thứ tự tốt nên H chứa số nguyên dương nhỏ nhất d.
Với mọi q ∈ Z, ta có dq = d + d + . . . + d thuộc H do H là nhóm
q

con của Z, từ đó suy ra dZ ⊆ H. Giả sử a là phần tử bất kì của H, theo
thuật toán chia, ta có thể viết a = dq + r với q, r là số nguyên dương
0 ≤ r < d − 1. Vì dq thuộc H và H là nhóm nên suy ra r = a − dq thuộc
H. Vì 0 ≤ r < d và d là số nguyên dương nhỏ nhất trong H, ta phải có
r = 0 tức là a = dq ∈ dZ và H ⊆ dZ. Dẫn đến H = dZ.
Nếu H = dZ = d Z, với d, d là các số nguyên dương thì d ∈ dZ suy
ra d = dq. Q là số nguyên và d ∈ d Z suy ra d = s q , q là số nguyên. Do
đó, d = d q = dqq tức là qq = 1 nên q = q = ±1 và d = ±d . Vì d và
d là các số nguyên dương nên d = d . Và d là số nguyên duy nhất sinh
nhóm con H.


6

Ví dụ 1.2. Nếu H là nhóm con chứa tất cả các số nguyên có dạng
35x + 91y thì 7 = 35(−5) + 91.2 ∈ H và H = 7Z.
Định lý 1.3. Giả sử A ⊂ Z; A = {0}, khi đó A có ước chung lớn nhất
duy nhất và tồn tại các số nguyên a1 , . . . , ak ∈ A và x1 , . . . , xk ∈ Z sao
cho
gcd(A) = a1 , x1 + . . . ak xk .
Chứng minh. Kí hiệu H là tập con của Z chứa tất cả các số nguyên
tố có dạng
a1 , x1 + . . . ak xk với a1 , . . . at ∈ A và x1 , . . . , xt ∈ Z, với t ∈ N.
Khi đó H là nhóm con của Z và A ⊆ H. Theo định lí 1.2, tồn tại duy
nhất số nguyên dương d sao cho H = dZ, tức là H chứa tất cả các bội
của d và do đó mọi số nguyên a ∈ A đều là bội của d, suy ra d là ước
chung của A. Vì d ∈ H nên tồn tại các số nguyên a1 , . . . , ak ∈ A và
x1 , . . . , xt ∈ Z sao cho
d = a1 x1 + . . . + ak xk .
Giả sử c là một ước chung bất kì của A, ta có c là ước của a1 , . . . , ak nên

c là ước của d. Vậy mọi ước chung của A đều là ước của d nên d là ước
chung lớn nhất của A.
Nếu các số nguyên dương d và d cùng là ước chung lớn nhất thì
d|d và d |d nên d = d . Tức là ước chung gcd(A) là duy nhất.
Kí hiệu: Nếu A = {a1 , . . . , ak } là tập hữa hạn số nguyên không đồng
thời bằng không, ta viết gcd(A) = (a1 , . . . , ak ). Ví dụ (35, 91) = 7 =
35.(−5) + 91.2.
Định lý 1.4. Cho a1 , . . . , ak là các số nguyên không đồng thời bằng 0.
Thì (a1 , . . . , ak ) = 1 khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x1 , . . . , xk sao
cho
a1 x1 + . . . + ak xk = 1.
Chứng minh. Điều này dễ dàng thu được từ định lý 1.3


7

Định nghĩa 1.10. Ta nói các số a1 , . . . , ak là nguyên tố cùng nhau nếu
ước chung lớn nhất của chúng là 1. Các số nguyên a1 , . . . , ak là đôi một
nguyên tố cùng nhau nếu (ai , aj ) = 1, i = j.
Ví dụ 1.3. Ba số nguyên 6,10,15 là nguyên tố cùng nhau nhưng không
là đôi một nguyên tố cùng nhau vì (6, 10, 15) = 1 nhưng (6, 10) = 2;
(6, 15) = 3; (10, 15) = 5.


8

Chương 2
Vành các hàm số học
2.1

Vành các hàm số học

Định nghĩa 2.1. Hàm số học là hàm số có miền xác định là tập các số
nguyên dương và miền giá trị là tập các số phức.
Ví dụ 2.1.
a) Hàm d(n) đếm các ước khác nhau của một số tự nhiên n ≥ 1 là
hàm số học.
b) Hàm phi-Euler ϕ(n) là hàm số học.
1 nếu n = 1
là hàm số học.
c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) =
0 nếu n ≥ 2
d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = 0 là hàm số học.
Định nghĩa 2.2. Cho hai hàm số học f và g.
a) Ta định nghĩa tổng của f và g là hàm số học được xác định như
sau
(f + g)(n) = f (n) + g(n), ∀n ∈ N∗ .
b) Ta định nghĩa tích của f và g là hàm số học được xác định như
sau
(f.g)(n) = f (n).g(n), ∀n ∈ N∗ ..
c) Tích chập Dirichle của f và g là hàm số được xác định như sau
(f ∗ g)(n) =

f (d)g(d ), ∀n ∈ N∗ ..

f (d).g(n/d) =
d|n

dd =n

9

Định lý 2.1. Tập hợp tất cả các hàm số học với phép toán cộng và tích
chập Dirichle là một vành giao hoán có đơn vị với phần tử không là hàm
O(n), và phần tử đơn vị là δ(n).
Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra được tập hợp tất cả các giá trị
phức của hàm số học là một nhóm Abel với phép cộng là hàm O(n). Ta
chỉ cần chứng minh tích chập Dirichle có tính chất giao hoán, kết hợp
và nhân phân phối đối với phép cộng.
Thật vậy, ta có các hàm số học f, g và h bằng cách tính toán trực
tiếp ta có
(f ∗ g)(n) =

g(n|d)f (d)

f (d)g(n|d) =
d|n

d|n

g(d)f (n/d) = (g ∗ f )(n)

=
d|n

và
(f ∗ g) ∗ h (n) =

(f ∗ g)(d)h(n/d) =

(f ∗ g)(d)h(m)
dm=n

d|n

=

f (k)g(l)h(m) =
dm=n kl=d

=

dlm=n

f (k)
k|n

g(l)h(m) =
lm=n|k

f (k)(g ∗ h)

=

f (k)g(l)h(m)

k|n

f (k)

k|n

g(l)h
l|(n|k)

n
= (f ∗ (g ∗ h) (n).
k

Tương tự
f ∗ (g + h) (n) =

f (d) g(n/d) + h(n/d)
d|n

=

f (d)g(n/d) +
d|n

f (d)h(n/d)
d|n

= (f ∗ g)(n) + (f ∗ h)(n).
Cuối cùng, ta cũng thấy rằng
δ ∗ f (n) =

δ(d)f (n/d) = f (n)
d|n

n
kl


10

đối với mọi hàm số học f , và vì vậy tập hợp tất cả các giá trị của hàm
số học là vành giao hoán với phép nhân δ(n).

2.2

Các tính chất của vành các hàm số học

Định nghĩa 2.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Ánh xạ
D : R → R thỏa mãn: với mọi x, y thuộc vào R có
D(x + y) = D(x) + D(y);
D(x.y) = D(x)y + xD(y)
được gọi là đạo hàm trên vành R.
Nhận xét 2.1.
a) Kí hiệu 1 là phần tử đơn vị của vành R. Khi đó D(1) = 0. Thậy vậy
D(1) = D(1.1) = D(1).1 + 1.D(1) = D(1) + D(1)
suy ra D(1) = 0 (vì R với phép cộng là một nhóm).
b) Nếu phần tử x thuộc R có phần tử nghịch đảo (đối với phép nhân)
thì ta có
D(x)
D(x−1 ) = − 2 .
x
Thực vậy, từ
1
0 = D(1) = D(x.x−1 ) = D(x). + xD(x−1 )

x
suy ra
D(x−1 ) = −

D(x)
.
x2

c) Ta cũng có thể chứng minh được
D(x1 .x2 ....xn ) =

x1 x2 ...xi−1 D(xi )xi+1 ...xn. .

Định lý 2.2. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và R[t] là vành
đa thức một ẩn với hệ số trong R. Khi đó ánh xạ D : R[t] → R[t] xác
m

định bởi D

ai t
i=0

R[t].

m
i

iai ti thì D là một phép lấy đạo hàm trên

=

i=1


11

Chứng minh. Lấy
m

m
i

f = f (t) =

bj tj .

ai t , g = g(t) =
i=0

j=0

Dễ dàng suy ra
D(f + g) = D(f ) + D(g).
Do đó D là một đồng cấu của nhóm cộng các đa thức.
Vì
m

m

n+m

i

f (t).g(t) =

ai b j t k .

j

ai t b j t =
i=0 j=0

k=0 i+j=k

Ta có
m+n

D(f g) =

ai bj tk−1

k
k=1
n+m

i+j=k

(i + j)ai bj ti+j−1

=
k=1 i+j=k

m+n

=

m+n

iai t

i−1

j

bj t +

k=1 i+j=k
m
n

iai ti−1 bj tj +

=
i=1 j=0

ai ti jbj tj−1

k=1 i+j=k
m
n
ai ti jbj tj−1
i=0 j=0

= D(f )g + f D(g).
Do đó D là một phép lấy đạo hàm trên R[t].
Định lý 2.3. Cho R là một miền nguyên cùng với trường các thương
F , và D là đạo hàm trên vành R. Khi đó tồn tại duy nhất đạo hàm DF
trên F sao cho DF (x) = D(x) với mọi x thuộc R.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm DF trên F sao
cho
DF (a) = D(a), ∀a ∈ R.
a
Gọi x ∈ F và x = 0. Tồn tại a, b ∈ R với b = 0 và x = . Vì a = bx ∈ R
b
nên
D(a) = DF (a) = DF (bx) = D(b)x + bDF (x) = D(b)x + bDF (x).


12

Và
DF

D(a) − D(b)x D(a)b − D(b)a
a
= DF (x) =
=
= DF (x).
b
b
b2

Do đó phép lấy đạo hàm DF trên F là duy nhất theo phép lấy đạo hàm
trên D trên R.
Định nghĩa 2.4. Giả sử D là đạo hàm trên trường F ánh xạ L : F ∗ →
D(x)
F ∗ xác định bởi L(x) =
được gọi là đạo hàm logarit của F.
x
Nhận xét 2.2. Dễ dàng chứng minh được rằng: ∀x, y ∈ F ∗ = F |{0} ta
có
L(x.y) = L(x) + L(y),
x
L
= L(x) − L(y).
y
Định lý 2.4. Kí hiệu A là vành tất cả các hàm số học và L là hàm số
học dược xác định bởi L(n) = log(n); ∀n ≥ 1. Khi đó ánh xạ:
D:A→A
f → L.f
là một đạo hàm trên vành các hàm số học.
Chứng minh. Với mọi f, g thuộc A ta có
D(f + g) = L(f + g) = L.f + L.g = D(f ) + D(g)
nên D là một đồng cấu đối với phép cộng.
Nhận xét với d|n ta luôn có
L(n) = L d.

n
n
n
= log d.
= log d + log = L(d) + L (n/d) .

d
d
d

Với mọi f, g thuộc A, với mọi n ≥ 1 ta có
L(n)(f ∗ g)(n) = L(n)

f (d)g (n/d)
d|n


13

L(n)f (d)g (n/d)

=
d|n

[(L(d) + L(n/d)]f (d)g n/d

=
d|n

= ((L.f ) ∗ g + f ∗ (L.g))(n)
= (D(f ) ∗ g + f ∗ D(g))(n).
Do vậy D(f ∗ g) = D(f ) ∗ g + f ∗ D(g) theo định nghĩa ta có D là đạo
hàm trên vành các hàm số học.
Định lý 2.5. Cho f và g là các hàm số học. Ta khẳng định (f ∗g)(n) = 0
với mọi n ∈ N∗ khi và chỉ khi hoặc f = 0 hoặc g = 0. Từ đó suy ra vành
các hàm số học là một miền nguyên.

Chứng minh. Ta có (f ∗ g)(n) = 0, với mọi n ≥ 1 từ (f ∗ g)(1) =
f (1) = 0
f (1)g(1) = 0 ⇒ g(1) = 0 .
Giả sử g(1) = 0 ⇒ f (1) = 0. Ta sẽ chứng minh f (n) = 0∀ngeq1.
Với mọi số nguyên tố p ta có:
0 = (f ∗ g)(p) = f (1).g(p) + f (p).g(1)
suy ra f (p) = 0 với mọi số nguyên tố p.
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được f (pk ) = 0 với p là số
nguyên tố.
Nếu n = p1 .p2 suy ra
(f ∗ g)(n) = f (1).g(n) + f (p1 ).g(p2 ) + f (p2 ).g(p1 ) + f (n).g(1) = 0.
Từ đó suy ra với mọi n : f (n) = 0 hay f = 0.
Vậy vành A các hàm số học là một miền nguyên.
Định lý 2.6. Hàm số học f là khả nghịch trong A khi và chỉ khi f (1) =
0.
Chứng minh. Giả sử f khả nghịch trong vành các hàm số học A. Khi
đó tồn tại g ∈ A sao cho (f ∗ g) = δ hay
(f ∗ g)(n) = δ(n) =

1 với n = 1
0 với 2 ≤ n ∈ N.


14

Vậy nên
(f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1.
Suy ra f (1) = 0. Ngược lại, giả sử f (1) = 0. Ta xác định hàm số học
g ∈ A bằng quy nạp như sau:
(f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1 nên g(1) =

1
.
f (1)

(f ∗ g)(2) = f (1)g(2) + f (2)g(1) = δ(2) = 0 nên g(2) = −

f (2)
.
f 2 (1)

Tương tự
f (3)
.
f 2 (1)
(f ∗ g)(4) = f (1)g(4) + f (2)g(2) + f (4)g(1) = δ(4) = 0
g(3) = −

2

(4)f (1)
.
Suy ra g(4) = f (2)−f
f 3 (1)
Giả sử đã biết g(1), g(2), . . . , g(k) ta tính được g(k + 1) theo công
thức:
k+1
(f ∗ g)(k + 1) = f (1)g(k + 1) +
f (d)g
= 0.

d
1
Từ đó suy ra tính được giá trị g(k + 1).
Bằng cách tính như vậy ta có với mọi n > 1 :
(f ∗ g)(n) = 0
(f ∗ g)(1) = 1

⇒ f ∗ g = δ.

Từ đó suy ra f là khả nghịch trong A.
Định lý 2.7. Kí hiệu IN là tập hợp tất cả các hàm số học f thỏa mãn
f (n) = 0 với mọi n ≤ N , N là một số nguyên dương cho trước. Khi đó
tập IN là một idean của vành các hàm số học A.
Chứng minh. Rõ ràng IN = ∅ vì 0 ∈ IN .
Với mọi f, g ∈ IN ta có ∀n = N : (f − g)(n) = f (n) − g(n) = 0 suy
ra f − g thuộc IN . Hay IN là nhóm con của nhóm cộng các hàm số học
A.


15

Với mọi f thuộc IN , với mọi g thuộc A ta có
∀n ≤ N ; (f ∗ g)(n) =

f (d).g
d|n

n
.

d

n
≤ n nên f (d) = 0, g(n/d) = 0 với mọi d là ước của n. Suy
d
ra f ∗ g ∈ IN . Tương tự ta cũng có g ∗ f ∈ IN .
Vậy theo định nghĩa IN là một diean của A.
Do d ≤ n,


16

Chương 3
Một vài hàm số học cơ bản
3.1

Giá trị trung bình của hàm số học

Định nghĩa 3.1. Giá trị trung bình F (x) của một hàm số học f (n)
được xác định bởi công thức
f (x), ∀x ∈ R

F (x) =
n≤x

với tổng tất cả các số nguyên dương n ≤ x. Đặc biệt, F (x) = 0 với
x < 1. Hàm số F (x) được gọi là hàm tổng của f .
Định nghĩa 3.2.
a. Phần nguyên của số thực x được biểu thị bởi [x] là một số nguyên
lớn nhất không vượt quá x và có duy nhất số nguyên n thỏa mãn

n ≤ x ≤ n + 1. Phần thập phân của x là số thực {x} = x − [x] ∈
[0, 1).
b. Hàm g(t) là hàm đơn thức trên tập I nếu tồn tại một số t0 ∈ I sao
cho g(t) là hàm tăng với t ≤ t0 và giảm với t ≥ t0 .
5
1
5
= −2 và {− } = .
3
3
3
Mọi số thực x đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x = [x] + {x}.
Ví dụ 3.1. −

logk t
Ví dụ 3.2. Hàm f (t) =
là đơn thức trên nửa khoảng [1, ∞) với
t
t0 = ek . Trong giải tích thực đã được chứng minh được mỗi hàm là đơn
điệu hoặc đơn thức trên đoạn [a, b] là khả tích.


17

Định lý 3.1.
a. Cho a và b là hai số nguyên với a < b và f (t) là hàm số đơn điệu
trên [a, b]. Khi đó
b

b

min f (a), f (b) ≤

f (n) −
n=a

f (t) dt ≤ max f (a), f (b)

(3.1)

a

b. Cho x và y là các số thực với y < [x] và cho f (t) là hàm số đơn điệu
không âm trên trên đoạn [y, x]. Khi đó
b

f (n) −
y
f (t) dt ≤ max f (y), f (x)

(3.2)

a

c. Nếu f (t) là hàm số đơn điệu không âm trên [1, +∞) thì
x

F (x) =

f (n) =
n≤x

f (t) dt + O(1)

(3.3)

1

Chứng minh.
n+1

a. Nếu f (t) tăng trên đoạn [n, n + 1] thì f (n) ≤

f (t) dt ≤ f (n + 1).
n

Nếu f (t) tăng trên đoạn [a, b] thì
b

f (t) dt ≤

f (a) +

b

b

f (n) ≤ f (b) +
n=a

a

f (t) dt.
a

Tương tự, nếu f (t) giảm trên đoạn [n, n + 1] thì
n+1

f (t) dt ≤ f (n).

f (n + 1) =
n

Nếu f (t) giảm trên đoạn [a, b] thì
b

f (t) dt ≤

f (b) +
a

b

b

f (n) ≤ f (a) +
n=a

f (t) dt.

a


18

b. Cho f (t) là hàm số đơn điệu không âm trên đoạn [y, x]. Cho a =
[y] + 1 và b = [x]. Ta có y < a ≤ b ≤ x. Nếu f (t) tăng, khi đó
b

f (n) ≤

f (n) =
y
a≤n≤b

f (t) dt + f (b) ≤

f (t) dt + f (x)

a

y

a

từ f (a) ≥

x

x

f (t) dt và f (x) ≥

f (t) dt ta suy ra

y

b
b

f (n) ≥
y
f (t) dt + f (a)
a
x

x

f (t) dt −

≥
y

a

f (t) dt + f (a) −

f (t) dt

y

b
x

≥

f (t) dt − f (x).
y
b

f (n) −

Cho nên
y
f (t) dt ≤ f (x).
a

Nếu f (t) giảm thì
x

b

y
f (t) dt + f (a) ≤

f (n) ≤

f (n) =
a≤n≤b

Từ f (b) ≥

y

a

x

f (t) dt + f (y).

a

f (t) dt và f (y) ≥

f (t) dt ta suy ra
y

b
b

f (n) ≥
y
f (t) dt + f (b)
a
x

≥

x

f (t) dt + f (b) −
y

≥

f (t) dt − f (y).
y

f (t) dt −
b

x

a

f (t) dt
y


19
b

f (n) −

và
y

f (t) dt ≤ f (y).
a

c. Nếu f (t) là đơn điệu và không âm trên nửa khoảng [1, +∞) thì f (t)
bị chặn và (3.3) được suy ra từ (3.2).

Định lý 3.2. Cho x ≥ 2 ta luôn có
log n = x log x − x + O(log x).
n≤x

Chứng minh. Hàm số f (t) = log t là hàm tăng trên đoạn [1, x]. Theo
định lý (3.1) ta có
x

x

log t dt ≤

log n ≤
n≤x

1

log t dt + log x
1

ta suy ra
log n = x log x − x + O(log x).
n≤x

Định lý 3.3. Cho r là số nguyên không âm. Với x ≥ 1 ta có
1
logr n
=
logr+1 x + O(1)
n
r+1
n≤x
từ đó suy ra hằng số chỉ phụ thuộc vào r.
logr t
không âm và đơn điệu trên nửa
Chứng minh. Hàm số f (t) =
t
khoảng [1, +∞) có giá trị lớn nhất (r/e)r tại t0 = er . Theo định lý (3.1)
ta có
logr n
=
n
n≤x

x

1

logr t dt
1
+ O(1) =
logr+1 x + O(1).
t

r+1


20

Định lý 3.4. Cho k là số nguyên không âm. Cho x ≥ 1 ta luôn có
1
logk (x/n)
=
logk+1 x + O(logk x)
n
k+1
n≤x
từ đó suy ra hằng số chỉ phụ thuộc vào k.
Chứng minh. Ta chứng minh theo hướng mở rộng khai triển logk (x/n)
theo khai triển nhị thức Newton và áp dụng định lý 3.3. Ta có
logk (x/n)
=
n
n≤x

(log x − log n)k
n
k

1
=
n
n≤x
k

=

k
k−r
r
r
n (−1) log x log n

r=0

k
k−r
r
n (−1) log x

r=0
k

=
r=0
k

=

1
k
k−r
r
(−1)

log
x
logr+1 x + O(1)
n
1+r
k
n

r=0

=
k

Từ
r=0

k
n

logr n
n
n≤x

(−1)r
logk+1 x + O
r+1

k

k

n

logk−r x

r=0

1
logk+1 x + O(logk x).
k+1

(−1)r
r+1

1
ta suy ra điều phải chứng minh.
k+1

=

Định lý 3.5. Cho k là số nguyên dương. Khi đó
1
1
= logk x + O(logk−1 x)
n . . . nk
k!
n ...n ≤x 1
1

k

là kí hiệu tổng được tính theo tất cả bộ k số nguyên

trong đó
n1 ...nk ≤x

dương (n1 , . . . , nk ) thỏa mãn n1 . . . nk ≤ x.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k.
Với k = 1 và r = 0, theo định lý 3.3 ta được
1
= log x + O(1).
n
1
n ≤x
1


21

Giả sử rằng kết quả đúng với số nguyên dương thứ k. Ta phải chứng
minh nó đúng với số nguyên dương thứ k + 1. Thật vậy

n1 ...nk nk+1

1
=
n
.
.
.
n

n
1
k
k+1
≤x
n

1
k+1 ≤x

nk+1

n1 ...nk ≤x/nk+1

x
x
1
logk
+ O logk+1
k!
xk+1
xk+1

1

=
nk+1 ≤x

1
n1 . . . nk

nk+1

1
(log x − log nk+1 )k
k!nk+1
nk+1 ≤x


1 
+ O logk−1 x
n
n
≤x k+1
=

k+1

=

1
(log x − log n)k + O(logk x).
k!n
n≤x

Ta áp dụng khai triển nhị thức Newton và định lý 3.3 để tính số hạng
1
(log x − log n)k .
k!n
n≤x

1
(log x − log n)k =
k!n
n≤x

1
k!n
n≤x
k

=
r=0
k

=
r=0

k

k
(−1)r r

logk−r x logr n

r=0

logr x
x
n
n≤x

(−1)r
k!

k
r

log

(−1)r
k!

k
r

logk−r x

k−r

1
logr+1 x + O(1)
r+1

k

1
(−1)r k
k+1
= log x.
+ O(logk r)

r
k!
r+1
r=0
1
=
. logk+1 x + O(logk x).
(k + 1)!
Suy ra mệnh đề đúng với k + 1. Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 3.6. Cho f (n) và g(n) là các hàm số học. Xét hàm tổng
F (x) =

f (n).
n≤x


22

a. Với a và b là các số nguyên không âm và a < b, ta có:
b

b−1

f (n)g(n) = F (b)g(b)−F (a)g(a+1)−
n=a+1

F (n) g(n+1)−g(n) .

n=a+1

(3.4)
b. Giả sử x và y là các số thực không âm với [y] < [x] và g(t) là hàm
số có đạo hàm liên tục trên đoạn [y, x], ta có:
x

f (n)g(n) = F (x)g(x) − F (y)g(y) =
y
F (t)g (t)d(t).

(3.5)

y

(*) Đặc biệt nếu x ≥ 2 và g(t) có vi phân liên tục trên đoạn [1, x]
thì
x
f (n)g(n) = F (x)g(x) −
n≤x

F (t)g (t)d(t).
1

Chứng minh.

a. Bằng cách tính toán trực tiếp ta có
b

b

F (n) − F (n − 1) g(n)

f (n)g(n) =
n=a+1

n=a+1
b

b−1

F (n)g(n) −

=

F (n)g(n + 1)
n=a

n=a+1

= F (b)g(b) − F (a)g(a + 1)
b−1

−

F (n)(g(n + 1) − g(n)).
n=a+1

b. Nếu hàm g(t) là hàm khả vi liên tục trên đoạn [y, x], thì
n+1

g(n + 1) − g(n) =

g (t) dt.
n

(3.6)