SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.85 KB, 26 trang )
1.
MỤC LỤC
Mở đầu…………………………………………………………….. 2
1.1 Lý do chọn đề tài…………………………………………………..
.
2
1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………
.
1.3 Đối tượng ngiên cứu……………………………………………….
.
2
1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..
3
3
.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………….. 3
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………
3
.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…..
.
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………….
.
2.4
.
3.
3.1
.
4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………..
19
Kết luận, kiến nghị………………………………………………..20
Kết luận……………………………………………………………
20
3.2 Kiến nghị………………………………………………………….
.
3.3 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN
.
3
20
Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở lên……………………………………………………………..20
1
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT
tỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tập
trong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáo
khoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề.
Cụ thể:
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho
un
u1 2, u2 5
dãy số
(u )
u
5u
6u , n 1
lim
.
.Tính giới hạn
n
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho
u1 2
n1
4u n 3.4 n , n *. .Tìm số hạng tổng quát u n và tính
u
n
xác định như sau
n 2
n1
n
dãy số xác định bởi
lim 2 n 2 3n 1
.
un
giới hạn
Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏi
bậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trong
các đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú với
nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viết
cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ
sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đó
những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ôn
thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp.
Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xây
dựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bám
sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản.
Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sát
chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng
nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc
phục.
Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số
hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau
2
Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của
học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tập
về dãy số một cách logic từ dễ đến khó.
Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,
nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phép
biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số
chánh sự gượng ép máy móc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân. Để qua đó
hình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sử
dụng cấp số cộng và cấp số nhân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạng
tổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp số
nhân.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.1.Cấp số cộng
u
u
* Dãy số n là cấp số cộng
là công sai của cấp số cộng.
u
* Nếu dãy số
n
u
* Nếu dãy số
n
u d
n 1
là cấp số cộng thì
u
u
u
n
1
n 1 d.
là cấp số cộng thì tổng
S n u1 u 2 ... u n
2.1.2.Cấp số nhân
với n * , trong đó d là số không đổi gọi
n
u
n
2 u1
u .q
un .
*
là cấp số nhân n 1
n
với n
, trong đó
* Dãy số
không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số un là cấp số nhân thì u n u .qn 1
1
u
n
* Nếu dãy số
là cấp số nhân vơi q 1, q 0 thì tổng
n
S n u1 u 2 ... u n u1.
1 qn
q
là số
.1q
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như
sau:
Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức là
khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số
và giải tích 11 chương trình cơ bản. Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05
3
học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp
11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết
5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21.
Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)
1
Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6)
Sơn (6,5)
H.Phương (5,8)
2
Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)
(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)
Với đề kiểm tra như sau:
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u 1
u 2
a) 1
b) 1
u n 1 u n 2; n 1.
u n 1 3u n ; n 1.
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
a) u 2
u 2
1
n; n 1
un 1
un
3n ; n 1.
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
a)
u 1
1
un 1 2un
xác định bởi:
n
1
b)
un 1 un
u
b)
5n; n 1.
u
xác định bởi:
n
u 1
1
un 1 2un
(n 1).3n ; n 1.
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
Điểm
Lớp
Nhóm 1 (số hs)
Nhóm 2 (số hs)
0–3
3,5–5
1
1
2
1
5,5 – 7,0
7,5 – 8,5
2
3
9-10
0
0
0
0
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa
và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
u1 1
n
Bài 1. Cho dãy số u
u u 2;n 2
xác định bởi công thức:
n1
n
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra
u
u
d 2 nên số hạng tổng quát là n
1
Kết luận.
u
u
n
là một cấp số cộng có 1
n 1d u
2 n 1.
n
Vậy u n
1
và công sai
2 n 1.
4
u1
u
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số
u
Ta làm như sau
thứ nhất
u
a
1
u
n
1
n
b
u
và công sai b nên
n
n
u
thỏa mãn
nên dãy số
a ( n 1) b.
u
n
a
u
b; n 2.
n
1
là cấp số cộng với số hạng
n
u 4
1
u
Bài 2. Cho dãy số
u
1
n1
2
xác định bởi công thức:
n
u n ; n 1.
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
un
u 4
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra
là một cấp số nhân có
và công
1
bội
q
n1
1
2 nên số hạng tổng quát là
un
u1 .q
un
4.
1 n1
2
Vậy un 2 3 n.
Kết luận.
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số u
n
3 n
2
.
u1
a
.
;n 2
n
u bu
là cấp số cộng với số hạng thứ nhất u a và công bội b nên
thỏa mãn
Ta thấy dãy số un
n1
1
un
a.b
n 1
.
u 2
.
1
Bài 3. Cho dãy số
u
n
có
u
u
n
Tìm số hạng tổng quát
Giải
u
n
n, n 2
n 1
của dãy số.
Theo đề bài suy ra
u1 2.
u 2 u1 2.
u3 u2 3.
...
u n u n 1 n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
u n 1 1 2 3 ... n .
nn
1 2 3 ... n
Trong đó
Vậy: un 1
1
.
2
n ( n 1)
2
n
2
n 1
.
2
5
u
1
u
Bài 4. Cho dãy số n xác định bởi công thức:
số hạng tổng quát của dãy số
1
u u 3n ; n 1
n1
n
. Hãy tìm
Giải
Theo đề bài suy ra
u1 1.
u 2 u1 31.
u3 u2 32.
...
u n 1 un 3n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
u
n
1 31
31 3 2
u 2 3
n
3 12
... 3 n .
3n 1
2
3
3n
1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
Bài 5. Cho dãy số u
un 2
3 3n 1 .
2
u1 1
u n 3n 1 2.5 n ; n 1
u
n
xác định bởi công thức:
.
n 1
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra
u1 1.
u 2 u1 3.1 1 2.51.
u3 u2 3.2 1 2.5 2.
...
u n u n 1 3. n 1 1 2.5 n 1.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
u
n
1 3 1 2 3 ... n 1n 1 2 51
52
53
... 5 n 1 .
1 2 3 ...
n
n 1
Trong đó
1n
.
2
1
2
n 1
Và tổng
a 5 A 5 5 ... 5q 5 là tổng n 1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ
nhất
A S
un
1
, công bội
a
1 qn 1 A 5.
1
n1
1 q
n 1n
5
2 n 3
2
2
4
1 5n 1
4
n
5
1
4
2
5
4
5n .
4
3n 2 5n 9 5 n .
6
u
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
1 3n 2 5n 9 5 n .
2
Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài
trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản
thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân
u1 2
.
n
6;n
2
Bài 6. Cho dãy số u
u 5u
xác định bởi công thức:
n
n1
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải u n a 5 u n 1 au n 5u n 1 4 a.
Ta xét
3.
4a 6 a
Kết hợp với đề bài
un
5u n 1
Vậy
Đặt
n
Suy ra dãy số
v v .q n 1
v
n
3
6 un
v
1
3.
5u
n1
2
3
3v u
1
2
v u
n
2
2
7
2
2 và
5vn 1.
v
n
là cấp số nhân có
n
7
q 5.
,
công
bội
2
3 7 .5 n 1 3 .
v1
7.5 n 1 u v
1
n
2
n
2
n
2
2
u
7 .5 n 1
3 .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là n 2
2
Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát
u
f n ;n 1.
u n 1 qu n
1
,q
f n
là các hằng số đã cho,
là đa thức theo biến số n
q 1
của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:
Trong đó
* Nếu
* Nếu
q 1
ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I
ta phải tìm một đa thức
phương trình u
qu
n1
f
gn
có bậc bằng bậc của
n u
n
g
n 1 qu
n1
Khi đó việc tìm u n sẽ trở thành tìm v
g
f n
sao cho
n .
n
vn là một cấp số nhân
n trong đó dãy số
Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un
u1
u
3
u
n1
6n 2
cho bởi công thức truy hồi
2n; n 2.
a)n
7
u 1
1
b)
u n 1 3u n
c)
u1
u
5
9u
n
4 n 2; n 1.
8n 2 14 n 1; n 1.
n1
Giải
a) Theo đề bài suy
ra u1 3.
u 2 u1 6.2 2 2.2. u3
u2 6.32 2.3. u 4 u3
6.4 2 2.4.
…
u n u n 1 6.n 2 2.n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u
n
3 6 2 2 32 ... n 2
u 3 6 12
22
n
u
n
2 2 3 ... n .
1 n
32
... n 2
n 1
2 1 2 3 ... n 4.
2n 1 n
n 1 2n3
2n2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
1.
u
2 n 3 2 n 2 1.
n
f n 4 n 2. là đa thức bậc nhất ẩn n nên ta xét đa thức
gn
an b
un 1 g n 1 3 u n g n .
sao cho
u n 1 a n 1 b 3 u n an b . u n 1 3u n 2
b) Từ đề bài suy ra
an 2b a.
u
3u
4 n 2
Mà n 1
n
2 an 2b a 4 n 2
nên ta phải có
2a 4
a 2
2b a 2
b 0.
Do đó u n 1 2 n 1 3 u n
v
u 2n v
1
Đặt n
n
Suy ra vn
u1 2 3 và vn 1 3vn .
v 3 , công bội q 3.
là cấp số nhân có
vn
v1 .q n 1
2n.
1
vn
3.3n 1
3n mà vn
un
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
f n
2n un
u
3n
n
3n
2 n.
2 n.
8n 2 14 n 1
c) Từ đề bài suy2 ra
là đa thức bậcn hai ẩn n nên ta xét đa
n1
c
u
g
n 1 9u
g n .
a
bn
sao cho
thức g n n
n
2
u
a
n 1 b n 1 c 9 u an 2 bn c .
n1
8
2
1 9u n 8 an 8b 2 a n 8c b a. Mà
8 nu2 n14
n1
nên ta phải có
8an 2
8b 2 a n 8c b a 8n 2
u
9u
n 1
n
14 n 1.
8a
8b 2a n 8c b a 8n 2 14n 1 8b 2a 14 8c b a 1.
a 1; b 2;c
1
2 suy ra g n n 2
un1
Do đó
v u
Đặt n
n 1
n2
2
2n 1
1
2n
2
n
2n
8
1
2
2
1 9
2n
1
u
n
n
2
2
7 17
v u
v 9v .
11
n
2 2 và n 1
17
q 9
,
công
bội
2
v
v
Suy ra nlà cấp số nhân có 1
17
17 2 n 2
vn v1 .q n 1 vn
2 .9 n 1
2 .3 .
2
Mà
vn
un
n
2n
1
un
2
2
vn
n
2
1 17 .32 n 2
n
2
2
2n
u
17
.3
2 n
2
2n
n
1.
2
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là n 2
Bài tập tương tự:
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bởi công thức truy hồi
u1
a)
1
u
u
n1
4n 3
2 n
1
.
2
6n; n 2.
n
u 4
1
b)
u n 1 5u n
c)
u1
u
n
3
2u
n
8n 3; n 1.
3n 2
4n 1;n 1.
1
Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1
un
1
un1
u
n
cho bới công thức truy hồi
n 3 2 n ; n 2.
Giải
Cách 1. Theo đề bài suy ra
9
u1
u2
u3
u4
…
un
1.
u1
u2
u3
2 3 .2 2.
3 3 .2 3.
4 3 .2 4.
un1
n 3 2 n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u n 1 2.2 2 3.33 ... n.3 n 3 2 2 2 3 ... 2 n .
A 2 2 ... 2
2
3
n
Trong đó tổng
là tổng
q 2.
a 224
tử thứ nhất 1
, công bội
n 1
A a . 1 q1
n 1
A 4.1 2
1 q1
n1
số hạng đầu của một cấp số nhân có phần
2n 1 4.
Xét B 2.2 2 3.2 3 4.2 4 ...
n.2 n.
2 B 2.2 3 3.2 4 4.2 5 ... n.2n 1
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra
B 2 B 2.2 2 2 3 2 4 ... 2 n n.2 n 1.
B A 2 2 n. 2 n 1 2 n 1 n. 2 n 1
B n 1 2 n 1.
un
1 B 3A 1 n 12n1
32n1
4n 4 2 n 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là
n 1
Cách 2. Xét hàm số g n an b .2 . sao cho
un
u
u
n
n
gn un1 gn 1.
n1
an b 2 n 1 u
a
n1
u
a n 1 b 2 n.
Mà u n
u n 4 2 n 1 13.
n
2 n.
n 1 b
n 3 2n nên ta phải có
un1
a 1
a n 1 b n 3
a b
g nn 4 .2
Do đo u
13.
a
3
1
b 4
n 1
.
n 4
2n1 u
n
n 1 4 2 n.
n1
u n n 4 2 n 1 v1 u1
1 4
22 13 và v v
nn 1
Suy ra vn là cấp số nhân có v 13 , công bội q 1.
Đặt vn
.
1
vn
v1 .q n 1
vn
13 mà vn
u nn 4 2 n 1
u n 13 n 4 2 n 1.
Vậy số hạng tổng
u quát của dãy số trên là
Chú ý: Dãy số
n
thỏa mãn
u n 4 2 n 1 13.
n
10
u 1
1
un
u 1
u
1
n 32n;n 2
n1
u n n 2 2 n 1; n 1.
un1
Tương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quát
của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:
u1
u n 1 qu n f n . n ;n 1.
,q,
Trong đó
Kết luận:
q1
* Nếu
f n
là các hằng số đã cho,
gn
ta sẽ tìm đa thức
sao cho u n 1 g
n 1 u
n
g
là một đa thức theo biến số n
có bậc bằng bậc của
f n
cộng với 1
n. Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng
tổng quát của một cấp số nhân.
1
* Nếu và
q 1
, ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.
1 q
* Nếu
un 1 g
,
n 1
n 1
, ta sẽ tìm đa thức
qu
g n n.
g
n
q1
có bậc bằng bậc của
f n
sao cho
n có bậc bằng bậc của f n cộng với 1
* Nếu , ta sẽ tìm đa thức
sao cho u g n 1 n 1 q u
n1
gn
g
n
n
.
n
Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự
tương ứng.
Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 1
u n 1 u n 2 n 2 n; n 1.
u
n
cho bởi công thức truy hồi
Giải
Theo đề bài
q 1
, bậc
3
2
an bn cn d sao cho
fn
bằng 2 bậc
un1 gn 1 un gn.
un1 an 13 bn 12 cn 1 d un
3an 2
un1 un
Mà
u
n
1
u
2n
n
gn
bằng 3 Xét g n
an 3 bn 2
cn d.
3a 2b n a b c
2
n
nên ta phải có
3a 2b n a b c 2n 2 n 3a 2b 1 a b c 0
3a
2
11
a
2; b 3 ; c
5 gn
2
3
6
3
2
6
5
1
3 2 6 và vn 1 vn
1
v 1 , công bội q 1 v v .q n 1
n n
Suy ra vn
là cấp số nhân có
vn
5 n.
n2
2
3
2
Do đó u n 1 g n 1 u n g n .
gn
v1 u1 g 1 1
vu
Đặt
3
n3
u n g nu n
n
1
vn
5n 1
6 2
mà
3
3
5
u
n 1.
n3
n2
n
3
6
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là
2
Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.
Bài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bởi công thức truy hồi
u1
0
2u
un 1
Giải
Theo đề
q 2,
1
g
n
n
n2
2
1
3
n2
2
n3
3n 1; n 1.
f n
, bậc của
bằng 2 suy ra bậc của
c
a
b
un 1 g n 1 2 u
sao cho:
Xét g n n
n
n
u n 1 a n 1 2 bn c 2 u
an 2 bn c .
2
u n 1 2u n an
b 2a n c a.
2
n
g
Mà
u
2u
n 1
n
n
a 1
b 2a
3n 1 nên ta phải có
3b 1
a 1
c
gn n n 2
un 1 g n 1 2 u n g n
và
v u n g n v1 u1 g 1
2 v
2v
và n 1
n
Đặt n
v
q2
v
v1 .q n 1
Do đó
2
là cấp số nhân có công bội
g n 2 n n 2 n 2.
n
un
vn
nên
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Bài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 1
u n 1 u n n 2 1 3n ; n 1.
bằng 2
n .
a 1
2
gn
u
n
c 2
2.2 n 1 2n
2 n n 2 n 2.
u
n
cho bởi công thức truy hồi
Giải
12
q 1,3
f n
Theo đề
, bậc của
Xét hàm số g n an 2 bn c
bằng 2
gn
bằng 2 suy ra bậc của
sao cho u n 1 g n 1 3n 1 u n g
n 3n
n
n1
u
an 1
bn 1 c
2
3
uan
bn c
2
3.
n1
n1
u
Mà
n
u
u
u
n1
2a
1
2b
6a
2 an 2
2b 6a
n2
n
1 3n
n 2c 3b 3a 3 n.
nên ta phải có
1
0
n
3
;
a
2 b
2.
2 ;c
gn1 n23 n2
2
2
và u n 1 g n 1 3n 1 u n g n 3n. Đặt vn u n g
n 3n v1 u1 g 1 31 2 và vn 1 vn
Do đó vn là cấp số nhân có công bội q 1
gn
3 un
v v2
n
n
n
2 un
nên
2 gn3
2
1
n
2
1
2
n
3
2
n 2 3.
n
1 2 3
un
2
n
n 2
3.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
2
2
Bài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bởi công thức truy hồi
u 0
1
2u n
un1
Giải
n 1 3n ;n 1.
f n
q 2,3;q
Theo đề
, bậc của
gn a b
un 1 g
Xét hàm số
sao cho
n
là 1 suy ra bậc của
u
1
an
n1
un1
2u n
b 3n 1
2u
n
2 an
n 1 3n 1
n 1 3n
n
Đặt vn u n g n 3
v
n
3.2 n 1 u n
g n 3n .
an b 3a 3 n.
g nn 2.
Do đó
là 1
b 3n.
a 1
Mà u n 1 2u n
n
2u
gn
nên ta phải có
g n 3n
b 3a 1
v1 u1 g 1 31
là cấp số nhân có công bội
un
q 2
3.2 n 1
a
b 2
3 và vn 1
nên vn
1
v1 .q
2vn .
n 1
3.2n
1
n 2 3 n.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
3.2 n 1 n
u
n
2 3n.
13
Bài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 3
u n 1 2u n n 5 2n ;n 1.
Giải
q2
Theo đề
fn
, bậc của
gn
Xét hàm số
an 2
un 1 g n 1 2 n 1 2 u
n
cho bởi công thức truy hồi
là 1 suy ra bậc của
gn
là 2
bn c sao cho
g n 2n .
n
2
un1
u
an 1
bn 1 c
2n 1
2
2
un
bn c 2
n
an
.
n
u n 1 2u n4 an 2b 2 a 2 .
4a 1
Mà u n 1 2u n
gn4n
1
n 5 2n nên ta phải có 2b 2 a 5
1; b
9
4
4
9
4 n.
2
Và u
a
g
n 12n1 2u
g
n1
n 2n .
n
Đặt v u
n
n
g
n 2 nv u g
1
1 21 2
1
v
và
2vn .
n 1
2.2 n 1 2n
Do đó vn là cấp số nhân có công bội q 2 nên v v .q n 1
n
1
9n 2 .
n u n gn2
n u n
2
2
1 n 2 9 n 2n 2 n n
n 2
4
4
n
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
2n n2
u
n
Bài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 1
u n 1 3u n 2n 1 n 1 .3n ;n 1.
u
n
cho bởi công thức truy hồi
Giải
q 3,3
, bậc của 2 n 1
g n an b n cn
Theo đề
Xét
u a
bằng 1 bậc của
n
d3
n1
n 1 b
n 1 c
u
n 1 d
n
3n 1
3u
n 1
bằng 1
n 1 3ung
g
sao cho:
u n 1 3u n 2 an 2b a 6cn 3d 3c 3 n. Mà
n 1 n 1 .3n
n1
9 n 2 n 2.
n .
an b n cn d 3 n .
u 3u 2
n1
n
nên ta phải có :
14
2a 2
2b a 1
1
a 1;b 1;c
6c 1
1
;d
6
2
3c 1
3d
gn
n 1
1
n 6n
Đặt vn u n g n
Do đó
v
n
1 3n
2
và u n 1 g n 1 3 u
v1 u 1 g 1
2 và vn 1
là cấp số nhân có công bội
q 3
gn .
n
3vn .
v1qn
nên vn
1
2.3n
1
2.3n 1 u n g nu n 2.3n 1 g n .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
u
n
2.3n 1
6
2
1
n 1 n
n
1
3n.
Bài 15. (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số
u1 2
u4u
xác định bởi
n
3.4 n , n
*
.Tìm số hạng tổng quát u n
.
n1
Giải
Theo đề
f n
q4 1
, bậc của
là 0 suy ra bậc của
gn
là 1
gn
Xét hàm số
an b, ( a 0) sao cho
n1
u g n 14n1 4u ng n 4n .
n1
u
a
n 1 b4n1
n
4u
an b 4 n .
u n 1 4u n4 a 4 n.
u
Mà n 1
g n34 n.
4u 3.4n
n
3( n 1)
u
n1
Và
Đặt
vn u
n
Do đó vn
3
nên ta phải có
n1
3
n
a
4 và b tùy ý, nên ta chọn
n
u
.
4 .4 4 n
44
3n n
3 1
1
4 .4 v1 u1
4 .4 và vn 1
là cấp số nhân có công bội q 4
4vn .
v v .q n 1 1.4 n 1
nên n
4n1 un
3 .4 n
n
4
un
b 0
4 n 1 3 .4 n
n
4
1
3n 1 4n .
4
4n 1
1
5
(3n 1).4n .
u
4
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
u 2, u
Bài 16. cho dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra
u n 2 2u n 1 3(u n 1
v
Đặt n u
v1 u 2 2u1
2u
n 1
n
(u )
n
un
xác định như sau
v
u n 1 2u n 3n 1
Đặt
, n 1
.Tìm
u.
n
2u
a
1 .3n
a 1
3
nên ta phải có
3
n
1 n
3.3 .
2un
gn
là 0 suy ra bậc của
là 0
n
n 1 3n 1 2 u
g n 3n .
Xét hàm hằng
sao cho
u n 1 a. 3n 1 2(u n a3n ). u
n
n 1 2u n ( a)3 .
g n3
n
q 3
là cấp số nhân với công bội
n
Theo đề q 2,3;q, bậc của f n
gn a
un 1 g
n1
5un 1
2
2u n ).
3n 1 u n 1 2u n
u
5
6u
1.
v 3v
Mà
2
.
Và n 1 n nên dãy
vn v1 .q n 1 3n 1.
Vậy
1
1
3
1
.
w
u
n
1 .3n
3
n
w
Do đó
n
u
1
n
33
un
2n 1
1 31
3
1
là cấp số nhân có công bội
1
2n 1 u n
w
q 2
nên w
1
và w
n
w
2w
n 1
1
.q
n
n 1
.
2n
1
3n 1.
un
2n1
3n 1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Kết luận: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 a1 , u 2 a2
sau:
u
n
2
au
n 1
bu
n
2
( x y )u n
1
n
cho bởi công thức truy hồi
c; n 1.
Cách làm như sau: phân tích
un
u
u
xyu n c
n
2
xu
n 1
y (u
n 1
xu
n
) c
16
x y a
xy
x,
nên
b
y
Giả sử phương trình có hai nghiệm là
u
u (u
u ) c
Khi đó n 2
n 1
n 1
n
v
. Đặt
n 1
u
u
n1
v
n
thì
X 2 aX b 0.
là hai nghiệm phương trình
vv v
,
.
v
u
n 1
n
n1
n
u
n1
1
.
n 1
n
1
Bài toán
này đã được giải quyết ở trên, từ đó tìm được u n .
Bài tập tương tự
un
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
cho bởi công thức truy hồi sau:
u1
0
u
u
u1
n1
n2
2n; n 2.
3
2u
u
a)n
3n 1; n 1.
b)n 1
u 2
u
un n1
u1
10
3u n
1
n
n 1 3 ;n 2.
u 1, u
3
1
2u ; n 1.
n 1
f)
n
1 2 n ; n 1.
2
u
3u
n
2n2
3
1
3u
2
n1
u 1, u
2
u
n
u
d)
c)
e)
n
2
2u
n
1
4; n 1.
n
Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách
quy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác.
Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bởi công thức truy hồi
u 1
u
1
n
u
n1
1 2n 3
Giải
1
Từ giả thiết suy ra
u
n 1
;n 1.
un
1
1 2 n 3 un
un
u
n1
1
2 n 3; n 1.
un
1 1.
Do đó
1
u2
1
u3
u
1
1 2.1 3.
u
1 2.2 3.
u2
1
1
1
u
3
2.3 3.
u
4
17
…
1
u
1 2. n 1 3.
u
n
n1
Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được
1
1 2 1 2 3 ... n 1 3 n 1 .
un
1 n 1 n 3n 1 n 2
1
2n 2 un
1
un
n2
.
2n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
2 1
un
n2
2n 2
.
Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bới công thức truy hồi
u1
1
u
2un
n1
;n 1.
1 3n 5 un
1 1 3n 5
Giải
1
u
1
3
n
Theo đề bài suy ra u n 1
1
1
v
u v1
1
n
Đặt n
Xét g n an b
2u n
1.
sao cho
1
u
v
1
n
n1
3
và n 1 2 vn
v gn 1
n1
5
; n 1.
2u n 2
5
2 ; n 1.
2n
1v g
2 n
2
n.
1
vn 1 a n 1 b 2 v n an b . vn 1 2 vn
1
1
2 an a 2 b.
1a
2
v
1
2 vn
3
2n
5
a
5
n1
2 nên ta phải có
3
.
b 1
2b 2
v gn 1
1v g
n .
2 n
g n3n 1 và n 1
1 xn .
xn 1
x
v
g
nx
v
g
13
n
n
1
1
Đặt
và
2
x x .q n 1
xn
q 1
Do đó
là cấp số nhân có công bội
2 nên n
1
Mà
a
1
3
2
3.21 n.
18
v
x g n3.21 n
n
3n 1 u
n
1
3.21 n
n
.
3n 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
1
.
un
3.21 n 3n 1
Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng
tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:
u
1
aun
;n 1.
u
n
n1
g
n
.
u
b f n
n
f n
gn
Trong đó a , b, , là các số thực cho trước,0 ;
và
là các đa
thức theo biến số tự nhiên n .
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số un cho bởi công thức truy hồi:
u 1
u 2
1
a)
u
n1
1
; n 1.
n
u
2 .un
1
c)
n1
1
n
n
n 3n un 1
; n 2.
u 1
1
3un
n2
2
n1
2
b)
u 5
u
u
1
un
2 n 3 un
; n 1.
un
u
d)
n1
3 n 1 2 n.un
; n 1.
u 2
u
1
n1
u
3 2 1 .3 .un
n
n
e)
; n 2.
n1
u
Bài 19. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
n
cho bởi công thức truy hồi
u1
1
u
2un
n1
Giải
1 3n 5
1 1
;n 1.
un
Theo đề bài suy ra u n 1
1
Đặt
u v1
v
n
n
1
1
1
3n 5 un
u
2u n
1.
và
v
n1
n1
1
3
2 vn
2n
1
3
2u n 2
5
2 ; n 1.
n
5
; n 1.
2
19
v
g n an b sao cho
gn 1
1v g n .
2 n
n 1
Xét
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số
bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận
toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đã học
song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa được học, sau
đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùng làm bài
kiểm tra 45 phút . Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quá trình triển
khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việc triển khai
đề tài.
Nội dung đề kiểm tra
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u 2
u 3
a)
1
un1 un
b)
1; n 1.
1
u n 1 2u n ; n 1.
u
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
u1
a)u
3
u
u1
n
2n; n 1
3
u
b) u
n1
n
2n ; n 1
a) u
.
n1
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
u1
xác định bởi:
n
2
3u
u
n
xác định bởi:
u1 1
n
4n; n 1
3u
b) u
n1
n
(n 1).2n ; n 1
n1
Nhóm thực nghiệm: Nhóm 1 (05 học sinh)
Nhóm đối chứng: Nhóm 2 (05 học sinh)
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
Điểm
0–3
3,5–5
5,5 – 7,0 7,5 – 8,5
9-10
Lớp
Nhóm 1 (số hs)
Nhóm 2 (số hs)
0
1
1
1
1
3
2
0
1
0
Căn cứ vào kết quả kiểm tra và đối chiếu so sánh kết quả làm bài của
nhóm thực nghiệm và nhóm còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy
với các nội dung đã trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh ở nhóm 1
giải quyết được vấn đề đặt ra trong đề kiểm tra, đồng thời các học sinh nhóm 1
tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.
20
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khá
trở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướng dẫn
học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã
tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ
góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiết đối
với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một
số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấm
sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trong
ngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trường
THPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
của giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến này
được, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo. Bên cạnh đó
tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi
dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường để
các đồng nghiệp và học sinh tham khảo.
3.3. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2
Ngành GD
Kết
quả
đánh
giá xếp
loại
(A, B,
hoặc C)
C
2006-2007
Ngành GD
C
2012-2013
Ngành GD
C
2015-2016
Cấp đánh
T
T
1
2
Tên đề tài SKKN
Hướng dẫn học sinh tìm tòi và
phát triển một bài toán.
Hướng dẫn học sinh THPT
Thường Xuân 2 sử dụng máy
giá xếp loại
(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
Năm
học
đánh
giá
xếp
loại
tính Casio FX-570ES trong
giải toán.
3
Hướng dẫn học sinh THPT sử
21
dụng đường thẳng và đường
tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ
phương trình và hệ bất
phương trình đại số.
Xác nhận của Hiệu trưởng
Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh
nghiệm
này do tôi tự viết chứ không phải
đi sao
chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi
trách nhiệm!
Tác giả
Đỗ Văn Hào
