SKKN một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f(x)

Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
1- MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời
sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Thông qua
việc học Toán, học sinh nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải
toán từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên.
Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi
người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương
pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán, đồng thời vận dụng vào
thực tế.
Các bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x ) là các bài toán khó,
một vấn đề nan giải đối với học sinh THPT, đặc biệt là đối với các học sinh dự thi
THPT Quốc Gia các năm gần đây. Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo
thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó
môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc
thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh
trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp
cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Khi làm một bài toán yêu cầu học sinh
phải có kỹ năng, có suy luận và tư duy toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm
chắc kiến thức cơ bản .
Trong chương trình THPT vấn đề giải quyết các bài toán về hàm số có liên
quan đến đồ thị của hàm f '( x ) có nhiều khó khăn đối với học sinh. Trong quá trình
dạy và đọc các tài liêu tham khảo, tôi đã rút ra kỹ năng nhỏ giúp học sinh giải các
bài toán liên quan đến đồ thị f '( x ) . Xây dựng chương trình giải là một bước rất
quan trọng, để có được chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ
cấu trúc của bài toán, xem xét dưới nhiều góc độ, nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó
định ra hướng giải phù hợp. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
luôn là các bài toán khó có nhiều tư duy logic tổng hợp được nhiều kiến thức trong
chương trình THPT, giáo viên cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải quyết
tốt các bài toán trong chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư duy

toán học, tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói
chung.
Trong quá trình dạy học, ôn thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy phần các bài
toán liên quan đến đồ thị của hàm f '( x ) học sinh còn lúng túng khi làm toán.
Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán
liên quan đến đồ thị của hàm f '( x ) đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiên và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả
năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

1


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f '( x) với các vấn đề
của hàm số y = f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao
trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPTQG.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình
SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y = f '( x) .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận
Định lý:(1) Nếu hàm số u g ( x ) có đạo hàm tại x là u '( x ) và hàm số y
f (u ) có
đạo hàm tại u là y '(u ) thì hàm hợp y f ( g ( x )) có đạo hàm tại x là: y '( x ) y '(u ).u '( x )
.
Dấu của hàm số trên từng khoảng:
Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó

+) f ( x ) 0 với
x (
; a ) ( b; c )
+) f ( x ) 0 với x (a;b) (c; )
+) f ( x ) 0

x a
x b
x c

Như vậy:
a/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x ) nằm phía trên trục hoành
thì trong khoảng đó hàm số f ( x ) đồng biến.
b/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x ) nằm phía dưới trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f ( x ) nghịch biến.
2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số

Định lý: 2 Giả sử hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên I
a) Nếu f '(x) 0, x I
thì hàm số f đồng biến trên I .
b) Nếu f '(x) 0, x I
thì hàm số f nghịch biến trên I .
+) Dấu hiệu hận biết tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
x
a
b
c
y’
+
0

f(b)
y
f(a)
f(c)
- Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) .
Trang 161, sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 NXB Giáo Dục

1
2 Trang 5, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

2


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (b;c) .
2.1.2. Cực trị của hàm số.
Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng bảng biến thiên. 3
x
x0
a
’
+
0
f(x
)
f( x0 )

b

(Cực đại)

f( x )
x

a
+

’

f(x

b

x0

)
f( x )

0

-

(Cực tiểu)

f( x0 )
2.1.3. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bảng biến thiên.
x
x0

a

+

’

f(x

0

b
-

)

f( x0 )
f( x )
f(a )

f(b)

Ta có: Max f (x ) f (x0 )
a;b

x

a
+

’

f(x

b

x0

0

-

)

f(a )
3

Trang 13, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

f(b)
3


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
f( x )
f( x0 )
Tacó:

Min

f(x)

a;b

f(x )
0

3 Trang 13, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

4


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
x
a
b

+

’

f(x

)

f(b)
f( x
)
f(a )
Max
f
(

x
) f (b)
;

Ta có: M inf(x) f (a)

a;b

a;b

x

a

b
-

’

f(x

)

f(a )
f( x
)
f (x ) f (b) ; Maxf (x ) f (a)
Ta có: Min
a;b
a;b

f(b)

2.1.4. Các bài toán liên quan đến tích phân.
+) Diện tích hình thang cong: 4
y
y f(x)
S(x)

O

a

x

S Sb Fb Fa
b x

2.2 Thực trạng của vấn đề
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng
phương pháp này để giải còn rất ít, do đó Phương pháp này không mang tính chất
phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này
một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
4

Trang 146, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

5

Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xảo trong việc giải bài tập vận dụng

4

Trang 146, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

6


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
cao đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao
trong các kì thi THPTQG.
Hòa chung vào sự phấn đấu của các tổ chuyên môn trong nhà trường đội ngũ
giáo viên của tổ Toán đã không ngừng phấn đấu và đóng góp đáng kể vào thành
tích chung của nhà trường . Tuy nhiên thực trạng dạy học toán ở trường THPT nói
chung và trường THPT Tĩnh gia 1 nói riêng đang là điều trăn trở.
Về phiá học sinh:
+ Mặc dù học sinh đã ý thức được tầm quan trọng của toán học, tuy nhiên chất
lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao và chưa đồng . Chất lượng chỉ tương đối
ổn định ở một số lớp khối
+ Vẫn còn học sinh chưa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, học không
thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên. Môn toán học sinh thường mắc phải
những sai lầm từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải các bài toán về đồ thị của
hàm số f '( x ) , có quá nhiều lỗ hổng kiến. Khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn
chế.
- Về phía giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã thay đổi hình
thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức cũng rộng hơn. Bên cạnh
đó hệ thống các bài tập chưa đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn, chưa có chiều

sâu, mới chỉ dừng lại ở việc cải tiến phương pháp. Trong quá trình giảng dạy chúng
ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa chú trọng đến
cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ đó chưa khơi dậy
được niềm đam mê và hứng thú học tập, chưa gợi được động cơ học tập cho hoạc
sinh.
2.3 Một số biện pháp
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp chung:
+) Nếu đồ thị của hàm số y = f ¢( x) nằm trên trục hoành thì f '( x ) 0
+) Nếu đồ thị của hàm số y = f ¢( x) nằm phía dưới trục hoành thì f '( x ) 0
Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.
Đối với hàm hợp chúng ta sử dụng lưu ý thêm: đồ thị của hàm số y = f ¢( x) cắt
trục hoành tại x0 thì f '( x ) 0 . Từ đó ta có thể thiết lập bảng biến thiên của hàm
số y f ( x ) . Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra tính đơn điệu.
( )
¢( )
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f x . Đồ thị hàm số y = f x
như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
( )

(

)

A. Hàm số f x đồng biến trên - 2;1 . B.
( )
(
)
Hàm số f x đồng biến trên 1;+¥
C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

( )
(
)
D. Hàm số f x nghịch biến trên - ¥ ;- 2 .
Phân tích bài toán:

7


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x )

y = f ( x ).

Ta thy rng th ca hm s y = f Â( x) nm trờn trc honh khi x ( 2;1) (1;
nờn f '( x ) 0 vi x ( 2;1)
v (1; )
Â( )
nm phớa di trc honh khi x ( ; 2)
th ca hm s y = f x
Li gii. Da vo th ca hm s y = f '( x) ta thy:
ờ

f '( x) > 0 khi ờ

ộ- 2 < x <1
x>1

ắắđ f ( x) ng

)

bin trờn cỏc khong ( - 2;1) , ( 1;+Ơ ) .

ở

Suy ra A ỳng, B ỳng.
f '( x) <0 khi x <- 2ắắđ f ( x) nghch bin trờn khong ( - Ơ ;- 2) . Suy ra D ỳng.
Dựng phng phỏp loi tr, ta chn C.
Nhn xột: Nh vy t th ca hm s y = f '( x) ta cú th bit c giỏ tr ca hm
s y = f '( x) . T ú a ra li gii chớnh xỏc cho bi toỏn.
Vớ d 2. Cho hm s

th hm s y= f Â(x) nh hỡnh bờn di

Hm s g( x) = f ( 3- 2x) nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. (0;2).
B. (1;3).
C. (- Ơ ;- 1).
D. (- 1;+Ơ ).
Phõn tớch bi toỏn:
Th nht : Ta thy hm s g( x) = f ( 3- 2x) l mt hm hp nờn gÂ( x) =- 2 f Â( 3- 2x) .
Th hai: th ca hm s y = f Â( 3 - 2x) cú dng ging nh th ca hm s
y = f  ( x)

Th ba: th ca hm s nm trờn trc honh thỡ giỏ tr ca nú dng, nm di
trc honh thỡ giỏ tr õm. v bng khụng ti giao im ca nú vi trc honh.


Lời giải.

Ta có g¢( x) =- 2 f ¢( 3- 2x) .

é

êx =

ê
ê

é3- 2x =- 2
ê
Ta có

g¢( x) = 0 Û

f ¢(

theo do thi f '( x)

3- 2x) = 0¬¾ ¾ ¾ ¾® 3- 2x = 2

ê

ê

3- 2x = 5

ë

Û êx =

ê

1

ê
ê

5
2
2

.

x =- 1

ê
ê

êë

Bảng biến thiên

8


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x )

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Lu ý: vớ d ny ta cú th khụng cn lp bng bin thiờn m dựng suy lun ta

cng tỡm c kt qu c th:

 x) > 0 ộ- 2 < x <2

Da vo th, suy ra

ờ

f(

ờ

x>5

.

ở

Ta cú gÂ( x) =- 2 f Â( 3- 2x) .
Xột

()

g x

(

< 0 f  3-

2x

ộ

)

-2

ộ

< 3- 2x < 2

1



ờ
>0 ờ

3- 2x >5
ở

Vy g( x)

ờ

2


ờ

ờ

ờx

<- 1

5
2.

ở

5 ửữ

ỗổ1
nghch bin trờn cỏc khong ỗ

;

ỗ

ữ v

ố2 2ứ

(-

ữ

Ơ ;- 1) . Chn C.

ổ

Nhn xột: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d ta chn x = 0ẻ
3- 2x = 3 ắắắắắđ f Â(3- 2x) = f Â(3) < 0. Khi

Â

ỗ

ỗ- 1;

ỗ

Â

ố

ú g ( 0) =- f ( 3) > 0.

1ử

suy ra

ữ

ữữ,

2ứ

theo do thi f '( x)

Nhn thy cỏc nghim ca gÂ( x) l nghim n nờn qua nghim i du.
Vớ d 3. ( thi THPTQG nm 2018)
Cho hai hm s y f x , y g x . Hai hm s y f x v y g x

cú th nh

hỡnh v bờn, trong ú ng cong m hn l th ca hm s y g x .

Hm s

A. 5; 31 .
5

h x f x 4 g 2x

B. 9 ;3.
4

3
2

ng bin trờn khong no di õy?

C. 31 ; .
5

D. 6; 25 .
4

9


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )

(2;+¥ ).
Phân tích bài toán: Hàm số h x f x 4 g 2x

đó ta cần tìm x để :

3

h x f x 4 2 g2 x

3

là tổng của hai hàm hợp do

2

0

2

Ta có h x f x 4 2 g
9

Dựa vào đồ thị, x

3 2x

3

9

2

2

Suy ra h x

2x

4
, do đó g

3
2

Lời giải

.

25

;3 , ta có

2x

f x 4 2g

4

x 4

7,

f x 4 f 3 10 ;

3 g8 5.
2
3
2x

2

9
0,

x

4

;3

. Do đó hàm số đồng biến

trên 9;3 .Chọn B.
4

Nhận xét: Ở bài toán này ngoài việc dựa vào đồ thị của các hàm số y f x , y g x ta
còn chú ý đến giá trị của nó ở trên từng khoảng mà đề bài cho.


Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx +e , đồ thị hình bên là đồ thị
của hàm số y = f '( x) . Xét hàm số g ( x ) = f ( x2 - 2) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ; - 2) .
B. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( - 1;0 ) .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) .

Hướng dẫn:
Ta có: g '( x ) 2 x. f ' x2

2

éx = 0
g'(x)=0Û

ê

ê2
x

ê

ê2
êx

ë

- 2=- 1Û
- 2=2

é
êx

ê

=0

x = ±1

ê

ê

ëx

= ±2

10


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
2
2
éx <- 2

2

ê

f'(x-2)>0Ûx -2>2Ûx>4Û

ê

-2

x

2x

-

f ' ( 2- x2 )

+ 0 -

g '( x)

-

x>2

ë

-1
0

0 + 0

0

+ 0

0

1
+
-

2

0

+
-

+
0 +

0

-

0 +

Ta chọn đáp án C.

Bài tập rèn luyện:
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
( )
¢( ) như hình bên dưới
Bài 1: Cho hàm số y = f x . Đồ thị hàm số y = f x

Hàm số g( x) = f ( 1- 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. (- 1;0).
B. (- ¥ ;0).
C. (0;1).
D. (1;+¥ ).
( )
¢( )
Bài 2: Cho hàm số y = f x . Đồ thị hàm số y = f x như hình bên dưới

gx=f

(3-

x

) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. (- ¥ ;- 1). B. (- 1;2).
C. (2;3).
D. (4;7).
( )
có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như
Bài 3: Cho hàm số y = f x
hình bên dưới
Hàm số ( )

Hàm số g( x) = 2 f ( x) - x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. (- ¥ ;- 2).
B. (- 2;2).
C. (2;4).
D. (2;+¥ ).
Dạng 2: Cực trị của hàm số
2

11


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x )
Phng phỏp chung:
T th ca hm s y = f Â( x) ta tỡm giao im ca th y = f Â( x) vi trc honh.
Tỡm giỏ tr ca x0 f '( x0 ) i du v thit lp bng bin thiờn.
T bng bin thiờn ta s gii quyt c yờu cu ca bi toỏn.
Vớ d 1. ng cong trong hỡnh v bờn di l th hm s
y = f Â( x). S im
( )
cc tr ca hm s y = f x l

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D.

5.

Phõn tớch bi toỏn:
th ct trc honh ti bao nhiờu im.
Giỏ tr ca y = f Â( x) dng khi no? õm khi no?
( ) cú 4

Li gii. Ta thy th hm s

im chung vi trc honh

fÂx

2

1

3

x ; 0; x ; x

nhng ch i du qua hai im l 0 v x .
Bng bin thiờn
3

Vy hm s y = f ( x) cú 2 im cc tr. Chn A.
Nhn xột: Ta thy th ca f ' x cú 4 im chung vi trc honh nhng ch i
du qua hai im nờn cú hai cc tr.
( )
Â( )

nh hỡnh
Vớ d 2. Cho hm s y = f x . th hm s y = f x
2
(
3
.
bờn. Tỡm s im cc tr ca hm s g( x) = f x
)
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
=
f
Phõn tớch bi toỏn: Hm s g( x) ( x2 - 3 . l hm hp nờn
(

gÂ( x) = 2xf  x2 - 3 ;
(

qua mt im.
Li gii. Ta cú

) th ca hm s

gÂ( x) = 0 ờ
ờ
ở

y = f Â( x )

)

ct trc honh ti hai im v i du

gÂ( x) = 2xf  x2 - 3 ;
(

)

ộ

ộ
ờ

)

theo do thi f '( x)

x=0

f  x2
(

-3 = 0
)

ơắắắắđ x

ờ

ộ

x=0

ờ2

ờ

ờ2

ờx

ở

- 3=- 2


- 3=1 ( nghiem kep)

ờ

ờ

ờ
ờ
ờ

x=0

.

x =1
x =2 (

nghiem kep

)

ở

12


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x )
Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Nhn xột: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d xột trờn khong ( 2;+Ơ )





( 1)

x ẻ ( 2; +Ơ ) đ x > 0.

x ẻ ( 2; +Ơ )

2

2
theo do thi f '( x)
đ x > 4 ắắđ x - 3 > 1 ắắ ắ ắ ắđ f  x

2

(

- 3>0.
)

( 2)

T ( 1) v (2), suy ra gÂ( x) = 2xf Â( x -)3>0 trờn khong (2;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang du + .
Â( )
Nhn thy cỏc nghim x = 1 v x = 0 l cỏc nghim bi l nờn
g x qua nghim
f  ( x)
i du; cỏc nghim x = 2 l nghim bi chn (lớ do da vo th ta thy
tip xỳc vi trc honh ti im cú honh bng 1) nờn qua nghim khụng i
du.
Vớ d 3. Cho hm s y = f ( x) cú o hm liờn tc trờn Ă v f ( 0) <0, ng thi th
hm s y = f Â( x) nh hỡnh v bờn di
2

S im cc tr ca hm s g
A. 1.
B. 2.

Phõn tớch bi toỏn:
- Hm s

g ( x) = f

( )

x =f

2

( ) l:
x

C. 3.

D. 4.

2

( x) l mt hm hp nờn g Â( x ) = 2 f Â( x ) f ( x ) ; g Â( x) = 0

ộ
ờ f Â( x) = 0
ờ
( x) = 0
ở

ờf

-

y = f Â( x) ct

trc honh ti bao nhiờu im?
( )
( )
Lp bng bin thiờn ca hm s g x = f 2 x
ộx =- 2

Li gii. Da vo th, ta cú

f Â( x) = 0

ờ

. ờ =1 ( nghiem

kep) x

Bng bin thiờn ca hm s y =

ở
f ( x)

13


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số

é

x =-

Xét

()

()

g¢ x

= 2f ¢ x f

()
x

;

é ¢

()

ê

f ( x) = 0

ê

g¢ x

=0Û

ê

ë

ê

x =1

ê

theo BBT f ( x)

x = a( a<- 2)
¬¾¾¾¾®

êf ( x) = 0

f '( x )

2

( nghiem kep)

ê

.

ê

ê

x = b( b> 0)

ë

Bảng biến thiên của hàm số g( x)

Vậy hàm số g( x) có 3 điểm cực trị. Chọn C.
Nhận xét: Dấu của g¢( x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0Î ( - 1;b


theo do thi f '( x)

x = 0¾¾¾¾¾® f ¢( 0) > 0.

 Theo giả thiết

f

( )
0

)

( 1)
( 2)

<0.

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra g¢( 0) < 0 trên khoảng ( - 1;b) .
¢( )
Nhận thấy x =- 2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g x đổi dấu khi qua các nghiệm
này. Nghiệm x =1 là nghiệm kép nên g¢( x) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong
bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x =1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu
¢( )
của g x .
( )
( )
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ' x như hình vẽ
bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g( x) = f ( x - 2017) - 2018x+2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Ta có g¢( x) = f '( x - 2017) - 2018; g¢( x) = 0 Û f '( x- 2017) = 2018.
Dựa vào đồ thị hàm số

đơn duy nhất. Suy ra hàm số

(

y = f 'x
(

)

suy ra phương trình

) có 1

gx

(

)

f ' x- 2017 = 2018

có 1 nghiệm

điểm cực trị. Chọn A.

14


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )

Bài tập rèn luyện
( )
¢( )
Bài 1. Cho hàm số y = f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f x như hình vẽ
bên dưới. Hỏi hàm số g( x) = f ( x) +x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0.
C. x = 2.

B. x =1.
D. Không có điểm cực tiểu.

Bài 2. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(
như hình vẽ
x
)

3
bên dưới.Hàm số g( x) = f ( x) - x

3

A. x =- 1.

B. x = 0 .

+ x2 - x+2 đạt

cực đại tại :

C. x =1.

D. x = 2 .

Bài 3. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g( x) = e2 f ( x) +1 +5f ( x) là
3.

4.
A. 1.
B. 2.
C.
D.
( )
¢( ) như hình vẽ bên dưới.
Bài 4: Cho hàm số y = f x . Đồ thị hàm số y = f x

15


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
) có 5 điểm cực
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) = f (
m

gx

x

+m

trị ?
A.

2.

B. 3.

C. 4.

D. Vô số.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và so sánh các giá trị của hàm số.
Phương pháp chung:
- Từ đồ thị của hàm số y f x ta thiết lập bảng biến thiên , từ bảng biến thiên ta sẽ
giải quyết được yêu cầu của bài toán
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
2; 2 , có đồ thị của hàm số
y f x như hình bên. Tìm giá trị 2;2 . x0 để hàm số y
f x đạt giá trị lớn nhất trên
A. x0 2 .
C. x0 2 .

y

B. x0 1.
D. x0 1.

x

Phân tích bài toán:

2

Ứng với x thuộc khoảng nào thì

f '( x )

1O

1

2

0; f '( x ) 0 ?

Từ đó thiết lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x
y,

-2

+

-1
0

1
+ 0
f

y

2

1

( )

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2. ( Đề thi ĐH Vinh lần 4 năm 2017) Cho hàm số f x có đạo hàm là
f x . Đồ thị của hàm số y
f x
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

16


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
f0

f3

f2

f 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất m

giá trị lớn nhất M của
A. m f 0 , M f 5 .

và

f x trên đoạn 0;5 ?

B. m f 2 , M f 0 .

C. m f 1 , M f 5 .

D. m f 2 , M f 5 .

Phân tích bài toán : Học sinh dựa vào đồ thị hàm số
f '( x )
để thiết lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn:

x

0

y,

0

3

2
-

0

5

+

+
f ( 5)

f ( 0)
y

f ( 2)
min
f
é ù

ë

û

(

x=f

2

)

( 2)
;

( ) và ff( 3) >

0;5

ê ú

f0

f3

f2

f5

f0

f5

f2

f3

0

ff( 0) <

( 5)

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Cho 3 hàm số y f x , y g x f x , y h x đường cong trong g x có đồ thị là 3
hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g 1 h 1 f 1 .

y

B. h 1 g 1 f 1 .

C. h 1 f 1 g 1 .
D. f 1 g 1 h 1 .
x

Hướng dẫn:
Pương pháp: Đồ thị của hàm số f '( x) cắt trục hoành tại

2

1 0,5 O0,5 1 1,5

3

2

2

1

những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x)

17


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành ( nếu có) sau đó dựa vào tính
chất sau:
f '( x ) 0, x I f ( x ) tăng trên I. Hàm f '( x ) 0, x I f ( x ) giảm trên I
y hx
g x có đồ thị là 3 đường theo thứ tự

số y f x , y g x f x ,
là ( 1) ; ( 2 ) ; ( 3) .
Từ đồ thị ta thấy: h 1 g 1 f Ta chọn 1
đáp án B.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số f x có đạo hàm là
f x . Đồ thị của hàm số y f x được
cho như hình vẽ bên. Biết rằng f 0 f 1 2 f 2 f
4 f 3 . Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của f x
trên đoạn 0; 4 ?
A. m f 4 , M f 2 . B. m f 4 , M f 1 .
C. m f 0 , M f 2 . D. m f 1 , M f 2 .

Bài 2. Cho hàm số y f x
có đạo hàm f x liên
trên và đồ thị của hàm số f x
trên đoạn 2;6
như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A. max f x f 2
. B.
max f x f 2 .
x 2;6

C. max f x f 6 .
x 2;6

x

tục

2;6

D. max f x

f 1.

x 2;6

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến tích phân.
Phương pháp:

18


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
b

b

f ( x ) dx >0.

ò

b

ò f ( x ) dx <0.

a
b

ò f ( x ) dx = S1 - S

a

f ( x ) dx = f (b ) - f ( a ).

ò

2

+S3.

a

a

yf(x

Ví dụ 1.(Đề thi THPTQG năm 2017) số
)
yf(x)
. Đồ thị của hàm số
như hình bên. Đặt
2
h ( x ) 2 f ( x ) x . Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. h (4) h ( 2) h(2) C. . B. h (4) h ( 2) h(2) .

h (2) h (4) h( 2)
. D. h (2) h ( 2) h(4) .
Hướng dẫn:

x x

Ta có h '( x ) 2 f '( x ) 2 x 2 f '
y=x
Ta vẽ đường thẳng
.

h2
h(4)-

-2

h ' x dx = 2

4

()

ò ( )
=

2

ò ()

- 2 =

h
h(4)-

2

)

(

h(2)-

2

h ' x dx = 2

ò

-2

x - x dx > 0

é ( )

ù

-2

û

f ' x - x dx < 0 Þ

)

-2 .

( )

)

h 4
2 .

2

é
f'(x)

-2

(

)

Þh 2 >h

(

û

4

h ' ( x ) dx = 2

(

ù

f'

-2

òë

4

h ( - 2) =

é ( )
òë

2

.

òë

ù
- x dx = 2

û

4

é
-2

òë

ù
f'(x)-

û

x dx + 2

2

é

ù

òë

f ' ( x ) - x dx

û

h (4) - h (- 2) = 2 S1 - 2 S 2 > 0 Þ h ( 4 ) > h ( - 2 ) .

Như vậy ta có: h ( - 2 ) < h ( 4 )
19


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
f x

Ví dụ 2. Cho hàm số y

f x có đạo hàm

liên tục trên

và đồ thị của hàm

số f x như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f ( a ) > f ( b) và f ( c ) > f ( a).
B. f ( a ) > f ( b) và f ( c ) < f ( a) .
C. f ( a ) < f ( b) và f ( c ) > f ( a).
D. f ( a ) < f ( b) và f ( c ) < f ( a) .
a

Hướngdẫn: f ( a ) - f ( b ) = ò f ' ( x ) dx > 0 Û f ( a ) > f ( b) .
b

c

f ( c ) - f ( a ) = ò f ' ( x ) dx < 0 Û f ( c ) < f ( a).
a

Ta chọn đáp án B.

a b c d
thỏa mãn 0 a b c d và hàm số y f x .
Ví dụ 3. Cho các số thực , , ,
m
Biết hàm số y f x
có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn
trên 0;d . Khẳng định nào sau đây là khẳng
nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x
định đúng?
y
a b

c

d

x

O

A. M m f 0 f c .
C. M m f b f a .
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên:
x
a
0

y,

-

y

f ( 0)
f ( d)

0

B. M m f d f c .
D. M m f 0 f a .

b

c

+ 0

- 0

f ( b)

d

+

20


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
f ( a)

f(c)

So sánh f ( a ) ; f ( c )
c

b

c

f ( c ) - f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a ) Þ m = f ( c ).
a

a

b

a

b

So sánh f ( 0) ; f ( b ) ; f ( d) .
b

f ( b ) - f ( 0 ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < 0 Þ f ( b ) < f ( 0 ) .

0
d

0
c

a

d

f ( d ) - f ( b ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < 0 Þ f ( d ) < f ( b).
b

b

c

Þ f ( d ) < f ( b ) < f ( 0 ) Þ M = f ( 0) . Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b , c , d Î ¡ ; a ¹ 0) có đồ thị

=-

(C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y
9 tại điểm có hoành độ
dương và đồ thị hàm số y = f '( x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần
nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C) và trục hoành?
A. 2.

B. 27.

C. 29.

D. 35.

Hướng dẫn:
Ta có f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx +c . Dựa vào đồ thị hàm số
y = f '( x) ta thấy đồ thị hàm số y = f '( x) đi qua 3 điểm ( - 1;0 ) , ( 3,0 ) , ( 1, -

1

4) ta tìm được: a = 3 ; b =- 1; c =- 3 .

1
Suy ra: f ' ( x ) = x 2 - 2 x - 3 Þ f ( x ) = 3 x 3 - x 2 - 3x +C .
=-

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y 9 tại điểm có hoành độ dương nên ta có:
f ' ( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x =3.
Như vậy (C) đi qua điểm ( 3; - 9) ta tìm được C = 0 Þ f ( x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x .
3

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
1 x 3 - x 2 - 3 x = 0 Û x = 0; x = 3±3 5
.
3

2

21

Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x )
3+3 5

2

1 3
2
S = ò 3 x - x - 3 xdx = 29,25. Ta chọn đáp số C.
3- 3 5
2

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho
hàm số y = f ( x) xác định=và liên tục trên
đoạn [ 1;2], có đồ thị của hàm số y f '( x) như hình vẽ
sau. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. max f ( x ) = f ( - 1 ). B. max f ( x ) = f ( 2 ) .
[- 1;2]

[- 1;2]

æö
C.

max f

[- 1;2]

=f

x
(

)

1.
(

3
)

D.

Bài 2. Cho hàm số y

=

[- 1;2]

max f

(

x

)

=f

÷

ç

ç
ç

÷

.

÷

è2 ø

f ( x) xác định và liên tục trên ¡ ,

=
như hình vẽ sau. Đặt
có đồ thị của hàm số y f '( x)
g ( x ) = f ( x ) - x Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. g ( - 1) < g ( 1) < g( 2 ) . B. g ( 2 ) < g ( 1) < g ( - 1) .
C. g ( 2 ) < g ( - 1) < g( 1) .

D. g ( 1) < g ( - 1) < g( 2 ) .

Một số bài toán khác.
Gọi S là quãng đường mà vật đi được, v là vận tốc và t là thời gian. Ta có : S ' v

Bài toán 1:( Mã Đề 101- Đề thi THPTQG năm 2017) Một
vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong
khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị
I(2;9)
đó là một phần của đường parabol có đỉnh
và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ
thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
A. s 23,25 (km)

B. s 21,58 (km)

C. s 15,50 (km)

D. s 13,83 (km)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol
v ( t ) = at 2 + bt +c ( km / h) .

22