KHAI THÁC các DẠNG TOÁN về hàm số hợp và hàm số ẩn về TÍNH đơn điệu của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN VỀ
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắc nghiệm vào bài thi
môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.Vì vậy giáo viên và học sinh còn nhiều bỡ
ngỡ với cách dạy học, cách làm bài thi trắc nghiệm.Trong khi đó tài liệu chuyên sâu
về phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm bài thi trắc nghiệm còn rất hạn chế…tuy
nhiên sau hai năm thực hiện thì hầu như việc dạy và việc học đã có phần khởi sắc.
Nhiều quan điểm trước đó rằng thi trắc nghiệm thì không còn cái hay của toán học,
rồi không có tính tư duy logic, không phát huy được khả năng trình bày cũng như
hiểu bản chất của bài toán của học sinh… Do đó, trong công tác giảng dạy,tôi phải
liên tục cập nhật, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng ra đề
mới...và sau hai năm lĩnh hội và trực tiếp tiếp cận với các phương pháp sao cho phù
hợp với cách ra đề mới đó tôi cảm thấy thi trắc nghiệm môn toán không như mình
cảm nhận lúc đầu. Theo quan điểm cá nhân tôi thấy với cách thi trắc nghiệm một
dạng kiến thức được khai thác rất sâu, thiết kế được rất nhiều dạng bài tập.Đối với
dạng toán về hàm số trước kia thi tự luận thì xoay đi xoay lại chỉ là câu khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, rồi một ý của câu hỏi phụ về một mảng kiến thức
trong rất nhiều kiến thức về hàm mà học sinh được học. Với việc thi trắc nghiệm thì
kiến thức về hàm được khai thác triệt để, mở rộng ra nhiều hướng, và đặc biệt trong
đề thi các mảng kiến thức đều có ít nhất một câu. Tuy nhiên hiện nay SGK chưa cải
cách kịp và người thầy cũng như học sinh đang ít nhiều lúng túng với các dạng toán
về hàm số được mở rộng cho phù hợp với cách ra đề trắc nghiệm như hiện nay, đặc
biệt là các dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN ( một kiến thức mà khi thi
tự luận rất ít dùng tới). Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng của học sinh,
và chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp tôi đã tìm tòi, thực nghiệm và viết
nên đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Giúp học sinh tiếp cận và khai thác triệt để một số dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ
HÀM ẨN ( trong giới hạn đề tài) nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi
THPTQG về phần hàm số cũng như nâng cao hiệu quả làm bài thi. Đề tài này bước
1


đầu xây dựng cho các em phương pháp tiếp cận các dạng toán về hàm số hợp và
hàm số ẩn. Các dạng toán các em tiếp cận kiến thức như: Một phương pháp tư duy
giúp học sinh hiểu rõ bản chất của một số vấn đề như : Cho đồ thị f '( x) hỏi khoảng
đơn điệu của hàm số f éëu( x) ùû, Cho đồ thị f '( x) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số
ù
é
ù
fé
ëu( x) û+ g( x) , Cho bảng biến thiên f '( x) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ëu( x) û. Cho
biểu thức f '( x) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu( x) ùû. Cho biểu thức f '( x, m) tìm m
để hàm số f éëu( x) ùû đồng biến, nghịch biến….
Về xa hơn, đề tài muốn khơi gợi cho học sinh tình yêu khoa học kỹ thuật, biết
sử dụng các thiết bị công nghệ hiện đại phục vụ đời sống và công tác nghiên cứu
khoa học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là : Các học sinh đang học lớp 12 THPT.
Trong đó đặc biệt là hướng tới các học sinh trung bình khá, khá, giỏi. Tuy nhiên học
sinh khá, giỏi mới là đối tượng phát huy tối đa hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu : Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm
và đúc rút thành kinh nghiệm.

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong thời đại nhân loại đang bước vào thế kỷ 21, thế kỷ mà nền tri thức, kỷ
năng của con người được xem là yếu tố quyết định của sự phát triển xã hội. Chính vì
vậy trong xã hội này chúng ta cần tạo ra những con người có trí thông minh, trí tuệ
phát triển, sáng tạo và giàu tính nhân văn. cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ 4,
con người cần phải không ngừng thích ứng với tình hình mới nhằm chiếm lĩnh các
kiến thức KHKT tiên tiến, hiện đại. Vì vậy giáo dục cần tạo ra sản phẩm là những
con người năng động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,…Trong lộ trình cải
cách toàn diện nền giáo dục nước nhà, việc đổi mới khâu tổ chức các kỳ thi, trong
đó có việc chuyển từ hình thức làm bài tự luận sang hình thức làm bài trắc nghiệm là
một khâu rất quan trọng vì nó giúp chúng ta đánh giá được học sinh trên diện rộng
một cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng và chính xác.
Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi môn toán
được ra bằng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Theo cấu trúc thì một đề thi có 50
2


cõu vi thi gian 90 phỳt, trung bỡnh l 1,8 phỳt/1 cõu. Nh vy, hc sinh ngoi vic
phi nm vng cỏc kin thc c bn, cỏc phng phỏp gii toỏn thỡ mt iu rt
quan trng l k nng lm bi, k nng nm tt cỏc dng toỏn trong cu trỳc thi,
c bit l cỏc dng toỏn mi, l m trc kia cha c khai thỏc.

2.2. Thc trng vn trc khi ỏp dng sỏng kin kinh nghim.
Trong thc tin ging dy, tụi thy nhiu em hc sinh vn cũn lỳng tỳng vi cỏc
dng toỏn ny, vỡ 2 nm hc trc ớt c va chm vi cỏc dng toỏn ny, ngay c
vi cỏc thy cụ ang trc tip ng lp. Do ú khi gp cũn lỳng tỳng, cha cú cỏch
nhỡn bi toỏn dng quen thuc. Cỏc em cha bit kt hp mt cỏch linh hot cỏc
phng phỏp gii toỏn, dn n tc lm bi cha cao. Qua vic nghiờn cu
chuyờn tụi thy cỏc em nờn c tip cn chuyờn ngay t khi hc chng o
hm ( SGK 11), tuy nhiờn nghiờn cu sõu v y dng thỡ phi n u lp 12

NI DUNG C TH
Phn 1. S ng bin, nghch bin ca hm s
1. Cho th f '( x) . Hi khong n iu ca hm s f ộởu( x) ựỷ.
2. Cho th f '( x) . Hi khong n iu ca hm s f ộởu( x) ựỷ+ g( x)
3. Cho bng bin thiờn f '( x) . Hi khong n iu ca hm s f ộởu( x) ựỷ.
4. Cho biu thc f '( x) . Hi khong n iu ca hm s f ộởu( x) ựỷ.
5. Cho biu thc f '( x, m) . Tỡm m hm s f ộởu( x) ựỷ ng bin, nghch bin.
S ng bin, nghch bin ca hm s
Vn 1. Cho th f '( x) . Hi khong n iu ca hm s
Cõu 1. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
nh hỡnh bờn. Khng nh no sau õy sai ?
A. Hm s f ( x) ng bin trờn ( - 2;1) .
B. Hm s f ( x) ng bin trờn ( 1;+Ơ )
C. Hm s f ( x) nghch bin trờn on cú di
bng 2 .
D. Hm s f ( x) nghch bin trờn ( - Ơ ;- 2) .
Li gii. Da vo th ca hm s y = f '( x) ta thy:
3

ự
fộ
ởu( x) ỷ.




f '( x) > 0

khi

ộ- 2 < x < 1
ờ
ắắ
đ f ( x)
ờ x >1
ở

ng bin trờn cỏc khong ( -

2;1) , ( 1;+Ơ ) .

Suy ra A ỳng, B ỳng.
đ f ( x) nghch bin trờn khong ( - Ơ ;- 2) . Suy ra D ỳng.
f '( x) < 0 khi x <- 2 ắắ
Dựng phng phỏp loi tr, ta chn C.
NX: õy l bi toỏn rt c bn dng nhỡn th c du, tuy nhiờn nhiu em hc
sinh cũn hay b lỳng tỳng v nhm ln.
Cõu 2. Cho hm s

y = f ( x) .

Hm s g( x) = f ( 3A. ( 0;2) .

nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
B. ( 1;3) .
C. ( - Ơ ;- 1) .
D. ( - 1;+Ơ ) .

th hm s

Xột

nh hỡnh bờn di

2x)

Li gii. Da vo th, suy ra
Ta cú

y = f Â( x)

ộ- 2 < x < 2
f Â( x) > 0 ờ
.
ờx > 5
ở

gÂ( x) = - 2 f Â( 3- 2x) .

ộ- 2 < 3- 2x < 2
gÂ( x) < 0 f Â( 3- 2x) > 0 ờ

ờ3- 2x > 5
ở

Vy g( x) nghch bin trờn cỏc khong

Cỏch 2. Ta cú

ộ1

5
ờ < x<
ờ2
2.
ờ
ờ
ởx <- 1

ổ
1 5ử
ỗ
; ữ
ữ
ỗ
ữ v ( - Ơ ;- 1) .
ỗ
ố2 2ứ

Chn C.

ộ 5
ờx =
2
ộ3- 2x = - 2 ờ
ờ
ờ
ờ
theo do thi f '( x)
ờ3- 2x = 2 ờx = 1 .
gÂ( x) = 0 f Â( 3- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ

ờ
ờ 2
ờ3- 2x = 5
ờ
ở
ờx = - 1
ờ
ờ
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
4


Chỳ ý: Du ca

gÂ( x)

c xỏc nh nh sau: Vớ d ta chn

ổ 1ử
x = 0ẻ ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ,
ỗ
ố 2ứ

suy ra

Khi ú gÂ( 0) = - f Â( 3) > 0.
Nhn thy cỏc nghim ca gÂ( x) l nghim n nờn qua nghim i du.
theo do thi f ' x)
3- 2x = 3 ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 3- 2x) = f Â( 3) < 0.

Cõu 3. Cho hm s

y = f ( x) .

Hm s g( x) = f ( 1A. ( - 1;0) .

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
B. ( - Ơ ;0) .
C. ( 0;1) .
D. ( 1;+Ơ ) .

th hm s

Xột

nh hỡnh bờn di

2x)

Li gii. Da vo th, suy ra
Ta cú

y = f Â( x)

ộx <- 1
f Â( x) < 0 ờ
.
ờ1< x < 2
ở

gÂ( x) = - 2 f Â( 1- 2x) .
ộx > 1
ờ
ờ 1
.
ờ- < x < 0
ờ
ở 2
ổ1 ử
ỗ
- ;0ữ
ữ
ỗ
ữ v ( 1;+Ơ ) .
ỗ
ố 2 ứ

ộ1- 2x <- 1
gÂ( x) > 0 f Â( 1- 2x) < 0 ờ

ờ1< 1- 2x < 2
ở

Vy g( x) ng bin trờn cỏc khong

Cỏch 2. Ta cú

ộ1ờ
ờ1theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 - 2 f Â( 1- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ ờ
ờ1ờ
ờ1ờ
ở

Chn D.

ộx = 1
ờ
ờx = 0
ờ
ờ
ờx = - 1.
ờ
2
ờ
ờ
2x = 4( nghiem kep)
3
ờx = ờ
2
ở
2x = - 1

2x = 1
2x = 2

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D.
Chỳ ý: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d chn x = 2 ẻ ( 1;+Ơ ) , suy ra
theo do thi f ' x)
1- 2x = - 3 ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 1- 2x) = f Â( - 3) < 0. Khi ú gÂ( 2) = - 2 f Â( - 3) > 0.
Nhn thy cỏc nghim
nghim i du; nghim

1
; x = 0 v x = 1ca gÂ( x)
2
3
x =l nghim kộp nờn qua
2

x =-

5

l cỏc nghim n nờn qua
nghim khụng i du.


Cõu 4. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x) nh hỡnh bờn di. Hm s
g( x) = f ( 2+ ex ) nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau õy ?

A. ( - Ơ ;0) .

B. ( 0;+Ơ ) .

Li gii. Da vo th, ta cú
Xột

C. ( - 1;3) .

D. ( - 2;1) .

ộx = 0
f Â( x) = 0 ờ
.
ờx = 3
ở

ộ2+ ex = 0
theo do thi f '( x)
ờ
gÂ( x) = ex . f Â( 2+ ex ) ; gÂ( x) = 0 f Â( 2+ ex ) = 0ơắ ắ ắ ắđ
ờ2+ ex = 3 x = 0.
ờ
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn, suy ra hm s g( x) nghch bin trờn ( - Ơ ;0) . Chn A.
Cõu 5. Cho hm s

y = f ( x) .

th hm s

y = f Â( x)

nh hỡnh bờn di

f 3- 2x
Hm s g( x) = 2 ( ) ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

A.

ổ
1ử
ữ.
ỗ
- Ơ ;- ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
2ứ

B.

ổ1 ử
ữ.
ỗ

- ;1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 ứ

Li gii. Da vo th, suy ra
Ta cú
Xột

C. ( 1;2) .

D. ( - Ơ ;1) .

ộx <- 1
f Â( x) < 0 ờ
.
ờ1< x < 4
ở

gÂ( x) = - 2 f Â( 3- 2x) .2f ( 3- 2x) .ln2.
ùỡù x > 2
ù
.
ớ 1
ùùù - < x < 1
ợ 2
ổ1 ử
ỗ
- ;1ữ

ữ
ỗ
ữ, ( 2;+Ơ ) .
ỗ
ố 2 ứ

ộ3- 2x <- 1
gÂ( x) > 0 f Â( 3- 2x) < 0 ờ

ờ1< 3- 2x < 4
ở

Vy g( x) ng bin trờn cỏc khong

6

Chn B.


Cỏch 2. Ta cú

ộ3- 2x = - 1
ờ
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 f Â( 3- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ ờ3- 2x = 4
ờ
ờ3- 2x = 1
ở

ộx = 2

ờ
ờ
1
ờx = - .
ờ
2
ờ
ờx = 1
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Cõu 6. Cho hm s

y = f ( x) .

th hm s

y = f Â( x)

nh hỡnh bờn di

Hm s g( x) = f ( 3- x ) ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( - Ơ ;- 1) .
B. ( - 1;2) .
C. ( 2;3) .
D. ( 4;7) .
ộx <- 1
f Â( x) < 0 ờ

.
ờ1< x < 4
ở
ộ- 1< x - 3 < 1 ộ2 < x < 4
g( x) = f ( x - 3) ắắ
đ gÂ( x) = f Â( x - 3) > 0 ờ
ờ
ờx - 3> 4
ờx > 7
ở
ở

Li gii. Da vo th, suy ra
Vi

x>3

khi ú

ộ- 1< x < 1
f Â( x) > 0 ờ
ờx > 4
ở

v

hm s g( x) ng bin trờn cỏc khong ( 3;4) , ( 7;+Ơ ) .
đ gÂ( x) = - f Â( 3- x) > 0 f Â( 3- x) < 0
Vi x < 3 khi ú g( x) = f ( 3- x) ắắ
ắắ

đ

ộx > 4 ( loaùi)
ờ
ờ- 1< x < 2
ở
g( x) ng bin

ộ3- x <- 1
ờ

ờ1< 3- x < 4
ở
ắắ
đ hm

s

trờn khong ( -

1;2) .

Chn B.

Cõu 7. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
2
nh hỡnh bờn. Hi hm s g( x) = f ( x ) ng bin trờn
khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( - Ơ ;- 1) .
B. ( - 1;+Ơ ) .

C. ( - 1;0) .
D. ( 0;1) .
Li gii. Ta cú gÂ( x) = 2xf Â( x2 ) .

7


Hm s g( x) ng bin
ộx > 1
ờ
.
ờ- 1< x < 0
ở

ộùỡ x > 0
ộỡù x > 0
ờù
ờùớ
ờớù f  x2 > 0
ờù - 1< x2 < 0 x2 > 1
ờợùù ( )
theo do thi f '( x)
ờù
gÂ( x) > 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờợ
ờùỡ x < 0
ờùỡù x < 0
ờù
ờớ 2
ờớù Â 2

ờùùợ x <- 1 0 < x2 < 1
f x <0
ờ
ở
ùởợ ( )

Chn C.

Cỏch 2. Ta cú

ộx = 0
ờ
ờx2 = - 1
ộx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ

ờ2

2
ờf  x = 0
(
)
ờx = 0
ờ
ở
ờ2
ờ
ởx = 1

ộx = 0
ờ
.
ờx = 1
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Chỳ ý: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d xột trờn khong ( 1;+Ơ )
( 1)
x ẻ ( 1;+Ơ ) đ x > 0.
theo
do
thi
f
'
x
( 2)

x ẻ ( 1;+Ơ ) đ x2 > 1 . Vi x2 > 1ắắ ắ ắ(ắ) đ f Â( x2 ) > 0.
2
T ( 1) v ( 2) , suy ra gÂ( x) = 2xf ( x ) > 0 trờn khong ( 1;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang du
Nhn thy cỏc nghim ca gÂ( x) l nghim bi l nờn qua nghim i du.
Cõu 8. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
2
nh hỡnh bờn. Hi hm s g( x) = f ( x ) ng bin
trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( - Ơ ;- 2) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( - 1;0) .
D. ( 1;2) .
Li gii. Ta cú

gÂ( x) = 2xf ( x2 ) .

Hm s g( x) ng bin
ộ0 < x < 1 x > 2
ờ
.
ờ- 2 < x <- 1
ở

Cỏch 2. Ta cú

ộùỡ x > 0
ộỡù x > 0
ờù
ờùớ
ờớù f  x2 > 0

ờù - 1< x2 < 1 x2 > 4
ờợùù ( )
theo do thi f '( x)
ờù
gÂ( x) > 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờợ
ờùỡ x < 0
ờùùỡ x < 0
ờù
ờớ 2
ờớù Â 2
ờùùợ x <- 1 1< x2 < 4
ờ
ở
ùởợ f ( x ) < 0

Chn B.

ộx = 0
ờ
ờx2 = - 1
ộx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)

ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ

ờ2
2
ờf  x = 0
(
)
ờx = 1
ờ
ở
ờ2
ờ
ởx = 4
8

ộx = 0
ờ
ờx = 1.
ờ
ờx = 2
ở

+.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g¢( x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ )
( 1)
 x Î ( 2;+¥ ) ® x > 0.
theo do thi f '( x)
¾ ¾ ¾® f ¢( x2 ) > 0.
( 2)
 x Î ( 2;+¥ ) ® x2 > 4 . Với x2 > 4 ¾¾
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra g¢( x) = 2xf ( x2 ) > 0 trên khoảng ( 2;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g¢( x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 9. Cho hàm số

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

như hình bên dưới

Hàm số g( x) = f ( x3 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - 1;1) .
C. ( 1;+¥ ) .
D. ( 0;1) .
2
3
Lời giải. Ta có g¢( x) = 3x f ¢( x ) ;

éx2 = 0
ê
êx3 = 0
éx = 0
theo do thi f '( x)
ê
g¢( x) = 0 Û ê
¬¾
¾
¾
¾®
Û
ê3
ê¢ 3
f ( x ) =0
êx = - 1
ê
ë
ê3
êx = 1
ë
2

éx = 0
ê
.
êx = ±1
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

9

+.


Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số
y = f ¢( x) như hình bên. Đặt g( x) = f ( x2 - 2) .
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g( x) đồng biến trên khoảng
( 2;+¥ ) .

B. Hàm số

g( x)

nghịch biến trên khoảng

g( x)

nghịch biến trên khoảng

g( x)

nghịch biến trên khoảng

( 0;2) .

C. Hàm số
( - 1;0) .

D. Hàm số
( - ¥ ;- 2) .

Lời giải. Ta có

g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 2) ;

éx = 0
éx = 0
ê
éx = 0
ê
theo
do
thi
f
'
x
(
)
2
ê
ê
¢
g ( x) = 0 Û ê
¬¾ ¾ ¾ ¾® êx - 2 = - 1( nghiem kep) Û êx = ±1.
2

ê
f ¢ x - 2) = 0
ê2
ê
êx = ±2
ë (
ê
x
2
=
2
ë
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 11. Cho hàm số

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

như hình bên dưới

2
Hỏi hàm số g( x) = f ( x - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
A. 2.

B. 3.
C. 4.
D.
2
Lời giải. Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x - 5) ;

éx = 0
ê
êx2 - 5 = - 4
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ê
¢
g ( x) = 0 Û ê
¬¾ ¾ ¾ ¾® ê
Û
ê2
2
¢
f
x
5
=

0
)
êx - 5 = - 1
ê
ë (
ê2
ê
ëx - 5 = 2

Bảng biến thiên

10

éx = 0
ê
êx = ±1
ê
êx = ±2 .
ê
ê
ê
ëx = ± 7

5.


Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Cõu 12. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
2
nh hỡnh bờn. Hi hm s g( x) = f ( 1- x ) nghch bin

trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( 1;2) .
B. ( 0;+Ơ ) .
C. ( - 2;- 1) .
D. ( - 1;1) .
gÂ( x) = - 2xf Â( 1- x2 ) . Hm

Li gii. Ta cú

Trng hp 1:

ỡ
ùớù x < 0
.
ùùợ 1< 1- x2 < 2: vo nghiem

ỡ
ùớù x > 0
x > 0. Chn
ùùợ 1- x2 < 11- x2 > 2
ộx = 0
ộx = 0
ờ
theo do thi f '( x)
ờ
ờ1- x2 = 1 x = 0.
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ

ắđ
ờ
f Â( 1- x2 ) = 0
ờ
ờ
2
ở
ờ
ở1- x = 2

Trng hp 2:
Cỏch 2. Ta cú

ùỡù - 2x > 0

ớ
ùù f Â( 1- x2 ) < 0
ợ
ùỡù - 2x < 0

ớ
ùù f Â( 1- x2 ) > 0
ợ

s g( x) nghch bin

ộùỡ - 2x > 0
ờù
ờớù f Â1- x2 < 0
)

ờùù (
gÂ( x) < 0 ờợ
.
ờùỡ - 2x < 0
ờù
ờớù Â
f ( 1- x2 ) > 0
ờ
ởùợ

B.

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Chỳ ý: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d chn x = 1ẻ ( 0;+Ơ ) .
( 1)
đ- 2x < 0.
x = 1ắắ
theo do thi f '( x)
2
2
đ f Â( 1- x ) = fÂ( 0) ắắ ắ ắ ắđ Â( 0) = 2 > 0. ( 2)
x = 1đ 1- x = 0 ắắ
T ( 1) v ( 2) , suy ra gÂ( 1) < 0 trờn khong ( 0;+Ơ ) .
Nhn thy nghim ca gÂ( x) = 0 l nghim n nờn qua nghim i du.

11

Cõu 13. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
2
nh hỡnh bờn. Hi hm s g( x) = f ( 3- x ) ng bin
trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( 2;3) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( 0;1) .
D. ( - 1;0) .
gÂ( x) = - 2xf Â( 3- x2 ) .

Li gii. Ta cú

Theo th

y = f '( x)

Cỏch 2. Ta cú

ta cú:

Hm s g( x) ng bin

ộỡù
x>0
ờùù
ờù ộ 3- x2 <- 6
ờớù ờ
ờùù ờ
2
ờùợ ở- 1< 3- x < 2

ờ

ờùỡ
x<0
ờùù
ờù ộ
2
ờớù ờ- 6 < 3- x <- 1
ờù ờ
2
ù
ờ
ởùợ ở 3- x >- 2

ộ x=0
g'( x) = 0 ờ
ờf ' 3- x2 = 0.
)
ờ
ở (

ộỡù x > 0
ờùù
ờù ộ 9 < x2
ờớù ờ
ờùù ờ
2
ờùợ ở1< x < 4
ờ

ờùỡ x < 0
ờùù
ờù ộ
2
ờớù ờ4 < x < 9
ờù ờ
2
ù
ờ
ởùợ ở 1> x

Theo th

ộỡù
x>0
ờù
ờớù f ' 3- x2 < 0
)
ờùù (
g'( x) > 0 ờợ
ờùỡ
x>0
ờù
ờớù
f '( 3- x2 ) > 0
ờ
ởùợ

ộ x>3
ờ

ờ 1< x < 2
ờ
ờ- 3 < x <- 2
ờ
ờ- 1< x < 0
ờ
ở

y = f '( x)

ta cú:

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D.
Cõu 14. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x)
nh hỡnh bờn. Hi hm s g( x) = f ( x - x2 ) nghch bin
trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( 1;2) .
B. ( - Ơ ;0) .
C. ( - Ơ ;2) .
Li gii. Ta cú

D.

ổ
1
ỗ
;+Ơ
ỗ

ỗ
ố2

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

g'( x) = ( 1- 2x) f Â( x - x2 ) .

Hm s g( x) nghch bin

ộùỡ 1- 2x < 0
ờù
ờớù f  x - x2 > 0
)
ờùù (
gÂ( x) < 0 ờợ
.
ờùỡ 1- 2x > 0
ờù
ờớù Â
f ( x - x2 ) < 0
ờ
ởùợ

12

Chn D

ộ x=0
ờ
ờ3- x2 = - 6
ờ
ờ3- x2 = - 1
ờ
ờ3- x2 = 2
ờ
ở

ộx = 0
ờ
ờx = 3
ờ
ờx = 2
ờ
ờx = 1
ờ
ở


Trng hp 1:
Trng hp 2:

ỡù
1
ù
1
ùớ x > 2

x> .
ùù
2
2
2
ùùợ x - x < 1 x - x > 2
ỡ
ùù x < 1
ùỡù 1- 2x > 0
ù
2

.
ớ
ớ
ùù f Â( x - x2 ) < 0 ùù
2
ợ
ùùợ 1< x - x < 2: ( vn)
ùỡù 1- 2x < 0

ớ
ù f Â( x - x2 ) > 0
ùợ

Kt hp hai trng hp ta c
Cỏch 2. Ta cú

1
x> .

2

Chn D.

ộ 1
ờx =
ờ 2
ộ1- 2x = 0
ờ
1
theo do thi f '( x)
ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờx - x2 = 1: vo nghiem x = .
2
ờ
2
ờf Â( x - x ) = 0
ờx - x2 = 2: vo nghiem
ở
ờ
ờ
ở

Bng bin thiờn

2

Cỏch 3. Vỡ

ổ 1ử
1 1 theo do thi f '( x)
2
Â
x- x = - ỗ
x- ữ
ữ
ỗ
ữ + 4 Ê 4 ắắ ắ ắ ắđ f ( x - x ) > 0.
ỗ
ố 2ứ

Suy ra du ca

2

g'( x)

ph thuc vo du ca

Yờu cu bi toỏn cn

1- 2x.

1
g'( x) < 0 ắắ
đ 1- 2x < 0 x > .
2

Cõu 15. Cho hm s

y = f ( x) .

th hm s

y = f Â( x)

nh hỡnh v bờn di v

f( - 2) = ( 2) = 0

2

Hm s g( x) = ộởf ( x) ựỷ nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A.

ổ 3ử
ữ.
ỗ
- 1; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ

B. ( -

2;- 1) .

Li gii. Da vo th hm s

nh sau

C. ( - 1;1) .
y = f Â( x) ,

13

D. ( 1;2) .

suy ra bng bin thiờn ca hm s

f ( x)


Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) £ 0, " x Î
Ta có g¢( x) = 2 f ¢( x) . f ( x) .
Xét
Suy

¡.

ïì f ¢( x) > 0 éx <- 2
g¢( x) < 0 Û f ¢( x) . f ( x) < 0 Û ïí
Û ê
.
ê
ïï f ( x) < 0
ë1< x < 2
î
ra hàm số g( x) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 2) , ( 1;2) .

Câu 16. Cho hàm số

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

Chọn D.

như hình bên dưới và

f( - 2) = ( 2) = 0.

2

Hàm số g( x) = éëf ( 3- x) ùû nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 2;- 1) .
B. ( 1;2) .
C. ( 2;5) .
D. ( 5;+¥ ) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) , suy ra bảng biến thiên của hàm số
như sau

Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) £ 0, " x Î
Ta có g¢( x) = - 2 f ¢( 3- x) . f ( 3- x) .
Xét

¡.

ïì f ¢( 3- x) < 0
g¢( x) < 0 Û f ¢( 3- x) . f ( 3- x) > 0 Û ïí
Û
ïï f ( 3- x) < 0
î

é- 2 < 3- x < 1
ê
Û
ê
ë3- x > 2

ìïï 2 < x < 5
.
í
îïï x < 1

Suy ra hàm số g( x) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;1) , ( 2;5) . Chọn C.
Câu 17. Cho hàm số

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số
14

y = f ¢( x)

như hình bên dưới

f ( x)


Hm s g( x) = f (
A. ( - Ơ ;-

)

x2 + 2x + 2

nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

)

C. ( 1;2

1- 2 2 . B. ( - Ơ ;1) .

Li gii. Da vo th, suy ra
Ta cú

x +1

gÂ( x) =

(

)

D. ( 2

2- 1 .

ộx = - 1
ờ
f Â( x) = 0 ờx = 1 .
ờ
ờx = 3
ở

)

f  x2 + 2x + 2 ;

2

x + 2x + 2

ộx +1= 0
ộx +1= 0
ờ
ờ
ờ
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờ x2 + 2x + 2 = 1
2
Â
x + 2x + 2 = 0
ờf

ờ
ở
ờ x2 + 2x + 2 = 3
ở

(

)

2 - 1;+Ơ .

)

ộx = - 1 ( nghiem boi ba)
ờ
ờ
.
ờx = - 1- 2 2
ờ
ờx = - 1+ 2 2
ờ
ở

Lp bng bin thiờn v ta chn A.
Nhn xột: Cỏch xột du gÂ( x) nh sau: Vớ d xột trờn khong ( Khi ú

x = 0.

( )

f  2 < 0.

gÂ( 0) =

1
2

( )

f  2 <0

f Â( x)

vỡ da vo th
gÂ( x) = 0

Cỏc nghim ca phng trỡnh

) ta chn

1;- 1+ 2 2

ta thy ti

x = 2 ẻ ( 1;3)

l nghim bi l nờn qua nghim

i du.
Cõu 18. Cho hm s

Hm s g( x) = f (
A. ( - Ơ ;- 1) .

1
2

x + 2x + 3

x2 + 2x + 3 -

-

)

x2 + 2x + 2

ổ
1ử
ỗ
- Ơ; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
2ứ
ổ
1
ỗ

gÂ( x) = ( x +1) ỗ
ỗ
2
ỗ
ố x + 2x + 3
1
2

x + 2x + 2

<0

y = f Â( x)

th hm s

B.

Li gii. Ta cú


y = f ( x) .

vi mi

nh hỡnh bờn di

ng bin trờn khong no sau õy ?
C.

ổ
1
ỗ
;+Ơ
ỗ
ỗ
ố2

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

D. ( - 1;+Ơ ) .

ử
ữ
ữ
f  x2 + 2x + 3 ữ
ữ
2
ữ
x + 2x + 2 ứ
1

xẻ Ă .

15

( 1)

thỡ

(

)

x2 + 2x + 2 .




0 < u = x2 + 2x + 3 -

x2 + 2x + 2 =

1
2

2

( x +1) + 2 + ( x +1) +1

1

Ê

2 +1

<1

( 2)

)
ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( u) > 0, " x ẻ Ă .
theo do thi f ' x

T ( 1) v ( 2) , suy ra du ca
Bng bin thiờn

gÂ( x)

ph thuc vo du ca nh thc

x+1

(ngc du)

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn A.
y

Cõu 19. Cho hm s y = f ( x) . th hm s
g( x) = f '( x - 2) + 2 nh hỡnh v bờn. Hm s
y = f ( x) nghch bin trờn khong no trong
cỏc khong sau ?
A. ( -

1;1) .

B.

2

-2

ổ
3 5ử
ỗ
; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 2ứ

x

2

O

1

3

-1

C. ( - Ơ ;2) .

D. ( 2;+Ơ ) .
Li gii. Da vo th ta cú f '( x - 2) + 2 < 2ơắđ1< x < 3.
t t = x - 2, ta c f '( t) + 2 < 2ơắđ1< t + 2 < 3 hay f '( t) < 0ơắđ- 1< t < 1. Chn A.
Cỏch khỏc. T th hm s f '( x- 2) + 2 tnh tin xung di 2 n v, ta c
th hm s f '( x- 2) (tham kho hỡnh v bờn di).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tip tc tnh tin th hm s f '( x- 2) sang trỏi
f '( x) (tham kho hỡnh v bờn di).

n v, ta c th hm s

2

y

-1

1

O

3

-3

T th hm s

f '( x)

, ta thy

f '( x) < 0

khi

16

x

x ẻ ( - 1;1) .


Vấn đề 2. Cho đồ thị f '( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu( x) ùû+ g( x) .
Câu 20. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x)
như hình bên dưới

Đặt g( x) = f ( x) - x, khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g( 2) < g( - 1) < g( 1) .
B. g( - 1) < g( 1) < g( 2) .
C. g( - 1) > g( 1) > g( 2) .
D. g( 1) < g( - 1) < g( 2) .
® g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = 1.
Lời giải. Ta có g¢( x) = f ¢( x) - 1¾¾
Số nghiệm của phương trình g¢( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x) và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

éx = - 1
ê
g¢( x) = 0 Û êx = 1 .
ê
êx = 2
ë

Bảng biến thiên

® g( 2) < g( - 1) < g( 1) . Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên ¾¾
Chú ý: Dấu của g¢( x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ ) , ta thấy
đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g¢( x) = f ¢( x) - 1 mang dấu +.

Câu 21. Cho hàm số
như hình bên dưới

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

17

¡.

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)


Hàm số g( x) = 2 f ( x) - x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;2) .
C. ( 2;4) .
D. ( 2;+¥ ) .
® g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = x.
Lời giải. Ta có g¢( x) = 2 f ¢( x) - 2x ¾¾
Số nghiệm của phương trình g¢( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).

éx = - 2
ê
Dựa vào đồ thị, suy ra g¢( x) = 0 Û êêx = 2 .
êx = 4
ë
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Î ( - 2;2) thì đồ thị hàm số f ¢( x) nằm phía trên
® hàm số g( x) đồng biến trên ( - 2;2) . Chọn B.

đường thẳng y = x nên g¢( x) > 0 ) ¾¾

Câu 22. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên
tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình
2
bên. Hỏi hàm số g( x) = 2 f ( x) +( x +1) đồng
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 3;1) .
B. ( 1;3) .
C. ( - ¥ ;3) .
D. ( 3;+¥ ) .
® g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = - x - 1.
Lời giải. Ta có g¢( x) = 2 f ¢( x) + 2( x +1) ¾¾
Số nghiệm của phương trình g¢( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x) và đường thẳng d : y = - x - 1 (như hình vẽ bên dưới).

18


Da vo
Yờu cu
thng

ộx = - 3
ờ
th, suy ra gÂ( x) = 0 ờờx = 1 .
ờx = 3
ở
ộx <- 3
bi toỏn gÂ( x) > 0 ờờ1< x < 3 (vỡ

ở

y = - x - 1 ).

y = f ( x)

cú o hm liờn tc trờn

2

x
Hi hm s g( x) = f ( 1- x) + 2 3;1) .

f '( x)

nm phớa trờn ng

i chiu cỏc ỏp ỏn ta thy ỏp ỏn B tha món. Chn B.

Cõu 23. Cho hm s
nh hỡnh bờn di

A. ( -

phn th ca

B. ( -

2;0) .

x

Ă.

th hm s

y = f Â( x)

nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
C.

ổ 3ử
ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ.
ỗ
ố 2ứ

D. ( 1;3) .

Li gii. Ta cú gÂ( x) = - f Â( 1- x) + x - 1.
gÂ( x) < 0 f Â( 1- x) > x - 1. t t = 1- x , bt phng trỡnh tr thnh
K ng thng y = - x ct th hm s f '( x) ln lt ti ba im

19

f Â( t) >- t.
x = - 3; x = - 1; x = 3.

Quan sỏt th ta thy bt phng trỡnh

ột <- 3
f Â( t) >- t ờ
ị
ờ1< t < 3
ở

ộ1- x <- 3
ờ

ờ1< 1- x < 3
ở

ộx > 4
ờ
.
ờ- 2 < x < 0
ở

i chiu ỏp ỏn ta chn B.
Vn 3. Cho bng bin thiờn f '( x) . Hi khong n iu ca hm s
Cõu 24. Cho hm s y = f ( x) cú bng biờn thiờn nh hỡnh v

ổ

Hm s g( x) = f ỗỗỗố2x2 A.

ổ 1ử

ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ.
ỗ
ố 4ứ

5
3ử
x- ữ
ữ
ữnghch
2
2ứ
ổ1 ử
.
ữ
B. ỗỗỗố4 ;1ữ
ữ
ứ

bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
C.

ổ 5ử
ỗ
ữ
ỗ1; ữ
ữ.
ỗ

ố 4ứ



ổ
5ử ổ
5
3ử
gÂ( x) = ỗ
f Âỗ
2x2 - x - ữ
ữ
ữ
ỗ4x - ữ
ỗ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ố
2ứ ố
2
2ứ

5
ùỡù
ùù 4x - > 0
2
ùớ

ùù ổ
5
3ử
2
ữ
ỗ
Â
f
2
x
x
<
0
ữ
ùù ỗ
ữ
ỗ
2
2ứ
ùợ ố

Xột

D.

ổ9
ỗ
ỗ ;+Ơ
ỗ
ố4

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

ộx <- 2
f Â( x) > 0 ờ
f Â( x) < 0 - 2 < x < 3.
ờx > 3 v
ở
ộỡù
5
ờùù 4x - > 0
ờùù
2
ờớ
ờù ổ 2 5
3ử
ữ< 0
ờùù f Âỗ
2x - x - ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờùùợ ố
2
2ứ
ờ

gÂ( x) < 0 ờ
.
ờ
ờỡ
ờùù 4x - 5 < 0
ờùù
2
ờù
ờớù ổ
ờù f Âỗ2x2 - 5 x - 3ử
ữ
ữ
ờùù ỗ
ữ> 0
ỗ
2
2ứ
ờợù ố
ở

Li gii. Da vo bng bin thiờn, suy ra

Ta cú

ự
fộ
ởu( x) ỷ.

5
ùỡù

ùù x >
9
8
ùớ
1< x < .
ùù
5
3
4
2
ùù - 2 < 2x - x - < 3
2
2
ùợ
20




ộỡù
5
ờùù x <
ờùù
8
ờớ
ờùù 2 5
ờù 2x - x 5
ùỡù
ờùùợ
2

ùù 4x - < 0
ờ
2
ùớ
ờ
ờ
ùù ổ
5
3ử
2x2 - x - ữ
> 0 ờỡù
ữ
ùù f Âỗ
ỗ
ữ
ỗ
ờùù x < 5
2
2ứ
ùợ ố
ờùù
8
ờớ
ờùù 2 5
ờù 2x - x ờ
2
ởùùợ

3
>3

2

3
<- 2
2

ộx <- 1
ờ
ờ
ờ
ờ
.
ờ
ờ1
ờ ờ4
8
ở

i chiu cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Cõu 25. Cho hm s f ( x) cú o hm liờn tc trờn
f Â( x) nh hỡnh v

ổ xử
ữ
ữ
ữ+ x
2ứ

Hm s g( x) = f ỗỗỗố1A. ( -

4;- 2) .

TH2:

Bng bin thiờn ca hm s

nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?

B. ( -

2;0) .

C. ( 0;2) .

D. ( 2;4) .

ổ xử
1 ổ
xử
f Âỗ
1- ữ
+1. Xột gÂ( x) < 0 f Âỗ
1- ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ> 2

ỗ
ỗ
ố 2ứ
2 ố 2ứ
ổ xử
ữ> 2 2 < 1- x < 3 - 4 < x <- 2. Do ú hm s nghch bin trờn ( - 4;- 2) .
f Âỗ
1- ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ
2
ổ xử
x
f Âỗ
1- ữ
ữ
ỗ
ữ> 2 - 1< 1- 2 < a < 0 2 < 2- 2a < x < 4 nờn hm s ch nghch bin
ỗ
ố 2ứ

Li gii. Ta cú
TH1:

Ă.

trờn khong ( 2-

gÂ( x) = -

2a;4)

ch khụng nghch bin trờn ton khong ( 2;4) .

ổ xử
ữ
ữ
ữ+ x
2ứ

Vy hm s g( x) = f ỗỗỗố1-

nghch bin trờn ( -

4;- 2) .

Chn A.

Chỳ ý: T trng hp 1 ta cú th chn ỏp ỏn A nhng c xột tip trng hp 2 xem
th.
Vn 4. Cho biu thc f '( x) . Hi khong n iu ca hm s f ộởu( x) ựỷ.
Cõu 26. Cho hm s f ( x) cú o hm f Â( x) = x2 - 2x vi mi x ẻ Ă . Hm s
ổ xử
g( x) = f ỗ
1- ữ
ữ
ỗ
ữ+ 4x

ỗ
ố 2ứ

A. ( - Ơ ;- 6) .

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
B. ( -

6;6) .

C. ( - 6

Li gii. Ta cú
Xột

gÂ( x) = -

)

2;6 2 .

D. ( - 6

2
ự
ổ xử
1 ổ
xử
1ộ
xử

ờổ
ỳ+ 4 = 9 - x .
ữ
ữ
ỗ
ỗ
fỗ
1- ữ
+
4
=
1
2
1
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữỳ
ỗ 2ứ
ỗ
ỗ 2ứ
ố
ứ
ố
2 ố

2ờ
2 8
ờ
ỳ
ở 2
ỷ
2

9 x2
> 0 x2 < 36 ắắ
đ- 6 < x < 6.
2 8

Chn B.
21

)

2;+Ơ .


Cõu 27. Cho hm s y = f ( x) cú o hm f Â( x) = x2 ( x - 9) ( x - 4) vi mi
g( x) = f ( x2 ) ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( - 2;2) .
B. ( - Ơ ;- 3) .
C. ( - Ơ ;- 3) ẩ ( 0;3) . D. ( 3;+Ơ ) .
2
Li gii. Ta cú gÂ( x) = 2xf ( x2 ) = 2x5 ( x2 - 9)( x2 - 4) ;
2

xẻ Ă .

Hm s

ộx = 0
ờ
gÂ( x) = 0 2x ( x - 9)( x - 4) = 0 ờx = 3.
ờ
ờx = 2
ở
5

2

2

2

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D.
Cõu 28. Cho hm s f ( x) cú o hm f Â( x) = ( x - 1) ( x2 - 2x) vi mi x ẻ Ă . Hi s
2
thc no di õy thuc khong ng bin ca hm s g( x) = f ( x - 2x + 2) ?
2

A.

B.

- 2.

Li gii. Ta cú

3
.
2

C.

- 1.

gÂ( x) = 2( x - 1) f Â( x2 - 2x + 2)

D.

3.

(

Xột

)

2
2
ộ
ự
= 2( x - 1) ờ( x2 - 2x + 2- 1) ( x2 - 2x + 2) - 2( x2 - 2x + 2) ỳ
ở

ỷ
5ộ
4
ự
= 2( x - 1) ờ( x - 1) - 1ỳ.
ở
ỷ
ộ
0
<
x
<
1
5
4
2( x - 1) ộ
>0 ờ
.
( x - 1) - 1ự
ờ
ỳ
ờx > 2
ở
ỷ
ở

Suy ra hm s ng bin trờn cỏc khong ( 0;1) , ( 2;+Ơ ) .
Vy s 3 thuc khong ng bin ca hm s g( x) . Chn B.
2
Cõu 29. Cho hm s y = f ( x) cú o hm f Â( x) = x( x - 1) ( x - 2) vi mi

ổ 5x ử
ữ
g( x) = f ỗ
ữ
ỗ 2
ữ ng
ỗ
ốx + 4ứ

A. ( - Ơ ;- 2) .
Li gii. Ta cú

bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
B. ( -

2;1) .

C. ( 0;2) .

ộx = 0
ờ
f Â( x) = 0 x( x - 1) ( x - 2) = 0 ờx = 1.
ờ
ờx = 2
ở
2

22

D. ( 2;4) .

xẻ Ă .

Hm s


Xột

ộ20- 5x2 = 0
ờ
ờ 5x
ờ
ờx2 + 4 = 0
2
ờ
ổ
ử
20- 5x
5x ữ
gÂ( x) =
f Âỗ
; gÂ( x) = 0 ờ 5x

ữ
ỗ
2
2
ữ
ỗ
ờ

( x2 + 4) ốx + 4ứ
ờx2 + 4 = 1
ờ
ờ 5x
ờ
=2
2
ờ
ởx + 4

ộx = 2
ờ
ờx = 0
ờ
ờx = 1 ( nghiem boi chan) .
ờ
ờ
ờ
ởx = 4 ( nghiem boi chan)

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D.
Chỳ ý: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d xột trờn khong ( 4;+Ơ ) ta chn
x=5



x = 5đ

x = 5đ

20- 5x2

( x2 + 4)

2

< 0.

( 1)
2

ổ25ử
ổ25 ử
5x
25
25ổ25 ử
ữ
=
ắắ
đ f Âỗ
- 1ữ
- 2ữ
ữ= ỗ
ữỗ
ữ< 0.
ỗ

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ29ứ
ỗ29 ứ
ỗ29 ứ
ố
ố
x2 + 4 29
29ố
( 2) , suy ra gÂ( x) > 0 trờn khong ( 4;+Ơ ) .

( 2)

T ( 1) v
2
Cõu 30. Cho hm s y = f ( x) cú o hm f Â( x) = x ( x - 1) ( x - 4) .t( x) vi mi x ẻ Ă v
t( x) > 0 vi mi x ẻ Ă . Hm s g( x) = f ( x2 ) ng bin trờn khong no trong cỏc
khong sau ?
A. ( - Ơ ;- 2) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( - 1;1) .
D. ( 1;2) .
2
Li gii. Ta cú gÂ( x) = 2xf Â( x ) .
2
đ f Â( x2 ) = x4 ( x2 - 1)( x2 - 4) .t ( x2 ) .
Theo gi thit f Â( x) = x ( x - 1) ( x - 4) .t( x) ắắ

5
2
2
2
T ú suy ra gÂ( x) = 2x ( x - 1)( x - 4) .t( x ) .
đ t ( x2 ) > 0, " x ẻ Ă nờn du ca g'( x) cựng du 2x5 ( x2 - 1)( x2 - 4) .
M t( x) > 0, " x ẻ Ă ắắ
Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Cõu 31. Cho hm s y = f ( x) cú o hm f '( x) = ( 1- x) ( x + 2) .t( x) + 2018 vi mi x ẻ Ă
v t( x) < 0 vi mi x ẻ Ă . Hm s g( x) = f ( 1- x) + 2018x + 2019 nghch bin trờn khong
no trong cỏc khong sau ?
23


A. ( - ¥ ;3) .
B. ( 0;3) .
C. ( 1;+¥ ) .
D. ( 3;+¥ ) .
Lời giải. Ta có g'( x) = - f '( 1- x) + 2018.
® f '( 1- x) = x( 3- x) .t ( 1- x) + 2018.
Theo giả thiết f '( x) = ( 1- x) ( x + 2) .t( x) + 2018 ¾¾
Từ đó suy ra g'( x) = - x( 3- x) .t( 1- x) .
®- t ( 1- x) > 0, " x Î ¡ nên dấu của g'( x) cùng dấu với x( 3- x) .
Mà t( x) < 0, " x Î ¡ ¾¾
Lập bảng xét dấu cho biểu thức x( 3- x) , ta kết luận được hàm số g( x) nghịch biến
trên các khoảng ( - ¥ ;0) , ( 3;+¥ ) . Chọn D.
Tìm m để hàm số f éëu( x) ùû đồng biến, nghịch
biến.

2
Câu 32. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = ( x - 1) ( x2 - 2x) với mọi x Î ¡ . Có bao
2
nhiêu số nguyên m< 100 để hàm số g( x) = f ( x - 8x + m) đồng biến trên khoảng ( 4;+¥ )
?
A. 18.
B. 82.
C. 83.
D. 84.
f '( x, m) .

Vấn đề 5. Cho biểu thức

Lời giải. Ta có

f ¢( x) = ( x - 1)

2

( x2 -

éx < 0
2x) > 0 Û ê
.
êx > 2
ë

2
Xét g¢( x) = ( 2x- 8) . f ¢( x - 8x + m) . Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 4;+¥ ) khi và
chỉ khi g¢( x) ³ 0, " x > 4

Û ( 2x - 8) . f ¢( x2 - 8x + m) ³ 0, " x > 4
Û f ¢( x2 - 8x + m) ³ 0, " x > 4

éx2 - 8x + m£ 0, " x Î ( 4;+¥ )
Û ê
Û m³ 18.
ê2
ê
ëx - 8x + m³ 2, " x Î ( 4;+¥ )
Vậy 18 £ m< 100. Chọn B.

Câu 33. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x( x - 1) ( x2 + mx + 9) với mọi x Î ¡ . Có
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g( x) = f ( 3- x) đồng biến trên khoảng ( 3;+¥ )
?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
2é
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( 3- x) = ( 3- x) ( 2- x) êë( 3- x) + m( 3- x) + 9ùúû.
Ta có g¢( x) = - f ¢( 3- x) .
Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 3;+¥ ) khi và chỉ khi g¢( x) ³ 0, " x Î ( 3;+¥ )
2

Û f ¢( 3- x) £ 0, " x Î ( 3;+¥ )
2
2
Û ( 3- x) ( 2- x) é
£ 0, " x Î ( 3;+¥ )

( 3- x) + m( 3- x) + 9ù
ê
ú
ë
û
2

Û m£

( x - 3) + 9
x- 3

Û m£ min h( x)
( 3;+¥ )

, " x Î ( 3;+¥ )
2

với h( x) =

( x - 3) + 9
x- 3

.

24


2

Ta có h( x) =
Vậy suy ra

( x - 3) + 9
x- 3

= ( x - 3) +

9
9
³ 2 ( x - 3) .
= 6.
x- 3
x- 3

+

Chọn B.

mÎ ¢
m£ 6 ¾¾
¾® mÎ {1;2;3;4;5;6} .

2
2
Câu 34. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x ( x - 1) ( x + mx + 5) với mọi x Î
2
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g( x) = f ( x ) đồng biến trên ( 1;+¥ ) ?
A. 3.
B. 4.

C. 5.
D. 7.
2
4
2
4
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( x ) = x ( x - 1)( x + mx + 5) .
2
Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x ) .
Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 1;+¥ ) khi và chỉ khi g¢( x) ³ 0, " x Î ( 1;+¥ )
Û 2xf ¢( x2 ) ³ 0, " x > 1
Û 2x.x4 ( x2 - 1)( x4 + mx2 + 5) ³ 0, " x > 1

¡.

Có

Û x4 + mx2 + 5 ³ 0, " x > 1
Û m³ -

x4 + 5
, " x >1
x2

Û m³ max h( x)
( 1;+¥ )

Khảo sát hàm
Suy ra

x4 + 5
.
x2
x4 + 5
h( x) = trên ( 1;+¥ )
x2

với h( x) = -

-

mÎ ¢
m³ - 2 5 ¾¾
¾
® mÎ { - 4;- 3;- 2;- 1} .

ta được

max h( x) = - 2 5.
( 1;+¥ )

Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x( x - 1) ( 3x4 + mx3 +1) với mọi x Î ¡ .
2
Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g( x) = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ )
?
A. 3.
B. 4.

C. 5.
D. 6.
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( x2 ) = x2 ( x2 - 1) ( 3x8 + mx6 +1) .
2
Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x ) . Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ ) khi và chỉ khi
g¢( x) ³ 0, " x Î ( 0;+¥ ) Û 2xf ¢( x2 ) ³ 0, " x Î ( 0;+¥ )
2

2

Û 2x.x2 ( x2 - 1) ( 3x8 + mx6 +1) ³ 0, " x Î ( 0;+¥ )
Û 3x8 + mx6 +1³ 0, " x Î ( 0;+¥ )
Û m³ -

3x8 +1
, " x Î ( 0;+¥ )
x6

Û m³ max h( x)
( 0;+¥ )

Khảo sát hàm h( x) = Suy ra

-

3x8 +1
x6

với h( x) = -

trên ( 0;+¥ ) ta được

mÎ ¢
m³ - 4 ¾¾
¾
® mÎ { - 4;- 3;- 2;- 1} .

3x8 +1
.
x6
max h( x) = - 4.

( 0;+¥ )

Chọn B.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
25