SKKN hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, nâng cao và vận dụng các bài tập về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP 7 PHÁT
TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI
TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA
DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Người thực hiện: Đỗ Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường TH và THCS Xuân
Thành
SKKN thuộc môn: Toán


Mục lục
TT

Nội dung

Trang

1

Mở đầu

1

1.1

Lí do chọn đề tai.

1

1.2

Mục đíí́ch nghiên cứu.

1

1.3

Đối tượng nghiên cưu.

2

1.4

Phương phap nghiên cưu.

2

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1

Cơ sở lý luận.

2.2

Cơ sở thực tiễn.

3

2.3

Nội dung vấn đềề̀.

3

2.3.1

Lý thuyết.

2.3.2

Các giải pháp thực hiện.

4

2.3.3

Các dạng toán.

5

2.3.3.1

5-6

2.3.3.2

Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ
thức cho trước
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức

2.3.3.3

Dạng 3 :Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.

6-11

2.3.3.4

Dạng 4: Vận dụng trong giải toán thực tế.

11-13

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đốí́i với hoạt động
giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.

13-14

3.

Kết luận và kiến nghị

14

3.1

Kết luận.

14

3.2

Kiến nghị.

15

2-3

3-4


1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tai.
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng 4.0. Nó
ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường
phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát

huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý
chí vươn lên”[1].
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số
16/2006/QĐ- BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo
cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện
của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp
tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”[2].
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một
phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
Tôi là một giáo viên dạy môn Toán khi được phân công giảng dạy môn
toán 7 và dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau thì phần bài tập trong sách giáo khoa phần lớn chỉ tập trung vào một số bài
tập cơ bản vì vậy khi mở rộng nâng cao các dạng bài tập học sinh ban đầu
thường lúng túng khi tìm phương pháp giải và khi thay đổi điều kiện bài toán
ban đầu cũng khó khăn khi tìm cách giải quyết vấn đề từ đó nếu không tháo gỡ
được sẽ tạo ra tâm lí ngại và “sợ” loại toán này. Chính vì vậy từ những kinh
nghiệm mà bản thân đã đúc kết được và giúp học trò tự tin và hứng thú học dạng
toán này nên tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học
sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau”

1


1.2 Mục đíí́ch nghiên cứu.
Trong quá trình dạy khi học sinh tiếp cận đến phần giải toán về tỷ lệ thức
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi
gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được, có em
lại thụ động trong việc giải Toán chỉ cần thay đổi một chút đề bài là khó tìm
hướng giải quyết. Để các em dễ tiếp cận các dạng toán như chứng minh đẳng
thức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho
trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng...từ đó có hứng thú, chủ động tìm
tòi và sáng tạo với đơn vị kiến thức này và môn Toán học nói chung, tôi đã
nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận
dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”
Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức
tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay
tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của
một tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và
tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…). Thông qua việc
giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát,
phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt
Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học
trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết
quả học kì I .
1.3 Đối tượng nghiên cưu.
- Kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
- Các dạng toán nâng cao và vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất

dãy tỉ số bằng nhau.
1.4 Phương phap nghiên cưu.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thông tin.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp chuyên gia.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lý luận.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị
quyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (121996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong
2


các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo
dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”[3] . Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý
thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa
học để giải bài tập. Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người
lao động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là
rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo.
Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc
lập và trình độ phát triển của học sinh.
Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu .
tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu
được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của

nhiều giáo viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu
giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách
hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê
học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo
viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó
rút ra những kiến thức cần nhớ.
Cơ sở kiến thức:
a. Định nghĩa tỷ lệ thức: “ Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số a c .
b

d

Ta còn viết:
a : b = c : d.
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ (số hạng
trong). [2]
a
b. Tíí́nh chất của tỷ lệ thức : b
a c
Tính chất 1: Nếu b d thì a.d = b.c
Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức :
a c a b d c d b
b d ; c d ; b a ; c a.
a c
Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức b d suy ra các tỷ lệ thức :
d

c

3


a
c

b ,d
d b

c , d
a
c

[4]

b
a

c. Tíí́nh chất của dãy tỉ sốí́ bằng nhau:
a

c

a

c

a c

a c

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức b d suy ra b d b d b d , (b ≠ ± d)
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau a c i ta suy ra:
b

d

j

a c

i

a c i

a c i

b

j

b d j

b d j , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a1 a2 a3
an

d

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2):

a1
b

a2
b

1

2

a3 ...
b
3

an
b
n

a1 a2 a3 ... a n
b b b ... b
12

3

b
1

a1 a2

n

b

b
2

3

...

b
n

thì

a3 ... an b1
b2

b3 ... bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý:
Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”
trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một
khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ
số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có
dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
x
z

y
Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: a
b
c . Ta cũng viết:
x : y : z = a : b : c [5]
Một số kiến thức cần chú ý:
+) a
b

na
nb

(n 0)

c

a

n

+) a
b

d

c

n [6]

b

d

2.2. Thực trạng của vấn đềề̀ trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của
học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. Đứng trước một bài toán, học sinh
phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có
được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con
đường giải bài toán nhanh nhất. Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải
xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của
dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ một bài toán cụ
thể thấy được bài toán khái quát. Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách
giải một bài toán cụ thể. Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau.
Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.
4


Qua quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn khi giải
dạng toán này tôi đã làm một số khảo sát và có kết quả như sau:
TSHS

Giỏi
SL
%
16,6%
6

Khá
Trung bình
SL %

SL
%
16,6
41,6%
6
15

Yếu
SL %
5 13,

Kém
SL %
4 11,1

Đầu
36
%
9%
%
năm
Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh
nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận
dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đềề̀
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khá nhiều em còn lúng túng khi tìm
ra phương pháp giải các bài tập vận dụng vì vậy nhằm giúp các em nâng cao tư
duy và khả năng vận dụng tôi đưa ra một số cách phát triển bài toán vận dụng
sau:
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước

2. Tính giá trị của biểu thức
3. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.
4. Vận dụng trong giải toán thực tế.
2.3.1. Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức, đẳng
thức cho trước.
Phương pháp: Từ tỉ lệ thức a c có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng
b

số k nào đó.
Hoặc để chứng tỏ
rằng hai tỉ số

A

A

C

B

D

và

B

Bài 1.1[7]: Cho a
b

C

d

ta có thể chứng tỏ rằng A. D = B.C hoặc chứng tỏ
có cùng giá trị hay sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

D

c

a

c

d chứng minh rằng a b

c d

.

Giải:

Phân tích tìm tòi lời giải: Đối với bài toán này ta có thể đặt

a

c

b

dk

hoặc biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng
minh.
b d 1
b1
d
a b
c d
a
c (đpcm)
Cách 1: a c
b
Cách 2: a
b

d
c

a c
a b

a b

a

d

c

c d

a b

d

a

c

a
c
c (đpcm)
c d

a b

c d

Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
5


đặt a
b

ck

suy ra a bk ; c dk

d

Ta có:
a

bk

bk

k

a b
c
c d

bk b
dk
dk d

b ( k 1)
dk
d ( k 1)

a

k 1 (1)
k
(2)
k 1

Từ (1) và (2) suy ra a b

c

c

d

a
Bài 1.2[8]. Chứng minh rằng : Nếu b

a) a b
b)

c d
c d

a b

d

c

1 thì

với a, b, c, d ≠ 0.

5a 3b 5c 3d 5a 3b
5c 3d

Giải:
Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1
Cách 1 :
a c
a) Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: b d ba 1 dc 1 a b b c d d
abb
(1) c
dd
a c
b

d

a b

c d

b

d

Từ (1) và (2) =>
Cách 2: Đặt a
b
Ta có
Và

a b b

(2)

c d
d
a b a b
a b c d

c d
c d
a b
c d
c k suy ra a bk ; c dk
d

a b bk b b.( k 1)

k 1

a b bk b
b.( k 1)
c d dk d d .( k 1)

k 1
k 1

c d

(đpcm)

dk d

(1)
(2)

d .( k 1) k 1
a b c d

Từ (1) và (2) suy ra a b c d .
b) GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
5a 3b
5a 5c
5a 3b
5c 3d
Từ a c a b
b

d

c

d

5
c

3
d

3
b

3
d

5a 3b

5c 3d

(áp dụng kết quả của bài 2 )
Bài toán trên có thể khái quát như sau:
a

Bài 1.3 : Cho b

c
d . Các số x, y, z, t thỏa mãn:

xa yb

0

và

zc td

0


6

xa yb
za tb

Chứng minh rằng:

xc yd
zc td

(Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm
được không?)
Ta có thể mở rộng bài toán theo hướng khác như
ab a2 b2
Bài 1.4: Nếu a c thì: a 2 b 2 ab
b

d

Giải:
Từ a c
b

d2

a2

b2

c
d
a 2 b2

c2

d2

c2 d2

a b

d

và từ

c2

c

d

a

c

a b

aa b

b

d

c

c.c

d

từ (1) và (2) suy ra a 2 b 2
c2 d2

cd

a2

a (2)
b

d .c

c2

cd

a (đpcm)
b
cd

a c

. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau:

(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b

2

a2 b 2
2

c d

c d
3) 2a 5b

a

2)

ab a b 2 cd c
d2

2c 5d

3a 4b

5) a b

2

d2

(1)

a

Bài tập cùng dạng: Cho tỉ lệ thức: b d
1) a

c2

3c 4d

c

c

4) 2005a

2006b
2006c 2007d

2005c 2006d
2006a 2007b

6) 7a 2 5ac 7b2 5bd 7a
5ac 7b2 5bd

d

7) 2008a 2009b 2008c 2009d 2009c

2010 d 2009 a 2010b

8) 7a 2 5ac 7b2 5bd 7a
5ac 7b2 5bd

2

2

2
9) 7a
3ab 7c 2 3cd 11a 2 8b
2
2
2

11c 8d

Nếu giả thiết mở rộng ra từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số bằng nhau
lại vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải:
7


a

Bài 1.5: Cho

b c

b

c

. Chứng minh rằng:

d

a b c

3

a

b c d

d

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a
b
a b c

3

a b c

Từ đó suy ra

.

.

b c d

b c d

b
c

c
d

a b c
b c d

a
d

Có thể khái quát cho dãy n các tỉ số bằng nhau với phương pháp tương tự
a3

Bài 1.6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a 2
a1

a1

...

a4
a

a2

a2009
a

3

2008

2008

a 2 a 3 ... a2008

CMR: Ta có đẳng thức:

a1

a

a 2 a 3 a 4 ... a 2009
2009

Giả thiết có thể thay tỉ lệ thức bằng một đẳng thức
Với dạng này tùy vào đẳng thức đã cho ta có cách biến đổi khác nhau.
Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu a 2 bc thì a b
a b

c a điều đảo lại có đúng hay
c a

không?
Giải:
+ Ta có: a 2

bc

a

b
c a

a

b

a b

a b

a b

c a c a c a

c a
a b c a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:
abcaab

ca
a b c aa b c a
hay ac a 2 bc ab

ac a 2 bc ab

2bc 2a2
a2

bc

Bài 1.8: Chứng minh rằng: Nếu a c

2b (1) và 2bd

c (b d ) (2)

8


điều kiện: b ≠ 0 và d ≠ 0 thì

a

c

b

d

Ta có: a c 2b
a cd
2bd 3
Từ (3) và (2)
cb d
a c
d
cb cd ad cd
cb ad
a
b

c (đpcm)
d

2
Bài 1.9: Cho tỉ lệ thức : a

c2

b2
d2

ab
a
cd . Chứng minh rằng: b
a b2

Giải.
a2 b2

ab

ca b

c2 d 2
bc d

cd =2cd
ca cb

ac d

da b

Ta có :

c2

2cd d 2

bc bd

ac ad

d

ab
c d2

a.b

cd

ca bd

c d c d

c.d

da db ca bd

3

a

b

c

b

c

d

Bài 1.11 : Cho

c

Bài

b d

d

(Hướng dẫn: Từ giả thiết b 2 ac ; c 2 bd
nhau

;

1 ca cb ac ad cb ad a

1.10: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd
và b3 c3 d 3 0 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a
b3 c3 d

.

a b a b

a2 2ab b2

2ab

c

biến đổi thành dãy tỉ số bằng

từ đó biến đổi đến đẳng thức cần chứng minh)

a

b

c

2003

Chứng minh
Giải: Từ
Do đó ( c a )

2

2004
2005
rằng: 4(a b)(b c) (c a)2
a

b

2003

2004

(b a )( c b)

c

suy ra b a

c a

c b

2005
1
2
2
4(a
b)(b
c)
(c
a)
Hay

1

2

Bài 1.12: CMR nếu a( y

z) b(z x)

(1)

c(x y)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

y z
a(b c)

z x
b(c a)

x y
c(a b)

Giải :

9


Lần lượt chia từng vế của (1) cho abc ta được:

y z
bc

z x x
ac

y

ab

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
y z
bc

z x
ac

x y
ab

(x y) (z x)
ab ac

y z

Suy ra

z x

a(b c)

Giải :

a

( z x ) ( y z)
ac bc

x y

b(c a)

Bài 1.13: Cho biết : a

(y z) (x y)
bc ab

c(a b)

c' 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0.

'

b 1; b

b

b

'

c
'

b' 1 ab+ a’b’= a’b .

Từ a

b

a'
Nhân cả hai vế với c ta được abc+ a’b’c= a’bc (2)
b
b'

c' 1 bc+ b’c’= b’c
c

Nhân cả hai vế với a ta được abc+ ab’c’= ab’c (3)
Cộng vế với vế của hai đẳng thức (2) và (3) ta có điều cần chứng minh
bz cy

Bài 1.12:

Cho dãy tỉ số :
a
Giải:
Lần lượt nhân mỗi tỉ số với a, b, c
bz cy
a

cx az
b

ay bx
c

cx az
b

abz acy
a2

ay bx

c

x

y

z

; CMR: a

b

c

bcx abz
b2

.

acy bcx
c2

abz acy bcx abz acy bcx 0 a 2 b 2 c2

Suy ra bz – cy = 0
cx- az = 0
ay – bx = 0
y
Do đó x
a

b

z
c

2.3.2. Dạng 2: Tíí́nh giá trị của biểu thức
Ở dạng toán này cần có sự linh hoạt trong biến đổi trong mỗi bài
Bài 2.1: Cho tỉ lệ thức 3 x y 3 . Tính giá trị của tỉ số x
x y

Giải: 3 x y
x y

4

y

3
4

10


Cách 1: Từ:

4(3x-y) = 3(x+y)
x

7

Biến đổi được 9x = 7y do đó y 9
3x 1
3x y
Cách 2 : x y

3
4

x

y
x1
y
3

3a 1

Đặt y = a ta có a 1

3
4

4
7

Giải ra ta được a = 9
x

y

z

Bài 2.2: Cho 2

3

4
y z x

Tính giá trị của biểu thức P =

x y z

Giải:

x

y

z

Cách 1: Đặt

2

3

4 = k suy ra x =2k, y = 3k, z= 4k
5

Thay vào rút gọn được P =

3

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
x

y z y z x 234342

y z x
5

x y z
2 3 4

y z x x y z
53
y z x
5
x y z
3

x y z
3

Bài 2.3 : Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a

b

c

b c d

a c d

a b d

d

b c a
Tính giá trị của biểu thức M = a b b c c d d a
c d

a d

a b

b c
11


b

Giải: a
Từ: b c d

c

d

a c d
a b d
b c a
a
1
b
1
c
1
b c d
a c d
a b d
a b c d b a c d c a b d d b c a
b c da c da b db c a

d
1
b c a

(*)
+) Xét a+b+c+d = 0 suy ra M = - 4
+) Xét a+b+c+d ≠ 0 suy ra b+c+d = a+c+d = a+b+d= b+c+a Suy ra a = b=c=d nên tính
được M = 4

Bài 2.4 : Cho a,b,c đôi một khác nhau và thõa mãn a b
(1 a)(1 b )(1 c )
b
c

a
Tính giá trị của biểu thức P =

c

b c
a

bc
b c

ca
c a

c a
b

Giải:
T
ừ

a b

b c

c a

c

a

b

a b b c c a
c 1 a 1 b 1
Bước tiếp theo làm tương tự bài tâp 2.3
Bài 2.5[8] : Cho các số a,b,c khác 0 thõa mãn ab

a b

Tính giá trị của biểu thức P = ab
Giải: Với a,b,c ≠0 ta có

2

2

2

bc ca
a b 3 c3
ab
bc
ca
a b
b c
c a
a b b c c a
abbcca
3

11 1 1 1
b a cb a
1 1 11
c ab c
Suy ra a = b= c từ đó tính được P = 1

Bài 2.6: Cho P

ax 2 bx c
a x 2b x c
1

1

. Chứng minh rằng nếu

a
a

1

b
b

1

c

thì giá trị của

c

1

1

P không phụ thuộc vào x.
12


Hướng dẫn : Đặt

a

b

c

a

b

c

1

1

k

1

Dạng 3 : Tìm sốí́ chưa biết trong dãy tỉ sốí́
1.Tìm một số hạng chưa biết
Phương pháp giải: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.
90
Bài 3.1. Tìm x biết x
10
x
10

Giải: Từ

2

900

x

2

2

30

x30

x
3x 2

5x 7

Bài 3.2: tìm x biết :
Giải:
Cách 1: Từ

x
90 x

3x 1
5x 4

3x 1
(3x 2)(5x
3x 2
5x 7
5x 4
2
15x 22x 8 15x 2 16x 7 6x 15 x 2,5

4) (3x 1)(5x 7)

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
3x 2
5x 7

3x 1
5x 4

(3x 2) (3x 1)

(5x 7) (5x 4)

3 1
3

Suy ra 3x +2 = 5x +7
2x = -5
x = 2,5
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

Bài 3.3: Tìm x và y biết x 4

4

7 y

7

Từ x

và x +y = 22

Giải: cách 1: áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
4 7(x 4)

4

4(7 y)7x 4y

7 y

7
xyx y22 2
474711
x 8; y 14

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
x 4
7 y

Từ

4
7
x 4

7 y

7
4
x 4 12 x 8 y 7 21 y 14

x 4 7 y

x y 11

4 7

Bài 3.4[9]: Tìm ba số x, y, z, biết rằng:

22 11 3

11

11

xy yz

;

và x + y – z = 10.

2345

13


Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để
y
y
xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số 3 và 4 có hai
số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới
( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau),
ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm
BCNN(3;4)=12 từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12
BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
x y
x y ( nhân cả hai vế với 1
) (1)
2
y

3
z

4

5

8
y

12
4
z ( nhân cả hai vế với 1 )
12 15
3

(2)

x y
z
Từ (1) và (2) 8 12 15 . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
8

y
12

z
15

x y x
81215

10 2
5

Vậy
x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24
z = 15.2 =30
Bài 3.5[10]. Tìm x, y, z biết: x

y
15 20
GV : Bài cho 2 x 3 y z 186

z
28

và 2 x 3 y z 186

Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức
2 x 3 y z 186 ?
2x 3y
Giải:
x

y

z

z

Từ 15 20 28 hay 30 60 28 .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y z
2x 3y z
186 3 .
30

60

28

30 60 28

Suy ra 2x = 3.30 = 90

62

x = 90:2 = 45

3y = 3.60 = 180 y =180:3=60
z = 3.28 = 84
Bài 3.6. Tìm x, y, z biết:
x 1 y 2 z 3
a. 2
3
4 1 và 2x + 3y –z = 50
2 x 3 y 4 z

b. 3
4
5 2 và x + y +z = 49
Giải:
a. Ta biến đổi (1) như sau :

2.(x 1)

2.2

3.( y 2)

z 3

3.3

4
14


hay 2 x 1

3y 2

4

z 3

9

4

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2x 1

3y 2

4

z 3

9

x 1

2x 2 3y 6 z 3
4 9 4

4

5

x

11

5

z

23

2 x 3 y z2 6 3

50 5 5

9

9

2

y 2
z

3

3

4

b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống
hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng
trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng
trên chỉ còn là x ; y ; z
Giải:
Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
2x 3y 4z
2x
3y

4z hay x
y
z
3

4

5

3.12

4.12

5.12

18

16

15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
18

y
16

z
15

x y z
18 16 15

49 1
49

=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 3.7. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
a 1 1 a 2 2 ...
a 9 9 và a 1 a 2 ... a 9 90
9

8

1

Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a1 1

2 ...

1 2 ... 9
a 9 9 a 1 a 2 ... a 9
9
8
1
98...1
Từ đó dễ dàng suy ra : a1 a2 a3 ... a9 10

x y z
2x2 3y2 5z2
a2

90451 45

405

3 4 và
Bài 3.8: Tìm ba số x,y, z biết 2
Giải:
Cách 1: Đặt x y z k x 2 k ; y 3k ; z 4k
2

2x

2

3 4
3y2 5z2

Thay vào
Suy ra k = 3 hoặc k = -3

2.4 k 2 3.9 k 2 5.16 k 2

405

405 k 2

9

ta được

Lần lượt thay k = 3 và k = -3 vào tìm được (x;y;z) = (6;9;12) hoặc
(x;y;z) = (-6;-9;-12)

15


Cách 2: Từ x

x2

y z

y2

z2

2 x 2 3 y 2 5z2
2344916 8 2790

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x2
8
x2

3y2
27

5z2
90

2

2

9; y
4916

9; z

2x2 3y2 5z2
8 27 90

405 1
405

9

Giải ra ta cũng được :
(x;y;z) = (6;9;12) hoặc (x;y;z) = (-6;-9;-12)
Dạng vận dụng
Bài 3.9: Tìm các số x, y , z biết:
a) x 3 y 3 z3 và x2 + y2 + z2 = 14.
8

b)

64

216

2x 1 3y 2 2x 3y 1

c)

576x
y z 1

z x 2

x

y

x y 3
x

Hướng dẫn: a) Từ
x

y

z

2

4

6

3

8

z
y3
64

1
x y z
z

3

216 biến đổi để đưa về dãy tỉ số bằng nhau:

sau đó áp dụng tương tự bài 3.7
b) c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
3.Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
x
Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và y
xa k
p
Đặt
, ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p k 2 .

ab

b

a

.

yb

Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng
nhau:

x

a

y

xy

b

ab

(sai)

Bài 3.10: Tìm hai số x và y, biết rằng 2
Giải: x y
Đặt
k , ta có x=2k, y=5k.

2

x

y
5 và xy=10.

5

Vì xy=10 nên 2k.5k=10 10 k 2 10 k 2 1 k 1 hoặc k 1 + với k = 1
thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
16


+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5
Bài 3.11: Tìm x, y biết rằng:

x

y

2

và xy = 54 .

3

Hướng dẫn: Bài này làm tương tự bài 3.9. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau :

Từ x

y

x x
2. 2

2

3
suy ra x 2

x2

yx
3 .2

4

4.9 2.3 2 6 26 2

với x 6 y
với x 6 y

xy

54

6
69

x 6 hoặc x 6

54 9
6
54 9
6

Bài 3.12: Tìm x và y, biết

x

2

y

5

và x.y=40.

Hướng dẫn: bài này tương tự bài 3.10. biến đổi

x

2

x

y

y

5 thành

2

5v

à

làm tương tự bài 3.10
Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10
Bài 3.13: Tìm x, y và z biết
x y z
a) 12 9 5 và xyz 20 .
x y z
b) 2 3 5 và xyz 810
Giải :
( Bài này tương tự với bài tìm x,y)

a) Đặt x

y

z k , ta có x 12k;

12 9 5
Vì xyz 20 nên 12 k . 9 k . 5 k

20 540 k

3

20 k

20

1

540

27

3

1
k

3

.

1
1 5
4 ; y 9.
3 ; z 5.
3
3 3
3
5
Vậy x 4; y=3; z= .

3
x y z
b) Tương tự câu a: đặt
k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k.
2 3 5
Vì xyz 810 nên (2k).(3k).(5k) = 810 30k3 810 k3 810 :30 27

Suy ra x 12.

1

y = 9k; z = 5k .

k 3.

Vậy x = 6; y = 9; z =15.
Nhận xét: Qua các bài tập của Dạng 3 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như
sau:
17


Tìm các số x, y, z thõa mãn:

a

x

y
b

z
c ( 1)

và x+y+z = d( 2)
(trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a,b,c,d là các số cho trước)

*) Cách giải: x

z
c

y

a

b

x

k

ka ; y kb; z

kc

Cách 1: Đặt
Rồi thay vào (2) được ka +kb + kc = d
k(a+b+c) = d
k
=

a.d

x=

d
a b c

b.d

y
=

a b c

a b c

z=

c.d
a b c

Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có;
x
a

y
b

z
c

x y z
a b c
a.d
x=
a b c
b.d
y
a b c
=
c.
z=
d
a b c

d
a b c

*) Hướng khai thác bài toán trên như sau :
+) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như :
- m1x+m2y+m3z = e
- n1x2+n2y2+n3z2 = f
- x.y.z = g
+) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) như :
xy yza a
-

aa
3

;

1

2

4

- a2x = a1y ; a4y = a3z
- b1x = b2y = b3z
18


b x b zb

-

1

3

y b x

2

b z b y

1

3

2

abc

x by
1

-

b

z b

2

3

a1a 2a3

+) Thay đổi cả hai điều kiện
Bài tập cùng dạng : Tìm x, y và z biết
a) x y z
và 5x y 2z 28
6

10

21

b) 3x
c) 2x

3y

5z

d) x

y

y

2 y ,7 y

3

e)

4
2
x

5
3y

5z

y z

y z

95

và x

32

và

z

2x 3y z 124

,

7
4z

4

3

và x

và x

y z

49

5

f) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
g) 1 2 y 1 4 y 2 6 y
h) x y z và xyz = 648
18

i)

x
y z 1

2

6x

24
y
z x 1

z

3

4

x y z

x y 2

Dạng 4: Vận dụng trong giải các bài toán thực tế
8
Bài 4.1. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng 9 số

học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng

17

16 số học sinh lớp 7B. Tính số học

sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn phân tích tìm lời giải: Trong bài toán có ba số cần tìm có
tổng là 153 vì vậy có thể đặt ba số cần tìm là ba ẩn. Đồng thời cho mối liên hệ
tỉ lệ giữa hai trong ba số đã cho nên nghĩ đến việc lập dãy tỉ số bằng nhau để
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.
Giải:
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài
ta có:
x + y + z = 153, y 8 x , z 17 y .
17

z

Do z 16 y nên y
Do y 8 x nên y
9

x

9
17

16
z

y

16 hay 1 16 (1)
7
8 hay y x hay y = x (2)
9

8

9

16

18
19


x

y
z
=
=
Từ (1) và (2) ta có 18 16 17 .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y
z
x+y+z
18 = 16 = 17 = 18+16+17

153

51 3

Từ đây tìm được x = 54; y = 48; z = 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài 4.2[11]: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235
m3 , biết rằng thời gian để bơm được 1 m 3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4
phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?
Hướng dẫn: Bài này có phương pháp giải tương tự bài trên , tuy nhiên hi
dung tích bể không đổi thì thời gian bơm nước số mét khối nước bơm được có
tích bằng nhau.Điểm chốt là từ dãy đẳng thức ta phải biến đổi để có được dãy tỉ
số bằng nhau để giải.
Giải:
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m3), y (m3),
z(m3)
Theo bài ra ta có: x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.
Từ 3x = 4y = 5z suy ra 3x 4y 5z hay x y z (2).
60

60

60

20

15

12

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có:
x y z
x+y+z
235
=
47 = 5
20 15 12 = 20+15+12
Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m 3 , 75m3
và 60m3
Bài 4.3: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số
5
10
thứ nhất với số thứ 2 là 9 , của số thứ nhất với số thứ ba là 7 .
Hướng dẫn: Cách làm tương tự bài 4.1. Tuy nhiên sau khi có được dãy tỉ
số bằng nhau thì lại giải theo cách đặt tỉ số k . Việc này xuất phát từ điều kiện
đề bài cho ba số cần tìm có bội chung nhỏ nhất là 3150, áp dụng giả thiết này
để tìm k và tìm được ba số.
Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150
x 5 hay x y hay x

y (1)
y
x
z

9
5
10 hay x
7
10

9
z

10

18

(2)

7

20


Từ (1) và (2) ta có :

x 10 k 2.5.k
y 18.k 32.2.k
z 7.k

x

y

z

10

18

7

BCNN (x, y, z)=2.5.k.3

2

.7

Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32.7 = 2.32.52.7
Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x = 10.5 = 50; y =18.5 = 90; z = 7.5 = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
Bài 4.4: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m2 có chiều rộng
5
bằng 19 chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.
Giải:
Hướng dẫn: Áp dụng tương tự bài 4.3.
Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt
là x (m) ,y(m).

Theo bài cho ta có x.y = 76,95 và x 195 .y hay x5 19y
Đặt x
5

y k , ta có x 5.k; y=19.k
19

Vì x . y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76.95
95k 2 76,95 k 2 76,95 : 95 0,81 k 0,9 hoặc k 0,9 .
+ Với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1.
+ Với k = -0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1.
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên
x = 4,5 và y = 17,1
Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m).
Bài 4.5: Diện tích một tam giác bằng 27 cm3 . biết rằng tỉ số giữa một cạnh và
đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. tính độ dài cạnh và đường cao nói
trên.
Giải:
1
(Hướng dẫn : Phải nhớ lại công thức tính diện tích tam giác: 2 .a.h trong đó a
là độ dài cạnh ứng với đường cao h).
Gọi độ dài cạnh và đường cao nói trên lần lượt là a (cm) và h (cm).
Theo bài ra ta có: 1 .a.h 27 và a 1,5
2

Từ 1 .a.h 27 a.h 54 (1) và từ
2

Thay a 1,5h vào (1) ta có
h

h

a 1,5 a 1,5h (2) .
h
(1,5 h ).h 54 1,5 h 2 54 h2 36 h 6 hoặc

6.

21


Do h là độ dài của đường cao tam giác nên h 6 . Từ h 6 nên a = 9.
Vậy độ dài cạnh là 9(cm); độ dài đường cao là 6(cm).
Nhận xét : Dạng toán vận dụng này có phương pháp chung là chọn các số
cần tìm là các ẩn, dựa theo đề bài vận dụng cách cách khác nhau để lập được
dãy tỉ số bằng nhau và vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đốí́i với hoạt động giáo dục, bản
thân đồng nghiệp và nhà trường.
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu sắc
hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho đối
tượng học sinh khá, giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì
thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em
rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài toán.
Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi nhận thấy từ đầu năm
học đến giờ tinh thần học tập của các em được nâng cao, các em hứng thú học
hơn, tiếp thu tốt, kết quả học tập của học sinh được nâng lên. Không những các
em lĩnh hội kiến thức về giải toán về tỷ lệ thức và tính chất về dãy tỷ số bằng
nhau mà các em còn vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề khác của Toán học
cấp II như: Hai đại lượng tỉ lệ thuận, Hai đại lượng tỉ lệ nghịch,… Sáng kiến

kinh nghiệm giúp cho học sinh:
Học sinh không còn sợ dạng toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức
cho trước, dạng toán có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải
các bài toán tương tự.
Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài toán đó ở dạng
nào.
Các em có kỹ năng tính toán nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi từ
những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải.Các em không còn sợ dạng
toán này nữa.
Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những
bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình.
Kết quả kiểm chứng sau đây cho thấy rõ sự tiến bộ của học sinh
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
TSHS
SL
%
SL %
SL
%
SL % SL %
16,6%
16,6
41,6%
Đầu
36
6

6
15
5 13,
4 11,1
%
9%
%
năm
Cuối
36
10 27,8%
13 36,1
12 33,3%
1 2,8
0
%
%
HKI
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.
Với đơn vị kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau nói
riêng và các kiến thức về Toán học THCS nói chung, người giáo viên cần không
ngừng tìm hiểu, nâng cao hiểu biết, nâng cao năng lực và tìm tòi những phương
pháp giảng dạy mới phù hợp nhằm tạo hứng thú học tập và tăng cường khả năng
tự học của học sinh. Điều này không những giúp cho giáo viên mà còn cho cả
22