câu hỏi trắc nghiệm phần bài tập chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM PHẦN BÀI TẬP
CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Nghiệm của phương trình
là những điểm nào ?

2sin x + 1 = 0

được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên
y
B
D

C

A′
E

O

A x
F

B′
A. Điểm
.

E

, điểm

D

.

B. Điểm

C

, điểm

F

. C. Điểm

D

, điểm

C

. D. Điểm

E

Lời giải
Chọn D

Ta có:

π


 x = − 6 + k 2π
⇔
( k ∈¢)
7π
1

x=
+ k 2π
⇔ sin x = −

6
2sin x + 1 = 0
2

Vậy chỉ có hai điểm

E

và

F

thỏa mãn.

Câu 2. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
y = cos x
A. Hàm số
là hàm số lẻ.
C. Hàm số

y = sin x

.

là hàm số lẻ.

B. Hàm số
D. Hàm số
Lời giải

Chọn A
Ta có các kết quả sau:
y = cos x
+ Hàm số
là hàm số chẵn.
y = cot x
+ Hàm số
là hàm số lẻ.
y = sin x
+ Hàm số
là hàm số lẻ.

y = cot x
y = tan x

là hàm số lẻ.
là hàm số lẻ.

, điểm

F


+ Hàm số

y = tan x

là hàm số lẻ.

Câu 3. Nghiệm của phương trình
x=

A.

kπ
, k ∈ ¢.
2

tan 3 x = tan x

B.

là

x = kπ , k ∈ ¢

.

C.

x = k 2π , k ∈ ¢.

x=

D.

kπ
, k ∈ ¢.
6

Lời giải
Chọn B
tan 3 x = tan x ⇔ 3 x = x + kπ ⇔ x =

Ta có

kπ
, k ∈ ¢.
2

Trình bày lại

ĐK:

π kπ

x
≠
+


cos3x ≠ 0
6 3
⇔⇔ 

cosx ≠ 0
 x ≠ π + kπ
( *)

2
tan 3 x = tan x ⇔ 3 x = x + kπ ⇔ x =

Ta có
x = kπ , k ∈ ¢

Câu 4. Cho hàm số

y = f ( x)

kπ
, k ∈ ¢.
2

Kết hợp điều kiện

( *)

có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y
2

2
O

x

−2

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

2
2

.
và giá trị nhỏ nhất bằng

−2

.

suy ra


C. Hàm số đạt cực đại tại

x=0

và cực tiểu tại

x=2

.

D. Hàm số có ba điểm cực trị.
Lời giải
Chọn C
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
−2 ≤ m ≤ 0.
m ≤ 0.
A.
B.

m

sin x − m = 1
để phương trình
có nghiệm?
m ≥ 1.
0 ≤ m ≤ 1.
C.
D.
Lời giải

Chọn A
sin x − m = 1 ⇔ sin x = m + 1.
Ta có
Khi đó YCBT

⇔ −1 ≤ m + 1 ≤ 1 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0.
sin

x
=1
2

Câu 6. Giải phương trình
.
x = π + k 4π , k ∈ ¢
x = k 2π , k ∈ ¢
A.
. B.
.
π
x = + k 2π , k ∈ ¢
2
.

C.

x = π + k 2π , k ∈ ¢

. D.

Lời giải
Chọn A
sin

Ta có

x

x π
= 1 ⇔ = + k 2π ⇔ x = π + k 4π , k ∈ ¢
2
2 2

Vậy nghiệm của phương trình là

.

x = π + k 4π , k ∈ ¢.

Câu 7. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A.

y = 1 − sin x

y = sin x
.

B.

.

π

y = cos  x + ÷
3

C.

.
Lời giải

Chọn B

D.

y = sin x + cos x

.


TXĐ:

D=¡

.

∀x ∈ D : x ∈ D ⇒ − x ∈ D ( 1)

Ta có
Từ

( 1)

f ( − x ) = sin ( − x ) = − sin ( x ) = sin ( x ) = f ( x )

và

( 2)

( 2)

.

y = sin x
suy ra hàm số

là hàm chẵn.

1
cos x = −  
2

Câu 8. Nghiệm của phương trình
là
2π
π
x=±
+ k 2π
x = ± + kπ
3
6
A.
.
B.
.

x=±

C.

π
+ k 2π
3

x=±

.

D.

π
+ k 2π
6

.

Lời giải
Chọn A
1
2π
2π
cos x = −   ⇔ cos x = cos
⇔x=±
+ k 2π , k ∈ ¢
2
3
3

.

Câu 9. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
x −1
y=
y = x +1
y = x2
x+2
A.
.
B.
.
C.
.

D.

y = sin x

.

Lời giải
Chọn D
Hàm số

y = sin x

tuần hoàn với chu kì

2π

.

Câu 10. Công thức tính số tổ hợp là:
n!
n!
Cnk =
Cnk =
( n−k)!
( n − k ) !k !
A.
.
B.
.

Ank =
C.

Lời giải
Chọn B

Câu 11. Nghiệm của phương trình

1
cos x = −  
2

là

n!

( n−k)!

Ank =
.

D.

n!
( n − k ) !k !

.


x=±

A.

2π
+ k 2π
3

x=±

.

B.

π
+ kπ
6

x=±

.

C.

π
+ k 2π
3

x=±

.

D.

π
+ k 2π
6

Lời giải
Chọn A
1
2π
2π
cos x = −   ⇔ cos x = cos
⇔x=±
+ k 2π , k ∈ ¢
2

3
3

.

Câu 12. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
x −1
y=
2
y = x +1
y=x
x+2
A.
.
B.
.
C.
.

y = sin x

D.

Lời giải
Chọn D
Hàm số

y = sin x

tuần hoàn với chu kì

2π

y=

Câu 13. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3
1
2
2
A. và .
B. và .

.
5cos 2 x + 1
2

C.

3

là
và

−2

.

D.

−3

1
và .

Lời giải
Chọn C

−1 ≤ cos 2 x ≤ 1 ⇔ −5 ≤ 5cos 2 x ≤ 5 ⇔ −4 ≤ 5cos 2 x + 1 ≤ 6

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
Câu 14. Tập xác định của hàm số
¡ \ { kπ | k ∈ ¢}
A.
.

C.

¡ \ { ( 2k + 1) π | k ∈ ¢}

3

f ( x ) = cot x

⇔ −2 ≤

5cos 2 x + 1
≤3
2

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là

−2

.

là
B.

.

D.
Lời giải

¡ \ { k 2π | k ∈ ¢}

.

π


¡ \ ( 2 k + 1) | k ∈ ¢ 
2



.

.

.

.


Chọn A

f ( x)

xác định khi và chỉ khi

sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ ( k ∈ ¢ )
y=

sin x − cos x
cos x

Câu 15. Điều kiện xác định của hàm số
π
x ≠ + kπ
x ≠ k 2π
2
A.
.
B.
.

.

là

x≠k

C.

π
2

.

D.

x ≠ kπ

.

Lời giải
Chọn A

Hàm số xác định

⇔ cos x ≠ 0

⇔x≠

π
+ kπ
2

.

Câu 16. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Phương trình
B. Phương trình
C. Phương trình

cos x = a

tan x = a
sin x = a

có nghiệm với mọi số thực
và phương trình

cot x = a

a

.

có nghiệm với mọi số thực

có nghiệm với mọi số thực

a

a

.

.

D. Cả ba đáp án trên đều sai.
Lời giải
Chọn B
Ta có hàm
sai.

y = cos x

và

y = sin x

nhận giá trị trên đoạn

Câu 17. Trong các hàm số sau hàm số nào tuần hoàn với chu kỳ

A.

y = sin 2 x.

B.

y = tan 2 x.

C.
Lời giải

Chọn A

π

[ −1;1]

nên A và C sai suy ra D cũng

?

y = cos x.

D.

x
y = cot .
2


sin  2 ( x + π )  = sin ( 2 x + 2π ) = sin 2x

; Giả sử có số

T

sao cho

0
và

sin  2 ( x + T )  = sin 2 x, ∀ x ∈ ¡ .

x=

Chọn

π
4

, ta được

Điều này trái giả thiết

 π
π

sin  2  + T ÷ = sin = 1 ⇔ cos 2 T = 1.
2

 4

0
π

tan  x + ÷ = 0
3


Câu 18. Phương trình
π

− + k 2π , k ∈ ¢
3
A.
.

B.

. Vậy

π

là chu kỳ của hàm số

có nghiệm là
π
− + kπ , k ∈ ¢
2

.

C.

y = sin 2 x.

π
+ kπ , k ∈ ¢
3

−

.

D.

π
+ kπ , k ∈ ¢
3

Lời giải
Chọn D

ĐK:

π

cos  x + ÷ ≠ 0 ⇔ x ≠ π + kπ
3

6

Ta có
Câu 19. Hàm số
A.

π
π

tan  x + ÷ = 0 ⇔ x + = kπ ⇔ x = − π + kπ , k ∈ ¢
3
3


3
y = cotx

T = kπ

.

tuần hoàn với chu kỳ:

.

B.

T = 2π

.

C.

T = k 2π

.

D.

T =π

.

Lời giải
Chọn D
Theo tính chất trong sgk

11

thì hàm số

y = cotx

tuần hoàn với chu kì

π

.

Câu 20. Trong các hàm số sau đây, hàm nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A.

y = cos x − sin 2 x

.

B.

y = tan x

.

C.

y = sin 3 x cos x

.

D.

y = sin x

.

.


Lời giải
Chọn A
y = cos x − sin 2 x

Trong 4 hàm số trên chỉ có hàm số
là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận trục
tung làm trục đối xứng.
Thật vậy:
∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡
D=¡
Tập xác định của hàm số là
nên
.
2
2
y ( − x ) = cos ( − x ) − sin ( − x ) = cos x − sin x = y ( x )

Và
y = cos x − sin 2 x
Nên hàm số
là hàm số chẵn.

Câu 21. Phương trình
0
A. .

( 0; π )

sin 2 x + 3cos x = 0

có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
1
2
B. .
C. .
Lời giải.

D.

3

.

Chọn B

sin 2 x + 3cos x = 0 ⇔ 2sin x.cos x + 3cos x = 0 ⇔ cos x. ( 2sin x + 3 ) = 0

π

cos x = 0 ⇔ x = 2 + kπ ( k ∈ ¢ )
⇔
sin x = − 3 ( loai vì sin x ∈ [ −1;1] )

2
x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =

Theo đề:

π
2

.

π

π
 5
cos 2  x + ÷+ 4 cos  − x ÷ =
3

6
 2

Câu 22. Cho phương trình
cho trở thành phương trình nào dưới đây?
A.

4t 2 − 8t + 3 = 0

.

B.

4t 2 − 8t − 3 = 0

.

. Khi đặt

C.
Lời giải

Chọn A

π

t = cos  − x ÷
6


4t 2 + 8t − 5 = 0

.

D.

, phương trình đã

4t 2 − 8t + 5 = 0

.


Phương trình tương đương với:

π

π
 5
− cos 2  − x ÷+ 4 cos  − x ÷− = 0
6

6
 2

π

π

⇔ −4 cos 2  − x ÷+ 8cos  − x ÷− 3 = 0
6

6

−4t + 8t − 3 = 0 ⇔ 4t − 8t + 3 = 0
2

thành

C.

phương trình trở

2

Câu 23. Nghiệm của phương trình

A.

, nên nếu đặt

π

t = cos  − x ÷
6


 x = k 2π

( k ∈¢)
 x = − π + kπ

2

.

π
2


cos  x + ÷ =
4 2


.

 x = kπ

( k ∈¢)
 x = − π + k 2π

2

là

B.

.

 x = kπ

( k ∈¢)
 x = − π + kπ

2

D.

.

 x = k 2π

( k ∈¢)
 x = − π + k 2π

2

.

Lời giải
Chọn D

Phương trình

 x = k 2π
π
2
π


π  
cos  x + ÷ =
⇔ cos  x + ÷ = cos  ÷⇒
( k ∈¢)
π
4 2
4



 4   x = − + k 2π

2

Câu 24. Tìm tập xác định

A.

C.

D

của hàm số

π

D = ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢ 
4

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
4


.

.

y = tan 2 x

:

B.

D.
Giải:

Chọn D

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
2


.

π
π

D = ¡ \  + k | k ∈¢
2
4


.

.

cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠

Hàm số xác định khi

π
π
π
+ kπ ⇔ x ≠ + k
2
4
2

π
π

D = ¡ \  + k | k ∈ ¢
2
4


Tập xác định của hàm số là:

( k ∈¢)
.

.

Câu 25. Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số

y = sin x y = cos x y = cot x
,
,
đều là hàm số chẵn.

B. Các hàm số

y = sin x y = cos x y = cot x
,
,
đều là hàm số lẻ.

C. Các hàm số
D. Các hàm số

y = sin x
y = sin x

,

y = cot x y = tan x
,
đều là hàm số chẵn

,

y = cot x y = tan x
,
đều là hàm số lẻ.

Giải:

Chọn D
Hàm số

y = cos x

Câu 26. Phương trình
A.

5

là hàm số chẵn, hàm số

cos 2 x + 4sin x + 5 = 0

.

B.

4

y = sin x y = cot x y = tan x
,
,
là các hàm số lẻ.

có bao nhiêu nghiệm trên khoảng

.

C.

2

( 0;10π )

.

D.

3

?

.

Lời giải
Chọn A

PT đã cho

Theo đề:
Vì

k ∈¢

sin x = −1
π
⇔

⇔ x = − + k 2π , ( k ∈ ¢ )
2
sin
x
=
3
VN
(
)

⇔ −2sin x + 4sin x + 6 = 0
2

π
1
21
x ∈ ( 0;10π ) ⇒ 0 < − 2 + k 2π < 10π ⇔ 4 < k < 4

nên

k ∈ { 1; 2;3; 4;5}

.

. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng

( 0;10π )

.

.


π π π π 
α ∈ ; ; ; 
6 4 3 2

Câu 27. Tìm góc

phương trình

α=
A.

π
6

để phương trình

cos ( 2 x − α ) = cos x

α=
.

B.

cos 2 x + 3 sin 2 x − 2 cos x = 0

.

π
4

α=
.

C.

π
2

α=
.

D.

Lời giải
Chọn D

α k 2π

x= +
 2 x − α = x + k 2π

cos ( 2 x − α ) = cos x ⇔ 
⇔
3
3

 2 x − α = − x + k 2π

 x = α + k 2π

cos 2 x + 3 sin 2 x − 2 cos x = 0

⇔

1
3
cos 2 x +
sin 2 x = cos x
2
2

π

 x = 3 + k 2π
⇔
π

 x = π + k 2π
⇔ cos  2 x − ÷ = cos x

3
9
3


Để hai phương trình tương đương cần có

Câu 28. Tìm tập xác định

A.

C.

D

y=

của hàm số

D = ¡ \ { kπ | k ∈ Z}

. B.

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ Z
4


α π
 3 = 9
π
⇒α =

3
α = π

3

1
sin x − cos x

.

.

π

D = ¡ \  + k π | k ∈ Z
2


.

tương đương với

D.

.

D = ¡ \ { k 2π | k ∈ Z}
.

π
3

.

Lời giải
Chọn C
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi

π
π

sin x − cos x ≠ 0 ⇔ sin  x − ÷ ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , ( k ∈ Z)
4
4


.

y = 3 sin x − cos x − 2

Câu 29. Tìm tập giá trị của hàm số
.
 −2; 3 
 − 3 − 3; 3 − 1
[ −4;0]




A.
.
B.
. C.

.

D.

[ −2;0]

Lời giải
Chọn C

Xét

π
π
π


= 2  sin x.cos − cos x.sin ÷− 2 = 2sin  x − ÷− 2
y = 3 sin x − cos x − 2
6
6
6



Ta có

π
π



−1 ≤ sin  x − ÷ ≤ 1 ⇒ −4 ≤ 2sin  x − ÷− 2 ≤ 0
⇒ −4 ≤ y ≤ 0
6
6



Vậy tập giá trị của hàm số là
Câu 30. Trong bốn hàm số:

[ −4;0]

với mọi

x∈¡

.

(1) y = cos 2 x (2) y = sin x (3) y = tan 2 x (4) y = cot 4 x
π

,

;

số tuần hoàn với chu kỳ ?
0
1
A. .
B. .

;

C.

2

.

có mấy hàm

3
D. .

Lời giải
Chọn A
Do hàm số

π

y = cos x

tuần hoàn với chu kỳ

2π

nên hàm số

.

Hàm số

(2) y = sin x

tuần hoàn với chu kỳ

2π

.

(1) y = cos 2 x

tuần hoàn chu kỳ


Do hàm số
Do hàm số
π
4
.

y = tan x
y = cot x

Câu 31. Giải phương trình
2π
x=
+ kπ
3
A.

.

tuần hoàn với chu kỳ
tuần hoàn với chu kỳ

2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3
x=

B.

π
+ kπ
3

π
π

nên hàm số
nên hàm số

(3) y = tan 2 x

tuần hoàn chu kỳ

(4) y = cot 4 x

tuần hoàn chu kỳ

.
x=

.

C.

4π
+ kπ
3

x=

.

D.

5π
+ kπ
3

Lời giải
Chọn B
Xét
Xét

cos x = 0 :
cos x ≠ 0

Phương trình tương đương

, chia cả hai vế cho

cos 2 x

2 = 3 ( ktm )

ta có:

2 tan 2 x + 2 3 tan x = 3 ( tan 2 x + 1) ⇔ tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0

⇔ tan x = 3 ⇔

x=

π
+ kπ , k ∈ Z.
3
sin x =

1
2

S
Câu 32. Tính tổng của các nghiệm của phương trình
trên đoạn
5π
π
π
S=
S=
S=

6
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn D

π
2

 π π
 − 2 ; 2 

.
S=

D.

π
6

.

.

.


Ta có:

Vì

π

x = + 2kπ

1
6
sin x = ⇔ 
2
 x = 5π + 2kπ

6

 π π
x ∈ − ; 
 2 2

x=

nên

( k ∈¢)

π

π
⇒S=
6
6

.

.

sin 3x − 4sin x cos 2 x = 0.
Câu 33. Giải phương trình
k 2π
kπ


x = 3
x = 2


 x = ± 2π + kπ
 x = ± π + kπ


3
4
A.
B.

C.

 x = k 2π

 x = ± π + kπ
3


D.

 x = kπ

 x = ± π + kπ
6


Lời giải
Chọn D
x∈¡
ĐK:
(*)
⇔ sin x ( 3 − 4sin 2 x ) − 4sin x cos 2 x = 0
Phương trình
1 − cos 2 x


⇔ sin x  3 − 4.
− 4 cos 2 x ÷ = 0 ⇔ sin x ( 1 − 2 cos 2 x ) = 0
2


sin x = 0

 x = kπ
 x = kπ


⇔
⇔
⇔
cos 2 x = 1 = cos π
2 x = ± π + k 2π
 x = ± π + kπ
2
3
3
6




Câu 34. Phương trình

A.

7π
2

.

π
3π 



sin  2 x − ÷ = sin  x +
÷
4
4 



B.

π

thỏa mãn (*).

có tổng các nghiệm thuộc khoảng

.

C.
Lời giải

Chọn B

( k ∈¢)

3π
2

.

D.

( 0; π )
π
4

.

bằng


Ta có

π
3π

 2 x − 4 = x + 4 + k 2π
 x = π + k 2π
⇔
⇔
( k, l ∈ ¢ )
π
3π 
π π



 x = π + l 2π
sin  2 x − ÷ = sin  x +
÷  2 x − = − x + l 2π

4
4 
6
3


4 4



Họ nghiệm
x=

x = π + k 2π

không có nghiệm nào thuộc khoảng

π
2π
π
2π
+l
∈ ( 0; π ) ⇒ 0 < + l
< π ⇔ l ∈ { 0; 1}
6
3
6
3

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng

tổng các nghiệm thuộc khoảng
y = 3sin

Câu 35. Chu kỳ của hàm số
A.

0

.

B.

x
2

( 0; π )

( 0; π )

.

.

( 0; π )

x=

là

π

6

của phương trình này bằng

x=

và

π

5π
6

. Từ đó suy ra

.

là số nào sau đây?

2π

.

C.

4π

.

D.

π

.

Lời giải
Chọn C
T=

Chu kì của hàm số

Câu 36. Tập
A.

 kπ

D=¡ \
k ∈ ¢
 2


y = cot x

.

2π
= 4π
1
2

.

là tập xác định của hàm số nào sau đây?
B.

y = cot 2 x

.

C.
Lời giải

Chọn B

.

y = tan x

.

D.

y = tan 2 x


Hàm số

Câu 37. Khi

A.

x

y = cot 2 x

xác định khi

thay đổi trong khoảng


2
÷
 −1; −
2 ÷


.

B.

2x ≠ kπ

 5π 7π 
 ;
÷
 4 4 

thì

⇔x≠

kπ
2

y = sin x


2 
; 0
−
 2 

C.

.

lấy mọi giá trị thuộc

[ −1;1]

.

 2 
;1

 2 

D.

.

Lời giải
Chọn A

 Trong nửa khoảng

Hàm số

y = sin x

 5π 3π 
 ; 
 4 2 

:
sin

giảm nên

3π
5π
2
≤ sin x < sin
⇒ −1 ≤ sin x < −
2
4
2

.

 3π 7π 
 2 ; 4 ÷
 Trong nửa khoảng
:

Hàm số

 Vậy khi
.

y = sin x

x

sin

tăng nên

3π
7π
2
≤ sin x < sin
⇒ −1 ≤ sin x < −
2
4
2

thay đổi trong khoảng

 5π 7π 

 ;
÷
 4 4 

thì

y = sin x

Câu 38. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình
đường tròn lượng giác.
3
1
2
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn C

.

lấy mọi giá trị thuộc


2
÷
 −1; −
2 ÷


sin 2 2 x − cos 2 x + 1 = 0

D.

4

.

trên


cos 2 x = 1
⇔
⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )
2
2
cos
2
x
=
−
2
VN
(
)

sin 2 x − cos 2 x + 1 = 0 ⇔ cos 2 x + cos 2 x − 2 = 0

.

Vậy có hai điểm phân biệt biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
cos x − 3 sin x
=0
2 sin x − 1

Câu 39. Giải phương trình
5π
x=−
+ k 2π , k ∈ ¢.
6
A.
x=

C.

.
x=−

B.

π
+ k 2π , k ∈ ¢.
6

x=

D.

5π
+ kπ , k ∈ ¢.

6

π
+ kπ , k ∈ ¢.
6

Lời giải
Chọn A

Điều kiện

π

x ≠ + k 2π

1

6
sin x ≠ ⇔ 
, k ∈ ¢.
2
 x ≠ 5π + k 2π

6

Với điều kiện trên ta có
1
3
cos x −
sin x = 0

2
2
π
π π
π

⇔ cos  x + ÷ = 0 ⇔ x + = + lπ ⇔ x = + lπ , l ∈ ¢.
3
3 2
6


cos x − 3 sin x = 0 ⇔

x=−

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là
Câu 40. Phương trình

A.

2 cos x + 2 = 0

π

 x = 4 + k 2π
, ( k ∈¢)

 x = 3π + k 2π


4

.

5π
+ k 2π , k ∈ ¢.
6

có tất cả các nghiệm là

B.

7π

 x = 4 + k 2π
, ( k ∈¢)

 x = − 7π + k 2π

4

.


C.

3π

 x = 4 + k 2π
, ( k ∈¢)


 x = − 3π + k 2π

4

.

D.

π

 x = 4 + k 2π
, ( k ∈¢)

 x = − π + k 2π

4

.

Lời giải
Chọn C

Ta có

3π

x=
+ k 2π


2
 3π 
4
2 cos x + 2 = 0 ⇔ cos x = −
= cos  ÷ ⇔ 
, ( k ∈¢)
2
 4 
 x = − 3π + k 2π

4

Câu 41. Tính tổng

( 0; 2π )
S=

A.

S

các nghiệm của phương trình

.

( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0

trong khoảng

.

11π
6

.

B.

S = 4π

.

C.

S = 5π

S=

.

D.

7π
6

Lời giải
Chọn B

Ta có:

( 2 cos 2 x + 5 ) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0 ⇔ ( 2 cos 2 x + 5 ) ( sin 2 x − cos 2 x ) + 3 = 0

⇔ − ( 2 cos 2 x + 5 ) cos 2 x + 3 = 0 ⇔ −2 cos 2 (2 x) − 5cos 2 x + 3 = 0 ⇔ cos 2 x =

cos 2 x =

1
π
 π 5π 7π 11π 
⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇒ x ∈  ; ;
;

2
6
6 6 6 6 

S=

Do đó:

π 5π 7π 11π
+
+
+
= 4π .
6 6
6
6

.

1
2

.

.


cos 2 x + 3sin x − 2
=0
cos x

Câu 42. Nghiệm của phương trình

A.

C.

π

 x = 2 + k 2π

 x = π + kπ

6

5
 x = π + kπ
( k ∈¢)


6

là:

.

π

x
=
+ k 2π

2

 x = π + k 2π

6

 x = 5π + k 2π
( k ∈¢)
6


B.

.

D.

π


x
=
+ kπ

6

 x = 5π + kπ
( k ∈¢)

6

.

π

 x = 6 + k 2π

 x = 5π + k 2π
( k ∈¢)

6

.

Lời giải
Chọn D
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

Điều kiện xác định:

π
+ lπ
2

với

l ∈¢

.

Khi đó phương trình trở thành

sin x = 1 (1)
⇔
sin x = 1 (2)
2
cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ −2sin x + 3sin x − 1 = 0

2

Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình
với

k ∈¢

(1)

. Giải phương trình

(2)

được

π

 x = 6 + k 2π

 x = 5π + k 2π

6

.

Câu 43. Tập giá trị của hàm số

y = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1

là đoạn

[ a; b ] .

Tính tổng

T = a + b.


A.

T = 1.

B.

T = 2.

C.

T = 0.

T = −1.

D.

Lời giải
Chọn B
y = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 ⇔ sin 2 x + 3 cos 2 x = y − 1

12 +
Để phương trình trên có nghiệm thì
Suy ra

y ∈ [ −1;3]

Câu 44. Gọi

K

. Vậy

( 3)

2

≥ ( y − 1) ⇔ y 2 − 2 y − 3 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ y ≤ 3
2

.

T = −1 + 3 = 2.

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

π

sin 2 x + 2 sin  x + ÷− 2 = m
4


m

để phương trình

có đúng hai nghiệm thuộc khoảng

 3π 
 0; ÷
 4 

. Hỏi

K

là tập con

của tập hợp nào dưới đây?

A.


2 2
;
 −

 2 2 

.

B.

( 1−

2; 2

)

.

C.



2
 − 2;
÷
2 ÷



Lời giải
Chọn C

Xét hàm số

Ta có

π

f ( x ) = sin 2 x + 2 sin  x + ÷− 2
4


π

f ′ ( x ) = 2 cos 2 x + 2 cos  x + ÷
4


, vậy

 3π 
x ∈  0; ÷

 4 
với
.

.

D.



2
; 2
 −
 2


.


π

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 cos 2 x + 2 cos  x + ÷ = 0
4


⇔ 2 ( cos 2 x − sin 2 x ) + cos x − sin x = 0
cos x − sin x = 0
⇔
 2 ( cos x + sin x ) + 1 = 0


π  3π 
 x = 4 ∈  0; 4 ÷


⇔

π

 2 2 sin  x + ÷+ 1 = 0
4



 3π 
 0; ÷
 4 

Vì trong khoảng
Lập bảng biến thiên

thì

π

sin  x + ÷ ≥ 0
4


( *)

nên phương trình

( *)

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trên khoảng

vô nghiệm trên

 3π 
 0; ÷
 4 

 3π 
 0; ÷
 4 

.

thì


2
m ∈ −1; 2 − 1 ⊂  − 2;
÷
2 ÷


.

(

)

Câu 45. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
mực

nước

trong

kênh

 πt π 
h = 3cos  + ÷+ 12
 6 3

tính

theo

thời

gian

t ( h)

được

.

Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

cho

bởi

h ( m)

công

của

thức


A.

t = 22 ( h )

.

B.

t = 15 ( h )

.

C.

t = 14 ( h )

.

D.

t = 10 ( h )

.

Lời giải
Chọn D

Ta có:

π
π
−1 ≤ cos  t + ÷ ≤ 1
3
6
⇔ 9 ≤ h ≤ 15

được khi

Vì

k

⇔k>

2

1
6
k>

nguyên dương nhỏ nhất thoả

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
A.

15m

π
π
cos  t + ÷ = 1 ⇔ π t + π = k 2π
3
6
⇔ t = −2 + 12k
6
3

t > 0 ⇔ −2 + 12k > 0

Chọn số

. Do đó mực nước cao nhất của kênh là

m

là

k = 1 ⇒ t = 10

để phương trình

3
B. .

.

1
6

.

sin x + 2 + 3 m − sin x = 2

1
C. .
Lời giải

D.

0

có nghiệm.

.

Chọn A

sin x + 2 + 3 m − sin x = 2

Ta có

Đặt

u = sin x + 2

v = 3 m − sin x

Ta lại có

(

.

1≤ u ≤ 3

)
. Khi đó

u +v = 2 ⇒ v = 2−u

u 2 = sin x + 2
 3
v = m − sin x ⇒ u 2 + v 3 = m + 2

.

u 2 + ( u − 2 ) = m + 2 ( 1) ⇔ m = u 3 − 5u 2 + 12u − 10 = f ( u )

3

(*) trở thành

Trên

¡

, ta có

(*).

f ¢( u ) = −3u 2 + 14u − 12

f ′( u) = 0 ⇔ u =

,

,

(1≤ u ≤ 3)

7 − 13 
∈ 1; 3 
3

.

đạt

Để phương trình đã cho có nghiệm thì
 7 − 13 
f 
÷
÷≤ m ≤ f
3



Vậy có

2

( 3 ) ⇒ m ∈ { 0;1}

giá trị nguyên của

nghiệm thực thuộc khoảng

3

.

B.

m

m

Câu 47. Số giá trị nguyên của tham số

A.

( 1)

) Vì

m

1≤ u ≤ 3

hay

nguyên ).

thỏa đề bài.

để phương trình

 3π 
 0; ÷
 4 
2

có nghiệm

π

sin 2 x + 2 sin  x + ÷− 2 = m

4


có đúng một

?

.

C.
Lời giải

0

1
D. .

.

Chọn B

Ta có

π
π
 3π 


x ∈  0; ÷ ⇒ π < x + π < π ⇒ 0 < sin  x + ÷ ≤ 1 ⇒ 0 < 2 sin  x + ÷ ≤ 2
4

4
 4 


4
4

Mặt khác

Đặt

π

2 sin  x + ÷ = sin x + cos x
4


sin x + cos x = t

với

.

.

(

t ∈ 0; 2  ⇒ sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x.cos x = t 2 ⇒ sin 2 x = t 2 − 1

Phương trình đã cho trở thành

t 2 − 1 + t − 2 = m ⇔ t 2 + t − 3 = m ( *)

.

.


Xét

f ( t) = t2 + t − 3

Ta có

f ′ ( t ) = 2t + 1

với

(

t ∈ 0; 2 

.

f ′( t ) = 0 ⇔ t = −

. Do đó

1
2

(loại).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình

( *)

phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực
Với
Với

Vậy

t= 2

thay vào phương trình

0 < t ≤1

( *)

:

t
có nhiều nhất một nghiệm . Do đó để

x

thuộc khoảng

2 + 2 − 3 = m ⇔ m = 2 − 1∉ ¢

thì

t = 2

0 < t ≤ 1

.

.

ta có bảng biến thiên

−3 < m ≤ −1 ⇒

có

2

giá trị nguyên của

Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
10
8
A. .
B. .

m

m

là

−2

và

−1

y = x+5+

để hàm số

9
C. .
Lời giải

Chọn B

 3π 
 0; ÷
 4 

.

1− m
x−2

đồng biến trên
11
D. .

[ 5; + ∞ )

?


y′ = 1 +

D = ¡ \ { 2}

m −1

( x − 2)

2

=

x2 − 4 x + m + 3

( x − 2)

2

Tập xác định:
. Đạo hàm:

.
2
f ( x ) = x − 4x + 3
[ 5; + ∞ )
Xét hàm số
trên
.
f ′ ( x ) = 2x − 4
f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = −1
f ( 5) = 8
Đạo hàm:
. Xét
. Ta có:
.
Bảng biến thiên:

Do

( x − 2)

2

>0

với mọi

x ∈ [ 5; + ∞ )

nên

f ( x ) ≥ −m
y′ ≥ 0 ∀x ∈ [ 5; + ∞ )
,
khi và chỉ khi
,

∀x ∈ [ 5; + ∞ )

− m ≤ 8 ⇔ m ≥ −8
. Dựa vào bảng biến thiên ta có:
.
m ∈ { −8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1}
m
Mà
nguyên âm nên ta có:
.
1− m
y = x+5+
[ 5; + ∞ )
8
m
x−2
Vậy có giá trị nguyên âm của
để hàm số
đồng biến trên
.
Câu 49. Cho hàm số
thuộc đoạn
20
A.

.

y = x3 − 3x 2

[ −10;10]

có đồ thị

( C)

sao cho qua điểm
15
B. .

và điểm
M

M ( m ; − 4)

. Hỏi có bao nhiêu số nguyên

m

( C)

có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến
.
17
12
C.

.
D. .
Lời giải

Chọn C
Tập xác định:

D=¡

. Đạo hàm:

y′ = 3x 2 − 6 x

.

( C)
x=a
a∈¡
Ta nhận thấy các đường thẳng
với
không phải là tiếp tuyến của
và một
đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt.