Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit tính chất bùng nổ, nghiệm toàn cục và tính chất tắt dần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY
BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT:
TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TOÀN CỤC VÀ
TÍNH CHẤT TẮT DẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY
BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT:
TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TOÀN CỤC VÀ
TÍNH CHẤT TẮT DẦN

Ngành:

Toán Giải tích

Mã số ngành: 62460102
Phản biện 1:

TS. Hồ Ngọc Kỳ

Phản biện 2:

TS. Trần Trí Dũng

Phản biện 3:

TS. Đỗ Đức Tân

Phản biện độc lập 1: TS. Nguyễn Minh Quân
Phản biện độc lập 2: TS. Hồ Ngọc Kỳ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. Lê Xuân Trường
2. TS. Huỳnh Quang Vũ

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số liệu
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công
trình nào khác.

Tác giả luận án

Lê Công Nhàn

i


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Xuân Trường
và TS. Huỳnh Quang Vũ vì đã giới thiệu đề tài, gợi ý cho tôi nhiều vấn đề
và ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án cũng như tận
tình giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong nghiên cứu khoa học và cả trong cuộc
sống.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong nhóm seminar đã đọc và đưa ra nhiều ý kiến hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi
xin chân thành cảm ơn các tác giả của các bài báo mà tôi đã trích dẫn, nhờ
các công trình của họ mà tôi có thể định hướng giải quyết các vấn đề trong
luận án của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Viện nghiên cứu cao
cấp về Toán đã tạo điều kiện cho tôi có thời gian làm việc và hoàn thành
luận án này trong thời gian làm việc ở Viện.
Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là thành viên trong các Hội
đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Cơ sở đào tạo, là các chuyên
gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh
giá và bình luận quý báu cùng với những đề nghị quan trọng tạo điều kiện
để tôi hoàn thành tốt luận án.
Tôi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học, Bộ môn Toán
Giải tích và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Thành phố Hồ Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi
học tập và hoàn thành luận án.
Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn đối với các đồng nghiệp thân
thiết của tôi ở Bộ môn Toán, Trường Đại học An Giang và các đồng nghiệp
ở Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố
Hồ Chí Minh vì sự động viên giúp đỡ và chia sẻ của họ trong quá trình tôi

ii


iii
hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tôi xin dành tất cả tình yêu thương cho gia đình, bạn bè và
người thân của tôi, sự quan tâm và động viên của họ là động lực để tôi tiếp
tục học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
******************************


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

DANH SÁCH KÝ HIỆU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3

Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4

Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Phương trình parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành
phần phi tuyến dạng logarit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2

Potential well và các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Tính chất tồn tại toàn cục và tính tắt dần . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1

Tính chất tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4.2

Tính chất tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . .

49

2.5

Chương 3. Phương trình giả parabolic chứa toán tử p-Laplace với
thành phần phi tuyến dạng logarit

. . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2

Potential well và các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3

Nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . .

62

iv


v
3.4

3.5

Tính chất tắt dần của nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . .

68

3.4.1

Tính chất tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.4.2

Tính chất tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . .

75

Chương 4. Phương trình khuếch tán phi tuyến kép với thành phần
phi tuyến dạng logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.2

Potential well trong không gian hàm . . . . . . . . . . . . . .

84

4.3

Nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . .

88

4.4

Tính chất tắt dần của nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . .

95

4.4.1

Tính chất tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.4.2

Tính chất tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5

Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . .

99

4.6

Trường hợp năng lượng đầu tới hạn . . . . . . . . . . . . . . 102

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


DANH SÁCH KÝ HIỆU

Ký hiệu tập hợp
N = {0, 1, 2, ...}

Tập hợp các số tự nhiên

Z = {0, ±1, ±2, ...}

Tập hợp các số nguyên

Z+ = {1, 2, 3, ...}

Tập hợp các số nguyên dương

Z− = {−1, −2, ...}

Tập hợp các số nguyên âm

Z0+ = {0, 1, 2, ...}

Tập hợp các số nguyên không âm

Z0− = {0, −1, −2, ...}

Tập hợp các số nguyên không dương

Q

Tập hợp các số hữu tỉ

R

Tập hợp các số thực

Ký hiệu về đa chỉ số
α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn

Đa chỉ số α với α1 , ..., αn ∈ N

| α | = α1 + α2 + · · · + α N

Bậc của đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn )

α

x α = x1 1 x2α2 ...xnαn

Đơn thức bậc |α| theo n biến x1 , x2 , ..., xn ,
với x = ( x1 , x2 , ..., xn )

Ký hiệu đạo hàm
u ( x, t) = ut ( x, t) =

∂u
∂t ( x, t )

Đạo hàm riêng bậc nhất của hàm u( x, t)
theo biến t

∇u( x, t) =

n

∂u
∂xi ( x, t ) i =1

Gradient của u( x, t) theo biến x, với
x = ( x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn

Dα f

Đạo hàm riêng

∂|α| f
α1
∂x1 ···∂xnαn

, với

α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn là đa chỉ số
1


Các không gian hàm
Không gian Banach X và đối ngẫu X

X, X

·

Chuẩn trên không gian X

X

Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L2 (Ω)

·, ·
C0 (Ω) ≡ C (Ω)

Không gian các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω

C m (Ω)

Không gian các hàm u ∈ C0 (Ω) sao cho
Di u ∈ C0 (Ω) với mọi i = 1, 2, ..., m

C m (Ω)

Không gian các hàm u ∈ C m (Ω) sao cho
Di u bị chặn và liên tục đều trên Ω
∞
m
m =0 C ( Ω )

C ∞ (Ω)
Cc∞ (Ω)

Không gian các hàm u ∈ C ∞ (Ω) có giá compắc

L p = L p (Ω)

Không gian các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R
u

L∞ = L∞ (Ω)

p

Ω | u ( x )|

=

p dx 1/p

< ∞, với 1 ≤ p < ∞

Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn
hầu khắp nơi u : Ω → R với chuẩn
u

W m,p

=

W m,p (Ω)

L∞

= ess sup |u( x )| < ∞
x ∈Ω

Không gian Sobolev gồm các hàm u ∈ L p sao cho
các đạo hàm suy rộng Di u ∈ L p , 1 ≤ i ≤ m

m,p

W0

m,p

= W0 (Ω)

Bao đóng của C0∞ (Ω) trong không gian W m,p

H m = H m (Ω)

W m,2 (Ω)

C ([0, T ]; X )

Không gian các hàm liên tục u : [0, T ] → X
với chuẩn u

L p (0, T; X )

C ([0,T ];X )

= max0≤t≤T u(t)

X

<∞

Không gian các hàm đo được u : [0, T ] → X
sao cho với 1 ≤ p < ∞,
u
và u

L p (0,T;X )

L∞ (0,T;X )

2

=

T
0

u(t)

1/p
p
dt
X

= ess sup0≤t≤T u(t)

X

< ∞,
<∞


TỔNG QUAN

Trong luận án chúng tôi nghiên cứu các bài toán biên–giá trị đầu cho
một số lớp phương trình parabolic có dạng
∂t P (u) − divA ( x, t, u, ∇u) = F ( x, t, u) ,

(1)

trong đó P là toán tử tuyến tính (P = I hoặc P = I − ∆), A và F là các toán

tử phi tuyến xác định trên các không gian hàm thích hợp. Như đã biết các
phương trình parabolic phi tuyến là một trong những công cụ mạnh cho
phép mô hình hóa nhiều hiện tượng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Kinh tế, Tài
chính, v.v.
Để thấy được tầm quan trọng cũng như tính ứng dụng của các lớp
phương trình (1), chúng tôi giới thiệu ở đây một vài trường hợp đặc biệt
mà ở đó các phương trình được nghiên cứu trong luận án xuất hiện. Chẳng
hạn khi P = I và A = ∇u, ta được phương trình truyền nhiệt
ut − ∆u = f ( x, t, u) ,

(2)

được dùng để mô tả quá trình truyền nhiệt, trong đó u := u( x, t) là nhiệt
độ tại x ∈ Ω và ở thời điểm t trong một phản ứng hóa học, f là nguồn nhiệt
được sinh ra do phản ứng (khi f > 0) và là nguồn nhiệt bị hấp thụ (khi
f < 0). Ngoài ra, phương trình (2) cũng được sử dụng trong các mô hình
về dân số, về cơ học chất lưu, v.v.
Khi P = I và A = ∇φ (u), ta được phương trình parabolic dạng
ut − ∆φ (u) = f ( x, t, u) .

(3)

Phương trình (3) được sử dụng để mô tả mật độ dân số trong trường hợp
có dân di cư. Trong đó φ là hàm được dùng để chỉ ảnh hưởng đám đông và
3


f ( x, t, u) là đại lượng chỉ dân số thay đổi do tỉ lệ sinh và tử. Chẳng hạn,
trong [51], Gurtin và MacCamy xét trường hợp φ (u) = |u|m sign (u) với

m > 1 và f ( x, t, u) = µu, với µ là hằng số. Việc chọn nguồn f dựa vào một
số quy luật về tăng trưởng dân số như theo quy luật tăng trưởng dân số
của Malthus thì f ( x, t, u) = µu, với µ > 0, theo luật tăng trưởng dân số của
Verhulst thì
f (u) = µu 1 −

u
P0

,

µ, P0 > 0,

trong đó P0 là mật độ dân cư cao nhất mà môi trường cho phép. Phương
trình (3) khi φ (u) = |u|m sign (u) cũng được sử dụng để mô tả dòng chảy
qua môi trường xốp và được gọi là phương trình porous medium. Chi tiết có
thể tham khảo [72, 106] và các trích dẫn trong đó.
Khi P = I và A = |∇u| p−2 ∇u, ta được phương trình tiến hóa p-Laplace
ut − ∆ p u = f ( x, t, u) ,

(4)

trong đó ∆ p u = div |∇u| p−2 ∇u , p > 1. Đây là một trong những phương
trình được nghiên cứu rộng rãi nhất trong lớp các phương trình khuếch
tán với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào gradient, chi tiết có thể tham khảo
[27, 93]. Phương trình (4) còn được sử dụng để mô tả các dòng chảy Newton
và phi Newton trong cơ học chất lưu. Cụ thể, có hai trường hợp sau:
• Khi p = 2 phương trình (4) mô tả dòng chảy Newton;
• Khi p = 2 phương trình (4) mô tả dòng chảy phi Newton. Trong đó

|∇u| p−2 là độ nhớt của chất lưu: p > 2 mô tả dòng chảy nhớt và p < 2
mô tả dòng chảy không nhớt.
Khi P = I và A = |∇um | p−2 ∇um , ta được phương trình khuyếch tán
phi tuyến kép
ut − ∆ p (um ) = f ( x, t, u) ,

(5)

trong đó m > 0 và p > 1. Lớp các phương trình này là tổng quát của
nhiều lớp phương trình chẳng hạn như phương trình nhiệt (p = 2, m = 1),
4


phương trình porous media (p = 2) và phương trình p-Laplace (m = 1).
Các lớp phương trình này bắt đầu được sự quan tâm nghiên cứu rộng rãi
kể từ sau bài báo của Kalashnikov [58] do các ứng dụng của nó trong cơ
học chất lưu, chi tiết xem [33, 68] và tài liệu tham khảo.
Khi P = I − ∆ và A = ∇u, ta được phương trình giả parabolic có dạng
ut − ∆ut − ∆u = f ( x, t, u) ,

(6)

được sử dụng để mô tả quá trình truyền nhiệt gồm có hai dòng nhiệt độ
[19], hay dòng chảy của chất lỏng qua hai môi trường khác nhau (dòng
chảy hai pha) [12, 52, 77]. Các ứng dụng khác có thể tìm thấy trong [9, 11]
và các trích dẫn trong đó.
Khi P = I − ∆ và A = ∇φ (u), ta được phương trình dạng
ut − ∆ut − ∆φ(u) = f ( x, t, u) .

(7)

Trong trường hợp f ( x, t, u) ≡ 0, phương trình này đã được nghiên cứu
trong bài báo [79] và trường hợp tổng quát của f ( x, t, u) được nghiên cứu
bởi Padron [86]. Phương trình (7) xuất phát từ mô hình dân số có khuynh
hướng tạo thành các nhóm. Trong đó u( x, t) là mật độ dân số tại vị trí x ∈ Ω
và thời điểm t ≥ 0; φ(u) = uϕ(u) với ϕ(u) là tốc độ di cư và f (u) = uσ(u)
với σ(u) là dân số thay đổi do tỉ lệ sinh và tử theo mô hình logistic, chi tiết
có thể tham khảo [86].
Khi P = I − ∆ và A = |∇u| p−2 ∇u, phương trình giả parabolic có dạng
ut − ∆ut − ∆ p u = f ( x, t, u) .

(8)

Các phương trình dạng này xuất hiện từ nhiều mô hình trong vật lý, chi tiết
xem [8, 65] và các trích dẫn trong đó. Đặc biệt là chuyên khảo của Al’shin,
Korpusov và Sveshnikov [4].
Về mặt toán học, khi nghiên cứu các phương trình parabolic có dạng
∂t P (u) − divA ( x, t, u, ∇u) = F ( x, t, u) ,
người ta thường quan tâm nghiên cứu các vấn đề sau:
5

(9)


(i) Sự tồn tại nghiệm địa phương hay tính chỉnh địa phương của bài toán.
Cụ thể hơn, với các giả thuyết thích hợp về tính trơn của P , A và F
chúng ta thu được tính chất tồn tại, duy nhất nghiệm và tính phụ thuộc
liên tục của nghiệm theo dữ kiện đầu cho các bài toán Cauchy hoặc bài
toán biên–giá trị đầu trong khoảng thời gian 0 < t < T, với T > 0 nào
đó. Nghiệm tìm được trong trường hợp này thường được gọi là nghiệm

địa phương.
(ii) Vấn đề đặt ra tiếp theo là nghiệm địa phương này có tiếp tục tồn tại
theo thời gian hay không? Nếu nghiệm thỏa mãn một số điều kiện cần
thiết về tính trơn tiếp tục tồn tại liên tục theo biến thời gian thì ta nói
đây là nghiệm toàn cục. Ngược lại, nếu tồn tại một thời gian T > 0 sao
cho u(t)

X

được xác định với 0 < t < T và không bị chặn khi t dần

đến T,
u(t)

X

→ ∞ khi t → T,

thì ta nói nghiệm u(t) bùng nổ trong không gian X tại thời gian T và T
được gọi là thời gian bùng nổ.
Các kết quả liên quan đến tính chỉnh địa phương của các phương trình đạo
hàm riêng cho đến nay đã được nghiên cứu một cách tương đối đầy đủ.
Chẳng hạn xem Friedman [39], Ladyzhenskaya [67], Evans [34] cho các lớp
phương trình parabolic, DiBenedetto [27, 28, 29] cho các lớp phương trình
tiến hóa p-Laplace, Raviart [93], Kalashnikov [58] cho các lớp phương trình
khuếch tán phi tuyến kép, Showalter và Ting [96, 97], Brezis [13] cho các
lớp phương trình giả parabolic, v.v.
Vấn đề liên quan đến tính chất tồn tại toàn cục hay không tồn tại toàn
cục (bùng nổ) cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng cũng nhận
được sự quan tâm nghiên cứu trong một thời gian dài. Trong đó tính chất

bùng nổ cho nghiệm của các phương trình sóng á tuyến tính được nghiên
cứu đầu tiên vào những năm 1950 bởi Keller [62] và sau đó bởi John [57] và

6


Kato [61] cho lớp phương trình
utt = ∆u + |u| p−1 u,

p > 1.

(10)

Do luận án tập trung nghiên cứu các phương trình parabolic nên chúng tôi
không trình bày chi tiết về lớp phương trình này. Một số vấn đề liên quan
đến tính chất bùng nổ của nghiệm các phương trình hyperbolic có thể tham
khảo các bài báo [15, 16, 48, 49, 63, 64, 89, 98].
Đối với các lớp phương trình parabolic, tính chất bùng nổ của nghiệm
cũng nhận được quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học như Friedman, Ladyzhenskaya, Kaplan, Fujita, Levine, Galaktionov và một số tác giả
khác, xem các bài báo [7, 26, 41, 44, 59, 71] và chuyên khảo [91, 94] cùng các
tài liệu được trích dẫn.
Một trong những kết quả đầu tiên liên quan đến tính chất bùng nổ cho
nghiệm của các phương trình parabolic là vào những năm 1960 bởi hai kết
quả nổi tiếng của Kaplan [59] và Fujita [40]. Trong các bài báo của mình,
Kaplan và Fujita lần lượt nghiên cứu các bài toán biên–giá trị đầu và bài
toán Cauchy cho phương trình nhiệt có dạng
ut = ∆u + f (u) .

(11)

Trong đó bằng cách dựa vào hệ số Fourier thứ nhất Kaplan đã chỉ ra các
đặc trưng cho tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn của nghiệm phương
trình (11) trong trường hợp Ω ⊂ Rn là miền bị chặn và f là hàm lồi; trường
hợp Ω = Rn và f (u) = u p sau đó được nghiên cứu bởi Fujita, trong đó
Fujita chỉ ra rằng bất kỳ nghiệm không âm khác không của (11) là bùng nổ
tại thời gian hữu hạn khi
2
1 < p < pcr = 1 + ,
n
trong đó pcr được gọi là số mũ Fujita. Từ đây tính chất bùng nổ được nghiên
cứu mở rộng cho nhiều lớp phương trình parabolic khác nhau, cùng với đó
là sự phát triển của nhiều phương pháp để nghiên cứu các vấn đề này.
Chẳng hạn, Galaktionov [43] đã mở rộng các kết quả của Fujita cho các lớp
7


phương trình parabolic suy biến
ut = ∆um + u p

và

ut = div |∇u|σ ∇u + u p ,

( σ > 0),

và lớp phương trình khuếch tán – phản ứng dạng
ut = A(u) + f (u),
trong đó A là toán tử elliptic cấp hai, có thể phi tuyến và suy biến đóng vai
trò là đại lượng khuếch tán và f (u) là hàm trên tuyến tính theo u đóng vai
trò là phản ứng. Chi tiết có thể xem bài báo của Levine [71], Deng–Levine

[26] và Galaktionov–Vazquez [44].
Bằng cách tiếp cận theo hướng năng lượng, vào những năm 1970, Levine
[69, 70] đã sử dụng phương pháp phương pháp hàm lõm để nghiên cứu tính
chất bùng nổ cho nghiệm của các bài toán parabolic và hyperbolic dạng

P ut = −Au + F (u) và P utt = −Au + F (u),

(12)

trong đó P , A là các toán tử tuyến tính đối xứng thỏa điều kiện P > 0 và

A ≥ 0 xác định trên các không gian Hilbert. Trong đó, Levine đã chỉ ra
rằng với nguồn năng lượng đầu âm hay dữ kiện đầu lớn thì nghiệm của
phương trình (12) là bùng nổ tại thời gian hữu hạn.
Trong trường hợp nguồn năng lượng đầu dương hay dữ kiện đầu nhỏ,
Payne và Sattinger [85] đã phát triển phương pháp potential well để nghiên
cứu tính chất tồn tại toàn cục và bùng nổ tại thời gian hữu hạn cho nghiệm
của bài toán biên–giá trị đầu cho các phương trình nhiệt và phương trình
sóng dạng
ut = ∆u + F (u)

và

utt = ∆u + F (u),

(13)

với F có dạng tổng quát của hàm lũy thừa. Trong đó, các tác giả đã xây
dựng các tập hợp rời nhau W và U sao cho nếu dữ kiện đầu thuộc W
thì nghiệm của bài toán tồn tại toàn cục và nếu dữ kiện đầu thuộc U thì

nghiệm bài toán bùng nổ tại thời gian hữu hạn. Các tập hợp W và U tương
ứng được gọi là tập ổn định và tập không ổn định. Phương pháp potential
8


well được giới thiệu đầu tiên bởi Sattinger [95] và Lions [74] khi nghiên
cứu tính chất tồn tại toàn cục của nghiệm các phương trình sóng, sau đó
cũng sử dụng phương pháp này Payne và Sattinger đã nghiên cứu tính
chất tồn tại toàn cục và bùng nổ tại thời gian hữu hạn cho nghiệm của
cả phương trình sóng và phương trình nhiệt có dạng (13). Phương pháp
này sau đó được nghiên cứu mở rộng cho nhiều lớp phương trình khác
nhau như phương trình sóng và nhiệt [20, 21, 32, 45, 46, 47, 54, 102, 103],
phương trình porous medium [36, 37, 38, 72], và các phương trình tiến hóa
p-Lapalce [40, 56, 73, 99].
Tính chất bùng nổ cho nghiệm của các phương trình giả parabolic dưới
tác động của nguồn dạng lũy thừa cũng được quan tâm nghiên cứu trong
thời gian gần đây, kết quả chi tiết có thể tham khảo các bài báo [18, 65, 66,
102] và chuyên khảo [4] cùng các trích dẫn trong đó.
Cho đến nay, tính chất bùng nổ của nghiệm các phương trình parabolic
và giả parabolic dưới tác động của nguồn dạng lũy thừa hoặc dạng tổng
quát của hàm lũy thừa đã được nghiên cứu tương đối rộng rãi, tuy nhiên có
rất ít kết quả cho các phương trình với thành phần phi tuyến dạng logarit.
Một vài kết quả gần đây cho các phương trình nhiệt có thể xem Chen và
cộng sự [20, 21]. Trong đó các tác giả nghiên bài toán biên–giá trị đầu cho
các phương trình
ut − ∆u = u log |u| ,

ut − ∆ut − ∆u = u log |u| .

(14)

Bằng cách sử dụng phương pháp potential well, tác giả đã chỉ ra rằng với
dữ kiện đầu thuộc vào tập ổn định thì nghiệm của bài toán là tồn tại toàn
cục và tắt dần mũ; với trường hợp dữ kiện đầu thuộc vào tập không ổn
định thì nghiệm của bài toán bùng nổ tại ∞. Trong khi đó với điều kiện
tương tự và nguồn dạng lũy thừa f (u) = |u| p−2 u, p > 2 thì nghiệm của
bài toán bùng nổ tại thời gian hữu hạn, xem [46, 103].
Xuất phát từ các kết quả trên, chúng tôi xét một số lớp phương trình
parabolic suy biến gồm phương trình tiến hóa p-Laplace, phương trình giả
parabolic chứa toán tử p-Laplace và phương trình khuếch tán phi tuyến
9


kép dưới tác động của nguồn dạng logarit. Cụ thể, trong luận án chúng tôi
nghiên cứu ba bài toán sau đây:
Bài toán 1: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trình
tiến hóa p-Laplace dưới tác động của nguồn dạng logarit như sau



u − ∆ p u = f p (u) , ( x, t) ∈ Ω × R+ ,

 t

( x, t) ∈ ∂Ω × R+ ,

u( x, t) = 0,




 u( x, 0) = u ( x ),
0

(15)

x ∈ Ω,

trong đó f p (s) = |s| p−2 s log (|s|) với p > 2.
Bài toán 2: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trình
giả parabolic chứa toán tử p-Laplace sau



u − ∆ut − ∆ p u = f q (u) , ( x, t) ∈ Ω × R+ ,

 t
u( x, t) = 0,
( x, t) ∈ ∂Ω × R+ ,



 u( x, 0) = u ( x ),
x ∈ Ω,
0

(16)

trong đó f q (s) = |s|q−2 s log (|s|) với q > 1.
Bài toán 3: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trình
khuếch tán phi tuyến kép sau




u − ∆ p |u|m−2 u = f q (u) , ( x, t) ∈ Ω × R+ ,

 t

( x, t) ∈ ∂Ω × R+ ,

u( x, t) = 0,



 u( x, 0) = u ( x ),
0

(17)

x ∈ Ω,

trong đó f q (s) = |s|q−2 s log (|s|) với q > 1.
Khi nghiên cứu tính chất nghiệm của ba bài toán trên, nội dung của luận
án sẽ tập trung trả lời các câu hỏi sau đây:
1) Khi nào nghiệm của các bài toán trên là bùng nổ? Khi có hiện tượng
bùng nổ xảy ra thì nghiệm bùng nổ tại thời gian hữu hạn hay tại ∞?
2) Khi nào nghiệm của các bài toán trên tồn tại toàn cục? Nếu nghiệm tồn
tại toàn cục thì dáng điệu của nghiệm khi thời gian lớn sẽ như thế nào?
Nghiệm toàn cục có tắt dần hay không?
10

Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu luận án với tên
gọi:
Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit:
tính chất bùng nổ, nghiệm toàn cục và tính chất tắt dần
Để thu được các kết quả trong luận án chúng tôi sử dụng các phương
pháp của giải tích hàm phi tuyến như phương pháp xấp xỉ nghiệm Faedo–
Galerkin, phương pháp compact và phương pháp toán tử đơn điệu. Đặc
biệt, để thu được kết quả về tính chất tồn tại hay không tồn tại nghiệm
toàn cục chúng tôi sử dụng phương pháp potential well được giới thiệu
bởi Payne và Sattinger [85] và phương pháp hàm lõm của Levine [69]. Tính
ưu việt của phương pháp này được thể hiện ở chỗ không những tính chất
bùng nổ của nghiệm được nghiên cứu mà khi đó tính chất toàn toàn cục
của nghiệm cũng được suy ra.
Cấu trúc của luận án bao gồm phần tổng quan, kiến thức chuẩn bị, ba
chương chính, kết luận, danh mục công trình của tác giả luận án và tài liệu
tham khảo. Các kết quả chúng tôi thu được cho ba vấn đề ở trên sẽ được
trình bày lần lượt trong các chương 2, 3 và 4 với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 2: Phương trình parabolic chứa toán tử p-Laplace
với thành phần phi tuyến dạng logarit.
Chương này trình bày các kết quả trong bài báo [81] và đã được báo cáo
tại Hội nghị khoa học lần thứ 10, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Tp. Hồ Chí Minh 11/11/2016.
1,p

Trước hết, chúng tôi chỉ ra rằng với dữ kiện đầu u0 ∈ W0 (Ω) thì bài
toán (15) có nghiệm yếu địa phương duy nhất, Định lý 2.7.
Để trình bày kết quả tiếp theo, trong Phần 2.2 chúng tôi giới thiệu phiếm
hàm năng lượng và phiếm hàm Nehari sau:

J (u) =

1
∇u
p

p
p

+

1
p2

I (u) = ∇u

Ω
p
p

|u| p dx −

−
11

Ω

1
p

Ω

|u| p log |u| dx,

|u| p log |u| dx.


Đa tạp Nehari và potential depth
1,p

N = u ∈ W0 (Ω) : I (u) = J (u), u = 0 ,
d=

sup J (λu) .

inf

1,p

u∈W0 (Ω)\{0} λ>0

Khi đó d có đặc trưng biến phân cho bởi
1
d = inf J (u) ≥ M = 2
p
u∈N

n
p

p2 e
nL p

(18)

.

Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của các tập ổn định W và tập không
ổn định U cho bởi
1,p

W = u ∈ W0 (Ω) : I (u) > 0, J (u) < d ∪ {0},

(19)

1,p

U = u ∈ W0 (Ω) : I (u) < 0, J (u) < d .

(20)

thỏa W ∩ U = ∅ và W ∪ U = J d , trong đó J d được hiểu là tập có năng
lượng nhỏ hơn d, trong đó d là hằng số được xác định bởi (2.2.8) và được
gọi là potential depth, d ≥ M > 0.
Khi đó Định lý 2.8 và Định lý 2.9 chỉ ra rằng:
(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán tồn tại toàn cục. Hơn nữa, nếu
J (u0 ) ≤ M thì nghiệm của bài toán tắt dần đại số, tức là, có hằng số
dương C := C ( u0

2)

u(t)

2

phụ thuộc vào dữ kiện đầu sao cho

≤C

1
1 + ( p − 2) t

1
p −2

,

t ≥ 0.

(ii) Nếu u0 ∈ U và J (u0 ) ≤ M thì nghiệm của bài toán không tồn tại toàn
cục hay bùng nổ tại thời gian hữu hạn trong không gian L2 (Ω). Đặc
biệt, nếu J (u0 ) ≤ 0 thì ta có đánh giá

u(t)

2


p

≥
p

2− p
u0 2

− ( p − 2) | Ω |

−

p −2
2

1
p −2


t

Từ đây ta suy ra
0 < Tmax ≤ T∗ =

p −2
p
| Ω | 2 u0
( p − 2)

trong đó Tmax được cho bởi Định nghĩa 2.2.
12

2− p
2 ,

.


Chương 3: Phương trình giả parabolic chứa toán tử p-Laplace
với thành phần phi tuyến dạng logarit.
Một phần kết quả của chương này được công bố trong bài báo [82] và
được báo cáo tại Hội nghị toán học Miền Trung – Tây Nguyên lần thứ 2, Đà
Lạt 09–11/12/2017 và Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang
14–18/08/2018.
Kết quả đầu tiên của chương, chúng tôi xét tính chất tồn tại toàn cục
của nghiệm dựa vào mối liên hệ giữa các tham số p và q. Cụ thể, Định
1,p

lý 3.5 chỉ ra rằng với dữ kiện đầu u0 ∈ W0 (Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán (16) là nghiệm toàn cục khi 1 < q < p và là nghiệm địa phương khi
p ≤ q < p 1+

2
n

. Ta lưu ý rằng
p 1+

2
n

< p∗

khi

2 < p < n,

trong đó p∗ = np/(n − p) nếu p < n và p∗ = ∞ nếu p ≥ n. Vì vậy
vấn đề được đặt ra tiếp theo là nghiệm toàn cục có tồn tại hay không khi
q ≥ p 1+

2
n

?

Để trả lời câu hỏi này, trước hết chúng tôi chúng tôi xây dựng các tập ổn
định W và không ổn định U theo phương pháp potential well, Phần 3.2,

W ∩ U = ∅ và W ∪ U = J d ,
Khi đó kết quả của Định lý 3.6 và Định lý 3.8 khẳng định rằng:
(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán (16) tồn tại toàn cục. Hơn nữa,
nghiệm tắt dần đại số theo nghĩa
u(t)

1,p

W0 (Ω)

trong đó C := C

≤C

u0

1,p

1
1 + ( p − 2) t

W0 (Ω)

1
p −2

,

t ≥ 0,

p > 2.

là hằng số phụ thuộc vào dữ kiện đầu.

(ii) Nếu u0 ∈ U và J (u0 ) ≤ d thì nghiệm của bài toán không tồn tại toàn
cục hay bùng nổ tại thời gian hữu hạn trong không gian H 1 (Ω).
13


Chương 4: Phương trình khuếch tán phi tuyến kép với thành
phần phi tuyến dạng logarit.
Chương này trình bày các kết quả trong bài báo [83]. Bằng phép đổi biến
thích hợp, ta có bài toán tương đương với bài toán (17) sau




∂ |u|m −2 u − ∆ p (u) = (m − 1) f γ (u) , x ∈ Ω, t > 0,

 t

x ∈ ∂Ω, t > 0,

u( x, t) = 0,



 u( x, 0) = u ( x ),
0

(21)

x ∈ Ω,

1,p

với u0 ∈ W0 (Ω) và γ = (m − 1) (q − 1) + 1 > 1.
Kết quả đầu tiên, chúng tôi xét tính chất tồn tại của nghiệm toàn cục dựa
vào các tham số m, p và q. Sau đó là dựa vào năng lượng của dữ kiện đầu
của bài toán.
1,p

Kết quả 1. Với dữ kiện đầu u0 ∈ W0 (Ω), Định lý 4.7 chỉ ra rằng bài toán
(21) có nghiệm yếu u(t) tồn tại toàn cục khi (m − 1)(q − 1) < p − 1 và là

nghiệm địa phương khi
p − 1 ≤ (m − 1)(q − 1) < p − 1 +

mp
n

khi

p < n.

Ở đây ta cần lưu ý rằng trong trường hợp suy biến, tức là m, p thỏa (m −
1)( p − 1) > 1 thì ta có m < p∗ với p∗ là số mũ Sobolev, và do đó
mp
p2
p−1+
< p−1+
n
n−p

khi

p < n.

Kết quả 2. Để xét tính chất tồn tại toàn cục và bùng nổ trong trường hợp
p2
p − 1 ≤ (m − 1)(q − 1) < p − 1 +
n−p

khi

p < n.

Trong Phần 4.2, chúng tôi xây dựng các tập W và U thỏa

W ∩ U = ∅ và W ∪ U = J d .
Khi đó Định lý 4.10, Định lý 4.12 và Định lý 4.14 cho kết quả sau:
(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán (21) tồn tại toàn cục. Hơn nữa,
nghiệm toàn cục thỏa

∇u(t)

p

≤ ∇ u0

p

p
m + ω ( p − m )t

trong đó ω là hằng số dương.
14

1
p−m

for

t ≥ 0,

(ii) Nếu u0 ∈ U thì nghiệm của bài toán không tồn tại toàn cục hay bùng
nổ tại thời gian hữu hạn trong không gian Lm (Ω).
(iii) Trong trường hợp năng lượng đầu tới hạn J (u0 ) = d thì khi đó (21) có
nghiệm toàn cục tắt dần khi I (u0 ) > 0 và nghiệm bùng nổ tại thời gian
hữu hạn khi I (u0 ) < 0.
Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau:
Trong toàn bộ luận án, các hằng số dương được kí hiệu bởi C mặc dù
giá trị của C vẫn có thể thay đổi trên cùng một dòng hoặc từ dòng này
sang dòng khác.
Ta qui ước đánh số liên tục cho các định nghĩa, định lý, bổ đề và hệ quả
trong khuôn khổ từng chương bởi các nhóm hai thành phần. Chẳng
hạn như, ta viết "Định lý 2.3" với ý nghĩa rằng đây là định lý thứ 3
thuộc chương 2.
Việc đánh số các công thức được thực hiện theo nhóm ba thành phần.
Ví dụ như, công thức được đánh số "(2.1.3)" có nghĩa là đây là công
thức thứ 3 thuộc chương 2 mục 1.

15


C HƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian Sobolev

Định nghĩa và xấp xỉ hàm trong không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm suy rộng). Cho u ∈ L1loc (Ω) và α ∈ Nn là một đa

chỉ số. Nếu tồn tại v ∈ L1loc (Ω) sao cho
Ω

uD α φdx = (−1)|α|

Ω

vφdx,

với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (Ω), thì ta nói v là đạo hàm riêng yếu thứ α của u và viết
D α u := v.
Bổ đề 1.2 (Tính duy nhất của đạo hàm suy rộng). Đạo hàm suy rộng cấp k
của u ∈ L1loc (Ω) nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất, sai khác trên
một tập có độ đo không.
Định nghĩa 1.3 (Không gian Sobolev). Cho m ∈ N và 1 ≤ p ≤ ∞. Không
gian Sobolev W m,p (Ω) là tập hợp gồm tất cả các hàm u ∈ L p (Ω) sao cho các đạo
hàm suy rộng Di u tồn tại và Di u ∈ L p (Ω), với mọi i = 1, 2, ..., m. Đặc biệt, khi
p = 2 ta ký hiệu
H m (Ω) = W m,2 (Ω), m = 1, 2, ...
Định lý 1.4. Nếu m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ thì W m,p (Ω) là một không gian Banach
với chuẩn

·

W m,p

xác định bởi
m

u

W m,p

=

u

p

1/p

+∑ Du
i

i =1

16

p

, khi 1 ≤ p < ∞,


và khi p = ∞
u

W m,∞

= max

u

1≤ i ≤ m

∞,

Di u

∞

.

Hơn nữa, không gian W m,p (Ω) là phản xạ khi 1 < p < ∞ và tách được khi
1 ≤ p < ∞.
Định lý 1.5. H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
m

u, v

Hm

= u, v + ∑ Di u, Di v .
i =1

m,p

Định nghĩa 1.6. Với m ∈ N và 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa W0

(Ω) là bao đóng

của Cc∞ (Ω) trong không gian W m,p (Ω) với chuẩn
m

u

W m,p

=

u

p

1/p

+∑ Du
i

p

.

i =1

Đặc biệt, khi p = 2 ta ký hiệu H0m (Ω) là bao đóng của Cc∞ (Ω) trong không gian
H m ( Ω ).
Định lý 1.7 (Tính trù mật). Cho u ∈ W m,p (Ω), với m ∈ N và 1 ≤ p < ∞. Khi
đó tồn tại dãy các hàm uk ∈ C ∞ (Ω) ⊂ W m,p (Ω) sao cho
uk − u

W m,p (Ω)

−→ 0, khi k → ∞.

Phép nhúng Sobolev
Định lý 1.8 (Rellich–Kondrachov). Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở với biên Lipschitz.
Khi đó, ta có:
(i) Nếu 1 ≤ p < n thì W 1,p (Ω) → Lq (Ω) , với mỗi q ∈ [1, p∗ ], với p∗ =
np
n− p

> p là số mũ liên hợp Sobolev của p.

(ii) Nếu p = n thì W 1,p (Ω) → Lq (Ω) , với mỗi q ∈ [ p, ∞).
(iii) Nếu p > n thì W 1,p (Ω) → L∞ (Ω) ∩ C0,α (Ω) , với α = 1 − np .
Hơn nữa, nếu Ω bị chặn thì các phép nhúng (ii ) và (iii ) là compact. Phép nhúng

(i ) là compact với q ∈ [ p, p∗ ).
17


Bất đẳng thức Sobolev
Sau đây là hai bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev được
sử dụng thường xuyên trong phần sau của luận án. Chi tiết có thể tham
khảo Ladyzhenskaya, Solonnikov và Uralceva [67].
Định lý 1.9 (Sobolev). Giả sử 1 ≤ p < ∞ và Ω là một tập mở bị chặn. Khi đó
tồn tại hằng số C := C (Ω, p) sao cho
u

q

1,p

∀u ∈ W0 (Ω) ,

≤ C ∇u p ,

(1.1.1)

với mọi 1 ≤ q < p∗ , trong đó
∗

p =




np
n− p

 ∞

nếu

p < n,

nếu

p ≥ n.
1,p

Định lý 1.10 (Gagliardo–Nirenberg). Giả sử u ∈ W0 (Ω) ∩ Lr (Ω) với p, r ≥
1. Khi đó ta có
u

q

≤ C ∇u

θ
p

u

1− θ
r ,

(1.1.2)

trong đó C là hằng số phụ thuộc vào n, p, q, r và
θ=

1 1
−
r q

1 1 1
− +
n p r

−1

,

với các trường hợp sau:
• p ≥ n = 1, r ≤ q ≤ ∞;
• n > 1 và p < n, q ∈ [r, p∗ ] nếu r ≤ p∗ và q ∈ [ p∗ , r ] nếu r ≥ p∗ ;
• p = n > 1, r ≤ q < ∞;
• p > n > 1, r ≤ q ≤ ∞.

Bất đẳng thức logarit Sobolev
Để giải quyết các khó khăn gặp phải do sự xuất hiện của các thành phần
phi tuyến dạng logarit khi áp dụng phương pháp potential well, ta cần các
bất đẳng thức logarit Sobolev sau đây.
18