SKKN kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 7

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản của
chương I đại số 7 cũng là nôi dung cơ bản của chương trình Toán 7. Trong quá
trình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải dạng toán
về tỉ lệ thức. Dạng toán này xuất hiện nhiều trong cac đê thi hoc sinh giỏi Toan
7. Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài
tập thì chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi day
phân nay giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít khó khăn để biên soạn cho
hết nội dung của chủ đề. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu
thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày môt sô kinh nghiêm vê nội dung
kiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dang ap dụng trong việc giảng dạy cho học
sinh.
Đôi với hoc sinh, thông qua hướớ́ng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp học
sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú trong
học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát đồng
thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi lam bai tâp.
Trường THCS Xuân Vinh là trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn còn hạn chế
so vớớ́i mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và
dự thi học sinh giỏỏ̉i cấp huyện. Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏỏ̉i môn Toán 7 nhiều năm vớớ́i mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán
và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và
viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh đại trà hiêu được kiên thưc cơ bản va vân dụng kiên thưc
môt cach linh hoat vao giai bai tâp;
Giúp học sinh giỏỏ̉i được tiếp cận vớớ́i nhiều dạng và nhiều cách giải để
không còn thấy khó khăn khi găp phai dang bai tâp nay;
Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạy
được tốt hơn về dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say
mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏỏ̉i người giáo viên phải có một phương
pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối vớớ́i từng bài dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cưu:
Đề tài nghiên cứu về việc hướớ́ng dẫn học sinh sử dụụ̣ng tỉ lệ thức, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán trong chương trình Đại số 7.
1.4. Phương pháp nghiên cưu:
- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa,
sách bài tập, sách tham khảo, tài liệu trên mạng…
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp đối chứng;
- Phương pháp thực nghiệm;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm…
1


2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Kiến thức cơ bản
a c
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d . ( b 0; d 0 )
Ta còn viết:
a : b = c : d.
trong đó a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ; b và c là các số hạng trong
hay trung tỉ
b. Tíí́nh chất của t ỉ lệ thức:
a c
Tíí́nh chất 1: Nếu b d thì a.d = b.c
Tíí́nh chất 2: (Đao lai)

Nếu a.d = b.c vớớ́i a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a
c ; a
b ;d
c ; d b
b

d

c

d

b

a

c

a

Như vậy, vớớ́i a, b, c, d 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể
suy ra các đẳng thức còn lại:
a.d = b.c

a

c

a

b

d

c

d

b

b

d

c

d

b

a

c

a

c. Tíí́nh chất của dãy tỉ sốí́ bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c suy ra
b

d

Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau
a c
b

d

e

a c e

a c e

f

b d f

b d f

a
b
c
d

a
b

c

d
e
f

a c
b d

a c
b d

ta suy ra:

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n 2): a

a

b

b

1

1

a1
b

a

a2
b

1

2

...

3

b

a
b

3

, (b ≠ ± d)

2

a1 a2 a3 ... an
b b

n

2

1

b

3

... b

n

... a n

b

bn

3

2
n

a

3

a1 a2 a3 ... an
b b b ... b
1

2

3

thì

n

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
d. Nâng cao.
k 1a k 2 c k 3 e
a c
1. Nếu b d
1

2. Từ a c

=> a b

b

Nếu a
4. Nếu a
3.

b

e
f k thì k b k 2 d k 3 f

d

c
c
d

c d ; a b
a
d

b
a2
e
f

c2
b2

ac b d
d 2 bd
a
c 3 e
3

b

3

d

3

f

3

a.c.e

3

b.d. f

k

c d

(Tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

c

2.1.2. Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c

xyzabc

2


Lu ý: Nu t du trc s hng trờn ca t s no thỡ cng t du
- trc s hng di ca t s ú. Tớnh cht ca dóy t s bng nhau cho ta
mt kh nng rng rói t mt s t s bng nhau cho trc, ta lp c nhng
t s mi bng cỏc t s ó cho, trong ú s hng trờn hoc s hng di ca nú
cú dng thun li s dung cỏc d kin ca bi toỏn.

2.2. Thc trang võn ờ trc khi aớp dung saớng kin
Qua quỏ trỡnh cụng tỏc ging dy v bi dng phn kin thc v t l thc,
ca dóy t s bng nhau tụi thy:
- Hc sinh ( ngay c giỏo viờn) gp nhiu sai sút trong quỏ trỡnh gii toỏn. Cỏc
em hay sai trong cỏch trỡnh by li gii, s nhm ln gia du = vi du =>;
gia = vi du +, s dung thiu d kin bi toỏn hoc vn dung tớnh cht
mt cỏch tng t ...
- Hc sinh cũn hc vt, lm vic rp khuụn, li suy ngh, li t duy dn n
mt i tớnh tớch cc, c lp, sỏng to ca bn thõn;
- Mt s giỏo viờn cha thc s quan tõm tỡm tũi, phõn dng tỡm hiu chuyờn
sõu tng dng toỏn;
- Hc sinh sau khi i tỡm c mt li gii ỳng thỡ cỏc em hi lũng v dng li
m khụng i tỡm cỏch gii khỏc, khụng sỏng to gỡ thờm nờn khụng phỏt huy ht
tớnh tớch cc, c lp, sỏng to ca bn thõn;
- Ti liu vit v cỏc dng toỏn ny cũn ớt, mi cun ch cp n mt dng
nho v cha a ra phng phỏp gii cu th hoc phng phỏp gii n gin
cha a ra c nhiu cỏch gii phỏt trin bi toỏn
Trc thc trng trờn ũi hoi giỏo viờn phi cú cỏc gii phỏp trong phng
phỏp dy hc sao cho phự hp. Nm hc 2016 2017 tụi c giao nhim vu
dy Toỏn 7. Khi 7 cú 02 lp vi 56 hc sinh. Gia hc kỡ I ca nm hc, tụi ra
kho sỏt hc sinh nh sau: Thi gian 45 phỳt
Bai 1 (3 im): Tỡm x, y bit
a. x y v x + y = 16.
b. 3x = 7y v x y = 20
c.

3
x
3

5
y
4

v 2x 3y = -12

Bai 2(3 im): Tỡm x , y, z bit
x
2

y
4

z
5

x
3

y
4

y
;5

z
7

a.
v x + 2y z = 10

b.
v 2x + 3y z = 186
Bai 3 (3 im): Cú 16 t giy bc loi 2000, 5000 v 10000. Tr giỏ mi
loi tin trờn u bng nhau. Hoi mi loi cú my t?
a

Bai 4 (1 im): Cho ba t s bng nhau:
b

b

;
c

c

c

;
a

a

.
b

Kt qu ban u khi cha ỏp dung sỏng kin kinh nghim ny:
Gioỷi Khaự Trung Yeỏu Keựm bỡnh

3

SL
3

56

%
5,4

SL
8

%
14,
3

SL
27

%
48,
1

SL
15

%
26,
8

SL
3

%
5,4

Đứng trướớ́c thực trạng trên tôi đưa ra một số dạng toán và cách giải giúp các
em không còn sai sót khi trình bày lời giải. Các dạng toán đó là:
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
2. Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
3. Toán chia tỉ lệ.
4. Tính giá trị của biểu thức
2.3. Giải pháí́p vàà̀ tổ chức thựụ̣c hiện
Để học sinh vận dụụ̣ng kiến thức giải bài tập một cách chính xác, nhanh
nhất, ngắn nhất giáo viên cần giúp các em xác định kiến thức, phương pháp cơ
bản cần dùng để giải từng dạng toán cụụ̣ thể. Muốn khắc sâu kiến thức cho học
sinh, giáo viên cần chọn nhữữ̃ng bài tập có tính chất cơ bản và mang tính phát
triển các kiến thức ở mọi khía cạnh, hướớ́ng dẫn học sinh giải các bài tập theo
nhiều cách khác nhau. Qua đó giúp học sinh vừa nắm được kiến thức cơ bản vừa
phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài, tạo hứng thú và yêu thích
môn học.
2.3.1. Dạụ̣ng 1: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháí́p giải: Tìm cách biến đổi tỉ lệ thức ban đầu để trở về đẳng
thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trướớ́c bằng một hằng số k nào đó
rồi biến đổi các vế của đẳng thức cần chứng minh theo hằng số k.
Bàà̀i 1.1 (Bài 102a/ tr50/ SGK):
Cho a c (a, b, c, d 0, ab, cd
). Chứng minh rằng: a b c d .
b

d

b

d

Hướớ́ng dẫn: Đối vớớ́i bài toán này ta có thể biến đổi tỉ lệ thức cho trướớ́c để
a c
trở thành đẳng thức cần chứng minh hoặc đặt b d k rồi biến đổi hai vế của
đẳng thức cần chứng minh theo k.
- Giao viên trinh bay ki cho hoc sinh bôn cach giai
sau: Giải:
a

c a

b

a

b

a b c d
Cách 1: b d
(đpcm)
b
d
c d
c d

Cách 2: ( cách này được áp dụụ̣ng vào nhiều bài toán dạng này)
Đặt: a c k suy ra a bk ; c dk

d

b

a b

Khi đó ta được:

b
c d
d

Từ (1) và (2) suy ra :
Cách
3:

a

c

b

d

ad = bc

a b

c d

b

d

bk b

b(k 1)

k 1
b
b
dk d
d (k 1) k 1
d
d
a b c d
(đpcm)
b
d

(1)
(2)

ad + bd = bc + bd ( a + b)d = ( c + d)b

(đpcm)
4

Cách 4: b

a
b

d

a

c

a

d

b

c

d

1

1

a

b

b c

d

d

(đpcm)

abcdabc
d

c

a c

Giao viên kêt luân: Như vây đê chưng minh ti lê thưc dạng: b d , ta
thương dung hai phương phap chinh:
Phương phap 1: Chưng tỏ tich ad băng tich bc
Phương phap 2: Chưng tỏ hai ti sô co cung gia tri. Nêu trong đê bai đa cho
trước môt ti lê thưc khac, ta co thê đăt gia tri cua môi ti sô ơ ti lê thưc đa cho
băng k, rôi tinh gia tri cua môi ti sô trong ti lê thưc phai chưng minh theo k (cach
2) cung co thê dung cac tinh chât cua ti lê thưc như hoan vi cac sô hang, tinh
chât day ti sô băng nhau, tinh chât cua đăng thưc… đê biên đôi ti lê thưc đa cho
đên ti lê thưc phai chưng minh (cach 1, 3)
Kinh nghiêm khi day bai tâp dạng 1.1 giao viên nên đưa ca 4 cach giai trên
đê hoc sinh đươc biêt, tuy nhiên giao viên nên cho hoc sinh nhân xét tưng cach
giai, phân tich cach giai, chon cach giai tôi ưu cho bai toán va chon cach giai
phu hơp với cac bai tâp dang tương tư như bai tâp 1.1.
Giao viên kêt luân: Cach 2 có thê ap dung được cho nhiều bai toán

chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Bàà̀i 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
(a

b

0) ,

0, c d

ta có thể suy ra tỉ lệ thức

.

Giáo viên định hướớ́ng cho hoc sinh lam theo cach 1, cách 2 va cach 4 của bài 1.1
Giải:

Cách 1: Từ a

c

b

d

Cách 2: Đặta

c
d

b

a
c

k

b a b a b
d

c d

c d

suy ra a bk ; c dk

a b bk b b.( k 1)

k 1

a b c d
a b

c d

Khi đó: a b

bk b
c d dk d d

Và

c d

dk d

Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 3: Ta có: a c
b

d


a
b

Từ (1) và (2) =>

c
a
d
b
a b a b
c d

c d

1c 1
d
a b

a b
b
c d

a b

c d

c d
d

a b
c d

b
d

(đpcm)

Bàà̀i 1.3 (Bài 84/ Tr 14/ SBT):
Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc (vớớ́i a b, a c) thì:
a) a b c a
b) c a c 2
a b

c a

b

b a2

(1)
(2)

5


Hướớ́ng dẫn: Từ a2 = bc ta suy ra được tỉ lệ thức nào? (

ac

hoặc

ab

ca

)

ba

Giải:
a) Giáo viên có thể hướớ́ng dẫn học sinh giải theo các cách sau:
a c . Đặt a c
k a bk , c ak
Cách 1: Từ a 2 bc
bk 1

b

k 1

a b bk b b k 1
ak a
ak 1

k 1
k 1

b

Khi đó:

a b

a

bk b

c a

a

, b 0 (1)
a 0 , (2)

c a ak a a k 1 k 1
c a (đpcm)
Từ (1) và (2) suy ra: a b
a b

c a

Cách 2: Ta có

a b

a.(a
a.(a

a b
b.(c

=

Do đó:

a) c
a)

b.(c

a b

a 2 ab
a 2 ab

b)
b)

bc ab

bc ab

(do a2 = bc)

a

c

( do a, b 0)

a

c a (đpcm)
c b

a b

Cách 3: Từ a2 = bc

a

b

a b

a b

a b

c a c a c a

Nhận xét: Ngược lại từ a b

c a

(đpcm)

a b c a

c a
c b ta cũng suy ra được a2 = bc (Bài 60/ Tr 35/

a b

Sách Tuyển chọn 400 bài tập Toán 7 - Phan Văn Đức)
a b
Từ đó ta có bài toán: Cho a b

c a
c b chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác

0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức.
c 2
a c 2
a c 2 (1)
2
b)
Từ a 2bc a c a c
b a
a

2

b a b a

b

a
Ta lại có

c

2

a
a2

b a
b c
c

b

a c

2

b2 b2
(đpcm)

b (vì a 2

bc ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: b b
a2
Bàà̀i 1.4 (Bài 54/ Tr 21/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):
Chứng minh rằng nếu

a

c

b

d

a) 5a 3b

5c 3d

5a 3b

5c 3d

thì:

b) 7 a 2 3ab 7 c 2 3cd
11a 2 8b 2

11c 2 8d 2

Hướớ́ng dẫn: - Ở câu a làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
a

- Ở câu b từ b

c
2
2
d làm thế nào để xuất hiện a , b ?

- Tính chất nâng cao của dãy tỉ số bằng nhau cho ta biết gì?
6


Giải:
a) Cách 1: Từ:

a

c

a b

b

d

c

a

Cách 2: Đặt b d

d

5c

3d

5a 3b 5a 3b

5a 3b

5c 3d

5c 3d

5a 3b

5c 3d

5c 3d

.

suy ra: a = kb; c = kd.

k

b.(5k 3)
b.(5k 3)
d.(5k 3)

5k 3
5k 3
5k 3

5c 3d
5kd 3d
d.(5k 3)
suy ra: 5a 3b 5c 3d

5k 3

Khi đó:

Từ (1) và (2)

c

5a 3b

5a 3b
5a 3b
5c 3d

5kb 3b
5kb 3b

5kd 3d

5a 3b

(1)
(2)

5c 3d

b) Cách 1:
a

c

a

b

b

d

c

d

a2

b2

c2

d2

7 a 2 3ab

a

Khi đó:

7a 2

8b2

3ab

11a2

7a 2 3ab

11a 2

8b2

7c2

8d 2

3cd

11c2

7c 2 3cd

11c 2 8d 2

11a 2 8b2

Vậy: 7 c 2 3cd
Cách 2: Đặt b d

a
b
c
d

11c 2 8d 2 (đpcm)

c

suy ra: a = kb; c = kd.

k

7a 2 3ab
11a 2 8b 2
7c 2 3cd

7(kb)2 3kb.b
11(kb) 2 8b 2

7(kd )2 3kd.d

7k 2b2 3kb2
11k 2 b 2 8b 2
7k 2 d 2 3kd 2

11c 2 8d

11(kd ) 2 8d

11k 2 d

2

7a

2

3ab

2

11a

2

8b

2

8d

2

b2 .(7k 2 3k)
b 2 .(11k 2 8)
d 2 .(7k 2 3k)
d 2 .(11k 2 8)

7k 2 3k
11k 2 8
7k 2 3k
11k

2

(1)
(2)

8

2

Từ (1) và (2) suy ra: 7 c 2 3cd 11c 2 8d 2 .
Nhận xét: Trong câu a và b thì cách 1 ngắn gọn hơn tuy nhiên khó hơn, còn
cách 2 tuy dài hơn nhưng dễữ̃ hơn.
Bàà̀i 1.5: (Nguồn internet, hệ quả của bài tập 55/ tr21/ Sách nâng cao và các
chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2)
a
(đk: b;d ≠ 0) thì b

Hướớ́ng dẫn: Ở bai toan nay đê bai cho cac đăng thưc, tư cac đăng thưc ta phải
chưng minh ti lê thưc, giao viên co thê hướng dân hoc sinh suy luân ngươc như
sau:
d

a

c

c

Muôn co b d a.d = b.c …………. (a + c)d = c(b + d). Căn cư vào
(1) va (2) ta đưa ca hai vê của (1) cung băng 2bd. Vây tư a + c = 2b ta nhân ca
hai vê với d. Ta co thê trinh bay bài giai như sau:
Giải:
Ta có: a c 2b
a c d 2bd 3
Từ (2) và (3) suy ra: c( b+ d) = ( a+c)d

cb + cd = ad + cd
7


a c
cb = ad b d (đpcm)
Bàà̀i 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):
cx az
ay bx (vớớ́i a, b, c 0) Chứng minh rằng: x
Biết: bz cy
a

b

c

a

y
b

z
c

Hướớ́ng dẫn: Giáo viên hướớ́ng dẫn học sinh suy luận ngược:
Để có x y z ay = bx, cx = az, bz = cy ay – bx =0, cx – az = 0, bz –
cy=0
Giải:
Ta có:

a

b

c

bz cy cx az ay bx

=

abz acy bcx abz acy bcx

a
b
c
abz acy bcx abz acy bcx
a2 b 2 c 2
bzcy

S uy ra:

0

a2

a

0
a

aybx

cx

az

2

b

2

b2

c

c2

0

2

aybx0
bzcy0

b

0

cxaz0

0
c

y
bzcy

z
c

b

z
c

x
cxaz

a

aybx

x

y

Suy ra

x

y

z

a

b

c

a

b

(đpcm).

Bài 1.7: (Nguồn internet)
Cho: 2 x1 3 y1 2004 2 x2 3 y 2 2004 2 x3 3 y3 2004 ... 2 x2005 3 y2005
Chưng minh răng: x1 x2 x3 ... x2005 1,5
y y y ... y
1

Hướng dân:

2x1 3y1

2

2004

0

2005

3

2004

? ( 2x1 3y1

2004

- Có nhận xéớ́t gì về
0)
2004
2004
2004
- Khi đó: 2x1 3y1
+ 2x2 3y2
+. . .+ 2x2005 3y2005
như thế nào? ( 0)
- Từ đề bài suy ra điều gì: 2x1 3y1 2004 + 2x2 3y2 2004 +. . .+ 2x2005 3y2005 2004 =0
- Vận dụụ̣ng bài 1.6 giải tiếp bài toán
Giải:
Ta có: 2x1 3y1 2004 0 ; 2x2 3y2 2004 0 ;… 2x2005 3y2005 2004 0
do đó: 2x1 3y1 2004 + 2x2 3y2 2004 +. . .+ 2x2005 3y2005 2004
0
2004
2004
2004
Mà: 2x1 3y1
+ 2x2 3y2
+. . .+ 2x2005 3y2005
0
2004
2004
2004
Nên: 2x1 3y1
+ 2x2 3y2
+. . .+ 2x2005 3y2005
=0

Hay: 2x1 3y1 2004 0 ; 2x2 3y2 2004 0 ;…; 2x2005 3y2005 2004 0 ;
3y
0
Suy ra: 2x1 3y1 0 ; 2x2 3y2 0 ;…; 2x
2x
3y
2x1
3y1 ; 2x2
3y2 ;…;
xx
x
x
3
2005

2005

1 2

3

y y

...

y

1 2

2005

2005

y

3

2005

2005

2

Áp dụng tinh chât cua day ti sô bằng nhau ta co:
x

1

y1

x

2

y2

x3 ...

x

y3

y

2005

x1 x 2 x3

... x2005

3 1,5

y1 y 2 y3

... y2005

2

(đpcm).

2005

8


Nhận xét: Từ bài 1.7 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như sau:
Cho: ax1 by1 2k + ax2 by2 2k +. . .+ axn byn 2k
0
b
Chứng minh rằng: x1 x2 ... xn

y y

2

... y

n

a

1

2.3.2. Dạụ̣ng 2: Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số
bằng nhau.
Phương pháí́p giải: Đối vớớ́i từng bài thì có phương pháp giải riêng tuy
nhiên chủ yếu dùng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Vận dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụụ̣.
Phương pháp 3: Dùng phương pháp thế.
Bàà̀i 2.1 (Bài 74/ Tr14/ SBT): Tìm hai số x, y biết:

xy

và x + y = -21.

2

5
bằng nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối vớớ́i bài này giáo viên cần hướớ́ng dẫn,
trình bày cụụ̣ thể và nêu nhữữ̃ng chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ở

mụụ̣c thực trạng của vấn đề. Ví dụụ̣:
21 3 .
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y
2

5

2 5

7

Điềà̀u nàà̀y làà̀ thiếu sót vì nếu chỉ áí́p dụụ̣ng tíí́nh chất của dãy tỉ sốí́ bằng nhau
chỉ cho ta đến x y x y . Cần có thêm điềà̀u kiện x + y = -21 thì ta mới
2

đượụ̣c

x
2

y
5

x y
2 5

5 2 5
21 3 .
7

Giải:
Cách 1: Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y = -21 ta có:
x

Suy ra :
6;

x 3
2

y x y 21 3 25257
y 3y
5

x = -3.2 = -

= -3.5 = -15

Vậy x = -6 ; y = -15
Lưu ý: Ngoài cách giải trên thì giáo viên còn có thể hướớ́ng dẫn học sinh
theo cách sau:
x

y

Cách 2: Đặt ẩn phụụ̣: Đặt 2 5 k , suy ra: x = 2k, y = 5k
Theo giả thiết: x + y = -21 nên: 2k + 5k = -21 7k = -21 hay k = -3
Do đó: x = - 6 và y = -15
x

Cách 3: Phương pháp thế: Từ: 2

y

5

x

2 y
5

7 y

mà x + y = - 21 suy ra: 5 = -21 nên y = -15
Do đó: x = - 6.
Nhận xét: Trong ba cách giải trên thì cách 1, 2 hay dùng nhất còn cách 3 thì ít
sử dụụ̣ng vì kĩ năng biến đổi theo phương pháp thế của học sinh lớớ́p 7 còn hạn
chế.
9


x y

y z

Bàà̀i 2.2 (Bài 61/ Tr31/ SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng: 2 3 ; 4 5
và x + y – z = 10
Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa có một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất
y
y

hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thế nào? Ta thấy ở tỉ số 3 và 4 có hai số
hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dướớ́i (ta
tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy
đồng hai tỉ số này.
Giải:
y z
y
z
Ta có: x y x y (1) ;
(2)
2

3

8

12

4

5

12

15

x
Từ (1) và (2) suy ra: 8 12y 15z .
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x+ y - z = 10 ta có:
x

8

y
12

z
15

x y z
81215

10 2
5

Suy ra: x = 8.2 = 16 ;
y = 12.2 = 24 ;
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z =30
Bàà̀i 2.3 (Bài 80/ Tr 14/ SBT):
Tìm a, b, c biết rằng:

abc

; và a + 2b - 3c = - 20

z = 15.2 = 30

23

4
Giải:

a

Ta có: 2 b3 4c = a2 26b 123c
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + 2b - 3c = - 20 ta được:
a
2

2b
6

3c
12

a 2b 3c
2612

20 5
4

Suy ra: a = 5.2 = 10; b = 5.3 = 15; c = 5.4 = 20
Vậy: a = 10 ; b = 15 ; c = 20
Bàà̀i 2.4 (Bài 21/ Tr 20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7): Tìm x, y, z biết:
x
y ;y
3
4 3
2x
3y
b)
3

4

z
5
4z
5

a)

và 2x – 3y + z = 6

và x + y +z = 49

Hướng dẫn: - Câu a là sự kết hợp của bài 2.2 và bài 2.3
- Câu b, ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống
hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x; 3y; 4z, làm thế nào để các số hạng
trên chỉ còn là x; y; z. Ta sẽ tìm BCNN (2; 3; 4) = 12 và khử các hệ số của tử để
các số hạng trên chỉ còn là x; y; z
Giải:
y
z
y
z
a) Ta có: x y x y (1) ;
(2)
3

4

9

Từ (1) và (2) suy ra:

12
x
9

y
12

z
20

3
2x
18

5
12 20
3y
z .
36 20

Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và 2x - 3y + z = 6 ta có:
10


x

y

z

2x

3y

z

9

12

20

18

36

20

Suy ra: x = 3.9 = 27;
y = 3.12 = 36;
Vậy: x = 27; y = 36; z = 60
4
2x
3
b) Ta có: 2 x 3
y

z

3

4

5

6

18 36 20

3

2

z = 3.20 = 60
4z

y

3.12

2x 3y z

4.12

hay x

5.12

18

y

z

16

15

Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 49 ta có:
x
18

y
16

x 1x
18

Do đó:

z
15

x y z
18 16 15

49 1

49
y 1y=
16

= 18 ; *

16 ;

*

z 1z
15

= 15

Vậy: x = 18; y = 16; z = 15
Nhận xét: Trong các câu a, b chúng ta còn có thể hướớ́ng dẫn học sinh giải bằng
cách đặt ẩn phụụ̣ .
Bàà̀i 2.5 (Bài 45/ Tr 20/ Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 - Vũ Dương Thụụ̣y):
a9 9 và a1 + a2 + ... + a9 = 90(1)
Tìm các số a1, a2, …a9 biết a1 1 a2 2 ...
9

8

1

Giải:
Cách 1: Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a1 + a2 + ... + a9 = 90 ta có:
a

2 ...
90 45 =1
a1 1
a9 9 = (a1 a2 ... a9 ) (1 2 ... 9)
2
9

8

1

98...1

45

Từ đó dễữ̃ dàng suy ra: a1 = a2 = a3 =...= a8 = a9 =10.
Nhận xét: Ngoai cach trên, trong qua trinh day cho hoc sinh tôi còn hướớ́ng
dẫn hoc sinh các cach khac, đo la:
1 a2 2 1 ...
a1 1 a2 2 ...
a9 9
a1 1
a9 9 1
Cách
2:
9
a1 10
9

a

2

Từ đo ta tim

8
1
9
8
1
10 ...
a9 10
(a1 a2 ... a9 ) (10 10 ... 10)
8
1
98...1
a1 ; a 2 ;...; a10 môt cach dễữ̃ dang a1 a2 a3 ... a9 10

Cách 3: Đặt: a1 1
98

a2

2

a

a3 3 ...

90 90 0

98...1

9 k

9

1

7

suy ra: a1 = 9k+1; a2 = 8k +2; a3 = 7k +3;... a9 = k+ 9 rồi thế vào (1) tìm k
Bàà̀i 2.6 (Đề thi HSG lớớ́p 7 Huyện Thọ Xuân năm học 2015 - 2016):
2c 5a
5b 3c và a + b + c = 50
Tìm ba số a, b, c biết 3a 2b
3

5

Hướớ́ng dẫn: Vận dụụ̣ng bài 1.6 để biến đổi
thức quen thuộc
Giải: 3a 2b
Ta có:
5

=

2

3a 2b

5

2c 5a 5b 3c 15a 10b

3
2
15a 10b 6c 15a 10b 6c
5 23 2 2 2

2c 5a
3

3c 15a 10b 6c

52

32

22

0
5 23

2

0
2

2

5b 3c
2

thành tỉ lệ


11


3a2b
Suy ra:

5
2c5a

0
5b3c

5 b3 c

3a2b

0

2c5a

3
0

2

a
2c5a
5b3c

b

2

3a2b

3

c

a

2

5
c

3

5

b


0

0

0

a

Suy ra: 2 b3 5c
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + b + c = -50 ta có:
a

Suy ra:

a 5 a5.2 =

b c a b c 50 5 23523510
b
3

-10;

2

Vậy a = -10; b = -15; c = -25.

5 b5.3 =

c 5 c5.5 =
5

-

-25

15;
x

Bàà̀i 2.7: (Nguồn internet) Tìm các số x, y, z biết
Hướớ́ng dẫn: - Cách 1: Hãy đặt

xyz

y

5

7

z

(1) và x2

y2

z

2

= 747

3

573

= k, tính x 2, y2, z2 theo k rồi tìm k

Giải:
x y z

Cách 1: Đặt 5 7 3 = k x = 5k ; y = 7k ; z = 3k Vì x2
+ y2 + z2 = 747 nên 25k2 + 49k2 + 9k2 = 747
83k 2

747 k 2 9 k 3

Vớớ́i k = 3 suy ra: x = 5.3 = 15; y = 7.3 = 21; z = 3.3 = 9
Vớớ́i k = -3 suy ra: x = 5.(-3) = -15; y = 7.(-3) = -21; z = 3.(-3) = -9
Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là: (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)
Cách 2:

x
5

y
7

x2
25

z
3

y2
49

z2

9

Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x
x2

25

y2

49

z2

9

2

2

x y z
25 49 9

2

2

y2

z2=

747 ta có:

747 9
83

Suy ra: x2 = 9.25 = 225
x = 15 hoặc x = -15
Vớớ́i x = 15 thay vào (1) ta tìm được y = 21; z = 9
Vớớ́i x = -15 thay vào (1) ta tìm được y = -21; z = -9
Lưu ý: Vớớ́i dạng bài tập này học sinh thường mắc các sai lầm sau:
- Theo cách 1: Từ k2 = 9 học sinh chỉ suy ra k = 3 do đó thiếu trường hợp k = -3
- Theo cách 2: Từ x2 = 225 học sinh chỉ suy ra x = 15 do đó thiếu trường hợp
x = -15 hoặc các em hiểu sai tính chất nên vận dụụ̣ng:

x
5

y

z

x2

y2

z2

7

3

25

49

9

z

( Ở đây dấu = sau tỉ số 3 là sai)
Bàà̀i 2.8 (Bài 62/ Tr31/ SGK –Toán 7 tập 1):
x y
Tìm hai số x và y, biết rằng 2 5 và xy=10.
Phương pháí́p giải: Giả sử phải tìm hai số x, y biết a

x

y

b

và x.y = P

12

Đặt a

x

y

k suy ra: x = k.a, y = k.b.

b

do đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2
Chú ý:

P
ab . Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.

k2

P
ab

- Cân lưu y cho hoc sinh vớớ́i k 2

P
ab

thì k có hai giá trị là k

và k

P
ab

- Cần tránh sai lầm khi áp dụụ̣ng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x

y

xy

a

b

ab

(sai)

Giai:
Cách 1: Đặt x
2

y k , suy ra: x = 2k, y = 5k.
5

Vì x.y =10 nên 2k.5k = 10 10k2 = 10 k = 1 hoặc k= -1
+ Vớớ́i k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ Vớớ́i k = -1 thì x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5.

Vậy: x = 2; y = 5 hoặc x = - 2; y = - 5
xx
y x
x2 xy 10
Cách 2: Từ x y
2

5

2 .2

5.2

4

10

10 1

Suy ra: x2 = 4.1 = 4 x = 2 hoặc x = -2
Vớớ́i x = 2 y = 10 : 2 = 5
Vớớ́i x = -2 y = 10 : (-2) = -5
Lưu ý: vớớ́i bài này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
- Vớớ́i cách 1: Khi k2=1 k 1 ( rất nhiều học sinh chỉ suy ra k = 1)
x

y

x. y 10
10 1

Vớớ́i cách 2: Học sinh sai lầm khi áp dụụ̣ng tương tự: 2 5 2 .5
hoặc từ x = 2 suy ra y = 5 dẫn đến kết luận sai bài toán.
Bàà̀i 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7):
-

Tìm các số x, y, z biết rằng:
Giải:
Cách 1: Đặt

x
2

y
3

z
5

xyz

và xyz = 810

235

= k, suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 5k

Vì xyz = 810 nên 2k.3k.5k = 810 30k3 = 810 k = 3
vớớ́i k = 3 thì x = 2.3 = 6 ; y = 3.3 = 9 ; z = 5.3 = 15
Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15

x3
y3 z3 x.y.z 810
Cách 2: x y z
2

3

5

23

33

53

2.3.5

30 27

Suy ra : x3 = 23.27 =216 ; y3 = 33.27 = 729 ;
z3 = 53.27 = 3375
x=6
y=9
z = 15
Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15
Nhận xét : Dạng toán như bài 2.8; 2.9 không khó khi ta nắm được các bướớ́c giải
và có thể mở rộng cho nhiều biến. Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trong trường
hợp số mũ của k là số chẵn thì phải xéớ́t đủ các trường hợp của k.
2.3.3. Dạụ̣ng 3: Toán chia tỉ lệ
13

Phương pháp giải
Bước 1: Biểu diễữ̃n các đại lượng cần tìm (hoặc các đại lượng liên quan) bằng
các chữữ̃ cái (gọi là ẩn) . Chú ý điều kiện và đơn vị của ẩn
Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện ràng buộc của các ẩn
Bước 3: Tìm các thành phần chưa biết của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.
Bàà̀i 3.1 (Bài 77/ Tr13/ Sách 500 bài toán chọn lọc):
Ba lớớ́p 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 1020 cây. Số cây lớớ́p 7B trồng được bằng
8

9 số cây lớớ́p 7A trồng được, số cây lớớ́p 7C trồng được bằng

17
16 số cây lớớ́p 7B

trồng được. Hỏỏ̉i mỗi lớớ́p trồng được bao nhiêu cây?
Hương dẫn: Nêu gọi số cây trông được của ba lớớ́p 7A, 7B, 7C theo thứ tự
8

17

là x, y, z. thi ta có điều gì? ( x + y + z = 1020, y = 9 x , z 16 y ).
Giải:
Gọi số cây trồng được của ba lớớ́p 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z
8
17
Đk: x; y; z N , x; y; z 1020
y

Theo đề bài ta có: x + y + z = 1020, y = x , z
*

Do:

z

Do: y =

17

y

16
8 x
9

nên
nên

z

17

z

y
y

16

8

17 16
y x
y

x

9

8

x
18

y
16

y

9

z
17

16

9

16

(1)
x
18

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
.
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 1020 ta có:
x
18

y
16

z
17

x y z
18 16 17

1020 20
51

Từ đây tìm được: x= 360; y = 320; z = 340 ( TMĐK)
Vậy số cây trồng được của ba lớớ́p 7A, 7B, 7C lần lượt là 360; 320; 340 cây. Bàà̀i
3.2 (Bài 64/ Tr31/ SGK): Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ vớớ́i các số 9;
8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh.

Tính số học sinh mỗi khối?
Hướng dân: giai tương tư như bai 3.2
Giải:
Gọi số học sinh khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d ( học sinh)
Đk: a, b, c, d N*, b > 70
Theo bài ra ta có: a : b : c : d = 9 : 8 : 7 : 6 và b – d = 70
a b

cd

Hay 9 8 7 6 và b – d = 70
Áớ́p dụụ̣ng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và b – d = 70, ta có:
a

b c d b d 70 35 9876862

Do đó: a = 35.9 = 315; b = 35.8 = 280; c = 35.7 = 245; d = 35.6 = 210 (TM)
Vậy số học sinh của khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315; 280; 245; 210 học sinh
Bàà̀i 3.3 (Bài 120/ Tr39/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):
14


Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ
5

10

nhất vớớ́i số thứ 2 là 9 , của số thứ nhất vớớ́i số thứ ba là 7 .
Hướng dân: - Gọi ba số cần tìm lần lượt là: x; y; z, chúng tỉ lệ vớớ́i ba số nào?
- Tim môi quan hê giữữ̃a ba sô với BCNN cua chung.

Giải:
Gọi ba số nguyên dương cần tìm lần lượt là: x; y; z ( Đk: x; y; z N)
Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150
Theo bài ra ta có: x 5 x y x y (1) ; x 10 x z (2)
y

9

x

Từ (1) và (2) suy ra: 10
x

y

5

y

18

9

10

18

z

7

10

7

z

7

z

Đặt 10 18 7 = k , suy ra: x = 10.k = 2.5.k; y = 18.k = 2.32.k; z = 7.k
Suy ra: BCNN (x, y, z) = 2.32. 5.7.k
Mà: BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.32. 5.7.k = 2.32.52.7
Từ đó suy ra: k = 5
Vớớ́i k = 5 Suy ra x =10 . 5 = 50; y = 18 . 5 = 90; z = 7.5 = 35
( TMĐK) Vậy 3 số nguyên dương cần tìm lần lượt là 50; 90; 35.
Bàà̀i 3.4 (Bài 49b/ Tr40/ Sách Đại số nâng cao 7 THCS):
Một hình chữữ̃ nhật có các cạnh tỉ lệ vớớ́i nhau theo 4 : 7 và có diện tích là 112 m2.
Tính các cạnh của hình chữữ̃ nhật đó.
Hướng dẫn: - Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữữ̃ nhật đó lần lượt là x, y
thì ta có điều gì ? (x . y = 112 và x 4 hay x y ).
y

4

7

7

- Đây là dạng toán tương tự bài 2.8
Giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữữ̃ nhật đó lần lượt là x (m), y(m)
(Đk x, y > 0)
Theo bài cho ta có: x . y = 112 và x 4 hay x y
y

Đặt

x

y
4

7

4

7

= k, suy ra x = 4k ; y = 7k

7

28k2 = 112 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2.
+ Vớớ́i k = 2 thì x = 4.2 = 8 ; y = 7. 2 = 14
+ Vớớ́i k = -2 thì x = 4.(-2) = -8; y = 7. (-2) = -14
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của hình chữữ̃ nhật nên x = 8 và y =
14 Vậy chiều rộng hình chữữ̃ nhật: 8(m); chiều dài hình chữữ̃ nhật: 14(m).
Bài 3.5 (Bài 24/ Tr 32/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7):

Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội theo tỉ lệ 7 : 6 : 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ vớớ́i 6 : 5 : 4.
Như vậy có một đội làm nhiều hơn so vớớ́i dự định là 6m 3. Tính số đất đã phân
chia cho mỗi đội.

15


Hướng dẫn: Ở bai toan nay ta phải tìm ra đội nào làm nhiêu hơn dự định 6m3
bằng cách tìì̀m số đất của mỗi đội phảả̉i làm so với số đất dựự̣ địự̣nh của ba đội.
Giai:
Gọi tổng số đất của ba đội là x (m3 ) ( x > 0)
Số đất dự định chia cho 3 đội lúc đầu lần lượt là: a, b, c
x a
7x ; b 6x ; c 5x (1)
Ta có: a b c a b c
7

6

5

7

6 5

18

18

18

18

Số đất sau đó chia cho 3 đội lần lượt là a’, b’, c’ ta có:
,
,
,
x a,
6x ; b,
5x ; c,
a,
b, c, a b c
6

5

6 5 4

4

15

15

4x

15

(2)

15

So sánh (1) và (2) ta có: a’ > a; b = b’; c’< c nên đội 1 làm nhiều hơn lúc đầu.
6x
7x
Vây: a’ – a = 6 hay
=6
x = 540 (TMĐK)
Vớớ́i x = 540

15
6. 540
15

a,

18
216

;

5.540

b,

15

180

;

c,

4.540

15

144

Vậy số đất đã chia cho 3 đội lần lượt là 216(m3 ); 180(m3 ); 144(m3 )
2.3.4. Dạụ̣ng 4: Tính giá trị của biểu thức:
Phương pháp giải: Vận dụụ̣ng kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để tìm giá trị của biến từ đó tính giá trị biểu thức
Bàà̀i 4.1 (Bai 54/ Tr18 / Sach nâng cao va phat triên toan 7):
Cho tỉ lệ thức 3 x y 3 . Tính giá trị của tỉ số x
x y

4

y

Hướớ́ng dẫn: Dùng tính chất của tỉ lệ thức biến đổi giả thiết về dạng ax = by
x b

để suy ra y a .
Giải:
Từ 3 x y

3 4( 3x – y) = 3(x + y)

4

x y

12x – 4y = 3x + 3y

x
7
12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y y = 9 Vậy
x

7
y= 9
3x y

3

3x 1
y
x1
y

Cách 2: Từ:
x y

4

4.( 3a – 1) = 3.( a +
7

x
3
4

Đặt

=a
y

3a 1
a 1

=3
4

1) 12a – 4 = 3a + 39a = 7
7

x

a = 9 hay y
9.
Bàà̀i 4.2: (Nguồn internet)
y z x
trị của biểu thức P =
.
x y z
Cho 2 3 4 . Tính giá
x y
z

Hướng dẫn: Đặt các tỉ số bằng k, biểu diễn x, y, z theo k rồi thay vào P.
Cách 1: Đặt

x
2

y

z

3

4

=k

x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k

0)

16


3k 4k 2k

Khi đó: P =

=

2k 3k 4k

Cách 2: Ta có x
2

y
3

5k

5.

3k

3

5

Vậy P =

3

z = y z x
3 4 2
4

y z x
5

x y z
2 3 4

x y z
3

y z x x y zy z x 5 . Vậy P = 5
53x y z 33

Nhận xét: Với hai cách trên thìì̀ cách 1 học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu
hơn cách 2
Bàà̀i 4.3: (Đề thi HSG Toán lớớ́p 7 Huyện Hoằng Hóa năm học 2011 – 2012)
a
b
c
d
Cho dãy tỉ số bằng nhau
Tính giá trị của biểu thức M

b c d
a c d
a b d
a
b
b
c
c
d
d
a
=
c d

a d a b
b c

a b c

Phương pháp: Ta nhận thấy: Tử 1 + mẫu 1 = tử 2 + mẫu 2 = tử 3 + mẫu 3, từ đó
ta biến đổi các tỉ số ban đầu về dạng các tỉ số có cùng tử và xéớ́t các trường hợp
xảy ra.
Giải:
a
b
c
d
Từ:
b c d
a c d
a b d
b c a
a
b
c
d
1
1
1
b c d
a c d
a b d
b c a 1
a b c d

a b c d
a b c d
a b c d
(*)
b c d
a c d
a b d
b c a
M=-4
+) Nếu: a b c d 0 a b ( c d ); b c ( a d )
+) Nếu: a b c d 0
Từ (*) ta có: b c d a c d a b d b c a
a b c d M 4

Lưu ý: Với bai nay giao viên yêu cầu hoc sinh xét hêt cac trương hơp co
thê xay ra
Bai tâp
tươngCho
tự: dãy tỉ số bằng
nhau
2012 a b c d
2011a

a 2012b c d
a b 2012c d
2011b
2011c
b c c d
Tính giá trị của biểu thức M a b
c d a d

a b c 2012d
2011d
d a

a b b c

( Đê thi hsg Toan 7 huyên Ngoc Lăc năm hoc 2013-2014)
Hướớ́ng dẫn: Tử 1 - mẫu 1 = tử 2 - mẫu 2 = tử 3 - mẫu 3, biến đổi về 4.3
Bàà̀i 4.4: ( Nguồn internet)
Cho a, b, c đôi một khác nhau và thỏỏ̉a mãn a b b c c a
Tính giá trị của biểu thức

P 1

a

1

a

b

c

a
c

c

a

1

b

Hướớ́ng dẫn: Thực hiện tương tự bài 4.2
Giải:
a b 1
b c 1
Từ: a b b c c a
c

c
b

a

c a 1
b

b


17


a b c
c

a b c

a b c
(*)
b
a
+) Nếu: a b c 0 a b c; a c b; b c
P a b b c a c c a b abc 1
b
c
a
b c a
abc
+) Nếu: a b c 0 Từ (*) ta có: a b b c
c
a


a

a c
b 2 P=8
Lưu ý: Trong qua trình day va hoc nhiêu thầy cô va hoc sinh không xét
từng trường hợp ma chi đưa ra được trường hợp P = -1
hoặc từì̀ a b c = a b c = a b c học sinh sẽ suy ra ngay a = b = c từì̀ đó tính
c

a

b

đượự̣c P = 8. Vì vậy khi day cho hoc sinh giao viên cần lưu ý cho hoc sinh
xét đầy đu hai trường hợp như trên.
Bàà̀i 4.5: (Đề thi HSG Toán lớớ́p 7 Huyện Hậu Lộc năm học 2013 – 2014)
bc
ca
Cho các số a; b; c khác 0 thỏỏ̉a mãn: ab
a b

Tính giá trị của biểu thức P

b c

c a

ab 2 bc 2 ca2 a 3
b 3 c3

Hướớ́ng dẫn: Sử dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm ra mối liên hệ giữữ̃a a, b, c
rồi thế vào P.
Giải:
a b
b c
c a
bc
ca
Vớớ́i a , b , c 0 ta có: ab
c a

a b b c

b

1 1

a

1

c b

1 1 1
a c

1

1 1
a b
c

ab

bc

ca

a =b = c.

Thay a =b = c vào P ta được P = a3 a3 a3 1
a3 a 3 a 3

BÀI TẬP Áí́P DỤNG
Bàà̀i 1. Tìm các số x, y, z biết rằng
a) 2x 3 4x 5
b) x
5x 2

10x 2

1

y

z

2

3

và 4x – 3y + 2z = 36

c) 2x = 3y; 5y = 7z; 3x–7y+5z =30 d) x: y: z= 3: 4: (-2) và xyz = 124
4

2

3

x 16
f) 9

y 25
16

z 9
3
1 15
25 và 2 x

e) x 1 y 2 z 2 và xyz =12
Bàà̀i 2. Tìm các số x, y, z biết rằng:
a. x : y : z 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 – 3z2 = -100
b. 3 x 1 2 y 2 ; 4 y 2 3 z 3
và 2 x 3 y z 50
c.

12 x 15 y 20 z 12 y 15 y 20z và x y z 48

7911

18


2 x 3 y 4 z
3
4
5 và x y z

d.

49

Bàà̀i 3. Tìm các số x, y, z biết:
a. x 3 ; y 5 và 2 x 3 y 5 z 1
y 2z
c. 2 x 1

b, 1 4 y

7

y 2

1 8y

19

5x

13

2x 3y 1

6x
Bàà̀i 4. Cho tỉ lệ thức a

y z 1

d,

x z 2

y x 3

xy

7

5

1 6y

1
x y z

z

c . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( vớớ́i giả
d

b

thiết các tỉ số đều có nghĩa )
a. 2 a 7b 2 c 7d
3a 4b
c. a b 2

3c 4d
a 2 b2
2

c d

c d

b, 2015a 2016b

2015c 2016d

2016c 2017 d
d, ab 2 a 3b 2

2016 a 2017b
e, 7 a 2 5ac

2

c
d

2c 3d

Bàà̀i 5. Cho dãy tỉ số bằng nhau: a1
a

2

a2

thức:

a2 a3

... a2014

a3 a4

... a2015

a1

a

2015 a

2

a

a

a 4

a

3

a
3

a1

7a

2

2014

5ac

7b 2 5bd
7
b

2

5bd

chứng minh đẳng

2
0
1
5

2
0
1
4

c
x,y,z,t
ax yb 0
zc td 0
d các số
thỏỏ̉a mãn
và
xc yd
Chứng minh rằng: xa yb
za tb
zc td
2
a
13b
2c 13d Chứng minh rằng: a c
Bàà̀i 7. Cho tỉ lệ thức
3a 7b
3c 7d
b d
a
b
c
d
Bàà̀i 8. Cho dãy tỉ số bằng nhau
b c d
a c d
a b d
b c a
Chưng minh răng biêu thưc M a b b c c d d a co gia tri nguyên

Bàà̀i 6.

a
Cho b

c d a d a b b c

Bàà̀i 9. Tìm số tự nhiên có ba chữữ̃ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các
chữữ̃ số của nó xếp từ nhỏỏ̉ đến lớớ́n thì tỉ lệ vớớ́i 1; 2; 3
Bàà̀i 10. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4, 12, x. biết rằng
x là một số tự nhiên. Tìm x
2.4. Kết quả nghiên cứu:
Sau một thời gian áp dụụ̣ng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy kết quả mang lại
rất khả quan. Cuối học kì I năm học 2016 – 2017 tôi ra đề khảo sát:
Đề khảo sát ( Thời gian: 45 phút)
Bàà̀i 1 (3 điểm): Tìm x, y biết
a. x y và x + y = 15.
b. 7x = 3y và x – y = 16
c.

2
x
3

3
y
4

và 3x – 2y = -10

Bàà̀i 2(3 điểm) : Tìm x , y, z biết
x

y

z

a. 1

2

3

và 4x - 3y +2z = 36 b. 3x = 2y, 75 = 5z và x - y + z = 32


19