SKKN KHAI THÁC các DẠNG TOÁN về hàm số hợp và hàm số ẩn về TÍNH đơn điệu của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN VỀ
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắc nghiệm vào bài thi
môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.Vì vậy giáo viên và học sinh còn nhiều bỡ
ngỡ với cách dạy học, cách làm bài thi trắc nghiệm.Trong khi đó tài liệu chuyên sâu
về phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm bài thi trắc nghiệm còn rất hạn chế…tuy
nhiên sau hai năm thực hiện thì hầu như việc dạy và việc học đã có phần khởi sắc.
Nhiều quan điểm trước đó rằng thi trắc nghiệm thì không còn cái hay của toán học,
rồi không có tính tư duy logic, không phát huy được khả năng trình bày cũng như
hiểu bản chất của bài toán của học sinh… Do đó, trong công tác giảng dạy,tôi phải
liên tục cập nhật, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng ra đề
mới ...và sau hai năm lĩnh hội và trực tiếp tiếp cận với các phương pháp sao cho phù
hợp với cách ra đề mới đó tôi cảm thấy thi trắc nghiệm môn toán không như mình
cảm nhận lúc đầu. Theo quan điểm cá nhân tôi thấy với cách thi trắc nghiệm một
dạng kiến thức được khai thác rất sâu, thiết kế được rất nhiều dạng bài tập.Đối với
dạng toán về hàm số trước kia thi tự luận thì xoay đi xoay lại chỉ là câu khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, rồi một ý của câu hỏi phụ về một mảng kiến thức
trong rất nhiều kiến thức về hàm mà học sinh được học. Với việc thi trắc nghiệm thì
kiến thức về hàm được khai thác triệt để, mở rộng ra nhiều hướng, và đặc biệt trong
đề thi các mảng kiến thức đều có ít nhất một câu. Tuy nhiên hiện nay SGK chưa cải
cách kịp và người thầy cũng như học sinh đang ít nhiều lúng túng với các dạng toán
về hàm số được mở rộng cho phù hợp với cách ra đề trắc nghiệm như hiện nay, đặc
biệt là các dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN ( một kiến thức mà khi
thi tự luận rất ít dùng tới). Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng của học
sinh, và chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp tôi đã tìm tòi, thực nghiệm và
viết nên đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Giúp học sinh tiếp cận và khai thác triệt để một số dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ
HÀM ẨN ( trong giới hạn đề tài) nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi
THPTQG về phần hàm số cũng như nâng cao hiệu quả làm bài thi. Đề tài này bước
1


đầu xây dựng cho các em phương pháp tiếp cận các dạng toán về hàm số hợp và
hàm số ẩn. Các dạng toán các em tiếp cận kiến thức như: Một phương pháp tư duy
giúp học sinh hiểu rõ bản chất của một số vấn đề như : Cho đồ thị f '( x ) hỏi
khoảng
đơn điệu của hàm số f

f ëé (

u

é

u

x

(

x

ù
) , Cho đồ

)ûù+

biểu thức

để hàm
số

thị f '( x ) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

( ) , Cho bảng biến thiên

g

x

(x)

f
'

f

ëé (

ë

û

hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

x

(

f'

x

ù
)û đồng biến, nghịch biến….

) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f ëé

ëé

ù

x

)û Cho biểu thức f

(

f u

x

)ûù Cho

.

( x m) tìm

m

(
u

.

'

,

u

Về xa hơn, đề tài muốn khơi gợi cho học sinh tình yêu khoa học kỹ thuật, biết
sử dụng các thiết bị công nghệ hiện đại phục vụ đời sống và công tác nghiên cứu
khoa học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là : Các học sinh đang học lớp 12 THPT.
Trong đó đặc biệt là hướng tới các học sinh trung bình khá, khá, giỏi. Tuy nhiên học
sinh khá, giỏi mới là đối tượng phát huy tối đa hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu : Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm
và đúc rút thành kinh nghiệm.

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong thời đại nhân loại đang bước vào thế kỷ 21, thế kỷ mà nền tri thức, kỷ
năng của con người được xem là yếu tố quyết định của sự phát triển xã hội. Chính
vì vậy trong xã hội này chúng ta cần tạo ra những con người có trí thông minh, trí
tuệ phát triển, sáng tạo và giàu tính nhân văn. cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ
4, con người cần phải không ngừng thích ứng với tình hình mới nhằm chiếm lĩnh
các kiến thức KHKT tiên tiến, hiện đại. Vì vậy giáo dục cần tạo ra sản phẩm là
những con người năng động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,…Trong lộ
trình cải cách toàn diện nền giáo dục nước nhà, việc đổi mới khâu tổ chức các kỳ
thi, trong đó có việc chuyển từ hình thức làm bài tự luận sang hình thức làm bài trắc
nghiệm là một khâu rất quan trọng vì nó giúp chúng ta đánh giá được học sinh trên
diện rộng một cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng và chính xác.
Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi môn toán
được ra bằng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Theo cấu trúc thì một đề thi có 50


2


cõu vi thi gian 90 phỳt, trung bỡnh l 1,8 phỳt/1 cõu. Nh vy, hc sinh ngoi vic
phi nm vng cỏc kin thc c bn, cỏc phng phỏp gii toỏn thỡ mt iu rt
quan trng l k nng lm bi, k nng nm tt cỏc dng toỏn trong cu trỳc thi,
c bit l cỏc dng toỏn mi, l m trc kia cha c khai thỏc.

2.2. Thc trng vn trc khi ỏp dng sỏng kin kinh nghim.
Trong thc tin ging dy, tụi thy nhiu em hc sinh vn cũn lỳng tỳng vi
cỏc dng toỏn ny, vỡ 2 nm hc trc ớt c va chm vi cỏc dng toỏn ny, ngay
c vi cỏc thy cụ ang trc tip ng lp. Do ú khi gp cũn lỳng tỳng, cha cú
cỏch nhỡn bi toỏn dng quen thuc. Cỏc em cha bit kt hp mt cỏch linh hot
cỏc phng phỏp gii toỏn, dn n tc lm bi cha cao. Qua vic nghiờn cu
chuyờn tụi thy cỏc em nờn c tip cn chuyờn ngay t khi hc chng o

hm ( SGK 11), tuy nhiờn nghiờn cu sõu v y dng thỡ phi n u lp 12

NI DUNG C TH
Phn 1. S ng bin, nghch bin ca hm s
1.

Cho th f ' ( x ). Hi khong n iu ca hm s f ộu ( x )ự.

f (x)

2. Cho th

'

f ởộ (

u

3.

Cho bng bin thiờn f ' ( x ). Hi khong n iu ca hm s f ộu ( x )ự.

4.

Cho biu thc f ' ( x ). Hi khong n iu ca hm s f

ộ

u

(

x

f
'

( x m)

,

.

Tỡm

m

)ỷự+

x

(

g

x)
ở

ự
) .

5. Cho biu thc

ỷ

ở

. Hi khong n iu ca hm s

hm s f ởộ (

u

x

)ỷ ự

ở

ỷ

ỷ

ng bin, nghch bin.

S ng bin, nghch bin ca hm s

f

Vn 1. Cho th

Cõu 1. Cho hm s y

=

f ( x ).

(x)

'

.

Hi khong n iu ca hm s

th hm s y

nh hỡnh bờn. Khng nh no sau õy sai ?
A. Hm s

(

f x

) ng bin trờn (

f ởộ (

= Â

f (x )

)

-2;1.

B. Hm s f ( x ng bin trờn (1;

+Ơ

)

)

C. Hm s

f(x

)
f(x
)

nghch bin trờn on cú di

-Ơ bng 2 .
nghch bin trờn ( ; 2 ) .
D. Hm s
Li gii. Da vo th ca hm s y = f '( x ) ta thy:

ux .

)ỷự


3




( )>
f'

x

ộ- 2 < x <1 ắắđ

0

x

khi ờ

ờ

1

>

ở

)

(

ng bin trờn cỏc khong (- ) , ( 1;

f x

+Ơ).

2;1

Suy ra A ỳng, B ỳng.
f ' ( x ) <0 khi x <- 2 ắắđ f ( x ) nghch bin trờn khong (- Ơ ; - 2) . Suy ra D
ỳng. Dựng phng phỏp loi tr, ta chn C.
NX: õy l bi toỏn rt c bn dng nhỡn th c du, tuy nhiờn nhiu em hc
sinh cũn hay b lỳng tỳng v nhm ln.
Cõu 2. Cho hm s

y

=

f ( x ).

th hm s y

= Â
f (x ) nh

hỡnh bờn di

Hm s g ( x ) = f ( 3 - 2x ) nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( 0; ) .
B. 1;3 .
C. ( -Ơ;-1.
D. ( - 1;+Ơ ) .
2

(

)

)

f Âx

Li gii. Da vo th, suy ra

>0 ờ
x

()

ờ

)

Xột

g

Âx
(

2 ộ1 x 5
ộ2 3 2
x
- < <
ờ< <

)
<0



f

Â3 (

2x

>0

ờ

3

-

ờ

ở

Vy

g x)

5

ở>

Ta cú g Â( x ) =- 2 f Â(3 - 2 x
).

ộ- 2 < x .
<2

2.

2

2

ờ

x>5

ờ

ờx

ở

nghch bin trờn cỏc khong

ỗ

(

<- 1

ổ1 ; 5 ử

ố2 2ứ

(

-Ơ;-1.

ộ
3 - 2 x =- 2
ờ 2
2
ộ

Cỏch 2.

Ta cú

gÂx
(

) = 0 f Â3 - 2 x

(

)

theo do thi f x )
'(

Chn C.

)

ữ v

3

=0ơắắắắđ ờ ờ

x=

ờ- 2 x =
5

3

ở

ờx =

ờ
ờ

5
2
1

ờ

.

x=
ờ

ờ
ờ

2

ờx =- 1
ờ

ờở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.

4


ổ

Chỳ ý: Du ca g Â(x ) c xỏc nh nh sau: Vớ d ta chn
3- 2x = 3 ắắắ ắ ắđ f Â( 3- 2x ) = f Â(3)
Khi ú g Â( 0) =- f Â(3) > 0.

x = 0 ẻ ỗ- 1;

ố

1ử

ữ,

suy ra

2ứ

<0.
theo do thi f '( x )

Nhn thy cỏc nghim ca g Â(x ) l nghim n nờn qua nghim i du.

Cõu 3. Cho hm s y

= f (1 - 2x

Hm s g ( x
)

A.

(

=

(

B.

)

th hm s y

= Â
f (x ) nh

hỡnh bờn di

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

)

- 1; .
0

f ( x ).

)

C. (

)

-Ơ;0 .

Li gii. Da vo th, suy ra

fÂ
x

D. (

0;1 .

)

.

.

ộx <- 1

)

1;+Ơ

<0 ờ

ờ< x < 2

(

ở

1

ộx >1

Ta cú g Â( x ) =- 2 f Â(1 - 2 x
).
Xột

g x
Â

()

>

0

f 1 2x
(
Â-

)

<

0

ộ ờ
ờ

1

ở
1

Vy g ( x )

2

x <-

< 1

ng bin trờn cỏc khong

x
2

<

.

ờ

1

ờ1
ờ

2

ờ 2

x

<

<

0

ổ1 ở ử
- ;0ữ v (1; +Ơ ). Chn D.
ứ
ố 2
ỗ

ộ1 ()

Cỏch 2. Ta cú g Â( x ) = 0 - 2 f Â(1 - 2 x ) = 0 ơắ

theo

ắ

do thi

f

ờ

ờ1-

'x

ắ ắđ ờờ1

ờ

ờ

ộx =1
ờ

2x = - 1
2x = 1
2x = 2

ờ
x=0

ờ

ờ

x

ờ=-ờ

1 2x = 4( nghiem
ờở kep)

ờ
ờ

ờx

Bng bin thiờn

1.

2
3
2

ờ

=- ở

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D.
Chỳ ý: Du ca

1- 2x =- 3 ắắắ ắ ắđ f Â(1- 2x ) = f Â(- 3) < 0.

Â

g (x )

theo do thi f '( x )

c xỏc nh nh sau: Vớ d chn
Khi ú g Â( 2) =- 2 f Â(- 3) > 0.

1

x

=

2

ẻ

(1;

+Ơ

) , suy ra

Â

Nhn thy cỏc nghim x =- 2 ; x = 0 v x =1 ca g (x ) l cỏc nghim n nờn qua

3

nghim i du; nghim x =- 2 l nghim kộp nờn qua nghim khụng i du.


5


y=f(x

y = f Â(x

Cõu 4. Cho hm s ).
g(x)

=

+

f (2

-Ơ

A. (

e

th hm s )

) nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau õy ?

x

).

B. (

;0

+Ơ
0
;

C. (

).

(+ )

( )= e
g Âx

.f Â2

x

e

f
Âx

; g Âx

f Â2

).
- 2;1

ộx = 0 .

)

=0 ờ

(

()=0

x

D. (

).
- 1;3

Li gii. Da vo th, ta cú
Xột

nh hỡnh bờn di. Hm s

ờ =
3
ộ e
x
) = 0 ơắắắắđ 2 + x = 0 x = 0.
x
ở

(

+
e

x

ờ
ờ

theo do thi f ' ( x )

ờ2 +
ở

e

=3

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn, suy ra hm s g ( x ) nghch bin trờn (- Ơ ;0). Chn

A. Cõu 5. Cho hm s y

Hm s g ( x ) = 2

f

( -

3 2 x

=

f ( x ).

th hm s y

= Â
f (x ) nh

hỡnh bờn di

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

)

A.

ổ
ỗ
-Ơ;-

ố

1
B. ổ
ỗ

1ử
ữ
2ứ

ử
ữ
2
ố
ứ

.

f
Âx

)

<0 ờ

2.

Xột

gÂx
(

)

> 0 f Â3-2
x
(

)

ộ<0 ờ
3

ở

ỡx >
2

x <- 1

2

.

ờ< x <4
1

.ln

ù
ớ

1

)
-Ơ;1.

ộx <- 1
(

f ( 3- 2 x )

D. (

1;2 .

Li gii. Da vo th, suy ra
Ta cú g Â( x ) =- 2 f Â(3- 2x ) .2

)

C. (
;1 .

-

.

ờ<

1

ở

Vy g ( x
)

ng bin trờn cỏc khong

3- 2

x

<4

ù

ù-

ổ 1 ợử
- ;1ữ,
ỗ

ố2

ứ
6

2

< x <1

( 2;+Ơ ). Chn B.


x =-

ộ-

Cỏch 2. Ta cú

gÂ
x

= fÂ

2

3

- x

ộx = 2

1

ờ

= ơắắắắđờ- x = ờ

=2

()

(

theo do thi f '( x )

)

0

3 2

0

ờ

ờ

ờ - 2x = 1
3
3

2

4

x

.

1

ờ

ở

ờ

x

ở

=

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Cõu 6. Cho hm s y

Hm s g ( x

= f ( 3- x

)

=

f ( x ).

= Â
f (x ) nh

hỡnh bờn di

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

)

B. (

A. ( -Ơ;-1.

th hm s y

-) .
1;2

C. ( 2;

)

.

(

D.

3

4; ) .
7

)

f Âx >

Li gii. Da vo th, suy ra
x

Vi

3

g(x ) = f

khi ú

>

ộ- 1 < x <1

0ờ
x

()

ờ

ở

>

4

v

3 x

(

(

)

Vi

1

(

3

1

= f ( 3 - x ắắđ g Â( x

khi ú g ( x
)

ộ - x <ờ
3
4
1< - x <

x

ộ>
ờ

4

)
( loaùi)

ờ

ờ

ở

ở

s g ( x

)

0ờ

ờ

x

ờ

-

3

>

4

=- f Â( 3 - x ) > 0 f Â(3 - x )
<0

- 1 < x <2

ng bin trờn khong (- 1;2). Chn B.

)

Cõu 7. Cho hm s y

=

f(x

th hm s y

= Â

f (x )

).

nh hỡnh bờn. Hi hm s g ( x ) = f ( x ng bin trờn
)
khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( -Ơ;-1.
B. ( - 1;+Ơ ) .
.
C. ( D. ( 0;1
2

)

)

1;0

.

)

.

ộx <- 1

ờ

s g ( x ) ng bin trờn cỏc khong ( 3; 4 ) , (7; +Ơ

x <3

ắắđ hm

0

<

x

<

4

ộ- 1 < x - 3 < ộ2 < x <
1 4
ở

ắắđ hm
).

)<

ở

( x - ắắđ g  ) = f Âx - 3 >
)

f
Âx

ờ
ờ

x

ở

>

7


Lời giải. Ta có g ¢(x ) = 2xf ¢(x ).
2

7


ộx > 0
ỡ
ờù
ớờ

ỡ

Âx

ùf

Hm s

(

g

x

) ng

 )

bin

g

>

x

0

ộx > 0

(

ợù
ờ

ờ

ù

2

>

< 0

ờ

ỡ
x

ớ
ờ

)

0

()

theo do thi f ' x

ơắắắắđ

ờ



< <

ờ

-

0.

(

ờớ

2

Âx

ù

ờ

)

>1

2

ớ

ởợù

<0

1

<-

ờx



0


2
<

1

ởợ

Chn C.

ộx = 0

ở
ộ

=
ờ

ờ

0

ờ 2 =-

x

x

Cỏch 2.

2
<0 x

ỡx< 0
ù

ù

ộx >1
ờ1 x

-1
ờợù
ù

ờ

ờ
ùf

2

ờ

Ta cú

gÂx

=0

()

x2

ơắắắắđ
theo do thi f '(
x)

ờf

ờÂ

ở

)=

(

1

ờ2

0

ờ

x

=

ờ

0

ờ2 =
x

x

ờ

ở

0

ờ
x

1

ờ

=

ở

.

1

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Chỳ ý: Du ca g Â(x ) c xỏc nh nh sau: Vớ d xột trờn khong (1;+Ơ )
1
x ( 1;+Ơ ) đ x > 0.
ẻ

2

x ẻ (1;+Ơ ) đ x >1 .



1

T

Vi x

v ( 2) , suy ra g Âx ) =

2

theo do thi '( x )
f

(

x

>0

)

2

)

)

(

( 2)

>0.

x

>1 ắắắắắđ f Â(

2xf

()

2

trờn khong ( 1;+Ơ ) nờn

gÂ
x

(

)

mang du + .

(

Nhn thy cỏc nghim ca g Â(x l nghim bi l nờn qua nghim i du.
)

Cõu 8. Cho hm s y

=

th hm s y

f(x

).
g(x =f(x2

nh hỡnh bờn. Hi hm s

= Â
f (x
)

ng bin

)

)
trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( -Ơ;-2 ) .
B. ( -2;-1.
C. (- 1;0).
D. (1;2).

ộx > 0
Li gii. Ta cú g Â(x ) = 2xf ( x
).
)

2

ỡ

ộx > 0

ờù
ớ

ù

ờ

ỡ

f

ù

ờ
g

Hm s

( ) ng bin

x


(

ỡ

g

Â

x

)

>

0

Âx

2

) >

(

ợù

ờ

ờ

ớ

ờ

x <

0ỡ

ờớ Âx

2

0

theo do thi f
'x

ơắắắắđ

ùf

(

ờ
ù

ộ0 < x <1 x > 2 ở
ợ
. Chn B.
ờ2 x
1
ờ

-

<

<-

)

2
-1
ù
ờùợ

ờ

<1 x

2

>4

x< 0
ù

ờ

ù

(

ờ

)

<0ờù

ờ
ớ

ởợù

x 2 <- 1 1 < x < 4
2


éx = 0

ë

2

ê

0

x
é

Cách 2. Ta có

ê

f

ë

g¢

x

()

=

0

ê

Û ê

=

2

¢
(x

theo do thi f '( x ) xê

) = 0 êx

¬¾¾¾¾®

x
ê

ë
8

ê

x

=0

é

=-

ê

2

ê

2 êx

1

=1
=

4ë

ê

x

Û ê =±

ê

1.

2
=±


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g ¢(x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ )
( 1
 x Î ( 2;+¥ ) ® x > 0.
2 ) >0.
do thi f '( x )
( 2)
 x Î ( 2; +¥ ) ® > 4 . Với x > 4 ¾¾¾theo¾ ¾®
f ¢(
x
)

2

1

x
2
( , suy
)

và

2

ra

Từ()

g
¢x

(x

2
xf

)=
(

2

)

> 0 trên

2;+¥ )

khoảng (

nên

g
¢x

)

mang dấu + .

(

Nhận thấy các nghiệm của g ¢(x là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
)

Câu 9. Cho hàm số y

=

Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) như hình bên dưới

f(x

).

= f( x

Hàm số g ( x
)

A.

(

-¥;- 1

3

)

) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

¢( x

)=0

Û

é 2 =0
ê

x

êf ¢
(x

)=

2

f ¢(x

2

0

1 +¥
;

)

.

¬¾¾¾¾®ê
ê

ê

x

ë

Ûê
é

x

3

ê3

x =0
ê =±

=

D.( )

0;1 .

é

x =
ê
ê3 = 0
êx =- 1

ê

ë

(

0

3

x

theo do thi f '( x )

3

C.

-1;1.

.

Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 3 x
);
g

)

B. (

.

1

1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.


9


=

Đồ thị hàm số

Câu 10. Cho hàm số y f ( x ).
y=f¢
như hình bên. Đặt

(x2-2
).

g(x)=f

(x )

Mệnh đề nào dưới đây sai ?
g(x
A. Hàm số
đồng biến trên khoảng
)

(2;+¥ ).

g(x

)

B. Hàm số

g(x

(0;2)
.

nghịch biến trên khoảng

)

C. Hàm số

(- 1;0).

nghịch biến trên khoảng

g(x

)

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

(- ¥ ;- 2).

Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢(x

2

-2

)

;

é =

g¢
x
(

)

=

0

é

x

Û

ë

x

2

ê

)

¬¾ ¾¾ ¾® x -

¢(x - 2) = 0

f

ê

0

é

2

theo do thi f '( x ê
2

ê

x

ê

0

=

ê

ê

=-

(

ê

2

êx

1 nghiem
kep

=

0
1.

x
)

Ûê=±

ê = ±2

- 2= 2

êx

ë

ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 11. Cho hàm số y

=

f ( x ).

= ¢

Đồ thị hàm số y

f (x )

như hình bên dưới

Hỏi hàm số g ( x ) = f x - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
(
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
2
éx
=
é=
¢
Lời giải. Ta có g ( x ) = 2xf ¢(x 5);
2

g¢
x
()

x

0

ê

2

=0Û

ê

é=

ê

0

ê

x
ê
x

ê 2 - 5=- 4

ê
¬¾¾¾¾® 2
-

(

f ¢x

ë

theo do thi f '( x

)=
5

)
0

-

=-

5

ê2 - =
ê
x

ë

Bảng biến thiên

ê

x

ê

5

1
2

.

Ûê

ê

x

0
1

ê=±

ê = ±2

x

ê= ±
ê
x

ë

7


10


Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
=

= Â

Cõu 12. Cho hm s y f ( x ). th hm s y f (x )
nh hỡnh bờn. Hi hm s g ( x ) = f (1- x ) nghch
bin
trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. (1;2) ) .
B. (0;+Ơ ) .
.
2

C. (

D. (

- 2;- 1

).

- 1;1

ộỡờù
ớ

ùf
ờ

Li gii. Ta cú

)

(
gÂx

=- 2 xf

Â1

2 ) Hm s
-x
.

(

g

( x ) nghch bin

()

g Âx

ờ

<0

ợù

ờ

ờỡ

ờ

ù

ờớ

ùf
ờ

ù

ùỡ - 2 x >

Trng hp 1:

ỡx<
0ù

0

0
ù

ớ

f Â1

x

ù 1



Trng hp 2:

Cỏch 2. Ta cú

ù
ớ
ù

ợù

f Â1

(-

g )= 0

Âx
(

x

2

)>

1

ớ

2
ợù ( - ) <
ỡ - 2x <0

f

ờ

0

(

ờ Â 1ở

2

<ỡx >

0

0

ờ

2 : vo
nghiem

ùợ

ớùù 1
ợù

-

ộ=
x

x

x

x

2

ởợ

1

.

<

1 x

2 x > 0.

2

Chn B.

>
ộx =
0
ơắắắắđ 1- x
=1 x = 0.
<

-

ờ

2

)= 0

theo do thi f '( x )

ờ

ờ

ờ

2

2

=2

ờ1- x
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Â
= ẻ
+Ơ
Chỳ ý: Du ca g (x c xỏc nh nh sau: Vớ d chn x 1 ( 0; ).
)



1

x = 1 ắắđ- 2 x <

()

0.



x =1 đ 1- x 2 = 0 ắắđ f Â(1- x

2

) = f Â(0) ắắắắắđtheodothif'(x) f Â(0) = 2 > 0. ( 2)

T (1) v ( 2) , suy ra g Â(1) <0 trờn khong ( 0;+Ơ ).

Nhn
thy
nghi
m ca
g Â(x )

l
nghi
m n
nờn
qua
nghi
m i
du.
=0

.

2x>0

2 x <0

¢(1 - x 2 ) < 0

¢(1 - x 2 ) >
0

11


Câu 13. Cho hàm số y

=

= ¢

Đồ thị hàm số y

f(x

).

f (x

)

g ( x = f (3- x 2 ) đồng

như hình bên. Hỏi hàm số

trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B. (
- 2;
C. ( 2;3 .
D. ( A. (

biến

)

)

)

)

1.

-)
1;0 .

0
;
1

éì

.
x>0
2

êï
í

2 êê
ï

Lời giải. Ta có g ¢( x ) =- 2 xf ¢(3 - ). Hàm số g ( x đồng biến

îï

'

3-x

Ûg'(x)0Û ê
>

)

x

f

(

)

<0

)

>0

x>0

ê
ì

ê
ï

(

ê
í

f

ê
ï

3 -2
x

'

ï

éì

>
0

x

ï

êï

êï

ê

ê

ï

Theo đồ thị

y=f'x
(

ê

îï

êï
í

êï

2
<3 - x <2

êï

îï
ê

Ûê

0

x<

ì

ê

é 6

í

-

ê

ê
ï

3

<

ê

ê

ï

ê

ë

ï

ï

-

3

-

ê

é x

x<

ì

1ê
ï

x

2ê

<-

ê

í

>-

x

ï

2

ê
ï

ë
î
é

ê

-

9ê
<

é

ê
ë

3

x

-

<

ë

ê

1 < x <2

<

x

<-

2

Chọn D

1
ê

2

ê

ï

ê

Ûê3

0

42

ï

>

ê

2

ë
1

êï

2

ê
ï

2

é9<
x
ê

ê

ë
-1

ê
) ta có: ê

êï

ï

ê

ê
ï

x

ï

é 3 - x 2 <- 6

í

>ë
î
0

éì

1

>

x

ëî

é
'

Cách 2. Ta có g ( x ) =

0

x

ê

Ûê

0

2
ê(

f'

x=0
x 2

=ê

3- x

.

)
=0

Theo đồ thị y

=

'

f

( x ) ta

có:

ë
ê3 - x

- =-

ê

6

ê3

ê
ê
ê

ê
x

Ûê

2
3

- x =- 1

2

= 2ê
êx

ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 14. Cho hàm số y

ê

éx = 0
ê

=

f(x

Đồ thị hàm số y

= ¢

f (x )

).

như hình bên. Hỏi hàm số g ( x

= f ( x - x 2 ) nghịch

)

trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

biến

ê
x

=±

3

=±2

=±1

ë


A.

B. (- Ơ ;0).

(1;2).
C. (- Ơ ;2).

D.

ổ1 ; +Ơ ử

ữ.

ỗ

ứ

ố2

Li gii. Ta cú g ' ( x ) =(1 - 2 x f Â(x - x 2
)
).

ộỡ1 - 2 x < 0

ờù
ớ

ờ

Hm s

(
g

x

) nghch

bin



g

Â

ờ
ù

x

) < ờợù
0

2
f

( Âx - x

)

>0

ỡ1-2x> 0

.

ờ

ờ
ù

ờớ
ờ
ù

ù

f

(

2
Âx - x

ởợ
12

)

<0


0
ỡ1 2
ỡ
x
ù f Âx - x2 > 0 ù
ù

Trng hp 1:

-

ớ

<

)

(

ợù

1

ù

x

ớ

x - x2 <1 x - x

ù

ợù

>2



Trng hp 2:

ù

ớ
ù

ợù

-

>

2x

f Âx-

x

0

2

(

)

ù

ù



<0

x<

ớ
ù
ù

()

.

.

2

2

ờ

ờ
ờ f Â(x ở

ộ

1
2

ờx =
theo do thi f
'x

ộ

g Âx

2

<2:
1

x
x > 1. Chn D.

1 - 2x = 0

Cỏch 2. Ta cú

2

ợù

Kt hp hai trng hp ta c

=0

>2

1

1

ỡ
ỡ 1
ù

2

x>

2

ờ

ờ

)

x )= 0

ơắắắắđ ờ

ờ
ờ

x

ờ

1

2

x- x

(

-x

2

=



1: vo nghiem

= 2 : vo nghiem

x

=

2

.

ờ

ở

Bng bin thiờn

=- x - 1 + 1 Ê1 ắắắắắđ f Â( x - x
ữ

Cỏch 3. Vỡ x x

2

ổ

ỗ
ố

ử2

2ứ

theo do thi f '( x )

4

)
>0.
2

4

Suy ra du ca g ' ( x ph thuc vo du ca 1 - 2 x.
)

Yờu cu bi toỏn cn g ' ( x ) <0 ắắđ1- 2x < 0
x>

Cõu 15. Cho hm s
f (- 2 ) = f

y

=

f ( x ).

1 .
2

th hm s y

= Â

f (x )

nh hỡnh v bờn di v

( 2) = 0

ộ

ự

Hm s g ( x ) = ởf ( x ) ỷ nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
2

A.

ổ
ỗ

ố

-

1;

3ử
ữ

2ứ

B. (
.

)

Li gii. Da vo th hm s
nh sau

)

C. (

-2;-1.

-1;1.

y = f Â(x )
,

D.( )
1;2 .

suy ra bng bin thiờn ca hm s f ( x )


13