Về Môđun Cohen-Macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 604. 601. 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành vào tháng 03/2016 dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc tới thầy, những bài học quý giá từ trang giấy và cả
những bài học trong cuộc sống thầy dạy giúp tôi tự tin hơn và trưởng
thành hơn nhiều.
Tôi xin cảm ơn Phòng Sau đại học - Đại học sư phạm Thái nguyên
đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học Thái
Nguyên và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành
và tâm huyết, xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổi
xemina và các lớp học ngoài chương trình.
Tôi xin cảm ơn tất cả các anh em bạn bè nghiên cứu sinh đã động
viên giúp đỡ tôi nhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn.
Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã
tạo điều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Kiến thức chuẩn bị

1

4

1.1

Chiều Krull của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Hệ tham số và bội

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương . . . . . .

7

1.4

Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Môđun Cohen-Macaulay dãy

13

2.1

Lọc chiều và hệ tham số tốt . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . .

22

2.3

Đặc trưng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

iii


Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

41


Lời nói đầu
Luận văn trình bày về môđun Cohen-Macaulay dãy và sử dụng
tài liệu tham khảo chính là bài báo [5]: N. T. Cường and D. T. Cuong

(2007), "On Sequentialy Cohen-Macaulay Modules", Kodal Math. J., 30,
409-428. Nội dung của luận văn bao gồm: Định nghĩa và các tính chất
cơ bản của lọc chiều, hệ tham số tốt; định nghĩa và tính chất cơ bản của
môđun Cohen-Macaulay dãy, đặc trưng của lớp môđun này với đầy đủ
chứng minh.
Khái niệm về môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầu
tiên bởi Stanley trong [11] cho vành phân bậc. Tương tự, các tác giả hai
bài báo [6] và [9] định nghĩa Môđun Cohen-Macaulay dãy trên vành địa
phương. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương
R với dim M = d. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy
nếu tồn tại một lọc các môđun con của M
D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M
sao cho mỗi môđun Di /Di−1 là Cohen-Macaulay và
0 < dim D1 /D0 < dim D2 /D1 < ... < dim Dt /Dt−1 = d.
Khi đó lọc D ở trên được gọi là lọc Cohen-Macaulay. Lọc này xác định
duy nhất và trùng với lọc chiều của M ([6], Bổ đề 4.4 (ii)). Lọc chiều
của M được định nghĩa như sau: Một lọc D của M được gọi là lọc chiều
nếu thỏa mãn hai tính chất: D0 = Hm0 (M ) (đối đồng điều địa phương
thứ 0 của M ứng với giá iđêan cực đại m) và Di−1 là môđun con lớn
nhất của Di thỏa mãn dim Di−1 < dim Di với mọi i = t, t − 1, ..., 1. ([5],
Định nghĩa 2.1).
Nếu t = 1, khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ
nếu

R (D0 )

< ∞ và D1 /D0 là Cohen-Macaulay. Theo lý thuyết về bội thì
1

trong trường hợp này M là Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại hệ
tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M sao cho (M/xM ) =

R (D0 )+e(x; D1 ).

Trong đó hệ tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M được định nghĩa là hệ
tham số tốt ứng với lọc chiều
D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M
của M , tức là Di ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0, với mọi i = 0, 1, ..., t − 1 ([5],
Định nghĩa 2.2). Ta biết rằng với môđun N hữu hạn sinh trên một
vành Noether địa phương, y là một hệ tham số của N thì N là CohenMacaulay nếu và chỉ nếu (N/yN ) = e(y; N ) ([3], Định lý 4.7.10). Đối
với môđun Cohen-Macaulay dãy trong [4] đã chỉ ra rằng nếu M là môđun
Cohen-Macaulay dãy thì (M/xM ) =

t
i=0 e(x1 , ..., xdi ; Di ).

Câu hỏi đặt

ra rằng các khẳng định sau có đúng không.
1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với mọi hệ
tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M thì (M/xM ) =

t
i=0 e(x1 , ..., xdi ; Di )

với mọi i = 0, ..., t, với d = dim M và di = dim(Di ).
2) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với một hệ
tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M thì (M/xM ) =

t
i=0 e(x1 , ..., xdi ; Di )

với mọi i = 0, ..., t, với d = dim M và di = dim(Di ).
Bài báo [5] đã chứng minh được khẳng định thứ nhất là đúng (xem
Định lý 2.3.2), khẳng định thứ hai nói chung không đúng (xem Ví dụ
2.3.7).
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Chương này nhắc lại một số kiến thức được dùng trong
chương tiếp theo: Chiều Krull của vành và môđun, hệ tham số và bội,
phức Koszul và đồng điều Koszul, môđun Cohen-Macaulay.
Chương 2: Chương này gồm ba phần. Phần một nói về lọc chiều
và hệ tham số tốt. Phần hai trình bày tính chất của môđun Cohen2


Macaulay dãy, dd-dãy và chứng minh đặc trưng thứ nhất của môđun
Cohen-Macaulay dãy. Phần ba đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi được
đặt ra ở trên (Định lý 2.3.2 và Định lý 2.3.3).

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Chiều Krull của vành và môđun

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán.
(i) Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của R

P0

P1

...

Pn

được gọi là một xích nguyên tố độ dài n.
(ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ
dài của xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độ cao của P , kí hiệu là
ht(P ). Nghĩa là:
ht(P ) = sup{độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P }.
Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là
ht(I) = inf{ht(P )|P ∈ Spec(R), P ⊇ I}.
(iii) Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R được gọi
là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Ta có
dim R = sup{ht(P )|P ∈ Spec(R)}.
4


Cho M là R-môđun. Khi đó dim R/ AnnR M được gọi là chiều Krull của
môđun M , kí hiệu là dim M . Như vậy dim M

dim R.

Bổ đề 1.1.2. Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun hữu
hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) (M ) < ∞.
(ii) R/ AnnR (M ) là vành Artin.

(iii) dim M = 0.
Nếu thêm điều kiện (R, m) là vành địa phương thì mỗi mệnh đề
trên tương đương với
√
(iv) AnnR M = m.
Chứng minh. (ii) ⇔ (iii): Giả sử R/ AnnR (M ) là vành Artin. Khi đó
mọi iđêan nguyên tố trong R/ AnnR (M ) đều cực đại. Suy ra dim M =
dim(R/ AnnR (M )) = 0. Ngược lại giả sử dim M = 0 và P là một iđêan
nguyên tố bất kỳ của R/ AnnR (M ), khi đó tồn tại iđêan cực đại Q của
R/ AnnR (M ) sao cho Q ⊇ P , do dim(R/ AnnR (M )) = 0 nên Q = P . Vì
thế P tối đại, hơn nữa R/ AnnR (M ) là vành Noether nên R/ AnnR (M )
là vành Artin.
(i) ⇒ (ii): Giả sử (M ) < ∞ và M sinh bởi hữu hạn phần tử x1 , ..., xn .
Xét tương ứng ϕ : R → M n cho bởi với a ∈ R thì ϕ(a) = (ax1 , ..., axn ).
Dễ thấy ϕ là ánh xạ và là một đồng cấu. Có ker ϕ = {a ∈ R | a ∈
AnnR (xi ), ∀i = 1, n} = AnnR M nên ta coi R/ AnnR M là môđun con của
M n . Do M là môđun Artin nên môđun M n là Artin, suy ra R/ AnnR M
là vành Atin.
(ii) ⇒ (i): Giả sử có R/ AnnR M là vành Artin. Xét tương ứng φ :
(R/ AnnR M )n → M cho bởi với phần tử (a1 , ..., an ) ∈ (R/ AnnR M )n thì
φ(a1 , ..., an ) =

n
i=1 ai xi .

Nếu a1 = b1 trong R/ AnnR (M ) thì ai xi = bi xi

với mọi i = 1, ..., n. Suy ra

n

i=1 ai xi

5

=

n
i=1 bi xi

nên φ là ánh xạ.


Dễ kiểm tra được φ là đồng cấu và là toàn cấu. Vậy ta có đẳng cấu
(R/ AnnR M )n / Ker φ ∼
= M , mà từ giả thiết suy ra (R/ AnnR M )n / Ker φ
là vành Artin, từ đó suy ra M là môđun Artin.
Thêm điều kiện (R, m) là vành địa phương ta chứng minh (iii) ⇔
(iv).
√
Dễ thấy nếu AnnR M = m thì dim M = 0. Ngược lại, giả sử
√
dim M = 0. Có AnnR M = P ∈V (AnnR M ) P , vì dim(R/ AnnR M ) = 0
nên P là cực đại với mọi P ∈ V (AnnR M ). Vì R là vành địa phương với
√
iđêan cực đại m duy nhất nên suy ra AnnR M = m.

1.2

Hệ tham số và bội

Định nghĩa 1.2.1. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là Rmôđun hữu hạn sinh với dim M = d và x = (x1 , ..., xs ) là hệ s phần tử
trong m. Ta nói x là hệ bội của M nếu (M/xM ) < ∞. Khi s = d ta gọi
x là hệ tham số của M .
Chú ý 1.2.2. Nếu (x1 , ..., xd ) là hệ tham số của M thì với mọi số nguyên
dương α1 , ..., αn ta có (xα1 1 , ..., xαnn ) cũng là hệ tham số của M .
Mệnh đề 1.2.3. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun
hữu hạn sinh, và r phần tử x1 , ..., xn trong m. Khi đó
dim M/(x1 , ..., xr )M

dim M − r.

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1 , ..., xr là một phần của một hệ tham
số của M .
Bổ đề 1.2.4. Phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếu
x∈
/ P với mọi P ∈ AssR M sao cho dim(R/P ) = d.
Bổ đề 1.2.5. ([3], Bổ đề 4.7.1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương,
x là dãy các phần tử trong m và 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp
6


ngắn giữa các R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó x là hệ bội của M nếu và
chỉ nếu x là hệ bội của M và M .
Bổ đề trên cho ta hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 1.2.6. ([3], Hệ quả 4.7.2) Cho (R, m) là vành Noether địa
phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1 , ..., xs ) là hệ bội của
M . Khi đó x = (x2 , ..., xs ) là hệ bội của M/x1 M và 0 :M x1 .
Từ hệ quả này ta định nghĩa bội bằng quy nạp.
Định nghĩa 1.2.7. ([3], Định nghĩa 4.7.3) Cho (R, m) là vành Noether
địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1 , ..., xs ) là hệ bội của

M . Khi đó kí hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa
quy nạp như sau. Nếu s = 0 thì (M ) < ∞ nên đặt e(x, M ) = (M );
nếu s > 0 thì đặt e(x, M ) = e(x ; M/x1 M ) − e(x ; 0 :M x1 ), trong đó
x = (x2 , ..., xs ).
Định lý 4.7.4 và Định lý 4.7.6 trong [3] đã chỉ ra rằng nếu x là hệ
tham số của M và I là iđêan sinh bởi x thì các số bội e(x; M ), e(I; M ) và
đặc trưng Euler-Poincare’ χ(x; M ) là như nhau. Khi đó ta gọi e(x; M )
là bội Serre của M đối với hệ bội x.

1.3

Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.3.1. Cho vành R, K• và L• là các phức các R môđun.
dp+1

dp

dp−1

K• : ... → Kp+1 −−→ Kp −
→ Kp−1 −−→ ...
dp+1

dp

dp−1

L• : ... → Lp+1 −−→ Lp −
→ Lp−1 −−→ ....

Tích tenxơ K• ⊗R L• là phức
d∗n+1

d∗

d∗n−1

n
... → (K ⊗ L)n+1 −−→ (K ⊗ L)n −→
(K ⊗ L)n−1 −−→ ...

7


được định nghĩa như sau
(K ⊗ L)n := ⊕p+q=n Kp ⊗R Lq ,
vi phân d∗ cho bởi
d∗n (x ⊗ y) = dp (x) ⊗ y + (−1)p x ⊗ dq (y),
trong đó x ∈ Kp và y ∈ Lq . Vì ta có các đẳng cấu giữa các phức:
K• ⊗ L• ∼
= L• ⊗ K• cho bởi x ⊗ y → (−1)pq y ⊗ x với x ∈ Kp , y ∈ Lq và
đẳng cấu (K• ⊗L• )⊗P• ∼
= K• ⊗(L• ⊗P• ) cho bởi (x⊗y)⊗z → x⊗(y ⊗z)
nên phép toán tích tenxơ giữa các phức có tính chất giao hoán và kết
hợp.
Định nghĩa 1.3.2. Cho vành R và x = (x1 , ..., xn ) là bộ các phần tử
trong R, ta định nghĩa phức K• (x1 , ..., xn ) hoặc K• (x) như sau: K0 = R,
Kp := 0 nếu p nguyên không thuộc [0, n], với 1
⊕Rei1 ...ip là R-môđun tự do hạng

n
p

p

với cơ sở {ei1 ...ip |1

n}. Vi phân dp : Kp → Kp−1 cho bởi dp (ei1 ...ip ) =

n thì đặt Kp :=
i1 < ... < ip

p
r+1
xir ei1 ...ir ...ip .
r=1 (−1)

(Với p = 1, đặt d1 (ei ) = xi ). Dễ kiểm tra được rằng dp−1 dp = 0. Phức
này được gọi là phức Koszul.
x

Đặc biệt khi n = 1 phức K• (x) là 0 → R →
− R → 0, và kiểm tra
được rằng K• (x1 , ..., xn ) = K• (x1 ) ⊗ ... ⊗ K• (xn ), vì thế phức Koszul là
xác định (sai khác đẳng cấu) với mọi hoán vị của x1 , ..., xn .
Mỗi R-môđun M ta đồng nhất với phức ... → 0 → M → 0.
Ta đặt K• (x, M ) := K• (x) ⊗R M và với phức C• các R-môđun ta
đặt C• (x) := C• ⊗ K• (x). Phức Koszul K• (x, M ) có các đồng điều
Hp (x, M ) := Hp (K• (x, M )).
Mệnh đề 1.3.3. Cho R là vành, M là R-môđun. Xét phức Koszul

K• (x, M ), khi đó H0 (x, M ) = M/xM và Hn (x, M ) = 0 :M (x).
Mệnh đề 1.3.4. ([3], Mệnh đề 1.6.11) Cho R là vành, x = (x1 , ..., xn )
là bộ các phần tử trong R và 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp các
8


R-môđun. Khi đó ta có dãy khớp giữa các phức
0 → K• (x, M ) → K• (x, M ) → K• (x, M ) → 0.
Từ đó ta có dãy khớp dài đồng điều
... → Hp (x, M ) → Hp (x, M ) → Hp (x, M ) → Hp−1 (x, M ) → ....
Định nghĩa 1.3.5. Cho I là iđêan của vành R. Với mỗi R−môđun M ,
∞
n=0 (0 :M

đặt ΓI (M ) =

I n ). Ta có ΓI (M ) là một môđun con của M và

mỗi R−đồng cấu f : M → N ta có f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Vì thế có một
R-đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ) xác định bởi ΓI (f )(x) = f (x) với
mỗi x ∈ ΓI (M ). Khi đó ΓI là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên
phạm trù các R−môđun. Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn.
Mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn
kí hiệu là HIi và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng
với giá iđêan I.
Với một R-môđun M , ảnh của M qua hàm tử HIi kí hiệu là HIi (M )
và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với giá
iđêan I.
Chú ý 1.3.6. (i) Từ định nghĩa trên ta có thể xác định HIi (M ) như sau.
Lấy giải nội xạ của M

α

d0

d1

di−1

di

0→M →
− E0 −
→ E1 −
→ ... −−→ E i −
→ ....
Tác động hàm tử ΓI vào ta được đối phức
ΓI (di−1 )

0

ΓI (d0 )

1

ΓI (d1 )

ΓI (di−1 )

i

ΓI (di )

0 −−−−→ ΓI (E ) −−−→ ΓI (E ) −−−→ ... −−−−→ ΓI (E ) −−−→ ....
Khi đó
HIi (M )

Ker ΓI (di )
=
.
Im ΓI (di−1 )

(ii) HIi (M ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M .
(iii) H 0 (M ) ∼
= ΓI (M ).
I

(iv) Nếu M là nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i > 0.
9


Mệnh đề 1.3.7. Cho I là iđêan của vành R và dãy khớp ngắn các
R-môđun
0 → M → N → P → 0.
Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
0 → ΓI (M ) → ΓI (N ) → ΓI (P ) → HI1 (M ) → HI1 (N ) → HI1 (P ) → ....

1.4

Môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.4.1. (i) Dãy các phần tử a1 , ..., an của vành Noether R
gọi là một dãy chính quy của R-môđun M nếu (a1 , ..., an )M = M và ai
không là ước của 0 trong M/(a1 , ..., ai−1 )M với mọi i = 1, ..., n.
(ii) Cho I là một iđêan của vành R. Một dãy các phần tử a1 , ..., an ∈ I
được gọi là dãy chính quy cực đại của M nếu không tồn tại b ∈ I để
a1 , ..., an , b là dãy chính quy của M .
Chú ý 1.4.2. (i) Với n = 1 ta có định nghĩa phần tử chính quy. Phần
tử a ∈ R là phần tử chính quy của M nếu aM = M và ax = 0 với mọi
x = 0 trong M .
Nếu (R, m) là vành địa phương thì ta có những điều sau.
(ii) Nếu a1 , ..., an ∈ m thì điều kiện (a1 , ..., an )M = M trong định nghĩa
dãy chính quy có thể bỏ đi.
(iii) Phần tử a ∈ m là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a ∈
/ P
với mọi P ∈ AssR M .
(iv) Mọi hoán vị của của dãy M -chính quy cũng là M -chính quy.
Mệnh đề 1.4.3. Cho I là một iđêan của vành Noether R, khi đó độ dài
của hai dãy M -chính quy cực đại trong I là bằng nhau.
Định nghĩa 1.4.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là một
iđêan của R. Độ dài của một dãy M -chính quy cực đại trong I được gọi
10


là độ sâu của của M đối với iđêan I, kí hiệu là depthI M . Đặc biệt khi
I = m thì depthm M được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M .
Độ sâu của một môđun có thể đặc trưng qua đối đồng điều địa
phương.
Định lý 1.4.5. Cho I là iđêan của vành Noether địa phương R và M là
R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương tương.
(i) depthI M = t.

(ii) HIi (M ) = 0 với mọi i < t và HIt (M ) = 0.
Chú ý 1.4.6. Theo Bổ đề 1.2.4 và Chú ý 1.4.2 (iii) thì nếu a1 , ..., an là
M -dãy chính quy thì nó cũng là một phần của hệ tham số của M , do
đó depth M

dim M .

Định nghĩa 1.4.7. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M
là R-môđun hữu hạn sinh. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu
dim M = depth M.
Nếu R không là vành địa phương thì M gọi là môđun Cohen-Macaulay
nếu MP là RP -môđun Cohen-Macaulay với mọi P ∈ SuppR M .
Định lý 1.4.8. ([3], Định lý 4.7.10) Cho (R, m) là một vành địa phương
Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, x = (x1 , ..., xn ) là hệ tham số
của M . Khi đó
a) (M/(x1 , ..., xn )M )

e(x, M ).

b) Các điều sau tương đương.
(i) M là môđun Cohen-Macaulay.
(ii) (M/(x1 , ..., xn )M ) = e(x, M ).
i
(iii) Hm
(M ) = 0 với mọi i < n.

(iv) Hi (x, M ) = 0 với mọi i > 0.
(v) H1 (x, M ) = 0.
11

Ngoài kiến thức chuẩn bị trên, luận văn cần chuẩn bị một số bổ
đề, mệnh đề và định lý sau.
Bổ đề 1.4.9. Cho R là vành Noether và M là R-môđun, N là môđun
con của M . Nếu N là môđun con P -nguyên sơ của M thì
(i)
(ii)

n 0 N :M
n 0 N :M

I n = M với mọi I ⊆ P .
I n = N với mọi I

P.

Định lý 1.4.10. (Định lý giao Krull) Nếu M là môđun hữu hạn sinh
trên vành Noether R và iđêan I ⊆ J(R) với J(R) là căn Jacobson của
R. Khi đó
I n M = 0.
n 0

Mệnh đề 1.4.11. ([3], Hệ quả 1.6.19) Cho (R, m) là vành Noether địa
phương và M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0. Hệ x = (x1 , ..., xn ) gồm
các phần tử của m. Khi đó các điều sau là tương đương.
(i) Hi (x, M ) = 0 với mọi i > 0.
(ii) x là M -dãy chính quy.
Kết hợp với Định lý 1.4.5 ta có định lý sau.
Định lý 1.4.12. (Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho I là iđêan của
vành Noether địa phương (R, m). M là R-môđun hữu hạn sinh chiều

d > 0 có depthI (M ) = t. Khi đó ta có
(i) HIi (M ) = 0 với mọi i < t và i > d.
(ii) HIt (M ) = 0 và (Hmd (M )) = ∞.

12


Chương 2
Môđun Cohen-Macaulay dãy
2.1

Lọc chiều và hệ tham số tốt
Đến hết luận văn này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether

địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m và M là R-môđun hữu hạn
sinh với dim M = d.
Định nghĩa 2.1.1. (i) Ta nói rằng một lọc hữu hạn các môđun con của
M
F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M
thỏa mãn điều kiện chiều nếu dim Mi−1 < dim Mi với mọi i = 1, 2, ..., t.
(ii) Một lọc thỏa mãn điều kiện chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M được
gọi là lọc chiều của M nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn
a, D0 = Hm0 (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng
với giá iđêan cực đại m.
b, Di−1 là môđun con lớn nhất của Di với mọi i = t, t − 1, ..., 1.
Định nghĩa 2.1.2. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M là một lọc thỏa
mãn điều kiện chiều và di = dim Mi . Một hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) được
gọi là một hệ tham số tốt ứng với lọc F nếu Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0,
với mọi i = 0, 1, ..., t − 1.
13

Hệ tham số tốt ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của
M.
Trong [9], Schenzel định nghĩa lọc chiều của M là một dãy tăng
các môđun con {Mi }0
thỏa mãn dim Mi

i d

sao cho Mi là môđun con lớn nhất của M

i. Khi đó đánh lại số thứ tự các môđun con đó thì

ta được lọc chiều trong cách định nghĩa của ta ở trên. Vì thế hệ tham
số tốt của M là hệ tham số tách biệt đã định nghĩa bởi Schenzel trong
[8], điều ngược lại chưa chắc đúng.
Chú ý 2.1.3. (i) Do tính chất Noether của môđun M nên luôn tồn tại
một lọc chiều D của M và nó là duy nhất.
Hơn nữa, nếu cho

p∈AssR (M ) N (p)

thu gọn của môđun con 0 của M thì Di =

= 0 là phân tích nguyên sơ
dim(R/p) di+1

N (p), trong đó

di = dim Di .
(ii) Cho N là môđun con của M và dim N < dim M , khi đó tồn tại một
Di trong lọc chiều D của M sao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di .
Vì thế, nếu F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M cũng là một lọc thỏa
mãn điều kiện chiều thì với mỗi Mj tồn tại một Di sao cho Mj ⊆ Di và
dim Mj = dim Dj .
(iii) Nếu hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) là hệ tham số tốt ứng với lọc F
thì x(n) = (xn1 1 , ..., xnd d ) cũng là hệ tham số tốt ứng với lọc F với bất kì
những số nguyên dương n1 , ..., nd .
(iv) Hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt ứng với bất kỳ lọc
thỏa mãn điều kiện chiều nào của M .
Chứng minh. (i) Gọi Σ là tập tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ
hơn d. Do 0 ∈ Σ nên Σ = ∅, do đó theo tính chất Noether của M thì
tồn tại phần tử cực đại của Σ, chẳng hạn là M .

14


Giả sử N cũng là môđun con cực đại của Σ khác M . Khi đó
dim(M ⊕ N ) =

M + N cũng là môđun con của M và có dim(M + N )

Max{dim M , dim N } < d. Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của M .
Vậy nên môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d là tồn tại duy
nhất. Cứ như vậy sau hữu hạn bước quy nạp lùi ta thu được một dãy
tăng chặt các môđun con của M
D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt−1 = M ⊂ Dt = M.
Nếu Hm0 (M ) = 0 thì Hm0 (M ) là môđun con lớn nhất của M có chiều bằng
0. Thật vậy, có Γm (M ) =

n 0 (0 :M

mn ), do tính Noether của M nên tồn

tại số tự nhiên n sao cho Γm (M ) = 0 :M mn . Suy ra mn ⊆ AnnR (Γm (M )),
suy ra

AnnR (Γm (M )) = m. Theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra dim(Γm (M )) =

0. Giả sử N là một môđun con của M có chiều bằng 0, cũng theo Mệnh
AnnR (N ) = m. Do đó tồn tại số nguyên dương k sao

đề 1.1.2 ta có

cho mk ⊆ AnnR N , suy ra N ⊆ (0 :M mk ) ⊆ Γm (M ). Như vậy Hm0 (M )
là môđun con lớn nhất của M có chiều bằng 0.
Tiếp theo để chứng minh Di =

dim(R/p) di+1

chúng đều bằng môđun Ha0i (M ) với ai =
trường hợp {p ∈ AssR M, dim R/p
Ha0i (M ) = Γai (M ) =

N (p) ta chứng minh

p∈AssR M,dim R/p di

P. Trong

di } = ∅ ta đặt ai = R. Ta có

(0 :M ani )
n 0

=

N (p) :M ani ) =

(
n 0 p∈AssR M

p∈AssR M n 0
n 0 N (p)

:M ani = M với mọi p ⊇

:M ani = N (p) với mọi p

ai . Do đó Ha0i (M ) =

Mặt khác theo Bổ đề 1.4.9 ta có
ai và

n 0 N (p)

N (p) :M ani ).

(

p∈AssR M,dim R/p di+1

N (p). Vì dim Di = max{dim R/p|p ∈ AssR Di } nên

AssR (Di ) ⊆ {p ∈ AssR M | dim R/p
Vì thế ta có ai ⊆

p∈AssR Di

di }.

AnnR (Di ). Do đó Di ⊆ Ha0i (M ).

p =

Chú ý rằng AssR (Ha0i (M )) = AssR M ∩ V (ai ) nên AssR (Ha0i (M )) = {p ∈
15


di }. Suy ra dim Ha0i (M ) = di . Mà Di là môđun con

AssR M | dim R/p

lớn nhất của M có chiều di suy ra Di = AssR (Ha0i (M )).
(ii) Nếu dim N = dim Dt−1 khi đó rõ ràng do tính cực đại của Dt−1 ta
suy ra (ii), nếu dim N < dim Dt−1 thì ta so sánh dim N với dim Dt−2 .
Nếu dim N = dim Dt−2 thì ta có (ii) bởi tính cực đại của Dt−2 , nếu
dim N < dim Dt−2 ta lại tiếp tục so sánh dim N với dim Dt−3 như so
sánh dim N với dim Dt−2 ở trên. Quá trình này phải dừng sau hữu hạn

bước, như vậy ta luôn tìm được môđun con Di nào đó của lọc chiều D
sao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di .
√
(iii) Đặt I = (x1 , ..., xd ), J = (xn1 1 , ..., xnd d ). Khi đó J + AnnR M =
√
I + AnnR M = m, theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra (M/JM ) < ∞ do đó J
là hệ tham số của M . Hơn nữa với mọi i = 0, ..., t − 1 ta có
n

i +1
Mi ∩ (xdid+1
, ..., xnd d )M ⊆ Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0

nên (xn1 1 , ..., xnd d ) là hệ tham số tốt của M ứng với lọc F với mọi số
nguyên dương n1 , ..., nd .
(iv) Giả sử (x1 , ..., xd ) là hệ tham số tốt, lọc chiều của M
D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M, dim Di = di , i = 0, 1, ..., t
và F là lọc thỏa mãn điều kiện chiều
F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M, dim Mj = dj , i = 0, 1, ..., t.
Theo (ii) với mỗi Mj tồn tại một Di sao cho Mj ⊆ Di và dj = di . Khi
đó do Di ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0 ta có Mj ∩ (xdj +1 , ..., xd )M = 0. Suy ra
(x1 , ..., xd ) là hệ tham số tốt ứng với lọc thỏa mãn điều kiện chiều F.
Bổ đề sau nói rằng ta có thể tìm lọc chiều qua hệ tham số tốt.
Bổ đề 2.1.4. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của
M và x = (x1 , ..., xd ) là một hệ tham số tốt của M . Đặt di = dim Di .
16


Khi đó (x1 , ..., xdi ) là hệ tham số tốt của Di và Di = 0 :M xj với mọi
di < j

di+1 , i = 0, ..., t − 1.

Chứng minh. Vì (M/(x1 , ..., xd )M ) < ∞ nên (Di /(x1 , ..., xd )Di ) < ∞.
Do
(xdi +1 , ..., xd )Di ⊆ Di ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0
nên
(Di /(x1 , ..., xdi )Di ) = (Di /(x1 , ..., xd )Di ) < ∞.
Vậy (x1 , ..., xdi ) là hệ tham số của Di và ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi
j > di , i = 0, 1, ..., t − 1. Môđun Di có lọc chiều D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Di ,
khi đó dễ thấy rằng (x1 , ..., xdi ) là hệ tham số tốt của Di . Ta đã có
Di ⊆ 0 :M xj với di < j
di < j

di+1 , ta còn phải chứng minh 0 :M xj ⊆ Di với

di+1 . Giả sử trái lại 0 :M xj

nhất sao cho 0 :M xj

Di . Gọi s là số nguyên dương lớn

Ds−1 . Khi đó i + 1

ra 0 :M xj = 0 :Ds xj . Vì ds

di+1

t và 0 :M xj ⊆ Ds . Suy

s

j nên xj là phần tử tham số của

Ds và dim 0 :M xj < ds . Do tính cực đại của Ds−1 ta có 0 :M xj ⊆ Ds−1 .
Điều này mâu thuẫn với cách chọn s. Vì vậy Di = 0 :M xj với mọi
di < j

di+1 , i = 0, ..., t − 1.

Bổ đề 2.1.5. Cho N là môđun con của M . Khi đó nếu dim(M/N ) < d
thì tồn tại x là phần tử tham số của M sao cho x ∈ AnnR (M/N ). Hơn
nữa nếu dim(M/N ) = d − t < d thì tồn tại t phần tử tham số của M là
x1 , ..., xt sao cho x1 , ..., xt ∈ AnnR (M/N ).
Chứng minh. Từ

AnnR (M/N ) =

P ∈AssR (M/N ) P

và Bổ đề 1.2.4 suy

ra để chứng minh khẳng định thứ nhất ta chứng minh tồn tại y ∈
P ∈AssR (M/N ) P

mà y ∈
/

Q∈AssR M,dim(R/Q)=d) Q.

Giả sử điều ngược lại là

P ∈AssR (M/N ) P

⊆

Q∈AssR M,dimR/Q=d) Q.

Theo Định lý tránh nguyên tố suy ra tồn tại P ∈ AssR (M/N ) và Q ∈
AssR M với dim R/Q = d sao cho P ⊆ Q. Suy ra dim(R/P ) = d, mâu
17


thuẫn với dim M/N < d. Vậy khẳng định thứ nhất đúng với x = y n , n
là số nguyên dương nào đó.
Tiếp theo ta chứng minh khẳng định thứ hai với dim(M/N ) =
d − t < d. Với t = 1 ta có khẳng định thứ nhất đã chứng minh. Với
t > 1 thì theo chứng minh trên thì tồn tại x1 là phần tử tham số của
M sao cho x1 ∈ AnnR (M/N ), suy ra x1 M ⊆ N . Đặt M1 = M/x1 M và
N1 = N/x1 M , khi đó
dim M1 /N1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M1 .
Suy ra tồn tại phần tử tham số x2 của M1 sao cho x2 ∈ AnnR (M1 /N1 ) =
AnnR (M/N ) và ta có
dim M/(x1 , x2 )M = dim M1 /x2 M1 = dim M1 − 1 = d − 2.
Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có (x1 , x2 ) là một phần của hệ tham số của M thỏa
mãn x1 , x2 ∈ AnnR (M/N ). Nếu t = 2 thì bổ đề được chứng minh, nếu t >
2 thì do (x1 , x2 )M ⊆ N ta lại đặt M2 = M/(x1 , x2 )M, N2 = N/(x1 , x2 )M
và lý luận tương tự như đối với M1 , N1 để tìm ra x3 ∈ m mà (x1 , x2 , x3 )
là một phần của hệ tham số của M thỏa mãn x1 , x2 , x3 ∈ AnnR (M/N ) .
Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước, cuối cùng ta tìm được đúng

t phần tử tham số x1 , ..., xt của M sao cho x1 , ..., xt ∈ AnnR (M/N ).
Kết quả sau nói về sự tồn tại của hệ tham số tốt.
Bổ đề 2.1.6. Luôn tồn tại một hệ tham số tốt của M .
Chứng minh. Giả sử D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của M
với dim Di = di . Theo Chú ý 2.1.3 (i), Di =
đó

P ∈AssR (M )N (P )

của M . Đặt Ni =

dim(R/p) di+1

N (p), trong

= 0 là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0
dim(R/p) di

N (p). Khi đó vì Di ∩ Ni = 0 nên ta có

Di = Di /(Di ∩ Ni ) ∼
= (Di + Ni )/Ni ⊂ M/Ni .
18


Mặt khác từ biểu diễn của Ni ta có
AssR (M/Ni ) = {P ∈ AssR (M )| dim R/P

di },

do đó dim M/Ni = di . Ta sử dụng Bổ đề 2.1.5 và quy nạp lùi để chứng
minh sự tồn tại của hệ tham số (x1 , ..., xd ) thỏa mãn xdi +1 , ..., xd ∈
AnnR (M/Ni ), i = t − 1, ..., 0. Tại i = t − 1, vì dim M/Nt−1 = dt−1 < d
nên theo Bổ đề 2.1.5 tồn tại d − dt−1 phần tử tham số của M thuộc
AnnR (M/Nt−1 ) là xdt−1 +1 , ..., xd . Tại i = t − 2, vì (xdt−1 +1 , ..., xd )M ⊆
Nt−1 ⊆ Nt−2 nên ta đặt
M = M/(xdt−1 +1 , ..., xd )M, N = Nt−2 /(xdt−1 +1 , ..., xd )M.
Khi đó dim M /N = dim M/Nt−2 = dt−2 < dt−1 = dim M . Từ Bổ đề
2.1.5 suy ra tồn tại (xdt−2 +1 , ..., xdt−1 ) là một phần của hệ tham số của
M sao cho
xdt−2 +1 , ..., xdt−1 ∈ AnnR (M /N ) = AnnR (M/Nt−2 ).
Từ đó suy ra xdt−2 +1 , ..., xd ∈ AnnR (M/Nt−2 ), hơn nữa do
(M /(xdt−2 +1 , ..., xdt−1 )M ) = (M/(xdt−2 +1 , ..., xd )M )
nên suy ra (xdt−2 +1 , ..., xd ) là một phần của hệ tham số của M .
Cứ như vậy sau t bước quy nạp lùi ta chỉ ra được tồn tại hệ tham
số x thỏa mãn xdi +1 , ..., xd ∈ AnnR (M/Ni ) với mọi i = t − 1, ..., 0. Từ đó
suy ra (xdi +1 , ..., xd )M ∩ Di = 0 với mọi i = t − 1, ..., 0, vậy x là hệ tham
số tốt của M .
Từ Bổ đề 2.1.6 và Chú ý 2.1.3 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.7. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M là một lọc thỏa mãn
điều kiện chiều. Khi đó luôn tồn tại hệ tham số tốt ứng với lọc F.

19