Mot chut hieu biet ve Ma Tran

Xem : Put_nam_Beyon
Một thoáng về ma trận, định thức:
MỘT VẺ ĐẸP BÍ ẨN
1. Định thức làm được gì ?
Sự ra đời của nó đã làm giảm độ phức tạp của nhiều bài toán .Những bài
toán tưởng chừng phức tạp nhưng “đối với định thức không có cái gì là
không thể”. Nhưng sự định nghĩa ban đầu của định thức , và các tính chất
của nó còn quá bí ẩn và …. Không thể hình dung nó xuất hiện như thế nào?
Chúng ta thử quan sát chút:
*Bài toán 1: Cho Ma trận A khả nghịch .CM: A+B khả nghịch
1
n
−
⇔ Ι + Α Β

khả nghịch
1
n
−
⇔ Ι + ΒΑ
++Đôi điều : Ta thấy  ( A+B)
1−
Α
=I+B
1−
Α
và
1−
Α
(A+B)=I+
1−

Α
B
Thoáng qua những điều này ta sẽ cm: mệnh đề sau đây là đúng:
A khả nghịch ( cho trước): CMR: AB khả nghịch
B⇔
khả nghịch
Thật vậy : ta có det(AB)=det(A).det(B) ( ta đã có :detA
0
≠
)
Và: nếu * det(AB)
0
≠
det(AB)
det = 0
detA
B⇒ ≠
*detB
0≠
thì det(AB)
0≠
Bổ sung thêm một KQ: A khả nghịch
det 0A
⇔ ≠
Và ta áp dụng với : B:=A+B ()
Bài toán 2: CMR:
Tr(P
1−
AP)=Tr(A)
++ Đôi điều : KQ sau có ích gì cho lời giải bài toán

-1 k -1 k
(P A.P) P A .P=
Bài toán 3 CMR:
Với A
Xm n
∈Μ
:
0 0 0 ( ) 0 ( ) 0
( ) 0, ( ) 0, 0, 0,
X X X X
T T T T
mxn
m n m n m n m n
A AA A A Tr AA Tr A A
Tr AB B Tr BA B AB B BA B
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= ∀ ∈Μ ⇔ = ∀ ∈Μ ⇔ = ∀ ∈Μ ⇔ = ∀ ∈Μ
Giải:
. 0 0
T
A A A= ⇒ =
Ta thay vào đó là
. 0 0A B A B= ⇒ = =
( với B là ma trận hoán vị , ta định nghĩa thêm về
ma trận này:là ma trận tạo ra bằng cách hoán đổi vị trí của các ma trận cho trước nào đó)
Ta không quá chú ý đến A,B vì chúng thực chất có vai trò như nhau:
Xem các hệ số của A là các ẩn và hệ số của B là ẩn … thì hệ này phải có nghiệm là một
hoán vị của hệ số!
1/ Ta cm hệ này có nghiệm duy nhất ?
2/Nếu m=n thì ta được vấn đề là các ma trân vuông tính toán sẽ dễ hơn?

Để kiểm nghiệm trước khi đi đến cm hay phủ định những giả thuyết trên : ta xem xét một
TH cụ thể đề góp phần đưa đến những phán đoán sơ bộ
Xét hệ phương trình:
0
0
0
0
0
ax bz
a b x y ax bz ay bt ay bt
c d z t cx dz cy dt cx dz
cy dt
+ =


+ + + =
    

= = ⇔

 ÷ ÷  ÷
+ + + =
    


+ =

Xét ma trận tương ứng:
0 0 0
0 0 0

0 0 0
0 0 0
a b
a b
c d
c d
+abcd=0
*a=b=c=d=0 thì ổn x=y=z=t=0
*a=b=c=0,d khác 0 thì z=0=t=
Dùng Math Type và một điều thú vị:
Giả sử: ta viết một đoạn bên word rồi copy sang phần mềm Math Type và Copy ngược lại
thì sẽ nhận kq thế nào ? ( nó khác nhau rồi ?
Vậy :
1
( ( ))f f x x
−
=
không còn đúng nữa
Khi đó sẽ thấy vấn đề trên không còn đúng nữa
** 0 0, 0,
X X
mxn m n m n
A BA B AB B= ⇔ = ∀ ∈Μ ⇔ = ∀ ∈Μ
Hai ý này thật đơn giản , chỉ việc chon B=I thì có ngay KQ
Vài vấn đề về ma trận :
1/ Liên hệ bài toán với pt bậc n có hệ số cao nhất là 1, các
nghiệm của đa thức này trùng với các hệ số của chúng
2/ Vấn đề đa thức bất khả quy hay khả quy liên hệ với ma
trận ? có thể phân tích thành tích hai ma trận , ma trận khả
nghịch trái .. phải ..

Bài toán : CMr: Với A,B là hai ma trận vuông thỏa :
Tr(
) ( )
t t t t t
AA BB Tr AB A B A B+ = + ⇒ =
Thêm bài toán : CMR: A là ma trận vuông phản đối xứng thì
det( ) 0,I A R
λ λ
+ ≥ ∀ ∈