SKKN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC hóa vào GIẢI một số bài TOÁN đại số TRONG TRƯỜNG THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
VÀO GIẢI MÔṬ SỐ BAI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG
TRƯƠNG THPT

Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán


MỤC LỤC

Nội dung

Trang

Mục lục.............................................................................................................................. ............1
1.MỞ ĐẦU.................................................................................................................................. 2
1.1 Lý do chọn đề tài........................................................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................................. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................................ 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................... 2
2. NỘI DUNG............................................................................................................................ 3
2.1. Cơ sở lí luận...................................................................................................................... 3
2.1.1. Cac ham sô cơ bản…………………..................................

3

2.1.2. Môṭsô biểu thưc lương giac cơ bản vê miên gia tri..........................3
2.1.3. Phép đổi biến sô………….................................................

4

2.2. Cơ sơ thực tiễn.................................................................................................................. 5
2.3. Nôịdung nghiên cưu....................................................................................................... 5
2.3.1. Dạng 1...................................................................................................................... 5
2.3.2 Dạng 2....................................................................................................................... 9
2.3.3 Dạng 3...................................................................................................................... 11
2.3.4 Dạng 4...................................................................................................................... 13
2.4. Kết quả nghiên cưu của SKKN............................................................................... 15
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………………...

16

Tài liệu kham khảả̉o.................................................................................................................. 18

1


1. MƠ ĐÂU
1.1. Lý do chọn đề tài
Là giáo viên dạạ̣y nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những
trắc trở trong việc giảả̉ng dạạ̣y ở nhiều bài toán như giảả̉i phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình vô tỉ, tich phân, sô phưc.... Vì mỗi bài toán có thểả̉ có nhiều
cách giảả̉i khác nhau, mỗi cách giảả̉i thểả̉ hiện được khái niệm toán học củả̉a nó. Trong
các cách giảả̉i khác nhau đó, có cách giảả̉i thểả̉ hiện tính hợp lí trong dạạ̣y học, có cách

giảả̉i thểả̉ hiện tính sáng tạạ̣o củả̉a toán học. Phương phap lương giac hoa mang lại tinh
sang tạo, ngăn gon, dễ hiểu cho hoc sinh khi xử li môṭsô bai toan kho. Chinh vi vây
tôi chon đê tai của sang kiến kinh nghiêṃ la:”Ứng dung phương phap lương giac
hoa để giải môṭsô bai toan đại sô trong trường THPT”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giảả̉i một số bai toan bằng “ con
mắt” củả̉a lượng giác. Từ những bài toán không chứa những yếế́u tố lượng giác, bằằ̀ng
phéế́p đổả̉i biếế́n ta chuyểả̉n bài toán về lượng giác, cách giảả̉i như vậy gọi là phương
pháp lượng giác hoá. Qua phương phap nay giúp hoc sinh phat triển tư duy sang
tạo, tư duy logic va tổng quat hoa bai toan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong phần giảả̉i phương trinh, hệ phương trinh vô ti, sô
phưc. Phương pháp nay dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT
Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Ở đây tôi nêu ra phương pháp xây dựạ̣ng cơ sở lí thuyếế́t thông qua một số bai
toan cu thể vê phương trình, có hệ phương trình, sô phưc. Trong mỗi ví dụ tôi đã cố
gắng phân tích đểả̉ dẫn dắt ngườằ̀i đọc hiểả̉u và áp dụng được phương pháp lương giac
hoa đểả̉ giảả̉i. Bên cạạ̣nh đó tôi còn nêu ra một số bài tập đểả̉ ngườằ̀i đọc có thểả̉ rèn luyện
thêm kiếế́n thức.
2


2. NÔỊDUNG
2.1. Cơ sở li luân
Việc giảả̉ng dạạ̣y và ôn luyện giúế́p học sinh giảả̉i các bài toán liên quan đếế́n
lượng giác hoá, đòi hỏi ngườằ̀i giáo viên có phương pháp định hướng cơ bảả̉n dạạ̣ng
toán, sửả̉ dụng phương pháp nào là logic, biếế́t phân biệt phương pháp nào ngộ nhận
là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá.
Những kiếế́n thức liên quan:

2.1.1. Các hàà̀m số cơ bản:
*) Hàm số: y

sin x , y

cos x .

Miền xác định: R .
Miền giá trị:

1;1

.

Chu kì: 2 .
*) Hàm số:

y tan x .

Miền xác định:

x R:x

2 k ,k Z.

Miền giá trị: R .
Chu kì: .
*) Hàm số: y

cot x .

Miền xác định:

x R:x k ,k Z

.

Miền giá trị: R .
Chu kì: .
2.1.2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản vềà̀ miềà̀n giái trịị̣:

uA

sin x cos x 2 cos(x ) 2 sin(x ) thì

*) Nếế́u C

sin x

cos x thì

ta có

2

ta có 2 A 2 . 4

2

C

2

4

2

.

2.1.3. Phép đổi biếế́n số:

3


*) Nếế́u

, (k

x k

0)

thì ta đặt

*) Nếế́u x R

thì ta đặt x
x tan ,

*) Nếế́u x, y thoảả̉ mãn điều kiện a 2 x 2

x k sin ,

2

;

2

.

.

;

2

hoặc

k cos ,0;

2
b2 y 2

c 2 , (a, b, c 0)

x

thì ta đặt

c sin

,

a

yb

c

cos ,0;2

.

*) Nếế́u x, y, z thoảả̉ mãn

x y z xyz

hoặc

xy yz zx 1 thì

ta có thểả̉ đặt x tan ,

0;

y tan , z tan

với

, ,

;

2

2

.

2

;2

*) Một số biểả̉u thức (dấu hiệu) thườằ̀ng gặp:

Biểu thức
x2

Cách đặt
x

a2

Miềà̀n giá trịị̣ của biếế́n

a tan

(hoặc x

a

cot

)

;
2 2

(hoặc0; )
;

a2

x

x2

2 2

a sin

(hoặc x

a

cos

)

(hoặc0;

)

a

x2 a

2

x

0;

\

cos

hoặc
a

a x
a x

hoặc

a x
a x

2

a

\0

sin

x a cos 2

hoặc

;

2 2

R
R

x a (b a) sin

( x a)(b x)

x y

x y
hoặc

1 xy

2

xtan
ytan

1 xy

,

;

2

2

2.2. Cơ sở thưc tiễn

4


Trong trườằ̀ng THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công
việc giảả̉ng dạạ̣y sao cho đa số học sinh tiếế́p thu, hiểả̉u và vận dụng giảả̉i toán không
phảả̉i là công việc đơn giảả̉n củả̉a mỗi giáo viên.
Đểả̉ giảả̉ng dạạ̣y nâng cao kếế́t quảả̉ học tập củả̉a học sinh, tôi đã thựạ̣c hiện nhiều
biện pháp từ giáo dục, động viên giúế́p đỡ trong đó không thểả̉ thiếế́u phương pháp
giảả̉ng dạạ̣y khoa học lôgic, tạạ̣o động lựạ̣c đểả̉ học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên
cơ sở khoa học mà ngườằ̀i thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên
quan đếế́n đề tài mà tôi đang trình bày và đề tài có nhấn mạạ̣nh đếế́n một số dạạ̣ng tổả̉ng
quát dành cho học sinh giỏi, nó không phảả̉i là đểả̉ dạạ̣y ở một lớp có nhiều đối tượng
học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà ngườằ̀i thầy linh
hoạạ̣t giảả̉i quyếế́t.
2.3. Nôịdung nghiên cưu

2.3.1. DẠị̣NG 1: Trong bài có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng
Phương pháp: Ta đặt x

, với

a sin

Ví dụ 1: Giảả̉i phương trình: 4x

3

2

3x

;

2

a2

x2

(hoặc x

.
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu

.
a

cos

, với0; ).

1 x2

Giảả̉i:
Điều kiện: 1

x

2

x

0

Với điều kiện (*) ta đặt x

1.

a2

x2

với a

1

.

(*)

cos ,

0;

.

(**)

Khi đó phương trình được chuyểả̉n về dạạ̣ng:
(**)

4 cos3

3cos

1

cos2

cos 3

sin

cos 3

sin

cos 3 cos

2

5


k
3

x cos
8
5

k2
(**)

2

8

8
5

2

x cos
8

3

k2

k

2

8

3

4

3
x cos

4

sin

8

,

;

Ví dụ 2: Giảả̉i phương trình:

, x cos 5 , x cos

8

2
x(1 2

1 x2

).
1 x2

Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu

a2

x2

với a

Giảả̉i:
Điều kiện: 1

x

2

0

x

1.

(*)

Với điều kiện (*) ta đặt

x sin ,

2

;

.

2

Khi đó phương trình được chuyểả̉n về dạạ̣ng:
1

1

sin 2

2 cos

2 cos

sin

sin

(1

2 1

sin 2

2 cos

2

2

(1

2 sin

sin 2

3

2

) 0

)

1

cos

cos

6

3

sin

Lưu ý: Ta cũng có thểả̉ đặt x cos
Ví dụ 3: Giảả̉i bất phương trình:

,

2

0

1 x 1.

)

x

2

x

1

x

2.
1

.
3x

2

1x

1

x

2.

x 1

2

0;
1

1

x2

2 cos

0
2

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt

ĐK: 1

(1

2

2

2

Giảả̉i:

sin

2sin 3 cos
2

3.
4

.

2
1

4

x cos

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Lưu ý: Ta cũng có thểả̉ đặt x

.

2

1.

1.


Ta đặt x

cos t, t

0;

.

(**)

6


Khi đó BPT được chuyểả̉n về dạạ̣ng:

1

3cost
2

1 cos t
(

1

2

... cot

t 3cot t 2 0

cot t 2

2

1 cos t

cot t 1

cost 2sin t

t4

2

2

Vậy tập nghiệm củả̉a BPT là

.

2

T1;

Ví dụ 4: Giảả̉ i hệ phương trình

1x 2

y

1

x

;1

5
1

2

y

.

1

Giảả̉i:
ĐK:

1

Ta đặt

x, y

y

.

1

,

với

sin

;

.

xsin

2

2

Khi đó hệ được đưa về dạạ̣ng:
sincos1

sincos1

sincos1

...

...

0

sincos1

sin() 0

0

x y 0

.

x y 1

2

Vậy hệ mcó 2 nghiệm (0;0), (1;1) .
Ví dụ 5: Tìm

đểả̉ hệ sau có nghiệm:

3mx

3 y

5m

. (1)
2

1x

y0

Giảả̉i:
ĐK: 1 x
Ta đặt x

1.

cos t, t

.

0;

Khi đó từ (1) có dạạ̣ng:
3m cos t

3 1

cos2 t

5m

3cos

Đểả̉ hệ (1) có nghiệm
(3m)

2

2

...

9 (5m)

3m 0
4

sin t 3m cost 5 0

Vậy

3
4

m

0

3sin t

5m

(2)

phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn sin t

0

.

.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

7


Giảả̉i các PT, BPT, Hệ PT sau:
1) x3

x 2 )3

(1

x2).

x 2(1

2

ĐS: PT có 2 nghiệm: x

;

1

x

2

2 2

2

2)

1 x 2 (1 x)3

1

(1 x)3

3)

1

1

1

4)
1

5)

x2

2
2

2 y

1

.

.

.

1.

x2

1
2 x2

x

1 x2

x2
3
3x

1

x

6)

22

.

2

2

ĐS: PT có 1 nghiệm: x

1

2

.
2

x

1

2x

2

y

2

.

2

2.3.2. DẠị̣NG 2: Trong bài có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng

.
x2 a2

a
Phương pháp: Ta đặt x

, với

0; \

cos

2

a

(hoặc a

, với

sin

2

Ví dụ 6: Giảả̉i phương trình

;

2

0 ).

\
x

x
x

2

1

2

2.

Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu

x2 a2

với a

1

.

Giảả̉i:
Điều kiện:

x

0
x1

0

x2

1

.

Với điều kiện (*) ta đặt

(*)
1

x

.
, 0;

cos

2

Khi đó phương trình được chuyểả̉n về dạạ̣ng:
1
cos

1
cos
1
cos2

2 2
1

1

1

cos

sin

2 2 sin

cos 2 2 sin .cos .

8


Đặt u sin

(điều kiện 1

cos

2 ),

u

ta có sin

.cos

u2

1

.

2

u
2

u2 (u

1)

2u

2

u

2

2 0

1
u

sin

cos

2

2 sin(

4 ) 24 2

k24 x

Vậy phương trình có 1 nghiệm: x

, 0;

sin

1 0

x 1

x

2

.

3

Ví dụ 7: Giảả̉i bất phương trình x
HD:
2

2.

2.

1

Lưu ý: Ta cũng có thểả̉ đặt x

Điều kiện: x

2 (l)

x

.

2

1

5
2

.

(*)

1

x

1
Với điều kiện (*) ta đặt

x

Bất phương trình trở thành

, t 0;

cos t

1

cos t

cos t

\

.

2

1

.

3

5
2

cos t sin t

. (2)

Xéế́t hai trườằ̀ng hợp:
TH1:

t 0;

.

2

Phương trình (2) có dạạ̣ng:
1
cos t

1
sin t

Đặt u

sin t

3

5
2

cos t(u

2(sin t cos t) 3

2; 2 )

5 sin t.cos t .

sin t.cos t

(2’)

u2 1
2 .

BPT (2’) trở thành:
2u 3 5.

u2 1
...
2

5
u

3

3
5

...

9


TH2: t

;.

2

Ví dụ 8: Giảả̉i bất phương trình
HD: ĐK: x
Ta đặt

x

cos t

1
x

2

5

2

1

.

.

1

1

x

, t 0;

\

2

(**)

.

Khi đó BPT có dạạ̣ng:
1
cos t . 1 5 . cos t
sin t cos t 2

Xéế́t hai trườằ̀ng hợp:

TH1:

t 0;

TH2: t

2

.

2

; .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giảả̉i phương trình:

x

x
x

2

35
12

1

x

ĐS: Phương trình có 2 nghiệm:
2) Giảả̉i bất phương trình:

5;x

5

4

3

x

x
x

2

.

35
1

.

.

12

2.2.3. DẠị̣NG 3: Trong bài có chứa biểả̉u thức dạạ̣ng
Phương pháp: Ta đặt x

tan t

, với

a

(hoặc x

a

cot t

t

Ví dụ 9: Giảả̉i phương trình

.

;

2

, với t0; ).

x2 a2

2 2

.

x2 1 x
x

2

1

Nhận xéế́t: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu

x2 a2

với a

1

.

Giảả̉i:

10


ĐK: x

R.

Đặt x tan t , với

t

;

2

.

2
tan

Phương trình đã cho trở thành:

2

sin t 1(l)
2 sin 2 t sin t 1 0

sin t

1t

Với sin t

2

Vậy phương trình có 1 nghiệm

...

2

tan t 1

1.
2

x tan( )
6

6

2

t 1 tan t

1

.

3

x

1

.

3

x

Ví dụ 10: Giảả̉i bất phương trình

3

x

1 3

2

2

3x 1

Giảả̉i:
ĐK:

x R

.

.

x

Đặt

tan t , với

32

t

;

2

.

2

Bất phương trình đã cho trở thành:
2

1 tan t

t sin t 1 2 sin t 1 tan t

Vậy BPT có nghiệm đúế́ng

2

3

2

tan t 1

x

1

1

2sin

tan 2 t

32

1

...

luôn đúế́ng.

3

R.

x

2a2

Ví dụ 11: Với a

0,

giảả̉i bất phương trình x2 a2 x

x2

a2 .

Nhận xét: Có dạạ̣ng củả̉a ví dụ 10.
Giảả̉i:
ĐK: x

R.
t

Đặt x

a tan t

, với

;

.

2 2

11


2a 2

a2 tan2 t a2

Bất phương trình đã cho trở thành:
2

2 sin

t sin t 1

1

sin t 1

tan t

a tan t

1 x

2

a

3

Vậy BPT có nghiệm đứng

a

x

a2 tan2 t a 2

...

.

3

.

3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giảả̉i phương trình: x
x5

x 2 11 31. ĐS:

.

2) Giảả̉i bất phương trình:

2(x x

2

a

2

)

5a 2
x2 a

.

2

2.2.4. DẠị̣NG 4: Nếu x,y thoa man điêu kiên a 2 x 2
x

c
b cos ,

c
a sin , y

b2 y 2

c 2 , (a, b, c

0)

thì ta đặt

.

0;2

Ví dụ 12: Cho phương trình x 1 x m (với m là tham số)
a) Tìm điều kiện củả̉a m đểả̉ phương trình (1) có nghiệm.

(1)

m 1.

b) Giảả̉i phương trình khi
Giảả̉i:
ĐK:

1

x

0

0

x

x 0

1

.

Ta thấy rằằ̀ng

, nên ta đặt
( x)

2 ( 1 x)

2

1

Khi đó phương trình trở thành:

, với
xcos t
1

cos t sin t m

x

sin t

cos(t

)

m

4

a) Điện đểả̉ (1) có nghiệm

b) Khi m

1

(1’) có nghiệm

, phương trình đã cho trot thành: cos(

t

2
)
4

cos(t

4 ) cos

t

4

2

t 0

*) Với t

2

x

0

x

(do

t

0;

t

0;

2

(1’)

2

m 1

1

.

2

m

2.

1
2

)

2

0.

12


x 1

*) Với t 0
Vậy khi m

x 1

.
phương trình (1) có 2 nghiệm x

1

0

,x

1.

Lưu ý: Bài toán trên ta có thểả̉ giảả̉i bằằ̀ng phương pháp khác.
Ví dụ : Giảả̉i bất phương trình
ĐK: 1

x

0

1 x 1

1 x 0

1 x

x.

1 x

.(*)

Với điều kiện (*) ta đặt x cost , với t

.

0;

Khi đó bất phương trình được chuyểả̉n về dạạ̣ng:
1 cos t

1 cost

cost

cos t ... cos(

2 cos2 t
2

1 cos t

t
2

) 0
4

t
2 2 4...1 x 0 .

Vậy bất phương trình có nghiệm 1 x 0 .
Ví dụ 13 : Tìm a đểả̉ bất phương trình sau có nghiệm:

a x

a x

a.

Giảả̉i:
ĐK:

a

x

.

0

a0

a0

(*)

ax0

axa

Với điều kiện (*) ta đặt x a cos t , với t

. (**)

0;

Khi đó bất phương trình được chuyểả̉n về dạạ̣ng:

a a cost

a cost

a a cost

2a (cos

t

Từ (**) ta được:
4

2

4

2
2

4

t

t

sin

2
cos(

) a

2
t

2

)

2

4

a

4.

a
2

) 1.
4

a

Vậy đểả̉ bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 2
Vi du 14: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

t

... cos(

1

3.

Tìm môđun lớn nhất củả̉a số phức z 2i.
A.

6 17.

26 6 17. B. 26

Gọi
z 1 2i

z
9

x

yi; x

x 12

C. 26 8 17.
Giai:
;y

y 22

z 2i x

D. 26 4 17.
.
y 2i

Ta

có:

9.

13


Đặt x 1 3sin t; y 2 3cos t; t 0;2 .
z 2i

2

2

1 3sin t

26 6 17

z 2i

2

4 3cos t

26 6 17

26 6 17sin

26 6 sin t 4cos t

z 2i max

t

;

26 6 17.

Chọn đáp án A.
Vi du 15:
Cho số phức z thoảả̉ mãn z 3 4i
nhỏ nhất củả̉a biểả̉u thức
w M mi.

B.

A. w 2315 .
Đặt z x yi

5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị

P z 2 2 z i 2 . Tính môđun củả̉a số phức

C.
w

Giai
. Ta có P x 2

w 3

1258 .
2

y

D.

2

x

2

y

137 .
12

w
4x 2y 3

2 309 .

.

Mặt khác z 3 4i
5x 3 2 y 4 2 5 .
5 cos t
Đặt x 3
5 sin t , y 4
Suy ra P 4 5 sin t 2 5 cos t 23 .
Ta có 10 4 5 sin t 2 5 cos t 10 .
Do đó 13 P 33 M 33
, m 13

w

332 132

1258 . Chon B

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giảả̉i bất phương trình:
0

1x

1 x x . ĐS: 1 x

.

2) Tìm a đểả̉ BPT sau có nghiệm:
4

a x a x a . ĐS: a

.

3) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm môđun nhỏ nhất củả̉a số phức z

1 i.

ĐS: 2
2.3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Qua quá trình giảả̉ng dạạ̣y tôi thấy học sinh đã giảả̉i quyếế́t các bài toán thuộc các dạạ̣ng
trên một cách nhanh hơn, linh hoạạ̣t hơn bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa. Thựạ̣c tếế́,
trong nhiều năm liền tôi may mắn được giảả̉ng dạạ̣y ở các lớp nâng cao có nhiều đối
tượng học sinh khá, giỏi. Vào các tiếế́t luyện tập tôi đã có việc lồng ghéế́p phương
14

.


pháp lượng giác háo đểả̉ học sinh giảả̉i được các bài tập nâng cao nhằằ̀m các em thu
thập thên kiếế́n thức và kinh nghiệm đểả̉ áp dụng trong các kì thi đạạ̣i học, cao đẳng.
Năm học 2018 – 2019 tôi được phân dạạ̣y môn toán lớp 12C6, 12C7 trường THPT Ham Rông
(là lớp chọn theo khối A1 củả̉a nhà trườằ̀ng). Kếế́t quảả̉ kiểả̉m tra 2 nhóm học sinh (có học lực từ TB
khá trở lên) cuối năm lớp 12 về chủả̉ đề: Giảả̉i phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô
tỉ, tim gia tri lơn nhât, gia tri nho nhât của mô-đun sô phưc... thu được kếế́t quảả̉ như sau:

Nhóm

Sĩ
số

Giỏi
SL

TL%

Khá
SL

TL%

Trung bình
SL
TL%

Yếế́u
SL

TL%

Nhóm1 20
7
35,0% 10
50,0% 2
10,0% 1
5,0%

Nhóm 2 20
2
10,0% 9
45,0% 7
35,0% 2
10,0%
Nhóm 1(Đươc dạy phương phap lương giac hóa): la cac hoc sinh của lơp 12C6
Nhóm 2(không đươc dạy phương phap lương giac hóa): la hoc sinh của lơp
12C7
3. KẾT LUẬN-KIÊN NGHI
3.1. Kết luân
Với kếế́t quảả̉ nghiên cứu đã đạạ̣t được, tôi đã rất thành công trong việc hướng dẫn,
bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi. Tuy nhiên , đểả̉ giảả̉i quyếế́t các bài toán bằằ̀ng
phương pháp lượng giác hóa thì các en học sinh cần phảả̉i nắm vững công thức LG
cũng như giảả̉i phương trình, BPT lượng giác.
3.2. Kiến nghị:
Trong thờằ̀i gian tới, nếế́u có điều kiện tôi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này.
Trên đây là một phương phap giảả̉i phương trình, BPT, hệ phương trình vô tỉ, tim
GTLN, GTNN của mô-đun sô phưc bằằ̀ng phương pháp lượng giác hóa trong việc
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, đề tài trên không tránh khỏi những thiếế́u
sót cần bổả̉ sung. Tôi rất mong được sựạ̣ góp ý quý đồng nghiệp đểả̉ SKKN củả̉a tôi
hoàn thiện hơn.
Xin trân thành cảả̉m ơn!

15


XÁế́C NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củả̉a mình
viếế́t, không sao chéế́p nội dung củả̉a ngườằ̀i khác
Ngườằ̀i viếế́t

Trinh Đinh Chiến

TÀI LỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp giảả̉i toán – Lê Hồng Đức (chủả̉ biên).
2. Phương trình và bất phương trình – Phan Huy Khảả̉i.
3. Giảả̉i tích hiện đạạ̣i – Vũ Tuấn (3 tập).
4. Một số số báo “ Toán học và tuổả̉i trẻ”.

16


DANH MỤC
CÁế́C ĐỀ TÀI SÁế́NG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢị̣C HỘI ĐỒNG ĐÁế́NH GIÁế́ XẾP LOẠị̣I
Họ và tên tác giảả̉: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên

TT

Tên đềà̀ tàà̀i SKKN

Cấp đánh giá

Kếế́t quả
đánh giá

Năm họị̣c
đánh giá

xếế́p loạị̣i

xếế́p loạị̣i

xếế́p loạị̣i

(A, B, C)
1

Phat hiên va sửa chưa sai

Sở giáo dục và đào

C

2013-2014

17


2

lâm của hoc sinh khi giải bai
toan tổ hơp

tạạ̣o thanh hóa

Môṭsô phương phap giải toan
hinh hoc không gian ơ trường

Sở giáo dục và đào
tạạ̣o thanh hóa

B

2015-2016

THPT

18