SKKN hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh trung học cơ sở

Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
Đại hội XII của Đảng xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào
tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng
lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách
nhiệm công dân...”. Để thực hiện tốt các yêu cầu đó, việc đổi mới giáo dục cần
tập trung vào hai việc: "Đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo
dục, đào tạo; coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người học". Một trong
những năng lực mà người Việt Nam nói chung và giới trẻ hiện nay còn yếu đó là
tư duy phản biện. Tư duy phản biện hay tư duy phân tích là "một quá trình tư duy
biện chứng gồm phân tích và đánh giá một thông tin đã có theo các cách nhìn
khác cho vấn đề đã đặt ra nhằm làm sáng tỏ và khẳng định lại tính chính xác của
vấn đề". Tư duy phản biện không chỉ đơn thuần là sự tiếp nhận và duy trì thông
tin thụ động. Đó có thể tóm tắt là quá trình tư duy tìm lập luận phản bác lại kết
quả của một quá trình tư duy khác để xác định lại tính chính xác của thông tin. Ý
kiến phản biện có giá trị rất lớn quyết định tới sự thành bại của tổ chức thậm chí
là sự tiến bộ của loài người.
Với tình hình đó, các nhà giáo dục cho rằng trường học nên tập trung hơn vào
việc dạy học sinh tư duy phản biện. Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy cần
có ý thức hình thành cho HS tư duy phản biện. Đối với bộ môn Toán một trong
những việc làm có thể góp phần hình thành tư duy phản biện đó là giáo viên cần
chú ý hình thành cho HS phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nếu nắm
vững và vận dụng tốt phương pháp chứng minh phản chứng thì sẽ tạo cho HS thói
quen biết lật lại vấn đề, biết nhìn ra nhiều mặt của một vấn đề, biết lập luận logic
để phân tích sự việc, tìm ra mặt tối ưu của vấn đề. Đó là những cơ sở vững chắc
để hình thành tư duy phản biện.
Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đề cập rất ít trong chương
trình THCS. Hiện nay chưa có một tài liệu nào nghiên cứu về việc áp dụng
phương pháp này như thế nào trong môn Toán THCS. Nhưng phương pháp
chứng minh bằng phản chứng là "một phương pháp chứng minh độc đáo và phổ

biến trong toán học". Thậm chí với nhiều bài toán nó trở nên duy nhất, không
dùng phương pháp phản chứng thì việc chứng minh rất khó khăn. Đây lại là
phương pháp đòi hỏi khả năng tư duy logic, khả năng khái quát, khả năng tưởng
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

1


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
tượng nên đối với đa phần học sinh khi nói đến chứng minh bằng phương pháp
này đều cảm thấy rất mơ hồ, khó hiểu và không biết phải bắt đầu từ đâu, làm như
thế nào? Do đó giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có được những hiểu biết
đầy đủ về chứng minh Toán học trong đó có phương pháp chứng minh bằng phản
chứng.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Thông qua đề tài nghiên cứu này giúp cho học sinh:
- Nắm được các bước cần thực hiện khi chứng minh một bài toán bằng phương
pháp phản chứng.
- Dần hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh.
- Tạo thói quen vận dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng trong
chứng minh Toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này đưa ra các tính chất, các định lí và các bài tập ở cấp THCS có thể vận
dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng .
1. 4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài: nắm vững cơ sở lý luận chứng minh
Toán học và chứng minh bằng phản chứng.
- Điều tra khảo sát, tìm hiểu thực tế.
- Đối chiếu, so sánh, tích luỹ thông tin.
- Đánh giá kết quả, rút ra bài học kinh nghiệm.

1.5 Những điểm mới của SKKN
Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng trong chứng minh Hình
học 7" chúng ta đã thấy rằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng là một
phương pháp hay cần được hình thành cho học sinh. Nhưng nếu chỉ hình thành
trong phạm vi Hình học 7 thì HS có thể bị lãng quên ở các năm lớp 8, lớp 9. Mặt
khác một số bài toán Số học, Đại số cũng có thể vận dụng phương pháp phản
chứng để chứng minh rất hiệu quả. Vì vậy tôi mạnh dạn mở rộng đề tài trên thành
đề tài "Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh
Trung học cơ sở". Đề tài này sẽ giúp học sinh được rèn luyện thường xuyên
phương pháp chứng minh bằng phản chứng, từ đó nắm vững và trở thành công cụ
chứng minh hữu ích mà học sinh có thể vận dụng khi cần.

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

2


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Giáo viên bộ môn phải bao quát nội dung chương trình môn học
Nội dung chương trình môn Toán THCS được xây dựng theo nguyên tắc
"đảm bảo tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong Nhà trường phổ thông:
Chương trình Toán THCS phải được xây dựng cùng với chương trình Tiểu học và
chương trình Toán THPT theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung: đảm bảo
tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp THCS". Mặt khác nội dung chương
trình trong từng lớp phải phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí, khả năng tiếp nhận
của học sinh. Ví dụ như phần Toán 6 được xây dựng trên tinh thần tiếp nối các
kiến thức đã học ở bậc Tiểu học đồng thời bổ sung thêm một số kiến thức mới ở

mức độ đơn giản. Nhưng lên lớp 7, chương trình đưa vào nhiều nội dung kiến
thức mới và khó. Đặc biệt, "các kiến thức hình học được trình bày theo con đường
kết hợp trực quan và suy diễn. Nhờ đo đạc, gấp hình,....học sinh dự đoán các sự
kiện hình học và tiếp cận với các định lí. Yêu cầu về tập dượt suy luận, chứng
minh tăng dần qua các chương". Vì vậy đối với giáo viên bộ môn nói chung và
giáo viên dạy Toán nói riêng, cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chương trình môn
học, nắm được những nội dung nào các em đã được học, những nội dung nào là
sự củng cố mở rộng kiến thức đã học, những nội dung nào học sinh bắt đầu được
tiếp nhận. Điều này sẽ giúp cho giáo viên khi giảng dạy có được cách truyền đạt
phù hợp với từng nội dung kiến thức.
2.1.2. Giáo viên dạy bộ môn Toán phải có hiểu biết đầy đủ về chứng minh
Toán học:
Các bài toán chứng minh là một phần không thể thiếu của Toán học. Do đó
trong quá trình dạy Toán, giáo viên cần có được những hiều biết đầy đủ về chứng
minh Toán học để dần hình thành cho học sinh những kiến thức về phương pháp
chứng minh Toán học.
Trong toán học, chứng minh là "một cách trình bày thuyết phục (sử dụng
những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán
học là đúng đắn". Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

3


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, "một chứng minh
phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có
ngoại lệ". Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng
được gọi là một phỏng đoán.
Ở bậc phổ thông các em học sinh được tiếp cận với các phương pháp chứng

minh toán học sau:
+ Phương pháp suy luận trực tiếp
+ Phương pháp quy nạp
+ Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
+ Phương pháp đồ thị
+ Phương pháp bảng
+ Phương pháp sơ đồ
Các bài toán chứng minh ở THCS chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận trực
tiếp. Các phương pháp chứng minh còn lại tuy ít gặp nhưng chúng có ý nghĩa rất
quan trọng, là phần không thể thiếu của Toán học. Một số bài toán không thể dùng
phương pháp suy luận trực tiếp, hoặc nếu suy luận trực tiếp rất phức tạp, khó
khăn. Đối với bài toán chứng minh bằng phản chứng nếu ta muốn công nhận kết
luận của bài toán là đúng thì phải chứng minh điều ngược lại là sai. Phương pháp
chứng minh bằng phản chứng rất hiệu quả đối với những bài toán ít dữ liệu và khó
có thể suy luận trực tiếp.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Mục tiêu của môn Toán THCS là "cung cấp cho học sinh những kiến thức,
phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; hình thành và rèn luyện các
kĩ năng; rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic". Do đó bước vào THCS
học sinh phải dần làm quen với suy luận, chứng minh toán học. Nếu như ở lớp 6
học sinh mới chỉ bước đầu làm quen với suy diễn đơn giản thì yêu cầu rèn luyện
suy luận chứng minh được tăng dần từ lớp 7 đến lớp 9. Trong chương trình Toán
7 học sinh bắt đầu được làm quen với các phương pháp chứng minh cả trực tiếp
và gián tiếp. Nhiều học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, kém nói đến bài
toán chứng minh là lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Một số giáo viên trong
quá trình giảng dạy lại chưa chú ý đúng mức đến việc hình thành những tri thức
về mặt phương pháp cho học sinh.
Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đưa vào chương trình sách
giáo khoa Toán THCS bắt đầu từ lớp 7. Tuy nhiên tài liệu liên quan đến phương
pháp chứng minh bằng phản chứng và các bài tập trong chương trình vận dụng

phương pháp này rất ít. Vì vậy nhiều giáo viên không chú ý đến phương pháp này
trong quá trình giảng dạy. Các em không hiểu được phương pháp chứng minh
phản chứng là gì? Cách trình bày dạng bài này như thế nào? Những bài toán nào
thì có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Thậm chí những em hiểu
được cách chứng minh một số bài gợi ý rồi thì việc tìm được bài toán tương tự để
vận dụng cũng rất khó khăn.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

4


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Phương pháp chứng minh bằng phản chứng vừa có thể vận dụng trong chứng
minh các tính chất, các định lí vừa có thể vận dụng trong các bài tập ở một số
phần kiến thức của chương trình Toán THCS.
Để hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh, giáo
viên cần nắm được các bước cần thực hiện khi trình bày bài toán chứng minh
bằng phương pháp phản chứng và nghiên cứu để nắm được trong các bài học
những nội dung, những bài tập nào có thể vận dụng phương pháp này để chứng
minh Trong quá trình dạy học giáo viên cần có sự nghiên cứu tìm tòi, tận dụng cơ
hội để học sinh được vận dụng phương pháp này trong chứng minh một cách
thường xuyên để học sinh xem đây là công cụ hữu hiệu trong chứng minh toán
học, có thể vận dụng khi cần. Giáo viên cũng phải luôn gợi mở để học sinh vận
dụng nhiều cách làm trong một bài toán và suy xét xem với mỗi bài, cách chứng
minh, cách làm nào hay hơn, tối ưu hơn.
2.3.1 Cấu trúc của bài trình bày theo phương pháp chứng minh bằng phản chứng
Để chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (Phủ định kết luận) Giả sử có điều trái với kết luận.

Trong bước này, HS cần bao quát kiến thức, nắm rõ với một vấn đề, hay hiện
tượng có thể xảy ra những trường hợp nào. Nếu không xảy ra điều như kết luận
thì điều gì sẽ xảy ra.
Ví dụ: Khi xét hai đường thẳng thì xảy ra ba trường hợp: cắt nhau, song song,
trùng nhau.
Khi xét một điểm và một đường thẳng thì xảy ra hai trường hợp: Điểm thuộc
đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng.
Khi xét hai số a và b thì xảy ra ba trường hợp: a = b , a > b, a < b.
.....v.v...
Bước 2: (dẫn đến mâu thuẫn)
Từ điều giả sử trên và cùng với các giả thiết, ta dùng các kiến thức đã học lập
luận để suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết, hoặc trái với những điều đã biết (tiên
đề, định lí, hệ quả, các điều đã được chứng minh)
Bước 3: (Khẳng định kết luận)
Từ điều mâu thuẫn trên, ta khẳng định điều trái kết luận trên là sai. Vậy kết luận
cần phải chứng minh là đúng.
2.3.2.Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng qua các tiết học
chính khoá
*Lên lớp 7 HS mới tập suy luận và làm quen với chứng minh Toán học. Qua
nghiên cứu nội dung chương trình các tiết dạy, tôi thấy rằng trong chương trình
Toán lớp 7 phương pháp chứng minh bằng phản chứng được vận dụng ở các nội
dung sau:
a) Tính chất hai đường thẳng song song:
Nếu một đương thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
+ Hai góc so le trong bằng nhau ;
+ Hai góc đồng vị bằng nhau;
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

5

Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Với tính chất này sau khi học sinh hiểu và vận dụng được thì cuối giờ học giáo
viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ra tính chất thứ nhất qua việc trả lời câu
hỏi gợi ý ở bài 30 trang 79 Sách bài tập Toán 7 tập 1:
"Trên hình vẽ , hai đường thẳng a, b song song với nhau, a
A
đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B.
4
a) Lấy một cặp góc so le trong ( chẳng hạn cặp A4, B1)
P
b) rồi đo xem hai góc đó có bằng nhau hay không?
ˆ

c) Hãy lí luận vì sao A4

ˆ

- Nếu A4

ˆ

ˆ

B1 theo gợi ý sau:

B1 thì qua A ta vẽ tia AP sao cho PAB B1

ˆ

1
b

B

- Thế thì AP // b, vì sao?
c
- Qua A vừa có a // b, vừa có AP // b thì sao?
- Kết luận: Đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một. Nói cách khác
ˆ từ đó ˆ
ˆ .
PAB A
A B
"
Giáo viên cho học sinh thực hiện câu a sau đó hướng dẫn học sinh trả lời câu b như sau:
ˆ
ˆ
ˆ
B 1 thì qua A ta vẽ tia AP sao cho PAB B 1
- Nếu A 4
- Do có cặp góc so le trong này bằng nhau nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường
thẳng song song thì AP // b
- Khi đó, qua A vừa có a // b, vừa có AP // b, trái với tiên đề Ơclit về đường thẳng
song song.
41

4

1

-Vậy đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một. Nói cách khác PAB A
ˆ
là A 4 Bˆ .

ˆ
4

nghĩa

1

Bài tập này vừa giúp HS suy luận ra tính chất thứ nhất của hai đường thẳng
vừa củng cố được tiên đề Ơclit. Do đó giáo viên cần lưu ý dành thời gian cho HS
làm. Và sau khi HS làm xong, giáo viên có thể giới thiệu cách suy luận như trên
chính là suy luận theo phương pháp phản chứng, để giúp HS có được khái niệm
ban đầu về phương pháp này.
b) Tính chất ba đường thẳng song song:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Ở bài " Từ vuông góc đến song song " học sinh đã biết đến cách chứng minh
tính chất này bằng cách chứng minh cho hai đường thẳng cùng vuông góc với
đường thẳng thứ ba. Ở tiết luyện tập sau đó, sách giáo khoa hướng dẫn học sinh
suy luận theo cách khác thông qua bài tập 45 Trang 98 :
a) Vẽ d' // d và d" // d ( d' và d" phân biệt).
b) Suy ra d' // d" bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
+ Nếu d' cắt d" tại điểm M thì M có nằm trên d không? Vì sao?
+ Qua điểm M nằm ngoài d, vừa có d' // d, vừa có d" // d thì có trái với Tiên đề Ơ-clit không?

+ Nếu d' và d" không thể cắt nhau ( vì trái với tiên đề Ơ-lit) thì chúng phải thế nào?

Sau khi giáo viên cho học sinh vẽ hình ở câu a và hướng dẫn trả lời các câu hỏi
ở câu b, giáo viên trình bày thành bài suy luận hoàn chỉnh chứng minh tính chất
d
trên như sau:
Giả sử d căt d tại điểm M

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

d

'

6


d''


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
d / /d
d / /d

Vì

nên d và d' không có điểm chung.

Mà M thuộc d do đó M không thể nằm trên d
Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có vừa có d / /d mà d và d là hai đường thẳng
phân biệt. Điều này trái với Tiên đề Ơ clit. Do đó d và d không thể cắt nhau.

Vậy d và d song song với nhau.
Sau khi trình bày bài xong, giáo viên giới thiệu ta vừa suy ra tính chất ba đường
thẳng song song bằng phương pháp phản chứng. Giáo viên giới thiệu các bước: +
Bước 1: Phủ định kết luận: Giả sử d căt d tại điểm M
Vì d / /d nên d và d' không có điểm chung. Mà M thuộc d do đó M không thể nằm trên

d
+ Bước 2: Dẫn đến mâu thuẫn
Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có d / /d vừa có d / /d mà d và d là hai
đường thẳng phân biệt. Điều này trái với Tiên đề Ơ clit. Do đó d và d
không
thể cắt

nhau.
+ Bước 3: Kết luận: Vậy d và d song song với nhau.
Qua bài này học sinh bắt đầu biết đến cách trình bày một suy luận bằng phương
pháp phản chứng. Từ đó tương tự sau khi học Bài " Định lí" giáo viên yêu cầu học
sinh trình bày bài tập 43 trang 81 SBT theo phương pháp phản chứng:
Hãy chứng minh định lí: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song
song thì hai góc đồng vị bằng nhau."
Như vậy ở chương I học sinh đã có được hiểu biết ban đầu về chứng minh
bằng phản chứng, biết trình bày bài chứng minh theo phương pháp này. b) Trong
bài ôn tập chương II của Hình học 7:
Trong phần củng cố các kiến thức của chương, GV cho HS làm BT 67 SGK:
Điền dấu "X" vào chỗ trống(...) một cách thích hợp:
Câu
Đúng Sai
1. Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn
........
.........

2. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc nhọn
........
.........
3. Trong một tam giác, góc lớn nhất là góc tù
........
........
4. Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn bù nhau
........
........
o
ˆ
ˆ
6.
........
........
5.

Nếu A là góc ở đáy của một tam giác cân thì

A 90

Nếu A là góc ở đáy của một tam giác cân thì

........

........

A 90

ˆ

ˆ

o

Qua bài tập này, GV có thể rèn luyện chứng minh bằng phản chứng cho HS khi
giải thích tại sao mỗi câu trên đúng hay sai. Ví dụ như:
1. Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn là câu đúng


Giải thích: Giả sử trong một tam giác góc nhỏ nhất không phải là góc nhọn thì
có thể là góc tù hoặc góc vuông.
Nếu góc nhỏ nhất là góc tù thì hai góc còn lại cũng là góc tù. Khi đó tổng ba góc
trong tam giác lớn hơn 180o. Điều này trái với định lí tổng ba góc trong tam giác
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017
7


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Nếu góc nhỏ nhất là góc vuông thì hai góc còn lại là góc vuông hoặc góc tù. Khi
đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180 o. Điều này trái với định lí tổng ba góc
trong tam giác
Vậy điều giả sử trên không thể xảy ra, hay trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn.

d) Định lí về cạnh đối diện với góc lớn hơn:
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Định lí này SGK không yêu cầu chứng minh. Nhưng sau khi HS nắm được nội
dung định lí, giáo viên yêu cầu HS về nhà làm BT 10 trang 25 SBT Toán 7:
ˆ

Cho tam giác ABC có B C

ˆ

A

+ Có thể xảy ra AC < AB hay không?
+ Có thể xảy ra AC = AB hay không?
B
C
Qua bài toán này học sinh có thể trình bày
thành bài chứng minh định lí trên như sau:
Cho tam giác ABC với Bˆ Cˆ , ta giả sử không thể
xảy ra AC > AB. Khi đó có thể xảy : AC < AB hoặc AC = AB
+ Nếu AC < AB thì theo định lí về góc đối diện với cạnh lớn hơn ta có Bˆ Cˆ
Điều này trái với giả thiết là Bˆ Cˆ
+ Nếu AC = AB thì tam giác ABC cân tại A. Khi đó Bˆ Cˆ .Điều này cũng trái với
giả thiết là Bˆ Cˆ . Do đó điều giả sử trên không thể xảy ra.
Vậy AC > AB
e) Phần Đại số 7, trong bài học: "Sô vô tỉ. Khái niệm căn bậc hai" đưa ra khẳng
định: "Không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2". Với khẳng định này có
thể chứng minh bằng phản chứng như sau:
Giả sử 2 là số hữu tỉ, tức là 2 m , trong đó m, n *, m tối giản hay ( m, n ) =1
Từ

2

m m2 = 2n2
n

n

n

m2 là số chẵn m là số chẵn m = 2k, k

*

Từ m2 = 2n2 4k2 = 2n2 n2 = 2k2 n2 là số chẵn n là số chẵn Do đó m chẵn,

m

n chẵn phân số n chưa tối giản. Mâu thuẫn giả thiết.
Vậy không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 hay 2 là số vô tỉ. *Lên
lớp 8, học sinh chủ yếu vận dụng phương pháp chứng minh trực tiếp. Tuy
nhiên, HS vẫn có cơ hội vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng trong
trường hợp sau:
a) Trong bài "Tứ giác" sau khi học sinh học xong định lí tổng các góc của một
tứ giác, Gv có thể củng cố cho HS qua bài tập 6 trang 61 SBT: "Chứng minh các
góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù" bằng
phương pháp phản chứng như sau:
Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác
nhỏ hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác.
Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.
Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớn
hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017
8

Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
b) Trong bài "Đa giác. Đa giác đều" GV có thể cho HS làm BT 10 SBT trang
126 để củng cố bài: Một đa giác lồi có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn.
Để trả lời câu hỏi này trước hết HS cần nắm được tổng số đo các góc ngoài của
một đa giác bằng 360o từ đó dự đoán câu trả lời. Sau khi HS dự đoán, GV chốt
lại: "Một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn" và GV hướng dẫn HS chứng
minh bằng phản chứng như sau:
Giả sử có 1 đa giác có quá ba góc nhọn.
Mà một góc của đa giác là nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù.
Khi đó đa giác có quá ba góc ngoài là góc tù. Nên tổng các góc ngoài của đa giác
lớn hơn 360o, trái với định lí đã chứng minh.
Vậy một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn
*Trong chương trình Toán 9, HS có thể được vận dụng phương pháp chứng
minh phản chứng ở một số nội dung sau:
a) Trong bài "Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn"
khẳng định:"Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng" được
chứng minh bằng phản chứng như sau:
Giả sử đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C
d
d2
thì tâm O là giao điểm của đường trung trực d1
của AB (vì OA = OB) và đường trung trực d2
A
B
C
của BC (vì OB = OC).
Do d1 // d2 nên không tồn tại giao điểm d1 và d2, mâu thuẫn
Vậy không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
b) Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông

góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Đây là một định lí trong bài "Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn".
1

Để chứng minh định lí này, GV hướng dẫn HS chứng minh bằng phản chứng như sau:

Cho đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tức là đường thẳng a và
đường tròn (O) có một điểm chung là C.
Kẻ OH vuông góc với đường thẳng a. Ta cần chứng minh H trùng với C.
Giả sử H không trùng với C.
O
Ta lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao cho
H là trung điểm của CD. Khi đó C không trùng
a
với D nên OH là đường trung trực của CD.
Theo tính chất điểm thuộc đường trung trực
C H D
ta có OC = OD mà OC= R nên OD =R
có nghĩa là D thuộc đường tròn (O).
Như vậy đường thẳng a có hai điểm chung với đường tròn (O), điều này trái với
giả thiết là đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung. Vậy H phải
trùng với C. Điều đó chứng tỏ OC a và OH = R.
c) Tính chất: Nếu đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau thì
khoảng cách từ O đến đường thẳng a lớn hơn R.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

9


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS

Đây là một khẳng định trong bài "Vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn". Nội dung bài học này tương đối dài nên không đưa phần chứng minh này
vào bài học. Tuy nhiên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh về nhà tự chứng
minh như sau:
Giả sử tồn tại một điểm của đường thẳng a nằm trên đường tròn(O) thì đường
thẳng a và đường tròn (O) có điểm chung, trái với giả thiết.
Giả sử tồn tại một điểm A của đường thẳng a nằm bên trong đường tròn(O)
Ta có OH OA R .
O
Trên đường thẳng a, ta lấy điểm M sao cho HM R 2 OH 2 thì
OM 2 OH 2 HM 2 R2 nên OM = R, tức là điểm M
A
a
nằm trên đường tròn(O), trái với giả thiết.
M
Vậy mọi điểm của đường thẳng a đều nằm ngoài đường tròn(O).
H
Do H thuộc đường thẳng a nên OH > R
d) Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của
đường tròn.
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R. Nếu
đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d = R. Nếu
đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau thì d > R.
Đảo lại ta cũng chứng minh được:
Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau .
Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau . Nếu
d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau .
Ta có thể chứng minh các định lí đảo bằng phản chứng. Chẳng hạn chứng
minh: Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau như sau:
Giả sử đường thẳng a và đường tròn (O) không cắt nhau thì chúng tiếp xúc

nhau hoặc không giao nhau.
Nếu chúng tiếp xúc nhau thì d = R, trái với giả thiết.
Nếu chúng không giao nhau thì d > R, trái với giả thiết.
Vậy đường thẳng a và đường tròn (O) phải cắt nhau.
Các định lí đảo còn lại cũng chứng minh tương tự.
e) Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có
số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc
đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
Đây là yêu cầu của bài 30 SGK trang 79 SGK. Với bài này vừa có thể chứng
minh trực tiếp vừa có thể chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh bằng
phản chứng ta làm như sau:
B
Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của tại A mà là
x
O
cát tuyến đi qua A và cắt (O) tại C.
Ta xét hai trường hợp:
A
C
+ Trường hợp 1: C thuộc cung nhỏ AB
Khi đó BAC là góc nội tiếp và BAC =

1
2 SđAB<

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

1
2 Sđ AB.

10


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
1
Điều này trái với giả thiết BAC = 2 Sđ AB .
Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến.
+ Trường hợp 2: C thuộc cung lớn AB
1
Khi đó BAC là góc nội tiếp và BAC = 2 Sđ CB
1
o
BAx = 180o BAC=180 - 2 Sđ CB
1
1

= 2 (Sđ AC + Sđ AB) >

B
O

C
A

2 Sđ AB

x

1

Điều này trái với giả thiết BAC = 2 Sđ AB
Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến.
g) Định lí: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o thì tứ giác
đó nội tiếp đường tròn
Trong SGK đã hướng dẫn cách chứng minh định lí trên bằng cách sử dụng cung
chứa góc. Tuy nhiên giáo viên có thể cho học sinh chứng minh cách khác đơn
giản hơn bằng phương pháp phản chứng như sau:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử D

(O)

Khi đó, đường thẳng CD cắt (O) tại D’ và Dˆ Dˆ' ABCD’
ˆ ˆ
ˆ ˆ
nội tiếp được B D ' 180o Mà B D ' 180o Dˆ Dˆ' , trái
với điều giả sử trên.

Vậy một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o thì tứ giác đó nội
tiếp đường tròn.
2.3.3 . Một số bài toán chứng minh sử dụng phương pháp phản chứng :
Để rèn luyện phương pháp chứng minh phản chứng, trong các tiết luyện tập,
các buổi học phụ đạo, học thêm, bồi dưỡng, GV cần thường xuyên tạo cơ hội cho
học sinh được làm các bài tập có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằng
phản chứng. Tuy ở lớp 7 học sinh mới được làm quen với bài toán chứng minh,
phương pháp chứng minh bằng phản chứng nhưng ngay từ lớp 6 giáo viên có thể
cho học sinh làm một số bài tập suy luận đơn giản bằng phản chứng.
* Trong phần Hình học có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằng
phản chứng để làm các bài tập sau:
Bài tập1: Vì sao hai đường thẳng phân biệt hoặc chỉ có một điểm chung hoặc

không có điểm chung nào?
( Toán bồi dưỡng HS lớp 6 )
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

11



Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Nhận xét: Với bài tập này suy luận trực tiếp rất khó khăn, ta có thể suy luận theo
phương pháp pháp chứng như sau:
Giả sử hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung
Mà có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm nên hai đường
thẳng đó trùng nhau. Điều này vô lí.
Vậy hai đường thẳng phân biệt hoặc chỉ có một điểm chung hoặc không có điểm chung
nào Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, C trong đó AB = 2cm, AC = 3cm, BC = 4cm.

Chứng tỏ rằng A không nằm giữa B và C. ( Toán bồi dưỡng HS lớp 6 ) Nhận xét:
Với bài toán này, học sinh lớp 6 có thể suy luận theo phương pháp phản chứng
như sau:
Giả sử điểm A nằm giữa 2 điểm B và C.
Khi đó ta có BA + AC = BC tức là 2cm + 3cm = 4cm, vô lí.
Vậy A không nằm giữa B và C.
Bài tâp 3: Cho đường thẳng a song song với đường thẳng b. Chứng minh rằng
nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b.
(Ôn kiến thức - luyện kĩ năng Hình học 7)
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh hai đường thẳng cắt nhau. Với kiến thức
ở chương I Hình học 7 các em không có một dấu hiệu nào để chứng minh hai
đường thẳng cắt nhau, nhưng các em vừa học một số tính chất của hai đường
thẳng song song. Do đó ta nghĩ đến chứng minh bằng phản chứng: giả sử xảy ra

điều trái với kết luận, tức là a và b song song rồi vận dụng các tính chất về
đường thẳng song song để suy ra điều vô lí.
Cụ thể, yêu cầu học sinh lập luận như sau:
a
c
Gọi giao điểm của a và c là điểm M.
Giả sử c không cắt b. Vì b // a nên c và b
M
không trùng nhau. Suy ra c // b.
Như vậy qua điểm M có hai đường thẳng
b
phân biệt là a và c cùng song song với b.
Điều này trái với tiên đề Ơclit.
Vậy điều giả sử trên không xảy ra, suy ra c phải cắt b
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là các góc nhọn, kẻ AH vuông
góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và C.
(Nâng cao và phát triển Toán 7)
Phân tích: Đây là bài toán xét về quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng. Cần cho
HS hình dung về quan hệ giữa ba điểm bất kì trên một đường thẳng: Hoặc các
điểm trùng nhau hoặc các điểm phân biệt nhau. Khi các điểm phân biệt nhau thì
một điểm phải nằm giữa hai điểm còn lại. Đồng thời bài toán còn liên quan đến
các góc của tam giác nên có thể vận dụng tính chất về góc.
Giải:
Giả sử điểm H không nằm giữa hai điểm B và C.
A
Khi đó, xảy ra các trường hợp:
+ Trường hợp 1: Điểm H trùng với điểm B (hoặc điểm C)
thì B (hoặc C ) bằng 90

.

ˆ

ˆ

o

Trái với giả thiết góc B và góc C là góc nhọn.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

H

B

C12


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
+ Trường hợp 2: Điểm B nằm giữa hai điểm H và C
Ta có ABC là góc ngoài tại B của tam giác AHB nên
theo tính chất góc ngoài ta suy ra ABC AHB

Mà AHB = 90 o ABC 90

o

, trái giả thiết góc B là góc nhọn.

A

+ Trường hợp 3: Điểm C nằm giữa hai điểm H và B
Tương tự ta suy ra góc C là góc tù, trái giả thiết góc
B
H
C là góc nhọn. Điều giả sử trên không thể xảy ra.
C
Vậy điểm H phải nằm giữa hai điểm B và C
Bài tập 5: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HA. Trên nửa mặt phẳng bờ là DB không chứa A vẽ tia Dx sao cho
BDx 15o . Tia Dx cắt tia AB ở E. Chứng minh rằng HD = HE
(Nâng cao và phát triển Toán 7)
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, trong phần
này ta thường đưa về chứng minh hai tam giác bằng nhau nhưng trên hình không
có tam giác nào bằng nhau có hai cạnh tương ứng là HD và HE. Tuy nhiên trên
hình có nhiều góc đã biết số đo, ta có thể dùng phương pháp phản chứng, vận
dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác đưa về so sánh các góc.
Giải: Giả sử HD không bằng HE thì HD > HE hoặc HD < HE.
A
+ Nếu HD > HE thì HED HDE HED 15o (1) Mặt
khác HA = HD suy ra HA > HE, do đó
HEA HAE HEA 30o (2)
B
H
CD
Từ (1) và (2) suy ra BED > 45o.
Mà theo tính chất góc ngoài tam giác ta có
45 15
ABD BED

o

BDE

o

x

o

E
Suy ra ABD > 60 , trái với giả thiết ABD = 60o
+ Nếu HD < HE, tương tự ta cũng có ABD < 60o, trái với giả thiết.
Vậy HD = HE.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có 3 góc đều là góc nhọn. Đường cao AD kẻ từ
đỉnh A cắt trung tuyến BE kẻ từ đỉnh B và phân giác CF của góc C theo thứ tự tại
các điểm M, N; BE và CF cắt nhau tại P. Chứng minh rằng tam giác MNP không
phải là tam giác đều.
Phân tích: Việc chứng minh một tam giác không đều nghe có vẻ mơ hồ. Ta thử
giả sử tam giác MNP đều xem có dẫn đến điều mâu thuẫn không?
Giải: Giả sử tam giác MNP là tam giác đều.
Ta có: góc N = 600.Như vậy: C1 = 300.
Vì CF là tia phân giác của góc C .
Nên ta cũng có C2 = 300.
MNP đều cũng cho ta

P1

= 60

P2

= 60

0

0

0

Do đó: P2 + C2

=90.

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

13


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Trong tam giác PEC, tổng hai góc ở đỉnh P và ở đỉnh C là 900, suy ra: E = 900
BE
AC hay BE là đường cao của tam giác ABC.
Như vậy tam giác ABC có trung tuyến BE cũng là đường cao nên nó là tam giác
= 60 0 , nên ABC là tam giác đều và như vậy thì cả
cân, đỉnh B. Nó lại có góc
ba đường AD, BE, CF phải đồng quy tại một điểm.
Điều này trái với giả thiết là chúng cắt nhau tại 3 điểm M, N, P.
Vậy tam giác MNP không thể là tam giác đều.
Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD thoã mãn: AB BD AC CD . Chứng minh rằng
AB < AC.

( Bồi dưỡng Toán 8 tập 2 )
Phân tích: Từ biểu thức AB BD AC CD để suy ra AB < AC có vẻ khó khăn
Ta thử giả sử AB AC rồi xét quan hệ giữa góc và
cạnh trong tam giác để suy ra điều trái với BĐT đã cho
Giải:
A
B
C

Giả sử AB AC (1) suy ra BCA

ABC

Do đó BCD BCA ABC DBC
Xét tam giác BCD ta có do BCD DBC Nên BD > CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + BD > AC + CD, trái giả thiết.
Vậy AB < AC

D

C

Bài tập 8: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. M là trung điểm của cạnh AD.
a
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
0 CE
. Qua M kẻ đường thẳng song song
2

với AE cắt cạnh CD tại F. Chứng minh hình thang AMEF không thể là hình thang cân.
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh một điều không thể xảy ra. Với dạng bài
này ta thường nên nghĩ ngay đến chứng minh bằng phản chứng.
Giải: Giả sử AMEF là hình thang cân thì AM = EF(1)Và
=
Mà
=
( hai góc so le trong)
=
MAE AEF
MAE AEB
AEF AEB
AE là tia phân giác của góc FEB
Mà AC là tia phân giác của góc FCE (tính chất của tam giác vuông).
Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc
A
BEF của tam giác EFC, đường tròn này tiếp xúc
với CE tại B, tiếp xúc với CF tại D.
Suy ra EF = EB + FD
M
a BE
a EF > EB>
a
Mà0 CE
2

2

B

E

2

Suy ra EF > AM, trái với (1)
Vậy AMEF không thể là hình thang cân.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

D

F

C
14


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Bài tập 9: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường
thẳng d chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau.
Chứng minh đường thẳng d đi qua I.
Giải: Giả sử đường thẳng d không đi qua điểm I thì I nằm trong tam giác AMN
hoặc I nằm trong tứ giác BMNC.
Ta có I là giao điểm của ba đường phân giác nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC. A Vì chu vi tam giác AMN và chu vi tứ giác BMNC bằng nhau
nên
AM+AN=MB+BC+CN
(1)
Và SAMN SBMNC
(2)
I

N
M
Gọi r là khoảng cách từ I tới các cạnh của tam giác ABC.
Từ (1) ta có:
AM
AN .r ( BM BC CN ).r SIAM SIAN SIMB SIBC SINC (3) B
C
+ Nếu I nằm bên trong tam giác AMN.
Khi đó trừ vế với vế của (2) cho (3) ta có
SAMN SIAM SIAN SBMNC SIMB SIBC SINC SIMN SIMN ,
vô lí
+ Nếu I nằm bên trong tứ giác BCNM
Khi đó trừ vế với vế của (2) cho (3) ta có
SAMN
SIAM SIAN
SBMNC SIMB SIBC SINC
SIMN SIMN , vô lí
Vậy I phải nằm trên cạnh MN, hay đường thẳng d đi qua điểm I.
Trong các bài toán trên, ngoài cách giải bằng phản chứng thì cách giải khác là
rất khó khăn. Tuy nhiên ta còn có thể gặp những bài mà có nhiều cách giải,
trong đó có thể giải bằng phản chứng đặc biệt một số bài toán chứng minh
bằng phản chứng ngắn gọn, đơn giản hơn các cách khác.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường phân giác BD. Chứng
minh rằng 45o ADB 90o .
( Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Ta có thể giải bài toán này dựa vào quan hệ giữa các góc trong tam giác như
sau:
Ta có tam giác ABD vuông tại A nên ADB < 90o.
Vì BD là tia phân giác góc B nên
B

ˆ

o

ˆ

B

ABC

B
1

2

2

ADB

o

ˆ

90

90

B
1

ABC

1

2

2

Mặt khác tam giác ABC vuông tại A
nên ABC < 90o, suy ra ABC 45o
2

ABC
Do đó ADB > 45

2

45o

90 o
.
o

A

ABC

2

90 o 45o

ADB < 90
Vậy 45

o

o

M

C

.

Ta có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh
hơn như sau:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

ADB > 45o đơn giản

15


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
ˆ
ˆ
Giả sử ADB < 45o mà ADB B1 90o nên B 1 45o , suy ra B 2 45o
Khi đó ABC 90o tức là tam giác ABC là tam giác tù, trái giả thiết tam giác
ABC vuông tại A. Vậy ADB > 45o
Bài tập 11: Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho
EAB EBA = 15o. Chứng minh rằng tam giác CDE là tam giác đều.

( Giáo trình Thực hành và giải Toán tập II)
Đây là bài toán chứng minh một tam giác đều. Ta có thể chứng minh như sau:
Ta có tam giác AEB có EAB EBA = 15o
A
B
E

AEB
nên

I

cân tại E

EA = EB.
D

C

Khi đó AED BEC (c.g.c)
ED EC (hai cạnh tương ứng) (1)
Trong tam giác AED dựng tam giác AIE đều.
Suy ra DAI 15o
Vì AB = AD, AE = AI và DAI BAE 15o
nên AID AEB (c - g - c)
Suy ra DIA BEA 150o và EID = 360o - 60o - 150o = 150o DIA EID Xét tam
giác AID và tam giác EID ta có
AI = IE; DIA EID ; ID chung
Nên AID EID ( c. g .c ) Suy ra AD = ED mà AD = DC (ABCD là hình vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ED = DC = CE

Vậy tam giác EDC là tam giác đều
Tuy nhiên cách làm trên ta phải biết cách vẽ được đường phụ, điều này không
phải học sinh nào cũng nghĩ ra. Để chứng minh ED = DC ta có thể dùng phương
pháp phản chứng để chứng minh tiếp như sau:
Giả sử EDC không phải là tam giác đều nên DC > ED hoặc DC < ED
+ Nếu

DC

> ED

90o
DAE

Mà AEB BEC CED DEA = 360

mà

o

EAB 90

AD

15o 75

=

DC(gt) nên AD

o

>

EDDEA EAD mà

o

DEA 75
o

ED = EC < DC DCE CDE 60

o
BEC DEA

và AEB 150

> 75
nên

DEC 60

o

o

DCE CDE DEC 180

o

mà

, trái với định lí

o

tổng ba góc của tam giác.
+ Nếu DC < ED lập luận tương tự ta có tổng ba góc của tam giác DEC lớn hơn
180o, trái với định lí tổng ba góc của tam giác.
Như vậy chỉ có thể xảy ra DC = ED
Bài tập 12 : Cho tam giác ABC với đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân
đường vuông góc hạ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng nếu BM = CN thì tam
giác ABC cân tại A.(Tuyển chọn bài thi Học sinh giỏi Toán THCS)
Nhận xét: Với bài này, ngoài hai cách chứng minh:
A
- Sử dụng định lí Pyta go để chứng minh trực tiếp.
- So sánh cạnh và góc trong tam giác với hai trường hợp:
N
+ Với H nằm giữa B và C


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

16


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
+ Với H nằm ngoài đoạn BC.
M

Ta có thể giải bài toán này theo phương pháp
phản chứng như sau:
B H
C
Giả sử tam giác ABC không cân
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử AB > AC. Khi đó: HB > HC
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Theo định lí Pytago ta có BH 2 BM 2 HM 2 ;CH 2 CN2 HN2
Mà BM = CN(gt). Suy ra HM > HN
Ta lại có AH 2 AM 2 HM 2 ; AH 2 AN 2 HN 2 (theo định lí Pytago)
Suy ra AM 2 HM 2 AN 2 HN 2 mà HM > HN nên AM < AN.
Kết hợp với BM = CN suy ra AB < AC, trái với điều giả sử trên.
Vậy AB = AC hay ABC cân tại A
Bài tập 13: Cho tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường
phân giác kẻ từ A. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.
Bài toán này ở lớp 7 HS có thể chứng minh bằng suy luận trực tiếp như sau:
Trên tia đối của HA lấy điểm D sao cho AH = HD. Ta chứng minh được AB =
HC, HC =AC nên AC= AB tức là tam giác ABC cân tại A.
Lên lớp 8 sau khi học tính chất đường trung bình của tam giác, ta có thể
A
chứng minh bằng phản chứng như sau:
Giả sử tam giác ABC không cân tại A thì
AC > AB hoặc AC< AB.
+ Nếu AC > AB.
Trên AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
D
Gọi K là giao điểm của AH và BD.
K
Xét hai tam giác ABK và ADK ta có:
AB = AD; BAK

DAK ; AK là cạnh chung

C
Do đó ABK ADK (c.g.c)
B
H
Suy ra AK = KD (hai cạnh tương ứng)
Tam giác BDC có K và H lần lượt là trung điểm của BD và BC nên KH là đường
trung bình. Suy ra KH song song với DC, trái với đề bài KH và DC cắt nhau tại A.
Do đó không thể xảy ra AC > AB.
+ Nếu AC < AB chứng minh tương tự không thể xảy ra
Vậy AC = AB hay tam giác ABC cân tại A.
Bài tập tự luyện
o
o
. Tia Ox
Bài tập 1: Cho hai góc kề nhau xOy, xOz sao cho xOy 100
, xOz 130
có nằm giữa hai tia Oy, Oz không?
( Toán bồi dưỡng HS lớp 6 )
Bài tập 2: Cho góc xOy là góc nhọn. Vẽ đường thẳng a vuông góc với đường
thẳng Ox. Chứng minh rằng đường thẳng a cắt đường thẳng Oy.
( Ôn kiến thức - luyện kĩ năng Hình học 7)
Bài tập 3: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một góc
( khác góc bẹt) thì cắt nhau.
(Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7)

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

17


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS

Giải:

Bài tập 4: Cho xOy = mo ( 0 < m < 180) . Tia Ot là tia phân giác của góc xOy, lấy
điểm A trên tia Ox (khác điểm O). Qua A vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox.
Chứng minh rằng tia Ot và đường thẳng a cắt nhau.
(Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7)
Bài tập 5: Chứng minh rằng với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài
không lớn hơn 120o.
(Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7)
Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân tại A. D là một điểm nằm trong tam giác, biết
ADB ADC . Chứng minh rằng DC > DB.
(Toán nâng cao và các chuyên đề Hình học 7)
Bài tập 7: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a 2 b 2 5c2 thì cạnh c là
độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác. (Toán nâng cao và các chuyên đề HH 7 ) Bài
tập 8: Mặt phẳng được tô kín bởi hai màu xanh đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 2
điểm cùng màu cách nhau đúng một đơn vị.
Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh a, b, c, d đều là các số nguyên
dương. Biết rằng a, b, c, d đều là ước của a + b + c + d. Chứng minh rằng tồn tại
hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
Bài tập 10: Cho hình bình hành ABCD có AB < AD, góc A là góc tù. E là một
điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Đường thẳng a đi qua đỉnh C cắt
AB tại B và AD lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng nếu E là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHK thì đường thẳng a chứa đường phân giác của góc BCD
Bài tập 11: Gọi P là một điểm trong tam giác ABC, các đường thẳng AP, BP, CP
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại K, N, M. Tiếp tuyến tại C cắt

cạnh AB kéo dài tại S. Biết MK = MN. Chứng minh rằng SC = SP
*Phần Số học và Đại số có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằng
phản chứng để làm các bài tập sau:
Bài tập 1: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 95 quyển vở cho 30 học sinh lớp 6A.
Chứng tỏ rằng ít nhất có một em nhận được nhiều hơn 3 quyển vở.
Giải: Giả sử không có học sinh nào lớp 6A nhận được nhiều hơn 3 quyển vở.
Như vậy tối đa số vở phát cho 30 em là 30 . 3 = 90 < 95. Trong khi giáo viên cần
phân phối 95 quyển. Điều này vô lí.
Vậy ít nhất có một em nhận được nhiều hơn 3 quyển vở.
Bài tập 2: Cho a là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a và a + 1 luôn là hai số
nguyên tố cùng nhau.
Giả sử a và a + 1 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau
Tức là (a, a+1) = d với d >1.
Khi đó :

nên

a d ; ( a 1) d

a 1

a

d

, vô lí vì d > 1

1

d

Vậy a và a + 1 luôn là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài tâp 3: Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0.
Giải:
Giả sử x
0 hoặc y
0 thì khi đó x2 > 0 hoặc y 2 > 0
x2 + y2 > 0 , trái giả thiết Vậy x2 +
y2 = 0 thì x = 0 và y = 0.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

18


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
Bài tâp 4: Chứng minh rằng : Với m, n là các số nguyên dương thì m và n chia
hết cho 3 khi và chỉ khi m 2 n2 chia hết cho 3
Giải: Phần thuận : m chia hết cho 3 m2 chia hết cho 3 n chia hết cho
3 n2 chia hết cho 3
do đó, m2 + n2 chia hết cho 3.
Đảo lại , m2 + n2 chia hết cho 3 ta cần chứng minh m và n chia hết cho 3
Chứng minh bằng phản chứng :
Giả sử m và n không chia hết cho 3, khi đó :
*
m = 3k 1 và n = 3p 1, k, p
m2 + n2 = 9k2 6k +1 + 9p2 6p + 1 = 3(3k2 2k + 3p2 2p) + 2
Vì 3(3k2 2k + 3p2 2p) 3 và 2 3 nên m2 + n2 không chia hết cho 3 trái giả thiết. Vậy
m2 + n2 chia hết cho 3 thì m và n chia hết cho 3
Bài tập 5: Cho x là một số hữu tỉ khác 0, y là một số vô tỉ. Chứng tỏ rằng x + y
là số vô tỉ.

( SBT Toán 7 tập 1 )
Giải:
Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ.
Như vậy ta có y = z - x mà hiệu hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
Suy ra y là số hữu tỉ. Điều này trái với đề bài y là số vô tỉ
Vậy x + y là một số vô tỉ.
Bài tâp 6: Cho đa thức f (x) ax b a 0 . Chứng minh rằng nếu có hai số x1 , x2 là hai
nghiệm của đa thức thì x1 x2 . (Tuyển chọn các bài toán hay và khó ĐS 7) Giải: Giả
sử x1 x2
Vì x1 là nghiệm của đa thức f(x) nên ax1 b 0 (1)
Vì x2 là nghiệm của đa thức f(x) nên ax 2 b 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ax1 b ax 2 b 0 a x1 x2 0
Mà x1 x2 x1 x2 0 . Do đó a = 0, trái giả thiết. Vậy x1 x2 Bài tâp
7: Nếu x 1 và y 1 thì x + y + xy 1
Giải: Giả sử x + y + xy = 1 x + y + xy + 1 = 0 y(x +
1) + (x + 1) .1 = 0 (x + 1)(y +1) = 0 x + 1 = 0
hoặc y + 1 = 0
x=
1 hoặc y = 1, trái giải thiết
Vậy nếu x
1 và y
1 thì x + y + xy
1
Bài tập 8: Cho ba số a, b, c
(0 ; 1). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các
bất đẳng thức sau là sai : a.(1 b)

1

4 (1); b.(1 c)

1
1
4 (2); c.(1 a) 4 (3)

(Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng.
Khi đó, nhân theo vế của (1) , (2), (3) ta được :
a.(1 b ).b.(1 c ).c.(1 a) 1 .1 . 1 hay : a.(1 a ).b.(1 b ).c.(1 c)
1 (*)
4 4 4

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

64

19


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
12

1

1

Ta có : a(1 – a) = a2 + a = a

(4)

2

Tương tự : b(1 – b)

1
4

(5);

4

4

c(1 – c)

1
4

(6)

Vì ba số a, b, c (0 ; 1) nên a, (1 – a), b, (1 – b), c, (1 – c)
Nhân vế với vế (4), (5), (6) ta được : a(1 – a). b(1 – b) .c(1 – c)

là các số dương.
1 (**)
64

Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*), do đó cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) không
thể đồng thời đúng.
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức này là sai. (đpcm)

Bài tập 9 : Chứng
minh rằng nếu: a b c 0 (1); ab bc ca 0 (2); abc 0 (3)
thì a 0, b 0, c 0 .
(Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
Giải:
Giả sử ba số a, b, c không đồng thời là số dương. Vậy có ít nhất một số không
dương. Do a, b, c có vai trò bình đẳng nên ta có thể giả sử : a 0
+ Nếu a = 0 thì mâu thuẫn với (3)
+ Nếu a 0 thì từ (3) bc 0
Ta có (2) ab ac bc a (b c ) 0 mà a < 0 nên b + c < 0 Khi đó a b c
0 , mâu thuẫn (1).
Do đó không thể xảy ra a 0 , có nghĩa là a 0 .
Chứng minh tương tự : b 0 , c 0
Vậy a 0 , b 0 , c 0
Bài tập 10: Chứng minh rằng “Nếu a, b, c là ba số dương thì a3 + b3 + c3 3abc”
Giải: Giả sử : a3 + b3 + c3 < 3abc (*)
Khi đó : (*)
(a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) < 0
(a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ] < 0
Do giả thiết a, b, c > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng sai
Vậy a3 + b3 + c3 3abc.
Bài tập 11 : Cho hai phương trình: x2 + ax + b= 0 ; x2 + cx + d = 0
Biết ac 2(b + d), chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có
nghiệm. Giải: Giả sử cả hai phương trình trên vô nghiệm
Khi đó : 1 = a2 – 4b < 0, 1 = c2 – 4d < 0
2
2
2
2
1 + 2 < 0 a – 4b + c – 4d < 0 a + c < 4(b + d) (1) Mà (a –

c)2 0 a2 + c2 – 2ac 0 a2 + c2 2ac (2)
Từ (1) và (2) 2ac 4(b + d)ac 2(b + d) Trái giả thiết. Do đó phải
có ít nhất 1 trong hai số 1 , 2 lớn hơn 0
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình x2 + ax + b= 0, x2 + cx + d = 0 có nghiệm.
Bài tập 12: Cho a.b.c 0, chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình
sau có nghiệm : ax 2 bx c 0(1) ; bx 2 cx a 0(2) ; cx 2 ax b 0(3)
Giải: Giả sử cả ba phương trình trên đều vô nghiệm, thì:
2
2
2
2 2 2
1 b 4 ac 0 ; 2 c 4 ab 0 ; 3 a 4bc 0 1 2 3 a b c 4
ac 4bc 4 ab 0

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

20


Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS
1a b 2
2

b c2

c a 20

Điều này là vô lí

Vậy có ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm.

Một số bài toán tự luyện:
Bài tập 1: Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
Bài tập 2: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng a và
a + b cũng nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia
hết cho 5.
Bài tập 4: Cho x là một số hữu tỉ khác 0, y là một số vô tỉ. Chứng tỏ rằng x.y là
số vô tỉ.
(Sách bài tập Toán 7 Tập 1)
Bài tập 5: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1).f(2) = 35. Chứng
minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên (Tổng ôn tập Toán THCS và thi vào 10)
Bài tập 6: Cho a 3 b3 2 . Chứng minh rằng a b 2
(Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
Bài tập 7: Chứng minh rằng nếu a 3, b 3; a 2 b2 25 thì a b 7
(Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
Bài tập 8: Cho ba số khác nhau đôi một. Chứng minh tồn tại một trong ba số
9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a b c)2
(Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
Bài tập 9: Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c nào thoã mãn cả ba bất
đẳng thức: a 1 2; b 1 2; c 1 2 . (Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2)
b

c

a

Bài tập 10: Cho hai phương trình: x 2 2bx c 0 ; x 2 2cx b 0
Chứng minh rằng nếu b c 2 thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
(Bài tập Nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 )
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với phương pháp chứng minh bằng phản chứng nếu như giáo viên dạy
hời hợt, không nghiên cứu chương trình một cách kĩ lưỡng thì sẽ bỏ qua cơ hội
hình thành cho các em một phương pháp chứng minh rất độc đáo. Trong quá trình
dạy tôi cho các em tiếp cận từ từ, cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản
nhất về phương pháp này, tận dụng mọi cơ hội có thể để các em được vận dụng
trong chứng minh. Đồng thời tôi cũng luôn chú ý lồng ghép những bài toán liên
quan đến nội dung kiến thức của từng phần, từng chương mà có thể vận dụng
được phương pháp chứng minh phản chứng. Với cách làm trên, theo kiểu mưa
dầm thấm lâu, tôi thấy rằng trong điều kiện các em mới được tiếp cận chứng
minh Toán học, phương pháp chứng minh phản chứng lại là một phương pháp
khó với khả năng tư duy của các em nhưng dần trở nên dễ hiểu hơn. Học sinh
trung bình thì có thể hiểu được một số chứng minh đơn giản, học sinh khá giỏi thì
có thể vận dụng phương pháp này trong chứng minh. Đề tài này vừa có thể áp
dụng trong các tiết học chính khoá, vừa có thể vận dụng trong các buổi học thêm,
các buổi học bồi dưỡng từ lớp 6 đến lớp 9. Qua thời gian áp dụng đề tài này tôi
thấy học sinh khi bước vào THPT đã được trang bị kiến thức cần thiết về chứng
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 - 2017

21