giai toan lap phuong trinh lop 9

Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Chuyên đề :
Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ ph ơng
trình lớp 9

Các bớc giải bài toán:
- B ớc 1 : Gọi ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn .
- B ớc 2 : Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trình) .
+ Thiết lập các mối liên hệ qua ẩn và các đại lợng đã biết .
+ Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trình).
-B ớc 3 : + Giải phơng trình (hệ phơng trình)
+ Đối chiếu điều kiện ban đầu .
+ Kết luận bài toán .
Một số vấn đề cần l u ý :
Mỗi phơng trình lập đợc từ bài toán là ngôn ngữ đại số biểu thị sự tơng quan giữa
những đại
lợng trong bài toán thông qua các số đã biết (ẩn số). Để có đợc phơng trình (hệ ph-
ơng trình)
tơng ứng với bài toán (sau khi đã hiểu rõ đề bài toán) ta tiến hành nh sau :
1 , Gọi ẩn số:
Ân là cái cha biết , cái cần phải tìm . Trong bài toán thông thờng bài toán yêu cầu
tìm cái gì
(những cái gì) thì ta gọi cái đó là ẩn (những ẩn). Tuy nhiên khi chọn ẩn nh vậy mà
phơng trình
lập đợc lại phức tạp khó khăn cho khâu giải phơng trình (hệ phơng trình) , thì ta cần
thay đổi cách gọi ẩn hoặc chọn thêm ẩn ; ẩn đó có liên quan đến cái cần tìm trong
bài toán và cho phép ta lập phơng trình dễ dàng giải hơn .
Ví dụ : Một ôtô dự định đi quãng đờng AB dài 60 km trong một thời gian nhất
định . Trên nửa quãng đờng đầu do đờng xấu nên thực tế ôtô chỉ đi với vận tốc ít hơn
vận tốc dự định là 6 km/h.
Để đến B đúng dự định ôtô phải đi quãng đờng còn lại mỗi giờ hơn 10 km . Tính

thời gian ôtô dự định đi hết quãng đờng AB ?
Phân tích cách gọi ẩn :
Nếu ta gọi cái cần tìm làm ẩn .
Gọi x (giờ ) là thời gian ôtô dự định đi hết quãng đờng AB . ( điều kiện : x > 0 )

Vận tốc ôtô dự định đi trên quãng đờng AB là :
60
x
( km/h )
Ta có nửa quãng đờng đầu ôtô đi với vận tốc :
60
6
x

( km/h )

Thời gian ôtô đi nửa quãng đờng đầu là :
30
60
6
x

( giờ )
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
1
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Ta có nửa quãng đờng sau ôtô đi vơi vận tốc :
60
10
x

+
( km/h )

Thời gian ôtô đi hết nửa quãng đờng sau là :
30
60
10
x
+
( giờ )
Theo bài ra ta có phơng trình :
30
60
10
x
+
+
30
60
6
x

=
x
Ta thấy với cách gọi ẩn này , ta vẫn giải và tìm ra đợc thời gian ôtô dự định đi .
Nhng phơng trình chúng ta lập đợc rất cồng kềnh . Ta thay cách gọi ẩn .
Bài giải :
Gọi vận tốc ôtô dự định đi hết quãng đờng AB là x ( km/h ) . ( điều kiện : x >
6 )

Thời gian ôtô dự định đi hết quãng đờng AB là :
60
x
( giờ )
Ta có vận tốc ôtô đi nửa quãng đờng đầu là : x 6 ( km/h )

Thời gian ôtô đi nửa quãng đờng đàu là :
30
6x
( giờ )
Ta có vận tốc ôtô đi nửa quãng đờng sau là : x + 10 ( km/h )

Thời gian ôtô đi nửa quãng đờng sau là :
30
10x+
( giờ )
Theo bài ra ta có phơng trình :
30
6x

+
30
10x
+
=
60
x

Giải phơng trình ta đợc x = 30 > 6 ( t/m )
Vậy thời gian ôtô dự định đi hết quãng đờng AB là :

60
30
= 2 giờ .
2 , Lập ph ơng trình :
+ Hình dung thật cụ thể , rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm
, cái cha biết và những cái đã cho )
+ Tách ra từng phần rồi phiên dịch ra ngôn ngữ đại số .
+ Kết hợp những phần đã phiên dịch ra ngôn ngữ đại số để có thể biểu diễn cùng
một đại lợng bằng hai cách khác nhau thành đẳng thức , khi đó ta có một phơng
trình .
*, Thông thờng ta đa ra bao nhiêu ẩn thì ta cần lập bấy nhiêu phơng trình ( trừ
trờng hợp ngoại lệ : đa thêm ẩn phụ vào , sau đó tìm cách khử nó đi hoặc phơng
trình dẫn đến phơng trình nghiệm nguyên ) .
Ví dụ : Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ôtô . Ngời ta nhận thấy rằng ,
nếu mỗi xe chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa một học sinh . Nếu bớt đi một ôtô thì có
thể phân bố đều các học sinh trên các ôtô còn lại . Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô ,
biết rằng mỗi ôtô chỉ chở đợc không quá 32 học sinh .
Bài giải :
Gọi x là số ôtô lúc đầu . ( điều kiện :
xÂ
;
2x >
)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
2
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Gọi y là số học sinh mỗi ôtô phải chở sau khi bớt đi một ôtô . ( điều kiện :
yÂ
;
22 32y <

)
Theo bài ra ta có phơng trình : 22x + 1 = y.( x 1)


22 1 23
22
1 1
x
y
x x
+
= = +


Do đó : x 1 là ớc nguyên dơng của 2 .


1 1
1 23
x
x




=
=

2.( )
24
x loai
x




=
=
Vậy lúc đầu có 24 ôtô
*, Chú ý : Trong các bài toán giải bài toán bằng cách lập phơng trình , hệ phơng
trình có những đại lợng liên quan mật thiết chặt chẽ với nhau ( gần nh nói đến đại l-
ợng này phải nghĩ ngay tới nó quan hệ với đại lợng khác dù trong đề bài không nói
đến đại lợng quan hệ ấy) . Chẳng hạn :
+ Bài toán chuyển động : Quãng đờng = Vận tốc . Thời gian
+ Bài toán năng suất : Sản lợng = Năng suất . Thời gian
+ Bài toán diện tích :
- , Diện tích hình chữ nhật : Diện tích = Chiều dài . Chiều rộng
- , Diện tích tam giác : Diện tích =
1
2
. Chiều cao . Cạnh đáy
.
Cần nhớ; A . Toán về quan hệ giữa các số :
1 , Các kiến thức cần nhớ :
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
ab
= 10a +b điều kiện : 0 < a

9 ; 0

b

9 ;
a , b


Ơ
+ Số a lớn hơn số b là p đơn vị : a = b + p
+ Số a gấp q số b : a = q.b
+ Số a chia số b ( b

0 ) đợc thơng là số p và số d là r : a = b.q + r
+ Tổng của hai số a và b : a + b
+ Tích của hai số a và b : a.b
+ Tổng bình phơng của hai số a và b : a
2
+ b
2
+ Bình phơng của tổng hai số a và b : ( a + b )
2
+ Số chính phơng là bình phơng của một số .
..
2 , Bài tập vận dụng :
a , Bài toán bậc nhất :
Bài 1 : Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị . Nếu chia số nhỏ cho 7 và số lớn cho5 thì
thơng thứ nhất nhỏ hơn thơng thứ hai là 4 đơn vị . Tìm hai số đó ?
Bài giải :
Gọi x là số nhỏ , y là số lớn

Ta có hai số hơn kém nhau 12 đơn vị , suy ra : y = x + 12 (1)
Ta có : Thơng của số nhỏ chia cho 7 :
7
x
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
3
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Thơng của số lớn chia cho 5 :
5
y
Do thơng thứ nhất nhỏ hơn thơng thứ hai là 4 đơn vị .


Ta có PT :
5
y



7
x
= 4

7y 5x = 140 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT :
12
7 5 140
y x
y x

= +
=



12
7( 12) 5 140
y x
x x





= +
+ =



28
40
x
y

=
=
Vởy hai số cần tìm là : 28 và 40 .
Bài 2 : Cho một số có hai chữ số , chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn
vị . Nếu đặt số 1 xen vào giữa hai số đó thì ta đợc một số lớn hơn số đã cho là 370
đơn vị . Tìm số đã cho ?
Bài giải :
Gọi số có hai chữ số cần tìm là :
ab
( đk : 1

a

9 ; 0

b

9 ; a , b


Ơ
)
Ta có chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị , suy ra b = 2.a (1)
Khi đặt số 1 xen giữa hai số đã cho ta đợc số mới là :
1a b
.
Theo bài ra ta có số mới lớn hơn số đã cho là 370 đơn vị .
Suy ra ta có phơng trình :

1a b
-
ab
= 370


100a + 10 + b ( 10a + b ) = 370

90a = 360

a = 4 ( thoả
mãn ) (2)
Thay (2) vào (1) ta đợc b = 2.4

b = 8 ( t/m )
Vậy số có hai chữ số cần tìm là : 48
Bài 3 : Tìm tổng của hai số biết rằng : Tích của hai số đó không đổi nếu tăng số
thứ nhất thêm 1 đơn vị và bớt số thứ hai đi 1 đơn vị hoặc giảm số thứ nhất đi 3
đơn vị và tăng số thứ hai 6 đơn vị .
Bài giải :
Gọi số thứ nhất và số thứ hai lần lợt là x và y . ( đk : x > 3 ; y > 1 )
Khi số thứ nhất tăng 1 đơn vị và số thứ hai giảm 1 đơn vị thì tích vânx
không đổi .


Ta có PT : ( x + 1).(y 1) = x.y

y x = 1 (1)
Mặt khác khi số thứ nhất giảm đi 3 đơn vị và số thứ hai tăng thêm 6 đơn vị
thì tích cũng . không đổi . Suy ra ta có PT : ( x 3 ).( y + 6 ) = x.y

2x y = 9 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
1
2 9
y x
x y





=
=



5
6
x
y





=
=
( thỏa mãn

)
Vậy tổng của hai số cần tìm là : x + y = 5 + 6 =11
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
4
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Bài 4 : Tích của hai số là 630 . Nếu thêm 4 vào số nhân thì tích mới sẽ là 798 .
Tìm hai số đó ?
Bài giải :
Gọi x , y là hai số cần tìm .
Ta có tích của hai số là 630 .

x.y = 630 (1)
Khi thêm 4 vào số nhân thì tích hai số mới là : x.( y + 4 ) = 798 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
. 630
.( 4) 798
x y
x y





=
+ =



15
42

x
y





=
=

( thỏa mãn )
Vậy hai số cần tìm là : 15 và 42
b , Các bài toán bậc hai :
Bài 1 : Tìm hai số biết tổng của chúng là 17 và tổng các bình phơng của chúng là
157 .
Bài giải :
Gọi x , y là hai số cần tìm . ( đk : x , y


Â
)
Ta có tổng hai số bằng 17 . Suy ra ta có PT : x = 17 y (1)
Ta có tổng bình phơng của hai số là 157 . Suy ra ta có PT : x
2
+ y
2
= 157
(2)
Thế (1) vào (2) ta đợc : ( 17 y )
2

+ y
2
= 157

y
2
- 17y + 66 = 0


( y 6 ).( y 11 ) = 0


6 0
11 0
y
y




=
=



6
11
y
y

=
=
( thỏa mãn )
Vậy hai số cần tìm là 6 và 11 .
Bài 2 : Tìm một số có hai chữ ? Biết rằng nếu đem chia số đó cho tổng các chữ số
của nó thì đợc thơng là 4 và d 3 , còn nếu đem chia số đó cho tích các chữ số của
nó thì đợc thơng là 3 và d 5 .
Bài giải :
Gọi số có hai chữ cần tìm là
xy
( đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Ta có khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó đợc thơng là 4 và d 3 .



xy
= 4.( x + y ) + 3

10x + y = 4x + 4y + 3

y = 2x 1
(1)
Mặt khác khi chia số đó cho tích các chữ số của nó đợc thơng là 3 và d 5 .



xy
= 3.x.y + 5

10x + y = 3xy + 5 (2)
Thế (1) vào (2) ta đợc : 10x + 2x 1 = 3x.( 2x 1 ) + 5


6x
2
- 15x + 6 = 0

( x 2 )( 6x 3 ) = 0


2
1
2
x
x

=
=
Đối chiếu điều kiện suy ra x = 2 ( t/m )

y = 3
Vậy số có hai chữ số cần tìm là 23
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
5
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Bài 3 : Tìm hai số biết rằng ? Biết rằng trung bình cộng của chúng nhỏ hơn số
lớn là 24 , trung bình nhân của chúng lớn hơn số nhỏ là 12 .
Bài giải :
Gọi x , y là hai số cần tìm . ( đk : x > y > 0 )
Ta có trung bình cộng của hai số lớn hơn số lớn là 24 .
Suy ra
24
2
x y
x
+
=


x = y + 24 (1)
Ta có trung bình nhân của hai số lớn hơn số nhỏ là 12 .
Suy ra
. 12x y y= +

(
.x y
)
2
= ( y + 12 )
2


x.y = y
2
+ 24y +
144 (2)
Thế (1) vào (2) ta đợc : y.( y + 48 ) = y
2
+ 24y + 144

24.y = 144
Suy ra y = 6 ( thỏa mãn )

x = 54 ( t/m )
Vậy hai số cần tìm là 6 và 54 .
Bài 4 : Tìm một số có hai chữ số ? Biết rằng tổng bình phơng của hai chữ số đó
bằng số đó cộng thêm tích của hai chữ số đó . Ngoài ra nếu lấy số đó cộng thêm
36 thì đợc một số mới gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại .
Bài giải :
Gọi số có hai chữ số cần tìm là
xy
( đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Ta có tổng bình phơng của hai chữ số đó bằng số đó cộng với tích của hai
chữ số đó .
Suy ra ta có phơng trình : x
2
+ y
2
=
xy
+ x.y

x
2
+ y
2
= 10.x + y + x.y
(1)
Mặt khác số cần tìm cộng với 36 đợc số có hai chữ số viết theo thứ tự ngợc
lại .
Suy ra ta có phơng trình :
xy
+ 36 =
yx

10x + y + 36 = 10y + x

y
= x + 4 (2)
Thế (2) vào (1) ta đợc : x
2
+ ( x + 4 )
2
= 10x + x + 4 + x.( x + 4 )


x
2
- 7x + 12 = 0

( x 4 )( x 3 ) = 0


4 0
3 0
x
x




=
=

4
3
x
x




=
=



7
8
y
y




=
=
Thử lại ta đợc :
3; 7
4; 8
x y
x y

= =
= =
( t/m )
Vậy số có hai chữ số cần tìm là : 37 và 48
Bài 5 : Tìm một số có hai chữ số ? Nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số
của nó đợc thơng là 6 . Nếu đem cộng tích của hai chữ số với 25 ta có đợc số có
hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại .
Bài giải :
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
6
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Gọi x là chữ số hàng đơn vị , y là chữ số hàng chục của số có hai chữ số cần
tìm .
(đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Ta có
xy
= 10x + y ;
yx

= 10y + x
Theo bài ra ta có hệ phơng trình :
10
6
. 25 10
y x
x y
x y x y







+
=
+
+ = +


x
2
- 9x + 20 =
0


( x 4 )( x 5 ) = 0

4 0
5 0
x
x




=
=



4
5
x
x




=
=

Với x = 4

y = 5 ( t/m )
Với x = 5

y =

25
4
( ko t/m )
Vậy số có hai chữ số cần tìm là 54
3 , Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Tổng của hai số bằng 136 . Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số lớn chia cho 6
thì tổng của hai thơng là 28 . Tìm hai số đó ?
H ớng dẫn :
Gọi x là số lớn , y là số nhỏ cần tìm . ( đk : x , y


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :
136
28
4 6
x y
y
x





+ =
+ =

64
72
x
y





=
=
Bài 2 : Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
1 . Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau sẽ đợc một có hai chữ số bằng
5
6
số ban
đầu. Tìm số có hai chữ số ban đầu ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y lần lợt là chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số có hai chữ số
cần tìm.
(đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :

1
5
.
6
x y
yx xy





= +
=



5
4
x
y





=
=
Bài 3 : Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 156 . Nếu lấy số lớn chia số
nhỏ thì đợc thơng là 3 và số d là 4 .
H ớng dẫn :

Gọi x , y lần lợt là số lớn và số nhỏ của hai số cần tìm .
( 0 < y < x < 156 ; x , y


Ơ
)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
7
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Hệ phơng trình lập đợc :
156
3 4
x y
x y





+ =
= +



118
38
x
y

=
=
Bài 4 : Tìm một số có hai chữ số ? Biết rằng chữ số hàng chục gấp đôi chữ số
hàng đơn vị . Nếu đổi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì đợc số mới
có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 36 đơn vị .
H ớng dẫn :
Gọi
xy
là số có hai chữ số cần tìm . (đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :
2
36
x y
xy yx

=
= +



8
36
x
y





=
=
Bài 5 : Tìm hai số biết rằng tổng của hai số là 13 và tổng bình phơng của chúng
bằng 97 .
H ớng dẫn :
Gọi x là số thứ nhất trong hai số cần tìm . ( đk : x < 13 )
Phơng trình lập đợc : x
2
+ ( 13 x )
2
= 97 .


4
9
x

x




=
=
Bài 6 : Tìm một số có hai chữ số ? biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ số của
nó và nếu thêm 13 vào tích hai chữ số đó thì sẽ đợc một số viết theo thứ tự ngợc
lại .
H ớng dẫn :
Gọi số có hai chữ số cần tìm là
xy
. (đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :
8( )
. 13
xy x y
x y yx

= +
+ =



7
2
x
y





=
=
Bài 7 : Tìm một số có hai chữ số ? Biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ
số hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có
hai chữ số .
H ớng dẫn :
Gọi số cần tìm có hai chữ số cần tìm là
ab
. ( đk : 1

a

9 ; 0

b


9 ; a , b


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :
2 2
11
a b
a b





= +
+ =



8
3
a
b

=
=
Bài 8 : Một phân số có tổng của tử số và mẫu số là 107 . Nếu lấy mẫu số trừ đi
hai lần tử số thì đợc 11 . Tìm phân số đó ?
H ớng dẫn :
Gọi x là tử số , y là mẫu số của phân số cần tìm . ( đk : y

0 )
Hệ phơng trình lập đợc là :
107
2 11
x y
y x





+ =
=



32
75
x
y

=
=

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
8
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Bài 9 : Tìm một số ó hai chữ số ? Biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi
thay đổi thứ tự hai chữ số cho nhau ta đợc số mới lớn hơn số cũ là 18 .
H ớng dẫn :
Gọi số có hai chữ số cần tìm là :
xy
(đk : 1

x , y

9 ; x , y


Ơ
)
Hệ phơng trình lập đợc :
12
18
x y
yx xy

+ =
=



5
7
x
y





=
=
Bài 10 : Tìm hai số , biết rằng hai lần số thứ nhất nhiều hơn 5 lần số thứ hai là 5
và hiệu các bình phơng của chúng bằng 351 .
H ớng dẫn :
Gọi hai số cần tìm là x và y . ( đk : x > y ; x , y


Ơ
*
)
Hệ phơng trình lập đợc là :

2 5 5
2 2
351
x y
x y





= +
=



20
7
x
y





=
=
B . Toán làm chung , làm riêng cùng một công việc .
1 , Các kiến thức cần nhớ :
*, Toán làm chung , làm riêng có ba đại lợng tham gia :
+ Toàn bộ công việc .

+ Phần làm việc trong một đơn vị thời gian ( năng suất ) .
+ Thời gian .
*, Năng suất làm việc : Đa về cùng một đơn vị thời gian ( chẳng hạn : 1 ngày , 1
giờ , )
*, Nếu một đội làm xong công việc trong a (đơn vị thời gian) thì trong 1 (đơn vị
thời gian) đội đó làm đợc
1
a
công việc .
*, Nếu trong bài toán đối tợng hoàn thành công việc nào đó với nội dung chung
nh : công việc , đào một con mơng , làm trên một cánh đồng , nớc chảy vao một
bể nớc thì ta hiểu hoàn thành công việc đó là 1 .
2 , Bài tập vận dụng :
a , Các bài toán bậc nhất :
*, Bài tập tổng quát 1 :
Hai đội A và B cùng làm chung một công việc trong thời gian a thì hoàn thành .
Nếu hai đội chỉ làm chung với nhau trong b thời gian ( b < a ) , rồi đội A chuyển
đi làm công việc khác, đội B làm một mình công việc còn lại trong thời gian c thì
hoàn thành . Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu thì hoàn thành công
việc đó ?
*, Lời giải mẫu :
Gọi thời gian để đội A và đội B làm một mình hoàn thành công việc lần lợt là x và
y .
( điều kiện : x , y > a )
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
9
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Trong một đơn vị thời gian : Đội A làm đợc
1
x

(công việc) , đội B làm đợc
1
y
(công
việc) và cả hai đội làm đợc
1
a
(công việc) .
Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
y
=
1
a
(1)
Trong b thời gian : Đội A làm đợc
b
x
(công việc) , đội B làm đợc
b
y
(công việc)
Trong c thời gian đội B làm đợc
c
y
(công việc)
Theo bài ra ta có phơng trình :

b
x
+
b
y
+
c
y
= 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
1 1 1
1
x y a
b b c
x y







+ =
+
+ =


.

x
y







=
=

Đối chiếu điều kiện :


x
y







=
=
( thỏa mãn )
Vậy đội A làm một mình xong công việc sau

thời gian , còn đội B làm một mình

xong công việc sau

thời gian .
Bài 1 : Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cày cùng làm
thì sau 10 ngày sẽ xong công việc . Nhng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7
ngày đầu , sau đó máy thứ nhất nghỉ , máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa mới
xong . Hỏi mỗi máy làm một mình trong bao lâu thì cày xong cả cánh đồng ?
Bài giải :
Gọi thời gian để máy thứ nhất, máy thứ hai làm một xong cả cánh đồng lần
lợt là x và y.
Điều kiện : x , y > 10 ngày
Trong 1 ngày : Máy thứ nhất làm đợc
1
x
cánh đồng, máy thứ hai làm đợc
1
y
cánh đồng.
và cả hai máy làm đợc
1
10
cánh đồng . Suy ra ta có PT :
1
x
+
1
y
=
1
10

(1)
Trong 7 ngày: Máy thứ nhất làm đợc
7
x
cánh đồng, máy thứ hai làm đợc
7
y
cánh đồng
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
10
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
trong 9 ngày máy thứ hai đợc
9
y
cánh đồng . Suy ra ta có PT :
7
x
+
7 9
y
+

= 1
Từ (1) và (2) ta có hệ PT :
1 1 1
10
7 16
1
x y

x y







+ =
+ =



7 7 7
10
7 16
1
x y
x y







+ =
+ =

15
30
x
y





=
=
(thỏa mãn)
Vậy máy thứ nhất làm một mình trong 15 ngày , còn máy thứ hai làm một
mình trong 30
ngày thì xong cả cánh đồng .
Bài 2 : Hai ngời thợ đợc giao sơn một bức tờng . Hai ngời cùng sơn trong 5 giờ ,
sau đó ngời thứ hai nghỉ , ngời thứ nhất tiếp tục làm trong 1 giờ nữa thì xong
toàn bộ bức tờng . Ngày hôm sau họ lại đợc giao sơn bức tờng bằng lần trớc . Hai
ngời cùng nhau sơn bức tờng mới trong 4 giờ thì ngời thứ nhất đi làm việc khác
còn ngời thứ hai phải làm thêm 2 giờ 40 phút nữa mới xong bức tờng này . Hỏi
mỗi ngời thợ làm riêng một mình thì trong bao nhiêu thời gian thì sơn xong cả
bức tờng ? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi ngời thợ không thay đổi .
Bài giải :
Gọi thời gian ngời thợ thứ nhất , ngời thợ thứ hai làm một mình sơn xong cả
bức tờng
lần lợt là x và y (giờ). ( điều kiện : x , y >5 )
Trong 1 giờ ngời thứ nhất sơn đợc
1
x

bức tờng , ngời thứ hai sơn đợc
1
y
bức
tờng
Suy ra trong 5 giờ ngời thứ nhất sơn đợc
5
x
bức tờng , ngời thứ hai sơn đợc
5
y

bức tờng
Theo bài ra ta có PT :
5
x
+
5
y
+
1
x
= 1


6
x
+
5
y

= 1 (1)
Trong 4 giờ ngời thứ nhất sơn đợc
4
x
bức tờng , ngời thứ hai sơn đợc
4
y
bức
tờng
Trong 2 giờ 40 phút =
8
3
giờ ngời thứ hai làm đợc
8
3y
bức tờng .
Theo bài ra ta có PT :
4
x
+
4
y
+
8
3y
= 1


4
x

+
20
3x
= 1 (2)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
11
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Từ (1) và (2) ta có hệ PT :
6 5
1
4 20
1
3
x y
x
y







+ =
+ =



12 10
2

12 20
3
x y
x y







+ =
+ =



10
1
12 20
3
y
x y







=

+ =



10
12
y
x





=
=
Đối chiếu điều kiện suy ra
10
12
y
x





=
=
( t/m )
Vậy ngời thứ nhất sơn một mình xong cả bức tờng là 12 giờ, còn ngời thứ hai
sơn xong

cả bức tờng là 10 giờ .
Bài 3 : Hai đội công nhân cùng sửa một con đờng sau 6 ngày thì hoàn thành .
Nếu hai đội cùng làm trong 2 ngày rồi đội I nghỉ , để đội II làm một mình thì
phải mất 10 ngày nữa mới hoàn thành công việc đó . Hỏi nếu mỗi đội làm một
mình thì mất mấy ngày mới xong con đờng đó ?
Bài giải :
Gọi x , y lần lợt là số ngày mà đội I và đội II làm một mình xong công việc .
Điều kiện : x > 6 ; y > 12 .
Trong 1 ngày đội I làm đợc
1
x
con đờng, đội II làm đợc
1
y
con đờng và cả
hai đội . làm đợc
1
6
con đờng . Suy ra ta có PT :
1
x
+
1
y
=
1
6
(1)
Trong 2 ngày đội I làm đợc
2

x
con đờng , đội II làm đợc
2
y
con đờng .
Trong 10 ngày đội II làm đợc
10
y
công việc .
Suy ra ta có PT :
2
x
+
2
y
+
10
y
= 1


2
x
+
12
y
= 1 (2)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
12
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9

Từ (1) và (2) ta có hệ PT :
1 1 1
6
2 12
1
x y
x y







+ =
+ =



2 2 1
3
2 12
1
x y
x y

+ =
+ =



10 2
3
2 12
1
y
x y







=
+ =



10
15
x
y

=
=

Đối chiếu điều kiện suy ra
10
15
x
y





=
=
(t/m)
Vậy đội I làm một mình xong cả con đờng trong 10 ngày , còn đọi II làm
một xong cả
con đờng trong 15 ngày .
*, Bài tập tổng quát 2 :
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn không có nớc thì sau a giờ bể đầy . Nếu để
vòi I chảy một mình trong b giờ rồi tắt vòi I , mở vòi II chảy trong c giờ thì cả hai
vòi chảy đợc
m
n
bể . Hỏi nếu để mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy ?

*, Lời giải mẫu :
Gọi x , y ( giờ) lần lợt là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể . ( đk : x ,
y > a )
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể , vòi II chảy đợc
1
y
và cả hai vòi chảy đợc
1
a
bể .
Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
y
=
1
a
(1)
Trong b giờ vòi I chảy đợc
b
x
bể , trong c giờ vòi II chảy đợc
c
y
bể .

Theo bài ra ta có phơng trình :
b
x
+
c
y
=
m
n
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
1 1 1
x y a
b c m
x y n







+ =
+ =


.


x

y







=
=

Đối chiếu điều kiện , suy ra
x
y







=
=
thỏa mãn
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
13
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là

giờ , còn vòi II chảy một mình đầy

bể trong

giờ
Bài 1 : Nếu cho hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy
. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi II chảy trong 12 phút thì đầy bể
2
15
. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu bể đầy ?
Bài giải :
Gọi x , y (giờ) lần lợt là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể .
Điều kiện : x , y > 1 giờ 20 phút =
4
3
giờ
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể, vòi II chảy đợc
1
y
bể và cả hai vòi chảy
đợc
1
4
3

Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+

1
y
=
3
4
(1)
Trong 10 phút =
1
6
giờ vòi I chảy đợc
1
6x
bể, trong 12 phút =
1
5
giờ vòi II
chảy đợc
1
5y
bể . Suy ra ta có phơng trình :
1
6x
+
1
5y
=
2
15
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :

1 1 3
4
1 1 2
5
6 15
x y
y
x







+ =
+ =



1 1 3
4
1 6 4
5 5
x y
x y

+ =
+ =



2
4
x
y





=
=

Đối chiếu điều kiện suy ra
2
4
x
y

=
=
(t/m)
Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, còn vòi II chảy một mình đầy
bể trong 4 giờ
Bài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể lớn thì trong 10 giờ bể đầy . Nếu vòi I
chảy trong 6 giờ và vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy đợc
2
5
bể . Hỏi mỗi
vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy ?
Bài giải :
Gọi x , y lần lợt là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể . ( đk :
x , y > 10 )
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
14
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể, vòi II chảy đợc
1
y
bể và cả hai vòi chảy
đợc
1
10
bể .
Suy ra ta có phơng trình :
1

x
+
1
y
=
1
10
(1)
Trong 6 giờ vòi I chảy đợc
6
x
bể , trong 3 giờ vòi II chảy đợc
3
y
bể .
Theo bài ra ta có phơng trình :
6
x
+
3
y
=
2
5
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
1 1 1
10
6 5 2
5

x y
x y







+ =
+ =



6 6 3
5
6 5 2
5
x y
x y







+ =
+ =

30
15
x
y





=
=
Đối chiêu điều kiện suy ra
30
15
x
y





=
=
(t/m)
Vậy nếu chảy một mình thì vòi I chảy trong 30 giờ , vòi II chảy trong 15
giờ .
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể thì sau 3 giờ 20 phút bể đầy . Ngời
ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ , vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì cả hai vòi

chảy đầy bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy ?
Bài giải :
Gọi x , y lần lợt là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể . (đk : x >
10
3
, y > 4)
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể , vòi II chảy đợc
1
y
bể và cả hai vòi chảy
đợc
.
1
10
3
=
3
10
bể . Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
y
=
3
10

(1)
Trong 3 giờ vòi I chảy đợc
3
x
bể , trong 4 giờ vòi II chảy đợc
4
y
bể .
Theo bài ra ta có phơng trình :
3
x
+
4
y
= 1 (2)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
15
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Từ (1) và (2) ta có hệ phơnh trình :
1 1 3
10
3 4
1
x y
x y

+ =
+ =



3 3 9
10
3 4
1
x y
x y







+ =
+ =



5
10
x
y

=
=
Đối chiếu điều kiện suy ra
5
10
x
y





=
=
(t/m)
Vậy nếu chảy một mình vòi I chảy trong 5 giờ , vòi II chảy trong 10 giờ mới
đầy bể .
*, Bài tập tổng quát 3 :
Hai tổ dự định sản xuất đợc a sản phẩm trong một thời gian nhất định . Do áp dụng
kỹ thuật nên tổ I làm vợt mức b% và tổ II làm vợt mức c% , vì vậy trong thời
gian quy định hai tổ đã làm
đợc d sản phẩm ( d > a ) . Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải sản xuất bao nhiêu sản
phẩm ?
*, Lời giải mẫu :
Gọi x , y lần lợt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II phải sản xuất theo kế hoạch .
Điều kiên : 0 < x , y < a ; x , y

Â
Ta có theo kế hoạch hai tổ sản xuất đợc a sản phẩm . Suy ra ta có PT : x + y = a
(1)
Trong thực tế:Tổ I làm vợt mức b%. Suy ra tổ I làm đợc số sản phẩm là: x+x.b% =
(100 ).
100
b x+
còn tổ II làm vợt mức c% . Suy ra tổ II làm đợc số sản phẩm là : y + y.c% =
(100 ).
100
c y+

Theo bài ra ta có phơng trình :
(100 ).
100
b x
+
+
(100 ).
100
c y
+
= d (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
(100 ). (100 ).
100 100
x y a
b x c y

d





+ =
+ +
+ =


.


x
y







=
=

Đối chiếu điều kiện suy ra
x
y

=
=
( thỏa mãn )
Vậy theo kế hoạch tổ I phải làm

sản phẩm , còn tổ II phải làm

sản phẩm .
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
16
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Bài 1 : Theo kế hoạch hai tổ phải sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian
nhất định . Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I đã làm vợt mức 18% , tổ II làm vợt mức
21% , vì vậy trong thời gian đã định hai tổ đã làm đợc 720 sản phẩm . Hỏi theo kế
hoạch mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm ?
Bài giải :
Gọi x , y lần lợt là số sản tổ mà I và tổ II phải sản xuất theo kế hoạch .
Điều kiện : 0 < x , y < 600 ; x , y


Â
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải sản xuất đợc 600 sản phẩm .
Suy ra ta có phơng trình : x + y = 600 (1)
Trong thực tế : Tổ I sản xuất đợc x + x.18% =

118
100
x
sản phẩm , còn tổ II
sản xuất . đợc : y + y.21% =
121
100
y
sản phẩm .
Theo bài ra ta có phơng trình :
118
100
x
+
121
100
y
= 720 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
600
121
118
720
100 100
x y
y
x

+ =
+ =


600
118 121 72000
x y
x y





+ =
+ =
.


200
400
x
y





=

=
. Đối chiếu điều kiện suy
ra
200
400
x
y





=
=
( thỏa mãn )
Vậy số sản phẩm phải làm theo kế hoạch của tổ I là 200 sản phẩm, tổ II
phải làm 400 sản
phẩm .
Bài 2 : Theo kế hoạch hai tổ lao động phải làm 110 chi tiết máy . Nhng do cải
tiến kỹ thuật nên tôt I làm vợt mức 14% kế hoạch của mình , tổ II làm vợt mức
10% kế hoạch của mình , nên cả hai tổ làm đợc số sản phẩm vợt mức dự định là
13 sản phẩm . Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài giải :
Gọi x , y lần lợt là số chi tiết máy mà tổ I và tổ II phải làm theo kế hoạch .
Điều kiện : 0 < x , y < 110 ; x , y


Â

Theo kế hoạch hai tổ phải làm 110 chi tiết máy . Suy ra ta có PT : x + y =

110 (1)
Trong thực tế: Tổ I làm vợt mức
14
100
x
chi tiết máy, tổ II làm vợt mức
10
100
y

chi tiết máy
Suy ra ta có phơng trình :
14
100
x
+
10
100
y
= 13

14x + 10y = 1300
(2)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
17
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
110
14 10 1300
x y

x y





+ =
+ =



50
60
x
y





=
=
Đối chiếu điều kiện suy ra
50
60
x
y

=
=
( thỏa mãn )
Vậy số chi tiết máy làm theo kế hoạch của tổ I là 50 chi tiết máy , còn tổ II
là 60 chi tiết
máy .
Bài 3 : Trong tháng đầu , hai tổ sản xuất đợc 500 chi tiết máy . Trong tháng hai ,
tổ I làm vợt mức 10% , tổ II làm vợt mức 15% , do đó cuối tháng hai tổ sản xuất
đợc 560 chi tiết máy . Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu
chi tiết máy ?
Bài giải :
Gọi x là số chi tiết máy tổ I làm đợc trong tháng đầu . ( đk : 0 < x < 500 ;
x


Â
)
Suy ra trong tháng đầu tổ II làm đợc 500 x chi tiết máy .
Số chi tiết máy làm vợt mức của tổ I trong tháng hai là
10
100
x
( chi tiết máy
)
Số chi tiết máy làm vợt mức của tổ II trong tháng hai là
15(500 )
100
x

( chi
tiết máy )
Số chi tiết máy cả hai tổ làm vợt mức trong tháng hai là 560 500 = 60
chi tiết máy
Theo bài ra ta có PT :
10
100
x
+
15(500 )
100
x

= 60

10x + 15( 500
x ) = 6000


5x = 1500

x = 300 . Đối chiếu điều kiện suy ra x = 300
thỏa mãn
Vậy trong tháng đầu tổ I làm đợc 300 chi tiết, còn tổ II làm đợc 500 300
= 200 chi tiết
L u ý : Trong các bài toán trên ta có thể giải theo 1 trong 3 lời giải nh bài tập 1 ; 2
và 3 .
b , Các bài toán bậc hai :
*, Bài tập tổng quát 1 :
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau a giờ ( ngày ) hoàn

thành . Nếu mỗi đội làm một mình để xong công việc thì tổng thời gian hai đội phải
làm là b giờ ( ngày ) . Tính xem mỗi đội làm một mình xong công việc trên trong
bao lâu ?
*, Lời giải mẫu :
Gọi x là thời gian đội I làm một mình xong công việc . ( đk : a < x < b )
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
18
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Do tổng thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc đó là b giờ ( ngày
)
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc là : b x giờ ( ngày )
Trong 1 giờ ( ngày ) đội I làm đ ợc
1
x
công việc , đội làm đợc
1
b x
công việc và
hai đội làm đợc
1
a
công việc . Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
b x

=
1

a

Giải phơng trình ta đợc : x =

, x =


Đối chiếu điều kiện suy ra : x = , x = ( thỏa mãn )
Vậy thời gian đội I làm một mình xong công việc là giờ ( ngày ) , còn đội II
làm một mình xong công việc là giờ ( ngày ) .
Bài 1 : Hai đội công nhân cùng đào chung một con mơng thì công việc hoàn
thành sau 6 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì tổng thời gian hai
đội phải làm là 25 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong cả con mơng trong bao
lâu ?
Bài giải :
Gọi x là thời gian đội I làm một mình xong cả con mơng . ( đk : 6 < x <
25 )
Do tổng thời gian đội I và đội II làm một mình xong cả con mơng là 25
giờ .
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong cả con mơng là 25 x giờ
Trong 1 giờ đội I làm đợc
1
x
con mơng , đội II làm đợc
1
25 x
con mơng
và cả hai
làm đợc
1

6
con mơng .
Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
25 x
=
1
6


x
2
- 25x + 150 = 0


( x 10 ).( x 15 ) = 0


10
15
x
x




=

=
. Đối chiếu điều kiện suy ra
10
15
x
x




=
=
thỏa mãn
Vậy nếu đội I làm một mình xong cả con mơng trong 10 giờ thì đội II làm
một mình
xong cả con mơng trong 15 giờ và ngợc lại .
Bài 2 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 12 ngày sẽ hoàn
thành . Nếu để từng đội làm một mình thì đội thứ nhất làm xong công việc ít hơn
đội thứ II là 10 ngày . Hỏi đội II làm một mình xong công việc trong bao lâu ?
Bài giải :
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
19
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Gọi x (ngày) là thời gian đội II làm một mình xong công việc . ( đk : x >
12 ; x


Â
)
Ta có thời gian đội I làm một mình ít hơn thời gian đội II là 10 ngày .

Suy ra thời gian đội I làm một mình xong công việc là x 10 ngày
Trong 1 ngày đội I làm đợc
1
x
công việc, đội II làm đợc
1
10x
công việc
và cả hai đội
làm đợc
1
12
công việc .
Theo bài ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
10x

=
1
12


x
2
- 34x + 120 = 0

( x 4 ).( x 30 ) = 0


4
30
x
x




=
=
. Đối chiếu điều kiện suy ra x =
30 thỏa mãn
Vậy thời gian đội II làm một mình xong công việc là 30 giờ .
Bài 3 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc trong 5 ngày thì đợc
5
6

công việc . Nếu làm riêng một mình thì đội II hoàn thành công việc sớm hơn đội
I là 5 ngày . Hỏi đội I làm một mình xong công việc đó trong bao lâu ?
Bài giải :
Gọi x(ngày) là thời gian đội I làm một mình để hoàn thành công việc.(đk :
x > 5; x


Â
)
Ta có thời gian đội II làm một mình để hoàn thành công việc ít thời gian

hơn đội I làm
một mình xong công việc là 5 ngày .
Suy ra thời gian đội II làm một mình để hoàn thành công việc là x 5
ngày .
Trong 1 ngày đội I làm đợc
1
x
công việc, đội II làm đợc
1
5x
công việc .
Suy ra trong 5 ngày đội I làm đợc
5
x
công việc, đội II làm đợc
5
5x
công
việc .
Theo bài ra ta có phơng trình :
5
x
+
5
5x
=
5
6

x
2
- 17x + 30 = 0


( x 2 ).( x 15 ) = 0


2
15
x
x




=
=
. Đối chiếu điều kiện suy ra x =
15 thỏa mãn
Vậy đội I hoàn thành công việc đó một mình trong 15 ngày .
*, Bài tập tổng quát 2 :
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
20
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể thì sau a giờ bể đầy . Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là b giờ . Hỏi mỗi vòi chảy
một mình thì sau bao lâu bể đầy ?
*, Lời giải mẫu :
Gọi x (giờ) là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể . ( điều kiện : x > a )

Do thời gian vòi I chảy một mình đầy bể nhiều hơn thời gian vòi II chảy một mình
đầy bể là b giờ
Suy ra thời gian vòi I chảy một mình đẩy bể là x + b ( giờ )
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể , vòi II chảy đợc
1
x b+
bể và cả hai vòi chảy đợc
1
a
bể .
Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
x b
+
=
1
a

Giải phơng trình ta đợc : x =

; x =

Đối chiếu điều kiện suy ra : x = ; x = thỏa mãn
Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là giờ , còn vòi II chảy một mình đầy

bể là giờ .
Bài 1 : Hai vòi nớc cùng một lúc chảy vào một cái bể thì sau 12 giờ bể đầy . Nếu
để từng vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi I chảy đầy bể ít thời gian hơn vòi II
là 10 giờ . Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì bể đầy ?
Bài giải :
Gọi x (giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể . ( điều kiện : x > 12 )
Do thời gian vòi I chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian vòi II chảy một
mình đầy bể là
10 giờ . Suy ra thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là x + 10 giờ .
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
x
bể, vòi hai chảy đợc
1
10x
+
bể và cả hai vòi
chảy đợc . .
1
12
bể . Suy ra ta có PT :
1
x
+
1
10x
+
=
1
12

x
2
- 14x 120 = 0


( x + 6 ).( x 20 ) = 0


6
20
x
x




=
=
. Đối chiếu điều kiện suy ra x
= 20 thỏa mãn
Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 20 giờ , còn vòi II chảy một
mình đầy bể là
30 giờ .
Bài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể thì sau 6 giờ bể đầy . nếu mỗi vòi
chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ II cần ít thời gian hơn vòi I là 5 giờ . Hỏi
thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài giải :
Gọi x (giờ) là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể . ( đk : x > 6 )

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
21
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Do thời gian mỗi vòi chảy một mình thì vòi II cần ít thời gian hơn vòi I là 5
giờ .
Suy ra thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x + 5 giờ .
Trong 1 giờ vòi I chảy đợc
1
5x+
bể, vòi II chảy đợc
1
x
bể và cả hai vòi
chảy đợc
1
6
. . bể . Suy ra ta có phơng trình :
1
5x+
+
1
x
=
1
6



x
2

- 7x 30 =0


( x + 3 ).( x 10 ) = 0


3
10
x
x




=
=
. Đối chiếu điều kiện suy ra x =
10 thỏa mãn
Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I là 15 giờ , còn của vòi II là
10 giờ .
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể thì sau 12 phút bể đầy . Nếu vòi I
chảy một mình đầy nửa bể và vòi II chảy tiếp một mình cho đầy bể thì tổng thời
gian hai vòi chảy là 25 phút . Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể thì mất bao
nhiêu thời gian ?
Bài giải :
Gọi x (phút) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể . ( điều kiện : 12 < x
< 50 )
Do tổng thời gian vòi I chảy một mình nửa bể và vòi II chảy một mình nửa
bể là 25 phút .
Suy ra thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là 50 x phút .

Trong 1 phút vòi I chảy đợc
1
x
bể, vòi II chảy đợc
1
50 x
bể và cả hai vòi
chảy đợc .
1
12
bể . Suy ra ta có phơng trình :
1
x
+
1
50 x
=
1
12


x
2
- 50x + 600 = 0


( x 20 ).( x 30 ) = 0


20

30
x
x




=
=
. Đối chiếu điều kiện
20
30
x
x




=
=
thỏa mãn
Vậy thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 20 phút , còn vòi II chảy một
mình đầy bể là
30 phút và ngợc lại .
3 , Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Hai máy cày cùng làm chung sẽ cày xong cánh đồng trong 5 giờ . Nếu
máy thứ nhất chỉ cày 2 giờ rồi máy thứ hai cày tiếp trong 8 giờ nữa thì cả hai máy
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
22
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9

chỉ mới cày đợc
14
15
cánh đồng . Hỏi nếu để mỗi máy làm riêng thì trong bao lâu
thì cày xong cả cánh đồng ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y (giờ) là thời gian lần lợt của máy thứ nhất và máy thứ hai cày
một mình
xong cả cánh đồng . ( đk : x , y > 5 )
Hệ phơng trình lập đợc :
1 1 1
5
2 8 14
15
x y
x y







+ =
+ =



15
2

15
x
y





=
=
Bài 2 : Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày đợc
1
6
cánh
đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ , máy thứ hai
làm một mình trong 20 giờ thì cả hai máy cày đợc 20% cánh đồng . Hỏi nếu mỗi
máy làm việc riêng thì có thể cày xong cả cánh đồng trong bao lâu ?
H ớng dẫn :
Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian máy thứ nhất và máy thứ hai làm việc
một mình cày
xong cả cánh đồng . ( điiêù kiện : x , y >15 )
Hệ phơng trình lập đợc :
15 15 1
6
12 20 1
5
x y
x y

+ =
+ =



300
200
x
y





=
=

Bài 3 : Hai ngời cùng làm chung một ông việc tong 4 ngày sẽ hoàn thành . Nếu
ngời thứ nhất làm một mình trong 9 ngày , rồi ngời thứ hai đến ùng làm trong 1
ngày nữa mới xong . Hỏi mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành
công việc đó ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y ( ngày ) lần lợt là thời gian ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm
một mình
xong công việc . ( điều kiện : x , y > 4 ; x , y

Â
)
Hệ phơng trình lập đợc :
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y







+ =
+ =



12
6
x
y

=
=
Bài 4 : Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiêt máy . Trong tháng hai
tổ I làm vợt mức 12% , tổ II làm vợt mức 15% nên cả hai tổ làm đợc 819 chi tiiết
máy . Hỏi trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
23
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
H ớng dẫn :
Gọi x , y lần lợt là số chi tiết máy mà tổ I và tổ II sản xuất đợc trong
tháng giêng .
Điều kiện : x , y


+
Â

Hệ phơng trình lập đợc :
720
115.
112.
819
100 100
x y
y
x

+ =
+ =



300
420
x
y





=
=
Bài 5 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc thì trong 16 giờ hoàn thành .
Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc
25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó thì trong bao lâu thì
xong công việc ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y ( giờ ) lần lợt là thời gian ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm
một mình
xong công việc . ( điều kiện : x , y > 16 )
Hệ phơng trình lập đợc :
1 1 1
16

3 6 1
4
x y
x y







+ =
+ =



24
48
x
y





=
=
Bài 6 : Hai lớp 9A và 9B cùng lao động trồng cây , công việc hoàn thành trong 4
giờ . Hỏi nếu làm riêng một mình công việc đó thì mỗi lớp phải mất bao nhiêu
thời gian , biết rằng lớp 9A có thể hoàn thành công việc đó sớm hơn lớp 9B là 6

giờ .
H ớng dẫn :
Gọi x (giờ) là thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc trồng cây .
( đk : x > 4)
Phơng trình lập đợc :
1 1 1
6 4
x
x
+ =
+


x = 6
Bài 7 : Hai xe tải phải chuyên chở một số hàng trong 6 giờ . Nếu sau khi xe thứ
nhất chở đợc
3
5
số hàng , còn xe thứ hai chở nốt số hàng còn lại thì phải mất 12
giờ mới xong . Hỏi mỗi xe chở hết số hàng trên trong bao lâu ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y (giờ) lần lợt là thời gian xe I và xe II chở một mình hết số
hàng trên .
Điều kiện : x , y > 6
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
24
Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9
Hệ phơng trình lập đợc :
1 1 1
6

12 2
5
x y
y







+ =
=



15
2
30
x
y





=
=
Bài 8 : Hai ngời cùng làm chung một việc dự định trong 12 giờ sẽ xong . Trong
thực tế , họ

chỉ làm chung với nhau 8 giờ rồi ngời thứ nhất nghỉ , còn ngời thứ hai cứ tiếp tục
làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong phần
việc còn lại trong 3 giờ 20 phút . Hỏi nếu mỗi ngời thợ ấy làm một mình với năng
suất dự định thì phải mất bao lâu thì làm xong công việc nói trên ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y (giờ) lần lợt là thời gian ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm một
mình với . năng suất dự kiến để xong công việc nói trên .
Điều kiện : x , y > 12
Hệ phơng trình lập đợc :
1 1 1
12
2 10 1
.
3 3
x y
y







+ =
=



30
20

x
y





=
=
Bài 9 : Trong dịp đầu xuân , hai lớp 9A và 9B tổ chức trồng 170 cây xanh quanh
bờ ao . Mỗi học sinh lớp 9A trồng 3 cây , mỗi học sinh 9B trồng 2 cây . Biết rằng
mỗi học sinh lớp 9A nhiều hơn số học sinh lớp 9B là 5 em . Tính số học sinh của
mỗi lớp ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y lần lợt là số học sinh của lớp 9A và lớp 9B . ( đk : x > y > 0 ;
x , y


Â
)
Hệ phơng trình lập đợc :
5
3 2 170
x y
x y

= +
+ =



36
31
x
y





=
=
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể cạn không có nớc và chảy đầy bể
trong 2 giờ 55 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ hai là 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao
lâu ?
H ớng dẫn :
Gọi x , y (giờ) lần lợt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một
mình đầy bể .
Điều kiện : x > y >
35
12

Hệ phơng trình lập đợc :
2
1 1 12

35
x y
x y







=
+ =



5
7
x
y





=
=
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
25