Kỹ thuật tạo hộp nhằm giúp học sinh lớp 11 12 giải quyết tốt hơn bài toán khoảng cách trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT TẠO HỘP NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 – 12
GIẢI QUYẾT TỐT HƠN BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Dương Đình Tuyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020


MỤC LỤC

Mục lục
1. Mở đầu
1.1
Lý do chọn đề tài
1.2
Mục đích nghiên cứu
1.3
Đối tượng nghiên cứu
1.4
Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1

Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm
2.3
Một số giải pháp
2.3.1 Kỹ thuật tạo hộp
2.3.1 Lý thuyết cơ bản
.1
2.3.1 Một số tính chất thường dùng
.2
2.3.1 Xây dựng mô hình hộp chuẩn.
.3
2.3.2 Một số định hướng xây dựng mô hình hộp
chuẩn
2.3.2 Bài toán có sẵn hình chiếu, đáy chuẩn hình
.1
chữ nhật
2.3.2 Bài toán có sẵn hình chiếu, đáy chuẩn hình
.2
thoi
2.3.2 Bài toán chưa có sẵn hình chiếu, phân tích
.3
tìm hình chiếu và đưa về hộp chuẩn
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận và kiến nghị
3.1
Kết luận
3.2

Kiến nghị và đề xuất
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
9
14
19
20
20
20



1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình thi môn Toán trung học phổ thông, bài
toán “khoảng cách” là một trong những bài toán thường xuyên
gặp và đại đa số học sinh không dễ dàng vượt qua được hết các
bài toán này. Từ thực tiễn quá trình dạy học, song song với việc
nắm bắt sự phản hồi ở học sinh, tôi nhận thấy nguyên nhân
chính trong này là hầu hết học sinh đều “mặc cảm” rằng học
hình không gian khó; bối cảnh thi trắc nghiệm thì thời gian làm
một câu hình không gian mất quá nhiều; giải bài toán về
khoảng cách cần học sinh xác định hình chiếu cũng là yếu tố
khó khăn cho hầu hết các em. Trong đề tài này, tôi xin trình
bày“Kỹ thuật tạo hộp nhằm giúp học sinh lớp 11 - 12 giải
quyết tốt hơn bài toán khoảng cách trong không gian” để
khắc phục những khó khăn của học sinh trong việc giải quyết
bài toán về khoảng cách, từ đó cũng giúp các em có sự tự tin,
hình thành cách nhìn nhận vấn đề nhẹ nhàng, thuận lợi hơn ở
những nội dung khác của hình học, chẳng hạn góc, thể tích, mặt
cầu ngoại tiếp,… các bài tập đưa ra nhằm phục vụ cho mục đích
đó.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thông có kiến
thức và phương pháp vững chắc để giải quyết bài toán tính
khoảng cách trong các đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi
Tỉnh,... đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng tạo sơ đồ tư duy
để giải quyết nhanh bài toán. Góp phần thúc đẩy sự hứng thú;
xóa bỏ mặc cảm về việc học hình không gian cho học sinh;
nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong Nhà trường.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên
các kiến thức cơ bản tính khoảng cách trong chương trình Hình
học thuộc môn Toán Trung học phổ thông, các chuyên đề tính

khoảng cách của các nhóm Toán trên mạng.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về khoảng cách
trong chương trình Toán Trung học phổ thông.
- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải
quyết bài toán tính khoảng cách trong không gian.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một
số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu
quả của đề tài.
Page 1


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh
nghiệm đã giảng dạy các tiết học tự chọn, ôn thi học sinh giỏi
và ôn thi Trung học phổ thông Quốc Gia phần “bài toán về
khoảng cách”.
Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến
thức cơ bản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đề bài để từ đó
suy luận ra quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài
toán đã làm và bài toán sẽ làm, hình thành phương pháp giải
toán bền vững và sáng tạo.
Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ
đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh, kích thích óc tìm tòi,
sáng tạo của học sinh.
Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm
bắt những kiến thức cơ bản nhất và dần dần phát triển khả
năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một

cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán. Từ
đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với
môn Toán, đồng thời phát triển được năng lực và phẩm chất của
người học.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy bài toán khoảng cách, tôi thấy
đa số các em còn lúng túng từ việc vẽ hình đến tư duy tìm lời
giải, thường không vượt qua được các bài tập vận dụng cao. Từ
đó tôi nghĩ phải nghiên cứu và trang bị cho các em một số mô
hình cơ bản, mô hình chuẩn để giúp các em giải quyết được tốt
hơn yêu cầu xác định khoảng cách. Sau một thời gian nghiên
cứu tôi thấy kỹ thuật tạo hộp đã giúp các em có cách nhìn thật
thuận lợi, cách suy luận đơn giản và có nhiều học sinh đã giải
quyết nhanh gọn bài toán tính khoảng cách.
Năm học 2019-2020, tôi được phân công giảng dạy lớp đầu
khối 11A và lớp ghép 11T - ghép từ học sinh trường THPT trần
Page 2


Phú giải thể với một số học sinh tách từ các lớp khác trong khối
của trường THPT Ba Đình. Để kiểm nghiệm hiệu quả của việc
học sinh nắm kiến thức, giải quyết bài toán tính khoảng cách
trong hình không gian, tôi đã thực hiện khảo sát ở hai lớp 11A
và 11T, mỗi lớp 15 em học sinh có năng lực khá – giỏi trở lên
bằng 2 bài tập sau:
Bài 1. (Thời gian 7 phút) (Chuyên Lam Sơn 2017-2018) Cho hình chóp
ABC  900 , AB  a 3, BC  a . Tam giác SAC đều và
S . ABC , đáy ABC có �
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt

phẳng ( SBC ) .
2a 15
a 5
2a 5
a 15
B. h 
C. h 
D. h 
5
3
3
5
Bài 2. (Thời gian 15 phút) (Phát triển câu 49 - đề minh họa năm
2020 – BGD) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại A ,
�  SMA
�  900 , khoảng
AB  2a, BC  4a . Gọi M là trung điểm của BC có SCB
A. h 

cách từ S đến  ABC  bằng 2a 13. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và AC.
52
53
14
13
A. a
B. a
C. a
D. a
13

53
52
14
Kết quả thu được như sau:

Phân tích giả
Giải được
Lớp
thiết, tìm được
bài 2
hình chiếu ở bài 2
11A
15/15
10/15
7/15
11T
15/15
1/15
0/15
Từ kết quả đó tôi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý được việc
tính khoảng cách ở bài toán “có sẵn hình chiếu”. Tuy nhiên số
lượng các em học sinh không giải quyết được trọn vẹn bài toán
“chưa có sẵn hình chiếu” còn nhiều. Trong đó, chưa có kỹ năng,
chưa định hướng phù hợp và không kịp thời gian làm bài.
2.3 Một số giải pháp.
2.3.1 Kỹ thuật tạo hộp
2.3.1.1 Lý thuyết cơ bản
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  P  . Khoảng
cách từ M đến mặt phẳng  P  là d M ;( P )  MH .
Giải được bài

1

+) Đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  . Khoảng cách từ d đến  P 
bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc d đến  P  .
Page 3


+) Hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau,  P  chứa d 2 và song song với d1.
Khoảng cách giữa d1 với d 2 bằng khoảng cách từ một điểm M �d1 tới  P  .
2.3.1.2 Một tính chất thường dùng
+) Tính chất 1: (Đổi điểm cắt)
d A;( P )  AI

Ta có
.
d B;( P )  BI

+) Tính chất 2: Hình chóp S . ABC có
SA   ABC  , AB  BC.
1
1
1


Ta có h 2
AB 2 AS 2 .
 A;( SBC ) 
+) Tính chất 3: (Tam diện vuông gốc A )
Ba đường thẳng AS , AB, AC đôi một
vuông góc.

1
1
1
1



Ta có h 2
AS 2 AB 2 AC 2 .
 A;( SBC ) 
2.3.1.3 Xây dựng mô hình hộp chuẩn
+) Chuẩn 1: Hộp chữ nhật
Tạo ra hình hộp đứng, đáy là hình chữ nhật, mô hình này thường
dùng khi bài toán cho đáy là hình chữ nhật, hình vuông, hình
thang vuông, tam giác vuông…
+) Chuẩn 2: Hộp thoi
Tạo ra hình hộp đứng có đáy là hình thoi, mô hình này thường
dùng khi bài toán cho đáy là hình thoi, tam giác cân, tam giác
đều…
2.3.2 Một số định hướng tạo mô hình hộp chuẩn
Với ý tưởng xây dựng hộp chuẩn để giải quyết bài toán
khoảng cách trong hình không gian, tôi định hướng học sinh suy
nghĩ cách tạo ra hộp thuận lợi nhất cho việc tính toán, nhằm
cho ra kết quả nhanh nhất, phù hợp với yêu cầu làm bài toán
trắc nghiệm, đây cũng là nội dung chính của đề tài.
Quy trình giải được thực hiện trên nền tảng tư duy định
hướng chuyển hết các yếu tố tính khoảng cách giữa các đối
Page 4

tượng về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Ở đây,
điểm cần tính luôn định hướng là “hình chiếu”, mặt cần tính
khoảng cách đến ta quy ước là “mặt cắt”, ưu tiên chính là lựa
chọn “mặt cắt” chắn được 3 đường đôi một vuông góc (quy ước
cách gọi là 3 trục).
Sơ đồ tư duy:
+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  :
Chọn 3 trục Ox, Oy, Oz - mở rộng phẳng cắt, chắn 3 trục - đổi
điểm cắt về O .
+) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2
:
Quy phẳng (tạo mặt cắt chứa d 2 và song song d1 , ưu tiên việc
kẻ sao cho có ngay được giao tuyến của mặt đó với đáy) chuyển về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
2.3.2.1 Bài toán có sẵn hình chiếu, đáy chuẩn hình
chữ nhật
Đối với bài toán này tôi hướng dẫn học sinh thực hiện vẽ
trước hình hộp chữ nhật, sau đó điền các đỉnh của khối phù hợp
với giả thiết của bài toán.
Đặc biệt, khi giả thiết cho tứ diện đều hoặc tứ diện gần
đều ABCD thì thực hiện vẽ hình hộp rồi chọn 1 đỉnh của hộp là
đỉnh A ; các cạnh AB, AC , AD tương ứng là 3 đường chéo của 3
mặt hộp chung đỉnh A. Nếu tứ diện đều thì hộp là hình lập
phương, nếu tứ diện gần đều thì hộp là hộp chữ nhật.
Định hướng chọn 3 trục tương ứng là 3 cạnh xuất phát từ 1
đỉnh của hộp.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh 3a . Điểm M thuộc
cạnh A ' D ' sao cho A ' M  2a . Tính khoảng cách giữa AM và BD ' theo a .
A.

3 14

a
14

B.

14
a
14

C.

7
a
7

Hướng dẫn học sinh tư duy giải

Page 5

D.

3 7
a
7


+) Quy phẳng:  BD ' P  �  BD ' K  �  PD ' K  � Tam diện vuông gốc
D.
+) Đổi điểm cắt: d AM ;BD '  d A;( BD ' K )  � d D;( BD ' K )   d D;( PD ' K ) 
2

+) Tính toán: DB  DA  2a; DD '  3a; DK  2 DC  6a
3
1
3a 14
Kết quả: d AM ;BD '  d A;( BD ' K )   d D;( BD ' K )  
.
2
14
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a , BC  2a ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa AC và SB , biết góc
giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 30o .
A.

5a
2

B.

2a
5

C.

2 37 a
185

D.

2 185a
37

Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Quy phẳng:
 SBK  � d AC ;SB   d  A;( SBK ) tam diện
vuông gốc A .
+)Tính toán: AB  a, AK  BC  2a,
�  300 � AS  a 15 .
AC  a 5, SCA
3
2a 185
Kết quả: d AC ;SB   d  A;( SBK )  
.
37
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Biết AB  a 6, BC  3a, AC  a 3, SA  3a
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM  2MC. Khoảng
cách giữa AM và SD bằng:
3a 3
a 6
a 2
A.
B.
C.
D.
2
2
2
3a 2
2

Hướng dẫn học sinh tư duy giải

Page 6


+) Phân tích giả thiết: Từ các cạnh của tam giác ABC được
AB  AC .
+) Tạo hình chữ nhật OBED với A, C lần lượt là trung điểm của
OB, ED .
+) Quy phẳng:  SDF  � d AM ;SD   d A;( SDF )  � d O;( FDI )  � OD; OF ; OI
OK
AB a 6
a
, OD  AC  a 3 , OI 

3
2
2
3a 2
Kết quả: d AM ;SD   3d  O ;( FDI ) 
.
2
Ví dụ 4. (Hậu Lộc 4 năm học 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
a 17
hình vuông cạnh a, SD 
. Hình chiếu vuông góc H của điểm S trên mặt
2
phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của cạnh AD .
Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a .
+) Tính toán: OF  CN 

A.

3a
5

a 21
a 3
C.
5
5
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
 SBD  ,
phẳng:
do
B.

D.

a 3
7

+)
Quy
 SBD  / /  O ' HK 
� d HK ;SD   d ( O ' HK );( SBD )   d A;( O ' HK ) 
a
a
� AH  ; AK  ; AO '  ?
2

2
+) Tính toán:

AO '  SH  SD 2  AH 2  AD 2  a 3 .
a 3
Kết quả: d HK ;SD  
.
5
Ví dụ 5. (Phát triển đề minh họa của Bộ - năm 2020) Cho hình
chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB  BC  CD  a ,
Page 7


SA   ABCD  , SC tạo với đáy một góc bằng 450. Khoảng cách giữa
SB và CD bằng:
3a
a 15
a 15
A.
B.
C.
D.
5
3
5
5a
3
Hướng dẫn học sinh tư duy giải

+) Phân tích: Từ nửa lục giác đều, tạo hình chữ nhật ADEF � tạo

hộp.
+)
Quy
phẳng:
 SBI  �  SKI  � d CD;SB   d A;( SKI ) � AI  a, AS  ?, AK  ?
+) Tính toán: AS  AC  a 3, AK  2 AF  a 3 .
a 15
.
5
Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và B, có AB  BC  a, AD  2a. Biết SA  a và vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khoảng cách
giữa SB và AM bằng:
2a
a
3a
A.
B.
C.
3
2
2
a
D.
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
Kết quả: d CD ;SB  

Page 8

+) MO song song với SB � quy phẳng
 AOM  � mở rộng thành  AED ' .
+) Đổi điểm cắt: d SB; AM   d B ;( AED ')   d  D ;( AED ')
� DA  2a; DE  a; DD '  a .
2a
+) Tính toán: d SB; AM  
.
3

Ví dụ 7. (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình
�  120�. Gọi M
lăng trụ đứng ABC. A���
B C có AB  1 , AC  2 , AA�
 3 và BAC
, N lần lượt là các điểm trên cạnh BB�
, CC �
sao cho BM  3B�
M , CN  2C �
N.
BN  .
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  A�
A.

9 138
184

9 3
3 138
9 138
C.

D.
16 46
46
46
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
B.

+) Mở rộng phẳng  A ' NB  �  INB  � cần tính OA ', OI , OQ
+) Tính toán:
AC 1
1
1
1
OI
1
3
3
OA '  EA 
 , OI  C ' N  CC '  , OQ 
.
EB  AB

4
2
4
12
4
IE
13
2

26
3
9 138
+) Đổi điểm cắt d M ;( NIB )   d B ',( NIB )   9d O ;( NIB )  . Kết quả: d M ,( NIB ) 
.
4
184
Ví dụ 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung
điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC
và BM .
a 22
a 11
A.
B. a 22
C.
D.
11
22
a 11
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
Page 9


+) Vẽ hình lập phương, chọn các đỉnh A, B, C , D .
+) Quy phẳng:  BNM  �  BHM  �  BHI  �  IHK  � cần tính CI , CK , CH
a
a 2
� CH  a 2, CI 
, CK  a 2
3

2
a 22
.

11

+) Tính toán: AC  a � CE 
Kết quả: d AC ;BM   d C ;( IKH )

Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AB
sao cho HB  2 HA. Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy  ABCD  một góc bằng
600 . Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng  SCD  bằng:
a 13
a 13
a 13
B.
C . a 13
D.
8
2
4
Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ,
AC  2a, BC  a, DC  a 5, SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M
là trung điểm OA; DM �AB  N . Tính khoảng cách từ điểm N đến  SBC  .
2
1
4 5
5

A. a
B.
C. a
D.
a
a
3
2
15
5
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang, với AB / / CD,
�  600. Cạnh bên SA  a 3 và vuông góc với mặt
AB  3a , AD  DC  a , BAD
phẳng đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB  3 AM . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SM và AD .
2a
2a
a 15
a 15
A.
B.
C.
D.
5
3
5
3
Bài 4. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều ABCD
có cạnh bằng 2 2 . Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và M là trung điểm
A.

Page 10


của cạnh AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BG và CM bằng:
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.
5
2 5
10
14
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CM .
a 10
a 10
a 5
a 5
B.
C.
D.
10
5
5
10

2.3.2.2 Bài toán có sẵn hình chiếu, đáy chuẩn hình
thoi
Thực hiện tạo hình hộp thoi, định hướng chọn 3 trục gồm 2
đường chéo đáy cùng với đường nối tâm hai đáy.
Trường hợp hình thoi có một góc ở đỉnh bằng 600 thì có thêm
cách chọn 3 trục gồm cạnh của hình thoi cùng với 2 đường
trung trực cạnh đó tương ứng nằm trên mặt đáy và mặt bên
chứa cạnh đó.
Với giả thiết cho tứ diện đều, ngoài cách tạo hình lập
phương thì ta có thể sử dụng chuẩn hộp thoi với đáy là hình thoi
có một góc bằng 600 .
Ví dụ 1. Ta lấy luôn giả thiết của ví dụ 8 (trang 8) - mục
2.3.2.1
+) Qua C kẻ đường thẳng song song với BM
cắt DO tại I . Quy phẳng  AIC  � d B;( AIC ) 
+) Đổi điểm cắt: d B;( AIC )  2d  O ;( AIC )  cần tính
A.

OI , OC , OK .
+) Tính toán: OI 

OD a 3
a

, OC  ,
3
6
2

AC 2  CG 2 a 6

.

2
6
a 22
Kết quả: d BM ; AC  
.
11
AG
OK 

2

Ví dụ 2. (Chuyên KHTN - lần 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD
�  60�
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD
. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng

 ABCD 

trùng với trọng tâm G của

tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 60�.
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng:

Page 11


A.

21a
14

B.

21a
7

C.

3 7a
14

D.

3 7a
7
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Mặt cắt  SCD  �  ICD  � tam
diện vuông gốc O � cần tính
OC , OD, OI .
+) Đổi điểm cắt: d B;( SCD )   2d O;( ICD )  .
a
+) Tính toán: OB  OD  ,
2
a 3
�  600 .
; GH  AB � SHG
OA  OC 

2
2
2 OA.OB a 3
a
HG  d O; AB  

� SG 
3
3 AB
6
2
1
SO '  OG  OD
3
3
3
3a
3a 7
.
OI  OO '  SG 
� d  B ;( SCD )   2d O ;( ICD )  
4
4
8
14

nên

Ví dụ 3. (Sở Tiền Giang - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC
có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng đáy bằng 60�.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
a
a 5
a 5
a 2
A.
B.
C.
D.
5
10
5
5
Hướng dẫn học sinh tư duy giải

+) Dựng hộp thoi, quy phẳng  SAE  �  AIE 
Page 12


+) Đổi điểm cắt: d GC ;SA  d G ;( AIE )   2d O;( AIE )  � cần tính OA, OE , OI
a
OB a 3
SG AG tan 600 a
+) Tính toán: OA  , OE  OG 

, OI 

 .
2

3
6
2
2
2
a 5
Kết quả: d GC ;SA 
.
5
Ví dụ 4. (Sở Phú Thọ - Lần 2-2018-BTN) Cho hình chóp S . ABC có đáy là
tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm AB, hình chiếu của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm G của CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
đáy bằng 45�
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng:
a 21
a 14
a 77
a 21
A.
B.
C.
D.
7
8
22
14
Hướng dẫn học sinh tư duy giải

+) Quy phẳng: Qua A kẻ song song CI cắt BO tại K được mặt cắt  SAK  .
+) Chọn trục OK , OA, ON � cần xác định giao điểm của  SAK  với ON

� E  AK �OG �HǮ SE ON cần tính OK , OA, OH .
a 2 3a 2 a 7
0
2
2
�
+) Tính toán: SAG  45 � SG  AG  AI  IG 
,


4 16
4
OB a 3
a
SG a 7
.
OK 

, OA  , OH 

3
6
2
2
8
a 77
Kết quả: d CI ;SA   d C ;( SAK )   2d  O ;( AKH )  
.
22
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a .

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc
cạnh AB sao cho AB  3 AH , góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
 ABC  bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .
3a
3a 3
3a 21
3a 21
A.
B.
C.
D.
29
29
29
29
Page 13


Hướng dẫn học sinh tư duy giải

+) Phân tích: Dựng hình hộp thoi có đáy ACBD tâm O . Quy phẳng  SAD  cắt
3 trục OA, OD, OO ' tại A, D, I .
+) Đổi điểm cắt: d BC ;SA  d B ;( SAD )   2d O ;( IAD )  � cần tính OA, OD, OI
3a 3
3a
3
3
3a 21
; OI  SH  HC 3 
.

; OA 
2
2
2
2
2
3a 21

.
29

+) Tính toán: OD  OC 
+) Kết quả: d BC ;SA

Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC  2a, BD  4a. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
A.

4a 13
91

B.

a 165
91

C.

4a 1365

91

D.

a 135
91

Hướng dẫn học sinh tư duy giải

+) Quy phẳng  SBC  � mở rộng thành  SBCE  � chắn 3 trục � OB, OC , OO '
Page 14


a 15
a 15
.
� OO ' 
2
2
240 4a 1365

Kết quả: d AD;SC   d  A;( SBC )   2d O;( O ' BC )   a
.
91
91
Ví dụ 7. (Sở Đà Nẵng - 2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
hình thoi cạnh a, �
ABC  60�
. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, SA, SD và G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ điểm G đến mặt
phẳng ( HMN ) bằng:
a 15
a 15
a 15
a 15
A.
B.
C.
D.
15
30
20
10
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Tính toán: OB  2a, OC  a � AB  a 5 � SH 

+) Phân tích: Mở rộng  HMN  �  HA ' D ' E 
+) Đổi điểm cắt: SP ‖ A ' O, SI ‖ HO � d G ;( HMN )   d S ;( HA ' D ' E )   d I ;( A ' OD )  .
a
a 3
AB 3 a 3
Tính toán: Ta có IA '  , ID ' 
.
; IO  SH 

2
2
2
2

a 15
Kết quả: d G ;( HMN )   d I ;( A ' D ' O )  
.
10
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi
M là trung điểm của cạnh AC . Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H
thuộc đoạn BM sao cho HM  2 HB . Khoảng cách từ A đến  SHC  bằng:
2a 7
3a 7
2a 7
a 7
B.
C.
D.
7
14
14
14
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có cạnh đáy bằng a . Gọi
M là trung điểm của cạnh AA’ , biết BM  AC ' . Tính khoảng cách từ điểm C
đến mặt phẳng  BMC’ .
A.

Page 15


a 5
a 5
a 2

a 5
B.
C.
D.
5
3
2
4
Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên
a 37
bằng
. Gọi M là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai
3
đường thẳng AC và BM .
5a 3
a 3
5a 3
a 3
A.
B.
C.
D.
6
4
12
2
2.3.2.3 Bài toán chưa có sẵn hình chiếu, phân tích tìm
hình chiếu và đưa về hộp chuẩn
Trong phần này, tôi định hướng cách phân tích ngược để xác
định hình chiếu, sau đó định hướng để tạo mô hình chuẩn cho

một số bài thuận lợi.
Tư duy phân tích ngược:
+) Giả sử H là hình chiếu vuông góc của S trên  P  , liệt kê các
đường thẳng trên  P  vuông góc với SH (ở đây ta liệt kê các
đường thẳng có sẵn, chẳng hạn các đường biên, đường chéo).
+) Từ giả thiết, ta chỉ ra các đối tượng vuông góc khác
+) Từ các đối tượng vuông góc vừa liệt kê ở trên, quan sát để
 P
tìm
ra
trên
có
đường
thẳng
mà

  SH ,   d �   mp  SH , d  . Làm liên tiếp như vậy để có được
cách xác định chính xác vị trí điểm H - là giao của 2 đường
trong  P  .
Ví dụ 1. (Chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018) Cho tứ diện
�  90�
ABCD có AB  AD  a, CD  a 2, �
ABC  DAB
. Góc giữa AD và BC
. Khoảng cách giữa AC và BD bằng:
bằng 45�
a 6
a 6
a 6
a 6

A.
B.
C.
D.
6
3
2
4
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+)
Phân
tích
tìm
hình
chiếu:
Từ
0
�
�  90 � AB  BC , AB  AD � quy phẳng  P  chứa AD
ABC  DAB
và song song BC được hình bình hành ADXC ' .
A.

Page 16


Thực hiện vẽ hình hộp chữ nhật, điền các đỉnh của tứ diện phù
hợp.

+) Tính được BD  a 2 , N là trung điểm của BC thì BC   DHN 

� HN / / OB suy ra OHNB là hình vuông với HB  a từ đây có được
a
OB  OH 
� BC  OE  2OH  a 2 .
2
+) Quy phẳng chứa BD và song song AC cắt OE , OO ' tại I , K
2
+) Đổi điểm cắt: d BD; AC   d A;( BDI )   d O;( BIK )  � OB, OI , OK
3
3a
3
3a
, OK  OO '  .
Ta có OI  3OH 
2
2
2
a 6
Kết quả d AC ;BD  
.
4
Ví dụ 2. (Phát triển đề minh họa – BGD – 2020) Cho hình chóp
�  SCB
�  90�
S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a, SAB
.
a 3
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng
. Khoảng cách từ S
3

đến  ABC  bằng:
A.

a 2
4

B.

3a 2
4

C.

a 2
2

Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Phân tích tìm hình chiếu :

Page 17

D.

a 2
3


Giả sử H là hình chiếu vuông góc của S
 ABC 
trên

thì SH  AB (1); SH  AC (2); SH  BC (3)
Giả thiết AB  BC (4), SA  AB (5), SC  BC (6)
.
Từ (1),(5) � AB   SHA � AB  AH
Từ (3),(6) � BC   SHC  � BC  CH
Do đó, trong

 ABC 

dựng

d1 qua A
�
�
d1  AB
�

d 2 qua C
�
thì H  d1 �d 2 .
�
d

CB
�2

,

Sau khi đã có được vị trí hình chiếu H của S trên  ABC  , ta
nhận thấy ABC vuông cân tại B nên thực hiện tạo chuẩn hộp

chữ nhật, đáy là hình vuông.
+) Mặt cắt  SBC  chắn 3 trục
OB, OC , OO ' tại B, C , I
+) Đổi điểm cắt : d A;( SBC )   2d O ;( SBC ) 
cần tính OB, OC , OI .
a
;
+) Tính toán : OB  OC 
2
a 3
a 2
.
2d O;( SBC )   d A;( SBC )  
� OI 
3
4
a 2
Kết quả d S ;( ABC )   SH  2OI 
.
2
Ví dụ 3. Ta lấy giả thiết của bài tập 2 mục B – trang 3 (Phát
triển câu 49 - đề minh họa năm 2020 – BGD) Cho hình chóp S . ABC
có tam giác ABC vuông tại A, AB  2a, BC  4a. Gọi M là trung điểm của
�  SMA
�  900 và khoảng cách từ điểm S đến mặt
cạnh BC , biết các góc SCB
phẳng  ABC  bằng 2a 13. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và
AC.
52
53

14
13
A. a
B. a
C. a
D. a
13
53
52
14
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Phân tích tìm hình chiếu:

Page 18


SH   ABC  � SH  MA và SH  BC , lại có SM  MA, SC  CB nên
được MA  MH , CB  CH từ đây có cách xác định chính xác vị trí
điểm H .
+) Tách chi tiết đáy ABC � tạo hình chữ nhật BCEF với H thuộc
cạnh CE .

+) Quy phẳng  SMI  �  KMI  � cần tính CM , CI , CK .
CB
SH
2a
 2a, CK 
 a 13, CI  MC tan 300 
+) Tính toán: CM 
.

2
2
3
13
Kết quả: d AC ;SM   d C ;( KMI )  a
.
14
Ví dụ 4. (Phát triển câu 49 - đề minh họa năm 2020 – BGD) Cho
hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  2a ,
�  SCA
�  90�góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  bằng 60�. Gọi M
SBA
là trung điểm của cạnh SB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MC và
AB .
a
a
A.
B.
C. 2a
D. a 2
2
2
Hướng dẫn học sinh tư duy giải
+) Phân tích tìm hình chiếu: ABHC là hình vuông thì SH   ABC  .
+) Quy phẳng  CHMI  �  CHI  �
OH , OC , OI .
+) Tính toán: Hạ OJ  SA � SA   BJC 
�  CJO
�  1 BJC
�

� BJO
2
BJ

BA
,
BJ  CJ , BA  CA
Lại có
�  BAC
� � BJC
�  1200 � BJO
�  600
� BJC
Nên OH  OC  a 2, OJ  OC tan 300 
Page 19

a 6
3


� OI  a . Kết quả: d AB ;MC   2d  O ;(CHI )  a 2 .
Ví dụ 5. (Phát triển đề Sở GD Bắc Giang - 2018) Cho khối chóp S . ABC có
�  900 , �
các cạnh SA  6, SB  2, SC  4,  AB  2 10 và SBC
ASC  1200. Mặt
phẳng  P  đi qua B và trung điểm N của cạnh SC đồng thời vuông góc với
mặt phẳng  SAC  , cắt cạnh SA tại M . Tính khoảng cách giữa BM và SC.
A. 2
B. 6
C. 2

D. 2 2
+) Phân tích tìm hình chiếu:
Nhận thấy SB 2  SA2  AB 2 � SA  SB , kết hợp SB  BC nên SB
vuông góc với mặt quy của SA và BC � thực hiện vẽ SB và mô
phỏng 2 mặt quy.

Vẽ hộp đứng, SB vuông góc 2 đáy rồi điền các đỉnh hình chóp cho phù hợp.

+) Cần tìm thêm đường vuông góc với  SAC  � tìm hình chiếu
H của D trên  SAC  khi đó M  HN �SA . Kẻ DI  SA, DH  CI .
+) Tính toán để có chính xác vị trí các điểm I , H , M .
1
ASD  
Tính được BC  SD  12, SC  76 � AD  72 � cos �
3
� SP  24; SI  2, ID  2 2 và điểm S thuộc đoạn AI . Ta có
IH ID 2 2
CM CI
CS
 2  ; 4

2
� S là trung điểm của IM . Từ đó
IC IC
3
CM CH
CN
M thuộc đoạn SA và SM  2. Từ các cạnh EB, EC , BC � EB  BC .

Page 20

+) Quy phẳng cho MB, SC thành

 SCK  �

cần

tính

BK , BC , BS .

 SCJ  �
Ta

mở rộng thành
1
BK  EB  6 ,
có
2

BC  12, BS  2 � d B ;( SCK )  2 .
Bài tập đề nghị.
Bài 1. (Phát triển đề minh họa – BGD năm 2020) Cho hình chóp S . ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  4a 3 , �
ASB  30�. Góc giữa hai mặt
phẳng  SAB  và  ABC  bằng 30�. Trung điểm I của cạnh SA là điểm cách
đều các đỉnh của hình chóp S . ABC . Gọi  là góc giữa IB và mặt phẳng  SAC 
21
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

7
14 3
8 3
A.
B.
C. 3 3a
D. 4 3a
a.
a
5
3
Bài 2. (Ba Đình – 2018) Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành
tâm O,  SAC    SBD  . Biết khoảng cách từ O đến các mặt phẳng
 SAB  ,  SBC  ,  SCD  lần lượt bằng 1;2; 5. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
, biết sin  

5
19
5
4 95
B. d 
C. d 
D. d 
19
20
19
19
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang  AB / / CD  , có
�  SAD
�  900. Biết AD  BD  2a, AB  a góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và

SBA
A. d  2

 ABC 

bằng 60o . Tính khoảng cách từ điểm C đến ( SAB ) .
5a
5a
3 5a
3 5a
A.
B.
C.
D.
4
2
4
2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong việc dạy
và học.
Trong năm học 2019 - 2020 tôi đã triển khai ý tưởng của
phương pháp trong các buổi học theo yêu cầu và chọn học sinh
để khảo sát.
- Đối tượng áp dụng: Học sinh có năng lực TB khá, Khá, Giỏi
môn Toán.
- Thời gian thực hiện: 3 buổi (9 tiết).
Kết quả thực nghiệm
Sau khi thử nghiệm dạy nội dung của đề tài cho 30 em học
sinh ở 2 lớp 11A và 11T (mỗi lớp 15 em), tôi đã tiến hành cho
các em làm bài kiểm tra với nội dung 2 câu ở mức độ vận dụng.

Tôi thu được kết quả như sau:
Page 21


Tạo mặt
Giải quyết được
Bài Lớp
cắt, chắn
trọn vẹn bài
trục
toán
11A
15/15
15/15
15/15
1
11T
15/15
12/15
10/15
11A
15/15
15/15
13/15
2
11T
15/15
12/15
8/15
Căn cứ vào kết quả trên tôi thấy đề tài bước đầu đã có tác

dụng trong việc trang bị cho các em học sinh năng lực, kỹ năng
giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian bằng kỹ thuật
tạo hộp.
Dựng được hộp
chuẩn

3. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.
Xuất phát từ thực tế về công tác giảng dạy của bản thân
và qua quá trình học tập của học sinh, tôi thấy việc đưa ra cho
học sinh những cách giải và cách nhìn khác về một bài toán là
rất cần thiết. Đặc biệt trong bối cảnh thi trắc nghiệm hiện nay
thì việc tạo được một chuẩn nào đó cho lớp bài toán nhằm
nhanh chóng nhìn thấy sự quen thuộc để suy luận ra kết quả là
rất cần thiết.
Qua một thời gian nghiên cứu tìm tòi, tổng hợp và đưa vào
vận dụng đối với học sinh lớp 11, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi
THPT Quốc Gia; tôi thấy đa số các em nắm được nội dung và
vận dụng thành thạo vào các bài toán cụ thể.
3.2 Kiến nghị và đề xuất.
3.2.1 Kiến nghị
Gốc của các vấn đề liên quan đến đối tượng hình không
gian là việc tạo ra 3 trục đôi một vuông góc, với kỹ thuật tạo
hộp có thể phù hợp cho hầu hết các đối tượng học sinh, giúp
các em có một cách nhìn tổng thể hơn trước một yêu cầu nào
đó của hình không gian, chẳng hạn khoảng cách, góc, thể tích,
mặt cầu ngoại tiếp,… nên tôi thiết nghĩ đây có thể coi là một tài
liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học
nội dung hình học không gian.
3.2.2 Đề xuất

Page 22