SKKN định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI
NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC
ĐỘ VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018


MỤC LỤC
1.Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
2.2.2. Đối với học sinh
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương
pháp đổi biến số

2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương
pháp tích phân từng phần
2.3.3. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến
đồ thị và diện tích hình phẳng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham
khảo Danh mục
Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp
loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp
loại từ C trở lên

Trang
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
4

4
7

13
17
20
20
20
21
22


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Bài toán tích phân là bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi, vì vậy nó luôn được sự
quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên. Hơn nữa từ năm học 2016 –
2017 Bộ giáo dục đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan
nên các bài toán về tích phân trở nên đa dạng và phong phú, đồng thời kiến thức
trải rất rộng và có tính phân hóa cao. Mặt khác vì hình thức thi trắc nghiệm khách
quan nên phần lớn bài toán tích phân yêu cầu phải suy luận logic và hầu như ít sử
dụng được máy tính cầm tay, đặc biệt là các câu hỏi ở mức độ vận dụng thường làm
cho giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tòi lời giải. Ngoài ra, các tài
liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở
những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử. Do đó việc tổng hợp và đưa ra
phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá
trình ôn thi THPT quốc gia. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Định
hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở
mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập
để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng được
cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán tích phân

mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng
tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong chương trình toán
THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương
pháp đổi biến
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân bẳng
phương pháp tích phân từng phần
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân liên
quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh
nghiệm Những kiến thức cơ bản về tích phân
1


1. Khái niệm tích phân

f

a,b
là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một
FbFa
f

Cho hàm số liên tục trên K và

f

nguyên hàm của trên K thì hiệu số:

được gọi là tích phân của từ

b

a

đến

b

f x dx

1

và kí hiệu là: a

2. Tính chất của tích phân
f g
Giả sử các hàm số ,

liên tục trên K và

Khi đó ta có:

a,b,c

là ba số bất kỳ thuộc K.

a

f x dx 0
1)

a

b

f x dx
2)

a

f x dx

a

b

b

3) f

x dx f

a

c

b

x dx

a

b

b

f
4)

c

x dx f

x g

f x dx

x dx

a
b

5) kf

b

g x dx

a

x

b

dx k f x dx

a

a

với

k

1

a
b

6) Nếu f

x 0

trên a ; b

thì f x dx 0
a
b

7) Nếu f

x gx

trên a ; b

thì f

b

x dx g x dx

a

a

2

3. Một số phương pháp tính tích
phân a. Phương pháp đổi biến số:
ub

b

f u x u ' x dx
a

f u d
u
ua

Trong đó u u x

có đạo hàm liên tục trên K, hàm số
cho hàm hợp f u x
a và b
xác định trên K;

y fu

liên tục và sao
1

là hai số thuộc K

b. Phương pháp tích phân từng phần:
b

u x v ' x dx u
a

xvx

b

b
a

v x u ' x dx
a

2


Trong đó các hàm số

u,v

có đạo hàm liên tục trên K, và

a và b

là hai số thuộc K
1

4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

*

Nếu hàm số

S

yfx
a;b
liên tục trên đoạn
thì diện tích của hình phẳng giới hạn
yfx
xa,xb

bởi đồ thị hàm số
S
là:

b

, trục hoành và hai đường thẳng

f x dx

a

* Diện tích

S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
a;b
x
a,x b
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là:

S

b

a

fx

g x dx

y

fx,y

gx

1

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
- Trước đây tích phân trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016)
chỉ là một bài áp dụng phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phầnvà đặc
biệt là các em học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục. Thông qua các đề minh họa của
Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần tích phân
đã xuất hiện nhiều hơn, rộng hơn. Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ (mức
độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều.
Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham
khảo của giáo viên còn hạn chế.
- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì

vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải
những bài toán tích phân ở mức độ vận dụng
2.2.2. Đối với học sinh
- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh
tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu
hết tập trung ở mức độ trung bình.
- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận và
phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức
tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít.
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán
mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa.

3


- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tích phân ở mức độ vận
dụng các em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phương
pháp đúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán vận
dụng phần tích phân bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập
tích phân một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và
kích thích sự ham học tập của các em.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến
số
3
dx

Bài 1: Nếu f(x) liên tục trên [0;3] và f 3 x . f x 1, x 0;3 .Tính 0 1 f x :

2
3
3
B. 2
C. 2
A.
D.3
* Phân tích:
3
dx
I
1
f
x
Bài toán yêu cầu tính
0
, nhưng giả thiết lại cho biểu thức liên quan
và f x

đến f 3 x

giữa f 3 x

, vì vậy ta có thể định hướng cho học sinh tạo mối liên hệ

và f x

bằng cách đổi biến:

t 3 x

Giải:
3

dx

0

1 fx.

I
Tính:

Đổi cận: x 0 t 3;
I

3

dx
fx
01

Đặt: t 3 x dt dx

x 3 t

3

0

dt
1 f3 t

vào biến)
Mặt khác:
f3 x.fx 1 fx
3

I
0

dx
1f x

0
3

1 f 3 x (*)

0

f 3 x dx
1 f3 x

(tích phân không phụ thuộc

0

1
f3 x

3

dx

dx
1 fx

1

dx

f 3 x dx

1
f3 x

1 f3 x

(**)

3

Từ (*) và (**)

2I dx 3 Chọn D
0

4

Bài2: Nếu f(x) > 0 thỏa mãn
đúng ?
A. 4 f

5 5

B. 2 f 5

f 1 1; f x f ' x
3

C.

3x 1

3 f5 4

D. 1 f 5

* Phân tích:Giả thiết bài toán cho mối liên hệ giữa
fx 0

. Mệnh đề nào sau đây

f x và f ' x

2
nhưng lại cho

nên ta có thể định hướng cho học sinh biến đổi về tỉ số quen thuộc trong

f'x
. Mặt khác đề bài yêu cầu tính f 5

tích phân là f x
5
1

nên ta có thể tính tích phân

f'x
f x dx
fx f'x

3x

1f'x

1

fx

3x 1

* Giải: Ta có
5

f'x

1

5

dx

fx

4

ln f 5

3

1

1

dx ln f x

3x 1

f5

e

3

0

4

f

5

3 x 1 ln f 5 ln f 1

1

B. 2

2

x

1

1

C. 3

0

D. 1

I f x .dx
nhưng lại yêu cầu tính

t tan x

1 dx 1 t 2

2
t tan x
* Giải:Đặt
cos x
x 0 t 0; x
t 1
4
Đổi cận:
ft
fx
1
1
4
tan x .dx
.dt
.dx 4
I1 f
1 t2
1 x2
0

. Tính

1

dt

0

f x .dx

.dx 2

tan x .dx

hướng cho học sinh đổi biến

3

1

x fx
2

0

Đề bài cho 0

4

Chọn C

f tan x .dx 4;

A. 6
* Phân Tích:

2
3

4

4

Bài 3: Cho

5
1

0

vì vậy ta có thể định

0

dx dx dt
1 t

2

(tích phân không phụ thuộc vào

biến)
5


1

I

Mặt khác:
Chọn A
Bài4:

dx 5;

1

.dx 2 I I

1 x2

2

1

1

fx

0

x2fx

.dx x2 1
0

1

.dx f x dx 6

0

y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [
1; 2] thỏa mãn
f'x
f x 0, x 1;2
dx ln2,
f 2
fx
. Tính
20
B. -10
C. 10
D.
f'x

2

f'x

x2 1

2
0

Cho

2

1

x2fx

1

A. -20
* Phân tích:

2

Đề bài đã cho
t fx

1

dx ln2

fx

* Giải:
Đặt t f x dt f '

vì vậy ta có thể nghĩ ngay đến việc đổi biến

x dx
. Ta có:

Đổi cận: x 1 t f 1 ; x 2 t f 2
f2

2

I1

f ' x dx
1
2

I

f1

f'x

2

1

f

dt f 2 f 1 5

dx f 2

f x
2 f

ln f 2

dt ln

f1

t

t

1 5
f

ln 2

f

f2

ln f 2

f1

f1

2 f

1 5

2 2f1

ln2
(Vì f
f

f

x 0, x 1;2 )

1 5

2 10

f1
Chọn C
Bài5: Cho f 6 x . f ' x

12 x 13; f 0

2 . Khi đó phương trình

f

x 3 có

bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 3
C. 7
D. 1
* Phân tích:
fx 3
Để xác định được số nghiệm của phương trình
thì ta phải

xác định được hàm số f x
. Như vậy từ giả thiết bài toán ta phải chuyển về bài

6


f 6 x . f ' x 12x 13
toán tìm nguyên hàm. Mặt khác ta có:

nên ta có thể định

hướng cho học sinh tìm nguyên hàm

f 6 x . f ' x dx

bằng cách đổi biến

t fx

* Giải:
6
f 6 x . f ' x dx
Ta có: f x . f ' x 12 x 13
1 7
2
7 f x 6 x 13x C f 7 x 42x 2 91x C

Mặt khác f 0 2 C 27

fx

7

12 x 13 dx

42 x 2 91x 27

f x 3 7 42 x 2 91x 2 7 3 42 x 2 91x 2 7 37 0 Phương trình có
hai nghiệm Chọn A
2.3.2. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Bài 1: (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm và
1

0;1

liên tục trênthỏa mãn

f

f' x

10

2

1

dx 7

,0

x2

và

0

f x dx

1
3

. Tính

1

f x dx
0

7
5

7
B. 1
C. 4
D. 4
A.
* Phân Tích: Nếu chưa tiếp xúc với bài toán thì thực chất đây là bài toán khó
định hướng. Nhưng nếu ta phân tích kỹ bài toán thì ta có thể có hướng giải

quyết bài toán như sau:
1
1
x 2 f x dx
- Giả thiết cho: 0
3
nên ta có thể sử dụng tích phân từng phần bằng
u f
dv x
cách đặt

2

x
dx

2

1

f'

x

dx 7

(vì đề cho 0

)
1

x 3 f x dx
- Sau sử dụng tích phân từng phần ta tính được
1
1
2
dx
f' x
x3f x d
x
và 0
nên ta biến
0

. Như vậy ta đã biết

0

đổi đến

hằng đẳng thức
7


1

f ' x 7x 3 2 dx
. Tuy nhiên không ngẫu nhiên ta lại có được biểu thức
mà ta phải có kỹ thuật làm xuất hiện như sau:

0

1

3 2

f ' x 7x

dx

0

+ Ta muốn có dạng:
1

f ' x mx

2

3

1

dx 0 f '

0

2

x

1

dx 2m

0

2

7 2m m .

x

7 1

1

x f x dx m
0

2

1

x 6 dx

0

2

0 7 2m

m 0 m 7

0

7

3

7

f ' x 7x 3 2 dx 0

Vậy ta có: 0
1

x2fx

1

dx

3

* Giải: Xét tích phân: 0
du f x dx
x
,

u f

dv x 2 dx

x3

v

3

Đặt
1

2

x fx

x

dx

3

1

0

3
Mặt khác ta có:
1

f ' x 7x

3

khi đó
1

. x
f

0

2

1

dx

0

0

x

3

x dx

f

3
2

f' x

1

f ' x 7x 3

0

1

1

1

3

0

x3

f ' x 7x 3

Vì:

1

x 3 f x dx 1

0

3
1

3

0

2

3

x dx

f

1

x f ' x dx 49 x 6 dx 7 14

dx 14

0

2

ta có:

0

1

49

0

7

dx 0

0

Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:

f ' x7 x3

2

f1 0 fx
mà

0

f x

7 x

7
4

3

1 x2

0

7x 4 C
4

fx
1
0

f x dx

7.
5

Chọn A

8


1

f ' x 7x 3 2 dx

* Nhận xét: Như vậy không tự nhiên mà ta có được tích phân 0
,
1
2
dx 7
f' x
cũng không phải đề cho 0
mà xuất hiện hệ số 7 ở tích phân
1
2
f ' x 7x 3 dx
. Bản chất của vấn đề là hướng dẫn kỹ thuật cho học sinh xác
1
f ' x mx 3 2 dx 0
m
để xuất hiện
0
để áp dụng tích chất: Nếu

0

định hệ số

b

f x dx 0

fx0

trên

a;b

thì a

Bài 2:Cho hàm số f
1

f'

x

2

dx

64

x
1

x4

có đạo hàm và liên tục trên
f x dx

11 và 0

0

A. 1
* Phân tích:

1

8

0;1 thỏa mãn f 1 0 ,

f x dx

55 . Tính 0
B.

8
7

C.

4
7

23
D. 55
1

- Đây cũng là dạng của bài bài 1, tuy nhiên đề bài cho

x 4 f x dx
0

8
55 nên sử

1

dụng tích phân từng phần ta tính được x 5 f ' x dx

, từ đó sử dụng kỹ thuật tìm hệ

0

1

số

m

f'x

mx 5 2 dx 0

như bài 1 ta sẽ có tích phân dạng: 0

9


f x

duf x dx

u

dv x 4 dx

v

- Cụ thể như sau: Đặt
1
1
1 5
x3
x
4
.f x
f
x dx
x f x dx
0
0
0
5
5
1
1
8
x5
5
5 f x dx
55 x f x dx

0

1

f ' x mx 5

2

1

dx 0 f '

0

64

8

2
m

11

5
8

11

x

2

0
11 1

m

x

2

11
1

dx 2m

1

x 5 f x dx m 2 x10 dx 0

0

64 16

0

11

khi đó:

55
8

0

- Ta muốn có dạng:

,

x5

11 11

0

m

m

2

11

0 m

8

0

1

f ' x 8x 5

2

dx 0

Vậy ta có: 0
1

x4fx
* Giải: Xét tích phân: 0
du f
u f
x
4

d x dx
v

v

x dx

5 f x dx

55

ta có:

1

5

x

4

x f x dx

5

0

5

x5

8

,

x5

Đặt
1

dx

8

55

1 5

x

.fx

5

0

8

f xdx

55

0

8
11

1

5

x f x dx
0

0

1

Mặt khác ta có:

1

f ' x 8x

5

2

1

dx

0

f'

x

2

1

dx 16

0

5

x f ' x dx 64

0

1

x10 dx

64

8

16

111

0

11

1
f ' x 8x 5
Vì:

2

0

1

f ' x 8x 5

2

dx 0

0

f'x 8x5 0 fx
Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:
4fx
4
f1 0 C
x6
3
3
mà
Chọn B

4
3

1

0

4x6 C
3
1

f x dx 4 1 x 6 dx
30

64

8
.
7

0


10


* Nhận xét: Với định hướng biến đổi và kỹ thuật thêm đưa về tích phân dạng
1
f ' x mx 5 2 dx
0để

đánh giá và xác định hàm
1

f'x

từ đó suy ra hàm số

fx

f x dx
và tính được tích phân 0 mà không phải suy luận phức tạp hay sử dụng đến bất đẳng
thức tích phân (không nêu trong chương trình THPT).
708
Bài 3: Cho hàm số
fx
có đạo hàm và liên tục trên
3
3
2
2834352
708588
f ' x dx
x 4 f x dx
55
11
0
. Tính
và 0

729


f x dx
0;3 thỏa mãn f 3
3

0,

0

1458
A.11
B.11
C. 7
D.55
* Phân tích: Bài toán này tương tự như bài 2, chỉ có một khác biệt nhỏ là tính tích

0

3

f30

phân từ đến , nhưng giả thiết vẫn cho
nên về cơ bản vẫn là tương tự bài 2
vì vậy ta có thể giải quyết hoàn toàn tương tự
3
3
708588
708588
4
x
dx
x f
x 5 f x dx
11

55
- Từ giả thiết 0
ta tính được 0
Ta
muốn
có
dạng:
3

mx

f' x

5 2

3

dx 0

0

f'

2

x

3

dx 2m

0

2834352
11

11

x f x dx m
0

2

708588
2m

5

11

3

11

0

x

m

2

3

x10 dx 0

0

0

2834352 1417176 m 177147m2 0 m 4

111111
3

f ' x 4x 5 2 dx 0

Vậy ta có: 0
3

* Giải: Xét tích phân:
f x

Đặt

4

dx

55 ta có:

0

du f x dx

u

dv x

708588

x 4 f x dx

v

x5

,

5
11


x5

3

4

x fxdx

3

.fx

5

0
3

0

x5

5 f x dx

dx

0

3

5

f ' x 4x

Mặt khác ta có: 0
2834352
708588
8

11
11
Vì: f ' x
4x 5 2 0 3

55
708588

3

x5f x

55

708588

f x dx

5

0

708588

x5

0

3

3

2

dx

3

2

dx 8

x

f'
0

16.3

11

0

3

5

x f ' x dx 16

0

10

x dx

11

0
11
f ' x 4x 5 2 dx 0
0

f'x 4x5 0 fx
Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:
f 3 0 C 486 f
x
mà
3
3
2 6
f

0

x dx

3

0

x

2x 6
3

C

2 x6 972
3
8748

486 dx

7

.

Chọn C
Bài 4: Cho hàm số
4

f'

x

2

dx

0

fx

0;4

có đạo hàm và liên tục trên
thỏa mãn
4
4
16384
x 2 f x dx 5760
f x dx
7 và 0
7 . Tính 0

f4 2

,

2880
163
2178
1064
5
5
A. 7
B. 7
C.
D.
* Phân tích: Bài toán này tương tự các bài trên, chỉ có một khác biệt nhỏ là giả

2
0
thiết cho f 4
nên về cơ bản vẫn là tương tự như trên vì vậy vấn đề ở chỗ
4

4

3

f x x 3 2 dx 0

x f x dx
chỉ cần ta tính được 0
và đưa ra được biểu thức 0
có thể giải quyết hoàn toàn tương tự
4
f'x
mx 3 2 dx 0
- Ta sẽ đưa về dạng: 0
4

f ' x mx
0

3

2

4

dx 0
0

f'

x

2

4

dx 2m

3

x f x dx m
0

2

là

4

x 6 dx

0

12

16384

2.

7
16384

16384
7

2

m m

.

16384

2.

7
4

x7

4

7

0

0

16384
m2 0 m 1

m

7
7
f ' x x 3 2 dx 0

Vậy ta có: 0
4

x2fx

7 ta có:

* Giải: Xét tích phân: 0
du f
f
x

x dx
,

u

dv x 2 dx

x3
v

3

Đặt
x3
. fx
x 2 f x dx
0
3
4
128
x3
3
3 f x dx
4

khi đó

4

x3

4

0

7

2

4

x f x dx

7

0

3

2

7

4

f'

dx

x

2

4

16384

16384

7

7
2

1

0

4

3

x f ' x dx

dx 2

0

0

x 6 dx

0

0

f ' x x 3 2 dx 0

0

2
3
x3 0f x x 0 f

f4 0 fx

16384

3

0

f'x x3
Vì:
f'x

7

3
5760

f' x x
16384

5760

f x dx

0

0
4

Mặt khác ta có:

5760

dx

x4

4

66f

Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:
1x4 C
x
4
1064
x dx
.
5 Chọn D

0
4
mà
* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập trên ta thấy bài toán được dễ dàng giải quyết
b
f'x
kx n 2 dx

nếu ta biết được kỹ thuật đưa về tích phân dạng a

.

13


2.3.3. Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện
tích hình phẳng
y f(x)

Bài 1: Cho hàm số
hình bên (với
4

8

1

S F(4) F(0).
S
A.

39

Biết

f (0) f (1) 2).
F ( x ) f ( x ).

31

f ( x )dx

có đồ thị như

và

S

Tính

23 .

S 47 .

15 .

.

8

8

B.

* Phân tích: Đề bài yêu cấu tính

8

C.

S F (4) F(0)

4

f ( x )dx
, hơn nữa giả thiết bài toán cho 1
vào đồ thị, vì vậy ta giải bài toán như sau:
0

* Giải: Ta có:
F (4) F (0)

4

1

f x dx

0

0

8

1

f ( x )dx
f ( x )dx
nên ta phải tính 0
dựa

4

f x dx

D.

nên ta nghĩ ngay đến việc tính

4

S

S

f x dx

1

1

f x dx
Mặt khác từ đồ thị ta có: 0 là diện tích hình chữ
nhật có hai kích thước là 1 và 2 nên:
1

f x dx 2
0
4

Chọn C

4

S f x dx 2 f x dx 2

0

1

31

47

8

8

yf x
3;5

Bài 2:(Đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh) Đồ thị của hàm số
trên đoạn
như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol
3

f x dx

y ax 2 bx c

). Tính 2
14


.
I

53

A.

I

B.

3.

3

97

I

C.

6.

f x dx
* Phân Tích:Từ đồ thị ta thấy 2
qua
2
E 3;0
D0;4

qua

,

;

C 1;3 và có đỉnh A 2; 4

43

I

D.

2.

95

6.

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

D0;4,

C 1;3 và

. Vì vậy chỉ cần tìm được

Parabol

;

1

2

và

P

P

1

: ax 2 bx c qua

là bài toán sẽ

được giải quyết
3

x

f
* Giải:Ta có 2

d
x

, x 2, x 3.Với 1 qua
C 1;3

bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi

,
nên có pt:
y x 4
2

nên có phương trình:
a b c 3
a
b
2

b

2a

4a 2b c

A 2;4
nên

3

0

I f x dx

Vậy
Chọn B

2

2

P : ax

4
x 4 dxx 4 dx
3

x2

y f (x)

A.
B.

h (4) h ( 2) h(2) .
h (4) h ( 2) h(2).

2

1

C 1;3

4x

3

0

1

y

f(x)

, Parabol

; 2 qua

.

như hình bên. Đặt

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

3x 4
bx c qua

0

Bài 3: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số

thị của hàm số

2

4 y x
c

4

;
1

,

4

y

E 3;0 D 0;4

1

2

x

. Đồ

h(x)2f(x)

4 x dx

97
6

.

P

D 0; 4

,

và có đỉnh


15


C. h (2) h (4) h( 2) .
D. h (2) h ( 2) h(4) .

* Phân tích:Đề bài yêu cầu so sánh các giá trị
đến việc xét hiệu

h ( 2); h (2); h(4)

h (2) h ( 2); h (4) h(2)

hoặc lập bảng biến thiên của hàm số

2

y hx

. Mặt khác

h (2) h ( 2) h ' x dx
2

nên ta có thể nghĩ
4

và

h (4) h (2) h ' x dx đồng thời
2

h '( x ) 2 f '( x ) x .
Một điều nữa ta cần phải nhận ra là các điểm thể hiện trên đồ thị
yf'x
2 ; 2 , 2; 2 , 4 ; 4

gồm

yx

thẳng hàng và nằm trên đường thẳng

. Vì vậy ta hoàn toàn có thể áp dụng diện tích hình phẳng để so sánh các giá
2); h (2); h(4)

Giải:

Ta có h

'( x ) 2 f
'( x ) 2 x

h2
x dx

h
2
h'

2

2

trị h (

.Ta vẽ đường thẳng

y x

2

h4

h

4

2

h ' x dx 2

2
2

h4

h

f'

x

x dx 0

h

4 h

2.

2
4

2

4

h ' x dx 2
2

2

2

.

f'

x

x dx

2
4

f'

x x dx 2

2

f'

x x dx

2

2S1 2S 2 0 h 4 h 2 . Như vậy ta

có:h 2 h 4 h 2 . Chọn đáp án C.
* Nhận xét: Bài toán này cũng có thể giải quyết

yhx

bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số
,
tuynhiên lập bảng biến thiên ta chỉ xác định được giá trị

h2

h

2 và h 4

lớn nhất là

, còn việc so sánh
vẫn còn phải suy luận thêm vì
vậy chọn hướng giải áp dụng tích phân sẽ so sánh
được triệt để h ( 2); h (2); h(4)
Bài 4: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số

yf ( x )

.

,
16


g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1)2 .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g (1) g (3) g( 3) .
B. g (1) g ( 3) g(3)
C.
g (3) g ( 3) g(1) .
D. g (3) g ( 3) g(1)
Đặt

* Phân tích: Về cơ bản bài toán này vẫn cùng dạng với bài 3 ở trên chỉ có một

khác biệt không đáng kể đó là các điểm đề bài thể hiện
3;2
trên đồ thị là
,
1; 2 , 3 ; 4

nằm trên đường thẳng

y f'x

thì đồ thị

y x 1 , đồng thời trên khoảng

nằm bên dưới còn trên khoảng

1; 3

đồ thị

3; 1

y f ' x nằm ở

trrn đường thẳng y x 1. Vì vậy ta chỉ cần lưu ý khi tính tích phân dựa vào đò
thị đã cho là sẽ giải được bài toán
x 1
g' x 2f' x 2 x 1 2f' x
i:
Ta
có:
Giả
g'
2
x 1 f'
x

x
1

g
+)

3 g

Ta vẽ đường thẳng

1

g ' x dx 2

1

3

x 1 f'

x

y x 1

.

dx 0 g 3

g

1.

3

3

)g1

g3

g'x

dx

1
3

2

x 1 f'

x dx

1

3

)g 3 g3

3 g

1.

S1

g'

3
1

0 g
x dx

S2

3

2

x 1

f'

x dx 2

3

x 1

f ' x dx

1

2 S1 2 S 2 0 g 3 g 3

Như vậy ta có:

g (1) g (3) g( 3)

Bài 5:Cho hàm số

y f(x)

Chọn đáp án A.

có đồ thị hàm số

g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1)2

nhất và nhỏ nhất của hàm số
A. max g ( x ) g(3) và min g ( x ) g(1).
x 3;3

y f '( x )

x 3;3

B.

như hình vẽ. Tìm giá trị lớn

3;3

trên đoạn
max g ( x ) g( 3) và min g ( x ) g(1).
x 3;3

x 3;3

C. max g ( x ) g(1) và min g ( x ) g( 3). D. max g ( x ) g(1) và min g ( x ) g(3).
x 3;3

x 3;3

x 3;3

x 3;3

17


* Phân Tích:

y
4

Về phương pháp thì để tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất ta phải giải phương trình

g'x 0

2

3;3

trên đoạn
và so sánh các giá trị hàm
số tại các điểm vừa tìm được và các giá trị
g 3 ; g 3 . Ở bài này thì phương trình
g'x 0 f'x x 1 0 f'x
phương trình
đường thẳng
vì các điểm

g'x 0

3

x 1

O 1
2

3 x

. Như vậy nghiệm của

chính là hoành độ giao điểm của đồ thị

y f ' x và

y x 1
. Các nghiệm này có thể nhận ra bằng trực quan trên hình vẽ

3; 2

y x 1

3 ; 4 thể hiện trên đồ thị nằm trên đường thẳng

, 1;2,

g 3,g3
. Như vậy bài toán trở thành so sánh các giá trị
và g 1 ,
nghĩa là bài toán trở về dạng quen thuộc như hai bài 3 và bài 4.
Giải:
g' x 2f' x 2
x 1 2f' x
x 1 .Ta vẽ đường thẳng y x 1
Ta có:
x 1
g'x
0 f'x
x 1 0 f'
x
x 3 hoặc x 1 hoặc x 3
1

Ta có: +) g 1 g 3

g' x dx
3

1

2

f' x

x 1 dx 0 g

1 g

3 .

3
3

)g

3 g 1

g' x dx

1
3

2

f'

x

x 1 dx 0 g 3 g

1.

1
3

)g

3 g

3

g' x dx 2 f '

x

x 1 dx

3

3
1

2

3

3

3

f' x

x 1 dx 2

g1

f'
1

x

x 1 dx 2S 2S

2

0 g

3 g

3

.

1

g 3 g 3 Chọn đáp án B
Như vậy ta có:
* Nhận xét chung: Để giải được dạng toán này ta phải vận dụng linh hoạt định
nghĩa tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng cũng như khả
năng đọc đồ thị một cách linh hoạt
18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPT Hậu
Lộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng như đồng
nghiệp giáo viên.
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần tích
phân, đặc biệt là những bài toán tích phân mức độ vận dụng, giúp tôi có những kiến
thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em. Từ đó định hướng
cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụng
cao.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo
và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán tích phân ở mức độ vận dụng
- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúp
học sinh phát triển tư duy hơn. Học sinh có khả năng định hướng được cách làm
với những dạng bài tập khó khác. Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạo
hứng thú cho các em trong quá trình học tập. Việc làm các bài tập tích phân nói
chung và tích phân ở mức độ vận dụng cao ở các em trở nên nhanh chóng và chính
xác. Cụ thể. tôi cho các em một số bài kiểm tra phần tích phân trong từng quá trình
trước và sau khi áp dụng phương pháp giải mới bài tập số phức, kết quả như sau:
Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)
Đề bài:

2

Câu 1: Cho

f xf 2 x 2x

A. 4

1
B. 2

fx

f x dx

. Tính

0

4

C.

3

Câu 2: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
1
1
1

2
4
7
4
dx
f' x
x f x dx
f x dx
11 và 0
11 . Tính 0
0
4
23
78
7
B. 7
C. 5
A.
Câu 3: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x

D. 1
0;1

thỏa mãn

D. 5
y

dưới đây đúng?

4

g3 g 3 g1.
g 3 g3 g1.

13 ,

64

như hình bên. Đặt g x 2 f x x 1 2 . Mệnh đề nào

A.
B.

f

2

3
O1 3x2
19