Tải bản đầy đủ (.doc) (30 trang)

SKKN giúp học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.55 KB, 30 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
THI VÀO THPT

Người thực hiện: Lê Thị Hùng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Định Công
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA, NĂM 2018

0


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................................................. 1
1.2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................................ 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................. 2
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận............................................................................................................................ 2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng................................................................ 3
2.3. Các giải pháp và biện pháp thực hiện....................................................................... 3


Phần I: Ôn tập và bổ sung một số kiến thức............................................................... 3
Phần II: Các phương pháp giải bài toán tìm GTLN(Max), GTNN(Min)
của một biểu thức......................................................................................................................... 5
Phần III: Phân loại một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu
thức...................................................................................................................................................... 10
Phần IV: Những sai lầm học sinh thường mắc phải............................................ 19
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm................................................................. . 20
3. KẾT LUẬN
* Bài học kinh nghiệm............................................................................................................ 21
3.1. Kết luận................................................................................................................................... 22
3.2.Kiến nghị................................................................................................................................ 22

1


ĐỀ TÀI:
GIÚP HỌC SINH LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU
THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Như chúng ta đã biết: Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát
triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy
bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hằng ngày. Muốn có
những tri thức đó con người cần phải học, nhà trường là một trong những nơi cung
cấp những hành trang đó. Toán học là môn học cơ bản. Thông qua việc học toán,
học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán mà từ
đó vận dụng vào các môn khoa học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên.
Toán học là cơ sở cho mọi ngành khoa học khác vì vậy có vai trò quan trọng trong
dạy học ở trường phổ thông, đòi hỏi người thầy phải có nghệ thuật sáng tạo, đổi

mới phương pháp dạy học để đáp ứng nhu cầu học của học sinh.
Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường trung học cơ sở là nhiệm vụ
xuyên suốt của mỗi giáo viên nói riêng và mỗi nhà trường nói chung, trong đó chất
lượng lớp 9 là cơ sở đánh giá của quá trình giáo dục ở cấp trung học cơ sở.
Là một giáo viên dạy toán lâu năm ở trường THCS bản thân luôn trăn trở làm
thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn. Để làm được điều đó mỗi giáo viên cần đổi
mới phương pháp giảng dạy, tích cực kiểm tra, theo dõi sát việc học tập của học
sinh. Qua đó, cần phải uốn nắn giải đáp vướng mắc cho các em, điều chỉnh phương
pháp giảng dạy sao cho học sinh dễ học, dễ nhớ, khắc sâu được kiến thức.
Trong chương trình toán học ở trường THCS không có bài học về “Giúp
học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại
số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT”. Tuy nhiên trong hệ thống các bài
tập đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi, học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10
chúng ta lại bắt gặp khá nhiều dạng toán này. Trong năm học 2017 – 2018 dưới
sự phân công của nhà trường, tôi trực tiếp giảng dạy môn toán 9 và thấy việc
tiếp cận các bài toán dạng này của các em còn rất lúng túng, thậm chí các em
còn chưa hiểu rõ mình phải làm gì trước câu hỏi đặt ra của đề bài. Vì thế tôi đã
cố gắng tìm tòi và phát hiện ra ngay từ các lớp dưới các em đã không được làm
quen với các khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Để giúp học sinh có một công cụ để giải quyết các vấn đề tồn tại trên, tôi
mạnh dạn đưa ra “Giúp học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” với mong
muốn giúp các em trút bỏ được nỗi băn khoan, lo lắng khi tiếp cận với hệ thống
các bài tập dạng này.
Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm
tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi
những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để
sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán.
2



1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm củng cố cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi môn toán
lớp 9 một số kiến thức để giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của một biểu thức đại số. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học
sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp các em nhận biết và tránh
những sai lầm khi giải toán để bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác
hơn, không những vậy mà còn giúp các em tự tin hơn khi học toán.
Đề tài cũng nhằm giúp cho giáo viên có thêm một tư liệu, cẩm nang bổ
ích để thực hiện nhiệm vụ dạy học sáng tạo, có hiệu quả.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị).
- Một số dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại
số trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9.
- Phân tích, nhận xét, đánh giá những sai lầm mà học sinh thường mắc phải và
rút ra bài học kinh nghiệm.
Trong phạm vi giới hạn tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu một số phương
pháp chung cơ bản nhất, nhằm cung cấp cho các em kiến thức cơ bản nhất về
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
1. 4. Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham
khảo, tài liệu bồi dưỡng, …
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh
nghiệm cho lớp học sinh sau.

2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Năm học 2017 - 2018 là năm học mà toàn ngành tổ chức phong trào thi đua
với chủ đề “Đổi mới, sáng tạo trong dạy và học” nhằm tiếp tục triển khai có hiệu

quả Nghị quyết 29- NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp hành Trung ương
khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Động viên cán bộ
quản lý, nhà giáo, người lao động trong toàn Ngành thể hiện bằng những việc
làm cụ thể, thiết thực để đổi mới, sáng tạo trong công tác, hoạt động dạy và học
của nhà giáo và học sinh, sinh viên, tạo bước chuyển biến mới về nâng cao chất
lượng giáo dục và đào tạo - thực hiện nhiệm vụ phát triển nguồn nhân lực, nhất
là nguồn nhân lực chất lượng cao.
Trường THCS là cơ sở giáo dục của bậc trung học, là bậc nối tiếp của bậc
tiểu học trong hệ thống giáo dục quốc dân. Trường THCS có vai trò, vị trí lớn
lao trong việc thực hiện mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục trong thời đại mới - thời
đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa.
Trường THCS tạo những cơ sở ban đầu rất quan trọng và bền vững cho trẻ em,
ở đó các em được trang bị các kiến thức cơ bản trong mọi lĩnh vực nói chung và
lĩnh vực khoa học tự nhiên nói riêng trong đó có toán học - toán học giữ vai trò hết
sức quan trọng, nó sẽ là hành trang xuyên suốt cả cuộc đời con người. Toán học
được hình thành và phát triển trong các em ngay từ bậc tiểu học và phát triển sâu
3


hơn, cao hơn bậc trung học, ở trường THCS nó lại là tiền đề để các em hoàn
thiện hơn ở cấp học tiếp theo.
Trong trường THCS các em đã được hình thành và ngày càng hoàn thiện các
khái niệm, tiên đề, định nghĩa, tính chất, mệnh đề ... toán học. Các kiến thức về
toán học này sẽ tiếp tục theo các em tiến bước lên cấp học, bậc học trên. Trong
phạm vi đề tài tôi chỉ đề cập “Giúp học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào
THPT” nhằm trang bị cho các em những khái niệm cơ bản về toán cực trị để tạo
tiền đề cho các em bước vào trường THPT và bậc học cao hơn.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG.
a. Thực trạng dạy và học ở trường THCS.

Việc truyền thụ những kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức cho học sinh là một vấn đề được nhiều giáo viên quan tâm, song vì lý
do nội dung chương trình nên phần lớn chỉ được đưa vào dạy và học nội dung
này trong các buổi học ngoại khóa hoặc bồi dưỡng ...
Mặt khác bài toán cực trị lại là một bài toán khó và đa dạng, học sinh không
dễ dàng tiếp cận ngay được, mà phải có một thời lượng nhất định và đặc biệt là
người giáo viên phải biết truyền đạt nội dung đó như thế nào để trong một thời
lượng nhất định đó học sinh có thể tiếp nhận được.
b. Thực trạng của học sinh.
Qua kiểm tra cho thấy khả năng giải bài toán tìm cực trị của các em không cao,
các em thường nghĩ giải xong một bài toán là xong một công việc mà không nghĩ
được rằng bài toán đó có ý nghĩa như thế nào và như thế khi gặp một bài toán có
phương pháp giải tương tự các em lại lúng túng không biết tháo gỡ ra sao.… Bên
cạnh đó còn có những giáo viên chưa chú trọng đi sâu vào nội dung một cách
lôgíc, hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên việc tiếp nhận kiến
thức của học sinh gặp nhiều khó khăn thậm chí học sinh còn rất mơ màng, lúng
túng, không đưa ra được lời giải hợp lí và tính chính xác của toán học. Vì vậy
kết quả của học sinh lớp 9 trong năm học 2016-2017 như sau:
Năm học

Tổng

Giỏi

Khá

SL

% SL


2

5.5 8

Trung bình

Yếu

Kém

số HS
2016-2017

36

%

SL

%

SL

22.2 18

50

6

% SL


16.7

2

%

5.5

2.3. CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
PHẦN I. ÔN TẬP VÀ BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC
Đây là một yêu cầu hết sức quan trọng trong lời giải toán cực trị, bởi việc
nắm bắt các kiến thức này giúp học sinh đánh giá, nhận xét một bài toán từ đó
tìm tòi lời giải một cách hợp lý nhất. Cụ thể là: người thầy phải cho học sinh hệ
thống lại một số đẳng thức.
1. a2 0 với mọi a R: Tổng quát a2k 0 với mọi a R (k z+). Dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi a = 0
4


2. - a2 0 với mọi a R: Tổng quát - a2k 0 với mọi a R (k z+). Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi a = 0
3. a =
4. a0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
2

a khi a 0

a


5. | |
6.
aaa

a khi a 0

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

7.
aba b

8.
9.

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0

a2 + b2

2ab. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

a b; ab 0

10.

1
1
a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức côsi (Cauchy).
Với hai số thực không âm a và b ta có: a b


2 ab . Đẳng thức xảy ra khi và

2
a 1 a 2 ..... an

chỉ khi a = b
Với n số thực không âm a1, a2, ....an ta có:

n

a 1 .a 2 ...an . Đẳng

n

thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
11. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số thực (a1, a2...., an); (b1, b2, ....bn) ta có :
(a1b1 + a2b2+....+ anbn)2 (a12 + a22 + .... + an2)(b12 + b22 + ....+ bn2). Đẳng thức xảy
an
ra khi và chỉ khi a 1 a 2 ...
b

1

b

2

bn


12. Sử dụng các mệnh đề tương đương:
* A nhỏ nhất – A lớn nhất.
lớn nhất. (B > 0)
* B lớn nhấtB2
* C nhỏ nhất

1
C lôùn nhất. (C > 0)

13. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm
của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
x
-b/a
ax + b
Trái dấu với a
0 Cùng dấu với a
Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất có nhiều ứng dụng như: giải bất
phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích. Nếu số nhân tử âm mà
chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng
khoảng giá trị của biến.
PHẦN II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN(MAX),


GTNN(MIN) CỦA MỘT BIỂU THỨC.
5


* Định nghĩa 1: Cho một biểu thức f(x;y;…) xác định trên miền D. ta nói M

là giá trị lớn nhất(GTLN) của f(x;y;…) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:
- Với mọi x; y; … thuộc D thì f(x;y;…) M với M là hằng số
- Tồn tại x0; y0; … thuộc D sao cho f(x;y;…) = M
* Định nghĩa 2: Cho một biểu thức f(x;y;…) xác định trên miền D. Ta nói m
là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của f(x;y;…) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện:
- Với mọi x; y; … thuộc D thì f(x;y;…) m với m là hằng số Tồn tại x0; y0; … thuộc D sao cho f(x;y;…) = m.
Như vậy khi tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, giáo viên phải lưu ý
cho học sinh giải quyết hai điều kiện, nếu thiếu một trong hai điều kiện trên thì
sẽ chưa kết luận gì về cực trị của một biểu thức.
Để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng, giáo viên nên cho học sinh nắm bắt vấn
đề từ dễ đến khó, từ những phương pháp đơn giản nhất với những bài toán đưa ra
cũng đơn giản nhất nhằm thu hút sự chú ý của học sinh và đặc biệt là tạo hứng thú
học tập cho học sinh. Chính vì lẽ đó, tôi đã đưa ra một số phương pháp sau:
1. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.
a. Phương pháp đưa về lũy thừa bậc
chẵn.
Cho biểu thức y = f(x) ta phải biến đổi y = f(x) như sau:
* y = f(x) = M - g ( x) 2k (k z+) và M là một hằng số. Khi đó ta có: y
M
GTLN của y bằng M khi và chỉ khi g(x) = 0. Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm
được giá trị của x0
* y = f(x) = m + g( x) 2k (k z+) và m là một hằng số. Khi đó ta có: y
m
GNLN của y bằng m khi và chỉ khi g(x) = 0. Giải phương trình g(x) = 0 ta tìm
được giá trị của x0.
Sau khi học sinh đã nắm được vấn đề cần giải quyết, giáo viên đưa ra ví dụ
minh họa cho việc làm.
VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 – 5x + 1
HD giải.
5


Ta có A = x2 – 5x + 1 = (x 21 x 5
MinA =
Vậy MinA =

4
21
4

2

21

2

) + 4
=0 x=5 .

4

2

2

x=

21

5
2


.

VD 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 1 + 6x – x2
HD Giải.
Ta có B = 10 – (x2 – 6x +9) = 10 – (x- 3)2 10 Max B = 10 x = 3 Dạng
tổng quát: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Tìm GTLN của P nếu a < 0
x2

VD 3. Tìm GTNN của biểu thức C =

Ta có C = 2017x

2

2x

2

2017

x

HD Giải.
2.2017x 2017
= x 2 2.2017 20172
2


2017x 2

2017x2

2016x 2
2017x

2

6


2

x 2017

2016

2016

2017

2017

2016

=

MinC =


2017x

x = 2017

2017

(Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị)
b. Phương pháp đưa về dạng m f ( x) 2k (k z); m là hằng số.
g

( x)

Việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở phương pháp này đòi hỏi
phải tách, thêm bớt một cách khéo léo mới làm xuất hiện dạng tổng quát.
Chẳng hạn như:
5
VD 1: Tìm GTNN của C
2x 2 8x 1

Giải:
Ta có:

5

C

5

2


2x 8x 1

2x

22

7
5

2

Ta thấy 2 x

2

Vậy MinD

5 khi x=2

7 7

5
2

2x 2

7

7


7

VD 2: Tìm GTLN của D

3
9x

2

6x 5

Giải:
Ta có:

D

Ta thấy

3
9x 2 6x 5
2

3x

3
3x

2

1


4

4 4 do đó

1

3
3x

3 (theo quy tắc so sánh hai
2

1

4

4

phân thức cùng tử, tử và mẩu đều dương)
Do đó D
3

Vậy MaxD

4

3

1

4 khi x= 3

Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng D có tử là hằng số nên D lớn
nhất khi mẩu nhỏ nhất.
1
Lập luận trên có thể dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức x2 3

7


1

Mẩu thức x2 – 3 có GTNN là -3 khi x = 0 nhưng với x = 0 thì

1
3

x2 3
1 1 , lớn
không phải giá trị lớn nhất của phân thức ( chẳng hạn x = 2 thì
2
x 3
hơn 1 )
3

VD 3 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = 3

4x
x 1


* Tìm GTLN.

2

HD Giải.
4x 2 4 4x 2

3 4x

Ta viết A dưới dạng A =

4x 1

=
2

2

x 1
2x 1 2 4 Max A = 4x =
x2 1
x2 1
Vậy GTN của A bằng 4 khi x = 1 .
2
*Tìm GTNN.
34
x 22
x = x 2 4x 4 x 2 1 =
Ta viết A dưới dạng: A =


=

4 x2

1 4x2

x

4x 1

1

1

=4-

2

x2 1
1 1

x 1

= x 2
x

2

2


x2

.

2

x2

1

1

MinA = -1x = 2.

1

Vậy GTNN của A bằng – 1 khi x = 2
(Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị)
Với phương pháp này, tùy vào từng bài cụ thể giáo viên cho học sinh nhận
xét và tìm cách thêm bớt, hoặc tách các hạng tử một cách thích hợp, nhằm xuất
hiện dạng tổng quát. Chẳng hạn với ví dụ trên, do x2 + 1 > 0
Nên để tìm GTLN ta tìm cách biến đổi A = m

f ( x)
g

(g(x) > 0).

( x)


2k

f( x)
Còn để tìm GTNN ta tìm cách biến đổi A = m

2k

(g(x) > 0).

g

( x)

c .Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Việc sử dụng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải bài
toán tìm GTLN, GTNN là rất tiện lợi. Song muốn đạt được điều này đòi hỏi
giáo viên phải cho học sinh nắm chắc phần chứng minh bất đẳng thức và khai
thác trên điều kiện bài toán, nhất là phải biết nhìn nhận, đánh giá nội dung đề bài
một cách linh hoạt và khéo léo.
VD 1: Tìm GTLN của biểu thức. A = x 2 x (với 0 x 2 )
HD Giải.
Nhận thấy: x + 2 – x = 2. Nên với 0 x 1 hai ta áp dụng bất đẳng thức côsi cho
số không âm x và 2 – x ta có:
x 2x
2

x2

x


x

2

x

1.

Đẳng thức sảy ra

Vậy MaxA = 1 x = 1
VD 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 3x(3 – 2x) (với 0

x=2–x
x

x = 1.

1)

8


3
2x 3

Ta có B =

HD Giải.
2x khi đó với 0 x 1

áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai

2

số không âm 2x và 3 – 2x ta có:
2x 3 2x 2
2x(3 – 2x)

9

2

MaxB =

27

B

4

2x 3

2xx

8

3.

3 .9


27

2 4

8

Vậy MaxB =

4

27 x
8

3
4

VD 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 6 x
(với 2 x 6 )
x 2 .
HD Giải.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số thực (1;1) và (
2 ta có:
11
=2.8=16
6 x
x 2
6 x
x 2
C2 =
Do C 0 nên 0 C 4MaxC = 4 x = 2

d. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a b a b .
x 1
VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x
a
a
HD Giải.
Với
và áp dụng bất đẳng thức a b a b . Ta có:
A = x x 1 x 1 x 1 MinA = 1 x(1 – x) 0 0 x 1 Vậy MinA = 1 1 x 1
2

2 2 2

6x;

x

2

VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B = x 2016
x
2017
HD giải.
Áp dụng bất đẳng thức a
b a
b
ta có.
B = x 2016
2017
x

x
2016
2017
x
MinB = 1 x 2016 2017 x 0 2016 x 2017 MinB = 1 2016 x

1

2017

VD 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x

1

x

7

x

9

HD Giải.
Tương tự như ví dụ trên ta có:
x 1

x 9

x 1


9 x

x 1 9 x

8

Mặt khác ta lại có x 7 0 do đó C = x 1 x 7 x 9
0
Min C = 8 x 7 và (x - 1)(9 - x) 0 x = 7 và 1 x 9 x 7 Vậy Min C = 8
x7

Ở ví dụ này cần chú ý học sinh thấy được trong các trường hợp ta xét x 1 x
7 và x 7 x 9 thì không tìm được giá trị của x thỏa mãn để biểu thức
đạt GTNN.
Ngoài phương pháp sử dụng hằng đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trên,
các em có thể sử dụng phương pháp xét khoảng giá trị của biến. Chẳng hạn như
đối với ví dụ trên ta có:
+ x < 1 thì C = - x + 1 - x + 7 - x + 9 = -3x + 17 14
+ 1 x 7 thì C = x - 1 - x + 7 - x + 9 = - x + 15 8
+ 7 x 9 thì C = x - 1 + x - 7 - x + 9 = x + 1 > 8
+ x > 9 thì C = x - 1 + x - 7 + x - 9 = 3x - 17 10
Kết hợp ba trường hợp trên ta có: Min C = 8 x 7


9


2. Phương pháp sử dụng miền giá trị (tập giá trị của biểu thức.)
Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Gọi m là một giá trị của f (x) ứng với
một giá trị nào đó của x, như vậy sẽ tồn tại giá trị của x thuộc miền D sao cho f (x)

= m hay phương trình f(x) = m có nghiệm
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = m. Ta sẽ tìm GTNN, GTLN. Ta
cũng xem f(x) là một hàm số thì việc tìm GTNN, GTLN của f (x) nghĩa là tìm
cận trên cận dưới của tập giá trị của hàm số đó.
VD 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = x 2 2 x 2
HD Giải.

x2 x 1

Gọi m là giá trị thuộc miền giá trị của A khi đó ta có:
2
2 x 2 m x 2x 1
x 2 2 x 2 = mx
x2 x 1
m 1 x 2 m 2 x m 2 0 có nghiệm

(1)

* Với m = 1. Từ (1) 3x + 3 = 0 x 1
* Với m 1. (1) có nghiệm0m 2 2 4 m 1 m 2 0
m2 4m 4 4m2

4 m 8 03m 2 12 0 m 2 42 m 2
m 2
Kết hợp cả hai trường hợp ta có: MaxA = 2x
2

m 1

2 2

2

m 2

MinA = - 2 x

2 m 1

2

2 1

2 2
2

2 1

0

Vậy MaxA = 2 x = - 2
MinA = - 2 x = 0
x2 3x 1
VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B =
x2 1

HD Giải:
Nhận thấy B xác định với mọi x. Gọi m là một giá trị của B khi đó ta có:
x2 3x 1=m
x2


x2 1
3 x 1 mx 2 m

m 1 x 2 3 x m 1 0 có nghiệm (1)

* Với m = 1. Từ (1) - 3x = 0 x 0
* Với m 1. (1) có nghiệm0 9 4 m 1 m 1 0
2

m 1

Min B

9
4

1
2

x

MaxB = 5

3
5
2
2

2a


1

x

3

1

2 m 1
2
b
3
2a 2 m 1
b

x

2

Vậy Min B = 2

3

2 m
3
1
2
1
2


3
1

5 . Suy ra
2
31
3

1

3

1

10


5
Max B = 2 x 1
Từ hai ví dụ trên ta thấy phương pháp này rất hiệu quả, một lúc chúng ta
có thể tìm được đồng thời cả GTLN, GTNN. Tuy nhiên để sử dụng được
phương pháp này, giáo viên phải cho học sinh nắm vững được dấu của nhị thức
và dấu của tam thức bậc hai (giải bất phương trinh tích).
Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm cực trị của một biểu thức đại số
mà các em được biết trước khi chúng em dùng đạo hàm

PHẦN III. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN
CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC THƯỜNG GẶP.
Trước khi cho học sinh giải được các bài toán cực trị không mẫu mực thì
nên cho học sinh tiếp cận với một số bài toán thường gặp sau

1. Dạng 1:Tìm GTLN, GTNN của một tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx+ c
Phương pháp chung để giải loại toán này là : Biến đổi về dạng lũy thừa bậc
x
2k
chẵn: m f
(k z ) cụ thể là.
m M inf
m X 0
+ Nếu a > 0 thì f(x) = aX2 + m
x
m Maxf
m X 0
+ Nếu a < 0 thì f(x) = aX2 + m
x
VD 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2.
HDGiải:
Ta có A(x) = (x - 1)2 + (x - 3)2 = x2 - 2x + 1 + x2 - 6x + 9
= 2(x2 - 4x + 5) = 2(x - 2)2 + 2 2
Vì (x - 2)2 0 với x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
VD 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x + 1
HD Giải: 4
Từ B(x) = - 5x2 - 4x + 1 ta có B(x)= - 5(x2 + x) + 1
5

= 5


2

x


x

2
2

5

22
5

B(x) 5 x 5

x

2

2

2

5

5

5

9

Max B(x) = 9khi x

5

22
1 5 x

víi x R nªn 5

0

22 9

2

5

x

4

5
2
5

25

1 5

x

22

5

9
5

2

0

2
5

2. Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bậc cao
Đối với dạng bài tập này có thể hướng dẫn học sinh đổi biến để đưa về
dạng tam thức bậc hai, hoặc biến đổi trực tiếp về lũy thừa bậc chẵn.
VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 4
HD Giải.
Ta có : A = x2(x2 - 4x + 4) + (x2 - 4x +4)
= (x - 2)2(x2 +1) 0
Min A = 0 x = 2
VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
11


HD Giải.
* Cách 1. Ta có: B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6)
= (x2 + 5x + 4) (x 2

5x


4)

2

= (x2 + 5x + 4)2 + (x2 + 5x + 4)2 + 1 - 1
= (x2 + 5x + 4 + 1)2 - 1 - 1
B = - 1x2 + 5x + 5 = 0

x

5 5
2

5 5
2

Vậy Min B = - 1 x

* Cách 2. Từ B = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6).
Đặt x2 + 5x + 5 = y B = (y - 1)(y + 1) = y2 - 1 - 1
5 5
B = - 1 y = 0 hay x2 + 5x + 5 = 0 x
2

Vậy Min B = - 1

x

5


5

2

3. Dạng 3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
x 2016 2

VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A =
Ta có: A =

x 2016 2

x 2017 2

HD Giải.
x 2017 2
= x 2016 x 2017
(Xem VD 2 mục IIId).

VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B =

x 2016 2

x 2017 2x 2018 2

HD Giải.
x 2017
x 2018
Ta có: B = x 2016

(Đến đây ta giải tương tự VD 3 mục IIId).
VD 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 2(1 + x 1 ) - (x - 1)2
x 1
HD Giải.
Ta có: C = - (x - 1)2 + 2
)+2
Đặt y = x 1 (y > 0) Ta có: C = - y2 + 2y + 2 = -(y - 1)2 + 3 3

Max C = 3 y = 1 hay x 1 = 1 x - 1 = 1 x = 0 hoăc x = 2
Vậy Max C = 3 x = 0 hoăc x = 2
4. Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của một phân thức.
Trong dạng này có thể phân loại cho học sinh thấy được phân thức có tử là
một hằng số, mẫu là một tam thức bậc hai, hoặc phân thức có mẫu là một bình
phương, hoặc căn cứ vào từng bài cụ thể mà lựa chọn cách phù hợp với mục
A(x)
A(x)
đích biến đổi về dàng
k2 0 hoÆc
k2 0 .
VD 1: Tìm GTLN của biểu thức A(x)

3x 2

6x 10

HD Giải:

x2
2x 3


12


A(x) 3x 2 6x 10
x 2 2x 3
= 3x 2 6x 9 1

Ta có:

Vì (x+1)
Do đó:

x

2

2

3(x 2 2x 3) 1
x 2 2x 3

2x 3

3

1
(x 1) 2

2


0 với x nên (x+1) +2 2 với x.
1 A(x) =3
1
3

1

2

2

(x 1)

(x 1)

2

1
Max A(x) = 3 2 khi (x+1)2 = 0

2

2

13 1

2

2


2

x = -1

VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B(x) =

2x 2 16x 41

với x R x 2

8x 22

HD Giải:

2

Ta có: B(x) = 2x 16x 41

2(x

2

2

x2

x 8x 22

2


8x 22) 3

3
(x 4) 2

8x 22

6

3

Vì (x- 4)

2

2

0 với x nên (x- 4) +6

B(x) 2

3

2

1

6 nên

(x 4)


2

6

3

1

6

2

3

(x 4) 2 6
2 2
2
Min B(x) = 3 khi (x- 4) = 0 x = 4
2
VD 3: Tìm GTNN của biểu thức C = 3 x 2 8 x 6
x2 2x 1

HD Giải.
22 4 2 x 2 4 x 4
x x
x2 2 x 1

Ta có: C =


2

2

x 1

2

x 2
x 1

2

=2+

x 2

2

2
x 1

C = 2 x - 2= 0 x = 2. Vậy Min C = 2 x = 2
Tuy nhiên cũng có thể hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đổi biến chẳng
hạn như: Đặt x - 1 = y x= y + 1
Do đó ta có:
3 y 1

2


8

y 1 6

3
y

C=
= 1
y

2

C=2

y2

1
2 1 2
y
1
y

2y 1

2

1

y


y2

3
y2

2

1
y

2

1 2 2

1x - 1= 1

x = 2.

2x 1
Vậy Min C = 2 x = 2
VD 4: Tìm GTLN, GTNN của một phân thức D =
x2 2

HD Giải:
* Tìm GTNN.

13



2x 1

4x 2

x

4 x 4 x2

2

2

Ta viết D dưới dạng D = x2 2 = 2x 2 2
2 x2 2
1 x + 2 = 0 x = - 2.
= x 2 2 1 1 D=
2

x

2

2

2

Vậy Min D = 1

2


2

x=-2

2

* Tìm GTLN.

x2 2 x 12

Ta viết D dưới dạng D = 2 x 1 = x 2 2 x 2 2 x 1
2

x2 2
2
x2 2
= 1 x 1 2 1 D = 1 x - 1= 0 x = 1.
x

x2 2

Vậy Max D = 1 x = 1
Với ví dụ trên ta thấy việc biến đổi biểu thức về dạng biểu thức thích hợp đòi
hỏi phải biết đánh giá, nhận xét một cách khéo léo mới làm xuất hiện dạng tổng
2k

quát m

f


hoặc m

x

2k

f

g

x

để đánh giá và kết luận. Song nếu sử dụng

x

phương pháp miền giá trị thì bài toán lại được giải quyết theo một quy tắc nhất
định mà việc giải quyết vấn đề chỉ là xét điều kiện có nghiệm của phương trình.
Chẳng hạn với bài toán VD 4 ta có thể làm như sau:
Vì D có nghĩa với mọi x nên gọi m là một giá trị của biểu thức ứng với một
giá trị nào đó của x. Như vậy tồn tại một giá trị của x sao cho.
2 x 1 = m ( nghĩa là phương trình 2 x 1 = m có nghiệm).
x2 2
mx 2 2 x 2 m 1 0 *

x2 2

+ TH 1: m= 0 phương trình (*) trở thành - 2x = 0
+ TH 2: m 0 để phương trình (*) có nghiệm thì
1 2m


2

m 0 1 m

2

m

'

x=2

1

01 m 2 m 1 0

2

m 0
1
1 m 1 m m m 11 m 1 2 m 02 m 1

1
1
+ Với m = 2 phương trình (*) có dạng 2 x2 - 2x -2 = 0 x 2

4x 4 0

x 22 0 x 2


+ Với m = 1 phương trình (*) có dạng x2 - 2x + 1 = 0x 1 2 0 x 1
1
Kết hợp cả hai trường hợp ta có: : Vậy Min D = 2 x = - 2
Max D = 1 x = 1
5. Dạng 5. Biểu thức chứa nhiều biến.
Dạng này khi mới nhìn thấy đề ra học sinh thường thấy khó khăn vì đa thức có
nhiều biến không biết tiến hành thế nào. Do đó giáo viên cần hướng dẫn học
sinh cách chọn biến chính và vận dụng hằng đẳng thức a b 2 hoặc a b 2
14


Dạng tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f.
(a,b,c,e,f là hằng số a.b
0 ).
Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f.
1 (cy d )2 - 1 (cy d )2 by 2 ey f
= a x2 1 (cy d )x
a

4a

2

2a

2

2


1
= ……. = a x

4a

(cy d )

m( y q)

p

Suy ra GTNN, GTLN của f(x,y) ( khi x =

1 (cy d ) và y = - q.)
2

VD 1: Tìm giá trị của m và p sao cho: A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
HD Giải:
Ta có: A = (m2 - 4mp + 4p2 ) + (p2 - 2p + 1) + 27 + 10m - 20p
= (m - 2p)2 + (p - 1)2 + 27 + 10(m - 2p)
Đặt X = m - 2p. Ta có A = x2 + 10X + 27 + (p - 1)2
= (X2 + 10X + 25) + (p - 1)2 + 2 = (X + 5)2 + (p - 1)2 + 2
Ta thấy: (X + 5)2 0 với m, p; (p - 1)2 0 p
Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:
X 5 0

X 5

p 1 0


p 1

m 2p 5
p 1

hay

m 3
p 1

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1.
VD 2: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5
HD Giải:
Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho
về tổng các biểu thức không âm.
Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y 2) + (18y 2 - 24yz + 8z2) +(8x2 -16xy+8z2)
+ 2x2 + 5 = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + 5.
Ta thấy: (x + 2y)2
0 với
x, y.
(3y-2z)2

0 với
y,z

(x-z)2
0 với
x, z

x 0 với x.
Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y) 2, (3y-2z) 2; (xz)2, x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị
2


đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.
x 2y 0
3y 2z 0

x z 0
x 0

x 0

y 0

z 0

Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y = 0, z = 0.
VD 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
15


A= 7x 5y
các số hữu tỉ

2z 3x

xy


t 2 t 2005 . Trong đó x; y; z; t là

yz xz 2000

HD Giải:
Ta có : A=

12
7x 5y

2z 3x

xy yz xz 2000

t

2
3

2



1

0Q và t

0

2


nên A 2004

3
2004

4

4

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
7x 5y 0
3x 0
2z
xy yz zx

1
t

2000 0

(1)
(2)
(3)

2

0

2


(4)

Từ (1) ta có: y = 7 x . Từ (2) ta có: z 3 x
5

2

7
Thay vào (3) ta được: 5 x 2 1021 x 2 32 x 2 2000 5x 2 2000
x2 = 400 x= 20
- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30
- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30
1
Ngoài ra, từ (4) ta có: t = 2
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004 4 , đạt được khi
1
1
(x; y; z; t) = (20; 28; 30; 2 ) Hoặc (x; y; z; t) = (-20; -28; -30; 2 )
6. Dạng 6. Biểu thức chứa căn thức bậc hai.
VD 1:: Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x
Điều kiện x 2
HD Giải:

= y 0. Ta có y2 = 2 - x

Đặt 2 x
2


1

A = 2- y + y = y

9

2

2

9
4

1
y2

9
4
1

2x

7

4x

Max A = 4
4
VD 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B =
* Tìm GTLN.


1
2

4 x2

HD Giải:
1

4 x 2 0 2 4 x2 2
1
Max B =
4 x2
0 x 2
2

Ta có

24 x

1
2

2

16


* Tìm GTNN:


Ta có: 0

4 x 2 2 2 2 4 x2 4

MinB

1 4 x2

1
2 4x
1x 0

Min B =

2 x 0

4

1
2

4

4

Vậy Max B = 1 x 2
2
Min B = 1 x 0
4


VD 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức C = x 2 4 x 5
* Tìm GTLN.
HD Giải:
Ta có: C 0 Min C = 0 - x2 + 4x + 5 = 0 x = - 1 và x = 5
* Tìm GTLN.
Do C
0

C2 = - x2 + 4x + 5 = 0 = - (x2 + 4x + 4) + 9

= - (x - 2)2 + 9 9 Max C2 = 9 x =
2 Max C = 3 x = 2.
Vậy Min C = 0 x = - 1 và x = 5
Max C = 3 x = 2
7. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó.
VD 1: Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0.
Tìm GTNN của biểu thức P = x21 + x12
HD Giải:
'
Ta có

2
= (m - 1)

2
- (m - 3) = m

3
- 3m + 4 = m


=

2m

2 + x2

5

2

2

= (x1 + x2)

15

15

4

4

2

2

- 2x1x2

7


2

phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
P = x1

2

với mọi m do đó

2

=

= 4m

2

Min P = 15 2 m

0

4

m 1
2m 3
5 0 m
15

4


2

2

- 10m + 10

4

y 4 biết x + y = 8
VD 2: Tìm GTLN của biểu thức A = x 3
HD Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có

A=
2

x 3

Max A 2 2

y 4

2

12

x 3
1

12


x 32

y 42

y 4 và x + y = 8
1

2 x y 7

x= 3,5 và y = 4,5

Vậy Max A = 2x= 3,5 và y = 4,5
VD 3: Tìm GTLN của biểu thức B ab c 2 bc a 3 ca
ab
c

HD Giải:

b 4

2.1 2


17


Với điều kiện c

2; a


3; b

4 Ta có B =

c 2
c

a 3
a

b 4
b

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
c 2 2

c 22

c 2 c

2

c 2

2 2

Tương tự ta cũng có:

a 3


1

a

2 3

c

c

b

2 4

Cộng từng vế của bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) ta có: B
Max B =

1

1

22

2 34

Vậy Max B =

1


(1)

2 2 2 2
c
1
1 (3)

b 4

(2) ;

1

4
1
2 2

1
2 3

1
4

c - 2= 2; a - 3 = 3; b - 4=4

c = 4; a = 6; b = 8.
1
1 c = 4; a = 6 và b = 8.

1

2 2

2 34

a b b c
VD 4. Tìm GTLN của biểu thức M =
HD Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
2

2

2

M=( a b b c a c)

1

2
1

2
1

a c biết a + b + c = 1

a b

2


b c

2

c a

2

3 a b b c c a 3.2 6

Max M =

a b c 1

6

a bb ca

Vậy Max M =

6 a b c

c

a b c

1
3

( vì N 0)


1

3

8. Dạng toán tổng hợp (Sử dụng kết hợp nhiều phương pháp trong một bài
toán )
Đa số trong các kỳ thi học kỳ và vào THPT đều ra các bài toán tìm GTLN,
GTNN đều sử dụng nhiều phương pháp .
8a 2 b
VD 1:Tìm GTNN của A =
b2 4a với a+ b 1 và a > 0
Giải:

Từ x+ y 1
A

8a

2

bb

y 1 - x ta có:
2

2a

4a
4a 4a2 a 4a2

4a
2
a (2 a 1) (2 a 1) 2
3

4a
(2 a 1) ( a 1) 3 3
4 a2 2

1 1 (1 2
a)
4a 4
4 a 1 6a
3
2

2

VD 2: Cho các số a, b, c đều lớn hơn

25
4.
18


Q
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a


b

c

2b 5

2c 5

2a 5 .

Giải:
Do a, b, c > 25 (*) nên suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 c 5 0

4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
a 2 b 5 2 a (1)
2b 5
b 2 c 5 2 b (2)
2c 5
c 2 a 5 2 c (3)
2 a 5
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q 5 .3 15 . Dấu
“=” xẩy ra a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15
a b c 25
VD 3: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
Giải:
Ta có: a b c

1 c a b c .c ac bc
Þ c ab ac bc c 2 ab a ( c b ) c (b c) = ( c
ab

ab

a
c a

c ab

( c a )( c b)

Þ
a bc

Tương tự:
bc
a bc
ca
b ca

ÞP£

(a

b )( a

c b


bc

ca

c ab

a bc

b ca .

c2

a )( c b)

b
c b
2

c)

b ca (b c )(b a)
bc
b
c
a b
a c
( a b )( a c)
2
ca
c

a
b c
b a
(b c )(b a)
2
a
b
b
c
c

c a

ab

a b

a c
21

b c

a

a c c b b a

b a =a c

c b


b a

=3
2

2

Dấu “=” xảy ra khi a b c
33

Từ đó giá trị lớn nhất của P là

2

1

đạt được khi và chỉ khi a b c
3

PHẦN IV. NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI.

19


Khi cho học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, giáo
viên cần cho học sinh thực hiện bài toán thỏa mãn hai điều kiện. Song nhiều
trường hợp học sinh chưa hiểu rõ được bản chất nên thường vướng những sai
lầm đáng tiếc, vì thế thầy giáo cần cho phải cho học sinh thấy rõ được một số bài
toán khi giải tưởng chừng như đã đúng nhưng lại sai do chưa thõa mãn hai điều
kiện (như định nghĩa đã nêu) hoặc chưa thỏa mãn các quy tắc, tính chất tiên đề

hay định nghĩa toán học ...có liên quan. Chẳng hạn ta xét một số ví dụ sau:
VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + (x - 2)2.
Một học sinh đã giải như sau:
2
2
Ta có x 0 ; (x - 2) 0
A 0. Vậy Min A = 0
Học sinh đã làm không đúng. Sai lầm của học sinh ở đây là mới chứng tỏ
được A 0 nhưng chưa chỉ ra được điều kiện thứ 2 là trường hợp xảy ra dấu của
đẳng thức. Thực ra ví dụ này dấu của đẳng thức không xảy ra vì không thể có
đồng thời x2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 do đó người thầy phải cho học sinh phát hiện ra
sai lầm đó và cho học sinh tìm lời giải đúng.
Lời giải đúng là:
Ta có: A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 2x +4 = 2(x- 1)2 + 2 2
Min A = 2 x = 1
VD 2: Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + y2 biết x + y = 4
Một học sinh đã giải như sau:
Ta có: B = x2 + y2 2xy B nhỏ nhất bằng 2xy x = y = 2( vì x + y = 4). Khi
đó Min B = 22 + 22 = 8
Ở ví dụ này đáp án tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm khi mới chứng
tỏ được f(x;y) g(x;y) mà chưa chỉ ra được f(x;y) m với m là hằng số.
Ta có thể đưa ra một ví dụ với cách lập luận trên: Từ bất đẳng thức x 2 4x - 4
2
x nhỏ nhất x2 = 4x - 4 x = 2 Min x2 = 4 x = 2 ta thấy kết quả trên là sai vì dễ
thấy Min x2 = 0 x = 0
Lời giải đúng là:
Ta có: x + y = 4 x2 + y2 + 2xy = 16 (1)
Ta lại có: x2 + y2 - 2xy 0
(2)
Cộng từng vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có: 2(x2 + y2) 16

(x2 + y2) 8 Min B = 8 x = y = 2
VD 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x 2 15 x 16 ( với x > 0)
3x

Một học sinh đã giải như sau:
Ta có: C = x

2

8 x 16 7 x

x 42

3x

7x

3x

x 42

7

7 vì x > 0

3x

3

3


7
Min C = 3 x 4
Mặc dù đã trình bày đủ cả hai điều kiện song với x = - 4 thì không thõa mãn
vì điều kiện bài toán là x > 0
Lời giải đúng là:
16

Do x > 0 nên ta có C = x 15
3

x x

16
x
3

15
3

2 x. 16
x 5
3

2.4
3

5

23

3

20


×