BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A2) Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths. ĐỖ PHI NGA

H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG
-------

-------

BÀI GI NG

TOÁN CAO C P (A2)
Biên so n : Ts. LÊ BÁ LONG
Ths.
PHI NGA

L u hành n i b

HÀ N I - 2006


L I NÓI

U

Toán cao c p A1, A2, A3 là ch ng trình toán đ i c ng dành cho sinh viên các nhóm ngành
toán và nhóm ngành thu c kh i k thu t. N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u là phép tính
vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, còn toán cao c p A2 là các c u trúc đ i s và đ i s
tuy n tính. Có khá nhi u sách giáo khoa và tài li u tham kh o vi t v các ch đ này. Tuy nhiên
v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u
h n, do đó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c. T p tài li u h ng
d n h c môn toán cao c p A2 này đ c biên so n c ng nh m m c đích trên.
T p tài li u này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Công
ngh B u Chính Vi n Thông. N i dung c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i
h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông

biên so n n m 2001 và theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi . Chính vì th , giáo trình
này c ng có th dùng làm tài li u h c t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các
ngành đ i h c và cao đ ng.
Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c
cho công tác đào t o t xa. Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n
gi i thi u c a m i ch ng c ng nh m c đích c a ch ng (trong sách H ng d n h c t p Toán
A2 đi kèm) đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó. Trong m i ch ng, m i
n i dung, ng i đ c có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ
ràng. c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng
quát h n các k t qu . H u h t các bài toán đ c xây d ng theo l c đ : t bài toán, ch ng minh
s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này. Các ví d là
đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng
h n khi ti p thu bài h c.
Giáo trình g m 7 ch

ng t

ng ng v i 4 đ n v h c trình (60 ti t):

Ch

ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s .

Ch

ng II: Không gian véc t .

Ch

ng III: Ma tr n.

Ch

ng IV:

Ch

ng V: H ph

Ch

ng VI: Ánh x tuy n tính.

Ch

ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph

nh th c.
ng trình tuy n tính

ng.

Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa h c khác, toán h c còn đ c xem là m t
ngành khoa h c có ph ng pháp t duy l p lu n chính xác ch t ch . Vì v y vi c h c toán c ng
giúp ta rèn luy n ph ng pháp t duy. Các ph ng pháp này đã đ c gi ng d y và cung c p


t ng b c trong quá trình h c t p ph thông, nh ng trong ch ng I các v n đ này đ c h
th ng hoá l i. N i dung c a ch ng I đ c xem là c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i. M t
vài n i dung trong ch ng này đã đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n. Các

c u trúc đ i s thì hoàn toàn m i và khá tr u t ng vì v y đòi h i h c viên ph i đ c l i nhi u
l n m i ti p thu đ c.
Các ch ng còn l i c a giáo trình là đ i s tuy n tính. Ki n th c c a các ch ng liên h
ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng này là công c c a ch ng khác. Vì v y h c viên c n th y
đ c m i liên h này. c đi m c a môn h c này là tính khái quát hoá và tr u t ng cao. Các
khái ni m th ng đ c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông. Khi
h c ta nên liên h đ n các k t qu đó.
Tuy r ng tác gi đã r t c g ng, song vì th i gian b h n h p cùng v i yêu c u c p bách c a
H c vi n, vì v y các thi u sót còn t n t i trong giáo trình là đi u khó tránh kh i. Tác gi r t mong
s đóng góp ý ki n c a b n bè đ ng nghi p, h c viên xa g n và xin cám n vì đi u đó.
Cu i cùng chúng tôi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u
Chính Vi n Thông, Trung tâm ào t o B u Chính Vi n Thông 1 và b n bè đ ng nghi p đã
khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thành t p tài li i này.

Hà N i, cu i n m 2004.
Ts. Lê Bá Long
Khoa c b n 1
H c Vi n Công ngh B u chính Vi n thông


Ch

1. CH

1.1

S

L

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

NG 1: M
U V LÔGÍC M NH
,T PH P
ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC
IS

C V LÔGÍC M NH

M nh đ

1.1.1

Lôgíc m nh đ là m t h th ng lôgích đ n gi n nh t, v i đ n v c b n là các m nh đ
mang n i dung c a các phán đoán, m i phán đoán đ c gi thi t là có m t giá tr chân lý nh t
đ nh là đúng ho c sai.
ch các m nh đ ch a xác đ nh ta dùng các ch cái p, q, r... và g i chúng là các bi n

p đúng ta cho p nh n giá tr 1 và p sai ta cho nh n giá tr 0. Giá tr 1
ho c 0 đ c g i là th hi n c a p .

m nh đ . N u m nh đ

M nh đ ph c h p đ
lôgích m nh đ .

c xây d ng t các m nh đ đ n gián h n b ng các phép liên k t

Các phép liên k t lôgíc m nh đ

1.1.2

1. Phép ph đ nh (negation): Ph đ nh c a m nh đ
không

p . M nh đ p đúng khi p sai và p sai khi p đúng.

2. Phép h i (conjunction): H i c a hai m nh đ
là

p là m nh đ đ c ký hi u p, đ c là

p, q là m nh đ đ c ký hi u p ∧ q (đ c

p và q ). M nh đ p ∧ q ch đúng khi p và q cùng đúng.
3. Phép tuy n (disjunction): Tuy n c a hai m nh đ

(đ c là

p ho c q ). p ∨ q ch sai khi p và q cùng sai.

4. Phép kéo theo (implication): M nh đ
sai khi

p, q là m nh đ đ c ký hi u p ∨ q

p kéo theo q , ký hi u p ⇒ q , là m nh đ ch

p đúng q sai.

5. Phép t

ng đ

ng (equivalence): M nh đ

( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) đ c g i là m nh đ

p t ng đ ng q , ký hi u p ⇔ q .
M t công th c g m các bi n m nh đ và các phép liên k t m nh đ đ c g i là m t công
th c m nh đ . B ng li t kê các th hi n c a công th c m nh đ đ c g i là b ng chân tr .
T đ nh ngh a c a các phép liên k t m nh đ ta có các b ng chân tr sau
5


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

p q

p q
1 1
1 0
0
0

1
0

p∧q

p∨q

p

p

1

1

1

1

1
0

0
1

1

0

0

1

0
0

1
0

0
0

1
0

p⇒q
1
0

p q
1 1
1 0

1
1

0
0

p⇒q q⇒ p
1
1

0
1

1
0

1
1

0
1

Nh v y p ⇔ q là m t m nh đ đúng khi c hai m nh đ
sai và m nh đ p ⇔ q sai trong tr

ng h p ng

p⇔q
1
0
0
1

p và q cùng đúng ho c cùng

c l i.

M t công th c m nh đ đ c g i là h ng đúng n u nó luôn nh n giá tr 1 trong m i th hi n
c a các bi n m nh đ có trong công th c. Ta ký hi u m nh đ t ng đ ng h ng đúng là " ≡ "
thay cho " ⇔ ".

1.1.3

Các tính ch t
Dùng b ng chân tr ta d dàng ki m ch ng các m nh đ h ng đúng sau:
1)

p≡ p

lu t ph đ nh kép.

2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) .
3)

p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p

4)

p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r

lu t giao hoán.

lu t k t h p.

5) [ p ∧ (q ∨ r )] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )]

[ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )]

lu t phân ph i.

p ∨ p luôn đúng

lu t bài chung.

6) M nh đ

p ∧ p luôn sai
7)

p∨q≡ p∧q
p∧q≡ p∨q

6

lu t mâu thu n.

lu t De Morgan.


Ch
8)

p⇒q≡q ⇒ p

lu t ph n ch ng.

9)

p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p

lu t l y đ ng.

10)
1.2

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

p ∨ ( p ∧ q) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p

lu t h p thu.

T PH P

1.2.1

Khái ni m t p h p

Khái ni m t p h p và ph n t là khái ni m c b n c a toán h c, không th đ nh ngh a qua
các khái ni m đã bi t. Các khái ni m "t p h p", "ph n t " xét trong m i quan h phân t c a t p
h p trong lý thuy t t p h p là gi ng v i khái ni m "đ ng th ng", "đi m" và quan h đi m trên
đ ng th ng đ c xét trong hình h c. Nói m t cách nôm na, ta có th xem t p h p nh m t s t
t p các v t, các đ i t ng nào đó mà m i v t hay đ i t ng là m t ph n t c a t p h p. Có th l y
ví d v các t p h p có n i dung toán h c ho c không toán h c. Ch ng h n: t p h p các s t
nhiên là t p h p mà các ph n t c a nó là các s 1,2,3..., còn t p h p các cu n sách trong th vi n
c a H c vi n Công ngh B u chính Vi n thông là t p h p mà các ph n t c a nó là các cu n
sách.

A, B,... X ,Y ,... còn các ph n t b i các
ch th ng x, y,... N u ph n t x thu c A ta ký hi u x ∈ A , n u x không thu c A ta ký hi u
x ∉ A . Ta c ng nói t t "t p" thay cho thu t ng "t p h p".

Ta th

1.2.2

ng ký hi u các t p h p b i các ch in hoa

Cách mô t t p h p
Ta th

ng mô t t p h p theo hai cách sau:

a) Li t kê các ph n t c a t p h p
Ví d 1.1: T p các s t nhiên l nh h n 10 là
T p h p các nghi m c a ph

ng trình

{1, 3, 5, 7, 9 }.

x 2 − 1 = 0 là {− 1,1}.

b) Nêu đ c tr ng tính ch t c a các ph n t t o thành t p h p
Ví d 1.2: T p h p các s t nhiên ch n

P = {n ∈

n = 2m, m ∈ }

Hàm m nh đ trên t p h p

D là m t m nh đ S (x) ph thu c vào bi n x ∈ D . Khi cho

bi n x m t giá tr c th thì ta đ
đúng ho c sai).

c m nh đ lôgích (m nh đ ch nh n m t trong hai giá tr ho c

N u
đúng đ

S (x) là m t m nh đ trên t p h p D thì t p h p các ph n t

c ký hi u

{x ∈ D S (x)} và đ

x ∈ D sao cho S (x )

c g i là mi n đúng c a hàm m nh đ

S (x) .

S (x) xác đ nh trên t p các s t nhiên : " x 2 + 1 là m t s nguyên
t " thì S (1), S ( 2) đúng và S (3), S ( 4) sai ...
i) Xét hàm m nh đ

7


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
ii) M i m t ph

ng trình là m t hàm m nh đ

{x∈

}

x 2 − 1 = 0 = {− 1, 1}.

có hình nh tr c quan v t p h p, ng i ta th ng bi u di n t p h p nh là mi n ph ng
gi i h n b i đ ng cong khép kín không t c t đ c g i là gi n đ Ven.
c) M t s t p h p s th

ng g p

- T p các s t nhiên

= { 0, 1, 2, ... }.

- T p các s nguyên

= { 0, ± 1, ± 2, ... }.

- T p các s h u t

= { p q q ≠ 0, p, q ∈

- T p các s th c

.

{

}

= z = x + iy x, y ∈ ; i 2 = −1 .

- T p các s ph c
1.2.3

}.

T p con

nh ngh a 1.1: T p A đ c g i là t p con c a
c a B , khi đó ta ký hi u A ⊂ B hay B ⊃ A .
Khi
ch a A.

B n u m i ph n t c a A đ u là ph n t

A là t p con c a B thì ta còn nói A bao hàm trong B hay B bao hàm A hay B

Ta có:

⊂

⊂

⊂

nh ngh a 1.2: Hai t p

⊂

.

A , B b ng nhau, ký hi u A = B, khi và ch khi A ⊂ B và

B ⊂ A.
A ⊂ B ta ch c n ch ng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B và vì v y khi
ch ng minh A = B ta ch c n ch ng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B .
Nh v y đ ch ng minh

nh ngh a 1.3: T p r ng là t p không ch a ph n t nào, ký hi u φ .
M t cách hình th c ta có th xem t p r ng là t p con c a m i t p h p.

A ∈ ( X ) khi và ch khi
A ⊂ X . T p X là t p con c a chính nó nên là ph n t l n nh t còn φ là ph n t bé nh t trong
T p h p t t c các t p con c a

X đ c ký hi u

P (X ) . V y

P

P (X ) .

8

Ví d 1.3:

X = {a, b, c}

có

P ( X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a}, X }.


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

P (X ) có 23 = 8 ph n t . Ta có th

Ta th y X có 3 ph n t thì
r ng n u
1.2.4

X có n ph n t thì

ch ng minh t ng quát

P (X ) có 2n ph n t .

Các phép toán trên các t p h p

1. Phép h p: H p c a hai t p
nh t m t trong hai t p A , B .

A và B , ký hi u A ∪ B , là t p g m các ph n t thu c ít

(x ∈ A ∪ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B )) .

V y

2. Phép giao: Giao c a hai t p
đ ng th i c hai t p A , B .

A và B , ký hi u A ∩ B , là t p g m các ph n t thu c

(x ∈ A ∩ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B )) .

V y

3. Hi u c a hai t p: Hi u c a hai t p
ph n t thu c A nh ng không thu c B .

(x ∈ A \ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∉ B )) .

V y
c bi t n u
đ

A và B , ký hi u A \ B hay A − B , là t p g m các

B ⊂ X thì t p X \ B đ c g i là ph n bù c a B trong X và

c ký hi u là

C XB . N u t p X c đ nh và không s nh m l n thì ta ký hi u B thay cho

C XB .
Ta có th minh ho các phép toán trên b ng gi n đ Ven:

A∩ B

A∪ B

C XB

Áp d ng lôgích m nh đ ta d dàng ki m ch ng l i các tính ch t sau:
1.

A ∪ B = B ∪ A,
A∩ B = B∩ A

2.

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ,
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C

3.

tính giao hoán.

tính k t h p.

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ,
9


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

A, B là hai t p con c a X thì:

Gi s

1.2.5

tính phân b .

4.

A = A; A ∪ φ = A; A ∩ X = A

5.

A∪ A = X; A∩ A =φ

6.

A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B lu t De Morgan

7.

A \ B = A ∩ B = A ∩ A ∩ B = A \ ( A ∩ B) = C AA∩ B .

L

(

ng t ph bi n và l

Gi

)

ng t t n t i

S (x) là m t hàm m nh đ

s

DS ( x) = {x ∈ D S ( x)}. Khi đó:
a) M nh đ

xác đ nh trên t p

D có mi n đúng

∀x ∈ D , S ( x) (đ c là v i m i x ∈ D , S ( x) ) là m t m nh đ đúng n u

DS ( x ) = D và sai trong tr ng h p ng c l i.
Ký hi u
Khi

∀ (đ

c là v i m i) đ

c g i là l

ng t ph bi n.

D đã xác đ nh thì ta th ng vi t t t ∀x , S ( x) hay (∀x ), S ( x) .

b) M nh đ

∃x ∈ D , S ( x) (đ c là t n t i x ∈ D , S ( x) ) là m t m nh đ đúng n u

DS (x ) ≠ φ và sai trong tr ng h p ng c l i.
Ký hi u

∃ (đ

c là t n t i) đ

c g i là l

ng t t n t i.

ch ng minh m t m nh đ v i l ng t ph bi n là đúng thì ta ph i ch ng minh đúng
trong m i tr ng h p, còn v i m nh đ t n t i ta ch c n ch ra m t tr ng h p đúng.
c) Ng
duy nh t

i ta m r ng khái ni m l

ng t t n t i v i ký hi u

∃! x ∈ D, S ( x) (đ c là t n t i

x ∈ D, S ( x) ) n u DS (x ) có đúng m t ph n t .

d) Phép ph đ nh l

ng t

(
)
∃x ∈ D, S ( x) ⇔ ( ∀x ∈ D, S ( x) )

∀x ∈ D, S ( x) ⇔ ∃x ∈ D, S ( x)

(1.1)

Ví d 1.4: Theo đ nh ngh a c a gi i h n

lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 ; ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε .

x →a

10


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

S d ng tính ch t h ng đúng

( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) (xem tính ch t 1.3) ta có

0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε t ng đ ng v i

(( x − a ≥ δ ) ∨ (x = a ))∨ ( f ( x) − L < ε ) .
V y ph đ nh c a

lim f ( x) = L là

x→a

∃ε > 0 , ∀δ > 0 ; ∃x :
1.2.6

( 0 < x − a < δ ) ∧ ( f ( x) − L ≥ ε ).

Phép h p và giao suy r ng
Gi s

( Ai )i∈I là m

ít nh t m t t p Ai nào đó và

t h các t p h p. Ta đ nh ngh a

U Ai là t p g m các ph n t

i∈I

I Ai là t p g m các ph n t

i∈I

thu c m i t p Ai .

(x ∈ Ui∈I Ai ) ⇔ (∃i0 ∈ I ; x ∈ Ai )
(x ∈ Ii∈I Ai ) ⇔ (∀i ∈ I ; x ∈ Ai ).

V y

thu c

0

Ví d 1.5:

An = {x ∈

Bn = {x ∈

(1.2)

0 ≤ x ≤ n (n + 1)}

− 1 (n + 1) ≤ x < 1 + 1 (n + 1)}

∞

∞

U A = [0 ; 1) , I B = [0 ; 1] .
n

n

n =1

1.2.7

Quan h

1.2.7.1 Tích

các c a các t p h p

nh ngh a 1.4: Tích
d ng

n =1

các c a hai t p

X , Y là t p, ký hi u X × Y , g m các ph n t có

( x, y ) trong đó x ∈ X và y ∈ Y .
V y
Ví d 1.6:

X × Y = {( x, y ) x ∈ X vµ y ∈ Y }.

(1.3)

X = {a, b, c}, Y = {1, 2}
X × Y = {( a,1), (b,1), (c,1), ( a,2), (b,2), (c,2)}

n×m

Ta d dàng ch ng minh đ
ph n t .

c r ng n u

X có n ph n t , Y có m ph n t thì X × Y có

11


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
Cho X 1 , X 2 , ..., X n là n t p h p nào đó, ta đ nh ngh a và ký hi u tích

các c a n t p

h p này nh sau:

X1 × X 2 × ... × X n = { ( x1, x2 ,..., xn ) xi ∈ X i , i = 1,2,..., n}.

(1.4)

Chú ý 1.1:

X n thay cho 1
×2
... ×
X4
X.
43

1. Khi X 1 = ... = X n = X thì ta ký hi u

n lÇn

∏i∈I X i .

2. Tích

các X 1 × X 2 × ... × X n còn đ

3. Gi s

( x1 ,..., xn ) ∈ X 1 × ... × X n ; ( x'1 ,..., x'n ) ∈ X 1 × ... × X n thì

c ký hi u

( x1,..., xn ) = ( x'1 ,..., x'n ) ⇔ xi = x 'i , ∀i = 1,..., n
4. Tích

các c a các t p h p không có tính giao hoán.

1.2.7.2 Quan h hai ngôi

X ≠ φ , m i t p con R ⊂ X × X đ c g i là m t quan h hai
ngôi trên X . V i x, y ∈ X mà ( x, y ) ∈ R ta nói x có quan h v i y theo quan h R và ta
vi t xRy .
nh ngh a 1.5: Cho t p

Ví d 1.7: Ta xét các quan h sau trên t p các s :

( x chia h t cho y ) , ∀x, y ∈
R1 : xR1 y ⇔ xM y
R2 : xR2 y ⇔ ( x, y ) = 1 ( x và y nguyên t cùng nhau) ∀x, y ∈
R3 : xR3 y ⇔ x ≤ y ( x nh h n hay b ng y ) ∀x, y ∈
R4 : xR4 y ⇔ x − y Mm , ∀x, y ∈ . Ta ký hi u x ≡ y(mod m)
x đ ng d v i y môđulô m.
nh ngh a 1.6: Quan h hai ngôi

i x ng, n u

c) B c c u, n u

X đ c g i là có tính:

∀x, y ∈ X mà xRy thì c ng có yRx ;

∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì c ng có xRz ;

d) Ph n đ i x ng, n u
12

trên

xRx, ∀x ∈ X ;

a) Ph n x , n u
b)

R

∀x, y ∈ X mà xRy và yRx thì x = y .

và đ c là


ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

R1 ph n đ i x ng, b c c u nh ng không đ i x ng, không ph n x (vì 0 không
chia h t cho 0). R2 đ i x ng, không ph n x , không ph n x ng, không b c c u. R3 ph n x ,
ph n đ i x ng, b c c u. R4 ph n x , đ i x ng, b c c u.

Ví d 1.8:

1.2.7.3 Quan h t

ng đ

ng

R

nh ngh a 1.8: Quan h hai ngôi

trên

X ≠ φ đ c g i là quan h t ng đ ng n u có

ba tính ch t ph n x , đ i x ng, b c c u.
V i quan h t

ng đ

ng

R

ta th

ng vi t

Ta đ nh ngh a và ký hi u l p t

x ~ y ( R ) ho c x ~ y thay cho xRy .

ng đ

ng c a ph n t

x ∈ X là t p h p

x = {y ∈ X y ~ x}. M i ph n t b t k c a l p t ng đ ng x đ c g i là ph n t đ i di n
c a

x . Ng i ta c ng ký hi u l p t ng đ ng c a x là cl (x) .
ng đ

Hai l p t

ng b t k thì ho c b ng nhau ho c không giao nhau, ngh a là

x ∩ x'

x = x' ho c b ng φ , nói cách khác các l p t ng đ ng t o thành m t phân ho ch
các t p con c a X .
ho c b ng

T p t t c các l p t

X ~ = {x x ∈ X }.

Ví d 1.9: Quan h

ng đ

ng đ

R4 trong ví d

d môđulô m trên t p các s nguyên

c g i là t p h p th

1.7 là m t quan h

. N u

t

ng, ký hi u X ~ . V y

ng đ

ng g i là quan h đ ng

x ~ y , ta vi t

x ≡ y (mod m) .
ng g m m s đ ng d môđulô m:

Ta ký hi u t p th

{

}

m = 0 , 1, ..., m − 1 .
Ví d 1.10: Trong t p h p các véc t t do trong không gian thì quan h "véc t
véc t

r
v " là m

t quan h t

ng đ

ng. N u ta ch n g c O c đ nh thì m i l p t

k đ u có th ch n véc t đ i di n d ng

ng đ

r
u

b ng

ng b t

OA .

1.2.7.4 Quan h th t
nh ngh a 1.8: Quan h hai ngôi

R

trên

X ≠ φ đ c g i là quan h th t n u có ba

tính ch t ph n x , ph n đ i x ng, b c c u.
Ví d 1.11:
1) Trong ,

,

,

quan h

" x ≤ y" là m t quan h th t .
13


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
2) Trong
3) Trong

quan h " xM y" là m t quan h th t .

P (X ) , t p h p t t c

các t p con c a

X , quan h "t p con" ( A ⊂ B ) là m t

quan h th t .
Khái ni m quan h th t đ
các t p s , vì v y theo thói quen ng

c khái quát hoá t khái ni m l n h n (hay đ ng sau) trong
i ta c ng dùng ký hi u

"≤ " cho quan h

th t b t k .

X đ c g i là quan h th t toàn ph n n u hai ph n t b t
k c a X đ u so sánh đ c v i nhau. Ngh a là v i m i x, y ∈ X thì x ≤ y ho c y ≤ x . Quan
Quan h th t

"≤ " trên t

h th t không toàn ph n đ

p

c g i là quan h th t b ph n.

X v i quan h th t "≤ " đ c g i là t p đ c s p. N u "≤ " là quan h th t
toàn ph n thì X đ c g i là t p đ c s p toàn ph n hay s p tuy n tính.
T p

Ví d 1.12: Các t p

(P (X ), ⊂) đ

( , ≤), ( , ≤), ( , ≤), ( , ≤)

c s p b ph n (n u

đ

c s p toàn ph n, còn

( ,M)

và

X có nhi u h n 1 ph n t ).

( X , ≤) và t p con A ⊂ X . T p A đ c g i là b ch n
trên n u t n t i q ∈ X sao cho a ≤ q , v i m i a ∈ A . Khi đó q đ c g i là m t ch n trên c a A .
nh ngh a 1.9: Cho t p đ

Hi n nhiên r ng n u
trên c a

cs p

q là m t ch n trên c a A thì m i p ∈ X mà q ≤ p đ u là ch n

A.

q c a A ( theo ngh a q ≤ q' , v i m i ch n trên q' c a A )
đ c g i là c n trên c a A và đ c ký hi u q = sup A . Rõ ràng ph n t c n trên n u t n t i là
Ph n t ch n trên nh nh t

duy nh t.

A đ c g i là b ch n d i n u t n t i p ∈ X sao cho p ≤ a , v i m i
a ∈ A . Ph n t ch n d i l n nh t đ c g i là c n d i c a A và đ c ký hi u inf A . C n
T

d

ng t t p

i n u t n t i c ng duy nh t.

sup A , inf A ch a ch c là ph n t c a A . N u q = sup A ∈ A thì q
đ c g i là ph n t l n nh t c a A ký hi u q = max A .
Nói chung

T

ng t

n u

p = inf A ∈ A thì p đ c g i là ph n t bé nh t c a A ký hi u

p = min A .
Ví d 1.13: Trong ( , ≤) , t p

A = [0 ;1) = {x ∈

0 ≤ x < 1} có

1 = sup A∉ A , inf A = 0 ∈ A
do đó không t n t i
14

max A nh ng t n t i min A = inf A = 0 .


Ch
1.3

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

ÁNH X

1.3.1

nh ngh a và ví d

Khái ni m ánh x đ c khái quát hoá t khái ni m hàm s trong đó hàm s th ng đ c
i d ng công th c tính giá tr c a hàm s ph thu c vào bi n s . Ch ng h n,

hàm
s
y = 2 x v i x ∈ là quy lu t cho ng

cho d

0 a 0,1 a 2, 2 a 4, 3 a 6, ...
Ta có th đ nh ngh a ánh x m t cách tr c quan nh sau:
nh ngh a 1.10: M t ánh x t t p
ph n t x ∈ X v i m t ph n t duy nh t

X vào t p Y là m t quy lu t cho t ng ng m i m t
y = f (x) c a Y .

f :X ⎯
⎯→Y

Ta ký hi u

f

X ⎯⎯→ Y

hay

x a y = f (x)

x a y = f (x)

X đ c g i là t p ngu n, Y đ c g i là t p đích.

Ví d 1.14:
•
•
•
•

•
•
•
•

X

Y

Trong 3 t

X

ng ng trên ch có t

Y

•
•
•
•

•
•

•
•

X

ng ng th 3 xác đ nh m t ánh x t

Y
X vào Y .

y = f (x) b t k có th đ c xem là ánh x t t p D là mi n

Ví d 1.15: M i hàm s
xác đ nh c a

•
•
•
•

•
•
•
•

y = f (x) vào . Ch ng h n:

Hàm lôgarit

y = ln x là ánh x ln : *+ →

x a y = ln x

Hàm c n b c hai y =

x là ánh x

: +→
xa y= x.

nh ngh a 1.11: Cho ánh x

f ( A) = { f ( x) x ∈ A}

f : X → Y và A ⊂ X , B ⊂ Y .
(1.5)
15


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
đ

c g i là nh c a

Nói riêng

A qua ánh x f .

f ( X ) = Im f đ c g i là t p nh hay t p giá tr c a f .

f −1 ( B ) = {x ∈ X f ( x) ∈ B}
đ

c g i là ngh ch nh c a t p con

Khi

B là t p h p ch có m t ph n t

(1.6)

B c aY.

{y} thì ta vi t

f −1 ( y ) = {x ∈ X y = f ( x )}.
1.3.2

f − 1 ( y ) thay cho f −1 ({y}) . V y
(1.7)

Phân lo i các ánh x
nh ngh a 1.12:
1) Ánh x

f : X → Y đ c g i là đ n ánh n u nh c a hai ph n t phân bi t là hai ph n

t phân bi t.
Ngh a là: V i m i x1 , x2 ∈ X ; x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) hay m t cách t

v i m i x1 , x2 ∈ X ; .

f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2

ng đ

ng,

(1.8)

f : X → Y đ c g i là toàn ánh n u m i ph n t c a Y là nh c a ph n t nào
đó c a X . Ngh a là f ( X ) = Y hay
2) Ánh x

∀y ∈ Y , ∃x ∈ X sao cho y = f (x) .
3) Ánh x

(1.9)

f : X → Y v a đ n ánh v a toàn ánh đ c g i là song ánh.

f : X → Y đ c cho d i d ng công th c xác đ nh nh y = f (x)
thì ta có th xác đ nh tính ch t đ n ánh, toàn ánh c a ánh x f b ng cách gi i ph ng trình:
Chú ý 1.2: Khi ánh x

y = f ( x), y ∈ Y
trong đó ta xem

(1.10)

x là n và y là tham bi n.

♦N uv im i

y ∈ Y ph ng trình (1.10) luôn có nghi m x ∈ X thì ánh x f là toàn

♦N uv im i

y ∈ Y ph ng trình (1.10) có không quá 1 nghi m x ∈ X thì ánh x f

ánh.
là đ n ánh.
♦N uv im i

f là song ánh.
16

y ∈ Y ph ng trình (1.10) luôn có duy nh t nghi m x ∈ X thì ánh x


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

→

f:

Ví d 1.16: Cho ánh x

x a y = f ( x ) = x ( x + 1)
Xét ph

ng trình

Bi t s

(

y = f ( x) = x( x + 1) = x 2 + x hay x 2 + x − y = 0 .

Δ = 1 + 4 y > 0 (vì y ∈ ). Ph ng trình luôn có 2 nghi m th c

)

(

)

x1 = − 1 + 1 + 4 y 2 , x2 = − 1 − 1 + 4 y 2 . Vì x2 < 0 nên ph ng trình có không
quá 1 nghi m trong . V y f là đ n ánh. M t khác t n t i y ∈ mà nghi m x1 ∉ (ch ng h n
y = 1 ), ngh a là ph ng trình trên vô nghi m trong . V y f không toàn ánh.
Ví d 1.17: Các hàm s đ n đi u ch t:
ng bi n ch t: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

•

• Ngh ch bi n ch t: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
là các song ánh t t p xác đ nh lên mi n giá tr c a nó.
Ví d 1.18: Gi s

A là t p con c a X thì ánh x
i: A → X

x a i ( x) = x

là m t đ n ánh g i là nhúng chính t c.

A = X ánh x i đ c ký hi u Id X g i là ánh x đ ng nh t c a X .

c bi t khi

Ví d 1.19: Gi s

~ là m t quan h t

ng đ

ng thì ánh x sau là m t toàn ánh

p: X → X ~

x a p( x) = x

1.3.3

Ánh x ng

c c a m t song ánh

f : X → Y là m t song ánh khi đó v i m i y ∈ Y t n t i duy
nh t x ∈ X sao cho y = f (x) . Nh v y ta có th xác đ nh m t ánh x t Y vào X b ng cách
cho ng m i ph n t y ∈ Y v i ph n t duy nh t x ∈ X sao cho y = f (x) . Ánh x này đ c
nh ngh a 1.13: Gi s

g i là ánh x ng
V y

cc a

f và đ c ký hi u f −1 .
f −1 : Y → X và f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x) .

(1.11)

f −1 c ng là m t song ánh.
17


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
Ví d 1.20:

y = a x , a > 0, a ≠ 1

Hàm m

là m t song ánh (vì hàm m đ n đi u ch t) có hàm ng

c là hàm lôgarit

y = a x ⇔ x = log a y .
Ví d 1.21

Các hàm l

Xét hàm

ng giác ng

c

sin : [− π 2 ;π 2] → [− 1;1]

x
a sin x
đ n đi u t ng ch t và toàn ánh nên nó là m t song ánh. Hàm ng

cđ

c ký hi u

arcsin : [− 1;1] → [− π 2 ;π 2]
a arcsin y

y

x = arcsin y ⇔ y = sin x , ∀x ∈ [− 1;1], y ∈ [− π 2 ; π 2].
T

ng t hàm

cos : [0;π ] → [− 1;1] đ n đi u gi m ch t có hàm ng c

arccos : [− 1;1] → [0;π ] ;
x = arccos y ⇔ y = cos x .
Hàm ng

c

arctg , arcotg đ c xác đ nh nh sau

x = arctg y ⇔ y = tg x , ∀x ∈ (− ∞; ∞ ), y ∈ (− π 2 ;π 2 ).
x = arc cot g y ⇔ y = cot g x , ∀x ∈ (− ∞; ∞ ), y ∈ (0;π ) .
1.3.4

H p (tích) c a hai ánh x

f

g

X →Y → Z thì t ng ng x a g ( f ( x)) xác đ nh m t
ánh x t X vào Z đ c g i là h p (hay tích) c a hai ánh x f và g , ký hi u g o f . V y
g o f : X → Z có công th c xác đ nh nh
nh ngh a 1.14: V i hai ánh x

g o f ( x) = g ( f ( x)) .
Ví d 1.22: Cho f :

(1.12)

→

, g: →

v i công th c xác đ nh nh

g ( x) = 2 x 2 + 4 . Ta có th thi t l p hai hàm h p g o f và f o g t

f ( x) = sin x,

vào .

f o g ( x) = sin( 2 x 2 + 4) , g o f ( x) = 2 sin 2 x + 4 .
Qua ví d trên ta th y nói chung
giao hoán.
18

f o g ≠ g o f , ngh a là phép h p ánh x không có tính


ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch
N u

f : X → Y là m t song ánh có ánh x ng c f −1 : Y → X , khi đó ta d dàng

f −1 o f = Id X và f o f −1 = IdY . H n n a ta có th ch ng minh đ c
r ng ánh x f : X → Y là m t song ánh khi và ch khi t n t i ánh x g : Y → X sao cho
ki m ch ng r ng

g o f = Id X và f o g = IdY , lúc đó g = f −1 .
1.3.5

L cl

ng c a m t t p h p

Khái ni m l c l
t p h p.

ng c a t p h p có th xem nh là s m r ng khái ni m s ph n t c a

nh ngh a 1.15: Hai t p h p
lên

X , Y đ c g i là cùng l c l ng n u t n t i song ánh t X

Y.

{1,2,..., n} đ

n . V y X có l c l ng
n khi và ch khi X có n ph n t . n còn đ c g i là b n s c a X , ký hi u Card X hay X .
T p cùng l c l

Quy

cl cl

ng c a

ng v i t p

φ

c g i là có l c l

ng

là 0.

nh ngh a 1.16: T p có l c l ng n ho c 0 đ c g i là các t p h u h n. T p không h u
h n đ c g i là t p vô h n. T p có cùng l c l ng v i t p các s t nhiên hay h u h n đ c g i
là t p đ m đ c.
Chú ý 1.3:
1) T p vô h n đ m đ
2) B n thân t p
3) Ng
4) Gi s

c là t p cùng l c l

là t p vô h n đ m đ

i ta ch ng minh đ

c

ng v i .

c.

là t p vô h n đ m đ

,

c, còn t p

không đ m đ

c.

X , Y là hai t p h u h n cùng l c l ng. Khi đó ánh x f : X → Y là đ n ánh

khi và ch khi là toàn ánh, do đó là m t song ánh.
1.4
1.4.1

GI I TÍCH T

H P- NH TH C NEWTON

Hoán v , phép th
Cho t p h u h n E = {x1 , x2 ,... xn }. M i song ánh t

E lên E đ c g i là m t phép

th , còn nh c a song ánh này đ c g i là m t hoán v n ph n t c a E .
N u ta x p các ph n t c a
các ph n t này.
c bi t n u

E theo m t th t nào đó thì m i hoán v là m t s đ i ch

E = {1,2,...n} thì m i phép th đ c ký hi u b i ma tr n

⎡ 1

2

...

n ⎤

σ =⎢
⎥
⎣σ (1) σ (2) ... σ (n)⎦

(1.13)
19


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s
trong đó hàng trên là các s t 1 đ n

n s p theo th t t ng d n, hàng d i là nh t ng
ng c a nó qua song ánh σ . Còn [σ (1),σ ( 2),..., σ ( n)] là hoán v c a phép th σ .

⎡1 2 3 4 ⎤
2 1 3] là hoán v t phép th σ = ⎢
⎥ có σ (1) = 4 ,
⎣ 4 2 1 3⎦
σ (2) = 2 , σ (3) = 1 , σ ( 4) = 3 .

[

Ví d 1.23: 4

{1,2} có hai hoán v là [1 2] và [2 1].
T p h p {1,2,3} có sáu hoán v là [1 2 3] , [2 1 3] , [3 1 2], [1 3 2] , [2 3 1] và [3 2 1] .
V i t p E = {x1 , x2 ,..., xn } thì có n cách ch n giá tr σ ( x1 ) , n − 1 cách ch n giá tr

T ph p

σ ( x2 ) .... cho m
V y có
1.4.2

t phép th

σ

b tk .

n(n − 1)(n − 2)...1 = n! hoán v (phép th ) c a t p n ph n t .

Ch nh h p
Cho t p h p h u h n có

B = {1,2,..., p}.

E = {x1 , x2 ,..., xn } và t p h p h u h n

n ph n t

nh ngh a 1.17: M t ch nh h p l p ch p

p các ph n t c a E là nh c a m t ánh x t

B đ n E.
p nh m t b g m p thành ph n là các ph n
t có th trùng nhau c a E . Nói cách khác, m t ch nh h p l p ch p p là m t ph n t c a tích
Ta c ng có th xem m t ch nh h p l p ch p

Descartes

E p . V y s các ch nh h p l p ch p p c a n v t là n p .

n v t E = {x1 , x2 ,..., xn } và ti n hành b c có hoàn l i p l n theo cách
sau: B c l n th nh t t t p E đ c xi , ta tr xi l i cho E và b c ti p l n th hai ... M i k t
1
1
Ví d 1.24: Cho

qu sau

(

)

p l n b c xi1 , xi2 , ..., xi p là m t ch nh h p có l p n ch p p .
nh ngh a 1.18: M t ch nh h p (không l p) ch p

p g m n ph n t c a E ( p ≤ n) là

nh c a m t đ n ánh t

B vào E .
Hai ch nh h p n ch p p là khác nhau n u:
ho c chúng có ít nh t m t ph n t khác nhau,
ho c g m

p ph n t nh nhau nh ng có th t khác nhau.

p thành ph n g m các ph n t khác
nhau c a E hay có th xem nh m t cách s p x p n ph n t c a E vào p v trí.
Nh v y ta có th xem m i ch nh h p là m t b có

20


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

n cách ch n vào v trí th nh t, n − 1 cách ch n vào v trí th hai, ... và n − p + 1
cách ch n vào v trí th p . V y s các ch nh h p n ch p p là
Có

Anp = n(n − 1)...(n − p + 1) =
1.4.3

n!
(n − p)!

(1.14)

T h p

n v t c a E ch p p là m t cách l y ra đ ng th i p v t t
E có n v t. Nh v y ta có th xem m t t h p n ch p p là m t t p con p ph n t c a t p có
n ph n t E .
nh ngh a 1.19: M t t h p

N u ta hoán v

p v t c a m t t h p thì ta có các ch nh h p khác nhau c a cùng p v t này.

V y ng v i m t t h p p v t có đúng
h p

p! ch nh h p c a p v t này. Ký hi u Cnp là s các t

n ch p p thì
Ap

n!
.
Cnp = n =
p!
p! (n − p )!

(1.15)

Ví d 1.25: a) Có bao nhiêu cách b u m t l p tr
mà không kiêm nhi m c a m t l p có 50 h c sinh.

ng, m t l p phó và m t bí th chi đoàn

b) Có bao nhiêu cách b u m t ban ch p hành g m m t l p tr
th chi đoàn mà không kiêm nhi m c a m t l p có 50 h c sinh.

ng, m t l p phó và m t bí

Gi i:
a) M i k t qu b u là m t ch nh h p 50 ch p 3.
V y có

3
A50
= 50 × 49 × 48 = 117.600 cách b u.

b) M i k t qu b u m t ban ch p hành là m t t h p 50 ch p 3.
V y có
1.4.4

3
C50
=

50! 50 × 49 × 48
=
= 19.600 cách b u.
3!47!
6

Nh th c Niu-t n
Xét đa th c b c

n : ( x + 1) n = ( x + 1)( x + 1)...( x + 1)
144424443
n thõa sè

Khai tri n đa th c này ta đ

c:

( x + 1) n = x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + 1
21


ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

H s c a

h p

x p b ng s cách ch n p th a s trong n th a s trên. M i cách ch n là m t t

n ch p p , do đó a p = Cnp .
( x + 1) n = Cnn x n + Cnn −1 x n −1 + ... + Cnp x p + ... + Cn0

V y

Thay x = a b (n u

b ≠ 0 ) ta có:

(a + b) = Cnn a n + Cnn −1a n −1b + ... + Cn0b n =
n

Công th c này đ

n

∑ Cnp a p b n − p

(1.16)

p =0

c g i là nh th c Niu-t n, đúng v i m i

a, b ∈

(k c tr

ng h p

b = 0 ).
1.4.5

c v phép đ m

S l

Khi mu n đ m s ph n t c a các t p h u h n ta có th áp d ng các cách đ m hoán v ,
ch nh h p, t h p và các công th c sau:
a)

A∪ B + A∩ B = A + B ,

(công th c c ng)

(1.17)

b)

A× B = A ⋅ B ,

(công th c nhân)

(1.18)

c)

{f

(ch nh h p có l p)

(1.19)

d)

P ( A) = 2 A ,

: A → B} = A

e) N u

B

,

(1.20)

f : A → B song ánh thì A = B .

Công th c c ng a) th

ng đ

(1.21)

c s d ng trong tr

ng h p đ c bi t khi A, B r i nhau

A ∩ B = φ , lúc đó A ∪ B = A + B .
Công th c nhân b) có th m r ng cho k t p b t k

A1 × ... × Ak = A1 ⋅ ... ⋅ Ak

(1.22)

Ho c n u m t hành đ ng H g m k giai đo n A1 ,..., Ak . M i giai đo n Ai có th th c hi n
theo ni ph
22

ng án thì c th y có n1 × ... × nk ph

ng án th c hi n H.


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ví d 1.26: Cho m ch đi n

U3

U2

U1

A

B

a) Có bao nhiêu tr ng thái c a m ch.
b) Có bao nhiêu tr ng thái có th c a m ch đ có dòng đi n ch y t A đ n B
Gi i:
Áp d ng công th c nhân ta có:
a) S các tr ng thái c a m ch
b)

2 2.23.2 4 = 29 = 512 .

U1 có 2 2 tr ng thái nh ng có 1 tr ng thái dòng đi n không qua đ c, do đó U1

có 3 tr ng thái dòng đi n qua đ
dòng đi n qua đ

c. V y s

3 × 7 × 15 = 315 .

c. T

ng t

4
U 2 có 23 − 1 và U 3 có 2 − 1 tr ng thái

các tr ng thái c a m ch có dòng đi n ch y t

Ví d 1.27: Có bao nhiêu s t nhiên vi t d

i d ng th p phân có

A đ n B là

n ch s ( n ≥ 3) trong

đó có đúng hai ch s 8.
Gi i: Gi s
đúng hai ch s 8.
♦Tr

N

là s t nhiên có

n ch s mà ch s th nh t bên trái khác ch s 0 và có

ng h p 1: N u ch s th nh t bên trái là ch s 8 thì có

th hai, có 9 cách ch n cho m i ch s

n − 1 v trí đ đ t ch s 8

n − 2 v trí còn l i. V y có đúng (n − 1)9 n − 2 s N

thu c lo i này.

♦Tr

ng h p 2: N u ch s th nh t bên trái không ph i là ch s 8 thì có

Cn2−1 v

trí đ đ t 2 ch s 8, có 8 cách ch n ch s cho v trí th nh t, có 9 cách ch n cho m i ch
n − 3 v trí khác v trí th nh t và hai v trí đã ch n cho ch s 8. V y có đúng
s

Cn2−1 ⋅ 8 ⋅ 9 n − 3 =

(n − 1)(n − 2)
⋅ 8 ⋅ 9 n − 3 s N thu c lo i này.
2

S d ng công th c c ng ta suy ra s các s t nhiên c n tìm là:

( n − 1)9 n − 2 + 4(n − 1)(n − 2)9 n − 3 = (4n + 1)(n − 1)9 n − 3
23


ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

Ví d 1.28: Trong m t ph ng cho
khác nhau ( n ≥ 4) .

n đ ng th ng đôi m t c t nhau và các giao đi m này

a) Tìm s các giao đi m c a chúng.
b) Tìm s các đ

ng th ng m i đ

c t o b i các giao đi m trên.

Gi i:

A
Dj

n=4
a) S các giao đi m c a

Cn2

giao đi m.
b) Xét t i đi m

đ

n đ ng th ng b ng s các c p c a n đ ng th ng này. V y có

ng trên đi qua
Trên m i đ
V y trên

A b t k trong Cn2 giao đi m c a câu a). T n t i đúng hai đ ng trong n

A là Di , D j ; i < j .
ng có đúng

2

n − 1 đi m trong s Cn giao đi m c a câu a).

Di , D j có 2(n − 1) − 1 đi m, do đó có

Cn2 − (2(n − 1) − 1) =
th ng m i đ u n i hai đi m

(n − 2)(n − 3)
đ ng th ng m i n i đ n A . Vì m i đ ng
2

câu a) nên s đ

ng th ng m i là:

1 2 (n − 2)(n − 3) 1
Cn
= n(n − 1)(n − 2)(n − 3) .
2
2
8
Ví d 1.29: Cho t p con

A có p ph n t c a t p E có n ph n t . Hãy đ m s các c p

( X , Y ) các t p con c a E sao cho:
24


Ch

ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

X ∪ Y = E, X ∩ Y ⊃ A
Gi i: Ký hi u

B = E \ A.

A = {( X ,Y ) X ∪ Y = E, X ∩ Y ⊃ A }

t

T

(1.23)

ng

B = {( X ',Y ') X ' ⊂ B,Y ' ⊂ B ; X '∪Y ' = B }
ng f : A → B ; f ( X , Y ) a ( X ∩ B, Y ∩ B ) là m t song ánh.

M t khác

X ' ⊂ B,Y ' ⊂ B, X '∪Y ' = B ⇔ B \ X ' ⊂ Y ' .

V y s các c p

( X , Y ) tho mãn đi u ki n (1.23) c n tìm b ng b n s c a t p

{( X ", Y ' ) X " ⊂ B, Y ' ⊂ B, X " ⊂ Y '}.
V im it p
con

Y ' ⊂ B có b n s y ' thì b n s c a t p {X " X " ⊂ Y '} là 2 y ' ; S các t p

Y ' ⊂ B có y ' ph n t là C ny−' p . Áp d ng công th c c ng suy ra b n s c n tìm là

n− p

∑ 2 y' Cny−' p = 3n − p .

y'= 0
1.5
1.5.1

CÁC C U TRÚC

IS

Lu t h p thành trong
nh ngh a 1.20: M t lu t h p thành trong trên t p
Ta th

X ≠ φ là ánh x t X × X vào X .

*: X × X → X

ng ký hi u

( x, y ) a x * y
Lu t h p thành trong k t h p hai ph n t
v y lu t h p thành trong còn đ

x, y c a X thành m t ph n t x ∗ y c a X vì

c g i là phép toán hai ngôi.

Ví d 1.30: Phép c ng và phép nhân là các lu t h p thành trong c a các t p s

,

,

, ,

.
Ví d 1.31: Phép c ng véc t theo quy t c hình bình hành là phép toán trong c a t p
các véc t t

do trong không gian, nh ng tích vô h

r r r r
r r
u ⋅ v = u ⋅ v cos(u , v ) ∉ R3 .

nh ngh a 1.21: Lu t h p thành trong * c a t p
1) Có tính k t h p n u

R3

ng không ph i là phép toán trong vì

X đ c g i là:

∀x, y, z ∈ X : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z
25


ng 1: M đ u v lôgíc m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

2) Có tính giao hoán n u

∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x

3) Có ph n t trung hoà (hay có ph n t đ n v ) là

e∈ X n u

∀x ∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x
4) Gi s * có ph n t trung hoà
c a x ∈ X n u x ∗ x' = x'∗ x = e .

e ∈ X . Ph n t

x'∈ X đ c g i là ph n t đ i x ng

Ta d dàng th y r ng ph n t trung hoà có ph n t đ i x ng là chính nó.
Các phép h p thành trong hai ví d trên đ u có tính k t h p và giao hoán. S 0 là ph n t
trung hoà đ i v i phép c ng và 1 là ph n t trung hoà đ i v i phép nhân trong. Véc t
t trung hoà c a phép toán c ng véc t trong

R3 .

i v i phép c ng thì m i ph n t

r
0 là ph

x trong ,

− x . Ph n t đ i c a x ≠ 0 ng v i phép nhân trong , ,
1 x , nh ng m i ph n t khác 0 trong v i phép + không có ph n t đ i.
,

,

n

đ u có ph n t đ i là

là

Tính ch t 1.4:
1) Ph n t trung hoà n u t n t i là duy nh t.
2) N u * có tính k t h p, thì ph n t đ i c a m i ph n t là duy nh t.
3) N u * có tính k t h p và ph n t
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y và ph ng trình a ∗ x
ph n t đ i c a

a có ph n t đ i thì có lu t gi n c:
= b có duy nh t nghi m x = a '∗b v i a' là

a.

Ch ng minh:

e

1) Gi s e và e' là hai ph n t trung hoà thì e' = e'∗e = e (d u "=" th nh t có đ
là ph n t trung hoà, còn d u "=" th hai là do e' là ph n t trung hoà).
2) Gi s

c do

a có hai ph n t đ i x ng là a' và a" , khi đó:

a ' = e ∗ a ' = (a"∗a ) ∗ a ' = a"∗(a ∗ a ' ) = a"∗e = a" .
Theo thói quen ta th ng ký hi u các lu t h p thành trong có tính giao hoán b i d u "+" ,
khi đó ph n t trung hoà đ c ký hi u là 0 và ph n t đ i c a x là − x . N u ký hi u lu t h p
thành b i d u nhân
c a

"." thì ph

n t trung hoà đ

x là x .

1.5.2

Nhóm
nh ngh a 1.22: Gi s

G là t p khác tr ng v i lu t h p thành *, c p (G,*) đ c g i là

m t v nhóm n u tho mãn hai đi u ki n sau:
G1: * có tính k t h p.
26

c ký hi u 1 và g i là ph n t đ n v , ph n t đ i

−1