Chuyên đề giếng thế ôn thi HSG Hóa

CHUYÊN ĐỀ GIẾNG THẾ
A. Lí do chọn đề tài
Giếng thế tuy không phải là nội dung chủ đạo, nhưng cũng chiếm một vị trí khá quan
trọng trong quá trình giảng dạy môn hoá học, đặc biệt đối với việc bồi dưỡng HSG Quốc gia,
Quốc tế. Nội dung giếng thế đã được đưa vào đề thi HSG quốc tế từ rất lâu song mới được
đưa vào đề thi HSG Quốc Gia từ năm 2017 trở lại đây. Điều đó thấy rằng cơ học lượng tử đã
và đang là một nội dung cần thiết.
Ra đời vào những năm đầu của thế kỉ XX, Cơ học lượng tử phát triển ngày càng mạnh
và ngày nay đã trở thành một trong những lĩnh vực quan trọng trong khoa học tự nhiên hiện
đại. Sự vận dụng Cơ học lượng tử vào hoá học khai sinh ra một lĩnh vực mới là Hoá học
lượng tử.
Nội dung chính của cơ học lượng tử mới chỉ được đưa vào chương trình đại học,
cao đẳng và sau đại học. Lí thuyết cơ học lượng tử cũng được sử dụng để nghiên cứu nhiều
vấn đề khác của hóa học như: Phân tích định tính, phân tích định lượng, nghiên cứu tỷ lượng
phản ứng, nghiên cứu động học. Điều này đòi hỏi giảng dạy hóa học phải cập nhật nhằm đảm
bảo nguyên tắc giáo dục phải tiếp cận tốt nhất có thể với khoa học hiện đại. Từ thực tế trên,
với mục đích tiếp cận tôi chọn đề tài: “ Vận dụng lí thuyết cơ học lượng tử trong xây dựng
bài tập giếng thế”.
B/ Nội dung
I. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi)
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng tính sóng hạt
cho electrôn và các vi hạt khác.
Giả thuyết de Broglie:
Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc.
Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng thông qua hệ thức:
E  h hay E   . Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng tương ứng theo hệ
h
hay p  k trong đó k là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều truyền

2
sóng, có độ lớn k 

Sóng de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt.


thức: p 

II. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô
1. Nhiễu xạ của electrôn qua khe hẹp:


Cho chùm electrôn đi qua một khe hẹp. Trên màn huỳnh
quang ta thu được hình ảnh nhiễu xạ giống như hiện
tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe hẹp. Nếu ta
cho từng electrôn riêng biệt đi qua khe trong một thời
gian dài để số electrôn đi qua khe đủ lớn, ta vẫn thu được
hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh quang. Điều này
chứng tỏ mỗi hạt electrôn riêng lẻ đều có tính chất sóng.
2. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể
Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát được hiện tượng nhiễu xạ của electrôn
trên mặt tinh thể Ni (hình 8-3). Khi cho một chùm electrôn bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm esẽ tán xạ trên mặt tinh thể Ni dưới các góc khác nhau. Trên màn hình ta thu được các vân
nhiễu xạ. Hiện tượng xảy ra giống hệt hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni.
Tinh thể Ni như một cách tử nhiễu xạ. Hiện tượng electrôn
nhiễu xạ trên cách tử chứng tỏ bản chất sóng của chúng.
Thay Ni bằng các tinh thể khác, tất cả các thí nghiệm đều
xác nhận chùm electrôn gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh
thể. Các vi hạt khác như nơtrôn, prôtôn cũng gây hiện tượng
nhiễu xạ trên tinh thể.
Các kết quả thí nghiệm trên đều xác nhận tính chất
sóng của vi hạt và do đó chứng minh sự đúng đắn của giả thuyết de Broglie.
Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh về nội dung giới hạn của giả thiết de Broglie. Bước sóng de
h

h
Broglie tỉ lệ nghịch với khối lượng của hạt:   
p mv
do đó đối với những hạt thông thường mà khối lượng rất lớn, thậm chí là vô cùng lớn so với
khối lượng của electrôn chẳng hạn thì bước sóng de Broglie tương ứng có giá trị vô cùng bé
và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng nữa.
Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi mô mà thôi và sóng
de Broglie có bản chất đặc thù lượng tử, nó không tương tự với sóng thực trong vật lí cổ điển
như sóng nước hay sóng điện từ...
III. HÀM SÓNG
1. Biểu thức của hàm sóng
Do lưỡng tính sóng hạt của vi hạt ta không thể xác định đồng thời được tọa độ và động
lượng của vi hạt. Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một khái niệm mới đó là hàm
sóng.
Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do (tức là hạt không chịu một tác dụng
nào của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng ánh sáng phẳng đơn sắc

(1)


2
*
Trong đó E   , p  k và 0 là biên độ được xác định bởi:  0    
2

(2)

* là liên hợp phức của  .

Nếu hạt vi mô chuyển động trong trường thế, thì hàm sóng của nó là một hàm phức tạp

của toạ độ r và thời gian t:

(r, t)  (x, y, z, t)

2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
Xét chùm hạt phôtôn truyền trong không gian.
Xung quanh điểm M lấy thể tích ΔV bất kì (hình 8-5)
* Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng tại M tỉ lệ
với bình phương biên độ dao động sáng tại M: I 0
* Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ
với năng lượng các hạt trong đơn vị thể tích bao quanh
M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích đó. Từ đây ta thấy rằng số hạt trong đơn vị
thể tích tỉ lệ với  02 . Số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả năng tìm thấy hạt trong
đó càng lớn. Vì vậy có thể nói bình phương biên độ sóng |  |2 tại M đặc trưng cho khả năng
tìm thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó |  |2 là mật độ xác suất tìm hạt và xác
2

suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là

 |  | dV  1
2

(3) . Đây chính là điều kiện chuẩn

V

hoá của hàm sóng.
Tóm lại:
- Để mô tả trạng thái của vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ.
- |  |2 biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó.

- ψ không mô tả một sóng thực trong không gian. Hàm sóng mang tính chất thống kê, nó
liên quan đến xác suất tìm hạt.
3. Điều kiện của hàm sóng
- Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này được suy ra từ điều kiện chuẩn hoá, hàm sóng phải
hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn.
- Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một giá trị xác
suất tìm hạt.
- Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất |  |2 không thể thay đổi nhảy vọt.
- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.
IV. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng và động lượng xác
định:

( 4)


i 
trong đó  (r)   0 exp  pr 



(5)

là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn (r) trong hệ tọa độ Đề các

i

như sau:  (r)   0 exp  (p x x  p y y  p z z) 



Lấy đạo hàm  / x , ta được:

(6)

  i 
  p x   (r)
x 


Lấy đạo hàm bậc hai của ψ theo x:

(7)
Ta cũng thu được kết quả tương tự cho các biến y và z.
Theo định nghĩa của toán tử Laplace Δ trong hệ toạ độ Đề các :

(8)
ta được:

(9)
Gọi Eđ là động năng của hạt, ta viết được:

2

Thay p vào (9) và chuyển sang vế trái ta thu được:

(10)
Phương trình (10) được gọi là phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do. Mở
rộng phương trình cho vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển động trong một trường lực
có thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng lượng của vi hạt E = Eđ + U. Thay Eđ = E - U
vào (10) ta được:

(11)
Biết dạng cụ thể của U( r ), giải phương trình Schrodinger ta tìm được (r) và E, nghĩa là xác
định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ xét hệ là kín hay đặt trong
trường ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng lượng của hệ khi đó không đổi và trạng
thái của hệ được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (11) được gọi là phương trình
Schrodinger cho trạng thái dừng.
Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương trình (11) mô tả
chuyển động của vi hạt phi tương đối tính, có khối lượng nghỉ khác không. Phương trình
Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai trò tương tự như phương trình của định
luật II Newton trong cơ học cổ điển. Một điểm cần chú ý là, phương trình Schrodinger không
được chứng minh hay rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm sóng phẳng đơn sắc
của ánh sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó được coi như một tiên đề. Việc mở
rộng phương trình Schrodiger cho hạt tự do sang trường hợp hạt chuyển động trong trường
thế cũng được coi là một sự tiên đề hóa. Dưới đây là những ứng dụng phương trình
Schrodinger trong những bài toán cụ thể như hạt trong giếng thế, hiệu ứng đường ngầm...
V. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
1. Hạt trong giếng thế năng
a. Hộp thế một chiều
Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động
trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electrôn
trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong giếng thế
năng.
Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển
động theo một phương x bên trong giếng thế (hình 8-6). Thế năng U được xác định theo điều
kiện:

Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng.
Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng:

(12)
2
Đặt k 

2mE
2

d 2
 k 2  0
, ta có:
2
dx

(13)

Nghiệm của phương trình (13) có dạng: (x)  A sin kx + B cos kx

(14)


A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở
trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng
trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra:
(0)  0, (a)  0 . Thay điều kiện này vào (14) ta có:
(0)  A sin (0) + B = 0  B  0 và (a)  A sin (ka) = 0
B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường). Do
sin ka  0  sin n với n = 1,2,…
đó ta có:
Từ đó rút ra: k 

n
a

(15)

n
x
(16)
a
thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3) của
hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn:
Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:  n (x)  A sin

a

 | (x) | dx  1
2

0

Tính giá trị tích phân:

2
a

Ta tìm được: A 

2
n

sin x
( 17)
a
a
Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (15) vào
Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn:  n (x) 

k 
2

2mE
2

2 2

 2 
   n 2 và nhận được E n   2 n 2   h 2  n 2
2ma
a
 8ma 

2

( 18)

Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:
a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng n (x)
b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên
gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.
Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu E1 

2

2 2
sin x , mô
 0 ứng với hàm sóng 1 
2
a
a
2ma

tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác không tại mọi điểm trong
giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 8-7).
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng:


2 2
(2n  1)
(19)
2ma 2
ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng
E n  E n 1  E n 

-31

-10

tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10 kg, a ~ 5.10 m thì ΔE
~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu
-26

xét một hạt có m ~10 kg chuyển động trong miền a~10cm thì khoảng cách giữa các mức
-20
năng lượng ΔE~ 10 eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến
thiên liên tục.
2 2 n
2
x (20)
c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: |  n (x) |  sin
a
a

Mật độ xác suất cực đại khi: sin(

n
x)  1 .
a

a
a
m = 0,1,…
2n
Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất.
Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất...
n
Mật độ xác suất cực tiểu khi: sin( x)  0 .
a
Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại: x  (2m  1)

Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại x 

ma
a
n

Kết quả được biểu diễn trên hình 8-7.
b. Hộp thế ba chiều
Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển động trên
một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Để hiểu một cách
khái quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô hình hộp thế ba chiều. Ở đây, ta
giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c.
Thế năng của vi hạt trong hộp thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta chọn làm
điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0.


b

y

Hình. Hộp thế ba chiều
Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều:
+

+

+

=0

(1)

Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez.
Để giải phương trình (2.63), ta đặt:
= X.Y.Z

(2)

Đặt (2) vào (1), ta có thể tách phương trình thu được ba phương trình có dạng hoàn
toàn giống nhau:
+

X=0

+

Y=0

+

Z=0

Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà ta
đã biết:

Ở đây,

X(x) =

sin

x

Y(y) =

sin

y

Z(z) =

sin

z

(5)

nx = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;
ny = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;
nz = 1 ; 2 ; 3 ; ...
mô tả trạng thái của vi hạt

trong hộp thế ba chiều. Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi hạt:
E = Ex + E y + E z


= +
=

+
(

+

+

)

(6)

Ở đây, trong bài toán về hộp thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử như
vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động

2. Hiệu ứng đường ngầm
Ta xét hạt mang năng lượng E, chuyển động theo
phương x từ trái sang phải đập vào hàng rào thế năng như
hình 8-8. Theo quan điểm của cơ học cổ điển, nếu E < U0
hạt không thể vượt qua hàng rào. Theo quan điểm của cơ
học lượng tử ta sẽ thấy hạt vẫn có khả năng xuyên qua
hàng rào thế năng. Hiện tượng xuyên qua hàng rào thế
năng như vậy được gọi là hiệu ứng đường ngầm.
Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp hàng rào thế năng
dạng đơn giản như hình 8-8:

(21)
Phương trình Schrodiger đối với các miền như sau:

(22)

Trong miền I có cả sóng tới và sóng phản xạ. Nghiệm ψ1 trong miền này có dạng:
(23)

Số hạng thứ nhất của vế phải biểu diễn sóng tới truyền từ trái sang phải. Số hạng thứ hai của
vế phải biểu diễn sóng phản xạ trên mặt hàng rào thế năng, truyền ngược trở lại từ phải sang
trái.
Nghiệm tổng quát trong miền II là:
(24)
Nghiệm tổng quát trong miền III có dạng:
(25)
Số hạng thứ nhất của phương trình (25) biểu diễn sóng xuyên qua hàng rào và truyền từ trái
sang phải. Số hạng thứ hai biểu diễn sóng phản xạ từ vô cực về, nhưng sóng này không có,
nên ta có thể cho B3 = 0.


Hệ số truyền qua hàng rào D được định nghĩa là tỷ số giữa số hạt xuyên qua được hàng rào
và số hạt đi tới hàng rào. Và số hạt lại tỷ lệ với bình phương của biên độ sóng. Biên độ sóng
tới hàng rào là A1 và biên độ sóng xuyên qua hàng rào là A3, do đó ta có:
D

| A 3 |2
| A1 |2

(26).

Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỷ số giữa số hạt phản xạ và số hạt đi tới hàng rào, do
đó ta có:

| B1 |2
R
| A1 |2

( 27)

trong đó B1 là biên độ sóng phản xạ trên mặt hàng rào. Do điều kiện bảo toàn số hạt, ta phải
có: | A3 |2  | B1 |2 | A1 |2 , do đó: D + R = 1
(28)
Để tính được hệ số D và R ta phải tính được các biên độ sóng. Muốn vậy ta dựa vào điều kiện
liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các vị trí biên (x = 0 và x = a). Từ các điều kiện
biên:
1 (0)   2 (0)
 '1 (0)   '2 (0)

(29)

 2 (a)   3 (a)

 2 (a)   '2 (a)
ta rút ra các hệ thức sau:
A1  B1  A 2  B2
ik1 (A 1 B1 )  k 2 (A 2  B2 )

(31)

A 2 e  k 2 a  B2 e k 2 a  A 3

(32)

k 2 (A 2 e  k 2a  B2e k 2a )  ik1A 3

(33)

Từ (32) và (33) ta có thể biểu thị A2, B2 qua A3:

Trong đó: n 

(30)

A2 

1  in
A 3e  k 2 a
2

(34)

B2 

1  in
A 3e  k 2 a
2

(35)

k1
E

k2
U0  E

Vì |1-in| = |1+in| nên ta suy ra A2>>B2. Do đó, có thể đặt B2=0. Từ (30) và (31) ta rút ra được
A1 theo A2, sau đó sử dụng (34) ta tính được:
(36)

Từ đây ta thu được hệ số truyền qua:

(37)


Nếu

16n 2
(1  n 2 ) 2

vào cỡ 1 (U0 vào cỡ 10E) thì có thể viết: D  e

 2a

D  exp 
2m(U 0  E) 



2k 2 a

hay

(38)

Từ (38) ta nhận thấy rằng, ngay khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng của rào (Ethì D vẫn luôn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Nếu D lớn, hạt xuyên qua
rào nhiều và ngược lại, nhưng luôn khác 0.
-31
-31

Ví dụ hạt electrôn m = 9,1.10 kg. Nếu U0- E ~ 1,3.10 J, ta có được sự phụ thuộc của D vào
bề rộng của hàng rào thế năng theo bảng sau:

Hệ số D có giá trị đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong
kích thước vi mô. Hiệu ứng đường ngầm là một hiện tượng thể hiện rõ tính chất sóng của vi
hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô.
Hiệu ứng đường ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng gặp trong tự nhiên. Ví
dụ hiện tượng phát electrôn lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α...
Hiện tượng phát electrôn lạnh: electrôn muốn thoát ra khỏi kim loại cần có đủ năng lượng
thắng công cản, vượt qua hàng rào thế năng Uo, như vậy ta cần phải nung nóng kim loại. Tuy
nhiên, vì có hiệu ứng đường ngầm, nên ngay ở nhiệt độ thường, dù E < Uo, vẫn có khả năng
electrôn thoát ra ngoài kim loại. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng phát electrôn lạnh.
Hiện tượng phân rã α cũng được giải thích tương tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các
hạt prôtôn (p) và nơtrôn (n). Trong hạt nhân các hạt p và n tương tác với nhau bằng lực hạt
nhân, cho nên có thể xem như chúng nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt p và hai
hạt n, mặc dù năng lượng của hạt α nhỏ hơn độ cao rào thế nhưng do hiệu ứng đường ngầm,
hạt p và n của hạt α vẫn có thể bay ra khỏi hạt nhân, hiện tượng này gọi là hiện tượng phân
rã α.
VI. BÀI TẬP
1. Bài toán giếng thế một chiều
Xét 1 vi hạt chuyển động trong cùng
không gian 1 chiều có rộng a, thế năng
bằng 0  hạt chuyển động tự do.
Hạt không thoát ra  thể năng bên ngoài
là 
Năng lượng của vi hạt: En 

n2 .h2
8ma 2

J 

n: số lượng tử chính
m: khối lượng vi hạt (kg)

V=


a: chiều rộng (m)
Bài 1: 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng
1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn
mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm.
Hướng dẫn:
Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng
 h

c



 6, 626.1034.

3.108
 1, 447.1020
5
1,374.10

J 

Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n

 n '  1 6, 626.10 
    

34 2

2

8.9,1.1031.L2

 n '  1 6, 626.10 

8.9,1.10 . 10.10 

34 2

2

 1, 447.10

20

19 2

31

 n'  5

Bài 2: Xác định sự biến thiên  giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J; kJ/mol; eV;
cm-1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm.

Hướng dẫn
Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1

 6, 626.10   2  1 

8.9,1.10 . 1.10 
34 2

   2  1

   1,809.1019

2

2

19 2

31

J 

 Năng lượng cho 1 mol electron = 1,809.10-19.6,02.1023.10-3 = 108,915(kJ)

1,809.1019
-1  

 9100,51(cm1 )
Năng lượng tính theo cm :
2

34
8
2
h.c.10
6, 626.10 .3.10 .10
0

Bài 3: Xét phân tử decapentaen C10 H12 . Cho biết dC C  1, 4 A . Hệ ở trạng thái cơ bản. Tính
tổng năng lượng theo kJ/mol, theo eV; theo cm-1 của toàn bộ e- trong hệ. Cho biết bước
sóng của ánh sáng cần để kích thích 1 electron từ HOMO lên LUMO, cho biết phân tử có
màu hay không?
Hướng dẫn
decapentaen : CH2  CH  CH  CH  CH  CH  CH  CH  CH  CH2
Hệ nối đôi liên hợp trong bài có thể được coi như một hệ giếng thế có
các vi hạt chuyển động tự do
LUMO (n=6)
0

 Chiều dài giếng thế a = 10 dC C  14   1, 4.109 m
Năng lượng của mức thứ nhất (n = 1)

HOMO (n=5)


6, 626.1034 

12.h 2
1 

 3, 077.1020

2
2

31

19
8me .a
8.9,1.10 . 1, 04.10 
2

Năng lượng của mức thứ hai (n = 2):  2 

2

J 
Giản đồ năng lượng orbital

2

2 .h
 41
8me .a 2

32.h 2
 91
Năng lượng của mức thứ ba (n = 3): 3 
8me .a 2
42.h 2
 161
Năng lượng của mức thứ tư (n = 4):  4 

8me .a 2
52.h 2
 251
Năng lượng của mức thứ năm (n = 5): 5 
8me .a 2

 (E) Tổng năng lượng của electron trong hệ :
EToång  2  E1  E2  E3  E4  E5   110E1  3,384.1018  J 
18
23
Tính theo kJ/mol : EToång  3,348.10 .6, 02.10  2038,589 (kJ / mol )

Tính theo cm1 : EToång 

3,348.1018
 170238cm1
34
8
2
6, 02.10 .3.10 .10

Bước sóng để kích thích electron từ mức HOMO (n=5) lên mức LUMO (n=6) có năng
lượng:    HOMO  LUMO

6


2

 52  .h2

8me .L2

6


2

 52  .  6, 626.1034 

8.9,1.10 . 1, 04.10
31

2

 3,385.1019



19 2

J 

Bài 4: 1 electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080nm để kích
thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế.
Hướng dẫn
Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3
32  22  .h 2

c

  h   

8me .a 2
2
2
34
6, 626.1034.3.108  3  2  .  6, 626.10 


8080.1019
8.9,1.1031.a 2

2

 a  3,5.109  m 
2. Ứng dụng của giếng thế 1 chiều:
+ Mô hình giếng thế được xây dựng để giải gần đúng bài toán năng lượng của hệ liên hợp
cacbon mạch thẳng.
+ Giản đồ năng lượng MO:

LUMO
HOMO

LUMO: MO không bị chiếm có NL thấp nhất
HOMO: MO bị chiếm có NL cao nhất


+ Quy tắc:
- Có bao nhiêu AO thì có bấy nhiêu MO tương ứng tạo ra.
Ví dụ: etylen 2AO2MO

- Quy tắc màu bù:
. Nếu hấp thụ 1 màu, màu của vật sẽ là màu đối đỉnh
của nó.
. Nếu hấp thụ 1 dải màu , màu của vật là màu trung
bình của các màu còn lại
Bài 5: Cho 2 hệ etylen và trans-1,3,5-hexatrien. Chiều dài 2
phân tử lần lượt là 289pm và 867pm
a. Sử dụng mô hình hạt trong hộp thế 1 chiều để xác định :
- Hai mức năng lượng đầu tiên của các e- tương ứng.
- Bốn mức năng lượng đầu tiên của e- trong 1,3,5-hexatrien.
b. Với mỗi cấu tử trên, hãy xây dựng giản đồ năng lượng và điền các electron -  tương ứng
c. Tính bước sóng ánh sáng để kích thích 1e- từ HOMO lên LUMO đối với mỗi cấu tử.
Hướng dẫn
n2 .h2
a. Sử dụng CT: En 
8ma 2

J 

b. Giản đồ năng lượng MO

E

E
LUMO (n=4)
HOMO (n=3)

LUMO (n=3)
HOMO (n=2)
etylen

Trans – hexa-1,3,5-trien

c. Năng lượng ánh sáng để kích thích 1e từ HOMO lên LUMO với:
* etylen:  

h 2  32  22 
8me .a

2

 6, 626.10   3  2     3,395.10

8.9,1.10 .  298.10 

 Bước sóng ánh sáng:  

34 2

2

2

12 2

31

18

J 

hc 6, 626.1034.3.108

 5,85.108 m
18

3,395.10

* trans-hexa-1,3,5-trien:  

h 2  42  32 
8me .a

2

 6, 626.10   4  3     5, 616.10

8.9,1.10 .  867.10 
34 2

31

2

2

12 2

19

J 


hc 6, 626.1034.3.108
 Bước sóng ánh sáng:  

 3,539.107 m
19

5, 616.10

Bài 6. Xét phân tử  - caroten:

a = 1850pm.Tìm màu của  - caroten.
Hướng dẫn
Electron chuyển động trong hệ nối đôi liên hợp của  - caroten có thể coi là vi hạt chuyển
động trong hộp thế 1 chiều.
Tổng số MO -  trong phân tử: 22 MO
 Giản đồ năng lượng :
Phân tử  - caroten sẽ hấp thụ ánh sáng có bước sóng phù hợp để kích
thích electron nhảy từ mức HOMO ( n =11) đến mức LUMO (n=12)
LUMO (n=12)
HOMO (n=11)

Năng lượng của photon ánh sáng :
   HOMO  LUMO

6


2

 52  .h 2
2

8me .L

12


2

 112  .  6, 626.1034 

8.9,1.1031. 1850.10



12 2

2

 4, 053.1019

3.108
 4,905.10
Bước sóng ánh sáng:   h  6, 626.10 .
19

4, 053.10

c

34

J 

E

 m

  - caroten sẽ hấp thụ ánh sáng màu lam  có màu vàng.
Bài 7:
a. Xét 1(mg) natri, giả sử các nguyên tử này tạo thành a mạch 1 chiều. Hãy tính hiệu năng
lượng giữa mức HOMO và LUMO mức n = 1. Biết rằng L = a0 (n-1) với a0 = 0,36nm, n = số
nguyên tử natri.
b. Giả sử nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25 meV. Có bao nhiêu nguyên tử natri thỏa mãn điều
kiện hiệu năng lượng giữa các mức HOMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng?
Hướng dẫn
a. electron chuyển động trong mạch 1 chiều tạo bởi các nguyên tử natri có thể coi là vi hạt
chuyển động trong hộp thế 1 chiều có chiều dài L = a0 (n-1)
Số nguyên tử natri trong 1mg : N Na

mNa
1.103

.N A 
.6, 02.1023  2, 617.1019
23
23

Mức năng lượng HOMO trong trường hợp n chẵn ( nHOMO 
lượng LUMO trong trường hợp n lẻ ( nHOMO 

N Na  1
)
2

N Na
) coi như bằng mức năng
2

Hiệu năng lượng giữa mức HOMO và mức n =1:

  N Na 2  2
 
  1 .h
2
2
2
2
n

1
.
h
 HOMO      
 
2
8me .L2

8me .  a0  N Na  1 
  2, 617.1019 2 
2

 1 .  6, 626.1034 



2



  
 1,163.1019 ( J )
2
8.9,1.1031. 0,36.109  2, 617.1019  1 
b. Đặt N là số nguyên tử Na tạo thành mạch dài thỏa mãn hiệu năng lượng giữa hai mức
HUMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25meV (4,005.10-21(J))
 Độ dài mạch L = a0 (n-1).
* Xét trường hợp N chẵn:
 Mức năng lượng HOMO của hệ là mức

 HOMO  LUMO

N
N
và LUMO là +1
2
2

 N  2  N  2  2
     1  .h
 
 2   2

8me .L2

 N  1  6, 626.1034 
21
 4, 005.10 
2
8.9,1.1031.  0,36.109  N  1 
2

 N  120
* Xét trường hợp N lẻ:
 Mức năng lượng HOMO của hệ là mức

 HOMO  LUMO
 N  121

N 1
N 1
1
và LUMO là
2
2

 N  1  2  N  1  2  2
 1  .h


 
34 2
N

2
6,
626.10


 


 2   2

 4, 005.1021 
2
2
8me .L
8.9,1.1031.  0,36.109  N  1 


Bài 8: Dựa vào kết quả của biêu thức năng lượng tính được từ mô hình hộp thế một chiều,
hãy xác định giá trị năng lượng của 8 electron  được giải toả đều trên toàn khung phân tử
0

octađien, biết khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử cacbon là 1,4 A và 8 electron 
chiếm 4 mức năng lượng ở trạng thái cơ bản.
Cho h = 6,62.10-34 Js ; m2 = 9,1.10-3 1 kg.
Hướng dẫn

Khung phân tử octadien được viết như sau:
C=C-C=C-C=C-C=C
Các e-  được giải toả trên toàn khung

0

L = (N + 1).1,4 A là chiều dài hộp thế.
N – số nguyên tử C trong mạch.
Áp dụng công thức tính năng lượng cho hộp thế một chiều:
n2 h2
En 
8mL2

J 

Thay các giá trị tương ứng vào biểu thức ta có:
En 

(6, 62.1034 )2
 4,80.1020 ( J )
31
10 2
8.9,1.10 .(11, 2.10 )

Do trên mỗi một mức n ăng lượng ở trạng thái cơ bản có hai electron nên năng lượng của 8
electron  trong phân tử octatetraen là:

h2
h2
En  (21  22  23  24 )

 60
8mL2
8mL2
 60.4,8.1020 J  288.102 J  2.88.1022 kJ  1369, 6kJ / mol
2

2

2

2

Bài 9: Phân tử trong hộp thế: chất nhuộm xianin và polien
Trong cơ học lượng tử, cấu tử trong mô hình hộp thế một chiều mô tả một cấu tử di
chuyển giữa hai bức tường không thể đâm xuyên qua được có khoảng cách L. Các năng lượng
được phép cho cấu tử trong hộp thế một chiều là

trong đó: h là hằng số Planck, m là khối lượng của cấu tử, và L là chiều dài của hộp thế. Phổ
hấp thụ electron của các phân tử liên hợp phẳng có thể mô phỏng bằng mô hình cấu tử một
chiều trong mô hình hộp thế. Các electron không định vị π được coi như các electron tự do
và có thể phân bố trong các mức năng lượng được phép theo nguyên lí loại trừ Pauli. Nếu
phân tử có chứa các electron π không định vị N, thì các mức năng lượng từ n = 1 tới n = N/2


bị chiếm ở trạng thái cơ bản. Hình vẽ dưới đây chỉ ra các mức năng lượng cho một phân tử
liên hợp với N = 8.

Các mức năng lượng cho một hệ có 8 electron tự do, N = 8
Mức chuyển electron thấp nhất của hệ là mức chuyển giữa một electron ở mức n = 4
(N/2) tới mức n = 5 (N/2 + 1). Đối với sự chuyển dịch này, gây ra bởi sự hấp thụ ánh sáng,

với bước sóng λ, ta có:

Xianin, pinaxianol và đicacboxianin được chỉ ra dưới đây, là các phân tử chất nhuộm
có mạch liên hợp giữa hai đầu.

Xianin

Pinaxianol

Đicacboxianin
a) Hãy vẽ các dạng công thức cộng hưởng của ba phân tử này.


b) Các electron không định vị có thể di chuyển tự do dọc theo mạch trung tâm của phân tử
này, giữa hai đầu nguyên tử nitơ, nhưng không vượt quá một liên kết bên ngoài nguyên tử
nitơ. Hạt trong hộp thế một chiều có thể áp dụng để tính các mức năng lượng lượng tử hoá
của các electron không định vị. Chiều dài hộp thế có thể được tính bằng khoảng cách giữa
hai đầu nguyên tử nitơ, được đo dọc chiều dài cacbon-cacbon, cộng thêm chiều dài một liên
kết ở một trong hai đầu nitơ. Hãy xác định số N của các electron không định vị trong mỗi
phân tử chất nhuộm.
c) Thực nghiệm cho biết, dải hấp thụ electron cực đại của các phân tử này, λ max, ghi được tại
525, 605 và 705 nm cho xianin, piaxianol và đicacboxianin, tương ứng. Tính ΔE cho xianin,
pinaxianol và đicacboxianin.
d) Dự đoán chiều dài mạch mà các electron có thể di chuyển tự do trong các phân tử này.
e) Khi các electron liên hợp π được di chuyển tự do dọc theo bộ khung cacbon của phân tử
polien, nhưng không được phép rời khỏi phân tử, chúng có thể được xem như là các cấu tử
trong một hộp bị giới hạn bởi bộ khung cacbon của polien mạch thẳng. Chiều dài một liên
kết cacbon-cacbon trung bình trong một mạch hiđrocacbon có các liên kết đơn và đôi luân
phiên xen kẽ có thể xấp xỉ 140 pm. Chiều dài của mạch cacbon, chiều dài của hộp thế, có thể
được ước lượng L = 2jx140 pm, tại đó, j là số liên kết đôi trong mạch polien. Xác định số N

của các electron không định vị, và chiều dài hộp thế L cho 1,3-butađien và 1,3,5-hexatrien.
f) Ước lượng tần số và bước sóng của sự chuyển dịch electron thấp nhất đối với 1,3-butađien
và 1,3,5-hexatrien.

Hướng dẫn

a.


b. NC là số nguyên tử C đóng góp với 1 electron, NN + là số nguyên tử N
đóng góp với 1 electron và NN là số nguyên tử N đóng góp với 2 electron.
N = 1 x NC + 1 x NN+ + 2 x NN
Cyanine N = 1 x 3 + 1 + 2 =6
Pinacyanol N = 1 x 5 + 1 + 2 =8
Dicarbocyanine N = 1 x 7 + 1 + 2 =10
c.

d.


e.
1,3-butadiene: N = 4 x 1 = 4, L = 4 x 140 = 560 pm
1,3,5-hexatriene: N = 6 x 1 = 6, L = 6 x 139 = 840 pm
d.

Bài 10 : Từ bài toán electron chuyển động tự do trong giếng thế một chiều đã cho phép
người ta xác định được năng lượng theo biểu thức sau đây:
En  n 2

h2

8mL2

n: 1, 2, 3,…

ở đây h là hằng số Planck, m là khối lượng electron, L là độ dài giếng thế
1.

Các electron  trong mạch liên hợp thẳng của phân tử trung hòa có thể được coi như

chuyển động trong giếng thế một chiều. Nếu như các electron  này được giải tỏa đều
trên toàn khung với N electron  và được sắp xếp tuân thủ các nguyên lý và quy tắc của
cơ học lượng tử. Hãy
1.1. Rút ra công thức tính tổng quát để xác định ΔE LUMO – HOMO khi 1 electron bị kích
thích chuyển từ mức HOMO lên mức LUMO.


1.2. Suy ra bước sóng phổ hấp thụ .
2.

Áp dụng mô hình electron  chuyển động trong giếng thế một chiều đối với 3 phân

tử thuốc nhuộm có công thức cấu tạo cho dưới đây. Giả sử các electron  được giải tỏa trên
khung phân tử được giới hạn bởi 2 nhân phenyl và độ dài giếng thế được tính theo biểu thức
gần đúng L = (2k + 1)0,140 nm, ở đây k là số liên kết đôi. Từ những giả thiết này, hãy
2.1. Tính độ dài giếng thế L cho từng thuốc nhuộm.
2.2. Xác định độ dài bước sóng của phổ hấp thụ cho 3 phân tử thuốc nhuộm khảo sát
a) 1,4-diphenyl-1,3-butadiene
(ký hiệu là BD)
b) 1,6-diphenyl-1,3,5-hexatriene
(ký hiệu là HT)

c)1,8-diphenyl-1,3,5,7-octatetraene
(ký hiệu là OT)
3. So sánh kết quả thu được ở câu 2.1 khi độ dài giếng thế “thực” L được xác định với giả thiết
các electron  cũng hoàn toàn được giải tỏa trên khung của mạch liên kết liên hợp thẳng, được
nối như một đường thẳng nằm giữa 2 vòng phenyl (quan sát hình vẽ). Góc liên kết C – C – C
là 1200 và khoảng cách trung bình của liên kết cacbon – cacbon là 0,140 nm. Căn cứ vào các
dữ liệu đã cho, hãy xác định độ dài giếng thế “thực” L.
4. Từ những giá trị độ dài bước sóng  thu được bằng thực nghiệm:
Hợp chất

BD

HT

OT

 (Å)

328.5

350.9

586.1

4.1. Xác định lại chiều rộng của mạch liên kết liên hợp L của các hợp chất thuốc nhuộm
khảo sát.
4.2. Dựa vào các kết quả thu được về L theo 3 cách khác nhau, hãy lựa chọn phương
pháp phù hợp với thực nhiệm nhất.

Hướng dẫn

Công thức tổng quát:

2
2
h 2  N   N   h 2
E LUMOHOMO 
 N  1
  1      
8mL2  2   2   8mL2

h2
E LUMOHOMO 
N  1
2 
8mL

1.1.1.

1.2 Theo Planck: E 

hc



(2) ta suy ra :

(1)

hc h 2
8mc L2

 N  1    
 3
 8mL2
h  N  1

ΔE

E5

LUMO

E4

HOMO

E3
E2
E1

2.
2.1. Cho BD:L = (22 +1)0,140 nm = 50,140.10-9 m = 7.10-10 m
Cho HT:L = (23 +1)0,140 nm = 70,140.10-9 m = 9,8.10-10 m
Cho OT:L = (24 +1)0,140 nm = 90,140.10-9 m = 12,6.10-10 m
2.2 . Sử dụng biểu thức tổng quát (3), ta xác định  cho từng thuốc nhuộm như sau:


8mc

L2
8  9,11.1031  3.108
L2
L2
12




3,30.10
h
6, 626.1034
 N  1
 N  1
 N  1

+ BD:   3,30.1012

L2
(7.1010 )2
 3,30.1012
 3, 234.107 m  323, 4nm
 N  1
 4  1

10 2
L2
)
12 (9,8.10
+ HT:   3,30.10

 3,30.10
 4,528.107 m  452, 7nm
 N  1
 6  1
12

+ OT:   3,30.1012

L2
(12, 6.1010 )2
 3,30.1012
 5,82.107 m  582, 0nm
 N  1
8  1

3.Theo giả thiết của đề bài, ta có thể xác định chiều dài giếng thế bằng cách cắt một đoạn
C – C –C như sau:


C
lC-C 600

d
2

C
d
2

C

= lC-C sin60 = 0,140.10 -9 sin 60 = 1,21.10 -10 m.

Chiều dài “thực” của 3 thuốc nhuộm là:
Ví dụ chiều dài của mạch BD gồm 5 đoạn d2 nên ta sẽ có:

+ BD:L = 1,21.10 -10 m  5 = 6,05.10 -10 m
Một cách hoàn toàn tương tự, đối với mạch HT có 7 đoạn
+ HT:L = 1,21.10 -10 m  7 = 8,47.10 -10 m
Đối với mạch OT gồm 9 đoạn:
+ OT:L = 1,21.10 -10 m  9 = 10,89.10 -10 m
4.4.1Xuất phát từ biểu thức (3)
L



8mc
L2

h
 N  1

ta cũng có thể suy ra L

  h   N  1
8mc

+ Đối với hợp chất BD:
L

  h   N  1
8mc



0
328,5.109  6, 626.1034  5
10

7,
06.10

7,
06
A
8  9,11.1031  3.108

+ Đối với hợp chất HT:
L

  h   N  1
8mc



0
350,95.109  6, 626.1034  7
 8, 63.1010  8, 63A
31
8

8  9,11.10  3.10

+ Đối với hợp chất OT:
L

  h   N  1
8mc



0
586,1.109  6, 626.1034  9
10

12,
64.10

12,
64
A
8  9,11.1031  3.108

4.2.Tổng hợp các phương pháp tính chiều rộng của mạch liên kết liên hợp L
cho các hợp chất thuốc nhuộm khảo sát.


Hợp

L=(2k+1)0,140

L theo mạch

L tính từ

L

chất

nm (1)

gấp khúc (2)

thực nghiệm(3)

thực nghiệm

BD

7,0

6,05

7,06

7,66

HT

9,8

8,47

8,63

8,64

OT

12,6

10,89

12,64

Phương pháp tính (3) là phù hợp với thực nghiệm nhất.