Luận Văn Phép đồng dạng của bài toán quỹ tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

 
 
 
NGUYỄN THỊ HẢI HƯỜNG

 
 
 

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH
 
 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 
Chuyên nghành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ĐINH VĂN THUỶ
 
 
 
 
 
 
 

HÀ NỘI – 2012

                                                                                                                                               1 


LỜI CẢM ƠN
 
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo Đinh Văn Thủy 
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. 
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu của 
các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ Hình Học đã góp 
phần làm cho khóa luận thêm hoàn thiện. 
Trong quá trình nghiên cứu, với sự hạn chế về mặt thời gian cũng như 
về mặt kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, kính 
mong được sự chỉ bảo của các thầy cô cùng những ý kiến đóng góp của các 
bạn sinh viên. 
 
Em xin chân thành cảm ơn!
 
Sinh viên 
 
Nguyễn Thị Hải Hường

 

2 


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam  đoan  khóa luận này  hoàn thành do sự cố gắng, tìm hiểu, 
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo 
Đinh Văn Thủy cũng như các thầy cô trong tổ Hình Học khoa Toán trường 
ĐHSP Hà Nội 2. 
Một lần nữa tôi xin cam đoan rằng khóa luận này chưa từng được công 
bố tại bất kì khóa luận nào khác. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên 
 
Nguyễn Thị Hải Hường

 

3 


 

4 


MỤC LỤC
Mở đầu....................................................................................................... 5 
Nội dung .................................................................................................... 7 
Chương 1: Cơ sở lý luận............................................................................. 7 
§1: Bổ túc về vấn đề định hướng ................................................................ 7 
1. Mặt phẳng định hướng ......................................................................... 7 
2. Góc định hướng giữa hai tia ................................................................. 7 

3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng.................................................. 7 
4. Định hướng trong không gian............................................................... 8 
§2: Đại cương về phép biến hình trong En (n=2, 3) .................................... 9 
1. Phép biến hình và một số khái niệm liên quan...................................... 9 
2. Phép biến hình afin............................................................................... 9 
3. Phép biến hình đẳng cự ...................................................................... 10 
4. Phép vị tự  ........................................................................................ 13 
5. Phép đồng dạng .................................................................................. 13 
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích ............... 16 
§1: Bài toán quỹ tích ................................................................................ 16 
1. Định nghĩa  ........................................................................................ 16 
2. Chứng minh quỹ tích.......................................................................... 16 
3. Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích .............................................. 16 
§2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích và ví dụ.............. 17 
1. Phương pháp chung............................................................................ 17 
2. Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng ................................ 18 
3. Ví dụ  ............................................................................................... 18 
§3: Một số bài toán luyện tập ................................................................... 36 
Hướng dẫn ............................................................................................... 38 
Kết luận.................................................................................................... 46 
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 47 

 

5 


 

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Hình  học  là  một  môn  học  có  vị  trí  quan  trọng  trong  toán  học.  Theo 
quan điểm  của  toán học  hiện đại hình học  nghiên cứu các  tính chất của  các 
hình bất biến đối với nhóm biến hình nào đó của không gian hình học. Học 
hình  học  giúp  học  sinh  rèn  luyện  tư  duy,  nâng  cao  khả  năng  tưởng  tượng 
không gian.  Tuy  vậy  trong  trường  phổ  thông  hình  học  chưa  được quan tâm 
xứng đáng với vai trò của nó. 
Phép biến hình là nội dung khá quan trọng trong chương trình toán phổ 
thông. Đây là công cụ khá mạnh để giải các bài toán đồng thời còn nâng cao, 
phát  triển  năng  lực  trí tuệ  chung  cho học  sinh.  Nhưng  trên thực tế  việc  vận 
dụng phép biến hình vào giải toán trong mặt phẳng và trong không gian học 
sinh mới chỉ làm quen bước đầu. 
Với mục đích làm sáng tỏ hơn việc vận dụng phép biến hình trong việc 
giải toán tôi chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích ”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên  cứu  phép  đồng  dạng  trong  phẳng  và  trong  không  gian.  Ứng 
dụng giải bài toán quỹ tích trong phẳng và trong không gian. 
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Phép đồng dạng, bài toán quỹ tích. 
Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 và trong E3. 
4. Nhiệm vụ
Trình bày cơ sở lý thuyết. 
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép đồng dạng. 

 

6 

Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập về ứng dụng phép đồng dạng giải 
bài bài toán quỹ tích. 
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và tài liệu có liên quan. 
Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán. 

 

7 


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

§1: BỔ TÚC VỀ VẤN ĐỀ ĐỊNH HƯỚNG 
1. Mặt phẳng định hướng
Định nghĩa
Xung  quanh  mỗi  điểm  của  mặt  phẳng  có  hai  chiều  quay:  Chiều  kim 
đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu gọi một trong hai chiều đó là chiều thuận thì 
chiều kia sẽ là chiều nghịch, và như thế ta nói rằng mặt phẳng đã được định 
hướng. Thông thường người ta gọi chiều ngược kim đồng hồ là chiều thuận. 
2. Góc định hướng giữa hai tia
Định nghĩa
Trong  mặt  phẳng  định  hướng  cho  hai  tia  Ox  và  Oy,  góc  định  hướng 
giữa hai tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được ký hiệu là (Ox, Oy) là góc thu được 
khi quay Ox xung quanh O tới trùng với Oy. 
Hệ thức Chales
Nếu trong mặt phẳng định hướng cho các tia OA1,…, OAn. Khi đó: 
(OA1, OA2) + (OA2, OA3) +…+ (OAn-1, OAn) = (OA1, OAn) + K2Π 
K Z 

3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
Định nghĩa
Trong  mặt  phẳng được  định hướng, cho hai đường  thẳng  a và b. Nếu 
a∩b = {O} thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: Góc 
định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa hai tia ai và bi 
(i=1, 2). Kí hiệu: ( a, b )  

 

8 


a1
b2
O

b1

a2
 

Hệ thức Chales:
Trong  mặt  phẳng  định  hướng  cho  các  đường  thẳng  a1,  a2,  …,  an.  Khi 
đó: 
( a1 , a2 ) + ( a2 , a3 ) +… + ( an1 , an ) = ( a1 , an ) + KΠ  ,   K Z 
4. Định hướng trong không gian
a) Không gian định hướng theo trục
Trong  không  gian  cho  trục  a.  Khi  đó  xung  quanh  trục  a  có  hai  chiều 
quay.  Đặt  vặn  nút  chai  theo trục  a  sao  cho  mũi  của  vặn nút  chai  chỉ  hướng 
dương. Chiều quay của vặn nút chai tiến theo chiều dương của a được gọi là 

chiều dương của không gian còn chiều ngược lại gọi là chiều âm của không 
gian. Khi đó không gian được gọi là định hướng theo trục a. 
b) Nhị diện định hướng
Cho nhị diện [α, a, β]. Nhị diện định hướng có diện đầu α, diện cuối β, 
[ a ,  ] là nhị diện thu được khi quay diện đầu α quanh a tới trùng diện cuối β. 
c) Định hướng góc tam diện
Cho góc tam diện O.ABC đỉnh O. Nếu nhìn từ O chiều quay từ A đến 
B, từ B đến C là ngược chiều kim đồng hồ thì ta nói góc tam diện O.ABC có 
hướng dương, ngược lại được gọi là góc tam diện có hướng âm. 
 
 

 

9 


§2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG En (n=2, 3)
1. Phép biến hình và một số khái niệm liên quan
Định nghĩa
Một song ánh từ không gian En vào chính nó là một phép biến hình của En. 
Phép biến hình đảo ngược
Cho phép biến hình f: En  En. Khi đó ánh xạ ngược f-1  của f cũng là 
một song ánh nên cũng là một phép biến hình của En. Ta gọi phép biến hình 
đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f. 
Phép biến hình tích
Cho f và g là hai phép biến hình của En. Dễ thấy ánh xạ tích của f và g 
cũng là  một song ánh của En  nên nó cũng là một phép biến hình của En. Ta 
gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g. 
Phép biến hình đối hợp

Phép biến hình f : En  En được gọi là phép biến hình đối hợp nếu 

f2 =  IdEn  
Điểm bất động, hình kép, hình bất động trong phép biến hình
Cho phép biến hình f: En  En ta có: 
Điểm  MEn  được  gọi  là  điểm  bất  động  của  phép  biến  hình  f  nếu 
f(M)=M. 
Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H)= H. 
Hình  H  được  gọi  là  hình  bất  động  đối  với  phép  biến  hình  f  nếu  mọi 
điểm của hình H đều bất động đối với f. 
2. Phép biến hình afin
a) Định nghĩa
Phép biến hình của không gian En biến đường thẳng thành đường thẳng 
được gọi là phép biến hình afin (gọi tắt là phép afin). 

 

10 


b) Tính chất
Phép afin bảo tồn tính song song của đường thẳng. 
Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng. 
Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng. 
Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. 
c) Định lý về sự xác định phép afin
Trong  E2,  cho  hai  tam  giác  ABC  và  A’B’C’,  khi  đó  tồn  tại  duy  nhất 
một phép afin biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’. 
Trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’, khi đó tồn tại duy nhất 
phép afin của E3 biến A, B, C, D tương ứng thành A’, B’, C’, D’. 

d) Khái niệm hai hình cùng chiều (ngược chiều)
Trong E2, hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là cùng chiều (ngược 
chiều) nếu trên đường tròn ngoại tiếp chúng, chiều quay từ A tới B, từ B tới 
C, từ C tới A cùng chiều (ngược chiều) quay từ A’ tới B’, từ B’ tới C’, từ C’ 
tới A’. 
Trong E3, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ được gọi là cùng chiều nếu 
các  góc  tam  diện  đỉnh  A  cạnh  AB,  AC,  AD  và  đỉnh  A’  cạnh  A’B’,  A’C’, 
A’D’ cùng chiều. Trong trường hợp ngược lại hai tứ diện được gọi là ngược 
chiều nhau. 
e) Phân loại
Phép afin trong En được gọi là phép afin loại 1 nếu hai hình xác định nó 
cùng chiều, ngược lại ta có phép afin loại 2. 
3. Phép biến hình đẳng cự
a) Định nghĩa
Phép biến hình của En bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ được 
gọi là phép biến hình đẳng cự (còn gọi là phép đẳng cự hay phép dời). 
 

 

11 


b) Tính chất
Phép đẳng cự là phép afin. 
Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc. 
Phép  đẳng  cự  biến  đường  tròn  thành  đường  tròn  cùng  bán  kính,  biến 
mặt cầu thành mặt cầu bằng nó. 
c) Sự xác định phép biến hình đẳng cự
Trong E2, cho hai tam giác bằng nhau ABC và A’B’C’, khi đó tồn tại 

duy nhất một phép đẳng cự biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’. 
Trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cạnh tương ứng bằng 
nhau, khi đó tồn tại duy nhất phép đẳng cự của E3 biến A, B, C, D thành A’, 
B’, C’, D’. 
d) Phân loại
Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu là phép afin loại 1. 
Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu là phép afin loại 2. 
e) Một số phép đẳng cự đặc biệt
 Các định nghĩa 
  Phép đối xứng trục 
Trong  E2,  cho  đường  thẳng  d.  Phép  biến  hình  của  E2  cho  tương  ứng 
mỗi điểm M  M’ được xác định như sau: 
- Nếu Md thì d là trung trực của đoạn thẳng MM’ 
- Nếu Md thì MM’ 
được gọi là phép đối xứng trục với trục d. Kí hiệu: Sd hay Đd 
 Phép đối xứng tâm 
Trong  En  cho  điểm  O  cố  định.  Phép  biến  hình  của  En  biến  mỗi  điểm 




M  M’ sao cho  OM '  OM được gọi là phép đối xứng tâm. 
Kí hiệu: Xo hay Đo 
 Phép tịnh tiến 

 

12 



Trong En cho vectơ  a . Phép biến hình của En  biến mỗi điểm M  M’ 







sao cho  MM '  a  được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ  a . Kí hiệu: Ta  
 Phép quay 
- Trong E2, cho điểm O cố định và góc định hướng . 
Phép biến hình của E2 cho tương ứng với mỗi điểm M  M’ sao cho: 
OM  OM’
 

(OM , OM ')  

được gọi là phép quay quanh điểm O với góc quay . Kí hiệu: Qo 
- Trong  E3,  cho  trục  a  và  góc  định  hướng  .  Phép  biến  hình  biến 
M  M’ xác định như sau: Qua M dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a, cắt a 
tại O. Định hướng  mặt phẳng (P) sao cho chiều dương của không gian theo 
trục a sinh ra chiều dương trên mặt phẳng (P) thì M’ là ảnh của M qua phép 
quay Qo được gọi là phép quay quanh trục a với góc quay . Kí hiệu: Qa 
 Một số tính chất 
 Phép đối xứng trục Đd là phép phản chiếu, có tập điểm bất động là 
đường thẳng d. 
 Phép đối xứng tâm Đo là phép dời hình, là phép biến hình đối hợp có 
điểm bất động duy nhất là O. 

 Phép  tịnh  tiến  Ta là  phép  dời  hình,  không  có  điểm  bất  động  nếu 

 
vectơ  a   0 . 
 Phép quay là phép dời hình, luôn có điểm bất động là tâm O. Ngoài 
ra :+ (Qo)-1 = Qo- 
+ Nếu Qo(a)=a’ thì ( a , a ' )= 
 Phép quay Qo là phép dời hình, luôn có a là đường thẳng bất động. 
 

 

13 


4. Phép vị tự
a) Định nghĩa
Trong En cho điểm O cố định và một số k0. Phép biến hình của Encho 




tương  ứng  mỗi  điểm  M  thành  điểm  M’  sao  cho  OM '  kOM   được  gọi  là 
phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: Vok  hay V(O, k) 
b) Một số tính chất
+  Với k0, phép vị tự Vok có duy nhất O là điểm bất động. 
+  (Vok)-1=Vo1/k 
+  Phép vị tự Vok bảo tồn phương của đường thẳng. 
5. Phép đồng dạng
a) Định nghĩa

Phép  biến  hình  của  không  gian  En    (n=2,  3)  biến  mỗi  điểm  M  thành 
điểm M’ sao cho với cặp điểm bất kỳ M, N và cặp ảnh tương ứng M’, N’ thì 
M’N’=kMN,  trong  đó  k  là  một  số  dương  xác  định,  được  gọi  là  phép  đồng 
dạng tỉ số k. Kí hiệu: Zk 
b) Các tính chất cơ bản
Phép  đồng  dạng  bảo  tồn  tính  thẳng  hàng  của  ba  điểm  và  thứ  tự  của 
chúng trên đường thẳng chứa ba điểm đó. Cụ thể: Biến ba điểm A, B, C thẳng 
hàng theo thứ tự thành A’, B’, C’ thẳng hàng cũng theo thứ tự đó. 
Phép đồng dạng bảo tồn góc giữa hai đường cong trong E2. 
Phép  đồng  dạng  biến  đường  trong  thành  đường  tròn,  biến  mặt  cầu 
thành mặt cầu có bán kính nhân lên với tỷ số đồng dạng. 
c) Sự xác định của phép đồng dạng
Định lý 1
Trong E2, phép đồng dạng được xác định hoàn toàn duy nhất bởi một 
cặp tam giác đồng dạng tương ứng. 
Hệ quả

 

14 


Phép đồng dạng là phép afin đặc biệt. 
Định lý 2
Trong E3, tích một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số k, hoặc theo 
thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng tỷ số k. Phép đồng dạng là thuận hay 
nghịch tùy theo k âm hay dương. 
Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong E3 luôn có thể phân tích 
thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự mà tâm vị tự tùy ý, tỷ số 
vị tự là k hoặc –k tùy theo phép đồng dạng là thuận hay nghịch. 

Hệ quả
Trong E2, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là phép đồng 
dạng thuận.  Tích  của  một  phép vị  tự  và  một  phép phản  chiếu  là  phép  đồng 
dạng nghịch. 
Định lý 3
Trong E3, một phép đồng dạng Zk đều có thể phân tích thành tích của 
một phép vị tự và một phép quay quanh trục với tỉ số vị tự là k tùy theo Zk là 
thuận hay nghịch. 
Hệ quả
Trong E2, một phép đồng dạng thuận đều là tích của một phép quay và 
một  phép  vị  tự  với tâm  quay  và  tâm  vị  tự  trùng  nhau,  tỉ  số  vị  tự bằng  tỉ  số 
đồng dạng. 
Một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của một phép 
phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu và 
tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng dạng. 
d) Phân loại phép đồng dạng và hai hình đồng dạng
 Phân loại 
Phép  đồng  dạng  xác  định  bởi  hai  đơn  hình  cùng  hướng  được  gọi  là 
phép đồng dạng thuận. 

 

15 


Phép  đồng  dạng  xác  định  bởi  hai  đơn  hình  ngược  hướng  gọi  là  phép 
đồng dạng nghịch. 
 Hai hình đồng dạng 
Hai  hình  H  và  H’  gọi  là  đồng  dạng  với  nhau  nếu  có  một  phép  đồng 
dạng Z biến hình này thành hình kia: Z(H)= H 

e) Điểm bất động và dạng chính tắc của phép đồng dạng
Định lý
Mọi phép đồng dạng khác đẳng cự đều có điểm bất động duy nhất. 
Định lý về dạng chính tắc của phép đồng dạng
Trong  E2,  mọi phép đồng  dạng thuận đều có thể biểu diễn được  dưới 
dạng tích giao hoán được của phép vị tự và phép quay. 
Trong  E2,  phép  đồng  dạng  nghịch  biểu  diễn  duy  nhất  thành  tích  giao 
hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng trục. 
Trong  E3,  phép  đồng  dạng  hoặc  là  phép  đẳng  cự  hoặc  là  phép  vị  tự 
hoặc là tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép quay quanh trục. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

16 


CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI

BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

§1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
1. Định nghĩa
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm  một tập hợp những điểm (còn gọi là 
một hình) có tính chất α cho trước (bởi những điều kiện nhất định). 
2. Chứng minh quỹ tích
Bước 1: Tìm hiểu kĩ, nắm được các yếu tố đặc trưng của bài toán. 
Bước 2: Đoán nhận quỹ tích 
Hình dung được hình dạng, vị trí, kích thước của quỹ tích và có thể đi 
đến được dự đoán “quỹ tích K của những điểm M có tính chất α là hình H” 
Để  chứng  minh  K={  M  /  M  có tính  chất  α} là  hình  H,  ta  cần  chứng 
minh 2 mệnh đề: 
+ K  H: Tức mọi điểm có tính chất α đều nằm trên hình H (đảm bảo 
tính chất không thiếu của quỹ tích) 
+ H  K: Tức mọi điểm nằm trên hình H đều có tính chất α (đảm bảo 
tính chất không thừa của quỹ tích) 
3. Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích
Trong khi chứng minh phần thuận của nhiều bài toán quỹ tích ta thường 
tìm được môt hình H1 chứa tất cả các điểm M có tính chất α. Nhưng do điều 
kiện hạn chế của bài toán, tập các điểm cần tìm là hình H lại chỉ là bộ phận 
thực sự của hình H1. Khi đó ta cần tiến hành bước giới hạn quỹ tích nhằm loại 
bỏ đi từ hình H1 những điểm có tính chất α nhưng không thỏa mãn điều kiện 
bài toán để được hình H. 

 

17 

Khi một số yếu tố của bài toán chưa được xác định hoàn toàn về vị trí, 
kích thước… hay  trường  hợp bài toán  có  tham số  thì  ta phải  tiến  hành biện 
luận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tất cả các trường hợp có thể xảy ra của 
quỹ tích. 
 
§2: SỬ DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
VÀ VÍ DỤ
1. Phương pháp chung
Giả sử Zk: En En  (n=2, 3) 
M  M’ 
là  một  phép biến hình  đồng dạng của En  thì  do tính  chất  1-1 của  phép  biến 
hình ta có : 
-

Nếu quỹ tích của điểm M là hình H thì quỹ tích những điểm M’ là 

hình H’=Zk(H). 
-

Ngược  lại  nếu  quỹ  tích  những  điểm  M’  là  hình  H’  thì  quỹ  tích 

những điểm M là hình Zk-1(H’)=H. 
Do đó nếu sử dụng phép biến hình vào bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả 
hai phần thuận và đảo đều được khẳng định. 
Nguyên tắc chung để áp dụng phép biến hình đồng dạng vào bài toán 
tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn một tính chất α nào đó là: lựa chọn phép 
đồng  dạng  Zk  thích  hợp  biến  điểm  M  thành  M’=Zk(M)  sao  cho  quỹ  tích 
những  điểm  M’  là  hình  H’  tìm  được  dễ  dàng.  Khi  đó  do  tính  chất  1-1  của 
phép đồng dạng ta suy ra được quỹ tích các điểm M là  Zk-1(H). Ta xét ngay 
phép  đồng  dạng  Zk-1  để  suy  ra  quỹ  tích  của điểm  M  khi biết điểm  M’  chạy 

trên hình H nào đó. 
 

 

18 


 
2. Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng
Từ bài toán quỹ tích tìm những điểm M có tính chất α đã giải được là 
quỹ  tích  (C)  bằng phép biến  hình  f  hoặc tích  những  phép  biến  hình,  ta  biến 
điểm M thành M’ rồi chuyển tính chất α của điểm M thành tính chất α’ của 
điểm M’ sao cho M có tính chất α khi và chỉ khi M’ có tính chất α’. Lúc đó ta 
sẽ được bài toán quỹ tích mới: Tìm quỹ tích những điểm M’ có tính chất α’ 
mà kết quả quỹ tích của những điểm M’ là f(C). 
3. Ví dụ
Ví dụ 1
Cho một hình vuông ABCD. Một đường thẳng ∆ đi qua A cắt
đường thẳng CD ở E, đường thẳng ∆’ đi qua A vuông góc với ∆ cắt đường
thẳng BC tại F. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF.
Lời giải 
Ta có :  DAB  EAF  90 0  
900

Xét phép quay  QA

:  D    B  AD   AB 

     ’ 

Suy ra DC (  AD) có ảnh là BC (  AB) (do tính chất bảo toàn góc) 
Từ đó  ∩ DC = E    ’ ∩ BC = F, vậy nên ∆ AEF vuông cân tại A. 

 

19 


∆
D

E

C

O
B

A

I

F

∆'

 

EF AE 2


2
2
 
AI
2


AE
2
 AI 


2
AE
 AI 
2
Ta có :  
 
 IAE  450


Xét phép đồng dạng Z(A, 

2
, -450) : E   I 
2

Mặt khác, ta có E chạy trên đường thẳng CD nên I chạy trên ảnh của 
đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, 

2
, -450) 
2

Suy ra tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF là ảnh của đường thẳng 
CD qua phép đồng dạng Z(A, 

 

2
, -450) 
2

20 


Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng EF là đường thẳng BD 
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC và đường thẳng d quay xung quanh A cắt BC ở
M. Gọi O, O’ thứ tự là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và
ACM. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn OO’.
Lời giải 
Trên (O),  ABC 

1
sđ  AM =  AOO '  
2

Trên (O’),  ACB 

1
 sđ  AM  AO ' O  
2

Do đó trong tam giác AOO’ và ABC đồng dạng và cùng hướng.
 

d

t

A





Q

O'

O

C

P
M
B

 

 

( AB, AO)  ( AC, AO')  

  AO AO'
 k1
 
 AB AC

 

21 


Vậy phép đồng dạng: 

Z1=Z(A, -, k1) : B   O , C   O’, [BC]    [OO’] 
Khi đó gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BC và OO’ thì 

Z1 : P   Q 
( AO, AQ)  ( AB, AP)    

  AQ AP
 k2
 
 AO AB

 
 

Với   và k2 không đổi 
 Z2=Z(A,   , k2) : O   Q 
Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM nên khi M di chuyển 
trên đường thẳng BC thì O di chuyển trên đường trung trực t của đoạn AB. 
Vậy tập hợp Q là đường thẳng ảnh của đường trung trực đoạn AB qua 
phép đồng dạng Z2 đó là đường thẳng t’ đi qua Q và hợp với t một góc    
Nhận xét
Chúng ta có thể giữ nguyên giả thiết và thay toàn bộ kết luận của bài 
toán trên bằng kết luận “ Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác AOO’ ”.Lời 
giải bài toán này cũng tương tự bài toán đã giải trên chỉ khác là xét phép đồng 
dạng : 

    ( AB, AG0 )


 (G0 là trọng tâm ∆ABC) 
Z3=Z(A,  , k3) với  k  AG0
 3

AB
Do đó Z3 : O    G 
Khi  đó  tập  hợp  trọng  tâm  G  của  tam  giác  AOO’  là  đường  thẳng  t’’ 
=Z3(t) ảnh của đường trung trực t của đoạn AB qua phép đồng dạng Z3. 
 
 

 

22 

Ví dụ 3
Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C cố định nằm trên nó, A là
một điểm di động trên (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp trọng tâm tam giác AOH.
b) Tìm tập hợp giao điểm của đường phân giác góc A của tam giác
ABC với đường thẳng OH.
Lời giải 
A

G

J

O

K
H

C
I

B

A'
D

a)

 

Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O) và gọi R là bán kính của 

đường tròn (O). 
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn BC và AH. 
Dễ thấy tứ giác BHCA’ là hình bình hành. 
 I là trung điểm của HA’ 


  OI 

1 
AH . 
2


Do B và C cố định nên I cố định, do đó vectơ  OI hoàn toàn xác định. 
Suy ra  J  T
( A)  
OI

 

23 


Gọi G là trọng tâm tam giác AOH. 
 2 
2
Suy ra  OG  OJ  hay  G  VO 3 ( J )  
3

2

Như  vậy  G  VO 3 .T
( A)   tức  G  là  ảnh  của  A  qua  phép  đồng  dạng 
OI
2

 
Z1=VO 3 .T
OI
Khi A  B hoặc A  C thì tam giác ABC không tồn tại nên nếu kí hiệu 
(C)=(O)\{B, C} thì tập hợp trọng tâm G của tam giác AOH là (C1), ảnh của (C) 
qua phép đồng dạng Z1 
2
Đó là đường tròn (O1, r1) bỏ đi hai điểm B1, C1 với O1=Z1(O), r1= R , 
3

B1=Z1(B), C1=Z1(C). 
b)

Kéo dài OI cắt cung BC tại D thì AD là phân giác góc  BAC  

Ta có  ODA  HAD  (OI // AH) 
Mà  ODA  OAD  ( tam giác OAD cân ở O) nên  HAD  OAD  hay AD 
chính là phân giác của góc  HAO  
Gọi K=AD  HO 
Theo tính chất đường phân giác ta có: 
HK AH 2OI



KO AO
R
OH 2OI  R 
R 


 OK 
OH  
KO
R
2OI  R
R

 K  VO2OI  R ( H )




Mà  AH  2OI  H  T
( A)  
OI
R

( A)  
Do đó  K  VO2OI  RT
OI
R

Vậy K là ảnh của A qua phép đồng dạng  Z 2  VO2OI  RT
 

OI

 

24 


Mà A chạy trên đường tròn (O) bỏ đi hai điểm B và C nên tập hợp giao 
điểm K của phân giác góc  BAC với đường thẳng OH là đường 
(C2)=Z2((C2))=(O2, r2) \ {B2, C2} ảnh của (C) qua phép đồng dạng Z2. 
Trong đó O2=Z2(O),  r2 

R
R , B2=Z2(B), C2=Z2(C) 
2OI  R

Nhận xét
Nếu không dùng phép biến hình, quỹ tích là một đường tròn hay cung 
tròn thì cần phải đưa về tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng 
không đổi. Việc này thường rất khó khăn. 
Với bài toán trên việc phát hiện ra phép đồng dạng  Z1,  Z2 và sử dụng 
tính chất phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn đã giúp cho lời 
giải của bài toán trở nên gọn gàng, dễ hiểu hơn. 
Ví dụ 4
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng l, l’ cắt nhau tại O và một
điểm M tùy ý. Trên l, l’ lần lượt lấy các điểm P. Q sao cho M là trung
điểm của đoạn PQ. Hạ PP’ l’, QQ”  l. Tìm tập hợp trung điểm của
đoạn P’Q’ khi M di động trên đường tròn (C)=(I, R) không qua O.
Lời giải 

P
I
Q'
l

M

O
I'

l'
P'

Q

 

 

25