SKKN sử DỤNG sơ đồ tư DUY các bước để GIẢI 10 bài TOÁN cực TRỊ điển HÌNH của HÌNH học tọa độ KHÔNG GIAN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI 10 BÀI
TOÁN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
KHÔNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH GIẢI
NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lưu Thị Huyên
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

THANH HÓA NĂM 2018


MUC LUC

Phần 1: MỞ ĐẦU........................................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài:.................................................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài...................................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu.................................................................................... 1
3.1. Đối tượng nghiên cứu:..................................................................................................................... 1
3.2. Phạm vi nghiên cứu:......................................................................................................................... 2
4. Thời gian nghiên cứu:.......................................................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu:.................................................................................................................. 2
6. Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến:..............2

Phần 2: NỘI DUNG.................................................................................................................................. 3
1. Cơ sở lí luận của đề tài :..................................................................................................................... 3
1.1. Cơ sở khoa học của đề tài:............................................................................................................. 3
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài:............................................................................................................. 3
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:............................................................................................... 3
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện – Kiểm nghiệm :.................................................................. 3
3.1. Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian lớp 12THPT:................................................................................................................................................................. 3
3.2. Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:.............................................................................. 4
3.3. 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT:. . .6
Bài toán 1: Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng P ) sao cho
2
2
2
P
1 MA1
2 MA2 ...........n MAn nhỏ nhất hoặc lớn nhất ……………………..........6
Bài toán 2: Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng P ) sao cho
n

P

1

MA1

2

MA2..............n MAn....nhỏ nhất , trong đó..........i.....0 ................................................ 8
i1

Bài toán 3: Tìm M P sao cho MA MB nhỏ nhất .................................................................... 9
Bài toán 4: Tìm M P sao cho MA MB lớn nhất , với d A, P
d B, P
......10
Bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ;z1 ,B x2 ; y2 ;z2 và
x x

y

y

z

z

0
0
đường thẳng : a 0
b
c . Tìm M sao cho MA MB nhỏ nhất ...........12
Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng
chứa và cách A một khoảng lớn
nhất.................................................................................................................................................................... 13
Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng
chứa
và tạo với P một góc nhỏ
nhất.................................................................................................................................................................... 14
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng
chứa A, B và tạo với
một góc lớn

nhất.................................................................................................................................................................... 15


Bài toán 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ; z1
x x

y y

z z

và cắt đường

x

0
0
thẳng d ': a 0
đến đường
c sao cho khoảng cách từ B 2 ; y2 ;z2
b
thẳng d là lớn nhất hoặc nhỏ nhất...................................................................................................... 16
Bài toán 10: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ;z1 và cắt đường

x x

thẳng d ':
:

x

x

a'

2

a

y y

0

y y

b'

b
2

z z

0

z z

c'

c
2

0

sao cho khoảng cách giữa d và

là lớn nhất...................................................................................................... 18

3.4. Hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ tư duy trong khi giải bài toán hình học tọa độ
không gian lớp 12- THPT, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:..........................19
Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ............................................................................................... 20
Mục lục
Tài liệu tham khảo
Danh mục các sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp
Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên
Phụ lục


Phần 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trương đổi mới giáo dục nước ta về mục tiêu, nội dung
chương trình và phương pháp giảng dạy, đặc biệt là đổi mới nội dung chương trình
sách giáo khoa và cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh. Trong kì thi THPT
quốc gia, đề thi môn toán có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành bài với thời
gian 90 phút. Làm thế nào để trong khoảng thời gian ngắn như thế, mà được điểm
cao thật không dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận không còn phù hợp, thay
vào đó chúng ta phải dạy thế nào để học sinh ghi nhớ tốt nhiều công thức, nhiều
phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động của học sinh, thì mới trả lời đúng
được nhiều câu hỏi trong thời gian nhanh nhất. Chính vì thế, tôi chọn đề tài: “Sử
dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học
tọa độ không gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao
trong kì thi trung học phổ thông quốc gia”.

Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số hơn học hình học
và sợ học môn hình học. Lí do là sao vậy? Hầu hết trong số các lí do là người học
thiếu phương pháp làm bài một cách khoa học và dễ nhớ, giống như một người
cần một đèn pin soi đường trong đêm tối, một người học không có phương pháp,
thì không thể học tốt được . Trong phạm vi của đề tài, tôi chỉ nghiên cứu về 10 bài
toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT. Thiết nghĩ,
nếu một bài toán hình học chỉ được trình bày đơn thuần từ đầu đến cuối, học sinh
sẽ dễ nhàm chán, không nắm được phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu
điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ
học - dễ nhớ; sẽ soi đường, chỉ lối cho các em tìm ra phương pháp học đạt hiệu
quả cao.
Trong xu thế hội nhập vào nền cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh của
chúng ta phải đáp ứng được nhiều tiêu chí: thông minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa
học - sáng tạo. Tôi hi vọng đề tài này giúp học sinh có được các tiêu chí trên, đặc
biệt nhiệm vụ trước mắt là giải quyết những câu khó dành điểm 9,10 trong đề thi
THPTQG, là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, của các em học sinh và mong
nhận được sự chia sẻ, góp ý, để đề tài được ứng dụng rộng rãi hơn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm được phương pháp giải 10 bài toán
điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT, qua đó giúp học sinh áp dụng
giải các bài tập tương tự theo sơ đồ đã cho. Từ đó khơi nguồn và tạo cảm hứng trong
việc dạy - học tập và sự tìm tòi của những ai yêu thích môn toán học này.
3. Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu.
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài tập cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy
cho học sinh các khối, lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016
đến nay. Cụ thể như sau: - Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT
Đông Sơn 1.
1

3.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000)
- Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006).
4. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề
ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
+ Thực nghiệm sư phạm.
+ Phân tích và tổng hợp lý thuyết.
+ Phân loại và hệ thống lý thuyết.
+ Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài
tập, củng cố bài học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá).
6. Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng
kiến: - Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư duy mới khi giải bài toán hình học
cùng dạng và những dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích
cực, phát huy khả năng tự học ở nhà.
- Tiết kiệm thời gian: đây là sổ tay ghi nhớ, là cẩm nang để bàn giúp học
sinh chỉ cần nhìn vào sơ đồ là biết cách làm bài; giúp học sinh làm đúng và nhanh
nhiều bài tập tắc nghiệm trong thời gian ngắn, đạt điểm cao 9 - 10 trong các kì thi.
- Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư duy với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp
học sinh dễ học dễ nhớ.
- Nhìn thấy bức tranh tổng thể: học sinh nắm được các bước rõ ràng đảm
bảo tính logic, hệ thống, tổng quát các bài tập từ đầu đến cuối.
- Phát triển nhận thức tư duy: học sinh có thể áp dụng cách học này cho
nhiều bài tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình
học là khó”, mà yêu thích học môn toán, đặc biệt là môn hình học không gian.
- Đây là tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy và ôn tập hiệu quả cao.

Phần 2: NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của đề tài:
2


1.1. Cơ sở khoa học của đề tài:
- Sơ đồ tư duy các bước giải là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu,
mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức bằng cách kết
hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với sự tư duy tích cực.
- Sơ đồ tư duy chú trọng đến màu sắc, các nhánh, các bước liên đới với
nhau. Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học các bài mới, ôn tập chương – kì.
- Sơ đồ tư duy giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính
sáng tạo của các em.
- Sơ đồ tư duy là cách ghi chép hiệu quả, sắp xếp bố cục thông tin cần thiết
nhất và logic.
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài:
- Học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả.
- Thời gian học tập ở nhà còn ít.
- Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn hạn chế.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
- Phần lớn học sinh không nhớ các kiến thức hình học lớp 10,11; các kiến
thức lớp 12 nhớ không chắc chắn, lúc nhớ lúc quên.
- Kĩ năng tự học, học và làm bài về nhà của học sinh còn hạn chế; các em
còn bị phân tán nhiều bởi các trò chơi và mạng xã hội.
- Kĩ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình
học tọa độ còn nhiều lúng túng.
- Giáo viên bộ môn chưa chú trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ
năng tự học, kĩ năng tìm cách giải bài toán bằng sơ đồ tư duy, đây là kĩ năng được
đánh giá là giúp học sinh giải những câu có nội dung kiến thức vận dụng cao

(chống máy tính CASIO).
Chính vì thế, việc sử dụng sơ đồ tư duy vào giải các bài toán hình học tọa
độ không gian giúp học sinh ghi nhớ rất tốt, chỉ nhìn vào sơ đồ biết ngay cách làm,
các thao tác lặp lại nhiều lần sẽ hình thành kĩ năng học tập và giải toán tốt hơn;
đồng thời học sinh nhìn được bức tranh tổng thể, có thể tự phân tích các mối quan
hệ giữa các đối tượng, từ đó khả năng tự học được phát huy. Qua đó, việc truyền
thụ kiến thức đến học sinh của các thầy cô nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; các em
thích học hình học và đam mê học toán hơn.
3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM :
3.1. Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian
lớp 12-THPT:
Trong không gian Oxyz cho: A x A ; y A ; z A , B x B ; y B ; zB và
a

+)

a 1 ;a 2 ;a 3 , b b1 ;b 2 ; b3 . Khi đó:
xB x A; y B y A ; zB z A
AB

+) AB

xB xA

2

yB yA

2

z B zA

2

+) a b a 1 b1 ;a 2 b 2 ;a 3 b3
+) k.a ka 1 ; ka 2 ; ka3

3


+)

a a 12

a 22

a32

+) a b a 1 b1 ;a 2 b 2 ;a 3 b3
+) a.b a 1 .b1 a 2 .b 2 a 3 .b3
+) a/ /b a

k.b

a

a, b 0

+) a b a.b 0 a 1 .b1
+)

a, b

a
b

2

a 2 .b 2
a ;a a ; a
b

3

b

3

b

1

b

1
1

a 3 .b 3
a
1

a
b

a3

2

b

3

2

0

2

b1 b2
+) a, b, c đồng phẳngm, n: a mb nc hay
2

3

3

1

a, b

+)
a, b, c không đồng phẳngm, n: a
+) M chia đoạn AB theo tỉ số

.c 0

mb nc hay a, b

.c 0 .

x A kx B y A ky B z A kzB
k 1 MA kMB M

;

;

.

1 k
1k
1k
Đặc biệt: M là trung điểm AB: M x A x B ; y A y B ; z A zB
.
2
2
2
xA xB xC yA yB yC
+) G là trọng tâm tam giác ABC:
G

;
3
3

;

zA zB
3

zC

+) G là trọng tâm tứ diện ABCD:
x A x B x C x D y A y B y C y D z A z B z C zD
;
;
4
4
4
+) Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0); k (0;0;1)
+) Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy; K(0;0; z) Oz
G

+) Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:
M(x; y;0) Oxy ; N(0; y; z) Oyz ; K(x;0; z) Oxz .
1
+) Diện tích tam giác ABC: S ABC
AB,AC
2
+) Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB,AC
1

+) Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD

AB,AC .AD

6
ABCD.A'B'C'D'
V
+) Thể tích khối hộp
:

ABCD.A 'B'C'D '

AB,AD .AA'

3.2. Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:
+) Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
: Ax By Cz D 0 và
' : A ' x B' y C 'z D ' 0
AA' BB' CC'
Gọi là góc của hai mặt phẳng, ta có: cos
A2 B2 C2 . A'2 B'2 C'2

+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4


Cho mp

: Ax By Cz D 0 và điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z0 . Khi đó:
Ax

dM;

By

0

A2

0

+) Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
chỉ phương

u ' a '; b ';c '

cos

Cz

0

D

0

B 2 C2

u a; b;c

và đường thẳng d ' có vectơ

. Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

u.u'
u u'

(0900 )

a.a ' bb ' cc '
a2

b2

c 2 . a '2 b ' 2 c '2

+) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
pháp tuyến

. Gọi

n A;B;C

và mặt phẳng

là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng

có vectơ

u a; b;c

ta

có:
sin

u.n
.
u n

Aa Bb Cc
A 2 B 2 C 2 . a 2 b 2 c2

+) Khoảng cách từ điểm M1 x 1 ; y1 ; z1 đến đường thẳng có vectơ chỉ phương u :
Cách 1:
-

Viết phương trình mặt phẳngqua M1 và vuông góc với .
Tìm tọa độ giao điểm H của và mặt phẳng.
d M1 ;M1H .

Cách 2: Sử dụng công thức: d M1 ;

MM ,u
1

0

u

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua M 0 x 0 ; y 0 ; z0 và có vectơ chỉ phương

u

và đường thẳng ' đi qua M '0 x '0 ; y '0 ; z '0 và có vectơ chỉ phương u ' .
Cách 1: Viết phương trình mặt phẳngchứa và song song với ' .
Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng.
d( , ') d(M '0 , ( )) .
Cách 2: Sử dụng công thức: d( , ')

u, u ' .M M'
0

u, u '

0

.

5


+) Áp dụng bất đẳng thức: a 2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 đẳng thức xảy
a c
ra khi b d .

3.3. 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12THPT:
Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách:
Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học.
Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số.
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 ,..., An . Tìm M thuộc
đường thẳng ( hoặc mặt phẳng P ) sao cho P 1 MA12 2 MA2 2 ... n MAn2
a) Nhỏ nhất khi 1 2 ... n 0 .
b) Lớn nhất khi 1 2 ... n 0 .

Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ các bước giải bài toán 1a, gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: 1 IA1 2 IA2 ... n IAn 0
2
2
2
Bước 2: Biến đổi P
... n IAn2
1
2 ...
n MI
1 IA1
2 IA2
Bước 3: Nếu 1 2 ... n 0 thì P lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu
vuông góc của I lên đường thẳng hoặc lên mặt phẳng P .
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Học sinh nắm được dữ kiện của bài toán song biểu thị biểu thức véc tơ còn lúng
túng.
- Học sinh sai lầm trong cách tính véc tơ.
- Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn nhất hay nhỏ nhất.
6

Cách khắc phục: Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ:
- Tính các véc tơ IA1 , IA2 ,..., IAn
- Thực hiện phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ sao cho 1 IA1 2 IA2 ... n IAn 0 .
- Tìm ra điểm I.
2
- Biến đổi biểu thức P 1 MA12
... n MAn2 .
2 MA2
- Biện luận theo 1 2 ... n .Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P .
Lưu ý:Các sơ đồ tiếp theo được hiểu thứ tự các bước giải như sơ đồ các
bước giải bài toán 1a. Ngoài ra, có thể tìm thêm cách khác để giải bài toán
này. Từ đó, ta lập một sơ đồ các bước giải tương ứng.
Bài tập áp dụng bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
A 2; 2;3 , B 1; 0; 3 , C 2; 3; 1 . Tìm M thuộc mặt phẳng
: 2 x y 2 z 9 0 sao
2
2
2
cho S 2 MA 3MB 4MC nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn điều kiện 2 IA 3 IB 4 IC 0 .
x; 2 y ;3 z ;
IA 2
IB1 x; y ; 3 z
;.
Mà

IC 2 x; 3 y ; 1 z

Do đó I 7;16;1
Khi đó :
S 2MA2 3MB2 4MC2 2MI IA2 3MI IB2 4MI IC2
IM 2

2IA2 3IB2

4IC2

Do 2 IA 2 3 IB 2 4IC2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất
khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng .
x 7 2t
Ta có: IMPhương trình đường thẳng IM : y 16 t

x 7 2t
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

Vậy M 5;17; 1

y 16 t

z 1 2t
2x y 2z 9 0

z 1 2t
x 5
y 17

z 1

là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 1:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 2;3 , B 1; 0; 3 , C 2; 3; 1 . Tìm M thuộc mặt
phẳng : 2 x y 2 z 1 0 sao cho S 2 MA 2 5 MB 2 3MC 2 nhỏ nhất.

7


Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 ,..., An . Tìm M thuộc
đường thẳng ( hoặc mặt phẳng P ) sao cho P 1 MA1 2 MA2 ... n MAn nhỏ nhất ,
trong đó

n

0.

i
i1

Bài tập áp dụng bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
: x 1
A 2; 2;3 , B 1; 0; 3 , C 2; 3; 1 . Tìm M thuộc đường thẳng

y 1

2

3

z 1

1

sao cho P 2MA 3MB 4MC nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn điều kiện 2 IA 3 IB 4 IC 0 .
IA 2 x; 2 y ;3 z
Mà

;
;.

IB1 x; y ; 3 z

Do đó

I 7;16;1

IC 2 x; 3 y ; 1 z

Khi đó :
P

2MA 3MB 4MC

2MI

IA

3MI

IB

4MI

IC

MI

Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu
vuông góc của I lên đường thẳng .
Ta có: M
M 1 2t ; 1 3t ;1 t
IM
2t 8;3t 17; t
5
Vì IM2 2t 8 3 3t 17t 0 t
13
Vậy

M

6;

2

2

3
;

2

là điểm cần tìm.

8


Bài tập tương tự bài toán 2:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 2;3 , B 1; 0; 3 , C 2; 3; 1
thuộc đường thẳng :

x 1

y 1

2

3

z 1
1

sao cho P

3MA 4MB 6MC

. Tìm M
lớn nhất.

Bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z2 và mặt

phẳng P : ax by cz d 0 . Tìm M P sao cho MA MB nhỏ nhất .

Bài tập áp dụng bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 4; 2;6 ,B 3; 2;1
và mặt phẳng : 2x y 2 z 4 0 . Tìm Msao cho
MA MB nhỏ nhất .
Bài giải:
Mặt phẳng P có n 2; 1;2 là véc tơ pháp tuyến.
Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của P ta được 18 và 6 nên
hai điểm A,B nằm về cùng một phía so với P . Gọi A’ là điểm đối xứng với A
qua P .
Khi đó A’ và B ở khác phía so với P và với mọi điểm M P ta có: MA MA' .
P

9


Do đó M P : MA MB MA ' MB A ' B mà A’B không đổi và đẳng thức xảy ra khi M A '
B P suy ra MA +MB nhỏ nhất M A ' B P .
x 4 2t
Ta có: AA ' P AA ' : y 2 t .
z

6 2t

Tọa độ giao điểm H của AA’ và P
x 4 2t

là nghiệm của hệ:

x 0

y 2 t

y 0 H 0; 0; 2

z 6 2t

z 2

2x y 2z 4 0

xA'

H là trung điểm của AA’ y A '

2xH

A'

4

yA 2
zA 2

2yH
z 2z

xA

H

A' 4;2; 2

x 4 7t
A'B: y 2 4t ,t R

Suy ra A'B 7; 4;3 , phương trình

z 2 3t
x 4 7t
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

y 2

z 2
2x y

Vậy M

5
4

; 1;

1
4

4t
3t

2z 4 0

5
4

x

y

1

z

5
M

1

4

1
; 1;

.

4

4

là điểm cần tìm.

Bài tập tương tự bài toán 3:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2; 6 , B 3; 2;1 và mặt phẳng
: x 3 y 2 z 7 0 . Tìm Msao cho MA MB nhỏ nhất .
Bài toán 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z2 và mặt
MA MB lớn nhất , với
phẳng P : ax by cz d 0 . Tìm M P sao cho
d A, Pd B, P .

10


Bài tập áp dụng bài toán 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A4; 2;6,B3; 2; 2
và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 6 0 . Tìm M P sao cho
MA MB lớn nhất.
Bài giải:
có P
là véc tơ pháp tuyến.
Mặt phẳng

P

n

2;1; 2

Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của P ta được 16 và -2 nên
hai điểm A,B nằm khác phía so với P .
Vì A,B nằm khác phía so với P nên với mọi ta luôn có AM MB AB , đẳng thức xảy ra khi

MABP.
x 4 t

Phương trình AB:

y

z 6

2
8t

x 4 t
Tọa độ M:

y

z 6
2x

x

2

y 2

8t
y 2z

28

9

60

z

28
M

10

9

10
; 2;

9

9

28
10
Vậy M 9 ; 2; 9 là điểm cần tìm.

Bài tập tương tự bài toán 4:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2; 6 , B 3; 2;1 và mặt phẳng P :
x 2 y 3 z 6 0 . Tìm M P sao cho MA MB lớn nhất.

11

Bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z2
đường thẳng : x x0 y y 0 z z0 . Tìm Msao cho MA MB nhỏ nhất .
a

b

và

c

Bài tập áp dụng bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 2;2; 2 ,B 1; 2;1
và đường thẳng : x y z 1 . Tìm Msao cho MA MB
1

2

1

nhỏ nhất .
Bài giải:
Vì MM t ;2t ;1 t ,
AM t 2;2t 2; t 3

Ta có MA MB

6t 2 18t 17 6t 2

6t 2

3 6

,BM t 1;2t 2; t

2

7

2

6t 5

6t 6

2

đẳng thức xảy ra khi a
b

Vậy M

2

1
;1;

2

2

a c2

b d2

c .
d

2

1

72

c2 d2

62

3 6

Đẳng thức xảy ra

2

2

Áp dụng bất đẳng thức : a 2 b 2

Ta có: MA MB

.

3 6
2

6t 6t

6t

6t

72
2

2
6
2

t

2

38

1.
2

là điểm cần tìm.

Bài tập tương tự bài toán 5:

12


Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;2; 1 ,B 1; 2;1
và đường thẳng
: x 1
y 2 z . Tìm Msao cho
MA MB nhỏ nhất .
1

2

1

Bài toán 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

x x0

y y0

z z0

a

b

c

và

điểm A cho trước. Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách A một
khoảng lớn nhất.
Cách 1: Phương pháp hàm số:

Cách 2: Dùng hình học:
Gọi K,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên và P
d A, P AH AK , ta có, mà AK không đổi. Do đó, d A, P

. Khi đó
lớn nhất H K .

Hay P là mặt phẳng đi qua K, nhận AK làm véctơ pháp tuyến.
Bài tập áp dụng bài toán 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
: x 1 y z 1 , điểm A(1;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng Q chứa và
2

1

1

cách A một khoảng lớn nhất.
Bài giải:

là véc tơ chỉ phương.

Đường thẳ ng đi qua B(1;0;-1) và có

u

Giả sử n a ; b; c là véc tơ pháp tuyến của

2;1; 1
Q , suy ra phương trình của mặt

phẳng Q có dạng: Q : a ( x 1) by c (z 1) 0 ax by cz a c 0 1
DoQ
nên 2 a b c 0 c 2 a b .
c b
2a
4a2
Do đó: d A, Q
a2 b2 c2

5a 2

4ab 2b2

5a 2

4ab 2b2

13


A, Q

Nếu b 0 d
Nếu b 0
t R

5
a

2

2
5

4a2
4 ab 2b

2

4t2
5 2 4t 2
t

a , xét hàm số f t

với

b

16t 2 16t , f
' t 0 t 1, t 0 .
Ta có f ' t
2
5 2 4t 2
t
4 , do đó maxd A, Q

Suy ra maxf t f 1
3
Chọn b 1 ta tìm được a 1, c 1.

Vậy phương trình mặt phẳng Q : x
Bài tập tương tự bài toán 6:

t

f t thì đặt

y z

Ta lại có:

lim f (t )

4

t

5

2 3 đạt được khi t
3

1.

0.

x 2 yz 1
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 1 , điểm A(1;-1;1). Viết
phương trình mặt phẳng Q chứa và cách A một khoảng lớn nhất.
x x
Bài toán 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : a 0 y b y
mặt phẳng P : ax by cz d 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa với P một
0

và tạo
z

c

z

0

,

góc nhỏ nhất.

Bài tập áp dụng bài toán 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1
y z 1
: 2
1
1 và mặt phẳng P : 2x-y 2 z 8 0 . Viết phương trình mặt phẳng
R chứavà tạo với P một góc nhỏ nhất.

Bài giải:

Mặt phẳng P có nP
Đường thẳng

u 2;1; 1

2; 1;2 là véc tơ pháp tuyến.

đi qua B(1;0;-1) và có

là véc tơ chỉ phương.


14


Giả sử n a ; b; c là véc tơ pháp tuyến của R suy ra phương trình của mặt phẳng
R có dạng:
R : a ( x 1) by c (z 1) 0 ax by cz a c 0 1

DoR nên 2 a b c 0 c 2 a b
.
suy ra phương trình của mặt phẳng R
GọiP , R , 0 0900 .
2 a b 2 2a b

Ta có cos

3 a2

2a

b 2 b2

có dạng: R : ax by 2 a b z a b 0 .

1 36 a 2 12ab b2
3 5a

2

2

4 ab 2b

.

1

Nếu a 0 cos

3 2
b thì ta có 36 a 2 12 ab b 2 t 2 12t 36 f t .
a
5a 2 4 ab 2b 2
2t 2 4t 5
Khảo sát hàm số f t , có: lim f (t ) 1 ta tìm được maxf t f
t
2
b
7

Suy ra max cos
khi
chọn b 7 a 10 .
10
a
Vậy phương trình R :10 x 7 y 13 z 3 0.
x 3 y 1
z
Bài tập tương tự bài toán 7:

Nếu a 0 đặt

t

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2

P : 2x-y 2z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng R

1

7

.
10

6

và mặt phẳng

1

chứa

góc nhỏ nhất
Bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

53

và tạo với P một

x x0

y y0

z z0

và
a

hai điểm A x1 ; y1 ;z1 ,B x2 ; y2 ;z2 . Viết phương trình mặt phẳng
tạo với một góc lớn nhất.

b

c

chứa A, B và

15

Bài tập áp dụng bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
: x 4
y 3
z 1 và hai điểm M
2;1;1 , N 1;2; 1 . Viết phương trình mặt
2

1

1

phẳng
chứa M , N và tạo với một góc lớn nhất.
Bài giải:
Đường thẳng có u 2;1; 1
là véc tơ chỉ phương.
Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng: : a x by cz d 0 .
nên 2 a b c d 0

Do M , N

c

a 2b c d 0

3
a
2

a

1
2b .
3

d

2 2b
Ta có dạng phương trình của : 2a x 2by 3a b z a 3b 0 Suy ra n
2a;2b; 3a b là véc tơ pháp tuyến của . Gọi
,,00900 .
n .u

Ta có: sin

4a 2b 3a b
6 4a 23a b 2

n .u

4b2

1 49a 2 14ab b2
6 13
a

2

2

6ab 5b

.

1

Nếu a 0 sin

30
2
2
Nếu a 0 đặt t b thì ta có 49a 14ab b

a

13a 2
có: lim f (t)

Xét hàm số f t , ta

t

Do đó

b

5

19

14

chọn b 17, a 19 .
a 19
:19x 17 y 20z 35 0.

sin max

max

17

t 2 14t 49 f t , t R .
6ab 5b 2 5t 2 6t 13
9 , suy ra maxf t
f 17
75 .

Vậy phương trình
Bài tập tương tự bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
y 2 z
: x 1
và hai điểm M 1;1;1 , N 1;2; 1 . Viết phương trình mặt phẳng
2
1
1
chứa M , N và tạo với một góc lớn nhất.

Bài toán 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ;z1 và cắt đường

thẳng d ': x x0 y y 0 z z0 sao cho khoảng cách từ B x2 ; y2 ;z 2 đến đường
a

b

c

thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

16


Bài tập áp dụng bài toán 9:
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A 0; 1; 2 và cắt đường thẳng
'
x 1 y z 2 sao cho khoảng cách từ B 1;1;1 đến đường thẳng d là
d:

2

1

1

a) lớn nhất.
b) nhỏ nhất.
Bài giải:
Giả sử d cắt d’ tại điểm M thì M 1 2t ; t ;2 t ,t R.
AM 2t 1;t 1; t
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.

Ta có

AB 1;2; 1

AB, AM 1 t ;1 t ;3 3t

nên

.

Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là:
AB, AM
d B, d
AM
11t 2 22t 11

f t

6t 2 2t 2

22 5t 1

2

Ta có f t

11t

6
t

22t 11
2

nên

2t 2

1

Từ đó tìm được maxf t f

5

Do đó
a) maxd B, d6

f'

t

2

6t 2t

6 , minf

thẳng cần tìm d : x
7

y 1
4

5

2

t f 1

1

đạt được khi t

1 t
2

. Ta lại có: tlim f (t)

11

6

.

0.

1
AM

5

7;4;1 nên phương trình đường

z 2.
1
17


b) min d B, d 0

đạt được khi t 1

nên phương trình đường thẳng
AM

x
cần tìm d : 1

y

2

1;2;1

1 z 2
1 .

Bài tập tương tự bài toán 9:
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A 3; 2;1 và cắt đường thẳng
'

x 2
y
z 1 sao cho khoảng cách từ B 1;2;1 đến đường thẳng d là lớn
d:

1

1

3

nhất, nhỏ nhất.
Bài toán 10: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ;z1 và cắt đường
thẳng d x x0 y y 0 z z0 sao cho khoảng cách giữa d và
':
a
b
c
: x x2
y y2
z z2 là lớn nhất.
a'

c'

b'

Bài tập áp dụng bài toán 10:
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 1;2 và cắt đường thẳng
y

z là lớn nhất.
d ': x 1 y z 2 sao cho khoảng cách giữa d và : x 5
2

1

1

2

2

1

Bài giải:
Giả sử d cắt d’ tại điểm M thì M 1 2t ; t ;2 t ,t R.
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.

AM 2t 2;t 1; t

đi qua N 5;0;0 và có véctơ chỉ phương u
Ta có: u , AM

2; 2;1 .

AN 4;1; 2 .

t 1;4t 2;6t 2 ,

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:

u , AM
d ,d

u , AM

.AN

2 4t
t 1

2

4t 2

2

6t 2

2

18


2 2t 1
Vì f ' t

53t

2

39 95t

42t 9

2

1

nênf ' t 0 t

39

,t

2

95

39
Từ đó ta tìm được

maxf t f

95

. Ta lại có: lim f (t )
t

4

53

1
4,8

, khi đó AM

112;134; 39

95
y 1 z 2 .

Vậy đường thẳng d có phương trình là: d : x 1
112 134 39
Bài tập tương tự bài toán 10:
đi qua A 1; 1;3
Lập phương trình đường thẳng d
và cắt đường thẳng
' x 2
y z 2
d:
sao cho khoảng cách giữa d và : x 1 y z 1 là lớn nhất.
2

1

3

1

1

1

3.4. Hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ tư duy trong khi giải bài toán hình
học tọa độ không gian lớp 12- THPT, với bản thân, đồng nghiệp và nhà
trường:
Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy, bản thân và đồng nghiệp thấy rằng:
phần lớn gây hứng thú cho học sinh,học sinh hoạt động tích cực hơn, tránh tình
trạng lớp học thụ động của học sinh. Từ đó, chất lượng học hình học tọa độ không
gian nói riêng và môn toán nói chung tăng lên, đồng thời học sinh của nhà trường
làm bài được điểm cao hơn trong các kì thi, đặc biệt trong kì thi THPT quốc gia
các năm.
Qua học theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy học sinh có thể tư duy một cách hệ
thống, đồng thời so sánh được những nội dung kiến thức ở mỗi phần và một bài
với nhau, qua đó học sinh khắc sâu hơn những kiến thức theo chuẩn yêu cầu.
Kết quả sau nhiều lần kiểm tra đánh giá sáng kiến được thực hiện như sau:
Điểm bài kiểm tra khi chưa dạy
giải bài toán hình học tọa độ
không gian lớp 12
bằng sơ đồ tư duy

Sỉ
Lớp

số

%
1
3

SL %
20
4
4

Trung
Yếu
Giỏi
bình
SL
% SL % SL %
19
43 0 0 11 2
4

9

19

21

Giỏi

12A2

45

SL
6

12A4

44

4

Điểm bài kiểm tra sau khi
dạy giải bài toán hình học
tọa độ không gian lớp 12
bằng sơ đồ tư duy

Khá

4
3

48

0

0

10

2
2

Khá
SL %

29
6
5
28

6
4

Trung
Yếu
bình
SL
% SL %
5
11 0 0
6

14

0

0

(Giỏi: Từ 9,0 đến 10; Khá: Từ 7,0 đến 8,75; Trung bình: 5,0 đến 6,75; Yếu: nhỏ
hơn 5,0).
Qua kết quả thu được, ta thấy những học sinh học yếu kém, từ chỗ chưa biết
gì, nay đã chọn được con đường đi thích hợp; những học sinh khá, giỏi đã có kĩ
năng tốt, lại thêm sơ đồ hỗ trợ hướng đi thì bài làm càng có độ chính xác, đáng tin
cậy hơn.
Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

19


Như chúng ta đã biết, dạy học trên lớp song song với dạy học đồng loạt, là
dạy học phân hóa, đến từng cá nhân học sinh, vì các em có trình độ lĩnh hội kiến
thức khác nhau. Đề tài này cũng nhằm mục đích đó, sơ đồ tư duy các bước giải
như chiếc la bàn giúp người đang lạc trong rừng biết lối đi; giúp học sinh có thể
ghi nhớ nhanh, bền vững cách giải 10 bài toán cực trị hình học tọa độ không gian
lớp 12-THPT; đồng thời làm học sinh chủ động, hào hứng học hình, thay đổi tư
duy cũ: thấy hình là thấy khó, từ đó học sinh có tư duy mới và làm bài thi đạt điểm
cao 9, 10 trong kì thi THPTQG.
Ngoài ra, nếu điều kiện cho phép, tôi mong muốn được phát triển đề tài theo
hướng nghiên cứu các nội dung sau: xây dựng sơ đồ tư duy các bước giải cho các
bài toán khác; tìm thêm các cách giải khác cho các bài toán trên; phát triển các bài
toán thành bài toán logic, hệ thống và tổng quát với nhau; tìm những bài toán vật lí
thực tế có liên quan đến tổng các véctơ và tổng hợp lực. Đề nghị nhà trường hỗ trợ
tích cực về phương tiện, thiết bị dạy học cho giáo viên trong việc áp dụng phương
pháp mới này vào thực tiễn.
Với thời gian nghiên cứu chưa nhiều, nên không tránh khỏi những hạn chế
và bất cập. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp, Hội đồng
khoa học nhà trường để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trường, tổ Toán – Tin và các
bạn đồng nghiệp, các em học sinh các khối lớp những năm qua đã luôn quan tâm,
nhiệt tình hưởng ứng và giúp tôi thực hiện đề tài này.
Xác nhận của Hiệu trưởng trường
THPT Đông Sơn 1

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

Lưu Thị Huyên

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


[1]. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11, 12 (cơ bản và nâng cao), NXB
Giáo dục Năm 2007.
[2]. Phan Huy Khải- Nguyễn Đạo Phương. Các phương pháp giải toán sơ cấp
Hình học không gian. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2000.
[3]. IF.Sharygin. Tuyển tập 340 bài toán hình học không gian. Nhà xuất bản tổng
hợp Nghĩa Bình Năm 1988.
[4]. Phan Huy Khải .Toán nâng cao hình học lớp 11. Nhà xuất bản Hà Nội Năm
2002.
[5]. Đỗ Thanh Sơn .Phương pháp giải toán hình học 12 theo chủ đề. Nhà xuất
bản Giáo dục Năm 2008.
[6].Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH-CĐ
môn toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2010.
[7]. http://www. diễn dàn toán học.net
[8]. vientailieu…
[9]. vienbaigiang.
[10]. Mẫn Ngọc Quang – Phạm Xuân Thành. Luyện tốc độ giải nhanh
trắc nghiệm hình học không gian. Nhà xuất bản Thanh Hóa Năm 2018.
[11]. Trần Công Diêu – Trần Kim Anh. Mega Luyện đề THPT quốc gia 2018
Toán trắc nghiệm. Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội 2018.

[12]. Báo Toán học tuổi trẻ năm 2013, 2014.

DANH MỤC

21