SKKN một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thứ

Mục lục
Phần I : Mở đầu............................................................................................trang 2
Phần II : Nội dung......................................................................................... trang 2
1. Cơ sở lý luận......................................................................................... trang 2
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến............................. trang 4
3. Các giải pháp ....................................................................................... trang 5
4. Hiệu quả của sáng kiến………………………………………………trang 16
Phần III : Kết luận........................................................................................ trang
17
Tài liệu tham khảo........................................................................................trang 19
Phụ lục .................................................................................................trang 20-21


1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức phổ thông, đặc biệt
là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần
các em ngại học môn này.
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm
giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc
biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có
nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học .
Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến
thức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo. Tuy nhiên với
một số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vào
giải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tôi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vài
kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức
đại số’’.

1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu ứng dụng của lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại
số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn, tham khảo tài
liệu liên quan. .
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp trong năm học 2017-2018 và 2018-2019.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến
+.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ của các hàm số lượng giác.
Hàm số y = sinx :
-Tập xác định : R
-Tập giá trị :1;1
-Chu kì : 2π
Hàm số y = cosx :
-Tập xác định : R
-Tập giá trị :1;1

-Chu kì: 2π
Hàm số y = tanx
-Tập xác định: D

π

2 kπ, k

\

-Tập giá trị: R
-Chu kì: π
Hàm số y = cotx
-Tập xác định: D
\ kπ, k
-Tập giá trị: R
-Chu kì: π
Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có kết quả sau
Vậy ta có:

sin x cos x
sin x cos x

2

2

sin2 x cos2 x

22

sin xcos x

22

(*)

Kết quả (*) sẽ được áp dụng nhiều trong đề tài.
+.Các dấu hiệu:
Dựa vào một số dấu hiệu sau đây để có thể ứng dụng lượng giác vào giải quyết
một số bài toán về đại số
1) Nếu có điều kiện của x là x a (a 0) , ta có thể đặt:
với0; .
x a.sin với

2

;

2

hoặc x a.cos

Trong trường hợp riêng:
 Nếu 0 x a, ta có thể đặt:
x a.sin với0;

 Nếu a

x

2

hoặcx a.cos với0;

2

.

0, ta có thể đặt :

3


; 0 hoặc x a.cos

x a.sin với

với

2

2) Nếu có điều kiện của x là x
a, ( a 0) , ta có thể đặt:
, \0
a
x
a
hoặc x
với0;

với
2 2
sin
cos
3) Nếu x R , ta có thể đặt:
0;
x tan với
2 ; 2 hoặc x cot với

2

; .

\ .

2

.

Trong trường hợp riêng:
Nếu x
0 , ta có thể đặt:
x tan với0;

hoặc x cot với 0;

2

.

2

 Nếu x 0 , ta có thể đặt :
x tan với

2

; 0 hoặc x cot

với

2

;.

4) Nếu x , y thỏa mãn điều kiện a 2 .x 2 b 2 .y 2 c2 với a , b , c 0 , ta được :
ax 2
by 2
1.
c
c
đặt
ax sin
x
c sin

by

với0; 2

a

c

c cos
y b

cos

c

Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể hạn chế góc .
Ngoài ra học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác.
Chú ý : Vì hàm lượng giác là tuần hoàn nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng
giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa luôn
luôn dương.
5) Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức
Cách lượng giác hóa biểu thức
;
x a cos với0;
x a sin
a 2 x2
với 2 2 hoặc
x 2 a2
a2

x2

x

x

a
sin
a tan

với

;
2 2
;
với
2 2

\ 0 hoặc x

hoặc

x

a

với0; \

cos
a cot với0;

2

4


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Hầu hết học sinh kể cả với những học sinh khá giỏi các em đều cảm thấy
“ngại” khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy tại trường THPT Quan Hóa giúp tôi thấy được thực
trạng đáng buồn là gần như 100% học sinh đều xem như “không có” bất đẳng thức
trong việc học tập và ôn luyện môn toán. Qua tìm hiểu và khảo sát với câu hỏi “Bất
đẳng thức là gì? Có quan tâm đến bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi hay
không?” tôi nhận được kết quả như sau:
Trả lời
Số HS
được hỏi
100

Không
không
tâm

biết, Biết
chút ít Có quan tâm Biết, quan tâm
quan nhưng không nhưng
thấy và
muốn
quan tâm
quá khó
nghiên cứu
81
11

5
3

Từ thực tế “đáng buồn” như vậy dẫn đến việc cả giáo viên và học sinh
thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức trong việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ
đến kết quả cuối cùng trong việc thi cử. Với mong muốn phần nào đó dần dần khắc
phục vấn đề này tôi đã thực hiện thí điểm đề tài ở các lớp 11A1, 11A4 trong các tiết
tự chọn sẵn có.
2.3. Các giải pháp
Để thay đổi hình thức của bài toán từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số
thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực hiện theo 2 bước sau đây:
-Bước 1: Từ bài toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ bài toán bất đẳng thức
đại số về bài toán bất đẳng thức lượng giác.
-Bước 2: Thực hiện việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác.
Chú ý: Để thực hiện đề tài trên một cách hiệu quả, ta phân loại thành các dạng cụ
thể, qua cách phân loại đó khi áp dụng đề tài trên giảng dạy cho học sinh thì học
sinh dễ dàng tiếp thu hơn và hình thành kỹ năng cơ bản khi sử dụng lượng giác vào
chứng minh một số bài toán về bất đẳng thức đại số một cách rõ ràng. Trong khuôn
khổ của đề tài phân thành một số dạng sau:
1- Dạng 1: Nếu cho x 1
Ta đặt: x cos

với

( hoặc đặt x sin với
Các ví dụ minh họa dạng 1:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
4 x 3 (1 x 2 )33(x 1 x2 )

[0;π]

[

π π
2; 2] )

2

(1)

Giải
Điều kiện: 1 – x2 ³ 0 Û ½x½ £ 1
5


Đặt x = cosa với a Î [0; p]
Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:
4 cos3(1 cos2 )33(cos1 cos2 )

2

(2)

Û ½4(cos3a - sin3a) – 3 (cosa - sina)½ £ 2
Û ½(4cos3a - 3cosa) + (3sina - 4sin3a)½£ 2 Û½cos3a + sin3a½£ 2
(đúng)
Û cos(3α- π ) 1

4
Vậy (1) được chứng minh.
Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ bài toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x cos , ta

chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) . Sử dụng kiến thức lượng giác
ta chứng minh được bất đẳng thức (2), có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng
minh.
Ta xét tiếp các ví dụ tiếp theo sau đây
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
Giải
9
(1)
1 6x 1 x 2 8x2
x1
Điều kiện:
Đặt: x = cos với
Khi đó
(1)
6 cos

0.
5

trở thành:

1 cos24(2 cos21)53sin 24 cos 25

6x 1 x 2 4(2x2 1) 5

(luôn đúng). Thật vậy

theo BĐT Bunhiacopxki thì 3sin 2 4 cos 2
32 4 2 . sin 2 2 cos 2 2 5
Vậy (1) được chứng minh.

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : 2 hx 1 x 2 k (2 x 2 1) h 2 k 2
(1)
Giải
Điều kiện: x 1
Đặt: x = cos với 0
Khi đó (1) trở thành:

.

2h cos sin k (2cos2 1)
h. sin 2 . k cos 2 h 2 k 2

h 2 k2
(2)

Theo BĐT Bunhiacôpski thì (2) luôn đúng, vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Nếu x 1 và y 1 thì
4 xy

(1 x2 )(1

y2)

(2 x 2

1)(2 y 2

1) 1

(1)

Giải
6


Từ giả thiết: x 1, y 1 nên ta đặt
x cos , y cos
với ,
0;
Khi đó (1) trở thành:
4 cos .cos .sin .sin

cos 2 .cos 2

1

sin 2 . sin 2cos 2 . cos 21

cos(22 )

1

(luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh. (a 0)
2- Dạng 2: Nếu cho x a
Ta đặt: x a cos với[0;π] π π
( hoặc đặt x a sin với
Các ví dụ minh họa dạng 2:
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :
2

4 x 15
3 9 x

[ ; ])
2 2

(1)

Giải
Điều kiện: x 3
Đặt

x = 3sin với

;

2

2

3 9 9 sin 24.3.sin

Khi đó (1) trở thành :

9 cos12 sin

15
15

(luôn đúng )

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: với a >0
h

a2

x2

kx

(1)
a

h2

k2

Giải
Điều kiện: x a
Đặt:

x asin với

2

;

2

Khi đó (1) trở thành: h a 2 a 2 sin 2ka sin
a h cosk sina
h cos

h2

a

k2

k sin

h2

k2

(luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3 : Với a > 0. Chứng minh rằng
2hx

Giải
Điều kiện: x

a2

x2

h2 k2

k (2 x2

a2 )

a2

(1)

2
h2 k

a
7


Đặt: x acos với0;
Khi đó (1) trở thành:
2 ha. cos . a 2 (1 cos 2 ) ka 2 (2 cos 2
a2

2 h. cos .sin

1) a 2 h 2 k 2

k cos 2 a 2 h 2 k 2
h2 k2

h sin 2 k cos 2

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Với a > 0, ta có
h(x x2 y2 y a2

Giải
Điều kiện: x a ,
x = a sin ,
Đặt:

Khi
ha 2 (sin .cos
a2

x 2 ) k ( xy

(a 2 x 2 )(a 2 y 2 )

a2 h2 k2

(1)

trở

thành:

y a.
y = a sin với

,

;

2

2

đó
(1)
sin .cos ) ka 2 (sin .sin cos .cos )

h. sin() k cos()

a2 h2

(luôn đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
3- Dạng 3: Nếu cho x 2 + y2 =1
Ta đặt:

k2

a2

h2

h. sin() k. cos()

x cos và

( hoặc đặt x sin và

h2

k2
k2

y sin

y cos

)

Các ví dụ minh họa dạng 3:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x2+y2 = 1 thì x y
Giải
x cos
2
2
.
Khi đó, ta có:
Vì x +y = 1,

2

nên ta đặt:

x

y

= cos

sin

y sin
2 sin(

)

2

4
Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
a) ½xu + yv½£ 1.
b) ½xv + yu½£ 1.
c) –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.
Giải
Đặt x = cos a ; y = sin a ; u = cosb ; v = sinb
và 0 £ a, b £ 2p. Khi đó
8


a) ½xu + yv½=½cos(a – b)½£ 1.
b) ½xv + yu½=½sin(a + b)½£ 1.
c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb –
sinb)
2 sin( 4 a ). 2 sin( 4 b) 2cos( 4 a). 2cos( 4 b) = 2cos(a + b)
Rõ ràng –2 £ 2cos(a + b) £ 2 nên
–2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng: Với mọi a, b ta có

(a b)(1 ab)
1
(1)
(1 a2 )(1 b2 )

2
a b

Giải
Ta có :

(

Nên ta

1 ab
)

(1 a

2

2

)(1 b

)2

(

)

2

(1 a

a b

)(1 b )

(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b2 )
1

sin . cos

1.

2

a b
sin ,
(1 a 2 )(1 b 2 )
1 ab
1

đặt:

(1)

2

1 sin 2

1

2

2

1 ab
(1 a 2 )(1 b 2 ) cos .

2

sin 2

1

(luôn đúng)

2

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với mọi x , y ta có :
2x(1 y2 ) 2 y(1 x2 )

1

(1)

(1 x2 )(1 y2 )

2x

Giải
Ta có :
Nên ta đặt:

(

1 x

2

1

2

)2 (

cos

2y

x

1 x

2

)2 1,(

2

2

1 y

2y

Khi đó (1) trở thành :

,

1 y2

1 y

sin

)2 1.

1 y2
1 y2 .

cos . sincos . sin
sin()

2

1 x2

2 x , sin
1 x 2 1 x2

cos

1 y

)2 (

1

1

(luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 5 : Cho a 1, b 1. Chứng minh rằng :
1
2

b

1
2

ab

1

2

2

a

1
2

1
2

(1)

ab

9


Giải
(1)

a2

Ta có:

1b2 1
ab

(

a2 1 )2
a

nên ta đặt:

a 2 1 .1
a
b

1

( 1 )21,
a

cos
cos

Khi đó (2) trở thành:

(

a2 1 ,
a
2
b 1 ,
b

b2 1 . 1
b

a

b2 1 )2 ( 1 )2
b
b

sin
sin

(2)

1

1

1 ,
a
1
b

cos . sinsin . cos

1

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
x a cos và
4- Dạng 4: Nếu cho x 2 +y 2 =a2
Ta đặt:
( hoặc đặt x a sin và
Các ví dụ minh họa dạng 4:

Ví dụ 1 : Cho x 2 y2 4 . Chứng minh rằng
20
3x 2 8xy 3y2

sin()

1

(luôn đúng).

y a sin
y a cos )

Giải
Đặt: x 2cos ,
y 2sin
Khi đó (1) trở thành :
12cos232sin .cos 12sin2

(1)

20

20
12(cos2sin2 ) 16.2sin .cos
12 cos 2 16 sin 2 20 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2 : Cho x 2 y 2 R2 . Chứng minh rằng
(1)

hx 2 2kxy hy 2 R 2 h 2 k 2
Giải
Đặt: x R cos ,

y

R sin

Khi đó (1) trở thành: hR 2 (cos 2 sin 2 ) kR 2 2 sin .cos R 2 h 2 k 2 R 2 h cos 2
k sin 2 R 2 h 2 k 2
h cos 2

k sin 2

h 2 k 2 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3 : Cho x 2 y2 4. Chứng minh rằng :

10


22 (1)
x 3 3 x 3 y y3
Giải
y 2sin
Đặt: x 2cos ,
Khi đó (1) trở thành : 8cos36cos 6sin 8sin3
2(4 cos 3

3cos ) 2(3sin

2 cos 3 2sin 3

2 2

2 2
4 sin 3 )

2 2

(luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
5- Dạng 5: Nếu cho (ax) 2 + (by) 2 = 1 .
Ta đặt: ax = sin , by = cos
( hoặc đặt ax = cos , by = sin )
Các ví dụ minh họa dạng 5 :
Ví dụ 1 : Cho 4x 2 + 9y 2 = 25. Chứng minh rằng
6 x 12 y
25
Giải
(1)
2
(x

4x 2 + 9y 2 = 25

5

Đặt: sin

2x , cos =
5

3y

)2 (

)2 1 .
5

3y

5
6 5 sin 12 5 cos 25
2
3
15sin20cos
25
(luôn đúng)

Khi đó (1) trở thành :

Vậy (1) được chứng minh.

ax by

a2

2

b2

2

x

Ví dụ 2 : Cho

y

2

2
2

1.

2

Chứng minh rằng
(1)

x

Giải
sint

Đặt:

cost

xsint
y

y

cost

a sin t b cos t a 2 2 b2 2
Khi đó (1) trở thành:
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3 : Cho 4 x 2 9 y2 1. Chứng minh rằng :
4 x 2 9 y 2 12 xy
Giải
Đặt : 2x = cos , 3y = sin

(luôn đúng)
12

(1)

11


Khi đó (1) trở thành :
cos 2 sin 2

2

cos 2sin 22sin .cos
(luôn đúng)

2

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4 : Cho a 2 x 2 b 2 y2 1. Chứng minh rằng :
(1)
Giải
Đặt: ax = cos , by = sin
Khi đó (1) trở thành: h (cos 2

h(a2 x2

b 2 y2 )

sin 2 ) k .2 sin .cos

h cos 2

h2

k sin 2

k 2abxy

h2

k2

h2 k2

( luôn đúng )

k2

Vậy (1) được chứng minh.
6- Dạng 6: Nếu cho x a , (a 0) .
Ta đặt: x =

a
cos

với

[0; ]\.

2

a
với
[ 2; 2 ]\0 )
sin
Các ví dụ minh họa dạng 6:
3 2
Ví dụ 1 : Cho x 1 . Chứng minh rằng :
x2 1
x
1
Giải

( hoặc đặt x =

Vì giả thiết

x

1 nên ta đặt x

, 0;

1
x

2

1 3

Ta có

=
x

1 3

x2

cos

2

1

;

cos
3

2

= cos (tan +

1
cos
3 cos sin

(1)

2
3

)=

3 cos

sin

2 (luôn đúng)

x

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2 : Cho x 1. Chứng minh rằng:
x2 1
x
Giải

Vì x

1

(1)
1

1 nên ta đặt x

cos t

, t 0;

2

2

;

12


x2 1

x
2
1
x

cost (tan t )

cost sin t

.cos t sin t 1

(luôn đúng)

x

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3 : Cho x 0 . Chứng minh rằng:
2
2
(1)
x2 22
x

Giải
Vì x

0 nên ta đặt

x

2

x

2

2

, t 0;
cos
t tan t

;

2 2
2

=

=

x
cos
t
cos t( tan t2 )

sin t2 cos t

(luôn đúng)

22

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4 : Cho a 1, b 1. Chứng minh rằng:
a2

Giải
(1)

a 2 1 b2 1

1

1 b2

ab

1

(1)

(2)

ab

Vì

a 1, b 1 nên ta đặt a

1

, b

cos

Khi đó (2) trở thành :

cos .cos (tan

tan

tan

1
cos .cos
tan )
1

1
cos

với ,0;

2

2

;

1

sin()

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
Giải
x2 1

1

3 2 x

(luôn đúng)

(1)

13


x2 – 1 ³ 0 Û ½x½ ³ 1.
1
Đặt: ½x½ = cos , với a Î [0; 2 ).
Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:
2
2
1
1
3
tg
3

cos
cos
cos2
1
3
Û sina +
3 cosa £ 2 Û 2 sina + 2 cosa £ 1
Điều kiện:

Û sin (a + 3 ) £ 1 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 6 : Cho a 1 . Chứng minh rằng :
5 12 a2 1

4

9

a2
1

Giải
Đặt a
Khi đó

cos t

, t 0;

2

;

2

A = 5 12 a2 1 (5 12 tan t ) c os2t 5 cos 2 t 12 sin t .cos t
a2

5

5

5
2 cos2t 6sin2t

13
2

.

2 (1+cos2t) 6sin2t = 2
5 cos 2t 6 sin 2t
2

Vì

Nên 5 13
2

(5 )2 62

2

A5
2

2

=

13 4 A 9
2

Ví dụ 7 : Cho x c 0 . Chứng minh rằng
1 (a
a2 2 2 )
a b x2 c2

1 (a

a 2 b 2 c2 )

Giải c 2 2

c2 2

2

b c

Vì

nên đặt : x =

c 0

x

x2

2

a b x
x2

Khi đó A =

2

c
cos t

, với t

a bc tan t
c =
c2
2

0;

2

2

;

1 (a bc tan t) cos
c

2

t

2

2

cos t

1
1 a
= c 2 (a.cos2 t bc tan t.cos2 t) c 2 [ 2 (1 cos 2t ) bc sin t .cos t ]

=

c

1
2

a 1

[ 2

2 ( a cos 2t bc sin 2t )]
14


Vì

2

a

a cos 2t bc sin 2t

7- Dạng 7: Nếu cho x

a2 b2c2 ) A

nên 1 ( a

2 2

bc

.

2

c2

Ta đặt: x = tan

1 (a

2

c2

(

với

;

2

a2

b 2 c2 )

2

)

22

Các ví dụ minh họa dạng 7: (hoặc ta đặt x = cot với (0; ))
ta có

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi x
(1)
5x 2 24x 5 13(x2 1)
Giải
Ta có (1)
Đặt

x

5( x2

=

13

1) 24x
x2 1

tan

với

5(tan 2

(2)
(

Khi đó
2 ;2 ).
5cos 2 12sin 2

13 .

1) 12.2 tan
tan 2 1
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Với mọi x ta có
ax2

Giải
(1)

a( x2

2kbx k 2a

k 2 ) 2kbx
x 2k 2

Đặt x = k tan

2

a

a2 b

(x

2

(1)
k )

(2)
;

)

1) 2 k 2 b tan

a 2b

a cos 2 b sin 2

(1)1

81 (

a

với –

a 2

<<

4

a

2

(1)

*Với a = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
*Với a ¹ 0: chia hai vế cho a4
b 4
b
b

thành

2

k 2 (tan 2 1)
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng (a + b)4 £ 8(a4 + b4)
Giải

đặt tan =

trở

22

Khi đó (2) trở thành:
ak 2 (tan 2

b

2

(

với

2

(2)

(2)

)

.
2
15


Bất đẳng thức (2) trở thành: (1 + tan )4 £ 8(1 + tan4 )
Û (cos + sin )4 £ 8(cos4 + sin4 )
Û 8(cos4 + sin4 ) – (cos + sin )4³ 0
sin 2 2
Vì sin4 + cos4 = (sin2 + cos2 )2 – 2sin2 cos2 = 1
2
4

2

(sin + cos ) = (1 + sin2 ) =

Nên: 8(cos

4

+ sin

4

(3)
3 cos 4
4

3 4 sin 2 cos 4
2 9

5

2

2

4

) – (sin + cos ) =

cos4 – 2sin2

³ 0.

Điều này hiển nhiên đúng vì cos4 ³ –1 và

–2sin2 ³ –2 nên (3) đúng.
Vậy (1) được chứng minh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Qua việc thực hiện đề tài với các em học sinh, tôi thấy đề tài:
+ Ngoài các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã biết, đề tài trang bị cho
học sinh thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng cách sử
dụng kiến thức về lượng giác. Đôi khi một số bài toán nếu giải theo những cách
khác thì việc giải quyết có thể phức tạp nhưng nếu sử dụng kiến thức lượng giác
vào giải quyết thì bài toán trở nên dễ dàng. Tuy nhiên để áp dụng được lượng giác
vào chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức
vềlượng giác, kiến thức về bất đẳng thức.
+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số đã
truyền cho học sinh sự sáng tạo trong cách học toán, truyền thêm sự say mê toán
học.
+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số của
đề tài, từ đó bằng cách tương tự ta có thể vận dụng vào giải quyết một số bài toán
đại số khác: chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, giải
phương trình, giải hệ phương trình… và vận dụng lượng giác trong giải một số bài
toán hình học. Nói cách khác là đề tài trên còn gợi ý cho ta giải quyết nhiều bài
toán đại số, hình học dựa vào lượng giác.
+ Thực hiện đề tài trên với các em học sinh lớp 11A1, 11A4 do tôi dạy, tôi thấy
các em rất hứng thú học tập bởi nó đã trang bị cho các em thêm một phương pháp
giải toán về bất đẳng thức và như vậy đề tài trên thật sự có ích đối với học sinh. Đề
tài này có thể áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; bồi dưỡng đội
tuyển, ôn thi Đại học. Tuy nhiên để đạt hiệu quả cao khi giảng dạy cho học sinh thì
giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là: khi gặp bài toán có dấu hiệu gì thì dùng
được phương pháp lượng giác, chính vì vậy trong đề tài tôi đã phân loại một số
dạng toán nhằm tạo cho học sinh nhận biết cách làm dễ dàng, qua đó hình thành kỹ
năng dùng lượng giác để giải toán.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

16


Trên đây là một số suy nghĩ của tôi sau khi viết nên đề tài này, đề tài mà tôi
thực hiện mong là đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh thấy được mối liên
hệ giữa đại số và lượng giác với nhau và quan trọng là có thêm một phương pháp
chứng minh bất đẳng thức đại số, qua đó áp dụng giải các dạng toán khác nhau, đó
cũng là mục đích mà tôi muốn vươn tới trong đề tài này. Tuy nhiên trong quá trình
thực hiện đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng góp của đồng
nghiệp để đề tài của tôi hoàn thiện hơn.
* Kiến nghị và đề xuất:
- Với nhà trường: Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện để học sinh và giáo viên
có nhiều hơn nữa các tài liệu, sách tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiến
thức chuyên môn nghiệp vụ. Nhà trường tổ chức nhiều các chuyên đề bồi dưỡng
học sinh giỏi, tổ chức các buổi trao đổi về chuyên môn với các trường bạn, mời
chuyên viên của Sở giáo dục về truyền đạt lại một số kinh nghiệm dạy học.
- Với Sở giáo dục và đào tạo: Tổ chức các đợt tập huấn về chuyên môn cho giáo
viên để nâng cao trình độ.
Trên đây là đề tài nghiên cứu khoa học của tôi. Rất mong sự đóng góp ý kiến
của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài được đầy đủ hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 10tháng 05 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Hà Thị Nga

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,
NXB Tri thức.
[2] G. Polya (1978), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục.
[3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Lê Hữu Trí (2006), Các phương
pháp giải bằng phép lượng giác hóa, NXN Hà Nội.
[4] Võ Thanh Vân, Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2010), Chuyên đề ứng dụng
hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán THPT, NXB Đại
học sư phạm .
[5] Phan Đức Chính(1997), Một số các phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ
cấp , NXB Giáo dục.
[6] Ngô Long Hậu, Trần Thanh Phong, Nguyễn Đình Thọ (2011), Giới thiệu đề thi
tuyển sinh vào đại học cao đẳng toàn quốc, NXB Hà Nội.
[7] Tạp chí toán học tuổi trẻ năm 2014-2015, NXB Giáo dục

18


PHỤ LỤC
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Cho a , b 1. Chứng minh rằng :
1
1
2
1 a 2 1 b 2 1 ab
Bài 2: Chứng minh rằng
1 1 x 2 .[ (1 x ) 3

(1 x ) 3 ] 2 2 2 2x2

Bài 3: Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2) 49
Bài 4: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2 ³
29
Bài
5:
Cho
hai số
thực
x,
y
dương
thỏa:
x+y=2.
3 3
3
3
(India MO 2003).
Chứng minh rằng: x y ( x
y ) 2
Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c.
Chứng minh rằng:
x2 + y2 ³
c2
a 2 b2

Bài 7: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng : 1 £ x6 + y6 £ 1

4
Bài 8:
Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
½16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)½ £ 2
= 1. Chứng minh rằng: 3x 1
2
2
Cho
x
+
y
Bài 9:
2+y
Bài 10: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
x
y
z
3 3
2
1 x 2 1 y2 1 z2

19


2
–2 £ a 1
a

Bài 11: Cho ½a½ ³ 1. Chứng minh rằng:

Bài 12: Cho các số

x,y,z

3 £ 2.

0 x,y,z 1

thoả mãn xy y z zx 1

x

y
1 y

Chứng minh rằng : 1 x 2

2

z
1 z2

3 3
2

1 d2,b d

Bài 13: Cho liên a , b, c , d hệ bởi a c

1 c2

Chứng minh rằng a b 1
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng

a 2 b 2 c 2 2 3abc 1
Bài 15: Cho

x, y, z 0

x

. Chứng minh rằng

(Poland 1999)
y
z

x yz
y zx
z xy
x y z 1
Bài 16: Cho a , b, c (0;1) thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng:

a

b

c

1 a2

1 b2

1 c2

31 a2
4( a

1 b2
b

9
4

.

1 c2
c

)

Bài 17: Cho 0 £ ai £ 1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh
(1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) £ 22
Bài 18: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được
ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho:
ai a j
0 £1 a i a j 2a i a
<2- 3
j

Bài 19: Cho a1, a 2,… a17 là 17 số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta luôn
chọn được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho:
aj ai
0 < 1 a a 4221
i

j

Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn
x ( x y z ) 3xyz thì ( x y ) 3 (x z) 3 3( x y )( y z )( z x ) 5( y z)3
(Tuyển sinh khối A năm 2009)
Bài 21: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
1 1. 1 1
1 1. 1 1
1 1. 1 1 6
(Ukraine 2005)
a

b

b

c

c

a

20