SKKN rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.
PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình
môn Toán lớp 11 và có trong các đề thi THPT Quốc gia hằng năm.
Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến đổi
phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và so sánh
với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những nắm vững
công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo các công
thức đó. Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10 nên phần
nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức về công thức
lượng giác. Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác cho học sinh là
rất cần thiết.
Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã rất thuộc các công
thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công thức lượng giác
để áp dụng hoặc lúng túng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý,
hiệu quả. Những khó khăn này là do học sinh chưa vận dụng linh hoạt, thuần
thục các công thức lượng giác. Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn
ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy
khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện
xác định của phương trình.
Học sinh Trung tâm GDTX càng gặp nhiều khó khăn trong các bước giải
phương trình lượng giác. Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương
trình lượng giác” để góp một số kinh nghiệm cho việc dạy và học về phương
trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả hơn.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
+ Xây dựng hê thông va phân loai cac bai tâp về giải phương trình lượng giác
từ dể đên kho phu hơp vơi đôi tương hoc sinh, giúy học sinh lớp 11 hiểu và nắm
vững và có kỹ năng giải phương trình lượng giác.

+ Hinh thanh phương phap va cac bươc giai, kỹ năng giải cac dạng bai tâp đo.
+ Ren cho hoc sinh ky năng huy đông, vân dung kiên thưc đa hoc đê giai toan.
+ Đưa ra hệ thống bai tâp nhăm cũng cô cho hoc sinh ky năng vân dung khi găp
dang toan giải phương trình lượng giác.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
+ Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học
sinh lớp 11 GDTX Thọ Xuân năm học 2015-2016
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cưu ly thuyêt về kiến thức lượng
giác khối 10, giải các phương trình lượng giác cơ bản khối 11, các công thức
lượng giác cơ bản, kỹ năng biến đổi lượng giác, kỹ năng giải phương trình lượng
giác. Nghiên cưu phương phap giang day toan, đăc biêt la phương phap giang
day bai tâp toan.


+ Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thưc tê giang day, trao đôi vơi
đông nghiêp, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiêp thu sư phan hôi tư hoc sinh.
+ Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp 11A1, 11A2
sau quá trình học tập.
B. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
+ Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý
thuyết còn thiếu do thời lượng phân phối chương trình quy định.
+ Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết, cũũ̃ng cố rèn luyện cho học
sinh kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn …
+ Bài tập toán còn giúy cho học sinh phát triển tư duy tích cực, tạo tiền đề nâng
cao năng lực tự học, cũũ̃ng cố khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải,
khả năng khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học,
hiệu quả.
+ Thông qua bài tập toán giáo viên giảng dạy có một kênh thông tin thu thập,

đánh giá chính xác năng lực học tập của học sinh.
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN
+ Trước khi áp dụng sáng kinh nghiệm này, để giải được một phương trình
lượng giác, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, bất đầu như thế nào.
Học sinh cần phải trang bị những kiến thức cơ bản nào, kỹ năng cơ bản gì để cơ
thể tiếp cận và giải được các phương trình lượng giác.
+ Khi gặp phương trình lượng giác học sinh thường có tâm lý sơ khó nên không
chịu suy nghĩ để giải quyết.
+ Một số giáo viên trẻ khi giảng dạy chưa nắm chắc mối quan hệ của kiến thức
lớp dưới và lớp trên nên việc chuẩn bị kiến thức nền, kiến thức cơ bản, kiến thức
trọng tâm và các kỹ năng tối thiểu cần đạt để học sinh có thể tiếp cận kiến thức
lớp sau bị hổng, bị thiếu.
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN
Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức
nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi phương trình
về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất,
bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ;
dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x .
Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được biến đổi
về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác. Còn hầu hết các
phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng một hoặc nhiều
công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, hoặc dạng tích,
dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, học sinh áp
dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x về
dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình thuần nhất
bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x . Vì vậy,
việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ
năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng
giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải. Ngoài ra, nếu phương trình
2

lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản,
phải so sánh nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác
định để kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức lượng
giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào
biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách
giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có).
Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu một số
kinh nghiệm tích lũũ̃y trong quá trình dạy học phương trình lượng giác như sau:
1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví
dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương
trình lượng giác.
2. Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua
đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi
phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều
kiện xác định của phương trình (nếu có).
1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các
ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi phương
trình lượng giác
Các công thức lượng
giác : - Công thức cơ bản
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc
- Công thức biến đổi tổng thành tích
- Công thức biến đổi tích thành tổng
Mỗi công thức lượng giác có dạng A B . Khi vận dụng công thức dạng này vào
biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh thường nhận biết
ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì không ít học sinh thấy

khó nhận ra việc thay B bằng A.
Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng công
thức lượng giác theo hai chiều A B và B A . Lưu ý rằng vì có khá nhiều công
thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện hoạt động 1 ở
nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp.
Hoạt động 1. Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ vế phải
sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng
sin a b sina cosb cos a sinb theo chiều ngược lại là :
sina cosb cosa sinb sin a b .
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) 2sin x 63sin x 1 (1a)
b)
c) sin x. cos4x cos x. sin 4x sin 2x (1b) Hướng
dẫn :
Áp dụng công thức cộng : sin a b sin a cosb cos a sinb (*)
3


- Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có:
sin x
sin x.cos 6 cos x.sin 6 .
6

- Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược lại là :
sin a cosb cos a sin b sin a b , ta có:
sin x. cos4x cos x. sin 4x sin x 4x
Lời giải ví dụ 1:
a) 2sin
3sin x 1
x

6
2

sin x. cos

cos x. sin

3sin x 1

6
6
cos x 1x k 2 , k Z
b) sin x. cos4x cos x. sin 4x sin 2x
sinx 4x sin 2xsin 5 x sin 2x
5x 2x k 2
,k Z
5x2x k 2
2
x k
3

2

,k Z

x

7k
7
Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau. Đa số học

sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp dụng hoặc
không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi phương trình lượng
giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng cách thay góc trong công
thức bởi một góc khác. Nếu cho học sinh viết lại mỗi công thức lượng giác dưới
nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc khác nhau thì các em sẽ không thấy
khó khăn khi vận dụng các công thức này vào biến đổi phương trình lượng giác.
Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng
giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc khác nhau.
Hoạt động 2. Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi thay góc x

x
trong các công thức bởi một góc khác như 2x, 2 , 4 x , …, chẳng hạn, thay
góc x trong công thức nhân đôi sin 2 x 2sin x .cos x bởi góc
x

x

sin x 2sin 2 .cos 2 .
Ví dụ 2. Giải phương trình

x

x

2cos 2 .sin 2 cos2

4

x

sin2

4

x
2 ta được

x

Hướng dẫn:
4


Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

-

x

Thay góc x trong công thức sin 2x 2sin x. cos x bởi góc 2 , ta được:

x

x

sin x 2sin 2 .cos 2
- Thay góc x trong công thức cos 2 x cos 2 x sin2
2

cos

2x cos

2
x
2

4

2

4

sin x cos 2 2x
sin x sin 2x

x , ta được :

4

x

Lời giải ví dụ 2.
x

sin

2

4

2x x k 2

x

,k Z

2xx k 2

x k2

xk 2

x sin

2

cos

4

2

x

2cos .sin

x bởi góc

, k Z

x

2
3 k 3 , k Z

33
2. Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh,
qua đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến
đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của
phương trình (nếu có).
Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công thức lượng
giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào
biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải
như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc
nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x .
Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương trình về
dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh với điều kiện
xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương trình.
i) Các bài tập áp dụng công thức cơ
bản Bài 1. Giải các phương trình :
(1a)
a) cos3 x sin2 x. cos x 1
2
2
(1b)
b) 2sin x sin x. cos x 3cos x 2
Hướng dẫn:
Dùng công thức cos 2 x sin 2 x 1, biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ bản,
phương trình (1b) về dạng tích.

Lời giải:
3
2
a) cos x sin x. cos x 1
5


cos x cos 2 x sin 2 x 1
cos x 1x k 2 , k Z
b) 2sin2 x sin x. cos x 3cos2 x 2
2sin2 x sin x. cos x 3cos2 x 2 sin2 x cos2 xsin x. cos x cos2 x 0
cos x sin x cos x 0
cos x 0

cos x 0
1,cos x 0

sin x cos x 0

tan x

1
Dùng công thức

2

tan

1

tan x 3
cos2 x
Hướng dẫn:
2
x 1, với cos x 0 , biến đổi phương trình về dạng

cos
x
bậc hai đối với tan x .
1
tan x 3
2
cos x
tan 2 x 1 tan x 3 tan2
x tan x 2 0
k
4
x arctan

Nhận xét:

Lời giải:

x

tan x 2

,k

x4 k

Bài 2. Giải các phương trình :

tan x 1

x2k

,k Z
2 k

1

Nếu thay cos2 x bằng tan 2 x 1 thì được phương trình tương đương vì không
làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình.
1
sin x 0
Bài 3. Giải phương trình : cot2 x 1
Hướng dẫn:
1
2
Tìm điều kiện xác định, dùng công thức cot x 1
sin2 x , với sin x 0 , biến
đổi phương trình về dạng bậc hai đối với sin x , so sánh nghiệm với điều kiện
xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định: sin x 0 .
Với điều kiện trên, ta có :
(1)
sin2 x sin x 0
sin x

0 (loại) hoặc sin x
1
6


k2 ,k Z

x

2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x

2

ii) Các bài tập áp dụng công thức cộng
Bài 4. Giải phương trình :

3sin x

cos x

k2 ,k Z

. (4)

6
6
Hướng dẫn:
Dùng các công thức sin a b sin a cosb cos a sin b và
cos a b cos a cosb sin a sin b biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

Lời giải:
3
1
3
1
(4) 3

2

sin x

2

cos x

2

cos x

2

sin x

sin x 0x k , k Z.
Bài 5. Giải phương trình: sin3x. cos x cos3x. sin x 3 cos2x 1 (5)
Hướng dẫn:
Dùng công thức sin a cosb cos a sin b sin a b , biến đổi về dạng bậc nhất đối
với sin 2x và cos 2x .
Lời giải:

(5)

sin 2x

3 cos2x 1

sin 2x

1

3 2

2x

3

2x 3

k2
6
5
6 k2

,k Z

x
x

4

k

,k Z

7
12 k

Bài 6. Giải phương trình: cos3x. cos2x sin3x. sin 2x sin5x
2 cos x
Hướng dẫn:
Dùng công thức: cos a cosb sin a sin b cos a b , biến đổi phương trình về
dạng cơ bản.

Lời giải:

cos3x. cos2x sin3x. sin 2x sin5x 2 cos x
cos5x sin5x 2 cos x
1 cos5x
2

1sin5x cos x
2

cos 5x 4 cos x

5x 4

x k 2 ,k Z
7

x

k

2

x 24 k

3

16

,k Z

Chú ý:
Công thức
tan a b

Điều kiện xác định của
vế trái
cos a b 0

tan a tan b

Điều kiện xác định của
vế phải
cos a. cosb 0

1 tan a. tan b

tan a b

tan a tan b

cos a b

0
cos a b
cos a. cosb 0

0

1 tan a. tan b
Khi áp dụng công thức cộng, chỉ được thay tan a b bởi
tan a tan b

0
hoặc

1 tan a. tan b
với điều kiện tan a và tan b cùng tồn tại, tức

thay tan a b bởi

là: cos a. cos b 0

cos a b
tan a tan b

1 tan a. tan b

a
k
2
, k Z, l Z.
b
l
2
5tan x 1

Bài 7. Giải phương trình: tan x

(7)

2

4 1 tan x
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định của phương trình dùng công thức
tan a b
tan a tan b
biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với tan x .
1 tan a. tan
b
Lời giải:
Điều kiện xác định :

cos x

4

tan x 1

cos x

0

tan x 1

5tan x 1
2

Với điều kiện trên, ta có : (7)

1 tan x 1 tan x tan x 1
tan2 x 3tan x 2 0 tan x 1 (loại) hoặc tan x 2
x arctan 2 k , k Z
Vậy nghiệm của (7) là x arctan 2 k , k Z.
Bài 8. Giải phương trình:

tan x 3
1 3 tan x

5tan x 1

2

tan
1

x tan x

6
tan

(8)
6

x .tan x

8


Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định của phương trình, dùng các công thức
tan a tan b tan a b
và tan a tan b tan a b
biến đổi phương trình
1 tan a. tan
1 tan a. tan
b
b
về dạng cơ bản.
Lời giải:
cos x 0
Điều kiện xác định :

1

3 tan x 1

tan

6

x .tan x 0

Với điều kiện trên, ta có :
tan x 3 tan 6 x xtan x 3 tan 6

(8)

x 2 k , k Z (không thỏa điều kiện cos x 0 )
Vậy phương trình (8) vô nghiệm.

iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc
Bài 9. Giải phương trình: 2sin x .cos x .cos x 2cos 2
x 1
4
4
2
4 2
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức nhân đôi 2sin a. cos a sin 2a
và 2cos2 a 1 cos2a , biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
x
x
(9) sin 2 .cos 2 cos 2 x

1

(9)

2 sin x sin x

sin x 0x k , k Z
Bài 10. Giải phương trình: tan 2x

2tan x
tan2 x 3 (10)
1 tan2 x 1 tan4 x
Hướng dẫn:
2tan x
Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức nhân đôi: tan 2x
biến đổi
2
1 tan x
phương trình về dạng bậc hai đối với tan x .
Lời giải:
cos x 0
Điều kiện xác định : tan x
Với điều kiện trên, ta có :
(10)
2tan x
2tan x
1 tan2 x

1 tan2 x

1

tan2
x 3
1 tan4 x
9


2 tan x 1 tan 2 x 2 tan x 1 tan 2 x tan 2 x 3 tan 2 x
4 tan x 3 0
tan x 1 (loại) hoặc tan x 3 (thỏa điều kiện)
x arctan3 k , k Z
Vậy nghiệm của phương trình (10) là x arctan3 k , k

x

Z.

Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc sin2 a

1 cos2a

biến đổi phương trình về dạng bậc 2

hai đối với cos x .
Lời giải:

x

cos2 x 6sin2 2 1 0

cos2 x 61 cos x 1 0 2
cos2 x 3cos x 2 0 cos
x1
cos x 2
x k 2 ,k Z
iv) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Bài 12. Giải phương trình: sin x

sin x

3sin 2x

3
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức sin a sin b 2sin a b cos a b đưa phương trình về dạng
cơ bản.

2
Lời giải:

sin x sin x
2sin

x

sin x

3sin 2x

3
6

.cos

2

6

3sin 2x

sin 2x

x
x

6
2x k 2
6
6

,k Z
2x k 2

x
x

k2
6
7

2
18 k
3

,k Z

10


Bài 13. Giải phương trình:

cos3x

cos x sin

2x

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức: cos a cosb 2cos
a b

a b

và sin a sin b 2cos

cos3x cos x sin

2x

2

8

sin

2cos2x. cos x 2cos2x.sin

2x

cos2x 0

x

4

3
cos x cos

k

8

8

2
3

x

8

3

Bài 14. Giải phương trình: cos x

a b cos a b

cos2x cos x sin

8

8

8

2
2
đưa phương trình về dạng tích.
Lời giải:

sin
2

sin 2x

8

0

,k Z

k2

cos x

sin 2x

3

Hướng dẫn:
3
, áp dụng các công thức : cos a cosb 2sin
Thế 2 sin 3
sin a sin b 2cos a b sin a b

2
a b

a b
sin

2

2

2

2

biến đổi phương trình về dạng tích. Lời giải:
3

cos x cos x

2sinx

6

sin x

6

sin x
sin x

2cos x

sin 2x

3
.sin

6

2cos

6
6

sin 2x sin

x

2cos x

6

2
3
sin

6

x

6

1 0

6

x

0

sin

1 0

cos x

6
6

0

1
2

11


x

6

k

,k Z

2

x

6

x

6k

3

x

k2

,k Z

k2
2

x

5

k2

6
v) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 15. Giải phương trình: sin3x. cos x cos7x. sin5x 0 .
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức : sin a cosb 1 sin a b sin a b
2

cos a sin b 1 sin a b sin a b
biến đổi phương trình về dạng cơ bản. 2
Lời giải:
sin3x. cos x cos7x. sin5x 0
1 sin 4x sin 2x
1sin12x sin 2x
2

2

0sin12x sin

12x 4x k 2

8

,

12x4x k 2

x k

,k Z

k Z
x

8 k

4x

4

x k 8 , k Z.
Bài 16. Giải phương trình: cos 4 x. cos x sin 3 x. sin 2 xcos3x .
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức : cos a cosb 1 cos a b cos a b
2 1

sin a sin b cos a b cos a b
2
biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
cos 4 x. cos x sin 3 x. sin 2 xcos3x

1

2 cos5x cos3x

1

2 cos x cos5x cos3x

cos 3 x cos x
3x x k2 ,k Z
12


x k

x k , k Zx k 2 , k Z
2
vi) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác
Bài 17. Giải phương trình: 2cos3x sin 2x cos x
.
6

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức cộng đưa

phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
2cos3x sin 2x cos x

6
sin5x sin x
3 cos x 1sin
2
2x
3
1
sin5x
cos x sin x
2
2
sin5x sin x 3
5x x

3 k2

5xx
x

,k Z
3 k2

12

x

k

9k

2

,k Z

3

Bài 18. Giải phương trình: cos2x 2sin

2

x

3 cos2 x sin2 x

2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đưa phương
trình về dạng bậc hai đối với cos x .
Lời giải:
cos2x

x

2sin2 2

3 cos2 x

2cos2 x 1 1 cos x 3.1
cos x
1
x

3

cos x

sin2 x

2cos2 x cos x 3 0
k 2 ,k

Z

2

13


Bài 19. Giải phương trình: 2cos5x. cos2x 2cos3x sin 4x 0 .
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, công thức nhân đôi,
đưa phương trình về dạng tích.
Lời giải:
2cos5x. cos2x 2cos3x sin 4x 0
cos7x cos3x 2cos3x sin 4x 0cos7x cos3x sin 4x 0 2sin5x. sin 2x
2sin 2x. cos2x 0 sin 2x cos2x sin5x 0

sin 2x 0

sin 2x 0

2x k
,

cos2x sin5x

x
k

cos2x cos

5x

2

2x

2

5x k 2

k2

2

Z x 14 k 7 2

x k , k Z.
6

3
Bài 20. Giải phương trình:

2

cos2x

6cos

x
3cos
2

x

1 0

3
3
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức
nhân đôi, đưa phương trình về dạng bậc hai đối với sin x 6 .
2

cos 2x

3

cos 2x

cos 2x

6cos

x

Lời giải:
3cos

x

2
3
1 cos x
6
3cos x
2
3
3

3cos x cos x

3

1 0

3

1 0

4 0

cos 2x 3 6sin x 6 .sin 6 4 0
2sin2 x 6 3sin x 6 5 0
14


sin x

6

1

5
2

sin x

2

x

3

6
Bài 21. Giải phương trình:
tan 2x 2tan

x

k 2 , k Z.

2

2 1 tan
4

2x cos 2 2
x

Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi, công
thức cộng.
Lưu ý:
cos2x 0
Điều kiện xác định của phương trình:

cos x

4

0

Điều kiện trên không đảm bảo tồn tại tan x nên phải xét hai trường hợp
x
k và x
k ,k Z.

2
2
Với điều kiện x
k , k Z thì tan x tồn tại, khi đó mới được thế tan 2x
2
2tan x
bằng
.
2
Lời giải:
1 tan x
cos2x 0
Điều kiện xác định:
cos x
Ta có: tan 2x 2tan

tan 2x 2tan x

* Thế x

x

4

2

, với k

2

2x

Z, vào phương trình (21) ta được:
3
4

k

2x cos

(21)

2 k , với k

Do đó x

2

4

2

tank 22tan

0
4
21 tan

k

2 02.12

đúng

Z, là nghiệm của phương trình (21).


1
5


(21)

2tan x 2. tan x 1 2
1 tan2 x

tan x tan x 1 2 1 tan2 x

1 tan x

tan x 1
tan x 2 x arctan 2 l , với l Z

2 k , với k

Z;

x arctan

l , với l

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x

Bài 22. Giải phương trình:

cos4x cos2 x

2

Z.

6cos x sin x (22)

sin x
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân đôi,
công thức lượng giác cơ bản đưa về phương trình bậc hai đối với sin 2x , so
sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định: sin x 0
x l ,l Z
Với điều kiện trên, ta có:
(22)
cos4x cos2 x 3sin 2x sin2 x
3sin 2x
sin2 x cos2 x cos4x 0
3sin 2 x
1 cos 4 x 0
2
2sin 2x

3sin 2x 0 (*)
sin 2x 0
3
sin 2x
2
x k
,k Z
2
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình (22) là
x k ,k Z.
Chú ý :

2
,k Z

Các cách so sánh họ nghiệm x k
2

y

với điều kiện xác định của phương trình
(22) :

B .2
1

- Cách 1: biểu diễn nghiệm và điều kiện trên

đường tròn lượng giác.
Trên đường tròn lượng

giác, họ

nghiệm

0
X

x k 2
điểm

, k Z được biểu diễn
:
A(1;0),

bởi bốn A’

-1

X

O
-1.
B’

1Ax

16
3

2


A’(-1;0),
B(0;1)
và
B’(0;-1).
Các góc không thỏa điều kiện
được biểu diễn bởi
x l ,l Z
hai
điểm
A(1;0)
và
A’(-1;0).
Do đó, nghiệm của phương trình (22) là số đo radian của các góc được biểu diễn
bởi hai điểm B và B’. Vì hai điểm B và B’ có khoảng cách bằng và điểm B

nên chúng biểu diễn cho
các góc có số đo x 2 k ,k Z. Vậy nghiệm của (22) là: x 2 k ,k Z.

là điểm biểu diễn của góc 2

- Cách 2: Tìm điều kiện của số nguyên k để x k 2 thỏa điều kiện xác định của
phương trình (22).
Ta có: k lk 2l (với l Z, k Z).
2
Vậy nghiệm của phương trình (22) là: x k
,với k 2l , l Z, k Z.
2

2
Bài 23. Giải phương trình: cos 4 x 2cos 2 x cos x sin x. cot 5x (23)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với sin 5x , áp dụng công thức nhân đôi,
công thức cộng đưa về phương trình cơ bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác
định của phương trình.
Lời giải:
0 x l ,l Z

Điều kiện xác định: sin5x

5

2cos2 2x 1 2cos2 2x cos x sin5x sin x. cos5x
cos x 1 sin5x sin x. cos5x
cos x sin5x sin x. cos5x sin5x
sin 4 x sin 5x
4x 5x k 2
, với k Z
4x5x k 2

* x
k
9
k

k2
2 , với k Z.

x

Ta có:
* x

x

9

k

9

k 2 , k Z, không thỏa điều kiện vì sin 5.k 20 , k Z.
k

2 (với k Z) là nghiệm của phương trình (23) khi:
9
9
2 l
(với k Z, l Z)
k
1 9l
9
5
2 10
1 9 10m r , với l 10m r , m Z, rvà r 10
2

10
17

9r

5

k 9m
10 , với m Z, r và r 10 k 9 m 4 ,
với m Z.
Vây nghiệm của phương trình (23) là:

2

x 9 k 9 , với k 9 m 4 , k Z, m Z IV. HIỆU
QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Các hoạt động, ví dụ và bài tập nêu trong đề tài giúp học sinh vừa củng cố kiến
thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo
công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc
các dạng đã biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định của
các phương trình chứa ẩn ở mẫu. Từ đó, học sinh tự tin hơn khi giải phương
trình lượng giác, tránh được kiểu học công thức lượng giác cách máy móc,
không đạt hiệu quả khi áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác.
Trong năm học 2015-2016 tôi đã áp dụng và hướng dẫn học sinh các lớp 11A1, 11A2 học theo hệ thống bài tập
này so với lớp 11A3 không áp dụng thì kết quả có sự tiến bộ rõ rệt trên các mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh
có kỹ năng giải toán, học tích cực xây dựng bài. Sau đây là kết quả khảo sát:

Lớp

Sĩ số

Học sinh hiểu bài
SL
TL (%)

Học sinh có kĩ năng
SL
TL (%)

Học sinh tích cực
SL
TL (%)

11A1 45
40
88,9
25
55,6
15
33,3
11A2 44
41
93,2
28
63,6
14
31,8
11A3 45
23
51,0
5

11,1
4
8,9
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
- Giải phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình
hình học lớp 11, là một dạng toán thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia
hàng năm. Vì vậy trong quá trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm được các
kiến thức cơ bản, trọng tâm, có kỹ năng thanh thạo giải được dạng toán này.
- Trong dạy học giải bài tập toán việc phân dạng, loại bài tập các bước giải là
vô cùng cần thiết hơn nữa việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập
dạy sát đối tượng là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công. Để dạy học sinh
học nắm vững kiến thức giải phương trình lượng giác ta cần trang bị các công
thức lượng giác cơ bản, kỹ năng giải các phương trình lương giác thường gặp và
kỹ năng biến đổi linh hoạt các phương trình về các dạng cơ bản đó.
- Kinh nghiệm sáng kiến này là một tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy
cho các đối tượng đại trà, khá, giỏi.
- Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc phân dạng và làm rõ kỹ năng giải
phương trình lượng giác đã giúy học sinh nắm vững bài, không còn lúng túng, lo
sợ khi học phần này, bước đầu các em đã có định hướng phương pháp để giải
các bài toán này. Với kết quả thực nghiệm ở hai lớp tôi dạy học sinh đã say mê,
tích cực và hiểu bài đạt tỷ lệ cao. Đó cũũ̃ng là động lực để tôi cố gắng hơn nữa để
tiếp tục bổ sung hoàn thiện sáng kiến này.
18


- Thông qua kinh nghiệm này bản thân cũũ̃ng rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu
trong quá trình giảng dạy và mạnh dạn trao đổi với các đồng nghiệp để góp ý,
xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh hơn.
II. KIẾN NGHỊ

- Qua thực tế giảng dạy nhất là đối tượng học sinh đại trà trong các Trung tâm
giáo dục thường xuyên, tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ
bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau:
* Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu
tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi của từng
chương, từng bài lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng.
* Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn nắn
động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học
sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy.
* Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết bài
tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy
học sinh dể hiểu bài học.
* Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũũ̃ng như các nội dung khác nói
chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt
nội dung mới.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân phần nào giúy học sinh có kỹ
năng giải phương trình lượng giác được dể ràng hơn, hướng thú học tập hơn.
Đây là một sáng kiến thực tế, thiết thực cho mỗi trường học. Học sinh khối giáo
dục thường xuyên năng lực học tập còn hạn chế, đồng thời trong sáng kiến này
cũũ̃ng gợi mở cho các em khá, giỏi con đường, cách thức để giải những bài toán
khó hơn. Tôi cũũ̃ng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian còn
nhỏ nên sáng kiến này không trách khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự
đóng góp của các đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục và Đào tạo. Tôi xin
trân thành cám ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 10 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác

19