Toan Hoc tong hop(rat hay)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.24 MB, 146 trang )
ĐẠI SỐ
MỘT SỐ KIẾN THỨC
*Phương trình đường tròn :
( ) ( )
2
22
Rbyax
=−+−
Hay :
0cby2ax2yx
22
=+−−+
Cótâm là:
( )
b;aI
và bán kính :
cbaR
22
−+=
≥
0
*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax
≤−+−
( là miền gạch hình 2)
*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax
≥−+−
(là miền gạch hình 3)
1
ĐẠI SỐ
*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần
ax + by + c
≥
0 và ax + by + c
≤
0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay
nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không
thoả ta lấy miền ngược lại .
Xét đường thẳng : -x + y – 2
≤
0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế
vào (-x + y – 2) ta được -2
≤
0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính
là miền gạch như trên hình vẽ
* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:
Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m
≤
y
≤
M trong mxđ
f(x)
α
≥
có nghiệm khi M
α
≥
trong mxđ
f(x)
α
≥
đúng
∀
x khi m
α
≥
trong mxđ
f(x)
≤
α
có nghiệm khi m
α
≤
trong mxđ
f(x)
≤
α
đúng
∀
x khi M
α
≤
trong mxđ
*Cho A(x
0
, y
0
) và đường thẳng (
∆
) có phương trình : ax + by + c =
0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là :
d(A;
∆
) =
22
00
ba
cbyax
+
++
*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]
Đổi trục oxy
→
IXY
+=
+=
bYy
aXx
phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
2
ĐẠI SỐ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
( )
*
my2cosx2cos
2
1
ysinxsin
=+
=+
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny
Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm :
(*)
⇔
( )
( )
( )
( )
≤
≤
−
=+
=+
41v
31u
2
2
m2
vu
1
2
1
vu
22
Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông
ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính
R =
2
m2
−
, do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là
số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt
đường thẳng u + v =
2
1
nằm trong hình vuông. Dễ thấy
M(1 ; -
2
1
) và OM = ON
OM =
4
5
, OH =
2
2
1
−
=
8
1
, suy ra ycbt là
8
1
≤
2
m2
−
≤
4
5
3
ĐẠI SỐ
⇔
-
2
1
≤
m
≤
4
7
Cho hệ phương trình.
=−+
=−+
0xyx
0aayx
22
(*)
a) tìm tất cả các giá trò của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b)gọi (x
1
; y
1
) , (x
2
; y
2
) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
(x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
≤
1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
4
ĐẠI SỐ
(*)
⇔
=+−
=−+
)2(
4
1
y)
2
1
x(
)1(0)1y(ax
22
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố đònh
(0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I(
2
1
;0) bán kính R =
2
1
.
Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm .
Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :
D(I ;d) =
2
m1
m0.m
2
1
+
−+
<
2
1
⇔
0 <m <
3
4
b) ta có AB =
2
12
2
12
)yy()xx(
−+−
≤
2R
(x
2
–x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
≤
4R =1 (đpcm)
Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :
Hay :
2
1
- a = 0
⇔
a =
2
1
5
ĐẠI SỐ
Cho hệ phương trình.
=−++++
<+−
02aax)1a2(x
04x5x
22
24
(*)
Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
⇔
*
−<<−
<<
=++−+
)3(1x2
)2(2x1
)1(0)2ax)(1ax(
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như
hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) ,
M(2;-4) .
Vậy từ đồ thò hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.
Cho hệ phưong trình.
6
ĐẠI SỐ
=+
=++−+
222
2
myx
02)yx(3)yx(
(*)
Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)
⇔
=+
=−+−+
)2(myx
)1(0)1yx)(2yx(
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như
hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm
I(0;0) bán kính R =
m
, do số giao điểm của đường thẳng và đường
tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì :
R = ON , mà ON =
2
2
=
2
(áp dụng đktx) do đó :
m
=
2
⇔
−=
=
2m
2m
7
ĐẠI SỐ
Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.
=−−
=+
0)ay)(a2x(
2y2x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy
→
0XY
=
=
Y2y
Xx
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
( )
=−−
=+
20)a2Y)(a2X(
12YX
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D
trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm
trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di
động trên Y = X , dễ thấy điểm I
/
(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của
2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm .
nên ta có :
8
ĐẠI SỐ
Nếu
−<
>
2a2
2a2
⇔
−<
>
1a
1a
hệ vô nghiệm.
Nếu
−=
=
2a2
2a2
⇔
−=
=
1a
1a
hệ có 2 nghiệm.
Nếu
−≠
≠
<<−
1a2
1a2
2a22
⇔
−≠
≠
<<−
2
1
a
2
1
a
1a1
hệ có 4 nghiệm.
Nếu
−=
=
1a2
1a2
⇔
−=
=
2
1
a
2
1
a
hệ có 3 nghiệm.
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm .
xaxx
2
−=−
(*)
Giải :
Với điều kiện x – x
2
≥
0 , đặt y =
2
xx
−
≥
0
(*) trở thành
( )
( )
( )
≥
=−+
=+
30y
20xxy
1axy
22
⇔
( )
( )
( )
≥
=+−
=+
30y
2
4
1
y)
2
1
x(
1axy
22
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ ,
có tâm I(
2
1
;0) bán kính R =
2
1
. (1) là phương trình đường thẳng x +y
= a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số
nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a
phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc
trên bằng .
9
ĐẠI SỐ
>
=
−
1a
2
1
2
a
2
1
⇔
−
=
+
=
)l(
2
21
a
)n(
2
21
a
hay 0
≤
a <
2
21
+
đònh a để phương trình sau có 4 nghiệm .
2
ax5x4x5x
22
+−=+−
(*)
Giải :
Đặt
4
9
4
9
2
5
x4x5xt
2
2
−≥−
−=+−=
(*)
⇔
tt24aa4tt2
−=−⇔+−=
( )
( )
≥=−
<−=−
⇔
0t,2t4a
0t,1t34a
10
ĐẠI SỐ
Nhận xét
∀
t
4
9
−>
thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2
nghiệm t
4
9
−>
Dễ thấy A(
4
27
;
4
9
−
) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì (
0t
4
9
<<−
)
(2) là phương trình đường thẳng y = t ,
t
∀
≥
0
Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì:
4
27
4a0
<−<
⇔
4
43
a4
<<
Cho hệ bất phưong trình.
( ) ( )
( ) ( )
≤++
≤++
2ay1x
1a1yx
2
2
2
2
(*)
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất .
Giải :
11
ĐẠI SỐ
Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm
O
2
(0;-1) bán kính R
2
=
a
. (như hình vẽ)
Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm
O
1
(-1;0) bán kính R
1
=
a
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R
1
+ R
2
= O
1
O
2
Hay : 2
a
=
( ) ( )
22
0110
+−++
2
1
=⇔
a
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
( )
≥−+−
≤+−
*
0)m6(mx6x
02x3x
2
2
Giải :
Hệ (*) cho có thể viết lại .
( )
( ) ( ) ( )
( )
≥−+−
≤≤
*
206mxmx
12x1
12
ĐẠI SỐ
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền
gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương
trình có nghiệm duy nhất khi :
a = 1 hoặc a = 5
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.
=−+−
=−+−
222
m)1y()1x(
11y1x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.
Đổi trục oxy
→
0XY
Hệ đã cho có thể viết lại .
13
+=
+=
1Yy
1Xx
ĐẠI SỐ
( )
( )
=+
=+
2mYX
11YX
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD ,
như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm
O(0;0) bán kímh R =
m
. Do số giao điểm của đường thẳng và đường
tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi :
OH < R < OB .
Mà : OH =
2
1
( áp dụng đktx) , OB = 1 .
Vậy
2
1
<
m
< 1
−<<−
<<
⇔
2
2
m1
1m
2
2
đó là ycbt
Biện luận số nghiệm của phương trình .
( )
*xm2x312
2
−=−
Giải :
14
ĐẠI SỐ
Với điều kiện 12 – 3x
2
≥
0 đặt y =
2
x312
−
. Phương trình có thể
viết lại
⇔
(*)
( )
( )
( )
=+
=+
≥
3m2yx
21
12
y
4
x
10y
22
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa
ellip lấy phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y)
thỏa (3) là phương trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là
-1 .
Xét các vò trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1
15
ĐẠI SỐ
Vò trí tiếp xúc trên
2
0
4124
2
=⇔
>
=+
m
m
m
Tại B ứng với m = 1
Vậy ta có : Nếu 1
≤
m <2 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m = 2 hoặc -1
≤
m <1 phương trình có 1 ngiệm.
Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm.
Cho hệ :
( )
*
0a6x4x
0ax2x
2
2
≤−−
≤++
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lai .
( )
( )
( )
*
2
6
x4x
a
1x2xa
2
2
−
≥
−−≤
16
ĐẠI SỐ
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có,
S
1
(2;
2
3
−
) , S
2
(-1;1) và
x
A
= -
7
8
< 1
a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0
1
≤≤
a
b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .
=
=
0
1
a
a
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất .
( )
*
1yx
1mxy2yx
≤+
≥+++
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
17
ÑAÏI SOÁ
⇔
( )
≤+
−−≥+
⇔
≤+
−−≥+
1yx
yx1mxy2
1yx
yx1mxy2
2
( )
( )
≤+
+≤−+−
⇔
≤+
−+−++≥+
⇔
21yx
11m)1y()1x(
1yx
y2xy2x2yx1mxy2
22
22
18
ĐẠI SỐ
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và
trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R =
1
+
m
(như hình vẽ) , những
điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y
=1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH ,
Mà OH =
2
2
( áp dụng đktx) vậy :
2
2
1m
=+
2
1
−=⇔
m
là ycbt
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
( )
*
0m18x8x6x
0m4x2x
24
2
≤−+−−
≤+−−
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
( )
( )
( )
*
21886
142
24
2
≤+−−
++−≤
mxxx
xxm
phương trình m = -x
2
+ 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do
đó các điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa
miền thỏa (0;0) .
Xét hàm số:
m = x
4
-6x
2
-8x+18
mxđ: D = R
Đạo hàm :
m
/
= 4x
3
-12x-8 = 4(x+1)
2
(x-2)
19
ĐẠI SỐ
m
/
= 0
=
−=
⇔
2
1
x
x
bảng biến thiên .
Hàm số đạt cực tiểu tại .
−=
=
6
2
ct
ct
y
x
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5)
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thò
ta thấy hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay
-
6
5
≤≤
m
20
ĐẠI SỐ
Cho hệ :
( )
*
4ax
0a2a4x)2a5(x
22
22
≤+
≤+++
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại .
( )
⇔
*
( )
( )
( )
*
24ax
10)2a4x)(ax(
22
≤+
≤+++
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa .
Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(-
2
;
2
) O
1
(
3
2
;
3
2
−
) , F(-
2
-
2
)
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc
như hình vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a
phải cắt miền gạch sọc .
Vậy theo ycbt thì
a) hệ có nghiệm khi -
2
2
≤≤
a
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = -
2
hoặc a = -
3
2
hoăc a =
2
21
ĐẠI SỐ
Cho hệ :
( )
*
0mx)1m(mx
02x3x2
32
2
≤++−
≤−+
a) tìm m để hệ có nghiệm.
b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
( )
⇔
*
( )
( )
≤−−
≤≤−
20)mx)(mx(
1
2
1
x2
2
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm .
Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x
=-2 và.x =
2
1
, các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch
sọc như hình vẽ .Dễ thấy A(
2
2
;
2
1
) , vậy để phương trình có nghiệm
thì đường thẳng m =
α
phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho
phép cũa (1) hay.
22
ĐẠI SỐ
a) hệ có nghiệm khi m
2
2
≤
b) hệ có nghiệm duy nhất khi .
=
=
0m
2
2
m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
( )
*
myx
11y1x
222
=+
=−+−
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy
→
0XY
+=
+=
1Yy
1Xx
Hệ đã cho có thể viết lại .
( )
( )
( )
=+++
=+
*
2m)1Y()1X(
11YX
222
23
ĐẠI SỐ
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD ,
như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm
O(-1;-1) bán kímh R =
m
. Do số giao điểm của đường thẳng và
đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm
khi : ON
≤
R
≤
OM .
Mà : ON =
2
1
( áp dụng đktx) , OB =
5
.
Vậy
2
1
≤
m
≤
5
−≤≤−
≤≤
⇔
2
2
m5
5m
2
2
đó là ycbt
MỘT SỐ BÀI TẬP
Tìm m để phương trình có nghiệm
mxcos1xsin1
=+++
24
ĐẠI SỐ
Cho phương trình .
mx)x9(xx9
=−−+−
a) tìm gtln và gtnn
)xx9(
+−
b) tìm m để phương trình có nghiệm .
Cho hệ
( )
*
0ax
0a2a4x)2a5(x
22
22
=+
<+++
tìm a để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau đúng
6x4:x
≤≤−∀
mx2x)x6)(x4(
2
+−≤−+
Cho hệ
( )
*
1x
0)2xm)(xm(
2
2
≤
<−+−
tìm m để hệ vô nghiệm.
Cho hệ
( )
*
my2x
1)yx(log
22
yx
=+
≥+
+
tìm m để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
log
a+x
(x(a-x)) < log
a+x
x
Cho hệ phưong trình.
25
