SKKN hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN
DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

1


MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…..……………………………………………..………3
1.
Lí do chọn đề tài……..………………………………..……….3
2.
Mục đích và đối tượng nghiên cứu……………………..…..….3
3.
Phương pháp nghiên cứu…………………..…………..………4

II.
Nội dung………... …………………………………………….4
1.
Cơ sở lí luận……………………………………………............4
2.
Thực trạng………………………………………………….......4
3.
Giải pháp……………………………………………….………5
3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức …………….……………...5
3.2Các phương pháp…………………...…………..….……………...5
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức..……..…………………...5
3.2.2 Phương pháp xét hàm……..……………………......................10
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……………..........................14
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….…………..21
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………….....……………….22
3.3Bài tập tự luyện……………………………………………...........25
III. Kết luận……………………………………………..…………26
1.
Kết quả nghiên cứu……………………………….….………..26
2.
Kết luận và kiến nghị……………………………………..…...26
Tài liệu tham khảo………………………………………….…..........26

2


I.
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,

năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học môn Toán.
Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phần
lớn ở chương trình đại học . Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng
phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đã
được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng
điều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ
GD& ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi
môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với
học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng
hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công
trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần
phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong
số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài toán này được đa phần
các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất
là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắc
kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳng
thức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh
phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót,
nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh. Đây là bài toán mới, được áp dụng vào

thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế
cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức. Việc có một tài
liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầu
cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
2. MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,
thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức.
- Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số
phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”.
3


3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các
đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi
của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng
của một số giảng viên toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
II. NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm
vững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội
dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần
thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi

học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướng
tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư
duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của
cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết. Vì tính
chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong số
phức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học
sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biến
đổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học . Tạo
ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận
và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự
hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và
lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút
ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,
khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó. Đây là mục tiêu quan trọng
nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
2. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng
như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT
Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm
với bài toán max, min trong số phức. Lí do được các bạn đưa ra là bài toán này
khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sử
dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khi
điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm. Một phần
khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học
sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều này đã dẫn đến

4

một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi
trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong
khi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề. Từ
thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề
thi THPT Quốc gia ”.
3. GIẢI PHÁP
3.1 Kiến thức cơ bản chương số phức có liên quan
Đơn vị ảo i2
1
x yi

(x; y

Mỗi biểu thức dạng
phần thực, y là phần ảo
Hai số phức bằng nhau:

yi

x

Mỗi số phức

x

yi

M (x; y)

Môđun của số phức: x
Số phức

z x yi

R)
x'

được gọi là một số phức; x là

y' i

x

x'

y

y'

được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
x2 y 2

yi

OM

có số phức liên hợp là z

x yi

Phép cộng: (x yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i

Phép trừ: (x

yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i

Phép nhân: (x

yi).(x' y'i) (xx' yy') (x' y xy')i

x' y'i
x yi

Phép chia:

z

Dạng lượng giác
* Chú ý:
.z

2

z

z z'

z

z

xx' yy'
x 2y
r(cos

2

xy' x' y
x 2y
isin )

i
2

z z

.z'.z'

z'

z

z

z

z'

z'

.z'

z'

. z'

2

z'
z'

2

2

2

2z
'

2 z'
z" 2

z

z

z'

z'

2

"

z2

z2

3.2 Các phương pháp
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng
thức * Phương pháp
R)
+ Gọi số phức z x yi (x; y
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn

5


* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán
được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và
không cần giải dấu bằng. Ta chỉ cần làm hai bước:
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
* Các bất đẳng thức thường được sử dụng:

(x y)2

0 x; y

xy

(x y)2 k k x; y .

Dấu
x y = xảy ra khi
= xảy ra khi

Bất đẳng thức Côsi: x
1
x

1
y

xy x; y 0 .

y

1
z

9
x y z

k (x y)2 k x; y .

Dấu = xảy ra khi

Dấu

x y

x; y; z 0

x y

x2 y2 2xy x; y .

Dấu = xảy ra khi
Bất đẳng thức Bunhia: (a2

b2 )(c2

d

2

) (ac bd)2

. Dấu = xảy ra khi

ad bc

Bất đẳng thức số phức:

z'
z'

z'

z'

z'

z'

Bất đẳng thức vectơ: a b a b
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i 1. Tìm số phức z có môđun lớn nhất và
nhỏ nhất
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi (x; y
R)
+, z 1 i 1
(x
1)
( y 1)i
1
1
1
+, z x yi
(x 1) ( y 1)i 1 i
(x 1) ( y 1)i
2
i 1 2

2

z

max

1

2

Dấu = xảy ra khi

.

1

x1
y1

1

x

1

1

y

1

2
2

2

+,
1

z

1
2
2

Dấu = xảy ra khi

1
i
2

1

1

i

2

(x 1) ( y 1)i

2

min

1

2 1.

z

1

x1
y1

2
1

z1
2

2

1

x1
1

2

2

1

y 1

2

2

z1

1

2

1

1

i

2

Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1 i
(x 1) ( y 1)i
cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức
cho ở giả
thiết.

1
Ví dụ 2 : Tìm z ; z min biết (1 i)z 2i 1
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi (x; y R)
1
z 1 3i
1
1
z 1 2i
+, (1 i)z 2i 1
max

1 i

2

2

2

2

6


1

x

3

y

2

2

+,

1

i

2
1

z

x yi

x

1

z max

1

3

2

2

10
2

z min

2

1
i

2

3

2

2

1
i

x

3
y

2

2

1
i

3

2

2

1
i

10
2

2

10
2

2

+, z

3
y

i

1

x

2

3

y

2

10

i

1

2

2

1

2

Theo chú ý, ví dụ trên ta có thể làm gọn hơn như sau:

1
z 1 2i
1
z 1 3i
1
+, (1 i)z 2i 1
1 i

+, z

1
2

z

1

z max

1
2

3i
2

10
2

z min

1
2

3i
2

z 1
2

3i
2

1
2

2

3i
2

2

1
2

10
2

10
2

2

+, z

3i
2

2

2

z

1
2

3i
2

10
2

1
2

1

2

Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của
Hướng dẫn:
+,
i 1
z 2 4i
3 5i
z 2
z max

5

34

+,

i

1

z min

34

3

5i

z

2

4i

34

i

4i

1

3

biết z
5i

2

5

4i

5

34

5

5

Ví dụ 4 : Cho số phức z thỏa mãn
B. z 3 4i
A. z 3 4i

z

3 4i

. Số phức z có z
D. z 3 2i

0

3 2i

C. z

Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi
+, z z 3 4i

(x; y R)

2

z x

2

y

2

8y 25 y
6
y 2 x 3z
2

z 2

Ví dụ 6

z 2

z 2 z 2

2 z

1 10y
36

2

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
A. 2
B. 1
Hướng dẫn:
z

8y 25

6

06x 8y 25 0 x

Dấu = xảy ra khi

2

là:

2

2

+,

min

3 2i .
2

20

225

2

Đáp án D

z 2

z 2

2

C. 3
z

1z

1
min

?
. Khi đó z
D. 4
min

. Đáp án B

: Cho số phức z không phải là số thực và

GTLN của z

15
6

2 z2

là số thực. Tìm

1 i

7


A. 2
Hướng dẫn:
z

B.

z

2 z

2

z

2 z

(

2

z)(2

2 z
2

z

z1iz1i

C. 8

2

2

z

2

2

) 0

z

z

2

D. 2

2

2(z z) (z z) 0

2

2 2 2 z 1 i max 2 2
z 2 4i

z x yi (x; y R)
Ví dụ 7: Cho số phức
thoả mãn
w m (x y)i
m min
z
. Tính môđun số phức
A. w 2
B. w 2
C. w 3 10
6
3
Hướng dẫn:
z 2i
x y 4
+, z 2 4i
x y2
+, z
22
x2 y 2
z min 2 2
2

+, Dấu = xảy ra khi x y

x2

w

w 2 2 4i

Amax

z

2

2z

12

2

22

D.

w 3

2

z 2

2

26

z 2
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z
2 . Tìm GTLN của A
A. 3 5
B. 4 5
C. 3
D. 5
Hướng dẫn:
2
z'
2z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia và đẳng thức z' 2

A

và

. Chọn A

y2
4

xy

z 2i

22

z

22

z

5. 2 z 2

2.22

2

2

z'

2

ta có

4 5

4 5

Chọn B
Ví dụ 9 : Cho các số phức

nhỏ nhất của biểu thức P z1
A. 1

B. 2
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2
z2
z3
+, P z1
3. z1 . z2
2

2

2

1

+, 1 2 z3

3

z

i

1 2

1

3

2

z2

z3

1

2

3 i.
2

Tính giá trị

2

D. 4

2

. z3
1

1
2

2 z3

C. 3

2

3

thỏa mãn

z 1 ; z2 ; z3

3
z2 z 1 P 3

2

2

Dấu = xảy ra khi z1 z2
Ví dụ 10: Cho các số phức
nhỏ nhất của biểu thức
A. 2
Hướng dẫn:
z1 z2
9 z

2

1

z2 z3
z2

z3

P

z3 1

z1

Theo bất đẳng thức

z3

1
x

z3 1 .

z2

1

Tính giá trị

1

z2 z3

z3

1

z3 z2

D. 5

z1 z2

z3 z1
z2

z2

C. 1
2

z1

1

z 1 z2 z 1 z 3

B. 3
2

thỏa mãn

z1 ; z2 ; z3
1

z2
z1

z3

z2

9

z1

1

1

9

z

x y z

z2 z3

2

z3
z2

z3

z1
z3

z1

9

x; y; z 0

và Côsi ta có:

y

8


P

9
z1 z2
9

z1 z3

z1

z3

9

z2

2

z2

1

z2

z3

z3

z3 z2

1

M (x; y); A(0; 1) ; B(2;1)

z

2

3

z

2

z 3z

1 2

z 1

2

C. 4

2

(y

1)2

2)2

và

P

i

z 2 i

. Tính

D. 4

. Theo bất đẳng thức vectơ ta có

(x 2 x)2 ( y 1 1 y)2

P MA MB MA MB

2 2

1

Chọn C
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
w P
iP
môđun của số phức
max
min
A. 2 6
B. 3 5
Hướng dẫn:
(x; y R)
+, Gọi z x yi
+, z 1 2
(x 1)2
y2
2
2
+, P
i
z 2 i x

( y 1)2 (x
Đặt

9
z1 z

2 2

Pmin

2 2

+, Theo bất đẳng thức Bunhia:
P

x2 ( y 1)2

(x 2)2 ( y 1)2

2.2 x 1 2

y2 2 4 Pmax

4

. Chọn A
III.2.2
Phương pháp xét hàm
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi (x; y R)

+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)
+ Rút x hoặc y ở (1) thế vào (2)
+ Xét hàm số, và kết luận
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của phần thực số phức
1 , trong đó z là số phức có z 1 . Tính P M 2 m2
w z3
w 2 6

z3

A.P 8
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức
+, w

z

3

1
z

3

B.P 5
z x yi

z

z

D.P 10

1 2x
z

3

1
3z

z

+, Từ z 1 x2 y2
+, Xét hàm số f (x)

(x; y R) z

3

1

C.P 29

8x

6x

1 x1;1

8x3

6x

(x1;1 )

1
4 (t / m)
1 11
f ( 1) 2; f (1) 2; f ( 4)
8 M 2;m 2 P 8 . Chọn A

f '(x) 24x2 6x 0 x

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4(z
số phức z biết z 1 3i min

z) 15i i(z z 1)2

. Tìm môđun của

2

9


41
64

A.

B.

241
64

Hướng dẫn:
z x yi
+, Gọi số phức

C.

+,

z

1)

z) 15i i(z z

1 3i

2

2

+, Xét hàm số

12

x

2

21

y2 8y

f ( y) y

D.

41
8

(x; y R)
2

+, 4(z

241
8

4
2

8y

21
4

y

2y

15
4

2y

15
4

0 y

15
8


15

;

8

. Lập bảng biến thiên ta được:
1521

Min f ( y)

1

z

64

1521

3i

2

64

min

1

x

khi

15
2

y

z

. Chọn C
241
8

8

z 2 2i
2i
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
và P
z x yi (x; y R)
đạt GTLN. Đặt
. Tính giá trị biểu thức T x y
A. 1
B. 1
C. 5
D.

2i

1
50

25

Hướng dẫn:
+, z 2 2i 2i
+, P z 2i z
5y 2 8 y 5

x

1

2y

x2

2i

1

2)2

(y

1)2

(x

(y

2)2

5 y2 12 y 8

+, Xét hàm số: f ( y)
f '( y) 0 y
26 .

5y2 8y 5

5y2 12 y 8

max f (y)

Lập bảng biến thiên được

f

25
x

z 1 2i

26

khi

25

27

25

26
y

25

T 25

1

. Chọn B

Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1. Gọi M, m lần
lượt là GTLN, GTNN của z z 2 . Tính M m
A. 359
B. 359
C. 35
D. 307
3

108

Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x
1 x2
+, z 1 y2
+,

1

12

z2

z

3

yi (x; y R)
x 1;1

102

.

2

.z

z
2

2

z2

2

x2

2

108

100

y2

z

1

2z

1

.

z

1

z

2yx

1

2z

x2

1i

+, Xét hàm số: f (x)

3

4x

y2

x

2

2

f '(x) 12x 2x 4

12

4x
0

2 (x

x
x

1
f ( 1) 1;

f

2

13
4

2
;f

3

2
27

4 y2 (x

2
3
1
2

4x3

x2

4x

2

1;1 )

(tm)
(tm)

max f ( x)
; f (1)

1)2

1

min f ( x)

13
4
2
27

M
m

13
4
2
27

Chọn A

10

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN
z 1
z2 z 1
của biểu thức P
. Khi đó tích M.m ?
13 3

A.

4

13 3 C.

B.

3

8

1

1

z

P

z 1 1

2

z2

z 1

2

z

z 1

z

z

2

t

f (t )

t3 khi

t

; f ' (t) 0

3

(t 0;2 )

2

13 ; f ( 3)
44

1

f( )

2

3
1

t

3

2t 1 khi 0 t

13 ; m

3 ; f (2) 3 M

3

3

4

35
z 3
1

z

1

2

13 3

3 M.m

4

Chọn A
Ví dụ 6 : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn
4

t2

2 P f (t) t

3t2

3 khi 0t

t 2t

f ' (t)

z

3

z1 z 2

4
5

i; z1 z2 3

và biểu

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của

5

2

bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
Hướng dẫn:
4i
+, Ta có z1 z2
5
+

,
z1

z 1

2

2t 1 khi 3 t 2

thức P

8

z

z 1

2

z

3 3

D.

1 2 t 0;2

Hướng dẫn:
+, Đặt t
+, Vì z

+, t z 1
+, Khi đó
f (0) 3 ;

3

z2

C. -1

3

D.

3

1

5

z

z1 z 2

z

1

2

3

2

+, z1 z2

2

2

z1 z 2

z

2

2
1

z

2

2

z

2

2

z

1

z

2

z

1

2

2

2
3

z1

z2

+,P 4 z1 3 4
t
z
z
Đặt
1

2
+, Xét hàm số
f '(t) 3t 2

2
3

3 z1

3

3t 5

z2
P t

z2 5

z1
(t

z2

3

3;2 )

f (t) t3 3t 5
1 (l)
1 (l)

t

3 0

t

f ( 3) 5; f (2) 7 Pmin 5 . Dấu = xảy ra khi t
z2

trị lón nhất của biểu thức P
A. -1
B. -2
Hướng dẫn:

iz2

z 3 1
+
,z 1 2i

z 3

2

z(1 i)

C. 1

z2

z 1 2i
iz2

2

z

z

D. 0

(1 i) 16x 2 y 2
z

2

x y
0 t

z(1 i)

2

1
4

2

(1 i)

x y 1
2

z

Chọn D
1. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá
1

(x; y R)

z x yi

+, Biến đổi P
+, Đặt t xy

2

z

z

3

z 3
z 1 2i

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn

+, Gọi số phức

z2 5

3 z1

8xy

3.


11


+, Xét hàm số

f (t)

2

8t

16t

(t

0;

1 ; f (0) 0; f (
4

f '(t) 32t 8 0 t

1
4
1
4

1.

) 1 Pmax 0; Pmin

Chọn A

z 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
P 2
z 1
2
z 1
4i
bằng bao nhiêu?

A.4 2

B.

3

2

C.

3

14 15

4

D.

7 15
15

2

1
5

Hướng dẫn:
+, Gọi số phức

4 x; y2;2

z x yi

(x; y R) . Từ
2

2

z 2 x

2

y

+,P 2
z 1 2 z 1
z z 4i
(x 1)
y
(1 x)2
+, Áp dụng bất dẳng thức
a2 b2 c2
d 2 (a c)2
b d y;c 1 x và tính chất về giá trị tuyệt đối ta có:
P 2 x 1 1 x

( y y)

2

+, Xét hàm số
f (2) 4 5 ; f

10

4

3

3

2

y 4 1 y

2 y 4 ( y2;2 ) ta

1 y2

f ( y) 4

1

2

2

2

3
;f

3

1

2

y 2

y2

với a

(b d)2

x 1;

2y 4

1 (tm)

f '( y) 0 y

có

4 2 3 ; f ( 2) 4

5 8 min f ( y) 4 2 3

3

1 . Chọn A
x 0; y
Dầu = xảy ra khi
3
Ví dụ 9 : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện

z2 10 i
z1 z 2
1. Tìm GTNN của biểu thức
A.
B. 3
C. 101 1
10 1
5 1
Hướng dẫn:
z x yi
(x; y R) .
+, Gọi số phức
y
x2 (P)
+, 2 z1 i
z z1 2i

2

1

i

z1

D.3

10

z1

2i

và

1

1

4

+, z2 10 i 1 (x 10)2
( y 1)2 1 (C)
Đường tròn (C) có tâm I (10;1)
Đặt z0 10 i (số phức có điểm biểu diễn là I)
z1 z 2
z1 z 0
+, Ta có z1 z2 1 z1 z0
+, Xét hàm số

f (x)

1

x4

x2

20x 101 1

2
x3 16
20x 101 f '(x) x 20 0 x 4
4
16
2
x 4 f (x) f (4) 45
x4

x2

Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại

Dấu = xảy ra khi
z1 4 4i
và z2 là giao điểm của IM và
đường tròn (C) (với M là điểm biểu diễn số phức z1 )
z 3 4i
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn
5
. Gọi M, m lần lượt là
z
2
i
. Mô đun của
số phức
GTLN, GTNN của biểu thức P
w M mi là?
A. 3 137
B. 1258

C. 2 309
D. 2 314
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi (x; y
R) .
z1 z 2

3

5

1.

2

2

12


+, z

3 4i

z max
y

(x

(y

4)2

5

OI R 3
5 cos t

4

5 sin t

x 3

+, P

3)2

OI R 7

z min
+, Đặt

5

z 2

2

i

+, Xét hàm số

(t0;

2

4x 2 y 3 4

f (t) 4

5

sin t 2

5 sin t 2

5

cos t 23

5 cost 23 (t 0; ) .

Ta tìm được

Max f (t) 33
min f (t) 13

. Chọn B
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học

* Phương pháp
+, Gọi số phức z x yi (x; y
R) .
+, Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x và y. Nhận
biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các phương trình này để biểu
diễn nó trên mặt phẳng tọa độ
+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max, min.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất,
nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
w

1258


O

3

M”
I
-4
M’
+,

z

3

4i

2

(x

3)2

(y

4)2

4

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
Phương trình đường thẳng OI: 4x 3y 0 +,

I (3; 4); R 2

+,

+, Tọa độ các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là nghiệm hệ
(x
4x

3) 2
3y

(y

4) 2

4

0

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z
Hướng dẫn:

2i

z

3

i

. Tìm GTNN của z

3

2i

.I
M

13


z

x yi (x; y

R)

+, Gọi số phức
có điểm biểu diễn là M
+, z 2i
z 3 i
3x
y 3
0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x y 3 0
+, Đặt R z 3 2i (x
3)2
( y 2)2
R2
(x 3)2
( y 2)2 (C)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
Suy ra M là giao điểm của d và (C)

M ( 3;2)
0

, bán kính R

R M 0 M d(M 0 , d)

+,

z 3 2i

đạt giá trị nhỏ nhất bằng d(M

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
của z 2 3i
là
A. 5 5
B. 2 5
Hướng dẫn:

0

10

z 1 i

C. 6

4

, d)

z 1 3i

2 10
5
6

5

D.

5

. Giá trị lớn nhất

4 5

+, Gọi số phức z x yi (x; y
R) .
+, z 1 i
z 1 3i
6 5
(x
1)2
( y 1)2 (x
1)2
( y 3)2
6 5
Đặt M (x; y) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức 1 i ; B( 1; 3) biểu diễn
số phức 1 3i . Ta có MA MB 6 5
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6 5 và A, B là hai tiêu
điểm
(x 2)2 ( y 3)2
+, z 2 3i
MC với C(2;3) biểu diễn số phức 2 3i
+, AB( 2; 4) AB 2 5 ; AC(1;2) AC 5
Ta có AB

2AC
AB 2AC
+, Gọi M’ là điểm trên elip sao cho A, B, M’ thẳng hàng và M’ khác phía A
6 5 AB
so với B. Khi đó BM '
25
2

Ta thấy MC M 'C với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó MC lớn nhất khi và
chỉ khi M trùng M’. Suy ra MC M'C CA AB BM' 5
. Chọn A
Ví dụ 4 : Cho các số phức z1 ; z2 thỏa mãn
giá trị lớn nhất của biểu thức T 3iz1 2z2
A. 554 5
B. 558 2
C.
Hướng dẫn:

5
z1

5 3i

322 1

3;

iz2 4 2i

D.

2.
554

Tìm
13

14


+, z1

5 3i

3

+, iz2

4 2i

2

3iz1 15i 9
i
3i

3

3iz1 9 15i

2z2 4 8i 2

9
4

2z2 4 8i

2

+, Gọi A, B là điểm biểu diễn của 3iz1 và 2z2 , khi đó A, B lần lượt thuộc các
O(9;15)

I (4; 8)

đường tròn tâm
bán kính bằng 9 và đường tròn tâm
bán kính
bằng 4. Ta tính được OI 554 T 3iz1 2z2 3iz1 ( 2z2 ) AB Do IO 554 4 9 nên hai đường tròn
ngoài nhau. Suy ra ABmax AO OI IB 554 13. Chọn D
z 2 3i

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
và GTNN của z 1 2i
A. 30
B. 30 5
34
34

z 5 2i

C.

34

. Tìm tổng GTLN
D.

34 6

34

30 6
34

Hướng dẫn:

+, Gọi số phức

z

x yi (x; y

R)

có điểm biểu diễn là

A(2;3); B(5; 2) ;C( 1; 2)

+, Từ giả thiết ta có
phức 2 3i ;5 2i ; 1 2i . Ta có AB

+, Theo giả thiết thì AI BI
5x 3y 19
Phương trình AB:
+, CImin
CI

34 ; z 1 2i CI

0

34 AB

lần lượt là điểm biểu diễn các số

I thuộc đoạn thẳng AB.

30

d(C; AB)

34

khi I trùng với điểm đầu mút của đoạn AB
34 ;CB 6 CI
Do CA
6 . Chọn D
Ví dụ 6: Cho các số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện
+,

I (x; y)

max

max

z 1z
2

2

A.

4

2i
2

. Tìm GTNN của biểu thức

3

B.

4 2
3

P z

1

C.

z

2

4 3

z

1

z1

3

i

z

z1

1

i;

3

2

D.

4 2

Hướng dẫn:

1
5


+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức
z1

+,

a bi; z2 c di (a,b,c, d R)
z1 i

2a 4b 1 0 .

z1 1 i

Suy

ra M di động trên đường thẳng

d1 : 2x 4y 1 0

+,

z2 1

z2 2i

2c 4d 3 0 .

Suy

3

(a

ra N di động trên đường thẳng

d 2 : 2x 4y 3 0

+, P

z1

z2

z1

z2

3

c)2

(b

d)2

3)2

(a

b2

(c

3)2

d2

MN MA NA; A(3;0)

+, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường
thẳng d2 . Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4
điểm M , N, A1 , A2 thẳng hàng.
+, Gọi 1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1 , phương trình
5
H1
A1 (2;2)
1 d1
1 : 2x y 6 0 , H1
;1
2

Gọi
2

2

là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d2 , phương trình

: 2x y 6 0 ,

H

219618

d

22 2

H

2

10

;

5

A ( ;
)
2 5

5

4 2 . Chọn D
Vậy Pmin A1 A2
Ví dụ 7 : Cho z1 ; z2
là hai số phức thỏa mãn hệ thức
z 2 z
z1 z 2
1 . Tìm GTNN của biểu thức P
A. -10
B. -5
C. -3
D. 2
Hướng dẫn:

z 3 4i

2

và

2

1

+, Gọi số phức z
z 3 4i 2 (x 3)2 ( y 4)2 4

x

yi (x; y

2

R)

. Gọi M, N lần Ilượt
(3;4);là
R 2điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 ,

khi đó M, N thuộc đường tròn tâm

và MN 1

16


+, P

z1

2

z2

2NM .OJ (với

2

OM 2 ON2

(OM ON)(OM ON) NM(OM ON)

J là trung điểm MN)

2NM (OI IJ ) 2NM .OI (MN IJ ) 2MN.OI.cos(NM ,OI) 2MN.OI.( 1)

Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
2
2
z 4 i
3 z 2i
biết P z 2 2i
A. 7 2
B. 2 7
Hướng dẫn:
2

+, Gọi số phức z
z 4 3i

x yi (x; y R)

5 (x 4)2 ( y 3)2 25 .

. Tìm môđun của số phức z
đạt GTLN.
C. 6
D. 5

z 4 3i
2

10

5

Tập hợp điểm

M (x; y)

I (4;3); R 5

phức z là đường tròn tâm
+, Với A( 2;2); B(4; 1);C(0; 2) P MA2 2MB2
+, Gọi H (x; y) thỏa mãn HA 2HB 3HC
+, P MH HA2 2MH HB2 3MH HC2
6MH 2 HA2 2HB2 3HC2

biểu diễn số

3MC2
0

H (1; 1)

2MH HA 2HB 3HC 6MH 2 HA2 2HB2 3HC2

Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn nhất khi MH lớn nhất. Suy ra M,

HM IM
I, H thẳng hàng HM
IM

Ta có
Chọn A
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn
2
z 8i
nhất P z 7 9i
A. z 5 2i
B. z 1 6i
Hướng dẫn:
HI 5HM HI MI 10HM 2IM

+, Gọi số phức z

x

yi (x; y

z 1 i

5

x 1 2( x 4)

x 7

y 1 2( y 3)

y 7

và biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
C. z

3 i

D. z

4 5i

R)

17


5 (x 1)2

z 1 i

( y 1)2 25 .

I (1;1) ; R 5

đường tròn tâm
+, Xét các điểm A(7;9); B(0;8)

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là

IA 10 2IM

1

Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK

4

IA K

+, Do IM

IK
1 , góc MIK chung IKM
IA IM 2
MK
IK 1
MA IM
2 MA 2MK

+, P
Pmin

z 7 9i

5

5

2

z 8i

5
2

;3

đồng dạng với IMA

MA 2MB 2(MK MB) 2BK 5

M BK (C) ,

M nằm giữa B và K

5

5

0 x

2

+, Phương trình đường thẳng BK : 2x y 8 0
Ta tìm được M (1;6) . Chọn B
Ví dụ 10: Cho số phức
z x yi (x; y R) thỏa mãn
y2
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của P x

A. 156 20 10
B. 60 20
C.
10
2

5

z

i 2

2 3i

8x 6 y .

Tính M

156
5

20 10

5

.

m

D.

60 210

Hướng dẫn:

+, z

2 3i
y 2

( x2) 2

( y

1)

i

2

5

2)2

(x

(y

3)2

2)2

(x

(y

1)2

5

0

2x
25

2

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền phẳng (T) được tô đậm (hình vẽ).
A(2; 6) ; B( 2;2)
+, Gọi 2
là các giao điểm của đường thẳng 2x y 2 0 và đường tròn
2
(C') : (x 2) ( y 1) 25
Ta có P x2 y2 8x 6y

(x

4)2

(y

3)2

P 25

Gọi (C) là đường tròn tâm J ( 4; 3); R P 25 +,
Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:
JK

R

JA

IJ

IK

R

IA

2 10

5

25

P

3 5

40

20 10

P

20

M 20; m 40 20 10 .

Chọn B
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai

18


* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi (x; y R)
+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)
+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y
(2)
+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y)
trong đó P là tham số
+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i
1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN,
1 i
. Tính giá trị biểu thức M 2 m2

GTNN của z
2
2
A. M m 20
B. M 2 m2 26 C. M 2 m2 28
D. M 2 m2 2
Hướng dẫn:
(x; y R)
+, Gọi z x yi
2
z 2 3i
1 (x 2) ( y 3)2 1 (1)
(x 1) ( y 1)
+, Đặt P z 1 i
P (P 0) (2)
2
Lấy (1) trừ (2) ta được y P 6x 10 thay vào (1) ta được:
2

2

2

4
52x2 (40 12P2 )x P4 4P2

52 0

+, Để phương trình trên có nghiệm thì
14 2 13 P

m

4.52(P4 4P2 52) 0

(40 12P2 )2

14 2 13

14 2 13 ; M

14 2 13

M2

m2

28

Chọn C
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i
5 . Gọi M, m lần lượt là
GTLN,
i
GTNN của biểu thức P z 2
. Tính mô đun của số phức wM mi
A. w
B. w
C. w 2
D. w
128

1558
314
1258
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi (x; y R)
z 3 4i
( y 4)2
5
5 (1)
(x 3)2
P
z 2
i 2
+,
4a 2b 3 (2)
+, Từ (1) và (2) ta có:
2

2

2

20x2

(64

8P)x

P2

22P

137

Phương trình có nghiệm khi '
w 33 13i w

0

4P2

184P 1716

Chọn D
Ví dụ 3 : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 1
m là tham số (m R) . Giá trị của m để ta luôn có
m 3
m 7
C. 3 m 7
A.
B.
m 7

0

13

P

33

1258

Hướng dẫn:
+, z1 z2 m i
+, Gọi z2 x yi

z1 3 2i
5
z2 2

và z2
là?
D. 3 m 7

z1 m i

,

m3

z2 m 1 i

(x; y R) . Ta

z2 m 3 3i

có

(x m 1) ( y 1)i

(x m 3) ( y 3)i

19


(x m 1)2 ( y 1)2
2

2

(x m 3)2 ( y 3)2

2

+, z2 x
Để z2 2

y

x

2

(2x 2m 4)

y 2x 2m 4
2

5x

5(4m2

16m 4) 0

m 7
m 3

Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức

z x yi (x; y R)

môđun z lớn nhất. Tính
A. 2
B. 1
Hướng dẫn:
t 1
+, Đặt t z 3 4i

x y

+, x

z

y
4

6x 8y x2

2

y2
2

100 z

C. 2

2

x

x

2

x

z 3 4i

1

1

z 3 4i

3

2

và

y2 6x 8y

2

6x 8y 2 100 x2 y2

0 0 z 2100 0

z 10

z

4

z

max

100 z

2

10

y8
100

y2

y

3

D. 1

z 3 4i 5 x2

1t 5

2

y
Với

thỏa mãn

?

3t 3

2

8(2 m)x 4m2 16m 16

8(2 m)x 4m2 16m 4 0 x

5 5x2

' 0 16(2 m)2

2

x6

2

6 x8 y
8

6

Chọn C
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa.
* Phương pháp 1
R)
+ Gọi z x yi (x; y
+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài
toán về phương trình theo x, y + Quan
sát phương trình giả thiết và đặt x f (sin t )
y

g (cos t )

+ Chuyển yêu cầu bài toán về biểu thức theo lượng giác và biện luận max,
min
Chú ý

+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường tròn x a 2
y b2
R2 thì đặt
x

a

R sin t

+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường

elip x2
a

xa sin t
yb cos t

+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip

* Phương pháp 2

2

(x x )2 (y y
0

a
xx0a sin t
yy0b cos t

y2 1
b2

2

b2

0

)2

thì đặt

1

thì đặt

z r(cos x i sin x)

+ Gọi số phức dạng lượng giác
+ Chuyển giả thiết và yêu cầu bái toán về cosx và sinx để biện luận max, min

theo lượng giác
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z
i
z 2
GTNN của biểu thức P
A. -3
B. -2

Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi (x; y
R)

. Gọi M, m lần lượt là GTLN,
. Tính M+m.
C. 5
D. 10

2 3i

2

2

5

20


+, z
+,P

2
5 x 2

2 3i
2

i

Đặt y 3

y 32

2

z 2

5

4x 2 y 3

5 cost

5 sint

x 2

2

(t R) P 4 5 sint 2 5 cost 1

4 5 sin t 2 5 cost 24 5 2

(P 1)

2 52

sin 2 t cos2 t 100

10 P 1 1011 P 9 M 9; m 11 M m 2 . Chọn B
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z 2)i 1
lượt là GTLN, GTNN của z . Tính M m
A. 2
B. 4
C. 2
Hướng dẫn:
(x; y R)
+, Gọi z x yi
(z 2)i 1

(z

+, Gọi

2)i 1

10

z ( 2 i)

(z 2)i 1

10

. Gọi M, m lần

D. 21

21

z (2 i)

10

M, N

là điểm biểu
diễn các số
phức z
và
A( 2;1) ; B(2; 1) ;C(2;1) . Ta thấy MC NB
1
X2 Y2
+, Từ giả thiết có MA MC 10 . Quỹ tích điểm M là elip (E):

z

;

25 21

(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)
+, Áp dụng công thức đổi trục

Y y 1

(E) :

21

25

X x

+,Đặt

(t 0;2 )

y 1 21cost

OM

x 5sint

4cos2 t
4a2

2

x
2

x2

1

(y 1)

2

y
2

2

2 21cost
26
2 21a 26 (với a
hàm số f (a)
4a2

cos t ; a
1;1 )
2 21a
26 (a
1;1 )

+, Xét
M 1 21;m
1 21
Chọn A
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của
biểu thức P z 1 z z 1 . Khi đó tích M.m ?
A. 13 3
B. 13 3
C. 3
D. 3 3
2

4

8

Hướng dẫn:
+, z r(cos x i sin x)
Do

.
r

z

z
x2

2

3

8

x yi

1

y2 1

1

P 2 2 cos x

2 cos x 1

2 2t
+, Đặt t cos x (t
1;1 )
P
Sử dụng phương pháp xét hàm ta được

Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức
P

GTNN của biểu thức

2017
2
2017

1

2

2

z1 z2
z
20172

13
; Pmin
4

max

2

z

1 2

A. 2017
B.
Hướng dẫn:
2017(cos2x isin 2x) ; z2
+, Đặt z1

P

1

thỏa mãn điều kiện

z1 ; z2
z z
1

2t

2

13 3

M.m

4

z1

z2 2017 .

Tìm

2

z z
1

3

2

2017

z

1 2

2

1

C. 20172

D. 20172

2017(cos2y isin 2y)
cos2x isin 2x cos2y isin 2y
cos(x y)

20171 cos(2x 2y) isin(2x 2y)

2017cos(x y)

1 2

21


Tương tự

z

20172

2017sin(y x)

1 2

2

cos(x y)

P

sin(y x)

z1 z2

2

cos2 (x y)

x)

2017 cos (x y)

sin( y x)

2017cos(x y)

2017sin( y

1
cos2 (x y) sin2 (x y)
20172

sin 2 ( y x)

2

2

2

2

2017 sin (
y

x)

1
20172

Chọn D
3.3 Bài tập tự luyện
iz

z1 1 i 2; z2
Câu 1: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện
z1 z 2
GTNN của biểu thức P
1
A. 2
B. 2 2
C. 2
D. 2 2 2
Câu 2: Cho z x yi (x; y R)

thỏa mãn điều kiện 4(z z ) 15i i(z
z 1 3i
Tính 4 y x khi biểu thức
đạt GTNN.

1

. Tìm

z

1)2 .

2

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Câu 3: Cho

hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện
z 1 2i
z
5z1 (2 i)(z2 4) . Tìm GTLN của biểu thức P
2

3 5

z1 i

;

5

5 2i

2

13
A. 6 7
B.4 2
C. 2 53
D. 4 13
1 ;
z1 4 5i
z2
; z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện
Câu 4: Cho các số phức
4i
z 8 4i
z1 z2 khi biểu thức P
z z1
z z2
. Tính
đạt GTNN

A. 41
B. 6
C. 2 5
D. 8
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z 2)i 1 (z 2)i 1 10 . Gọi M,
m lần lượt là GTLN, GTNN của z
. Tính tổng M m
A. 9
B. 8
C. 2 21
D. 2 21 1
5
z
5
z2 3 6i
1
Câu 6: Cho
z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện
.
và z2 1 3i
Tìm GTNN của z1 z2

5

5

10

C.
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

A. 2

B. 4

P 2z 1

2

A.4 2

z 1

4i

B. 2

3

Câu 8: Cho
iz

2

A.

1

313 16

z

C.

4

3

hai số phức
4

2i

3 10

D.
2 . Tìm GTNN của biểu thức
14

D.

7

2

15

z1 ; z2

15

thỏa mãn điều kiện

. Tìm GTLN của biểu thức
B. 313

P 2iz

z1

2 và

3i 5

3z
1

2

C.

D.

313 8

313 25

Câu 9: Cho hai
z

z

số phức

2

z1 ; z2

thỏa mãn điều
P z

2

biểu thức P

1

i

2

iz

2

i

1

và

z

. Tìm GTLN của biểu thức
A. 4
B. 2 3
C. 3 2
Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện
2

kiện

2

D. 3
z 1
z 3i

1
2

. Tìm GTLN của

z 4 7i

22