dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN CÔNG HÙNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN CÔNG HÙNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA
BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời nói dầu . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương trình vi phân trong không gian Banach và
họ các toán tử tiến hóa 6
1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 7
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ
các toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán
tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và
không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính và bài toán ứng
dụng 31
2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và nhiễu của nó
. 31
1
2.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . 31
2.1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Bài toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa . . . . 47
2.1.4 Nhiễu của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số phụ tuổi
. 52
2.2.1 Mô hình dân số cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Mô hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Mô hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát . . . . . . . . . . 60
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2
Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý
thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong
những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của
LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov (1857-1918).
Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong
những lĩnh vực mà được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và
thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng
được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật

công nghệ, Sinh thái học,
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong
không gian Banach chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau. Ở đây, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ
trình bày hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất của
họ toán tử tiến hóa và phương pháp nửa nhóm bị nhiễu. Trong phần
cuối chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào
việc nghiên cứu mô hình quần thể phụ thuộc tuổi.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia thành hai chương:
Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong
không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa.
Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý
thuyết nửa nhóm vào các mô hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người
3
hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đặng Đình Châu, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên
cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm
ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa
Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã trang bị cho tác giả các
kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết toán học. Cảm ơn các thầy cô phòng
sau đại học và các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã luôn cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận
văn.
Do thời gian và trình độ còn có sự hạn chế nên luận văn không tránh
khỏi những sai sót rất mong nhận sự đóng góp của các thầy cô và bạn
bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012
Tác giả: Nguyễn Công Hùng
4
Bảng kí hiệu
N Tập hợp số tự nhiên.
R Tập hợp số thực.
R
+
Tập hợp các số thực dương.
C Tập hợp số phức.
C
[a,b]
Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
C
1
[a,b]
Tập các hàm khả vi, liên tục trên đoạn [a, b].
R
n
Không gian n chiều.
B Không gian Banach.
L(B) Không gian các toán tử tuyến tính giới nội từ B vào B.
C([a, b]; B) Không gian các hàm liên tục trên [a, b] lấy giá trị trong B.
L
p
(R) Không gian các hàm khả tích bậc p trên R.
L
p
([a, b]) Không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b].
W

1,1
[a, b] Không gian Sobolev (Không gian các hàm có đạo hàm
yếu bậc 1 và có chuẩn trong L
1
([a, b]) là hữu hạn).
5
Chương 1
Phương trình vi phân trong không
gian Banach và họ các toán tử tiến
hóa
Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương
trình vi phân:
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1.1)
trong đó t ∈ R
+
, x(.) ∈ B và hàm f : R
+
× D −→ D, D là một miền đơn
liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm
ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.0.1. Hàm x : I −→ B (I ⊂ R
+
) khả vi liên tục theo
t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi ta thay vào (1.1) sẽ thu được
một đồng nhất thức trên I. Tức là
dx(t)
dt
= f(t, x(t)); ∀t ∈ I,

(trong đó
dx(t)
dt
là đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet).
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
với (t
0
, x
0
) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1), người ta thường xét phương trình
6
tích phân sau:
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(τ, x(τ ))dτ. (1.2)
Nhận xét 1. Trong trường hợp B = R
n
. Kí hiệu
f = (f
1

; f
2
; . . . ; f
n
); x(t) = (x
1
(t); x
2
(t); . . . ; x
n
(t)).
Khi đó, phương trình (1.1) được viết như sau:

















dx

1
dt
= f
1
(t; x
1
; x
2
; . . . ; x
n
)
dx
2
dt
= f
2
(t; x
1
; x
2
; . . . ; x
n
)
. . . . . .
dx
n
dt
= f
n
(t; x

1
; x
2
; . . . ; x
n
)
(trong đó t ∈ R
+
; x
1
; x
2
; . . . ∈ R)
và với điều kiện ban đầu
x(t
0
) = (x
1
(t
0
); x
2
(t
0
); . . . ; x
n
(t
0
)) = (x
0

1
; x
0
2
; . . . ; x
0
n
)
thì phương trình tích phân (1.2) có thể viết dưới dạng
x
k
(t) = x
0
k
+
t

t
0
f
k
(t, x
1
(τ), x
2
(τ), . . . , x
n
(τ))d(τ) (k = 1, 2, . . . , n).
Với , η là các số dương. Chúng ta kí hiệu
W

(,η)
=

(t, x) ∈ R
+
× B)| |t − t
0
| ≤ ; ||x − x
0
|| ≤ η

là một lân cận đóng của điểm (t
0
, x
0
) trong R
+
× B. Khi đó, ta có định
lí tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:
1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t
0
, x
0
) sao cho trong lân cận đó
7
hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f(t, x
2

) − f(t, x
1
)|| ≤ M ||x
2
− x
1
||, (1.3)
(M là một hằng số hữu hạn).
Khi đó, tồn tại một lân cận của x
0
mà trong lân cận đó (1.1) có duy
nhất một nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
.
Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra rằng , η > 0 sao cho trong miền
|t − t
0
| ≤ , ||x − x
0
|| ≤ η , ta có:
||f(t, x)|| ≤ ||f (t, x
0
)|| + ||f(t, x) − f(t, x
0
)||
≤ ||f (t, x
0
)|| + Mη

≤ M
1
< ∞.
(Do f(t, x) liên tục theo t nên f(t, x
0
) bị chặn trên |t − t
0
| ≤ ).
Lấy δ = min(;
η
M
1
) và kí hiệu C
δ
(B) là không gian Banach các hàm
liên tục x(t) xác định trên |t − t
0
| ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup
|t−t
0
|≤δ
||x(t)||.
Gọi B
η
(x
0
) = {x ∈ C
δ
(B) : |||x − x

0
||| ≤ η}.
Xét toán tử
(Sx)(t) = x
0
+

t
t
0
f(τ, x(τ ))dτ
||(Sx)(t) − x
0
|| = 

t
t
0
f(τ, x(τ ))dτ
≤ ||t − t
0
|| sup
τ∈[t
0
,t]
||f(τ, x(τ ))||
≤ δM
1
≤ η (∀x(t) ∈ B
η

).
Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ B
η
vào B
η
.
8
Hơn nữa, với x
1
, x
2
∈ B
η
. Từ điều kiện Lipschitz, ta có đánh giá sau:
||(Sx
2
)(t) − (Sx
1
)(t)|| ≤

t
t
0
||f(τ, x
2
(τ)) − f (τ, x
1
(τ))||dτ
≤ M


t
t
0
||x
2
(τ) − x
1
(τ)||dτ
≤ M(t − t
0
)|||x
2
− x
1
|||.
Mặt khác, ta lại có:
||(S
2
x
2
)(t) − (S
2
x
1
)(t)|| ≤ M

t
t
0
||(Sx

2
)(τ) − (Sx
1
)(τ)||dτ
≤ M
2
|||x
2
− x
1
|||

t
t
0
(τ − t
0
)dτ
=
[M(t − t
0
)]
2
2!
|||x
2
− x
1
|||.
Sử dụng phép đánh giá liên tiếp, ta được

||(S
n
x
2
)(t) − (S
n
x
1
)(t)|| ≤
[M(t − t
0
)]
n
n!
|||x
2
− x
1
|||.
|||S
n
x
2
− S
n
x
1
||| ≤
[δM]
n

n!
|||x
2
− x
1
|||.
Do
(δM)
n
n!
→ 0 khi n → +∞, nên với n đủ lớn thì S
n
là toán tử co trong
B
η
. Do đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ B
η
của phương trình tích
phân
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(τ, x(τ ))dτ.
Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất nghiệm trên |t − t
0
| ≤  ,

||x − x
0
|| ≤ η với , η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại duy nhất
nghiệm trên [a, b].
Định lý 1.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b]×B mà trên đó hàm f(t, x) liên tục theo biến t
và thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.3). Khi đó, với mọi (t
0
, x
0
) ∈ [a, b]×B,
bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
9
Định lý này được chứng minh giống định lý ở trên. Tuy nhiên cần
chú ý:
1. Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f(t, x) giới nội trên [a, b]×D,
với D là tập compact tùy ý trong không gian Banach B.
2. B
η
ở định lý trên được thay thế bởi C([a; b], B) gồm tất cả các hàm
x(t) xác định liên tục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian B và
có chuẩn được xác định bởi
|||x||| = sup
[a,b]
||x(t)||.
Định lý 1.1.3. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t
0
, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện
||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),

trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞.
Khi đó, mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng
thời gian vô hạn t
0
≤ t < ∞.
Chứng minh. : Vì








x(t
2
) − x(t
1
)
t
2
− t
1









≥




||x(t
2
)|| − ||x(t
1
)||
t
2
− t
1




⇒









dx
dt








≥




d||x||
dt




.
Mặt khác, ta có
dx(t)
dt

= f(t, x(t)) và ||f (t, x)|| ≤ L(||x||). ta suy ra
L(||x||) ≥




d||x||
dt




.
10
Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x
0
= x(t
0
) đến
điểm x theo chiều tăng của t ta được:

t
t
0
dr ≥

t
t
0
d||x||

dt
.
1
L(||x||)
dr
⇒ t − t
0
≥

||x||
||x
0
||
dr
L(r)
,
(đổi biến r = x(t)).
Do

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞.
nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô
hạn.
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian Banach và họ các toán tử tiến hóa
Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân tuyến tính:




dx
dt
= A(t)x + f(t)
x(t
0
) = x
0
.
(1.4)
Chúng ta có thể giả sử rằng t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào
đó trong R, f : I → B và A(.) : I → L(B) là các hàm đo được mạnh và
khả tích Bochner trên I.
Tương ứng với phương trình vi phân ta cũng có phương trình tích
phân tương ứng:
x(t) = x
0
+

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ +

t
t
0
f(τ)dτ. (1.5)

Ta nói rằng x(.) : I → B là nghiệm của (1.4) nếu x(t) khả vi (theo
nghĩa Frechet) và thỏa mãn (1.4). Khi đó x(t) cũng là nghiệm của (1.5).
11
Xét phương trình:
x(t) = g(t) +

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ
với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra rằng nó có một nghiệm
liên tục trên đoạn [a; b] ⊂ I. Ta thấy phương trình trên là dạng tổng
quát của (1.5)
Giả sử C([a; b]; B) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b]
với giá trị trong B và có chuẩn
|||x||| = max
t∈[a;b]
||x(t)||.
Trong không gian C([a; b]; B) xét toán tử:
(Sx)(t) = g(t) +

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ.
Toán tử này đi từ C([a; b]; B) vào chính nó từ đó dễ dàng thấy (Sx)(t)
là liên tục.
Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp như trên ta được
(S
n

x)(t) = g(t) +

t
t
0
A(t
1
)g(t
1
)dt
1
+

t
t
0

t
2
t
0
A(t
2
)A(t
1
)g(t
1
)dt
1
dt

2
+ . . .
+

t
t
0

t
n−1
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t
n−1
)A(t
n−2
) . . . A(t
1
)g(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1

+

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)x(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n

.
(1.6)
Từ đó với mỗi x
1
, x
2
∈ B ta có:
(S
n
x
2
)(t) − (S
n
x
1
)(t)
=

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2

t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)[x
2
(t
1
) − x
1
(t
1
)]dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
và đánh giá
||(S
n
x
2
)(t) − (S
n
x

1
)(t)||
12
≤ |||x
2
−x
1
|||

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)dt

1
. . . dt
n−1
dt
n
.
Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số
t
1
, t
2
, . . . , t
n
nên ta có:

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2
t
0
A(t

n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
=
1
n!

t
t
0

t
t
0
. . .

t
t
0
A(t
n
)A(t

n−1
) . . . A(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
=
1
n!


t
t
0
A(τ)dτ

n
.
(1.7)
Cuối cùng ta có:
|||S
n
x
2
− S
n
x

1
||| ≤
1
n!


b
a
A(τ)dτ

n
|||x
2
− x
1
|||.
Điều đó chỉ ra rằng toán tử S
n
co trong C([a; b]; B) khi n đủ lớn. Theo
nguyên lí ánh xạ co, tồn tại duy nhất một hàm x(t) liên tục trên đoạn
[a; b] và
x(t) = lim
n→∞
S
n
x
0
(t),
với mọi x
0

(t) ∈ C([a; b]; B) do đó theo (1.6) thì nghiệm x(t) có thể biểu
diễn dưới dạng chuỗi như sau:
x(t) = g(t) +

t
t
0
A(t
1
)g(t
1
)dt
1
+
∞

n=2

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2

t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)g(t
1
)dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
= g(t) +
∞

k=1
g
k
(t).
(1.8)
Ở đó
g
k
(t) =

t

t
0
A(τ)g
k−1
(τ)dτ, g
0
(t) = g(t).
13
Theo (1.7) thì chuỗi trên được làm trội theo chuẩn bằng chuỗi
|||g|||

1 +
∞

n=1
1
n!


t
t
0
A(τ)dτ

n

(1.9)
và do đó
|||x||| ≤ |||g|||exp



t
t
0
A(τ)dτ

. (1.10)
Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy



dx
dt
= A(t)x
x(t
0
) = x
0
.
(1.11)
Cùng với phương trình (1.11) ta cũng có phương trình dạng tích phân:
x(t) = x
0
+

t
t
0
A(τ)x(τ)dτ. (1.12)
Khi đó, nghiệm của phương trình (1.11) thu được từ (1.8) là:

x(t) = x
0
+

t
t
0
A(t
1
)x
0
dt
1
+
∞

n=2

t
t
0

t
n
t
0
. . .

t
2

t
0
A(t
n
)A(t
n−1
) . . . A(t
1
)x
0
dt
1
. . . dt
n−1
dt
n
.
Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) là khả vi liên
tục.
Kí hiệu U(t) ∈ L(B) là toán tử được xác định bởi
U(t) = I +

t
t
0
A(t
1
)dt
1
+

∞

n=2

t
t
0

t
n
t
0
· · ·

t
2
t
0
A(t
n
) · · · A(t
1
)dt
1
· · · dt
n
.
(1.13)
Khi đó, nghiệm của (1.11) có thể viết dưới dạng
x(t) = U(t)x

0
.
và từ đánh giá (1.10) ta có:
||U(t)|| ≤ exp


t
t
0
||A(τ)||dτ

.
14
Bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.4)
như sau:
Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U(t) xác định như trong (1.13). Thay vào
(1.4) ta được



dy
dt
= U
−1
(t)f(t)
y(t
0
) = x
0
.

(1.14)
Tích phân từ t
0
đến t hai vế, ta được:
y = x
0
+

t
t
0
U
−1
(τ)f(τ )dτ.
Khi đó, nghiệm của phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng:
x(t) = U(t)x
0
+

t
t
0
U(t)U
−1
(τ)f(τ )dτ. (1.15)
Đặt U(t, τ) = U(t)U
−1
(τ). Toán tử U(t, τ) được gọi là toán tử tiến hóa
(hoặc là toán tử tự giải) của phương trình
dx

dt
= A(t)x.
Họ các toán tử tiến hóa có các tính chất sau:
a) U(t, t) = I.
b) U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ).
c) U(t, τ) = [U(τ, t)]
−1
.
Ngoài ra, ta luôn có:
d) ||U(t, τ)|| ≤ exp[

t
τ
||A(τ)||dτ] (t ≥ τ ).
e)
dU(t, s)
dt
= A(t).U(t, s).
f)
dU(t, s)
ds
= −U(t, s).A(t).
15
Chứng minh. • Các tính chất a)-b)-c) dễ dàng suy ra từ định nghĩa
của U(t, τ).
• Với mọi t
0
≤ τ ≤ t ≤ T ta có
x(t) = x(τ ) +


t
τ
A(s)x(s)ds,
suy ra
||x(t)|| ≤ ||x(τ )|| +

t
τ
||A(s)||.||x(s)||ds.
Áp dụng bổ đề Gronwall-Belman ta có
||x(t)|| ≤ ||x(τ )|| exp


t
τ
||A(τ)||dτ

.
Mặt khác
x(t) = U(t, τ)x(τ),
nên ta có
||U(t, τ)x(τ)|| ≤ ||x(τ )|| exp


t
τ
||A(τ)||dτ

,
hay

||U(t, τ)|| ≤ exp


t
τ
||A(τ)||dτ

, với t
0
≤ τ ≤ t ≤ T.
• Với x(t) = U(t)x
0
là nghiệm của bài toán (1.11) nên ta có
dU(t)
dt
= A(t)U(t) và
dU
−1
(t)
dt
= −U
−1
(t)A(t).
Theo định nghĩa
U(t, τ) = U(t)U
−1
(τ).
Suy ra
dU(t, τ)
dt

=
dU(t)
dt
U
−1
(τ) = A(t)U(t)U
−1
(τ) = A(t)U(t, τ)
và
dU(t, τ)
dτ
= U(t)
dU
−1
(τ)
dτ
= −U(t)U
−1
(τ)A(t) = −U(t, τ)A(t).
Vậy tính chất e)và f) được chứng minh.
16
1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính có nhiễu
Giả sử B là một không gian Banach. Xét phương trình vi phân:
dx
dt
= f(t, x). (1.16)
Trong đó: t ∈ R
+
, x ∈ B, f : R

+
× G −→ B, f(t, 0) = 0. Để thuận
tiện chúng ta xét G là một miền mở chứa gốc tọa độ
G = {x ∈ B : x ≤ r, r > 0}
hoặc G có thể là toàn bộ không gian B.
Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy
của phương trình (1.16) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn.
Kí hiệu x(t) = x(t, t
0
, x
0
) là nghiệm của phương trình vi phân (1.16)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
, t
0
∈ R
+
, x
0
∈ G. Ta thấy rằng
nghiệm của bài toán Cauchy:



dx
dt
= f(t, x)

x(t
0
) = x
0
(1.17)
luôn có thể viết dưới dạng phương trình tích phân sau:
x(t) = x
0
+

t
t
0
f(τ, x(τ ))dτ.
Nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
Mục đích của chương này là ta đi nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa
Lyapunov của phương trình vi phân (1.16). Trước tiên chúng ta phát
biểu một số định nghĩa cơ bản về ổn định.
Định nghĩa 1.3.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → ∞ nếu
∀ε > 0, t
0
∈ R
+
, ∃δ = δ(t
0
, ε) sao cho:
∀x
0
∈ G : x

0
 < δ ⇒ x(t, t
0
, x
0
) < ε, ∀t ≥ t
0
.
17
Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov nếu số δ trong
định nghĩa (1.3.1) không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu:
a. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định.
b. Tồn tại một số  = (t
0
) > 0 sao cho với mọi x
0
∈ G và x
0
 < 
kéo theo
lim
t→+∞
x(t, t
0
, x

0
) = 0.
Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → ∞ nếu:
a. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định đều.
b. Tồn tại một số  = (t
0
) > 0 (không phụ thuộc vào t
0
) sao cho với
mọi x
0
∈ G và x
0
 <  kéo theo
lim
t→+∞
x(t, t
0
, x
0
) = 0.
Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu như mọi nghiệm
x(t) = x(t, t
0
, x
0
) của phương trình (1.16) luôn thỏa mãn bất đẳng thức:
x(t) ≤ M.e

−λ(t−t
0
)
.x
0
, ∀t ≥ t
0
.
trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x
0
.
Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi
phân (1.16) được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M ở
trên không phụ thuộc vào t
0
.
Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall - Belman)
Giả sử u(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0, ∀t ≥ t
0
và các hàm u(t), f(t) là các hàm
18
liên tục trên [t
0
; +∞) (u(t), f (t) ∈ C
[t
0
;+∞]
) và thỏa mãn bất đẳng thức:
u(t) ≤ c +


t
t
0
f(τ)u(τ )dτ, (1.18)
ở đây c là một hằng số dương. Khi đó với t ≥ t
0
ta có:
u(t) ≤ c.e

t
t
0
f(τ )dτ
. (1.19)
Chứng minh. Từ đánh giá (1.18) ta có
u(t)
c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ
≤ 1.
Nhân cả hai vế với hàm không âm f(t) ta được:
f(t)u(t)
c +

t
t
0

f(τ)u(τ )dτ
≤ f(t).
Do đó ta có
d
dt

c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ

≤ f(t).
Suy ra
ln

c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ

− ln c ≤

t
t
0
f(τ)dτ.

Tương đương với
c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ ≤ c.e

t
t
0
f(τ)dτ.
Sử dụng (1.18) một lần nữa ta được:
u(t) ≤ c +

t
t
0
f(τ)u(τ )dτ ≤ c.e

t
t
0
f(τ )dτ
.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.3.2. (Bổ đề Bronwall-Belman mở rộng)
Giả sử các hàm v(t), h(t) là các hàm thuộc vào lớp C
[R
+

,R
+
]
và hàm
m(t) ∈ C
1
[R
+
,R
+
]
. Khi đó nếu:
m

(t) ≤ v(t)m(t) + h(t) (1.20)
19
thì
m(t) ≤ c.e

t
τ
v(s)ds
+

t
τ
h(s)e

t
s

v(ξ)dξ
ds, (1.21)
trong đó c = m(τ ).
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng bất đẳng thức (1.21) tương đương với
m(t)e
−

t
τ
v(s)ds
≤ c +

t
τ
h(s)e
−

s
τ
v(ξ)dξ
ds.
Xét hàm phụ
q(t) = m(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Trước hết ta sẽ chứng minh rằng với giả thiết (1.20) ta có:

q

(t) ≤ h(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Thật vậy, do hàm q(t) xác định như trên nên ta có:
q

(t) = m

(t)e
−

t
τ
v(s)ds
− m(t)v(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Áp dụng (1.20) ta có:
q


(t) ≤ [v(t)m(t) + h(t)] e
−

t
τ
v(s)ds
− m(t)v(t)e
−

t
τ
v(s)ds
= h(t)e
−

t
τ
v(s)ds
.
Tích phân cả hai vế từ τ đến t ta được:
q(t) − q(τ) ≤

t
τ
h(s)e
−

t
τ
v(ξ)dξ

ds,
hay
q(t) ≤ q(τ) +

t
τ
h(s)e
−

t
τ
v(ξ)dξ
ds.
Do đó ta có:
m(t)e
−

t
τ
v(s)ds
≤ c +

t
τ
h(s)e
−

s
τ
v(ξ)dξ

ds.
Suy ra điều phải chứng minh.
20
Bây giờ ta xét phương trình vi phân
dx
dt
= A(t)x + f(t, x), (1.22)
trong đó: A(t) là toán tử tuyến tính giới nội và liên tục theo t và toán
tử hàm f(t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện:
||f(t, 0)|| ≤ M và ||f(t, x
1
)−f(t, x
2
)|| ≤ L||x
1
−x
2
|| trong miền G.
(1.23)
Kí hiệu U(t, τ) là toán tử Cauchy của phương trình
dx
dt
= A(t)x (1.24)
và thỏa mãn bất đẳng thức
||U(t, τ)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
, (t ≥ τ). (1.25)
Trong đó c, λ là hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào t
0
. Khi đó

ta có định lý về sự giới nội đều và ổn định mũ đều của phương trình
(1.22) như sau:
Định lý 1.3.1. Giả sử nghiệm của phương trình (1.24) ổn định mũ
đều, tức là tồn tại một số c > 0 sao cho
||U(t, τ)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
, (t ≥ τ).
Khi đó, nếu f(t, x) thỏa mãn điều kiện (1.23) với M, L và λ − c.L > 0
thì nghiệm của phương trình (1.22) là giới nội đều với t ≥ 0 và đồng
thời cũng ổn định mũ đều.
Chứng minh. Từ giả thiết
||U(t, τ)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
, (t ≥ τ ).
Do nghiệm của phương trình (1.22) tương đương với phương trình tích
phân:
x(t) = U(t, τ)x(τ) +

t
τ
U(t, s)f(s, x)ds.
21
Từ đó ta có đánh giá:
||x(t)|| ≤ ce
−λ(t−τ)
||x(τ)|| +

t
τ
c.e

−λ(t−s)
(M + L||x(s)||)ds
= c.||x(τ )||e
−λ(t−τ)
+ c.M

t
τ
e
−λ(t−s)
ds + c.L

t
τ
e
−λ(t−s)
||x(s)||ds
hay là
||x(t)||.e
λ(t−τ)
≤ c.||x(τ)|| + c.M

t
τ
e
λ(s−τ)
ds + c.L

t
τ

e
λ(s−τ)
||x(s)||ds
Đặt
m(t) = ||x(t)||.e
λ(t−τ)
.
h(t) = c.||x(τ )|| + c.M

t
τ
e
λ(s−τ)
ds, v(t) = c.L.
Khi đó, ta có h(τ) = c.||x(τ)|| và h

(t) = c.M.e
λ(t−τ)
> 0.
Áp dụng bổ đề Gronwall-Belman mở rộng ta có
m(t) ≤ h(τ ).e
c.L(t−τ)
+

t
τ
h

(s).e
c.L(t−s)

ds
= c.||x(τ )||.e
c.L(t−τ)
+ c.M

t
τ
e
λ(s−τ)
.e
c.L(t−s)
ds
= c.||x(τ )||.e
c.L(t−τ)
+ c.M

t
τ
e
(λ−c.L)s
.e
−λτ+c.Lt
ds
= c.||x(τ )||.e
c.L(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

e

(λ−c.L)t
− e
(λ−c.L)τ

.e
−λτ+c.Lt
= c.||x(τ )||.e
c.L(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

e
(λ(t−τ)
− e
c.L(t−τ)

.
Vậy
||x(t)||e
λ(t−τ)
≤ c.||x(τ)||.e
c.L(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

e
(λ−c.L)t
− e

(λ−c.L)τ

.e
−λτ+c.Lt
.
Hay là
||x(t)|| ≤ c.||x(τ )||e
−(λ−c.L)(t−τ)
+
c.M
λ − c.L

1 − e
−(λ−c.L)(t−τ)

Vì λ − c.L > 0 suy ra x(t) giới nội với mọi t ≥ τ và ta có:
||x(t)|| ≤
c.M
λ − c.L
+ c.||x(τ )||e
(c.L−λ)(t−τ)
.
22
Bây giờ, ta so sánh hai nghiệm x
1
(t) và x
2
(t) khác nhau của phương
trình (1.22), ta có:
x

1
(t) = U(t, τ)x
1
(τ) +

t
τ
U(t, s)f(x
1
, s)ds.
x
2
(t) = U(t, τ)x
2
(τ) +

t
τ
U(t, s)f(x
2
, s)ds.
Khi đó, ta có
||x
1
(t)−x
2
(t)|| ≤ ||U (t, τ)|| ||x
1
(τ)−x
2

(τ)||+

t
τ
||U(t, s)|| ||f(x
1
, s)−f(x
2
, s)||ds.
Suy ra
||x
1
(t)−x
2
(t)|| ≤ c.e
−λ(t−τ)
||x
1
(τ)−x
2
(τ)||+

t
τ
c.e
−λ(t−s)
L||x
1
(s)−x
2

(s)||ds.
Điều này tương đương với
||x
1
(t) − x
2
(t)||e
λ(t−τ)
≤ c.||x
1
(τ) − x
2
(τ)|| +

t
τ
c.L||x
1
(s) − x
2
(s)||ds.
hay là
||x
1
(t) − x
2
(t)|| ≤ c.e
(cL−λ)(t−τ)
||x
1

(τ) − x
2
(τ)||.
Như vậy, nếu λ − cL > 0 thì nghiệm bất kì của phương trình (1.22) ổn
định mũ đều.
Tiếp theo, chúng ta xét phương trình
dx
dt
= A(t)x + ϕ(t, x) + φ(t, x). (1.26)
Trong đó ϕ, φ : R
+
× B → B là các hàm liên tục thỏa mãn các điều kiện:
||ϕ(t, x)|| ≤ L||x|| (1.27)
và
||φ(t, x)|| ≤ γ(t)||x(t)||,

∞
0
γ(t)dt = α < +∞. (1.28)
23