LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG - LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

 

ĐẠI HỌ
ĐẠI
HỌC THÁI NGUYÊN
TR ƯỜ
ƯỜ NG ĐẠI HỌC SƯ  PH
 PHẠM
--------------  --------------

ĐÀO THỊ
THỊ THANH THUỶ
THUỶ 

LÝ THUYẾ
NEVANLINNA
VÀ
Ứ TNG
NG
DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI
TH
ÁI NGUYÊ N - 20
2007  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 

 

ĐẠI HỌ
ĐẠI
HỌC THÁI NGUYÊN
ƯỜ NG ĐẠI HỌC SƯ  PH
TR ƯỜ
 PHẠM
--------------   --------------

ĐÀO THỊ
THỊ THANH THUỶ
THUỶ 

LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ
NG DỤNG
Ứ NG
Chuyên ngành : GIẢ
GIẢI TÍCH
Mã số
số 
: 60.46.01

LUẬN VĂ
LUẬ
VĂN THẠ
THẠC SĨ

SĨ KHOA HỌ
HỌC TOÁN HỌ
H Ọ C 

Ngƣờ 
Ng
ƣờ i hƣớ 
hƣớ ng
ng dẫ
dẫn khoa họ
học : GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN
NGUYÊN - 2007  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

MỤC
ỤC L
 LỤC
ỤC  
trang
Mở  đầu .........
......................

........................
.........................
..........................
........................
.........................
.........................
........................
............11
Chương 1 . K iến 
iến thức
thức  cơ  sở   ............................................................................3 
1.1 . Trường định chuẩn không Acsimet ..........
.......................
.........................
.........................
.............3
3
1.2 . Trường số p - adic .........
......................
.........................
........................
.........................
.........................
...............4
...4
1.3. Hàm chỉnh hình trên trường không Acsimet ...................
...............................
................7
....7

Chương 2 . Lý thuyết
thuyết Nevanlinna
…………....……..
……...14
 Nevanlinna trên trƣờng
trƣờng p
 p - adic …………
.14
2.1 . Các hàm đặc  trưng Nevanlinna ...........
.......................
.........................
.........................
..............14
..14
2.2 . Các định lý cơ  bản
  bản về phân phối giá trị hàm phân hình .............
..............20
.20
2.3 . Tập xác định duy nhất các hàm phân hình ...................
..............................
...............25
....25

Chương 3 . Phƣơng
Phƣơng trình
 f ) = Q g
trƣờng p
 trình hàm P( f 
( g ) trong trƣờng
 p - adic.............30

adic.............30
Kết luận .........
Kết 
.....................
.......................
.........................
..........................
.........................
.........................
........................
....................54
........54
Tài liệu
liệu tham
 tham khảo ...........
.......................
........................
.........................
.........................
..........................
........................
............55
..55

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 

 

MỞ  ĐẦU
ĐẦU  
Luận  văn trình bày một  số  kết  quả  cơ   bản
 bản  của  Lý thuyết Nevanlinna và
ứng  dụng  của  nó đối  với  phương
 phương trình hàm P 
hàm  P (  f ) = Q(  g ) trong trường  p
padic .

 Nội dung luận văn gồm ba chương . 
Chương  1: Trình bày một  số  kiến  thức  cơ   bản  về  trường  định  chuẩn 
không Acsimet ,

trường số  p 
p  - adic , và một số tính chất  đặc  biệt
 biệt về hàm phân

hình trên trường không Acsimet áp dụng cho

chương sau .

Chương 2: Nêu định nghĩa , một số tính chất về các hàm đặc trưng 
 Nevanlinna , hai định lý cơ  bản
 bản của lý thuyết Nevanlinna và một số kết quả về 
 bài toán xác định tập duy nhất của hàm phân hình trên trường  p 
p - adic .

Chương 3: Trình bày một số kết quả về phươ 
 phươ ng
ng trình hàm P 
hàm P ( f  ) = Q( g  )
trong trường  p p - adic .

Kết quả của luận văn :
Cho P 
Cho
 P  ,
 , Q là các đa thức thuộc K 
 K [ x]
 x] với  P 'Q '  0 . Xét hai hàm phân biệt 
 f   ,  g

giải  tích hoặc  phân hình trong đĩa   x   a

mãn  P (  f ) = Q(  g   ) .

 r  (

tương  ứng  trong  K   ), thoả 

Sử  dụng  lý thuyết  phân  phối  giá trị  hàm phân hình
' 

' 

 Nevanlinna , đưa ra các điều kiện đủ về các không điểm của   P   ,Q  để  f 

f  và g 
 và g  bị
   
chặn trong đĩa   x   a  r  ( hoặc tương ứng  là hằng số ) .

Trường  hợp  đặc   biệt  khi deg P   = 4,
   (   K ) và
Q    P 

xét

trường  hợp  riêng

đưa ra một số điều kiện đặc trưng cho sự tồn tại của hai hàm

 phân  biệt khác hằng  ff , g  phân
  phân hình trong K 
trong K  thoả mãn  P ( f  )      P ( g ) .

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo
 bảo tận tình của 
GS . TSKH
TSKH Hà H
Huy
uy Khoái . T
Tôi
ôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính
ng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy 
nhất đến  Thầy , Thầy không chỉ hướ ng
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

còn thông

cảm  tạo  mọi  điều  kiện  động viên tôi trong suốt quá trình làm luận 

văn .
Tôi xin chân thành

cảm  ơn khoa Toán , khoa sau Đại học trường đại học 

sư  phạm Thái Nguyên , Viện toán học  Việt Nam đã giúp đỡ   và tạo  điều  kiện 
để tôi hoàn thành luận văn này .
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm  ơn ban giám hiệu  trường  CĐCN  Việt 
Đức , đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB , gia đình và bạn bè tôi đã 
hết sức quan tâm và giúp đỡ  tôi
 tôi trong thời gian học và hoàn thành luận văn .
Trong quá trình

viết  luận  văn  cũng  như  trong việc  xử  lý văn  bản  chắc 

chắn không tránh khỏi  những  hạn  chế  và thiếu sót . Rất  mong nhận  được  sự 
góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

T há
háii N g uyê
uyênn , thá
tháng
ng 8 năm 2007
Học viên
Học
 viên 
Đào  Thị
Đào
Thị Thanh
 Thanh Thuỷ
Thuỷ  

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Chƣơng 1
Chƣơng
 1 
Kiến  thức
Kiến

thức  cơ  sở  
1.1.Trƣờng
1.1.
Trƣờng  định
định  chuẩn
chuẩn không
 không Acsimet.
 K  là trường , chuẩn trên
 trên K 
 K  là
 là hàm
Định  nghĩa
Định
nghĩa   1.1.1. Giả sử K 
. : K   R
  R+  thoả mãn :
i)  x  = 0   x = 0, 
ii)
ii)  xy  =  x    y ,    x,
 x, y 
 y    K 
  K ,
iii
iii))   x   y       x  +  y ,   x,
 x, y

  K. 
 K. 

Chuẩn  . được gọi là chuẩn không Acsimet nếu thoả mãn điều kiện 

iv)
iv)  x   y     max {   x  ,  y } ,  x,
 x, y   K. 
 K. 

Một  chuẩn  .
nghĩa bởi
 bởi 

trên K

cảm  sinh một  hàm khoảng  cách d được  định 

d ( x,
 x y)
, y) =  x   y  ,   x,
 x, y

 Nếu chuẩn  .

 

 K .
  K 

là khôn
không
g Acsi
Acsim
met thì

thì mêtri
êtricc cảm sinh d thoả mãn:
d ( x,
 x y)
 ,y)   max {d ( x,
 x  z 
,z ) ,, d 
 d (  z 
z  , y)}
y)} ,  x
 x,, y   z
,z

 K.
  K.

 

mêtric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu mêtric.

V í dụ 1.1.2. 

Xét hàm
.

: K   R+ 
1   nÕu    x   0

 x     x  = 
 

0   nÕu    x   0.


Khi đó ,

.

là một chuẩn không Acsimet trên K 
trên K  và
 và mêtric cảm sinh
d :  K  K   R+ 
1   nÕu    x    y

( x,y)
 x,y)    d ( x,y)
 x,y)  = 
 
0   nÕu    x   y.


4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

là một siêu mêtric. Mêtric này được gọi là mêtric tầm thưòng .
Ta xét

một  số  đặc  trưng  của tôpô sinh  bởi  chuẩn không Acsimet thông

qua các hình cầu như sau:


 là :
Với  r  R+  ta định nghĩa hình cầu mở   ,, đóng tâm a , bán kính r  là
 K (a;r )  =   x   K d (  x,
x,a) < r     
 K   [a
[a;r ]  =   x

 

  K 

d (  x,
x,a)   r     

đề 1.1.3.
 sủ K  là trường  định chuẩn không Acsimet . Ta có : 
Mênh đề
 1.1.3. Giả  sủ
i )  Nếu
 Nếu b   K (a;r )  thì K (a;r )  = K (b;r ) 
ii )  Hình cầu K (a;r )  là tập mở  và
 và cũng  là

 là tập đóng .
iii )  Hai hình cầu mở  (hình cầu đóng )

hoặc rời nhau hoặc chứa nhau
 nhau..

Trƣờng  số p
Trƣờng
  p - adic1. 2.
Với p
 p   Z
 Z , 
,  p
p là số nguyên tố thì mọi số nguyên a    0 có thể biểu
 biểu diễn 
duy nhất dưới dạng:
’ 

’ 

’ 

a = p a  , với  p 
p  không chia hết  a  , a     Z 
 Z  \  0     . 
  

Kí hiệu :     =    p (a) . Vậy ta có hàm :
 

 p

: Z \  0         N  
a



Ta mở  rộng hàm    với x
 x =

    p (a). 
a

  Q 

như sau . Đặt :

b
 

  p (a )    p (b), nÕu   x   0
(
 x)
 
x
)
 =
 

 p

 ,  nÕu   x   0

Với mỗi số nguyên
 nguyên p
 p ,
 , xét
 

 x

 p

 : Q 





  R 
 R    +   

   x  p  =

1
 p 

x).
với     =    p (  x)

  ,

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Khi

đó , .

 p là

một  chuẩn không Acsimet trên Q và được gọi là chuẩn

 p - adic
adic.. 

Mệnh  đề
Mệnh 
đề   1.2.1(Ostrowski). 
).  Mọi  chuẩn  không tầm  thường   trên Q đều 
 trong hai chuẩn sau :
tương  đương  với một  trong
1) Chuẩn p - adic , với p là  số  nguyên
 nguyên tố ;

2) Giá trị tuyệt  đối thông thường . 

 Như vậy ta có hai hướng làm đầy trường các số hữu tỷ Q.
Q.  
+ Làm

đầy theo giá trị  tuyệt  đối thông thường ta thu được trường các số 

thực R
 R
+ Làm đầy theo chuẩn p
 p - adic ta thu được trường các số p
 p - adic
adic..

Cụ  thể là , chúng ta có thể xây dựng  Q  p   đầy  đủ hoá của  Q theo chuẩn 
.

 p 

như  sau .

Dãy  x n    được  gọi  là dãy Cauchy theo

.

 p 

nếu     0   ,    n0     N 
N  sao

  sao

cho  m ,  n > n0  thì  xm   xn  p    . Hai dãy Cauchy  xn    ,  y n  được  gọi  là

tương đương nếu   xn   y n  p  0 . Với   xn   là dãy Cauchy theo .

 p  

, ta kí hiệu 

 xn   là tập các dãy Cauchy tương đương với   xn   . Đặt Q  p  là tập tất cả các lớp 

tương đương theo chuẩn  .

 p

.

Trên Q  p trang bị các phép toán như sau.

Với   xn   ,  y n     Q  p  , ta định nghĩa:
 xn   +  y n   =  xn    y n   ;  xn   .  yn  =  xn  .  y n   .
Ta

thấy  định  nghĩa  trên không  phụ  thuộc vào  phần  tử  đại  diện  của  lớp 

tương đương . Khi đó , Q  p  l làà mộ
mộtt trường và là trường định chuẩn vớ
vớii chuẩn  .

 p

.

Định  nghĩa
Định
nghĩa 1.2.2.
 1.2.2.  Với     Q  p  và  xn     Q   sao cho  xn   =   thì ta xác
định :

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

   p  =

Chú ý

lim  x n  p .
n 

rằng  định  nghĩa  trên xác định  theo tính chất  sau của  chuẩn  p -

adic.

Mệnh  đề
Mệnh
đề 1.2.3.
 1.2.3. Q  p  là đầy đủ hoá của Q theo chuẩn  .
của Q và Q  p theo .

 p

 và

tập giá trị 

n
 p
, n    Z   0 . 
 là
trùng
nhau
,
đó
 là
tập
 
 p

Tương  tự  như  quá trình đầy  đủ  hoá Q  theo

.



, ta

nhận  được  một 

trường  Q  p   đầy  đủ  nhưng không đóng  đại  số .  Người ta đã  giải  quyết  vấn  đề 
này bằng một mở  rộng trường như sau
Xét mở  rộng chuẩn tắc Q  p     K 
  K  và nhóm Galois G( 
 K 
 / Q  p )  . Đặt:
 N  K  / Q p  : K 
 : K      Q   p  
   



 N  K  / Q p (   ) =

 

 ( ) ,
 G ( K   / Q P  )

với     là tự đẳng cấu trên
 trên K 
 K  giữ nguyên các phần tử của  Q  p   . Chú ý rằng nếu 
 N  K  / Q p (   ) =  n   ,    Q  p . 

 bậc của mở  rộng trường [ K 
 K   :: Q ] = n thì
 p

Mệnh  đề
Mệnh
đề 1.2.4.
 1.2.4.  Giả  sử 
 sử   K/ Q   là mở  rộng  chuẩn tắc bậc n . Khi đó tồn 
 p

tại duy nhất   một   chuẩn  khô
hông
ng Acsim
csimeet

.

trê
trên K

mở   rộng   chuẩn p - adic

trên và được xác định như  sau
 sau : 
 x  n  N  K  / Q  p ( x)

và trường  K
 K đầy đủ với chuẩn 

 p

, 

. . 

Đặt  Q p là trường  đóng  đại  số  của  Q  p  . Trên

Q p  ta trang  bị  một  chuẩn 

không Acsimet như sau :

Với mọi x
 x    Q p  , tồn tại một mở  rộng chuẩn tắc bậc
 bậc n sao cho x
cho x     K 
 K , khi
đó :
 x  n  N 

 .

  ( x)

 K  / Q p

 p

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

và chuẩn   x   không phụ thuộc vào sự tồn tại của K 
 K   ..
Ta có kết quả sau :

Mệnh  đề
Mệnh 
đề 1.2.5.
 1.2.5.  Hàm
không Acsimet duy

định  như   trên là chuẩn 

nhất   mở   rộng   chuẩn  p - adic trên Q  p . Tuy nhiên,

không đầy đủ theo chuẩn 
Ta

:  Q p      R+   xác

.

đầy đủ hoá

Q p  

. .

 sau.. 
Q p  theo mệnh đề sau

Mệnh   đề
Mệnh
đề 1.2.6.
 1.2.6.  Tồn  tại  một   trường   C  p   với  chuẩn  kkhhông Acsimet .
 sao cho:

mật   trong

i) Q p trù

chuẩn trên

Q p  ban

C  p và

chuẩn  không Acsimet

.

là

mở   rộng   của 

đầu;

ii) C  p  đầy đủ với chuẩn  .

và C  p là một  trường  đóng  đại  số 
 số .

chỉnh hình
trƣờng không
1.3 Hàm chỉnh
 hình trên trƣờng
 không Acsimet.
Ta kí

hiệu  K   là trường  đóng  đại  số  , đầy  đủ  với  chuẩn  không Acsimet

.  và có đặc số 0.
Các khái

niệm  về dãy , về  chuỗi  và sự  hội  tụ  của dãy, của  chuỗi  giống 

như trong trường  định  chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với  chuẩn không Acsimet
ta có một số tính chất đặc biệt
 biệt sau.

Bổ   đề
Bổ
đề 1.3.1

 sử    xn    là một  dãy
  dãy trong K . Dãy  xn   là dãy Cauchy
 1.3.1  Giả  sử 
nếu và chỉ  nếu 

lim  x  n  1   x n   = 0 .
n 

Chứng  mi
 mi nh
Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy.
Ta chứng minh điều kiện cần với mọi n , p  N  ta
 ta có :
 x n  p    x n  =  xn  p   xn  p 1   xn  p 1       xn  p  2  ...   xn 1  xn  

max    xn p   xn p 1 ,  xn p  1      xn p2 ,...,  xn1  xn  
   max
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Vì lim  x n  1   x n  = 0 nên suy ra
n 

điều phải
 phải chứng minh.

 

Từ các tính chất trên và theo định  nghĩa  sự  hội  tụ  của  chuỗi  số  , chuỗi 
luỹ thừa , ta có các tính chất sau:


 khi
Mệnh  đề
Mệnh
đề 1.3.2.
 1.3.2.  Chuỗi   an  , an    K hội tụ khi và chỉ  khi
n0

lim an = 0 .
n 

 Khi đó ta có:


a

n

  max
ma
  x an  
n

n 0



 z )  =  an z n , an     K hội  tụ  tại  z khi và chỉ   khi
Chuỗi  luỹ   thừa  f ( z 
n 0

lim a n z n =0 .
n 

1

Mệnh  đề
Mệnh
đề 1.3.3.
 1.3.3.  Đặt        =

lim sup

 , khi đó ta có :
có :
n

an

i) Nếu     = 0  thì f ( z 
 z )  chỉ  hội tụ tại z = 0 .
ii) Nếu      =



 thì f ( z 
 z ) hội tụ với mọi z   K.

iii) Nếu 0 <     <



 và an   n    0 thì f (  z 
z ) hội tụ khi và chỉ  khi
 khi  z      .

iv ) Nếu 0 <     <



và a n   n  

0 thì f (z)

hội tụ khi và chỉ  khi
 khi

 z      .

Khi đó ,     được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f
 f (  z 
z ) .



 z ) =  a n z n   , an    K thoả mãn với  cấu trúc
Tập các chuỗi  luỹ  thừa   f ( z 
n 0

cộng và nhân hai luỹ thừa là một vành , kí hiệu là  Ar  ( K )  .
Đặt   A(
 A( K 
 K ) =  A ( K )  - tập các hàm nguyên trên  K  ,
 , và
 Ar  ( K )  =

{ f ( z 
 z )  | bán kính hội tụ         r }.

Ta có :
 Ar  ( K )  =     A s ( K )   .
 s  r 

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 



Định   nghĩa
Định
nghĩa 1.3.4
 1.3.4. Với   f ( z 
 z )  =  an z n     

 A   ( K )   và

0  < r          , ta

n 0

định nghĩa số hạng lớn nhất  :

n
 (r  , f  )   = max a n r   
n0

 

n

và  (r  , f  )   = max
max   n | a n r       (r , f  )   là
số hạng lớn nhất   (r  , f  )  .

chỉ  số  ứng  với 

Với r  =
 = 0 , ta định nghĩa :
 (0 , f  )  = lim  (r  , f  )   ;

 (0 , f  )   =

r 0 

lim  (r  , f  )   .

r  0 

Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất , ta có kết quả sau.
Mệnh đề
Mệnh 
đề 1.3.5.
 1.3.5.  Với  r > 0 , hàm

 (r ,.)  :  Ar  ( K )      R+

thoả mãn
 mãn :
 :

i)  (r  , f  )     0  ;   (r  , f  )  = 0 khi và chỉ  khi
 khi f = 0 ; 
; 

r  ,   
  f  )  =    ( r  , f  )  , với     

ii)
ii)  (r  , fg )  =  (r  , f  )   (r  , g )  , do đó   (r 
iii
iii))   (r ,  f  
}; 
    g )      max {  (r    , f  )  ;   (r  , g ) }; 

 K ; 

 Khi đó ,  (r ,.)  là một  chuẩn không Acsimet trên  Ar  ( K )  và
iv)
iv)  Ar  ( K 
  ) đầy đủ với chuẩn   (r ,.) ; 
v) Vành đa thức K [ z 
 z ] trù mật  trong
 trong  Ar  ( K )  theo  (r ,.) .

Weii er st
strr ass).   Với  f
Định lí
Định
 lí 1.3.6  (  Định lí We

  Ar  ( K )  \

0   , r > 0  , tồn 

tại một  đa thức :
 g ( z 
 z )  = b0 + b1 z + . . . + b  z       K [  z 

z ] 

với     =

 (r  , f  )  

 

và một  chuỗi luỹ  thừa :


h [ z 
 z ]  = 1 +

 c  z 

n

n

  , cn

  K .

n 1

thoả  mãn : 
i)   ff (  z 
z )  = h
h(( z 

 z ) g ( z 
 z ), 
), 
ii)
ii)   (r  , g )  = b    r   ,
iii
iii)) h    Ar  ( K )  ,

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

iv)
iv)  (r , h  1)  < 1 và
và    (r ,  f  
 .  
    g )  <  (r  , f  )  .

Định   nghĩa
Định
nghĩa 1.3.7.
 1.3.7.  Với  U

tập  mở  ,  , hàm  f : U

  K   là

  K   được  gọi là

khả vi tại  z 
z 0   U  nếu tồn tại :
0
0
lim  f  ( z   h)   f  ( z  ) :  f  ' ( z 0 )  
h 0
h

Hàm f 
Hàm
 f  được gọi là khả vi trên U  nếu  f 
f   khả vi tại mọi  zz

  U   ..

Ta có mối liên hệ giữa hàm
 hàm f 
 f  và
 và đạo hàm   f  '  như sau:


Mệnh   đề
Mệnh
đề 1.3.8.
 1.3.8.  Giả  sử 

 sử   chuỗi  f ( z 
 z )=  a n z n  có bán kính hội  tụ        0  và
n0

 z   K.  Nếuf  ( z 
 z )  hội tụ thì  f  ' ( z 
 z ) tồn tại và
 và :
 :  
 f  ' ( z ) 

 na  z 

n 1

.

n

n 1

 Hơn nữa f và

'

 f    có cùng bán kính

 (r ,   f  ' ) 

1

r 

hội tụ     và thoả mãn :

 
  ( r ,  f   )

Mệnh đề
Mệnh 
đề 1.3.9.
 1.3.9.  Với dãy  z n     K *  :

  thì tích vô hạn 

 z n


 f ( z 
 z )  =

, 0  r      .

 z 

 (1   z  )  
n 1

 

n

là một  hàm
 hàm nguyên.

 Ngược  lại  ,  giả  sử   f là một   hàm nguyên khác đa  thức  thì f có thể   biểu 
diễn dạng  : :
m 

 f ( z 
 z )  = az 



n 1

với m > 0 , a  K , z n   0 ,

 z n

 z 

 (1   z  )  
 

n

   và f (  z 
z n) = 0. 

 không

Hệ  quả
Hệ
quả 1.3.10.
 1.3.10.   Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô  số  không

điểm ;
 Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng ;
Tồn tại ước chung lớn nhất  của một  họ hữu hạn các hàm nguyên. 
nguyên. 
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Hệ  quả
Hệ
quả 1.3.11.
 1.3.11. Giả  sử 
 sử  f
  f , g   A( K 
  ) \ 0 .  Nếu  f g là hàm hằng  thì
 thì f và g
là những  hàm
 hàm hằng .

Giảả sử 
Gi
 sử  f,
 f, g  A(d ( a, r )) \ 0 . Nếu  f g bị chặn thì f và g là những  hàm
 hàm bị chặn.
 D là tập vô hạn trong
 trong K 
 K   , R
, R(( D)
 D) là tập các hàm
Định nghĩa
Định 
nghĩa 1.3.12
 1.3.12. Giả sử D là
hữu tỉ h không có cực điểm trong
 trong D
 D .
 . Khi đó , với mọi h  R
 R(( D)
 D) đặt :
h  D  sup h  ( z )  
 z  D

Kí

hiệu  ,  H   ( D)là
 D)là đầy  đủ hoá của  R(
R( D)
 D) theo tô pô sinh  bởi  chuẩn  hội  tụ 

 trên D.
 D.  
đều trên

Mỗi phần
  phần tử của H  ( D)
 D)được gọi là một hàm giải tích trên D
trên D
Khi

đó , H 
 ,  H   ( D)là
 D)là một  K 
K   - không gian véc tơ  và
 và mỗi hàm giải tích trên D
trên  D  

là giới hạn đều của một dãy các hàm hữu tỉ    R
 R(( D)
 D). 

Mệnh  đề
Mệnh 
đề 1.3.13
 K  [0;r 
 [0;r ]])) =  Ar  ( K ) .
 1.3.13. Với r   R+ , ta có  H  ( K 
Chứng   minh 
Vì vành các đa thức K 
 K   [[ z 

 z ] trù mật trong  Ar  ( K )  nên ta suy ra :
 Ar  ( K 
  )   H ( K 
 K  [0;r 
 [0;r ] )

(*)

[0;r 
r ] , k   Z +  ta có:
 Ngược lại , với    a    K  \ K  [0;
(

1

)

k 

 (

1





 z 
( ) n ) k    .

a n 0 a

 z   a

1

= ( )
a



k 

 z 

b (a)
n

n

      Ar  ( K )  ,

với bn
bn    Z +.

n 0

Vì a > r   nên suy ra:
bn
a

Do đó:

n

r n  (

r 
 
a

)n  0 .

1 k 
 )     Ar  ( K )   hay
hay R
 R ( K 
 K  [0;r 
 [0;r ]]))   Ar  ( K ) .
(
 z   a

Mặt khác , vì

(**)

 nên ta suy ra:
 (r  , f  )  liên tục tại r  nên

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

sup  f    ( z )     (r  , f  )  ,với  0   r      .
 z   r 

Do đó ta có:
 f    K [ 0  , r ]    (r  , f  )  , f 
  f       Ar  ( K ) .

Vì
 K [ 0  ; r ]

  ) đầy  đủ  với  chuẩn   (r ,.)   nên  Ar  ( K   ) cũng  đầy
 Ar  ( K 

. Do

đó  từ (**) ta suy ra

đủ  với  chuẩn 

Kết  hợp  với (*) ta

 K   [0;r 
[0;r ] ) .
 Ar  ( K )      H   ( K 

được điều phải
 phải chứng minh.

 

Định  nghĩa
Định
nghĩa 1.3.14.
 1.3.14. Giả sử D 
 D    K  không
 không có điểm cô lập .
Hàm f 
Hàm
 f  : D   K   được gọi là giải tích địa phương
 phương nếu với mỗi a  D
 D,,
: f  ( z 
 z ) =
  r    R+ , a n     K sao cho : f 



a

n

( z   a)

n

,  z 
    D  K a; r    .

n 0

 trên tập mở  D thì nó
Mệnh đề
Mệnh 
đề 1.3.15.
 1.3.15.  Nếu hàm f  giải tích địa  phương  trên
có đạo hàm mọi cấp trên D .  Điểm z 0    D là nghiệm bội  q của f nếu và chỉ  

nếu :  f (n) ( z 
 z 0) = 0 ,

 n < q và f

(q)

 ( z 
 z 0)    0 .

Định  nghĩa
Định
nghĩa 1.3.16.
 1.3.16. Với tập D

 D   K  không
 không có điểm cô lập .
Hàm f
Hàm
 f :  D     K 
 K     được  gọi là hàm phân hình trên D
trên  D   nếu  tồn  tại  một 

tập  đếm  được  S

   D  , S không có

điểm  giới  hạn trong
 trong D
 D sao
 sao cho f
cho  f là hàm

chỉnh hình trên D
trên D \ S .
Kí hiệu M ( D)
 D) là tập các hàm phân hình trên D
trên D  . 
 D   K  không
 không có điểm cô lập .
Định  nghĩa
Định
nghĩa 1.3.17
 1.3.17. Với tập D
Hàm f 

Hàm
 f  : D      K 
 K 
     được  gọi là hàm phân hình địa  phương
 phương trên
 trên D
 D   nếu 

với    a 
 a    D ,
 D , r     R+ , q    Z + và an
an    K  sao
 sao cho: 


 f ( z 
 z ) =

a

n

( z   a) n ,   z    D   K [ a ; r ]  .

n  q

Vậy mỗi hàm phân hình là một hàm phân hình địa phương
 phương.
 K ) = M( K 
 K (0

(0 ;    )) . Ta có kết quả sau :
Đặt  M(   ( K 

13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Mệnh   đề
Mệnh
đề 1.3.18.
 1.3.18.  Giả  sử   f    M ( (  
   (K)
   (K) , khi đó  tồn  tại g , h    A(   
 sao cho  f    

 g 
h

  và :
 (r , g )
 (r ,  f  )   (  r  , h)  

,0  r       .

 Đặc biệt  : :
1
1
 .
 (r ,   ) 
 f  
 (r ,  f  )

Mệnh  đề
Mệnh
đề 1.3.19.
 1.3.19. Với 0 < r  <
 <   ,
 , hàm 
hàm 
i)   (r  , f  )  = 0 khi và

 K )  R+ 
 ( r , . ) : M(   ( K 

thoả mãn :

chỉ  khi
 khi f  =
 = 0 .

}.  
ii)
ii)   (r ,  f  1   f    2 )    max {  (r   ,  f  1 ) ,  (r   ,  f  2 ) }.
iii)  (r ,  f  1 .  f  2 )  =  (r ,  f  1 ) .  (r   ,  f  2 ) .

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Chƣơng 2
Chƣơng 2
LÝ THUYẾT
THUYẾT NEVANLINNA
 NEVANLINNA TRÊN TR ƢỜNG 
ƢỜNG 
P - ADIC
Trong

chương này , ta xét  K   là trường  đóng  đại  số  , đầy  đủ  với  chuẩn 
không Acsimet có đặc số 0.
2.1 Các hàm đặc
đặc  trƣng
trƣng Nevanlinna
 Nevanlinna .
Định nghĩa
Định 
nghĩa 2.1.1.
 2.1.1. Giả sử   f   



 A(   ( K   ) , 0       và  f   ((  z 
z ) =

 a  z 

n

n

 ,

nm

( m   0 , am 
+ n (r ,

  0 )

1

 )

 f    a

, a    K 
 K  . Ta định nghĩa :





:  z  K 
  [0  ; r ] :  f  ( z )  a  0   là hàm

đếm  số  không điểm 

(kể cả bội
   ) của f 
  f   -- a trong đĩa K 
 K [0;r 
[0;r ] .
+ n(r ,

1
 f    a

)   là hàm

đếm  số  không điểm  phân  biệt  của  f   - a  trong đĩa 

 K [0;r 
[0;r ].
].
+ Với  0    
  0      , hàm :

 N   (r ,

1
 f    a

r 

) :

1

n(t ,



   f    a
t 

  0

)
dt , (  0     r    )

[0;r 
r ] .
được gọi là hàm giá trị của f - a trên đĩa K [0;


 f   (( z 
 z ) =  a n z n       Ar  ( K )  ,  (r    , f  )  là chỉ số ứng với số 
Mệnh  đề

Mệnh
đề 2.1.2.
 2.1.2.  Với f 
n m

hạng  lớn nhất   (r  , f  )  , ta có :
n(r ,

1

)  =  (r  , f  ) .
 f  

Chứng  mi
 mi nh
Theo định lí 1.3.6 (định lí Weierstrass) tồn tại một đa thức 

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

 g (z) = b0 +
 + b
 b1z + . . . + b  z       K [  z 

z ] 

với     =

 (r  , f  )  

và một chuỗi luỹ thừa 


h [ z 
 z ]  = 1 +

 c  z 

  , cn    K .

n

n

n 1

thoả  mãn :
i) f 
  f  (  z 
z ) = h ( z 
 z ) g ( z 
 z ) ,
ii)
ii)  (r  , g )  = b    r   ,

iii
iii)) h    Ar  ( K )  ,
iv)
iv)  (r , h  1)  < 1 .

Để  chứng minh

n(r ,

1

)   =  (r 
   , f  ) , ta
 f  

chứng minh với       K 
K   :  g (   ) = 0

thì    r   và nếu tồn tại      K  : h(   ) = 0 thì     r   .
 K  : g 
 : g (   ) = 0 , khi đó tồn tại i   v
 v sao
 sao cho
Giả sử      K 
 

 

i

  ( 
bi     
  , g )  b      

Suy ra nếu     r  thì :
 i

bi  b            b  r  i ,

Tức là :
bi r i  b      r  i r  i  b  r     (mâu

Vậy 

   r  

thuẫn với ii) .
(1)

Mặt khác , giả sử tồn tại     K   : h(   ) = 0 . Khi đó , tồn tại n > 0 sao cho
n

c n     1 . Do

đó nếu      r  thì

cn 

1
 

  

n



1
r n

 .

Từ đó suy ra:

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

cn r n  

1 

r n  1 ,

n

r 

điều này mâu thuẫn với   (r , h  1)  < 1 . Vậy 0 - điểm của hàm h không thuộc 
đĩa  K [0;r].
[0;r].

(2)

Từ (1), (2) ta suy ra

n(r ,

1

 

)  =  (r    , f  )   .
 f  

Mệnh  đề
Mệnh
đề 2.1.3.
 2.1.3. Giả  sử 
 sử  f 
  f      Ar  ( K ) có k 0 - điểm ( kể 
kể  cả bội ) trong K [0;r 
[0;r ]  ,,
k  1 . Khi đó với b

   

  f ( K 
 K [0
[0;r 
;r ]]) 
) thì

f - b cũng  có
 có k 0 - điểm ( kể 
kể  cả bội )
 ) trong

 K [0;r 
[0;r ].

Chứng  mi
 mi nh


 z ) =  an z n  . Theo định lí 1.3.6 ta có :
Giả sử  f   (( z 
nm

k =  (r  , f  )  và a n r n   ak   r k  , n  k   ; an r n   ak   r k  , n  k   .

Với  b   f  ( K 
 K  [0
[0;r 
;r ])

]) , ta có :
a0  b   f  (  0)  b   
   (r ,  f  ( z )  b)  a k   r k  .

Do đó:  (r ,  f  
 =  (r  , f  ) .Theo định lí 1.3.6, thì  f   -- b có k   0 - điểm 
    b) = k  =
trong đĩa K 
 K  [0;
[0;r 
r ] .

 

Từ  mệnh  đề  2.1.3 , ta suy ra một  số tính chất  về  hàm giá trị  của  hàm
 phân hình như sau:
 và   b   K   ,,
Hệ   quả
Hệ
quả 2.1.4.
 2.1.4.  Giả  sử 
 sử   f f       A(   (  K ), (  0      )   không bị  chặn và
ta có:
 N (r ,

1
 f    b

)   N (r ,

1

)    O(1),
 f  

(r    ) .

Hệ quả
Hệ 
quả 2.1.5.
 sử  f f là hàm nguyên khác hằng  và
 và b   K , ta có:
có: 
 2.1.5. Giả  sử 
 N (r ,

1

)   N (r ,

 f    b

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

)    O(1),
 f  

(r    ) .

 




 

Ta xây dựng các hàm đặc trưng cho hàm phân hình
(K).. Khi đó , tồn tại   f 0,  f 1   Ar  ( K ) ,
Cố định r  , , 0 < r <       và
 và f 
 f     M 
M ( (   
   (K)

với f 
 f 0 , f 1 không có nhân tử chung trong vành  Ar  ( K )  sao cho f 
cho f   =
=

 f  0

. 

 f  1

Định  nghĩa
Định

nghĩa 2.1.6.
 2.1.6. Với a   K     , ta định nghĩa :
+ Hàm

đếm  số 0 - điểm ( kể  cả  bội
 bội) của  f f  - a trong đĩa  K 
K  [0;r 
 [0; r ] được xác

  bởi :
định bởi
1

n
r
,
f
n
r

 
(
)
(
,
) ,

 f 
1


0
n(r ,
)  = 
 f    a
n ( r , 1 ) , 
    f1  af 0

nÕu a  

 
nÕu a  

+ Hàm giá trị của f
 f - a trên
a trên đĩa K 
 K  [0;r 
 [0;r ] được xác định bởi
   :
1

 
(
)
(
,
) , nÕu a  
N
r
,
f

N
r


 f 
1

0
 
 N (r ,
)  = 
1
 f    a
N ( r ,
nÕu a  
) , 

   f1  af 0

 K ) , ta có :
Mệnh  đề
Mệnh
đề 2.1.7.
 2.1.7. Với  f    M 
 M ( (   
   ( K 
 N (r ,

1

)  -  N (r  , f  )  = log  ( r ,  f  )   log  (  0 ,  f  )  ,
 f  

với 0 <   0 < r       .
(Công thức Jensen)

Chứng  mi
 mi nh
Với  f    A
 A(   
K ) , ta kí hiệu:
   (  K
r 

 N (r ,  f  
   a)  =


0

n(t ,

1
 f    a

)  n(0,

1
 f    a

 

t 

)
dt   n(0,

1
 f    a

) log r  ,

với 0 < r   <
<    .

Khi đó ta có:
 N (r ,   f  
   a)  -  N (  0 ,  f     a )  =  N (r ,

18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
 f    a

)     0 .

 

 

Theo mệnh đề 2.1.2 , ta có:
r 

 N (r ,   f    0)  =



n(t ,

1

1
)  n(0, )
 f  
 f  
t 

0

r 

=



 

 (t ,  f  )   (0,  f  )
t 

0

 

dt   n(0,

1

) log r  
 f  

dt    (0,  f  ) log r  

= log  (r ,  f  
  )   log  f  * (0)   .
Suy ra :
 N (r ,

1

   0)  
 N (   0 ,  f  
)  =  N (r ,   f    0)  -  N  
 f  

= log  (r ,  f  )   log  (  0 ,  f  )  .

Giả sử   f   =

 f  1
 f  0

 K )  ,
  M 
 M ( (  
    ( K 

K ) ta kí hiệu :
với  f 1 , f 0    A
A(   
   (  K

N (r, f 0  0)   ,   nÕu  a  

 
 N (r ,   f  
   a)  = 
N (r, f   af  ) ,   nÕu  a  
1
0


Khi đó ta có :
 N (r ,   f    0)  -  N (r ,  f  
   )  =  N (r ,  f  1    0)  -  N (r ,  f  0    0)  
  *

 
f  1* (0) - log   (r ,  f  0 )  + log  f  
0 (0)  
= log  (r ,  f   1 )   log

= log

 (r ,  f  1 )
 ( r ,  f  0 )

 - log

 f  *1 (0)
*

 

 f  0 (0)

= log  (r ,  f  
  )   log  f  * (0)  
Từ đó suy ra :
 N (r ,

1

)  -  N (r  , f  )  = log  ( r ,  f  )   log  (  0 ,  f  )  ,
 f  

19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

với 0 <   0 < r        .

 

 




 

 K )  , với  r        ta định nghĩa :
Định  nghĩa
Định
nghĩa 2.1
 2.1 8. Giả sử  f    M 
 M ( (   
   ( K 
+ Hàm xấp xỉ của hàm
 hàm f 
 f  trên
 trên đĩa K 
 K  [0;r 
 [0;r ] được xác định bởi
 bởi :

m ( r , f  ) = log   (r  , f )  = max 0, log  
  (r , f  ) .

+ Hàm đặc trưng :
T ( r, f ) = m ( r, f ) + N (r, f ) .

C hú ý :
Ta có :

log    (r  , f  )  = log     (r  , f )  

log 

1
 (r ,  f )

 

1

= m ( r , f  ) - m(r ,  f  )  .
Do đó công thức Jensen có thể viết lại như sau:
T (r ,

1

)  T (r  ,  f  )  log  (  0 ,  f  ) .
 f  

Hay
T (r ,

1

)   T   (r ,  f  )  O(1)  .
 f  

Từ định nghĩa của các hàm đặc trưng , ta có một số tính chất  sau .
 K )  , i = 1 , . . . ,k 
,k   và r   > 0 ,ta có :
Mệnh  đề
Mệnh
đề 2.1.9
 2.1.9. Với  fi   M 
 M ( (  
    ( K 
k 

 N (r ,



 f  i ) 

i 1

k 

k 



   N (r , f  i )  ,

i 1

 N (r ,



 x m(r , f  )  ,
max
  f  )  ma
i

i 1
k 

T (r ,

i

1i  k 

k 

i

i

i 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i

k 

T (r ,

i

i

i 1

i 1

k 

k 

  f  )    T (r , f  ) .
i

i 1

20

   N (r , f  ) ;

  f  )    m(r , f  ) ;

k 

  f  )    T (r , f  )  ,
i 1

m(r ,

k 

i 1

i 1

k 

m(r ,

 f  i ) 

i

i 1

 




 

Mệnh  đề
Mệnh
đề 2.1.10.
 2.1.10. Giả  sử 
 sử  f f là hàm phân hình trên đĩa d (0,r 
(0,r ) sao cho
 f (0)   0 
 0 ,   . Khi

đó , f bị chặn trên đĩa d (0,r 
(0,r ) khi và chỉ  khi
 khi T (   ,
 , f ) bị chặn 

trên [0;r 
[0;r ) .

Mệnh   đề
Mệnh
đề 2.1.11.
 2.1.11.  Giả  sử   f là hàm phân hình trên đĩa  d (0, 
(0,  r )),,  P là đa 
thức bậc n trên K . Khi đó:
T (  , P ( f  ))    nT 
  (  ,  f  )  O(1)  

Hệ  quả
Hệ 
quả 2.1.12.

 sử  f
  f là hàm phân hình trên đĩa d (0, r 
(0, r )), P
,  P là đa  thức 
 2.1.12.  Giả  sử 
trên K . Khi đó , f bị chặn trên d (0,
(0, r ) khi và chỉ  khi
 khi P ( f ) bị chặn trên d (0,
(0, r ))..

Hệ   quả
Hệ
quả 2.1.13.
 2.1.13.  Giả  sử 
 sử  P
  P , Q là đa  thức trên K , f và g là các hàm phân
(0, r ) khi
Q(( g ) . Khi đó , f  bị chặn trên d (0, r 
thoả mãn P ( f  )  = Q
và chỉ  khi
 khi g bị chặn trên d (0,
(0, r ) .

hình trên d (0, r 
(0, r ) 

2.2 Các định
định lí
 lí cơ  bản
bản  về

về phân
 phân phối
phối giá
 giá trị
trị hàm
 hàm phân hình .
Định lí
Định
 lí 2.2.1 (  Định lí cơ  bản thứ  nhất 
 ).
 ) .
Giả  sử 
 sử  f f là hàm phân hình khác hằng  trên
 trên K (0,
(0,    ) . Khi đó , với mọi 
a  K ta có :
có :
m(r ,

1

1
)   N (r ,  
 )  T (r ,  f  )  O(1),     (r  ρ)  
 f    a
 f    a

Chứng  mi
 mi nh
Theo định nghĩa hàm đặc trưng và áp dụng công thức Jensen ta có:

m(r ,

1
 f    a

)   N 
  (r ,

1
 f    a

)  T (r ,

1
) 
 f  - a

= T (r ,  f      a)  O(1)  .

Mặt khác , vì :
T (r ,  f    a)  T 
  (  r ,  f  )  T (r ,a)  

21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 

 

= T (r ,  f  )  m(r  ,
  a)   N (r ,a)  
= T (r ,  f  )   log  a   ,

(vì
(vì N 
 N (r , --a
a) = 0 ).

Hay:
T (r ,   f  
   a)      T (r  , f  )  + O(1)  khi r       

Tương tự ta cũng có :
T (r  , f  )      T (r ,   f  
   a)  + O(1)  khi r       

Do đó :
T (r ,   f  
   a)  = T (r  , f  )  + O(1)  khi r       

Vậy:
m(r ,

1 )   N (r , 1 )  = T (r ,   f  
   a)  + O(1)  
 f    a

 f    a

= T (r  , f  )  + O(1)  khi r       .

 

Định lí 2.2.2 (  Định lí cơ  bản thứ  hai
Định lí
 hai ) .
Giả  sử 
 sử  f f là hàm phân hình khác hằng  trên
 trên K (0,
(0,    ) ; và a1 , . . . , a q là các
điểm phân biệt  thuộc K . Định nghĩa: 
   min
i   j

1 , a

i

 a j   ,

 A
 A =
 = max1, ai .
i

 Khi đó với  0 < r  <
 <     ta có :

có :
q

(q-1) T (r , f  )   N (r ,
 j 1

1
 f    a  j

)   N (r ,  f  )   N (r ,  f  ' )   N (r ,

q

  N (r ,  f  )   N (r , 
 j 1

với 

q

   log  (   ,  f    a

S  f   

0

 j 1

 j

1
 f    a  j

1
 f  '

)  log r   S  f    

)  log r   S  f    ,

 
A
)  log  (   0 ,  f  ' )  (q  1) log  .
 

22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 




 

Chứng  mi
 mi nh
Giả  sử  r ’  :
nhân tử chung .
Khi đó:

Do đó:

 f  1

’

  0   < r   <    ,  f    

 f  0

  với   f  1 ,  f  0    Ar  ( K )   và  f 1 ,  f 0 không có
 

'

 F 0 = f 
 = f 0 , Fi
 , Fi =
 = f 
 f 1 - ai 
ai  f 
f 0 , với i = 1 , 2, . . . , q .
Đặt F 
 f 1 = Fi
 Fi +
 + ai f 
  0 với  mọi  i = 1, q .
 f  1  ma
max
 x  F i ,  ai

1i q

f  0  

  A. ma
max
x  F 
  i , F 0  
1i  q

Suy ra:
 f  k    A. ma
max
x  F 
  i , F 0   ,
1i  q

với k  =
 = 0 ,1 .

Kí hiệu W  =
 = W ( f 0 ,  f 1 ) là định thức Wronskia của  f 
f 0 và  f 1 . Khi đó ta có:
Wi =
Wi
 = W ( F 
 F 0 ,  F 1 ) = W .
’

Vì f 

Vì
 f   là hàm phân hình khác hằng nên tồn tại  z 
z    K [0 ; r  ] \ K
\ K [0 ;   0 ] sao
cho:
W ( z 
 z ) ,, f 
 f 1( z 
 z ) ,, Fi
 Fi (
 ( z 
 z )

Chọn  j =

  0

,

i = 0 , 1, . . . , q . 
. 

1 , 2 , . . . , q   sao cho:
 F  j ( z )  min F i ( z ) .
1i  q

Ta có:
 f  0 (  z  ) 

 F i (  z  )   F  j (  z  )

 

ai  a j



1
 

 F i (  z  )  ,

với i    j 
 j  .

Không mất tính chất tổng quát, ta giả sử:
0  ma
max
x    f  0 ( z ) ,  F  j ( z )

  F 1 ( z )  . . .

. . .   F  j 1 ( z )   F  j 1 ( z )   . . .   F q ( z )  

 

Do đó , với k  =
 = 0 ; 1 ta có :
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên