KINH NGHIỆM sử DỤNG đạo hàm của hàm số hợp để GIẢI các bài TOÁN về TÍNH đơn điệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Đăng Hà
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANHMỤC
HÓALỤC
NĂM 2019


Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………….2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………2
1.3. Đối tượng nghiên cứu....…..………………………………………….2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.………………………….............................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………3
2.2. Thực trạng của vấn đề.....….…………………………………..….….3
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện.…………………………………………3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……………………….…..15

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận…………………………………………………………..…16
3.2. Kiến nghị

…………………………….…………………..…… 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….18


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi
Trung học phổ thông Quốc gia và đặc biệt đề tham khảo môn Toán trong kỳ thi
Trung học phổ thông Quốc gia năm 2019 của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được
đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây
không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này.
Trong đề thi chính thức và các đề thi thử của các kỳ thi Trung học phổ
thông Quốc gia bài toán này dần tiếp cận theo hướng sử dụng đạo hàm của hàm
số hợp kết hợp với sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi giúp học sinh giải toán phù hợp
với hình thức thi trắc nghiệm và đòi hỏi sự nhanh nhạy, chính xác trong giải
toán. Đặc biệt trong đề tham khảo môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo bài
toán sử dụng đạo hàm hợp đã xuất hiện những câu ở mức độ vận dung cao đòi
hỏi khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Trong những năm học vừa qua bản thân tôi được phân công các lớp mũi
nhọn và nghiên cứu xu hướng mới trong đề thi THPTQG tôi mạnh dạn chọn đề
tài: “KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH
HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ của đề tài này tôi không hi vọng giải quyết được tất cả

các bài toán về đơn điệu và cực trị của hàm số mà chỉ tập trung hướng dẫn và
giải quyết bài toán có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp đặc biệt bài toán mức độ
vận dụng và vận dung cao trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia
(THPTQG).
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Như đã nói ở trên trong các đề thi THPTQG, đề tham khảo và các đề thi
thử THPTQG của các trường trên toàn quốc đã bắt bầu khai thác ở mức độ vận
dụng và vận dụng cao có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp để giải quyết bài
toán. Vì vậy trong đề tài này tôi chỉ tập trung cung cấp phương pháp và các ví
dụ áp dụng có sử dụng bảng xét dấu đạo hàm của hàm số hợp.
Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá
trình dạy học và ôn thi THPTQG, giới thiệu đến độc giả và đồng nghiệp một số
kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Hoàn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận
bài toán, phân tích, đánh giá và kết luận liên quan đến dạng toán này.
Áp dụng kinh nghiệm này cho các em học sinh thông qua các bài kiểm
tra, khảo sát chất lượng định hướng thi THPTQG nhà trường. Báo cáo đề tài
trước tổ chuyên môn, được tổ chuyên môn góp ý, nhận xét bổ sung và đánh giá


cao. Bản thân tôi có tham khảo một số ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều kinh
nghiệm trong lĩnh vực ôn thi THPTQG đặc biệt là đam mê giải bài toán mức độ
vận dụng và vận dụng cao đang được phát triển qua các kỳ thi THPTQG.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở lý thuyết học sinh đã được học trong sách giáo khoa lớp 12 phần
Cực trị của hàm số, công thức đạo hàm của hàm số hợp. Học sinh đã nắm vững
các định lý, tính chất cơ bản, biết vận dụng một số giải một số bài toán về cực trị
đơn giản. Đề tài này giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận

dụng vào thực tế giải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng
thời giúp học sinh phát triển tư duy cũng như đam mê học toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Bài toán tìm cực trị của hàm số đã được phát triển đến những bài toán có tính
phân loại cao trong đề thi THPTQG. Nhiều học sinh có tâm lý ngại, hoang mang
khi gặp bài toán về hàm số hợp và đạo hàm của chúng; các thầy cô nhiều khi
cũng chỉ giới thiệu sơ qua về khái niệm hàm số hợp cũng như công thức đạo
hàm nên học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc định hướng và tìm cách giải
quyết dạng toán này.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia thì bài toán liên quan đến tính đơn điệu của
hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp lại được giải quyết theo hướng tìm
đáp số của phương pháp trắc nghiệm theo một số dạng nên việc trang bị cho học
sinh kiến thức và phương pháp giải chung và cơ bản có phần bị xem nhẹ. Trong
kỳ thi THPTQG thì đa số học sinh được ôn luyện theo kiểu học tủ nếu trúng đề,
trúng dạng thì làm còn không thì chọn bừa đáp án mang tính may rủi.
Ngay cả giả thiết của bài toán cũng được biến đổi cho khác đi, như cho giả
thiết ở dạng hàm số biết công thức chuyển sang cho hàm số ở dạng đồ thị, cho ở
dạng biết bảng xét dấu hoặc đạo hàm… gây không ít khó khăn cho học sinh.
Trong đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh giải quyết phần nào những khó
khăn trên.
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện
2.3.1 Một số kiến thức cơ bản.
10) Khái niệm về hàm số hợp
Cho hai hàm số y  f  u  và u  u  x  . Thay thế biến u trong biểu thức
u  x �
y  f  u  bởi biểu thức u  x  , ta được biểu thức f �
�
�với biến x . Khi đó
u  x �
hàm số y  g  x  với g  x   f �

�
�được gọi là hàm số hợp của hai hàm số
f và u ; hàm số u được gọi là hàm số trung gian.


Trong định nghĩa trên, tập xác định của hàm số hợp y  g  x  là tập các
u  x �
giá trị của x sao cho biểu thức g  x   f �
�
�có nghĩa. (SGK Đại số và Giải
tích lớp 11 trang 201)
20) Công thức đạo hàm của hàm số hợp
Định lý (SGK Đại số và Giải tích lớp 11 trang 201)
a) Nếu hàm số u  u  x  có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y  f  x  có tại
u  x �
điểm u0  u  x0  thì hàm số hợp g  x   f �
�
�có đạo hàm tại điểm x0 và
u  u  x
b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn với mọi điểm x thuộc J (Trong đó
J là tập con của tập số thực � gồm một khoảng hay hợp của nhiều khoảng) thì
hàm số hợp y  g  x  có đạo hàm trên J và
g ' x   f ' �
u  x �
.u '  x  .
�
�
Ta cũng sẽ sử dụng công thức sau
u  x �
u  x �

.u '  x 
f�
  f '�
�
�
�
�
'

và ghi nhớ cho học sinh phải phân biệt được hai biểu thức liên quan đến đạo
'
u  x �
u
x
�
hàm của hàm số hợp, đó là f �


�
�. Đây là điểm mà học sinh
� � và f ' �





hay nhầm lẫn trong quá trình giải toán.
30) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
a) Nếu f '  x   0 mọi x �I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I .

b) Nếu f '  x   0 mọi x �I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I .
c) Nếu f '  x   0 mọi x �I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .
Nhận xét. Điều kiện trên có thể mở rộng như sau: Giả sử hàm số f có
đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '  x  �0 mọi x �I (hoặc f '  x  �0 mọi x �I )
và f '  x   0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên khoảng I .
40) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó


a) Nếu f '  x   0 với mọi x � a; x0  và f '  x   0 với mọi x � x0 ; b  thì
hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '  x   0 với mọi x � a; x0  và f '  x   0 với mọi x � x0 ; b  thì
hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Nhận xét.
Với giả thiết như trên, nếu hàm số f có đạo hàm đổi dấu qua điểm x0 thì
hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 .
2.3.2 Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm.
a) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Biết rằng hàm số có đạo hàm trên �. Hàm số y  f '  x  có bảng xét dấu
là bảng nào sau đây?
A.
B.

C.

D.

x
�
y�



2
0

x
�
y�



1
0

x
�
y�



2
0

x
�

y�



1
0



0
0



1
0



0
0



1
0



1

0



1
0



1
0



2
0







�
�
�

�

Phân tích và hướng dẫn cách giải:

- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị hàm số
sang bảng xét dấu của đạo hàm. Đây là một trong hướng đi giúp giải quyết tốt
bài toán tìm cực trị của hàm số.
- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên � (hoặc trên TXĐ D ) Bảng xét
dấu đạo hàm được lập từ đồ thị hàm số có thể dựa theo nguyên tắc: Trên
khoảng nào đồ thị có hướng “đi lên” thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị
dương và trên khoảng nào đồ thị có hướng “đi xuống” thì trên khoảng đó đạo


hàm nhận giá trị âm. Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị
bằng không.
Giải.
Hàm số có đạo hàm trên �nên
- Trên các khoảng  �;  1 và  0;1 đồ thị có hướng đi xuống (hàm số nghịch
biến) nên đạo hàm có dấu âm .
- Trên các khoảng  1;0  và  1; � đồ thị có hướng “đi lên” ( hàm số đồng
biến) nên đạo hàm có dấu dương .
- Tại các điểm x  1, x  0 và x  1 thì f '  x   0 .
- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm y  f '  x  như sau:
x
�
y�

1
0



0
0



1
0





�

- Chọn đáp án B.
b) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị đạo hàm
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm y  f '  x  trên �. Biết
đồ thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ dưới.
y

1
-1

o

1

2

x

-1

-2

-4

Hàm số y  f '  x  có bảng xét dấu là bảng nào sau đây?
A.

B.
C.
D.

x
�
y�



1
0

x
�
y�



2
0



1
0



2
0

x
�
y�



1
0



2
0

x
�
y�



1

0



2
0









�

�

�

�

Phân tích và hướng dẫn cách giải:
- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị của
đạo hàm hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm. Tiếp tục hướng đi giải quyết
bài toán cực trị của hàm số bằng bảng xét dấu đạo hàm của nó.
- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên � (hoặc trên TXĐ D ) Bảng xét
dấu đạo hàm được lập từ đồ thị đạo hàm hàm số có thể dựa theo nguyên tắc:

Trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía trên trục Ox thì trên khoảng đó
đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía
dưới trục Ox thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm. Tại “điểm nối” giữa
hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.
Giải.
Hàm số có đạo hàm trên �nên
- Trên các khoảng  �;  1 và  1;2  đồ thị f '  x  nằm phía dưới trục Ox nên
đạo hàm có dấu âm.
- Trên khoảng  2; � đồ thị f '  x  nằm phía trên trục Ox nên đạo hàm có dấu
dương .
- Tại các điểm x  1 và x  2 thì f '  x   0 .
- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm y  f '  x  như sau:
x
�
y�



1
0



2
0



�

- Chọn đáp án B.
Nhận xét:
Ta nhận thấy rằng bước đầu ví dụ 1 và 2 và một số bài tập vận dụng
giúp cho học sinh cách lập bảng xét dấu của đạo hàm hàm số khi biết đồ thị của
hàm số hoặc đồ thị của đạo hàm hàm số đó.
Sau đây là những bài toán đơn giản đầu tiên về cực trị của hàm số. Có sử
dụng đồ thị và bảng xét dấu đạo hàm
2.3.3 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đồ thị.
Ví dụ 3. (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) Cho hàm số
y  ax 3  bx 2  cx  d  a, b, c, d �� có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Phân tích và hướng dẫn lựa chọn đáp án:
- Bài toán này nằm trong đề thi THPTQG năm 2018. Đây là bài toán ở
mức độ nhận biết.
- Nhờ dấu hiệu điểm cực trị của đồ thị học sinh có thể tìm số điểm cực trị
của đồ thị hàm số và trả lời câu hỏi. Đó là: Điểm cực đại của đồ thị là “điểm
nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi lên” và nhánh đồ thị có hướng “đi xuống”
theo chiều từ trái qua phải. Điểm cực tiểu của đồ thị là “điểm nối” giữa nhánh đồ


thị có hướng “đi xuống” và nhánh đồ thị có hướng “đi lên” theo chiều từ trái qua
phải (chiều dương của trục Ox ).
- Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
- Chọn đáp án A.

Nhận xét:
- Ví dụ đầu tiên là bài toán đơn giản, học sinh chọn đáp án qua nhận
dạng đồ thị hoặc dấu hiệu điểm cực trị trên đồ thị.
- Ví dụ tiếp theo có mục đích giúp học sinh biết cách chuyển từ đồ thị của
hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm f '  x  . Đây là kỹ năng quan trọng đầu
tiên trong phần hàm số nói chung và phần tìm điểm cực trị nói riêng. Bởi suy
cho cùng thì khi chúng ta lập được bảng xét dấu của đạo hàm f '  x  thì bài
toán cơ bản đã được giải quyết. Cũng là để tạo tiền đề giải quyết bài toán tìm
cực trị của hàm số hợp bằng cách lập bảng xét dấu đạo hàm.
Ví dụ 4. (Đề minh THPTQG năm 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ bên.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  0;1 .
B.  �; 1 .
C.  1;1 .
Giải.
- Sử dụng bảng xét dấu của ví dụ 1 ở trên
x
�
y�



1
0



0

0



1
0

D.  1;0  .



�

- Từ đó chọn đáp án D.
Nhận xét.
- Ở đây học sinh có thể nhận ngay khoảng đồng biến nghịch biến từ đồ thị hàm
số. Tuy nhiên nhằm giúp học sinh rèn luyện cách lập bảng xét dấu đạo hàm
thành thạo ta hướng cho các em cách giải trên và tiếp tục mở rộng ở các ví dụ
sau để thấy tầm quan trọng của việc sử dụng thành thạo bảng xét dấu đạo hàm
kể cả đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ 5. (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho
 x  như hình vẽ
hàm số y  f  x  liên tục trên �. Biết đồ thị của hàm số y  f �


y

1
O
1

1

x

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là
A. 4 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Giải.
 x  đã nêu
Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị y  f �
ở trên.
 x
Bảng xét dấu y  f �
x �
y�



1
0



1
0

�



Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 6. (Đề thi thử THPTQG liên trường tỉnh Nghệ An) Cho hàm số y  f  x 
 x  được cho bởi hình vẽ
có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y  f �
bên dưới.

Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1;1 .
B. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;3 .
C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  .
D. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1;1 và khoảng (3;4).
Giải
 x  đã nêu
Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị y  f �
ở trên.
 x
Bảng xét dấu y  f �
x �
y�



0
0



Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0; 2 

3
0

�




Chọn đáp án C.
2.3.4 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đạo hàm của
hàm số hợp.
a) Xét hàm hợp g  x   f  u  x   trong đó u  x  là hàm bậc nhất.
Ví dụ 7. (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh
Hóa) Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm y  f '  x  trên �. Biết đồ
thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ dưới.
y

1
-1

o

1

2

x

-1
-2

-4

Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  2 x  1 là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
- Ở các ví dụ trên ta đã đưa ra quy tắc và lập bảng xét dấu của đạo hàm
f '  x  . Phần tiếp theo ta suy ra bảng xét dấu của đạo hàm số y  f  2 x  1 kí
hiệu là �
�f  2 x  1 �
�. (Phân biệt với f '  2 x  1 )
'

- Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu của �
�f  2 x  1 �
�ta có thể thực
hiện như sau:
'

 Sử dụng công thức: �
�f  2 x  1 �
�  2x  1 '. f '  2 x  1  2. f '  2 x  1 .
 Xét tại các điểm đặc biệt: ( f '  x   0 � x  1; x  2 )
'

2 x  1  1 � x  0
�
�
�
3
�f  2x  1 �
�'  0 � f '  2 x  1  0 � �
2x 1  2 � x 
�
2

 Xét dấu �
�f  2 x  1 �
� 2. f '  2 x  1 trên các khoảng.
'
� 3�
Ví dụ trên khoảng �0; �cho x  0 ta có: g '  0   2. f '  1  0
� 2�
'

- Từ đó ta có bảng xét dấu của g '  x   �
�f  2 x  1 �
�như sau
'

x
�
y�



0
0



3/2
0



�

- Vậy hàm số y  f  2 x  1 có 1 điểm cực trị (cực đại) tại x 
- Chọn đáp án A.

3
2


Ví dụ 8. Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm y  f '  x  trên �. Biết
đồ thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ dưới.

Hàm số g  x   f  2  x  đạt cực đại tại điểm x0 bằng
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
Giải.

D. 1 .

- Sử dụng công thức: �
�f  2  x  �
�'   f '  2  x  .
- Xét tại các điểm đặc biệt: ( f '  x   0 � x  0; x  �1 ) . Ta có:
2  x  1 � x  3
�
�
2  x 1 � x 1
�
�f  2  x  �
�'  0 � f '  2  x   0 � �
�
2 x0� x2
�

- Xét dấu �
�f  2  x  �
�'   f '  2  x  trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng  �; 1 cho x  0 ta có: g '  0    f '  2   0
Suy ra
x
�
y�



1
0



2
0



3
0



�

- Vậy hàm số y  f  2  x  có 1 điểm cực đại tại x  2
- Chọn đáp án A.
Ghi chú.
Đối với trường hợp u  x  là hàm bậc nhất thì ta thấy dạo hàm u  x  là
hằng số nên việc xét dấu hàm hợp là khá đơn giản, ít nhầm lẫn. Trong đó chỉ
cần chú ý hai bước là tìm điểm đặc biệt và tính dấu của đạo hàm hợp tại một
điểm tùy chọn.
Tiếp theo ta xét đến trường hợp phức tạp hơn. Với u  x  là hàm bậc hai
b) Xét hàm hợp g  x   f  u  x   trong đó u  x  là hàm bậc hai.

 x  có đồ
Ví dụ 9. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên �, biết rằng hàm số y  f �
thị như hình vẽ bên.

2
Số điểm cực đại của hàm số y  f  x  1 là?

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
2
- Mục tiêu ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số g  x   f ( x  1) . Cách xử
lý tương tự như dạng a. Cụ thể như sau:
'
2
�  x 2  1 '. f '  x 2  1  2 x. f '  x 2  1 .
f
x

1
 Sử dụng công thức: �


�
�
 Xét

tại

các

điểm

đặc

biệt:

( f '  x   0 � x  3; x  0; x  2 )

2x  0 � x  0
�
�2
x  1  3(VN )
2
g '  x   0 � 2 x. f '  x  1  0 � �2
�x  1  0(VN )
�
2
�
�x  1  2 � x  �1

 Xét dấu g '  x  trên các khoảng.
'
Ví dụ trên khoảng  1;  � cho x  2 ta có: g '  2   4. f '  5   0

2
- Từ đó ta có bảng xét dấu của g '  x   2 x. f '  x  1 như sau

x
�
y�



1
0



0
0



1
0



�

2
- Số điểm cực đại của hàm số y  f  x  1 là 2 .
- Chọn đáp án B.
Ví dụ 10. Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.

2
Hàm số g  x   f ( x  2 x ) nghịch biến trên khoảng

A.  1; 1

�1 �

B. � ; 1�
�4 �

C.  �;0 

D.  1; �


Phân tíchvà lựa chọn đáp án:
2
- Tương tự như ví dụ 9, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số g  x   f ( x  2 x ) .
Cụ thể như sau:
'
2
�  x  2 x 2  '. f '  x  2 x 2    1  4 x  . f '  x  2 x 2  .
f
x

2
x
 Sử dụng công thức: �


�
�
 Xét

tại

các

điểm

đặc

( f '  x   0 � x  �1; x  4 )

biệt:

1  4 x  0 � x  1/ 4
�
�
x  2x 2  1 � x  1; x  1/ 2
g '  x   0 �  1  4 x  . f '  x  2x 2   0 � �
�x  2x 2  1(VN )
�
2
�
�x  2x  4(VN )

 Xét dấu g '  x  trên các khoảng.
'
Ví dụ trên khoảng  1;  � cho x  2 ta có: g '  2    1  2.4  . f '  6   0

2
- Từ đó ta có bảng xét dấu của g '  x    1  4 x  . f '  x  2 x  như sau

x
�
y�



1/ 2
0



1/ 4
0

1
0





�

�1 �
2
- Vậy g  x   f ( x  2 x ) nghịch biến trên khoảng � ; 1�.
�4

�

- Chọn đáp án B.
c) Xét hàm hợp g  x   f  u  x   trong đó u  x  là một số dạng hàm số
khác.

Qua hai dạng toán trên tôi mạnh dạn đưa ra một số trường hợp hàm u  x 
khác. Với cách giải quyết tương tự như hai trường hợp trên.
 x  có đồ thị như hình vẽ
Ví dụ 11. Cho hàm số y  f  x  , hàm số f �

Hàm số g  x   f



A.  1; � .
C.  1;1 .
Giải.



x 2  3  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

B.  �;  6  .
D.   6;0  .


- Tương tự như hai phần a) và b) ở trên, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số
g  x  f





x 2  3  2 . Cụ thể như sau:





đặc

biệt:

f x2  1  x
 Sử dụng công thức: g '  x   �
�

 Xét

tại

các

điểm

'

� x . f '
� x2  3





x2  3  2 .

( f '  x   0 � x  �1; x  0 )

�x  0
� 2
�x 3  2 1� x  � 6
g ' x  0 � � 2
� x  3  2  0 � x  �1
� 2
� x  3  2  1(VN )

 Xét dấu g '  x  trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng





'
6;  � cho x  13 ta có: g '  13   13 . f '  2   0

- Từ đó ta có bảng xét dấu của g '  x    1  4 x  . f '  x  2 x  như sau

4

2

�
x
y�



 6
0

- Vậy g  x   f



1


0

0


1








6
0

�




x 2  3  2 nghịch biến trên khoảng �;  6 .

- Chọn đáp án B.
Ví dụ 12. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và f  x  đồ thị như hình vẽ

Hàm số g  x   f  f  x   có số điểm cực đại là
A. 0 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Giải.
- Trong trường hợp này ta chọn u  x   f  x  . Bài toán xử lý như sau
 Sử dụng công thức: g '  x   �
�f  f  x   �
�  f '  x   . f '  f  x   .
'


 Xét

tại

các

điểm

đặc

( f '  x   0 � x  �1; x  0 )

biệt:

�x  0; x  2
�
g '  x   0 � �f  x   0 � x  0; x  x2  2
�f x  2 � x  2; x  x  0
1
� 

 Xét dấu g '  x  trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng  x2 ;  � cho x  5

�
�f '  5  0
�f '  f  5    0

Kết hợp với đồ thị nhận thấy �

Ta có: g '  5  f '  5  . f '  f  5    0
- Từ đó ta có bảng xét dấu của g '  x  như sau
'

�
x
y�



x1
0

0



0

2


0



x2
0

�


- Vậy hàm số có 2 điểm cực đại ( tại x  x1 và x  0 ).
- Chọn đáp án C.
Kết luận: Qua các dạng bài tập trên, cơ bản ta lập được bảng xét dấu
của hàm hợp khi biết đồ thị hay bảng xét dấu của hàm số f  x  , đồ thị của
đạo hàm f '  x  .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
- Qua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 12 tại trường THPT Triệu
Sơn 1 trong năm học 2018-2019, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em cảm thấy
tự tin và say mê hơn trong việc học toán và có thêm công cụ giải dạng toán liên
quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số
hợp.
- Đặc biệt trong năm học 2018 – 2019 được tham gia dạy lớp thành tích
cao của nhà trường, tôi đã giúp các em giải quyết được các bài toán về tính đơn
điệu và cực trị của hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Kết quả trong
các kỳ thi thử THPT QG mà các em tham gia thi, các em đều giải quyết được
nhanh gọn và chính xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG.
Tôi thấy các em đã tự tin và có hứng thú hơn trong học tập, có tinh thần tìm tòi
học hỏi đối với các dạng toán khó.
- Đề tài được báo cáo dạng chuyên đề trong sinh hoạt chuyên môn của tổ
Toán trường THPT Triệu Sơn 1 và được các thầy cô góp ý cũng như đánh giá
cao được dùng làm tài liệu chuyên môn của tổ và áp dụng vào giảng dạy ôn thi
THPT Quốc Gia ( phần phán đoán dấu bằng xảy ra và sử dụng MTBT hỗ trợ để
tìm kết quả) cũng như giảng dạy cho các em học sinh lớp chọn cuối lớp 12 lớp
ôn chất lượng cao của nhà trường.


- So sánh kết quả làm bài tập trước và sau khi các em được cung cấp
phương pháp giải toán. Kết quả có thay đổi rõ rệt.
1. Thống kê trong đề thi thử những bài tập về tính đơn điệu và cực trị của
hàm số cho học sinh lớp 12 của nhà trường trong năm học 2018-2019 trước và
sau khi được cung cấp phương pháp (Đề kiểm tra gồm 15 câu trắc nghiệm trích
trong tạp đề thi thử của các Sở GD&ĐT – Nguồn tổng hợp nhóm STRONG
TEAM TOÁN VD-VDC)
Tổng số Làm 12-15 bài Làm 8-11 bài Làm 4-7 bài Làm 0-3 bài

Kết quả
hs SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước
30
0
0
3
10.00 10 33.33 20 56.67
Sau
30
5
16.67
15 50.00
7
23.33 3 10.00
2. Kết quả làm bài toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số
trong đề thi thử THPTQG của trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2018-2019
(thống kê trong số 42 học sinh lớp 12B8 được học phương pháp của đề tài này,
so với 413 em học sinh tham gia trong 3 lần thi thử gồm 12 bài toán về đơn điệu
và cực trị)
Từ 7-9 bài Từ 4-6 bài Từ 0-3 bài
Tổng Từ 10-12 bài
Kết quả

số hs SL
%
SL % SL
%
SL
%
Thực nghiệm 42 15
35.71
16 38.09 7
16.67
4
9.53
Đối chứng
413 10
9.92
86 20.08 156 37.78 161 38.98
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12 và lớp thành tích cao của
nhà trường, đề tài này đã giúp cho các em thêm tự tin và say mê trong việc giải
các bài toán về hàm số đặc biệt là phát hiện xu hứng mới của câu hỏi ở mức độ
vận dụng và vận dụng cao về hàm số trong đề thi THPTQG hai năm gần đây đó
là năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018 cũng như đề minh họa của Bộ
năm 2019.
- Đề tài được tổ chuyên môn đánh giá cao và định hướng áp dụng giải dạy
cho học sinh khối 12 và lớp thành tích cao của nhà trường. Các em đã vận dụng
tốt trong các kỳ thi thử THPTQG.
- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán rộng và nhiều hướng phát
triển nên tôi chỉ tập trung vào khai thác cách lập bảng biến thiên của hàm số
hợp, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng

toán hoàn thiện hơn nữa đề tài này.
- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi
rút ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh
nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ
sung và hoàn thiện dần trong những năm học tới, rất mong nhận được sự đóng


góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp
dụng nhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy.
2. Kiến nghị
- Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến những đề tài nghiên cứu
có chất lượng được áp dụng rộng rãi trong các trường. Nhà trường và tổ bộ môn
nên có kế hoạch tổ chức những buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất
lượng giảng dạy, các phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm, báo cáo khoa học.
- Tăng cường bồi dưỡng cho giáo viên về kinh nghiệm giảng dạy cũng
như các chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh, quan tâm và tạo điều kiện cho thế hệ
trẻ phát huy tốt nhất năng lực của mình, nâng cao chất lượng giảng dạy.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết không sao chép nội dung
của người khác

Lê Đăng Hà


TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1 . Sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao lớp 11của BGD-ĐT.

 2 . Sách giáo khoa Giải tích nâng cao lớp 12 của BGD-ĐT.
 3 . Đề thi THPTQG của BGD-ĐT năm 2018.
 4 . Đề minh họa THPTQG của BGD-ĐT năm 2018 và năm 2019.
 5 . Đề thi thử THPTQG của các trường, các Sở năm học 2018 - 2019.
 6 . Bài tập chuyên đề Hàm số của nhóm facebook STRONG TEAM
TOÁN VD-VDC. (Bản thân tác giả là thành viên tham gia)
 7 . Bài tập chuyên đề trên trang web: www.vnmath.vn.
 8 . Bài tập chuyên đề trên trang web: www.violet.vn.


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Đăng Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Triệu Sơn I
TT

Tên đề tài SKKN

1.

Phát triển một số ứng dụng
của BĐT Cô-si
Giải bài toán lập số tự nhiên
bằng phương pháp chọn vị trí
các chữ số
Kinh nghiệm giải các bài toán
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của biểu thức ba biến có tính

chất “hoàn vị vòng”.

2.
3.

.

Cấp đánh giá
xếp loại
HĐKH
cấp ngành
HĐKH
cấp ngành
HĐKH
cấp ngành

Kết quả
đánh giá
xếp loại
C

Năm học
đánh giá
xếp loại
2011-2012

B

2014-2015

B

2017-2018