Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT thọ xuân 5 tiếp cận bài toán nguyên lí i nhiệt động lực học qua các đẳng quá trình và phương trình cla pê rôn men đê lê ép

MỤC LỤC

Trang

1. Mở đầu

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1. Cơ sở lý luận

2

2.2. Thực trạng vấn đề

2

2.3. Các giải pháp

3

2.3.1. Các công thức thức rút gọn về mối liên hệ

3

2.3.2. Các hệ quả rút ra từ các mối liên hệ

6

2.3.3. Phương pháp giải cụ thể

6

2.3.4. Vận dụng
2.3.4.1. Dạng 1: Dạng bài tốn tìm nhiệt lương khí tỏa ra và thu
vào, nhiệt lượng mà khối khí trao đổi với ngoại vật và hiệu suất
trong một chu trình.
2.3.4.2. Dạng 2: Dạng bài tốn tính cơng sinh ra trong cả chu

trình và chuyển đổi đồ thị từ hệ VOT sang hệ POV.

7
7
13

2.3.5. Bài tập vận dụng

14

2.4. Hiệu quả

15

2.4.1. Hiệu quả đối với hoạt động giáo dục của nhà trường

15

2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp nhà trường

15

3. Kết luận, kiến nghị

16

3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

16

1


1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài
Vật lí là một mơn học tự nhiên trừu tượng và khó. Phần khó nhất của vật lí là
bài tập, bài tập vật lí rất đa dạng. Lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách bài
tập vật lí chưa đủ đáp ứng được với nhu cầu tuyển sinh và thi học sinh giỏi của học
sinh. Trong các đề thi THPTQG và HSG gần đây mỗi đề thi thường có một số câu
hỏi khó mà nếu hoc sinh chỉ vận dụng cơng thức SGK thì khơng thể làm được. Cụ
thể: Ở SGK lớp 10 cơ bản, Bài 33: Các nguyên lí của nhiệt động lực học. Bài tốn
cho số mol khí thay đổi trạng thái theo các đẳng quá trình yêu cầu tìm nhiệt lượng
khí đã hấp thụ hay tỏa ra hoặc bài tốn tìm nhiệt lượng mà khối khí đã trao đổi với
ngoại vật trong một chu trình là bao nhiêu, tính hiệu suất của chu trình?. Đây là
một bài tốn khó trong đề thi và gần như để đạt 9 - 10 điểm trong kỳ thi THPTQG
thì điều đó là một trở ngại rất lớn mà các em cần phải vượt qua...Học sinh gặp
dạng bài tốn này trong các kì thi gần đây thì thường hay lúng túng, dẫn đến việc
thụ động khi làm loại bài tập này và hiệu quả không cao, mất nhiều thời gian
không đáp ứng được với các đề thi trắc nghiệm trong những năm gần đây
Ở bài viết này, tôi chia sẽ những hướng dẫn, các công thức cần thiết và
những mẹo giải nhanh để các em có thể giải được dạng tốn “xương xẩu” nhất
qua bài tốn áp dụng ngun lí I vào các đẳng quá trình. Sáng kiến này sẽ đề cập
đến những bài tập điển hình liên quan đến tìm nhiệt lượng cách chuyển đổi từ đồ
thị VOT sang POV để tính cơng thơng qua các đẳng q trình, ngồi ra cịn có hệ
thống những bài tập nâng cao, những bài đã được cho ở các kỳ thi trước đó và
những bài tập “hóc búa” khác sẽ được liệt kê và hướng dẫn giải chi tiết ở sáng

kiến này. Qua kinh nghiệm giảng dạy của mình, tơi nhận thấy nếu các em nắm
được bản chất của vấn đề, phân dạng cụ thể các bài tập thì chắc chắn sẽ cảm thấy
hứng thú và say mê giải bài tập vật lí với hiệu quả cao. Hơn nữa hình thức thi trắc
nghiệm yêu cầu cần giải nhanh và tìm được kết quả chính xác của bài tốn thì
mới đạt được điểm cao trong các kì thi.
Vì vậy trong q trình dạy học tơi thấy cần thiết phải làm cho học sinh hiểu
đúng, giải nhanh, hiệu quả. Đó là lí do tơi chọn đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 10 trường THPT Thọ Xuân 5 tiếp cận bài tốn ngun lí I nhiệt
động lực học qua các đẳng q trình và phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê ép”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích SKKN của tơi nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc những kiến thức
vật lí, nắm rõ được bản chất vật lí. Giúp các em có được một hệ thống bài tập và
có phương pháp giải các bài tập đó.
2


1.3. Đối tượng nghiên cứu
+ Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.
+ Các dạng bài tập tính nhiệt lượng tỏa ra, thu vào, nhiệt dung đẳng tích, đẳng áp,
hệ số đoạn nhiệt, độ biến thiên nội năng, hiệu suất chu trình, cách chuyển đổi đồ
thị từ VOT sang POV để tính cơng sinh ra trong cả chu trình.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Các dạng bài tập về nguyên lí I cho các đẳng quá trình biến đổi trạng thái
trong chương trình Vật lý 10 cơ bản, nâng cao và trong các tài liệu tham khảo
dành cho học sinh ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Trong SKKN, tôi
sử dụng các phương pháp chủ yếu là nghiên cứu lý luận về bài tập vật lí, nghiên
cứu các tài liệu tham khảo nâng cao khác có liên quan đến nội dung sáng kiến.
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
+ Đã thiết lập thêm cơng thức tính cơng trong các đẳng quá trình, nhiệt dung đẳng
áp và đẳng tích được khai triển từ tài liệu [1]. Ơn tập nhiệt học của lớp học

vui.com –Trên YouTube. Từ đó áp dụng cho bài toán ở dạng 1 trang 6 và trang 7.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Việc tìm ra phương pháp giải và phân dạng bài tập vật lý cho học sinh
trong nhà trường giúp học sinh hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến
thức cơ bản cần thiết trong chương trình, củng cố được hệ thống lí thuyết theo ý
đồ của người viết, đồng thời làm nổi bật ý nghĩa thực tế của bài dạy và dễ nâng
cao trình độ kiến thức cho học sinh, giúp các em linh hoạt hơn trong cuộc sống về
xử lí các tình huống. Học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức trong giải bài tập
vật lý là một thước đo độ sâu những kiến thức mà học sinh đã thu nhận được.
Trong thực tế ở trường học, mặc dù người giáo viên có trình bày nội dung lý
thuyết sách giáo khoa và tài liệu nâng cao một cách mạch lạc, hợp lôgic, phát
biểu định luật chính xác,... thì đó chỉ là điều kiện cần, chứ chưa đủ để học sinh
hiểu và nắm sâu kiến thức. Điều kiện đủ ở đây chính là phải cho học sinh phương
pháp giải bài tập, biết phân loại bài tập, nắm được bản chất vật lý, vận dụng được lý
thuyết thành thạo để giải bài tập, phải luyện cho học sinh kĩ năng giải.
2.2. Thực trạng vấn đề
Với kiến thức lí thuyết cơ bản mà sách giáo khoa đưa ra và sự hướng dẫn
của giáo viên trên lớp thì học sinh rất khó vận dụng để giải nhanh các bài tốn
trắc nghiệm liên quan. Vì vậy trong q trình dạy học tôi đã hướng dẫn học sinh
thiết lập mối liên hệ giữa các giá trị tính cơng trong q trình đẳng tích, đẳng nhiệt,
3


đẳng áp, đoạn nhiệt và các giá trị C v , C p (đưa ra công thức rút gọn) rồi từ đó suy
luận các kết quả liên đới tiếp theo một cách nhanh chóng và chính xác giúp học
sinh tiết kiệm được thời gian trong quá trình làm bài và đạt được kết quả tốt nhất
trong quá trình học tập của học sinh.
Trong năm học 2018-2019, tôi dạy lớp 10A3 là một lớp thuộc ban KHTN
của nhà trường. Kết quả kiểm tra bồi dưỡng theo lớp lần đầu tiên tôi đã thống kê

được như sau:
Câu hỏi
Câu hỏi tính cơng trong một chu trình
Tổng số
(1 câu)
HS của lớp (40)
Số học sinh tham gia kiểm tra
40/40
Số học sinh làm bài đúng

2/40

Tỷ lệ

5%

2.3. Các giải pháp
Với kết quả thực tế và cụ thể như vậy, tôi thấy rằng để đạt hiệu quả cao hơn
trong quá trình dạy cũng như trong quá trình học của học sinh tôi đã đưa ra một
số giải pháp sau:
- Các công thức rút gọn về mối liên hệ
- Các hệ quả rút ra từ các mối liên hệ
- Phương pháp giải cụ thể
- Vận dụng mối liên hệ, hệ quả và phương pháp giải cụ thể vào các dạng bài
tập cụ thể.
2.3.1. Các công thức thức rút gọn về mối liên hệ Adang −nhiet , Adang −tich , Adăăg −ap , Ađoan −nhiêt
+ Nội năng chất khí: Nội năng là năng lượng bên trong chất kh .
U = Wđ + Wt = f (T , V )

Đối với khí lí tưởng thì nội năng phụ thuộc vào nhiệt độ U = f (T )

n : Số mol
U = nC v T với
C v :nhiệt dung đẳng tích
T :Nhiệt độ đơn vị (K)
Suy ra: ∆U = nC v (T2 − T1 ) = nC v ∆T
+ Nguyên lí I nhiệt động lực học:
∆U = A + Q = − A ' + Q = U 2 − U 1

với A = − p∆V = − p(V2 − V1 ) là cơng mà khí nhận được
A ' = p∆V = p (V2 − V1 ) là cơng khí thực hiện được
Quy ước về dấu: Q > 0: Vật nhận nhiệt lượng từ các vật khác.Đơn vị: J
Q < 0: Vật truyền nhiệt lượng từ các vật khác. Đơn vị: J
A > 0: Vật nhận công từ các vật khác. Đơn vị: J
A < 0: Vật thực hiện công lên các vật khác. Đơn vị: J
4


A ,12  0 nên khí sinh cơng. Đơn vị: J
A ,12  0 nên khí nhận cơng. Đơn vị: J
∆U : Là độ biến thiên nội năng.
U 2 : Là nội năng sau. Đơn vị: J
U 1 : Là nội năng đầu. Đơn vị: J

+ Áp dụng nguyên lí I cho các đẳng quá trình biến đổi trạng thái.
*Quá trình đẳng nhiệt: T = const ⇒ PV = const
V

P

'

2
1
Và : ∆U 1 = 0 ⇒ Q = nRT ln V = nRT ln P = − A = A
1

2

Chú ý: nRT = P1V1 = P2V2
Chứng minh:

P

dA = pdv

1

P1

V2

Với A = S(1,2, V2 ,V1 )= ∫ pdv
V1

p=

V2

nRT
nRT
⇒ A= ∫

dv = nRT ln V
V
V
V1

= nRT (ln V2 − ln V1 ) ⇒ A = nRT ln
⇒ Q = nRT ln

V2
V1

V2
V1

P2

2

0 V1

V

V2

V2
P
= nRT ln 1 = − A = A '
V1
P2

Từ đồ thị hình vẽ quá trình đi từ 1 đến 2 nhiệt độ không đổi: T1 = T2 ⇒ V ↑⇒ P ↓ ,
∆U = 0 thì A ,12  0 nên đây là quá trình giản nở đẳng nhệt sinh cơng nên Q = A '12
>0 nhận nhiệt lương.
Q trình từ 2 đến 1 là quá trình nén đẳng nhiệt, nhiệt độ không đổi
T1 = T2 ⇒ V ↓⇒ P ↑ ∆U = 0 thì A ,12  0 , thể tích khí giảm nên khí nhận cơng. Do
đó khí tỏa nhiệt.tức là Q , = −Q >0
*Quá trình đẳng tích: Q trình 1 đến 2 suy ra V1 = V2 ⇒ V = const ⇒
tỉ lệ thuận với T, nhìn vào đồ thị ta thấy P ↓⇒ T ↓⇒ ∆U < 0
Và A, = 0

p

1

∆U = nC v ∆T = nC v (T2 − T1 )

P
= const ⇒ P
T
4

Q = A , + ∆U = ∆U = nC v ∆T < 0

p2
Nhìn vào đồ thị ta thấy quá trình từ 1 đến 2 là q
,
trình làm lạnh đẳng tích Q  0 ⇒ Q = −Q > 0 tỏa nhiệt
Quá trình từ 3 đến 4 là quá trình làm nóng đẳng tích p 0
Suy ra P ↑⇒ T ↑⇒ ∆U ↑⇒ Q = ∆U > 0
Suy ra Q>0 khí nhận nhiệt lượng.

* Quá trình đẳng áp:
P=const ⇒

V
= const
T

p2 = p1

2

3
V

1

2

5
0

V1

V2

V


A , = Fx = psx = p∆V = p (V2 − V1 )
∆U = nC v ∆T = nC v ∆T = nC v (T2 − T1 )

Q = A , + ∆U = PV2 − PV1 + nCV ∆T
Q = nRT2 − nRT1 + nC v ∆(T2 − T1 ) = n(T2 − T1 )( R + C v )
Đặt C p + R ⇒ Q = nC p ∆T = nC p (T2 − T1 )

Nhìn vào đồ thị ta thấy quá trình từ 1 đến 2 là quá
V
= h / s ⇒ V tỉ lệ thuận với T
T
V ↑⇒ T ↑⇒ ∆U ↑⇒ A = − P∆V < 0 sinh công ⇒ Q = ∆U − A > 0
sinh công suy ra A12 > 0 vật nhận nhiệt lượng.
Nếu đi từ 2 về 1 là quá trình nén đẳng áp A12 < 0 vật tỏa nhiệt

trình giản nở đẳng áp P1 = P2 ⇒

*Quá trình đoạn nhiệt:
Có Q = 0 (khơng nhận nhiệt ,khơng trao đổi nhiệt bên ngồi)
- Phương trình: PV γ const ; (

nRT γ
) = const ⇒ TV γ −1 = h / s , γ là hệ số đoạn nhiệt
V

P1V1
γ −1
∆U − nC v ∆T = nC v (T2 − T1 )
A, =

Q = 0 ⇒ ∆U + A , = 0
iR
2

Chú ý: γ =
và
(i + 2) R
Cv
Cp =
2
Cp

Cv =

i là bậc tự do của chất khí

i=3 (là khí đơn nguyên tử :Ar;He;Ne)
i=5(là khí lưỡng nguyên tử : H 2 O ; O2 ; CO )
i=6( là khí đa nguyên tử: CO2 ; NO2 )
+ Q trình đoạn nhiệt (khơng có sự trao đổi nhiệt với ngoài hệ): ∆U = A = − A. .
+ Trong một chu trình thì ∆U = 0 . Q = − A = A, [1].
P (kPa )

3

+ Chú ý cơng thức tính cơng trong một
chu trình theo hình vẽ bên ta có:

0

A

B

C

V (m 3 )

Cách 1:
1
( PA −PC )(VB −VC )
2
Cách 2: Ta biết rằng trong một chu trình thì: ∆U = 0

A = diện tích tam giác CAB và : A =

6


Có A , chutrinh = A , AC + A , CB + A, BA = 0 + ptb (VB − VC ) + PA (V A − VB ) =

( PB + PC )
(VB − VC ) + PA (V A − VB ) [2]
2

* Hiệu suất: Là tỉ số giữa cơng mà khí thực hiện ra bên ngồi và nhiệt lượng của
nguồn nóng:
H=

A Q1 − Q
=
.100% [3].
Q1
Q1

- Chú ý nhiệt lượng lấy giá tri dương:
* Phương trình Cla-pê-rơn-Men-đe-lê-ép.
PV
m PV
⇒ =
RT
µ RT
Chú ý: nRT = P1V1 = P2V2 = P3V3 = .....
n=

m: khối lượng (g)
µ : khối lượng nguyên tử ,phân tử (g/mol)
P:Áp suất (Pa-N/m)
V: thể tích ( m 3 )
T: Nhiệt độ(K-ken vin)
R=8,31(J/mol.K)
2.3.2. Các hệ quả rút ra từ các mối liên hệ
Từ nguyên lí thứ nhất ta có thể suy ra một số hệ quả sau:
a, Đối với hệ cô lập (A=Q=0)
∆U = 0 hay U=const
Vậy: Nội năng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo tồn.
- Xét một hệ cơ lập gồm hai vật chỉ trao đỏi nhiệt với nhau: gọi Q1 ,Q2 là nhiệt
lượng mà chúng nhận được thì: Q = Q1 + Q2 = 0 ⇒ Q1 = −Q2
- Nếu Q1 〈0 (vật 1 tỏa nhiệt) thì Q2 〉 0 (Vật 2 thu nhiệt) và ngược lại.
- Vậy trong một hệ cô lập gồm hai vật chỉ trao đổi nhiệt, nhiệt lượng do vật này
tỏa ra bằng nhiệt lượng mà vật kia thu vào.
b, hệ biến đổi theo một chu trình
Hệ là một máy làm việc tuần hồn, nghĩa là nó biến đổi theo một q trình kín
hay chu trình. Sau một dãy các biến đổi hệ trở về trạng thái ban đầu. Như vậy sau

một chu trình ∆U = 0 suy ra A=-Q
Vậy: Trong một chu trình, cơng mà hệ nhận được có giá trị bằng nhiệt do hệ tỏa ra
bên ngồi, hay cơng do hệ sinh ra có giá trị bằng nhiệt mà hệ nhận vào từ bên ngoài.
2.3.3. Phương pháp cụ thể
Trong cách giải bài tốn về ngun lí I nhiệt động lực học vào các đẳng
quá trình cần nắm rõ ba bước sau:
Bước 1: Xác định tốt công thức A, Q, ∆U , H trong từng đẳng quá trình và cả chu trình.
Bước 2: Chuyển đổi tốt hệ tọa độ POT sang hệ tọa độ POV khi tính công nếu đề yêu cầu.
Bước 3: Thiết lập các phương trình liên hệ, giải tìm nghiệm.
2.3.4. Vận dụng
7


2.3.4.1.Dạng 1: Dạng bài tốn tìm nhiệt lương khí tỏa ra và thu vào, nhiệt
lượng mà khối khí trao đổi với ngoại vật và hiệu suất trong một chu trình:
Ví dụ 1: Khối lượng m=40g khí neeon ( µ = 20) ở nhiệt độ 28 0 C, thể tích ban đầu
6 lít. Nén đẳng nhiệt, cơng lực ngồi là 680J. Thể tích giảm 4 lần. Nếu làm nóng
đẳng áp để thể tích tăng lên như cũ. Nhiệt lượng khí tỏa ra và nhiệt lượng khí hấp
thụ là:
15nRT0
J
2
15nRT0
,
J
= −Q = −680 J và Qthu =
2
15nRT0
,
= −Q = 680 J và Qthu = −

J
2
15nRT0
,
J [1].
= −Q = −680 J và Qthu = −
2

A. Q , toa = −Q = 680 J và Q , thu =
B. Q , toa
,
C. Qtoa
,
D. Qtoa

Hướng dẫn: Đối với bài toán này các em cân nắm được công thức nhiệt dung đẳng
áp Q = nC p ∆T và nắm được quá trình đẳng áp (định luật Gay-Luy-Sắc), q trình
đẳng nhiệt (định luật Bơi-Lơ-Ma-Ri-Ốt) và cơng thức độ biến thiên nội năng:
Độ biến thiên nội năng của vật : ∆U = A + Q (1)
m
V0
mà V0 = 6l và T0 = 301K , n = µ = 2(mol )
4
* Vì quá trình 1-2 là quá trình đẳng nhiệt suy ra T1 = T2 = T0
Áp dụng quá trình đẳng nhiệt PV = P0V0 ⇒ P = 4P0

Giả thiết đề cho V =

Nhìn vào đồ thị ta thấy V ↓⇒ P ↑⇒ A = 680J>0
Khi nhiệt độ không đổi suy ra ∆U = 0 ⇒ Q = − A = −680 J ⇒ Q , = −Q = 680 J

* Vì quá trình 2-3 là quá trình đẳng áp P2 = P3 = 4P0
Vì quá trình đẳng áp V tỉ lệ thuận với T V ↑⇒ T ↑
p
V3 V
VT
= ⇒T3 = 3 = 4T0
T3
T
V

5nR.3T0 15nRT0
=
2
2
nRT0
P3 = P2 = 4 P0 = 4
V0
5
2

Và Q = nC p ∆T = n R(T3 − T0 ) =
Từ hình vẽ ta có

2

p2=4p0

3

3

1

p0

3V
⇒ A , = P3 ∆V = P3 0 = 3nRT0
4
0
V2=V
V1=V0
3
3
∆U = nCv ∆T = nR (T3 −T0 ) = nR.3T0
2
2
Thay A , và ∆U vào công thức:
9
nRT
15
nRT
0
0
⇒ Q = ∆U + A, = 3nRT0 +
=
2
2
Q = ∆U + A,

v

Suy ra: Đáp án A
8


Ví dụ 2: Một lượng khí lí tưởng biến đổi trạng thái theo chu trình ABCA (hình vẽ 2.1).
Nhiệt lượng mà khối khí trao đổi với ngoại vật trong một chu trình là bao nhiêu ?
A. 2kJ
B. 6kJ
C. 4kJ
D. 8kJ
P(KP

A

Hình vẽ 2.1

3

B

1
C

V A(m 3 )

0
2

6

Hướng dẫn: Với bài toán này cần xác định được cơng trong một chu trình, độ
biến thiên nội năng trong một chu trinh rồi áp dụng độ biến thiên nội năng. Vậy
nhiệt lượng mà khối khí trao đổi với ngoại vật trong một chu trình là:
A. Q = A , = 6 J
B. Q = A , = 5 J
C. Q = A , = 4 J
D. Q = A , = 8 J
1
2

1
2

Cách 1: A = diện tích tam giác CAB và: A = ( PA − PC )(VB − VC ) = (3 − 1)(6 − 2) = 4 J
Cách 2: Ta biết rằng trong một chu trình thì: ∆U = 0
Có : A, chutrinh = A, AC + A, AB + A, BC = 0 + p 2 (V2 − V1 ) + Ptb (V1 − V2 ) = 0 + 3(6 − 2) +

( p3 + p1 )
( 2 − 6) = 4 J
2

Áp dụng công thức ∆U = Q − A, (1)
Vì ∆U = 0 nên từ (1) suy ra: Q = A , = 4kJ
Suy ra: Đáp án C
Ví dụ 3: Một mol khí thay đổi trạng thái theo quá trình 1-2-3 (Hình vẽ 3). Nội
năng của mol khí được xác định theo biểu thức U = cT với c là hằng số. Giá trị
V1 ,V2 , p1 và p 2 đã biết. Nhiệt lượng mà khí đã hấp thụ trong q trình đó là.
p 
 R 1 
A. Q = (V 2−V1 )  +  p1 + 2 

2
 c 2



p 
 c 1 
B. Q = (V 2−V1 )  +  p1 + 2 
2 
 R 2 
p 
 c 1 
C. Q = (V 1−V2 )  +  p1 + 2 
2 
 R 2 
p 
 R 1 
D. Q = (V 1−V2 )  +  p1 + 2 
2 
 C 2 

p

p2
p1

2
1
3

0

v

v1

v2

(Hình vẽ 3)
Hướng dẫn: Với bài tốn cho đồ thị pov ta cần xác định trạng thái 1 và trạng thái
3 thơng qua phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê-ép, tính được cơng suất trung
bình trên đoạn 1-2. Từ đây tìm được A , = ptb (V2 − V1 ) và kết hợp với công thức
Q = ∆U + A , suy ra được Q: U 1 = cT1 và U 3 = cT3 ⇒ ∆U = c(T3 − T1 )
- Phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê-ép viết cho một mol khí ở trạng thái 1 và
9


trạng thái 3:

P1V1 = RT1 (1)
P1V2 = RT3 (2)

Công A , do khối khí thực hiện trong q trình 1-2: A , = ptb (V2 − V1 ) . Vì 1-2 là đoạn
p1 + p 2
2

thẳng nên p tỉ lệ với V. Do đó ptb =
Vậy A , = ( p 2 + p1 )

V2 − V1

2

cp
Rút T1 từ (1) và T3 từ (2) rồi thay vào biểu thức ∆U = c(T3 − T1 ) ta được: ∆U = 1 (V2 − V1 )
R

Thay các biểu thức của A và ∆U ở trên vào Q = ∆U + A ta được:
,

p 
 c 1 
Q = (V 2−V1 )  +  p1 + 2  Suy ra: Đáp án B
2
 R 2 

Ví dụ 4 : Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi
một pittông nặng cách nhiệt. Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý
tưởng. Ban đầu khi nhiệt độ khí của hai phần như nhau thì thể tích phần khí ở
trên pittơng gấp 2 lần thể tích khí ở phần dưới pittơng. Bỏ qua ma sát giữa pittơng
và xylanh. Nếu nhiệt độ của khí ở phần trên pittơng được giữ khơng đổi và thể
tích khí ở phần dưới pittơng sẽ gấp 2 lần thể tích khí ở phần trên pittơng.Tìm
nhiệt lượng mà khí ở ngăn dưới đã nhận được, coi khí là đơn nguyên tử. Tính kết
quả theo P1 và V1 là áp suất và thể tích ban đầu của khí ở ngăn trên.


,
A. Q = A + Q =  + ln 2  P1V1




,
B. Q = A + Q =  + ln 2  P1V1



,
C. Q = A + Q =  + ln 2  P1V1



,
D. Q = A + Q =  + ln 2  P1V1

7
2

5
2



2
5

2
7







Hướng dẫn: Đây là bài toán khó u cầu các em đọc ki đề bài ngồi kiến thức về
phương trình Cla-pê-rơn-Men –đê-lê-ép ,độ biến thiên nội năng, cần phải nắm
được phương trình cân bằng của pít tơng:
Lượng khí ở 2 phần xylanh là như nhau nên:
'

'

'

'

PV P V
P V
P V
m
.R = 1 1 = 2 2 = 1 1 = 2 2
µ
T1
T1
T1
T2
Vì V1 = 2V2 nên P2 = 2P1  Mg = P1S
T2
P2'
=2 '
Theo giả thiết: V = V / 2 , suy ra:

T1
P1
'
1

'
2

V1' P1’

V1, P1

(1)

Phương trình cân bằng của pittơng:

V2, P2

'
'
(P2 − P1 )S = Mg = (P2 − P1 )S  P2' = P1' + P1

V2’, P2’

(2)

Từ phương trình trạng thái phần trên của pittông:
’
1

P1V1 = P V1

’

'
P2'
V1'
V1
→ P1 = P1 .
suy ra: ' = 1+
P1
V1
V1
'

(3)
10


V1' 1
= ;
Do: V1+V2 = V +V2 ; ⇒
V1 2
’
1

’

P2'
1 3

Thay vào (3) ta được: ' = 1+ =
P1
2 2
T2
P2'
= 2 ' = 3. ⇒ T2 = 3T1
Thay vào (1) ta có kết quả:
T1
P1

Nhiệt lượng mà khí ở ngăn dưới nhận được dùng để tăng nội năng và sinh công.
- Độ tăng nội năng của khí: ΔU =

3
nR ( T2 − T1 ) = 3nRT1 = 3P1V1
2

- Cơng mà khí sinh ra dùng để tăng thế năng của pittông và sinh cơng cho khí ở
ngăn trên.
V1 P1V1
7

,
A , = A1 + A2 = Mgh + P1V1ln V ' = 2 + P1V1 ln 2  Q = A + Q =  + ln 2  P1V1 Suy
2

1

ra: Đáp án A
Ví dụ 5: Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử biến đổi theo chu trình như hình vẽ

.Hiệu suất của chu trình là.
A.5,7%
B.6,7%
C.7,7%
D.8,7%
Hướng dẫn: Cơng của khối khí trong một chu trình:
P
A =

1
1
(2 P0 − P0 )(2V0 − V0 ) = P0V0
2
2

+ Q trình 1-2 là đẳng tích: A=0, áp suất tăng.
3
2

Suy ra T tăng và Q12 = ∆U 12 = P0V0 > 0
+ Quá trình 2-3 là đẳng áp:

2

2 p0

3

,

Q23 = ∆U 23 + A23 = 2 P0V0 + 3P0V0 = 5 P0V0
13
P0V0
2
1
P0V0
A
2
H=
=
= 7,7%
Q1 13
P0V0
12

V

Q1 = Q12 + Q23 =

+ Hiệu suất:

1
0

Suy ra: Đáp án C

V
V

V

Ví dụ 6: Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện một chu trình kín mà đường
biểu diễn trên đồ thị (P,V) như hình vẽ. Trong đó 1-2 là phương trình đẳng áp; 2-3 là
phương trình đẳng tích; 3-1 là áp suất phụ thuộc tuyến tính vào thể tích (đoạn thẳng)
và T1 = T3 = 300 K ,V2 =

2
5V1
và P3 = P1 . Nhiệt lượng mà khí nhận được trong từng
5
2

phần của chu trình mà nhiệt độ tăng vµ hiƯu st cđa chu tr×nh 1-2-3
15
4
RT1 ; H = 12%
B. Q12 = RT1 ; H = 21%
4
15
13
4
C. Q12 = RT1 ; H = 12% D . Q12 = RT1 ; H = 21%
4
13

A. Q12 =

Hướng dẫn:
11

- Nhiệt độ của khí tăng trong q trình 1-2 và
một phần của q tình 3-1, ta tính nhiệt lượng
mà khí nhận được trong từng phần.
- Gọi Q12 là nhiệt lượng mà hệ nhận được trong
quá trình đẳng áp 1-2 chuyển từ nhiệt độ T1 → T2 , V
T

V

P

1

5

2
2
ta có: Q12 = C p (T2 − T1 ) mà T = V = 2
1
1

5R
15
⇒ Q12 = RT1
và C p =
2
4
* Hoặc có thể tính ∆U 12 = Q12 + A12

2

4
3

V

0

V

V

5V
3
(T2 − T1 ) + ( 1 − V1 )
2
2
3P V
3P V
3P V 15 P1V1
3 5
9
9
⇒ Q12 = R ( T1 − T1 ) + 1 1 = RT1 + 1 1 = P1V1 + 1 1 =
2 2
2
4
2
4

2
4
Q12 = ∆U 12 − A12 = nC v (T2 − T1 ) − [ − P (V2 − V1 )] =

V

- Xét quá trình 3-1, phương trình của đường thẳng trong hệ tọa độ (P,V) qua hai
điểm 3 và 1, ta có:
P − P1 P − P3
=
⇒ ( P − P1 )(V − V3 ) = ( P − P3 )(V − V1 )
V − V1 V − V3

P1 − P3
P V − P1V3
V+ 3 1
V1 − V3
V1 − V3
5V1
2 P1
2
7
Với: P3 = 5 P1 ;V3 = V1 = 2 ⇒ P = − 5V V + 5 P1
(1)
1
2 P1 2 7 P1
Mà: PV = RT ⇒ T = − 5V R V + 5R V
(2)
1
5V

Khảo sát sự biến đổi của T khi V giảm từ V3 = 1 đến V1 , ta thấy:
2
5V1
+ Khi V= V2 = V3 =
thì
2
5P V 7 P1V1 P1V1
2 P1 25V12 7 P1 5V1
T = T2 = −
.
+
.
=− 1 1 +
=
= T1
5 V1 R 4
5 R 2
R
2 R
R
PV
Suy ra: T2 = T1 = 1 1 = 300 K
R
5V1
7V
+ Khi V giảm từ
đến V4 = 1 thì T tăng từ T3 = T1 đến T4
2
4
49

(2) ⇒ T4 = T1
40
+ Khi V tiếp tục giảm từ V4 đến V1 thì T giảm từ T4 đến T1 , lúc đó
7
(1) ⇒ P4 = P1
10
P=

Vậy nhiệt độ khối khí tăng trên đoạn 3-4 vËt giảm trên đoạn 4-1
- Gọi Q34 là nhiệt lượng mà khí nhận được trong q trình 3-4:
Q34 = ∆U 43 + A34
(3)
12


3
2

Với: + ∆U 34 = C v (T4 − T1 ) = R(T4 − T1 ) =
1
2

+ A34 = ( P3 + P4 )(V4 − V3 ) = −

27
RT1
80

33
RT1

80

27 33
3
− ) RT1 = − RT1 < 0 . Vậy khí tỏa nhiệt trong quá trình 3-4.
80 80
40
A
- Hiệu suất của q trình: H = Q
1
9
Trong đó : A = diện tích tam giác 123 và: A = ( P1 − P3 )(V3 − V1 ) = RT1
2
20
9
Hoặc A , chutrinh = A ,12 + A , 23 + A , 31 = RT1
20

Từ (3) ⇒ Q34 = (

9
1
RT1
( P1 − P3 )(V3 − V1 )
A
20
2
H
=
=

=
= 12%
Suy ra:
15
15
Q12
RT1
RT1
4
4

Suy ra: Đáp án A

Vớ d 7: Cho một mol khí lí tởng đơn nguyên tử biến đổi theo
một chu trình thuận nghịch đợc biểu diễn trên đồ thị nh
hình 3; trong đó đoạn thẳng 1- 2 có đờng kéo dài đi qua gốc
toạ độ và quá trình 2 - 3 là đoạn
p
nhiệt. Biết: T1= 300K; p2 = 3p1; V4 =
4V1. Nhiệt độ T2, T3, T4 và hiƯu st cđa p
2
2
chu tr×nh là.
A. T2 = 2500 0 K ; T3 = 2229 0 K ; T4 = 1200 0 K ; H ≈ 21%
3
p3
0
0
0
B.B T2 = 2600 K ; T3 = 2229 K ; T4 = 1200 K ; H ≈ 21%

4
p1 1
C. T2 = 2400 0 K ; T3 = 2229 0 K ; T4 = 1200 0 K ; H ≈ 21%
V
D. T2 = 2700 0 K ; T3 = 2229 0 K ; T4 = 1200 0 K ; H ≈ 21%
O
V2 V4
V1
Hướng dẫn:
p

p

p

2
2
1
* Quá trình 1 - 2 : V = V ⇒ V2 = V1 p = 3V1 ;
2
1
1

T2 = T1

p2V2
= 9T1 = 2700 0 K
p1 V 1

* Quá trình 2-3:

V
P3 = P2  2
 V3

γ


3
 = P2  
4


V 
T3 = T2  2 
 V3 

γ −1

5/3

≈ 0,619 P2 = 1,875P1 (ThayV3 = V4 )

2/3

 3
= T2   = 0,825T2 = 7,43T1 = 2229 0 K
 4
V4
0
* Quá trình 4 - 1: T4 = T1 V = 4T1 = 1200 K

1
∆
U
=
C
* Quá trình 1- 2:
12
v (T2 − T1 ) = 8C v T1 = 12 RT1
A12 = ( P2 + P1 )(V2 − V1 ) / 2 = 4 P1V1 = 4 RT1

13


Q12 = ∆U 12 + A12 = 16RT1
* Quá trình 2-3: A23 = −∆U 23 = −C v (T3 − T2 ) = 2,355RT1
* Quá trình 3- 4: ∆U 34 = C v (T4 − T3 ) = −5,145RT1 ; A34 = 0
Q34 = ∆U 34 + A34 = −5,145RT1
* Quá trình 4- 1: ∆U 4−1 = C v (T1 − T4 ) = −4.5RT1
A4−1 = P1 (V1 − V4 ) = −3P1V1 = −3RT1

; Q23 =0

Q4 −1 = ∆U 4−1 + A4−1 = −7,5 RT1
A = A1−2 + A2−3 + A3− 4 + A4−1 = 4 RT1 + 2,355 RT1 − 3RT1 = 3,355 RT1
* Nhiệt lượng khí nhận là: Q = Q1−2 = 16RT1
A
* Hiệu suất: H = Q = 20,97% ≈ 21% Suy ra: Đáp án D
1− 2

2.3.4.2.Dạng 2:Dạng bài tốn tính cơng sinh ra trong cả chu trình và chuyển

V(l)
đổi đồ thị từ hệ VOT sang hệ POV
Ví dụ 8: Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình
V3
3
1-2-3-1 (như hình vẽ 5.1.) Biết T1 = 300K;
V1
2
1
T3 = 675K; V3 = 5lít; R = 8,31J/mol.K;
các điểm 1 và 3 cùng nằm trên một Parabol có
đỉnh là tọa độ. Vậy cơng sinh ra trong cả chu trình là:
T(K)
T2
T3
O T1
A. A ≈ 312( J )
B. A ≈ 213( J )
Hình cho
câu 5..1
vẽ
≈ 231
( J 5.1
)
C. A ≈ 321( J )
D. Ahỡnh
2
Hng dn: ở trạng thái 3:
P
RT3

= 11,22.10 5 N / m 2
V3
Vì T1= V12 và T3= V32 nªn:
V1
T
300 2
= 1 =
=
V3
T3
675 3
P3 =

Suy ra V1 =

10
l ;
3

P1 =

P23
P1

RT1
= 7,48 .105 N/m2
V1

O

2

3

1
V1

V3

V

- Phơng trình của đoạn 1-3 trong hƯ täa ®é (P,V) nh sau: Tõ
P.V=RT=R α V2 Suy ra P=R V nên đoạn 1-3 trong hệ (P,V) là
đoạn thẳng i qua gúc ta .
1
2

Cỏch 1: ACT = A12 + A23 + A31 = 0 + P3 (V3 − V1 ) + ( P1 + P3 )(V1 − V3 ) ≈ 312.( J )
1
2

Cách 2: C«ng sinh ra : A = ( P3 − P1 )(V3 − V1 ) ≈ 312( J ) . Suy ra: Đáp án A
Ví dụ 9: Một khối lượng khí thực hiện chu trình biến đổi như đồ thị ở hình dưới.
Cho biết t1 ,V1 , t 3 ,V3 . Ở điều kiện chuẩn khí có thể tích V0 . Cơng do khí thực hiện
sau một chu trình biến đổi là:
14


PV

T

T

PV

T

T

,
0 0
3
1
A. A = T (V − V )(V3 − V1 )
0
3
1
,
0 0
3
1
C. A = T (V − V )(V3 − V1 )
0
1
3
Hướng dẫn:

PV

T

T

PV

T

T

,
0 0
3
1
B. A = T (V − V )(V1 − V3 )
0
3
1
,
0 0
3
1
D. A = T (V − V )(V3 − V1 )
0
3
1
v

P
= const

T
V
P = const ⇒ = const
T

V = const ⇒

4

3

V3

Vậy cơng của khí sau một chu trình là:
Cách 1: A , = S1234 = ( P2 − P1 )(V4 − V1 ) (1)

1

V1

2

P0V0
PV
PV T
PV
= 2 2 = 3 3 ⇒ P1 = 0 0 1 (2)
T0
T2
T3

T0V1
0
P
P0V0T3
P
=
P
=
P
=
1
(
atm
)
Và 2 3 V T (3), Ở điều kiện chuẩn 0
3 0
Thay P1 và P2 vào 1 ta có:
P2
PV T T
A , = S1234 = ( P2 − P1 )(V4 − V1 ) = 0 0 ( 3 − 1 )(V3 − V1 )
T0 V3 V1

Có:

T

2

P1

Cách 2:
,
A, CT = A,12 + A, 23 + A, 34 + A41
= 0 + P2 (V4 − V1 ) + P1 (V1 − V4 )

= V4 ( P2 − P1 ) − V1 ( P2 − P1 ) = ( P2 − P1 )(V3 − V1 ) =

3

1

4

P

V

PV
T
0 0 T3
( − 1 )(V3 − V1 )
T0 V3 V1

Suy ra: Đáp án D
2.3.5. Bài tập vận dụng
Câu 1. Nhờ nhận nhiệt mà 6,5g khí hiđrơ ở 27 0 C đã giản nở đẳng áp gấp đơi thể
3
tích ban đầu. Biết nhiệt dung riêng đẳng áp của khí hiđrơ là c p = 14,3.10 J / kg.K .
Cơng do khối khí thực hiện và độ biến thiên nội năng của khối khí là.
A. A , = 7102 J ; ∆U = 19783J

B. A, = 8102 J ; ∆U = 18783J
P
C. A, = 8102 J ; ∆U = 19783J
D. A , = 7102 J ; ∆U = 19783J
Câu 2. Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử
biến đổi theo chu trình như hình vẽ bên.
Hiệu suất của chu trình là.
A.5,7%
C. 7,2%

B.6,7%
D. 7,7%

2

4p0

3

2pV0
0

1
V

V theoV một chu trình
Câu 3. Cho một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử biến đổi
thuận nghịch được biểu diễn trên đồ thị như hình 3; trong đó đoạn thẳng 1- 2 có

15

đường kéo dài đi qua gốc toạ độ và quá trình 2 - 3 là đoạn nhiệt. Biết: T1= 300K; p2
= 3p1; V4 = 4V1. Cơng của khí thực hiện sau một chu trình là:
A. 4,435 RT1
B. 3,543 RT1
C. 4,3455 RT1 D. 3,355 RT1
2.4. Hiệu quả
2.4.1. Hiệu quả đối với hot ng giỏo dc ca nh trng:
- Trong quá trình d¹y häc sinh tơi đã thử nghiệm phương pháp và sáng
kiến này ở một lớp 10 của trường THPT Thọ Xn 5. Trong đó tơi áp dụng sáng
kiến này theo cách đã trình bày ở trên. Kết quả cho thấy: Đa số học sinh hứng thú
với nội dung bài dạy, quan trọng hơn là hình thành được cho học sinh một số kỹ
năng về nhận thức, xử lí thơng tin, ra quyết định, tìm kiếm sự hỗ trợ. Từ đó, điều
chỉnh hành vi để trở nên một học sinh khiêm tốn và biết xử lí cơ bản các tình
huống một cách linh hoạt. Nhưng tôi thấy quan trọng hơn cả là đa số các em bắt
đầu hình thành lối tư duy và nhìn nhận vấn đề một cách đa chiều, toàn diện. Điều
này được thể hiện rõ nhất trong các bài viết về nguyên lí I nhiệt động lực học vào
các đẳng q trình và phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê-ép.
+ Ở nhóm 1, không áp dụng sáng kiến này, tôi thấy, các em học sinh vẫn rất
hứng thứ với nội dung bài học, nhưng cách tư duy của học sinh về các vấn đề của
cuộc sống, của các bài học và môn học khác khơng tồn diện. Nhất là, trong thực
hành, các em đã khơng có được cách nhìn tồn diện, đánh giá đa chiều về vấn đề
được nêu ra.
+ Kết quả kiểm tra lần 2 theo lối tư duy, xử lí các tình huống trong thực tiễn
của 40 học sinh ở lớp 10A3 lý bằng hai phương pháp và thăm dò ý kiến học sinh
về bài học ở lớp như sau:
Tổng
số HS của lớp
(40)

Tỉ lệ
khá,
giỏi

Tỉ lệ
TB

Thăm dò về bài học
Tỉ lệ
yếu, Thích, Hiểu
Bình
Khơng
kém dễ nhớ bài thường hứng thú

20 HS (Nhóm 1
khơng áp dụng SK)

6/20

12/20

2/20

3/20

4/20

10/20

3/20

20 HS (Nhóm 2
14/20
áp dụng SK)

6/20

0

8/20

12/20

0

0

- Đánh giá: Kết quả trên mặc dù chưa cao nhưng điều đó cho thấy các em đã có
sự hứng thú với phương pháp mới và hiệu quả của phương pháp, bản thân giáo
viên cũng đã đạt được mục tiêu vừa giảng dạy bài tốn ngun lí I nhiệt động lực
học vào các đẳng q trình và phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê-ép, vừa lồng
ghép giáo dục kỹ năng sống, vừa liên hệ mở rộng và định hướng lối tư duy cho
16


học sinh. Hơn hết, hình thành ở học sinh bước đầu những kỹ năng cơ bản để xử lí
các tình huống trong thực tiễn cuộc sống.
2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp nhà trường:
- Bản thân tơi nhận thấy mình đã đúc rút được một sáng kiến hữu ích trong việc

phân dạng, lựa chọn phương pháp và cách thiết lập công thức Adang − nhiet , Adang − tich , Adăăg − ap , Ađoan− nhiêt
cho học sinh, bước đầu hình thành những kỹ năng cơ bản cho học sinh trường
THPT Thọ Xuân 5, cũng như cách nhìn nhận, đánh giá của các em về các vấn đề
trong thực tiễn.
- Với đồng nghiệp trong nhà trường, sáng kiến của tôi đã được trình bày,
thực nghiệm trước tổ và một số giáo viên cốt cán khác của nhà trường. Kết quả,
được các đồng chí đánh giá cao về sự sáng tạo trong phương pháp và cách thiết
lập công thức: Adang − nhiet , Adang −tich , Adăăg − ap , Ađoan−nhiêt và mục đích giáo dục cũng như
hiệu quả sau tiết dạy.
- Với nhà trường: Tơi vẫn đang tích cực áp dụng sáng kiến cho các lớp dạy
và sẽ tiếp tục rút kinh nghiệm cho những năm tiếp theo để hoàn thiện sáng kiến
và áp dụng phổ biến hơn trong nhà trường. Tuy nhiên, hiệu quả ban đầu có thể
thấy được, sáng kiến của tơi đã giúp đồng nghiệp có thêm một phương pháp, một
cách tiếp cận khác đối với việc tìm hiểu bài tốn ngun lí I nhiệt động lực học
vào các đẳng q trình và phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lê-ép.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Với kết quả đạt được như trên trong q trình dạy học phần ngun lí I
nhiệt động lực học vào các đẳng quá trình và phương trình Cla-pê-rơn-Men-đê-lêép, tơi thấy rằng việc hướng dẫn và giúp học sinh hiểu và vận dụng đúng về giá
trị tính cơng trong q trình đẳng tích, đẳng nhiệt, đẳng áp, đoạn nhiệt và các giá trị
C v , C p là cần thiết góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học đồng thời giúp
học sinh đạt được kết quả cao nhất trong các kì thi nhất là kì thi THPTQG. Thực
tế trong q trình dạy học tơi đã thấy được hiệu quả của việc đó và kết quả đã
được nhà trường nghi nhận.
3.2. Kiến nghị
Sở GD và ĐT cần quan tâm hơn nữa trong việc xây dựng các chuyên đề, các đề
tài khoa học và sáng kiến kinh nghiệm chuyên sâu môn học, đầu tư cơ sở vật chất nhiều
hơn cho các trường về thiết bị dạy học để thuận tiện cho việc nghiên cứu khoa học của
giáo viên, giúp người giáo viên nâng cao kiến thức và nâng cao chất lượng giờ dạy.

17


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người cam kết

Mai Việt Anh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải bài về nguyên lí I của lớp học vui -Trên YouTube.
[2]. Bài tập chọn lọc vật lí 10 của Đồn Ngọc Căn - Đặng Thanh Hải - Vũ Đình
Tuy-Trịnh Thị Hải Yến - Nhà xuất bản Giáo Dục.
[3]. Phân loại và phương pháp giải nhanh bài tập Vật lí 10 - Nhà xuất bản Quốc
gia Hà Nội.
[4]. Ôn tập nhiệt học olympic 30-4 của thầy - Tiến Trung - Trên YouTube.
[5]. Sách giáo khoa Vật lí 10 cơ bản và nâng cao.
[6]. Đề thi học sinh giỏi các năm:
- Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc năm: 2012-2013
- Đề thi học sinh giỏi Chuyên Vĩnh Phúc năm: 2011- 2012
- Đề thi học sinh giỏi Quãng Bình năm: 2012-2013
[7]. Phương pháp giả bài tập vật lí theo chủ đề của Phạm Đức Cường - Lê Thế
Nhiên-Thân Thanh Sang - Nguyễn Vũ Hải Đăng. Nhà xuất bản Quốc gia Hà Nội.
[8]. Đề thi của tạp chí Vật lí tuổi trẻ.
[9]. Tài liệu từ Internet.

18


19