SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG

Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
A.Tên đề tài : SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG.
B.Đặt vấn đề:
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng
tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở
dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ
tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp
dạy học .
Là giáo viên giảng dạy nhiều năm ở bộ môn toán trung học phổ thông,
chúng tôi đã gặp nhiều trắc trở trong công tác giảng dạy nhiều dạng toán ở
bậc phổ thông trung học. Vì mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, mỗi
cách giải thể hiện khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau
đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính
sáng tạo của toán học. Trong đề tài này, chúng tôi giải một số bài toán bằng
“con mắt” của lượng giác .
Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép
đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương
pháp lượng giác hóa. Do đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh
nghiệm nhiều năm của bản thân và việc học tập nghiên cứu khoa học, thử
nghiệm trực tiếp nhiều năm trong công tác giảng dạy, chúng tôi mạnh dạn
trao đổi cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
C. Cơ sở lí luận:
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến
lượng giác hóa, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản
dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp
nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc
lượng giác hóa?
Những kiến thức liên quan
a) Các hàm số cơ bản, miền giá trị:
+ y = sinx , y = cosx : Miền xác định R

: Miền giá trị
[ ]
1;1
−

: Chu kì 2
π
+ y = tanx : Miền xác định là :
Rx
∈∀
: x
Zkk
∈+≠
,
2
π
π
: Miền giá trị R
: Chu kì
π
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
1
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
+ y = cotx : Miền xác định là :
ZkkxRx
∈≠∈∀
,:
π
: Miền giá trị R
: Chu kì

π
b) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:
+ A = sinx + cosx =
)
4
cos(2
π
−
x
=
)
4
sin(2
π
+
x
, -
22
≤≤
A
+ B = cosx – sinx =
)
4
cos(2
π
+
x
=
)
4

sin(2 x
−
π
, -
22
≤≤
B
+ C =
xx cossin
βα
+
, -
≤≤+
C
22
βα
22
βα
+
+ D = cos
xx
nn
sin
+
, -1
1
≤≤
D
c) Phép đổi biến số:
- Hệ tọa độ cực:

M
);(
2
yxMR
⇒∈
Nếu M
∈
C(O;R) thì x
222
Ry
=+
phép đổi biến là



=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
Ry
Rx
Nếu M
∈
hình tròn C(O;R) suy ra x
222
Ry
=+
, phép đổi biến là




=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
sy
rx
Với r
222
Rs
≤+
- Hệ tọa độ trụ:
M
);;(
3
zyxMR
⇒∈
Nếu M
∈
hình trụ (H) :



=
=+
zz

Ryx
222
phép đổi biến là





=
=
=
zz
Ry
Rx
ϕ
ϕ
sin
cos
Nêú M nằm trong hình trụ (H) :



=
=+
zz
Ryx
222
phép đổi biến là






=
=
=
zz
sy
rx
ϕ
ϕ
sin
cos
với r
222
Rs
≤+
- Hệ tọa độ cầu:
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
2
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
M
);;(
3
zyxMR
⇒∈
Nếu M
∈
C(O;R) : x
2222

Rzy
=++
phép đổi biến là





=
=
=
ϕ
γϕ
γϕ
sin
sincos
coscos
Rz
Ry
Rx
D. Cơ sở thực tiễn :
Trong trường trung học phổ thông hiện nay có nhiều đối tượng học sinh,
do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng
giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên .
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, chúng tôi đã thực
hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể
thiếu phương pháp giảng dạy khoa học logic, tạo động lực để học sinh say
mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học người thầy đã gieo. Trong các
biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà chúng tôi đang trình bày
và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi,

nó không phải là đề dạy và học ở một lớp học có nhiều đối tượng học sinh.
Tùy thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh
hoạt giải quyết, rất mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý
thêm để đề tài ngày một hoàn thiện.
E. Nội dung nghiên cứu: CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: Nếu
.1,1
22
=+≤
BAA
Đặt A = cos
ϕϕϕϕ
cossin,sin
===
B
Ví dụ 1 : Cho 4 số x , y , u , v thỏa : u
1
2222
=+=+
yxv
. Chứng minh rằng :

2)()(
≤++−
yxvyxu
Vì u
1
2222
=+=+
yxv

. Đặt x = cos
α
, y = sin
α
, u = cos
ϕ
, v = sin
ϕ
.
Ta có :
2)()(
≤++−
yxvyxu


⇔
2)sin(cossin)sin(coscos
≤++−
ααϕααϕ

2)sin.coscos.(sin)sin.sincos.(cos
≤−++⇔
αϕαϕαϕαϕ

2)sin()cos(
≤−+−⇔
αϕαϕ


2)

4
cos(2
≤−−⇔
π
αϕ

1)
4
cos(
≤−−⇔
π
αϕ
( luôn đúng )
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Với mọi n
,2,
≥∈
nN
với mọi a .Ta có
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
3
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
-(1+a
nnnn
aaa )1()1()2()
222
+≤−+≤

Ta có -1
1)
1

1
()
1
2
(
2
2
2
≤
+
−
+
+
≤
nn
a
a
a
a
Vì
1)
1
1
(
)1(
214
)
1
1
()

1
2
(
2
2
2
22
242
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
−++
=
+
−
+
+
a
a
a
aaa
a
a

a
a
.
Đặt
αα
sin
1
1
,cos
1
2
2
2
2
=
+
−
=
+
a
a
a
a
Khi đó ta cần chứng minh : -1
1sincos ≤+≤
αα
nn
. ( luôn đúng )
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
Nếu

≤−
1
x
,1
≤
với mọi n
2
≥
thì (1-x)
nnn
x 2)1(
≤++
.
Đặt x = cos
α
. Khi đó (1)
nnn
2)
2
cos2()
2
sin2()cos1()cos1(
2222
≤+=++−⇔
αα
αα
1)
2
(cos)
2

(sin
22
≤+⇔
nn
αα
. ( luôn đúng ) .
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với mọi a, b . Ta có
2
1
)1)(1(
)1)((
22
≤
++
−+
ba
abba
(1)

Ta có (
1)
)1)(1(
1
()
)1)(1(
2
22
2
22
=

++
−
+
++
+
ba
ab
ba
ba
.
Đặt
αα
cos
)1)(1(
1
,sin
)1)(1(
2222
=
++
−
=
++
+
ba
ab
ba
ba
.
Khi đó (1)

2
1
)1)(1(
1
)1)(1(
2222
≤
++
−
++
+
⇔
ba
ab
ba
ba
12sin
2
1
2sin
2
1
2
1
cos.sin
≤⇔≤⇔≤⇔
αααα
( luôn đúng ) .
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng : với mọi x , y ta có :
1

)1)(1(
)1(2)1(2
22
22
≤
++
−+−
yx
xyyx
Ta có : (
1)
1
1
()
1
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
x
x
x
x

, (
1)
1
1
()
1
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
y
y
y
y
.
Đặt cos
2
2
2
1
1
sin,
1

2
x
x
x
x
+
−
=
+
=
αα
Đặt cos
2
2
2
1
1
sin,
1
2
y
y
y
y
+
−
=
+
=
ββ

.
Khi đó ta chứng minh :
1sin.cossin.cos
≤+
αββα

1)sin(
≤+⇔
βα
(luôn
đúng )
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
4
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng

Ví dụ 6 : Cho
1;1
≥≥
ba
. Chứng minh rằng :
1
1111
222222
≤−+−
baabab
(1)
Ta có (1)
1
11
22

≤
−+−
⇔
ab
ba

1
1111
22
≤
−
+
−
⇔
ab
b
ba
a
.
Nhận xét : (
1)
1
()
1
22
2
=+
−
aa
a

, (
1)
1
()
1
22
2
=+
−
bb
b
.
Đặt cos
aa
a 1
sin,
1
2
=
−
=
αα
,
cos
bb
b 1
sin,
1
2
=

−
=
ββ
Khi đó ta cần chứng minh :
1cos.sinsin.cos
≤+
βαβα


1)sin(
≤+⇔
βα
. (luôn đúng).
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng với mọi a, b , x , y .
Ta có
1
))((
)(2)(2
2222
2222
≤
++
−+−
ybax
xaybybxa
.
Nhận xét (
1)()
2
2

22
22
2
22
=
+
−
+
+
ax
xa
ax
ax
và (
1)()
2
2
22
22
2
22
=
+
−
+
+
by
yb
by
by

.
Đặt : cos
22
2
22
2
sin,
2
ax
xa
ax
ax
+
−
=
+
=
αα
cos
22
22
22
sin,
2
yb
yb
by
by
+
−

=
+
=
ββ

Như vậy ta cần chứng minh :
1cossinsincos
≤+
βαβα

1)sin(
≤+⇔
βα
( luôn đúng ).
Ví dụ 8: Cho
0
>≥
ax
,
0
>≥
by
.
Chứng minh rằng :
xybaayabxb
≤−+−
22222222
(1)
Ta có (1)
xybyaaxb

≤−+−⇔
2222


1
2222
≤
−+−
⇔
xy
byaaxb
(2)
Nhận xét : (
1)()
22
22
=+
−
x
a
x
ax
và (
1)()
22
22
=+
−
y
b

y
by
Do đó đặt : cos
x
a
x
ax
=
−
=
αα
sin,
22
cos
y
b
y
by
=
−
=
ββ
sin,
22
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
5
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
Khi đó (2)
1cos.sinsin.cos
≤+⇔

βαβα

1)sin(
≤+⇔
βα
. (luôn đúng).
Ví dụ 9 : Chứng minh rằng
4
1
)()(
))((
222222
22222222
≤
++
−−
byax
yxbayaxb
.
Như cách nhận xét như ở ví dụ trên .Ta đặt
cos
))((
sin,
))((
22222222
byax
xyab
byax
aybx
++

+
=
++
−
=
αα
cos
))((
sin,
))((
22222222
byax
xyab
byax
aybx
++
−
=
++
+
=
ββ
.
Như vậy ta phải chứng minh :

4
1
sin.sin.cos.cos
≤
βαβα

hay
4
1
2sin.2sin
4
1
≤
βα
(luôn
đúng)
Ví dụ 10 : Chứng minh rằng với mọi a , b mà
1,1
≤≤
ba
.Ta có

2))1)(1((311
2222
≤−−−+−+−
baababba
. (1)
Vì
11
≤≤
bvàa
nên đặt a= sin
βα
sin,
=
b

với






−
∈
2
;
2
,
ππ
βα
. Khi đó
(1)
2)cos.cossin.(sin3cos.sincos.sin
≤−++⇔
βαβααββα
2)sin()cos(3
≤+++⇔
βαβα
(luôn đúng )
Ví dụ 11 : Chứng minh rằng :

2222222
))1)(1(()11( khbaabkabbah
+≤−−−+−+−
Với cách đặt như ví dụ 10 thì ta cần chứng minh

22
)cos.cossin.(sin)cos.sincos.(sin khkh
+≤−++
βαβααββα
22
)cos(.)(sin( khkh
+≤−+−⇔
βαβα
(luôn đúng )
Ví dụ 12 : Chứng minh rằng : -1
9816
22
≤+−≤
aaa
(1)
Vì
1
≤
a
nên đặt : a = cos
α
với 0
πα
≤≤
.
Khi đó (1)
5)12(4165
22
≤−+−≤−⇔
aaa

5)1cos2(4cos1cos6
22
≤−+−⇔
ααα

52cos42sin3
≤+⇔
αα
(luôn đúng )
Ví dụ 13 : Chứng minh rằng :
2222
)12(12 khakaha
+≤−+−
Với cách đặt như ví dụ 12 ta có
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
6
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
222
2cos.2sin.)1cos2(sincos2 khkhkh
+≤+=−+
ααααα
Ví dụ 14 : Cho a > c , b > c > 0 .
Chứng minh rằng :
abcbccac
≤−+−
)()(
(1)
Cách 1: Từ giả thuyết ta có : 0 <
1,

<
b
c
a
c
. Suy ra tồn tại






∈
2
;0,
π
βα
sao cho
βα
22
sin;sin
==
b
c
a
c
. Khi đó
)sin.(sin.)sin)(sin.()()(
2222
βαβα

bbabaacbccac
−+−=−+−
=
)cos.sincos.(sin
βααβ
+
ab
=
abab
≤+
)sin(
βα
(luôn đúng )
Cách 2: Từ (1)
1
)()(
≤
−+−
⇔
ab
cbccac
(2)
Vì
1)()(
22
=+
−
a
c
a

ca
và
1)()(
22
=+
−
b
c
b
cb
Nên đặt :
α
cos
=
−
a
ca
;
α
sin
=
a
c

β
sin
=
−
b
cb

;
β
cos
=
b
c
với






∈
2
;0;
π
βα
Khi đó (2)
1cos.sinsin.cos
≤+⇔
αβαβ

1)sin(
≤+⇔
βα
(luôn đúng )
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : Nếu
11
≤≤

yvàx
thì
1)12)(12()1)(1(4
2222
≤−−+−−
yxyxxy
Đặt x= cos
βα
cos,
=
y
với
[ ]
πβα
;0,
∈
Khi đó (1)
12cos.2cossin.sin.cos.cos4
≤+⇔
βαβαβα
12cos.2cos2sin.2sin
≤+⇔
βαβα
1)22cos(
≤−⇔
βα
(luôn đúng)
DẠNG 2 :
RA
≤

, A
222
RB
=+
, ĐẶT : A = R COS
ϕ
, B = R SIN
ϕ
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :
15493
2
≤+−
aa
(1)
Giả thuyết
⇒≤⇒
3a
đặt a = 3sin
α
với






−
∈
2
;

2
ππ
α
Khi đó (1)
15sin.3.4sin993
2
≤+−⇔
αα

15sin12cos9
≤+⇔
αα
(luôn đúng )
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
2222
khakxxah
+≤−−
với a >0. (1)
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
7