Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------  ------

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
Chuyên ngành:
Mã số:

Phương trình vi phân và tích phân
9.46.01.03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Tập thể hướng dẫn khoa học:

PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
TS. Trần Thị Loan

Phản biện 1:

PGS.TS. Khuất Văn Ninh
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phản biện 2:

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Phản biện 3:

PGS.TS. Lê Văn Hiện
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
vào hồi
giờ
ngày
tháng
năm

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội,
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


MỞ ĐẦU

1

Lý do chọn đề tài

Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình
phản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, . . . đều có thể
được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiện

biên phù hợp. Bằng cách chọn không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phương
trình đạo hàm riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong một
không gian Banach. Việc xem xét các phương trình tiến hóa trong các không gian trừu tượng
cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của
nghiệm.
Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều là khảo sát
dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là một việc làm rất quan trọng
vì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian.
Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong
tương lai.
Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias C., Sell G.R.
& Temam R. (1985) giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính năm 1985 khi nghiên cứu phương
trình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp quán tính là một đa tạp trơn (ít nhất là
Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, và hút tốc độ mũ tất cả các nghiệm của phương
trình tiến hóa dưới những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rút
gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian vô
hạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh trên không gian hữu
hạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
của hệ động lực vô hạn chiều.
Nguyen T.H. (2012) đã xây dựng một điều kiện đủ về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối
với phương trình tiến hóa

 du + Au = f (t, u),
t > s,
dt
(1)

u(s) = us .
trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một không
gian Hilbert tách được vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A là toán tử sinh của một nửa

nhóm, và f là số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz là ϕ(t) (được gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕ
thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.
Những phân tích trên đây là lý do để tác giả chọn đề tài luận án là “Đa tạp quán tính đối
với một số lớp phương trình tiến hóa”.

1


2
2.1

Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Lịch sử nghiên cứu

1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính. Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính đối với các
phương trình tiến hóa được giới thiệu lần đầu tiên năm 1985 bởi Foias C., Sell G.R. & Temam
R. (1985). Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã được
nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả. Chow S.N. & Lu K. (1988) đã xét các phương
trình tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và thuộc lớp
C 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh là đều trên các tập con
bị chặn của không gian trạng thái. Mallet-Paret J. & Sell G.R. (1988) đã giới thiệu nguyên
lý trung bình không gian để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương
trình phản ứng-khuếch tán trong không gian nhiều chiều, là khi điều kiện kẽ hở phổ không
được thỏa mãn. Cũng vậy, Constantin P. et al. (1988, 1989) thực hiện một chứng minh hình
học cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng khái niệm chặn phổ (spectral
barrier), mà khái niệm mới này là một nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ hở phổ. Demengel
E. & Ghidaglia J.M (1991) thiết lập một chứng minh đầu tiên cho trường hợp toán tử tuyến
tính là tự liên hợp và số hạng phi tuyến không bị chặn. Debussche A. & Temam R. (1993)
thiết lập một chứng minh khác khi số hạng phi tuyến không nhất thiết bị chặn, nhưng trong
một không gian Banach tổng quát, và được giả sử là thuộc lớp C 1 . Các chứng minh về sự tồn

tại của đa tạp quán tính đối với trường hợp không tự liên hợp có thể được trích dẫn trong
Debussche A. & Temam R. (1991) hay Sell G.R. & You Y. (1992). Một nghiên cứu đẹp đẽ
về sự tồn tại đa tạp quán tính qua tính chất nón là thuộc về Robinson J.C. (1993). Mora X.
(1993). đã nghiên cứu đa tạp quán tính đối với các phương trình truyền sóng nửa tuyến tính
tắt dần. Khái niệm đa tạp quán tính cũng được mở rộng và chứng minh tồn tại cho nhiều lớp
phương trình tiến hóa trong ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên Bensoussan A.
& Landoli F. (1995) sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm
Koksch N. & Siegmund S. (2011), hay các phương trình đạo hàm riêng có trễ (1998, 2001).
Trong tất cả các công trình kể trên, số hạng phi tuyến được giả thiết là liên tục Lipschitz.
Tuy nhiên, như đã nói, rất nhiều quá trình tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống phức tạp, điều
này có thể không đúng. Trong hướng nghiên cứu về sự tồn tại đa tạp, đa tạp quán tính đối
với các phương trình tiến hóa trong không gian hàm chấp nhận được là một hướng nghiên cứu
nhằm mở rộng các điều kiện áp đặt lên số hạng phi tuyến. Năm 2012, sau công trình về tính
chấp nhận được của không gian hàm (xem Nguyen T.H. (2006)) (xem thêm tổng quan trong
Nguyen T.H. (2016)), Nguyen T.H. (2012) đưa nhánh nghiên cứu về đa tạp quán tính lên một
bước tiến mới. Như đã nói, sự tồn tại đa tạp quán tính đã được chứng minh cho bài toán
du
+ Au = f (u) với số hạng phi tuyến chỉ phụ thuộc vào trạng thái và thỏa mãn điều kiện
dt
liên tục Lipschitz đều. Nguyen T.H. (2012) đã chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính khi số
hạng phi tuyến là hàm ϕ-Lipschitz.
2 – Mở rộng khái niệm đa tạp quán tính. Người ta đã mở rộng khái niệm đa tạp quán tính của
Foias C., Sell G.R. & Temam R. (1985) thành một số loại đa tạp quán tính khác, chẳng hạn
như đa tạp quán tính xấp xỉ, đa tạp quán tính có trễ và đa tạp bất biến đa trị. Theo dòng
thời gian, có một khái niệm đa tạp quán tính kiểu mới trong Nguyen T.H. (2013) mà chúng
tôi muốn nhấn mạnh, đó là đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp. Đa tạp quán tính chấp
nhận được E-lớp được cấu thành bởi các quỹ đạo nghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp
nhận được.
3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính. Bên cạnh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các
2

phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đa tạp quán tính đã tìm thấy các vai trò hữu ích của mình
cho các ứng dụng trong các phân ngành khác của toán học. Có thể kể đến những kết nối của
đa tạp quán tính với phương pháp đa lưới của Giải tích số Temam R. (1990) hay một cố gắng
của đa tạp quán tính để mô tả hiện tượng cuộn xoáy của cơ học chất lỏng Temam R. (1989).
Luận án này muốn nhấn mạnh đến các ứng dụng của đa tạp quán tính trong lý thuyết điều
khiển toán học.

2.2

Các lớp phương trình tiến hóa trong luận án

A. Phương trình parabolic
du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t)).
dt

(2)

B. Phương trình đạo hàm riêng hàm (có trễ hữu hạn)
du(t)
+ Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ).
dt

(3)

C. Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính
∂
F ut + AF ut = Φ(t, ut ).

∂t

3

(4)

Mục đích - Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính và bài toán điều khiển
phản hồi hữu hạn chiều của một số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần
tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện
ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà nó có thể là các
không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường
gặp trong lý thuyết nội suy.
Đối tượng. Đa tạp quán tính và điều khiển phản hồi hữu hạn chiều đối với các lớp phương
trình tiến hóa (3), (2) và (4) trong không gian hàm chấp nhận được.
Phạm vi nghiên cứu. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau
◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính có dạng du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t)) với −A là toán tử quạt có
dt
kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, và số hạng phi tuyến f (t, u) là hàm
ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp nhận được.
◦ Nội dung 2. Nghiên cứu tính chính quy của đa tạp quán tính và áp dụng lý thuyết đa
tạp quán tính vào bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương
trình phản ứng-khuếch tán.
◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm
riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng du(t)
+ Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ) với −A là toán
dt

tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, L(t) là một toán tử tuyến
tính bị chặn, và số hạng phi tuyến g(t, ut ) là hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một
không gian hàm chấp nhận được. Sau đó kết quả này được áp dụng nghiên cứu
dáng điệu của mô hình Hutchinson với khuếch tán.
3


◦ Nội dung 4. Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm
riêng hàm trung tính có dạng ∂(F∂tut ) + A(F ut ) = Φ(t, ut ) trong đó phần tuyến tính
là một toán tử xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact, toán tử sai phân
F là một toán tử tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện
ϕ-Lipschitz.

4

Phương pháp nghiên cứu
• Các đánh giá về toán tử tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết số mũ phân
thứ của toán tử tuyến tính đóng (xác định) dương, lý thuyết nhiễu của hệ động lực vô
hạn chiều.
• Các đánh giá về số hạng phi tuyến: Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận
được.
• Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính/đa tạp quán tính chấp nhận được: Sử dụng
phương pháp Lyapunov-Perron.
• Nghiên cứu bài toán điều khiển phản hồi: Sử dụng giải tích hàm, phương pháp điểm bất
động, và lý thuyết điều khiển toán học.

5

Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục
các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án được chia thành
bốn chương như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic và ứng dụng.
Chương 3. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu
hạn.
Chương 4. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Đầu tiên
là một số kết quả cơ bản về nửa nhóm toán tử cùng toán tử sinh của chúng. Tiếp đến chúng
tôi trình bày về các toán tử tuyến tính xác định dương có phổ rời rạc và toán tử quạt, đặc
biệt các kết quả về đánh giá nhị phân đối với các nửa nhóm đó sinh bởi chúng sẽ được nhấn
mạnh. Các kết quả về tính hyperbolic của nửa nhóm, Định lí Ánh xạ phổ, Định lí Nhiễu bị
chặn và dáng điệu của phổ và giải thức dưới tác động của nhiễu nhỏ cũng được liệt kê. Phần
cuối chương là những kiến thức cơ bản về không gian hàm chấp nhận được.

1.1

Nửa nhóm toán tử

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử
và toán tử sinh của chúng. Tài liệu tham khảo chính là Engel K.J. & Nagel R. (2000) (xem
thêm C.T. Anh & T.Đ. Kế (2016)).

1.2
1.2.1

Toán tử tuyến tính
Toán tử xác định dương có phổ rời rạc

GIẢ THIẾT A. Cho X là một không gian Hilbert tách được và giả sử A là một toán tử tuyến
tính đóng trên X. Giả sử A là một toán tử tự liên hợp với phổ rời rạc trong X thỏa mãn
0 < λ1

λ2

...

λk

...

trong đó mỗi λj có bội hữu hạn, và

lim λk = ∞.

(1.1)
(1.2)

k→∞

Giả sử {ek }k là một cơ sở trực chuẩn trong X tương ứng với các giá trị riêng của toán tử A,
nghĩa là Aek = λk ek . Giả sử λn và λn+1 là hai giá trị riêng liên tiếp khác nhau và thỏa mãn

λn < λn+1 . Gọi P là phép chiếu trực giao lên không gian vector con span{e1 , e2 , . . . , en } sinh
ra bởi n vector riêng đầu tiên của toán tử A.

1.2.2

Toán tử quạt và Nửa nhóm giải tích

Toán tử quạt và nửa nhóm giải tích là các công cụ quan trọng trong nghiên cứu các bài
toán parabolic trừu tượng. Phần này được dành để nhắc lại một số khái niệm cơ bản nhất về
toán tử quạt và nửa nhóm giải tích.
Trong các Chương 2 và Chương 3 của luận án này, chúng tôi xét một số lớp các phương
trình tiến hóa có phần tuyến tính là toán tử quạt theo định nghĩa sau đây.

5


Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian Banach. Một toán tử tuyến tính B : X ⊃ D(B) →
X được gọi là một toán tử quạt nếu
(1) B là một toán tử tuyến tính đóng và có tập xác định trù mật trong X;
(2) Tồn tại các số thực ω ∈ R, σ ∈ 0, π2 và M

1 sao cho

ρ(B) ⊃ Σσ+ π2 ,ω := z ∈ C : | arg(z − ω)| < σ +

π
,z=ω
2

(tập hợp Σσ+ π2 ,ω được gọi là quạt) và giải thức của toán tử B thỏa mãn

M
|λ − ω|

R(λ, B)

với mọi λ ∈ Σσ+ π2 ,ω .

(1.3)

Trong luận án này, khi chứng minh sự tồn tại của các đa tạp quán tính, chúng tôi sẽ sử
dụng một lớp cụ thể các toán tử quạt và đặt giả thiết như sau đây:
GIẢ THIẾT B. Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên một không gian Banach X thỏa
mãn −A là toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈ 0, π2 và ω < 0. Giả sử rằng phổ σ(−A) thỏa mãn
σ(−A) = σu (−A) ∪ σc (−A) ⊂ C−
với ωu < ωc < ω < 0, trong đó
ωu := sup{Re λ : λ ∈ σu (−A)},

ωc := inf{Re λ : λ ∈ σc (−A)}

(1.4)

và σc (−A) là một tập hợp compact.
Dưới Giả thiết B ta có thể chọn các số κ và µ thỏa mãn
ωu < κ < µ < ωc < 0.

(1.5)

Gọi P là phép chiếu Riesz liên quan đến tập hợp σc (−A) được xác định bởi
P =

1
2πi

R(λ, −A)dλ,

(1.6)

+

trong đó + là một đường cong chính quy đóng chứa trong ρ(−A), bao quanh phần phổ σc (−A)
và định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Bây giờ, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số tính chất, được gọi là đánh giá nhị phân
của nửa nhóm giải tích e−tA t 0 .
Mệnh đề 1.2. Giả sử κ < µ < 0 là các số thực được chọn như trong (1.5). Với β > 0 ta có các
đánh giá nhị phân sau đây:
e−tA P
β −tA

A e

P

e−tA (I − P )
Aβ e−tA (I − P )

M1 e−µ|t|

với mọi t ∈ R,

(1.7)

−µ|t|

với mọi t ∈ R,

(1.8)

M2 e

M eκt
N κt
e
tβ

với mọi t

0,

(1.9)

với mọi t > 0.

(1.10)

Chúng tôi sẽ kết thúc mục này bằng việc trình bày định nghĩa của hàm Green, mà nó có
vai trò rất quan trọng trong công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt ở các chương sau.
Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn Giả thiết A hoặc Giả thiết B. Khi đó, ta định
nghĩa hàm Green
e−(t−τ )A (I − P ) với mọi t > τ,
G(t, τ ) :=

(1.11)
−e−(t−τ )A P
với mọi t τ.
6


1.2.3

Kết quả bổ trợ

Mục này dành để liệt hai kết quả bổ trợ về nhiễu của nửa nhóm và dáng điệu của phổ và
giải thức của một toán tử tuyến tính dưới tác động của nhiễu nhỏ. Kết quả này sẽ được dùng
trong Chương 2 khi nghiên cứu một toán tử tuyến tính trong một mô hình cạnh tranh.
Định lí 1.3 (Định lí Nhiễu bị chặn). Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
etA t 0 trên một không gian Banach X thỏa mãn etA
M eωt với mọi t 0, với ω ∈ R và
M 1 nào đó. Nếu B ∈ L(X) thì
C := B + A

với

sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t
M e(ω+M

S(t)

0

D(C) := D(A)

thỏa mãn

B )t

với mọi t

0.

Định lí 1.4. Giả sử V là một không gian Banach, A ∈ L(V ) và G là một tập mở phủ tập phổ
σ(A). Khi đó tồn tại một δ-lân cận Uδ (A) của A sao cho σ(X) ⊂ G với mọi X ∈ Uδ (A). Hơn
nữa, với mỗi ε > 0, tồn tại δ sao cho R(λ, X) − R(λ, A) < ε với X ∈ Uδ (A) và λ ∈
/ G.

1.3

Không gian hàm chấp nhận được

Không gian hàm chấp nhận được. Kí hiệu B và λ lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue
trên đường thẳng thực R. Không gian L1,loc (R) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa
phương trên R (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian
Fréchet với các nửa chuẩn pn (f ) = Jn |f (t)|dt trong đó Jn = [n, n + 1] với mỗi n ∈ Z (xem
Massera J.L. & Sch¨affer J.J. (1966)).
Để tiện trình bày, nếu một ánh xạ h : J → X đi từ một khoảng J ⊆ R vào một không gian
Banach X là đo được (tương ứng, đo được mạnh) thì ta sẽ viết h ∈ Mea(J, X) (tương ứng,
h ∈ SMea(J, X)).
Định nghĩa 1.5. Không gian vector E bao gồm các hàm thực đo được theo nghĩa Borel trên
(R, B, λ) (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) được gọi là một không gian hàm
Banach trên (R, B, λ) nếu
(1) E là một dàn Banach với chuẩn · E , tức là (E, · E ) là một không gian Banach, và
nếu ϕ ∈ E, ψ là một hàm thực đo được Borel sao cho

|ψ(·)|
thì ψ ∈ E và ψ

E

ϕ

|ϕ(·)| λ-hầu khắp nơi

E.

(2) Hàm đặc trưng χA thuộc không gian E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn
sup χ[t,t+1]

E

< ∞,

t∈R

inf χ[t,t+1]

t∈R

E

> 0.

(3) E → L1,loc (R), tức là, với mỗi nửa chuẩn pn của L1,loc (R), tồn tại một số dương βpn sao
cho pn (f ) βpn f E với mọi f ∈ E.

Tiếp theo chúng ta giới thiệu khái niệm chấp nhận được của không gian hàm như trong
định nghĩa sau đây:
7


Định nghĩa 1.6. Không gian hàm Banach E được gọi là không gian hàm chấp nhận được (hoặc
đầy đủ hơn là không gian hàm Banach chấp nhận được) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) Tồn tại hằng số M

1 sao cho với mỗi tập hợp compact [a, b] ⊂ R ta có
b

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

|ϕ(t)|dt
a

E

với mọi ϕ ∈ E.

(1.12)

(2) Với ϕ ∈ E thì hàm
t

Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ

(1.13)

t−1

thuộc E.
(3) Không gian E là Tτ+ -bất biến và Tτ− -bất biến, trong đó Tτ+ và Tτ− được định nghĩa như
sau với mỗi τ ∈ R:
Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ )

với mọi t ∈ R,

(1.14)

Tτ− ϕ(t)

với mọi t ∈ R.

(1.15)

:= ϕ(t + τ )

Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 và N2 sao cho
Tτ+

N1

và

Tτ−

N2

với mọi τ ∈ R.

Phương trình tiến hóa với hệ số Lipschitz thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.
Xét bài toán Cauchy của phương trình tiến hóa

 dy + Ay = f (t, y),
t > s,
dt
(1.16)

y(s) = ys ,
s ∈ R,
có phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm trên một không gian Banach hoặc
Hilber (X, · ) (tùy tình huống cụ thể trong từng chương). Giả sử (F, · F ) là một không
gian hàm nào đó đã xác định phụ thuộc vào không gian X và lũy thừa phân thứ Aβ . Để thiết
lập đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa, bên cạnh những giả thiết đối với toán tử
tuyến tính A, ta cần tính chất ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f . Trong định nghĩa sau đây
chúng tôi sẽ định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz một cách tổng quát, các tình huống cụ thể sẽ
được thảo luận sau.
Định nghĩa 1.7. Cho E là một không gian hàm chấp nhận được trên R và ϕ là một hàm dương
thuộc E. Khi đó, một hàm f : R × F → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn các tính
chất:
(1) f (t, y)

ϕ(t) (1 + y

(2) f (t, y1 ) − f (t, y2 )

F)

với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và với mọi y ∈ F,

ϕ(t) y1 − y2

F

với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và với mọi y1 , y2 ∈ F.

Trong các mô hình ứng dụng, tính chất ϕ-Lipschitz thường chỉ xảy ra địa phương, tức là
các điều kiện trong Định nghĩa 1.7 đúng trên một hình cầu BR tâm tại gốc tọa độ và bán
kính R nào đó. Ta có kỹ thuật sau đây để chuyển tính chất tính chất ϕ-Lipschitz địa phương
về toàn cục. Giả sử f là hàm ϕ-Lipschitz địa phương trên hình cầu BR , và χ(s) là một hàm
8


số khả vi vô hạn trên [0, ∞) sao cho χ(s) = 1 với 0 s 1; χ(s) = 0 với s
và |χ (s)| 2 với s ∈ [0, ∞). Ta xác định ánh xạ cắt bỏ fR bởi
fR (t, y) := χ

y F
R

f (t, y),

2; 0

với mọi y ∈ F.

χ(s)

1

(1.17)

Khi đó, kết quả sau đây có thể nhận được bằng các tính toán sơ cấp.
Mệnh đề 1.8. Xét phương trình tiến hóa (1.16) với f (t, y) là một hàm ϕ-Lipschitz địa phương
2
trên hình cầu BR . Khi đó ánh xạ cắt bỏ fR (t, y) là ϕ-Lipschitz
˜
với ϕ˜ := 2R +5R+2
ϕ .
R
Các giả thiết liên quan đến số hạng phi tuyến. Bây giờ chúng tôi sẽ đề cập đến các giả thiết
liên quan đến số hạng phi tuyến của các phương trình tiến hóa trong luận án.
GIẢ THIẾT C. Giả sử ϕ là một hàm dương thuộc E. Số hạng phi tuyến được giả thiết là thỏa
mãn điều kiện
ϕ(τ )

t−1

(t − τ )

R(ϕ, β) := sup
t∈R

2β

1+β

1+β
2β

t

1+β
2

<∞

dτ

trong đó 0 < β < 1.

(1.18)

GIẢ THIẾT D. Giả sử ψ là một hàm thực dương thuộc vào một không gian hàm chấp nhận
được E. Với 0 < β < 1, ta định nghĩa
ψ(τ )

t+θ−1

(t + θ − τ )

R(ψ, β, h) := sup sup
t∈R θ∈[−h,0]

2β

1+β

1+β
2β

t+θ

1+β
2

dτ

.

Với ký hiệu này, ta giả sử
R(ϕ, β, h) < ∞

R L(·) , β, h < ∞.

và

Chú ý, trong trường hợp β = 0 ta không cần các giả thiết này.

9

(1.19)


Chương 2
ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VÀ ỨNG DỤNG

Được gợi ý từ một mô hình cạnh tranh hai loài có khuếch tán chéo trong sinh thái học quần
thể với sức nuôi của môi trường sống phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu các phương
trình parabolic có dạng du
+ Au = f (t, u) trong một không gian Banach vô hạn chiều. Chúng
dt
tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với nghiệm đủ tốt của một phương trình
tiến hóa như vậy với điều kiện toán tử đạo hàm riêng tuyến tính −A là một toán tử quạt có
kẽ hở phổ đủ lớn, và số hạng phi tuyến là một ánh xạ ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào một không
gian hàm chấp nhận được. Đó có thể là không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và
các không gian hàm thường gặp khác trong lý thuyết nội suy. Sau đó chúng tôi sẽ áp dụng
các kết quả thu được để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình cạnh tranh nói trên.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ khảo sát tính C 1 -chính quy của đa tạp quán tính đối với phương
trình parabolic nói trên khi số hạng phi tuyến là một ánh xạ thuộc lớp C 1 theo biến trạng
thái và phần tuyến tính là một toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, có giải thức
compact (thỏa mãn Giả thiết A) hoặc là một toán tử quạt có kẽ hở phổ đủ lớn (thỏa mãn
Giả thiết B). Phép chứng minh về tính chính quy sẽ được thực hiện chi tiết cho trường hợp
toán tử tuyến tính thỏa mãn Giả thiết A.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày một ứng dụng của lý thuyết đa tạp quán tính trong việc
nghiên cứu một lớp bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của hệ phản ứng-khuếch tán
một chiều với quan sát và điều khiển phân bố.
Nội dung của chương này được viết theo các công trình [3] và [4] trong Danh mục các công
trình khoa học liên quan đến luận án.

2.1

Mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo: Toán tử quạt và đặt
bài toán

Xét phương trình parabolic

 dx(t) + Ax(t) = f (t, x(t)),
dt

x(s) = xs ,

t > s,

(2.1)

trong đó A là một toán tử tuyến tính thỏa mãn Giả thiết A hoặc Giả thiết B và f : R ×
Xβ → X, với Xβ := D(Aβ ) là miền xác định của lũy thừa phân thứ Aβ , là một ánh xạ phi
tuyến ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C.
Trong trường hợp không gian trạng thái là vô hạn chiều, thay cho phương trình parabolic
(2.1), ta xét phương trình tích phân
t

u(t) = e−(t−s)A u(s) +

e−(t−ξ)A f (ξ, u(ξ))dξ,
s

10

t

s hầu khắp nơi.

(2.2)

Một nghiệm của phương trình (2.2) là một hàm số đo được mạnh u(t) xác định trên một
khoảng J nhận giá trị trong không gian Xβ thỏa mãn phương trình (2.2) với mọi t, s ∈ J.
Nghiệm u của phương trình (2.2) được gọi là một nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1).
Định nghĩa 2.1. Một đa tạp quán tính của phương trình (2.2) là một họ những đa tạp Lipschitz
M = Mt t∈R trong X thỏa mãn với mỗi Mt là đồ thị của ánh xạ Lipschitz Φt : P X →
(I − P )Xβ , tức là
Mt = {x + Φt x : x ∈ P X} với mọi t ∈ R
và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(1) Hằng số Lipschitz của ánh xạ Φt là độc lập với thời gian t, tức là có hằng số C không
phụ thuộc thời gian t và thỏa mãn
Aβ (Φt x1 − Φt x2 )

C Aβ (x1 − x2 ) .

(2.3)

(2) Tồn tại một hằng số γ > 0 sao cho mỗi x0 ∈ Mt0 sẽ tồn tại duy nhất một nghiệm u(t)
của phương trình (2.2) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = x0 và
esssup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞.

(2.4)

t t0

(3) Đa tạp M = Mt t∈R là bất biến dương đối với phương trình tích phân (2.2). Tức là,
nếu một nghiệm x(t) với t s của phương trình (2.2) thỏa mãn xs ∈ Ms thì x(t) ∈ Mt
với t s.
(4) Đa tạp M = Mt t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (2.2), tức là

với mỗi nghiệm u(·) của phương trình (2.2) và với mỗi s ∈ R cố định, tồn tại hằng số
dương H thỏa mãn
distXβ (u(t), Mt )

He−γ(t−s)

với mọi t

s,

(2.5)

với γ là hằng số dương thỏa mãn (2.4) và distXβ là kí hiệu của nửa khoảng cách Hausdorff
sinh bởi chuẩn trong Xβ .
Để đặt bài toán cho chương này, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc nhắc lại kết quả của Nguyen
T.H. (2012) về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình parabolic (2.1) trong
đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một không gian
Hilbert tách được vô hạn chiều và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz với ϕ
thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Kết quả này được phát biểu trong định lí
dưới đây :
Định lí 2.2 (xem Nguyen T.H. (2012)). Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết A và ϕ thuộc vào
một không gian hàm chấp nhận được E. Cho f là hàm ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C.
Giả sử λn < λn+1 là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử A thỏa mãn
k<1

và

kM 3 λ2β
n N2
Λ1 ϕ

(1 − k)(1 − e−α )

với α = (λn+1 − λn )/2 và hằng số k xác định bởi

 M (β β N1 +λβn+1 N1 +λβn N2 )
Λ1 ϕ ∞ + M β β R(ϕ, β)
1−e−α
k=
 M (N1 +N2 )
Λ1 ϕ ∞
1−e−α
Khi đó, phương trình (2.2) có một đa tạp quán tính.
11

∞

1−β
(1+β)α

+ k < 1,

1−β
1+β

(2.6)

nếu 0 < β < 1,
nếu β = 0.

(2.7)

Chúng tôi sẽ nghiên cứu một mô hình cạnh tranh hai loài với khuếch tán chéo trong sinh
thái học quần thể, và sau một số phân tích chúng tôi sẽ chỉ ra rằng, mô hình này sẽ sinh ra
một toán tử quạt có kẽ hở phổ thỏa mãn Giả thiết B.
Xét mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo

r1
∂u


= D1 ∆u + r1 u − u2 − h1 uv,

∂t
H
(2.8)
∂v
r2 2


= D2 ∆v + r2 v −
v − h2 uv.

∂t
K(t)
Giả sử (¯
u, v¯) là một nghiệm dừng của bài toán, chẳng hạn, v¯ = 0 và u¯ là nghiệm của bài
toán giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Neumann D1 ∆u = −r1 u 1 − Hu .
Đổi biến u = U + u¯ và v = V + v¯ và thực hiên thủ tục tuyến tính hóa, chúng tôi sẽ kết luận
toán tử tuyến tính không bị chặn

−A=

D1 ∆ − r1
0
2r1 − h1 v¯
−h1 u¯
+
0
D2 ∆ − r2
h2 v¯
2r2 − h2 u¯

(2.9)

với miền xác định phù hợp là một toán tử quạt có kẽ hở phổ.

2.2

2.2.1

Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic với
toán tử quạt
Phương trình Lyapunov-Perron

Chúng ta sẽ xây dựng dạng nghiệm bị chặn cốt yếu hậu tỉ xích trên nửa đường thẳng
(−∞, t0 ] của phương trình tích phân (2.2). Phép chứng minh kết quả sau đây sẽ được thực
hiện tương tự như trong Nguyen T.H. (2012).
Bổ đề 2.3. Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và f : R × Xβ → X là ϕ-Lipschitz với ϕ
thỏa mãn Giả thiết C. Với mỗi t0 ∈ R cố định, cho x(t) với t t0 là nghiệm của phương
trình (2.2) sao cho x(t) ∈ Xβ với t t0 và

esssup e−γ(t0 −t) Aβ x(t) < ∞,
t t0

trong đó γ = (λn+1 + λn )/2. Khi đó, nghiệm x(t) thỏa mãn
x(t) = e−(t−t0 )A v1 +

t0

G(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ

với t

t0 hầu khắp nơi

(2.10)

−∞

trong đó v1 ∈ P X và G(t, τ ) là hàm Green được xác định như trong (1.11).

2.2.2

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

Chúng ta có kết quả sau đây về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm thuộc vào các không
gian hàm có trọng
Bổ đề 2.4. Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và f : R × Xβ → X là ϕ-Lipschitz thỏa
mãn Giả thiết C. Đặt

1−β

1+β
1+β
 N N1 +M1 N2
−α 1−β
1−β
Λ
ϕ
+
N
R(ϕ,
β)
1
−
e
nếu 0 < β < 1,
1
∞
−α
1−e
α(1+β)
k :=
(2.11)
 M N1 +M1 N2
Λ
ϕ
nếu
β
=
0.
1

∞
1−e−α
12


Nếu k < 1, thì với mỗi v ∈ P X tồn tại một và chỉ một nghiệm x(t) của phương trình (2.10)
trên (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện P x(t0 ) = v và
esssup e−γ(t0 −t) Aβ x(t) < ∞.
t t0

2.2.3

Sự tồn tại của đa tạp quán tính

Kết quả chính của chương này về sự tồn tại của đa tạp quán tính được phát biểu như sau:
Định lí 2.5. Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và ϕ thuộc vào một không gian hàm
chấp nhận được E. Giả sử f là một hàm ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C. Nếu
k<1

và

M kM22 N2
Λ1 ϕ
(1 − k)(1 − e−α )

∞

+k <1

(2.12)

với hằng số k xác định bởi (2.11) và α xác định bởi α = (µ − κ)/2 thì phương trình (2.2) có
một đa tạp quán tính.

2.3

Ứng dụng vào mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo

Mục này dành để trình bày một ứng dụng của kết quả tồn tại đối với một đa tạp quán
tính cho mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo.

2.4

Tính chính quy của đa tạp quán tính

Giả sử số hạng phi tuyến trong phương trình parabolic (2.1) thuộc lớp C 1 theo biến trạng
thái và thỏa mãn đánh giá
Df (t, u) − Df (t, v)
ở đây 0 < ν
thái u.

L(Xβ ,X)

ϕ2 (t) Aβ (u − v)

ν

,

(2.13)

1 và Df (t, u) là ký hiệu của đạo hàm của số hạng phi tuyến f (t, u) theo trạng

Định lí 2.6. Nếu f (t, ·) ∈ C 1 (Xβ , X), thì đa tạp quán tính được xác định bởi Định lí 2.2 và
Định lí 2.5 là thuộc lớp C 1 và Φt thỏa mãn phương trình Sacker
DΦt (y)(−Ay + Pn f (t, y + Φt (y)) + AΦt (y)) = Qn f (t, y + Φt (y))
với mọi y trong miền xác định của ánh xạ Φt .

13

(2.14)


2.5

2.5.1

Điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình
phản ứng-khuếch tán thông qua lý thuyết đa tạp quán tính
Hệ vòng hở

Xét hệ vòng hở của phương trình phản ứng-khuếch tán phi tuyến với điều kiện biên Dirichlet
với quan sát phân bố và điều khiển phân bố (xem Rosa R. & Temam R. (1997))

I−1

∂u




=
∆u
+
f
(u)
+
gi (t)ψi (x), t > 0, 0 < x < π,


∂t

i=1

J−1
(2.15)
y(t) = (yi (t))j=1 = (u(t, xj ))J−1
t 0,
j=1 ,




u(t, 0) = u(t, π) = 0,
t > 0,




u(0, x) = u0 (x),
0 x π,

trong đó u = u(t, x) là biến trạng thái, với x ∈ Ω := (0, π), y là quan sát, g = (gi )i là điều
khiển, f là một số hạng phi tuyến, và I, J ∈ N. Các hàm ψi được gọi là các cơ cấu chấp hành
và được giả sử thuộc không gian Sobolev H01 (Ω). Dãy điểm phân biệt xj trong Ω được gọi là
các điểm quan sát. Giả sử xj là một dãy tăng theo j.
Trong bài toán này, xét không gian trạng thái là X = H01 (Ω) được trang bị chuẩn u =
|Du|, với u ∈ X, trong đó | · | ký hiệu cho L2 -chuẩn trên Ω như thông thường và Du là đạo
hàm của u. Ký hiệu ((·, ·)) và (·, ·) lần lượt là các tích vô hướng trong X và L2 (Ω).
Xét toán tử tuyến tính A = −∆ và giả sử Z1 và Z2 là hai không gian Hilbert hữu hạn
chiều. Giả sử rằng Z1 RI−1 và Z2 RJ−1 . Chúng ta định nghĩa hai toán tử tuyến tính bị
chặn
I−1

B : Z1 → X

bởi Bg =

với g = (gi )I−1
i=1 ∈ Z1 ,

gi ψi (x)

(2.16)

i=1

C : X → Z2

J−1
bởi Cu = ((Cu)j )J−1
j=1 = (u(xj ))j=1 với u ∈ X.

(2.17)

Bây giờ ta có thể viết lại bài toán điều khiển (2.15) trong không gian Sobolev X = H01 (Ω)
như sau:

 du + Au = f (u) + Bg,
dt
(2.18)

y = Cu.
Chúng ta muốn xây dựng luật điều khiển g như là một hàm của quan sát y sao cho hệ
vòng kín hành xử theo một cách thức được kỳ vọng nào đó. Luận án sẽ mở rộng cho trường
hợp luật điều khiển phụ thuộc vào cả thời gian và quan sát. Để làm điều đó, chúng tôi xét hệ
điều khiển vô hạn chiều không ôtônôm có dạng

 du + Au = f (t, u) + Bg,
dt
(2.19)

y = Cu.
Giả sử có dãy số thực {˜
xi }Ii=1 , với
0 = x˜0 < . . . < x˜i < x˜i+1 < . . . < x˜I = π,

14


và ψi , với i = 1, . . . , I − 1, được cho bởi công thức tường minh


x−˜
xi−1

x ∈ [˜
xi−1 , x˜i ),

 h˜ i ,
−x
ψi (x) = x˜i+1
x ∈ [˜
xi , x˜i+1 ),
˜ i+1 ,
h


0,
trong các trường hợp khác,

(2.20)

˜ i = x˜i − x˜i−1 . Đặt
trong đó h
hj = xj − xj−1 ,

2.5.2

˜i .
˜ = max h
h

h = max{hj },
j

i

(2.21)

Động lực mong muốn

Đầu tiên, xét một ánh xạ phi tuyến W : R × Pn0 X → Pn0 X thỏa mãn
W (t, u) − W (t, v)
DW (t, u) − DW (t, v)

ς1 (t) u − v

L(X)

ς2 (t) u − v

với mọi u, v ∈ Pn0 X,
ν

với mọi u, v ∈ Pn0 X,

(2.22)
(2.23)

với các hàm thực dương ςi (t), với i = 1, 2, và thuộc một không gian hàm chấp nhận được, và
với ν như trong (2.13).
Bây giờ, chúng ta xét hệ điều khiển không ôtônôm


 du + Au = f (t, u) + Bg,
dt
(2.24)

y = Cu
trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều X và phương trình vi phân thường
không ôtônôm hữu hạn chiều
dz(t)
= W (t, z(t)),
(2.25)
dt
trong đó n0 ∈ N được cho trước.
Chúng ta mong rằng động lực của hệ điều khiển vô hạn chiều (2.24) sẽ được mô tả đầy đủ
bởi hệ hữu hạn chiều (2.25).

2.5.3

Các toán tử điều khiển đầu vào và đầu ra

Bổ đề 2.7. Với hai số tự nhiên bất kỳ m và n, các toán tử tuyến tính B và C có các ước lượng

2.5.4

(CPm )−1

L(Z2 ,X)

(Pn B)−1
r

L(Pn X,Z1 )

2
,
1 − 2h2 λm
1
.
˜ 2 λn
1 − 4h

(2.26)
(2.27)

Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều

Xét hai số tự nhiên m và n bất kỳ
m

n > n∗ ,

15

(2.28)


trong đó n∗ ∈ N sao cho Định lí 2.2 được thỏa mãn. Chọn các số thực xj và xi sao cho
√
3
1

˜h
và h
,
(2.29)
1/2
1/2
4λn0
2λm
do đó
1
˜ n
1 − 4hλ

2

2
1 − 2hλm

và

2.

(2.30)

Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ g : R × Z2 → Z1 bởi
APn0 (CPm )−1 + W t, Pn0 (CPm )−1 y −
g(t, y) = (Pn B)−1
r
− Pn f t, (CPm )−1 y

(2.31)

với mọi y ∈ Z2 và t ∈ R. Bởi Bổ đề 2.7, ta có g là một ánh xạ Lipschitz toàn cục với hệ số
Lipschitz
Lip(g) ξ(t),
(2.32)
trong đó ξ(t) := 4 (λn0 + ς1 (t) + ϕ(t)) với mọi t ∈ R.

2.5.5

Đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín

Với luật điều khiển phản hồi g được xác định bởi (2.31) ta có thể viết hệ điều khiển (2.18)
dưới dạng vòng kín
du
+ Au = f (t, u) + Bg(t, Cu).
(2.33)
dt
Cùng với hệ vòng kín, ta xét phương trình parabolic phụ trợ
dv
+ Av = Pm f (t, Pm v) + Pm Bg(t, CPm v).
dt

(2.34)

Chú ý rằng số hạng phi tuyến của cả hai phương trình parabolic trên có hệ số Lipschitz nhỏ
hơn hoặc bằng η(t) := ϕ(t) + ξ(t) với t ∈ R.
Chúng ta mong muốn rằng dưới các điều kiện thích hợp, các phương trình parabolic (2.33)
và (2.34) sẽ có các đa tạp quán tính. Áp dụng Định lí 2.2 cho các phương trình parabolic
t

(2.33) và (2.34), ta có, nếu n∗ là đủ lớn và chuẩn Λ1 η ∞ = supt∈R t−1 η(τ )dτ là đủ nhỏ, thì
tồn tại các đa tạp quán tính M = Mt t∈R và N = Nt t∈R , tương ứng, đối với hai phương
trình parabolic (2.33) và (2.34).
Khi các phương trình parabolic (2.33) và (2.34) có các đa tạp quán tính, các dạng quán
tính trên không gian hữu hạn chiều Pn X là
dp
+ Ap = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p))),
dt
dρ
+ Aρ = Pn f (t, Pm (ρ + Ψt (ρ))) + Pn Bg(t, CPm (ρ + Ψt (ρ))).
dt

(2.35)
(2.36)

Do vậy, dạng quán tính đối với phương trình parabolic phụ trợ (2.34) dẫn đến
dρ
+ A(Pn − Pn0 )ρ = W (t, Pn0 ρ),
dt
16

(2.37)


Liên quan dạng quán tính (2.35), ta có thể viết nó thành
dp
+ A(Pn − Pn0 )p = W (t, Pn0 p) + ε(t, p),
dt

(2.38)

trong đó số hạng ε(t, p) được coi như là một sai số và được cho bởi
ε(t, p) = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p)))
−Pn f (t, p + Pm Ψt (p)) − Pn Bg(t, C(p + Pm Ψt (p))).
Ta có Lip(ε) = ϕ(t) + ξ(t) := η(t).
Bằng việc sử dụng các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận được của các không
gian hàm, ta nhận được các đánh giá
ε(t, p)

η(t)
1/2

λm
Dε(t, p)

với mọi p ∈ Pn X,

(c1 + c2 p )

L(Pn X)

c3

η(t)

1/2

c4

+

λm

ν/2

λm

với mọi p ∈ Pn X,

(2.39)
(2.40)

trong đó các hằng số ci sao cho
ci = ci (n0 , n, Λ1 ϕ

∞,

c4 = c4 (n0 , n, Λ1 ϕ2

∞,

Λ1 ς1

∞) ,

Λ1 ς2

với i = 1, 2, 3,

∞ , ν)

Chúng tôi sẽ tổng kết các sự kiện trên trong định lí sau đây:
Định lí 2.8. Xét hệ vòng hở (2.15). Giả sử phương trình vi phân thường không ôtônôm (2.25)
được cho với n0 ∈ N và hàm phi tuyến W thỏa mãn các điều kiện (2.22) và (2.23).
Nếu luật phản hồi g = g(t, y) được cho bởi (2.31), thì hệ vòng kín (2.33) có một đa tạp
quán tính mà (2.38) có sai số thỏa mãn đánh giá (2.39) và (2.40).
Định lí 2.9. Giả sử các giả thiết trong Định lí 2.8 xảy ra. Giả sử tồn tại α > 0, r0 > 0 sao
cho hàm phi tuyến W thỏa mãn điều kiện ((W (t, z), z)) −α z với mọi z
r0 , và dòng
dz
n0
cảm sinh bởi dt = W (t, z) với z được hạn chế đến hình cầu Br0 := {z ∈ Pn0 X : z
r0 } là
ổn định cấu trúc.
Nếu luật phản hồi g = g(t, y) được cho bởi (2.31) với số tự nhiên m được chọn đủ lớn,
thì động lực trong thời gian dài của dạng quán tính (2.38) của hệ vòng kín (2.33) được chứa
trong hình cầu Brn0 = {p ∈ Pn X : p
r0 } và dòng tương ứng hạn chế lên hình cầu Brn0 này
là tương đương tôpô với dòng cho bởi (2.37).

17


Chương 3
ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM
CÓ TRỄ HỮU HẠN

Trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương
trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn du

+ Au = L(t)ut + g(t, ut ) trong đó toán tử đạo
dt
hàm riêng A là dương sao cho −A là toán tử quạt với một kẽ hở đủ lớn trong tập phổ, ánh xạ
t → L(t) nhận giá trị toán tử, biến mỗi thời điểm thành một toán tử tuyến tính bị chặn, và
g là một ánh xạ phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là g(t, ψ)
ϕ(t) 1 + |ψ| Cβ
và g(t, ψ) − g(t, φ)
ϕ(t)|ψ − φ| Cβ với Cβ := C [−h, 0], D(Aβ ) . Ở đây, L(·) và ϕ được
giả thiết là thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được nào đó. Ký hiệu ut là hàm lịch
sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với mọi θ ∈ [−h, 0], trong đó h > 0 là một số cố định.
Phương pháp chính của chương này là dựa vào phương trình Lyapunov-Perron, lý thuyết nửa
nhóm giải tích, kết hợp với tính chất chấp nhận được của không gian hàm.
Nội dung của chương này được viết theo công trình [1] trong Danh mục các công trình
khoa học liên quan đến luận án.

3.1

Đặt bài toán

Được gợi ý từ phương trình Hutchinson với khuếch tán, chúng tôi xét một lớp các phương
trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng

 du(t) + Au(t) = L(t)u + g(t, u ), t > s,
t
t
(3.1)
dt

us = φ ∈ Cβ .
Thay cho phương trình đạo hàm riêng hàm (3.1) ta xét phương trình tích phân

t

u(t) = e−(t−s)A u(s) +

e−(t−ξ)A [L(ξ)uξ + g(ξ, uξ )]dξ

(3.2)

s

với t s hầu khắp nơi.
Một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm (3.2) là một hàm liên tục mạnh u(t) xác
định trên một khoảng J với các giá trị trong Xβ := D(Aβ ) mà thỏa mãn (3.2) với t, s ∈ J.
Nghiệm u của phương trình tích phân (3.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình đạo
hàm riêng hàm (3.1).
Giả sử rằng toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và xét phép chiếu Riesz P được xác định
bởi (1.6), xét toán tử P trong không gian trạng thái Cβ bởi
P φ = (P φ)(θ) := e−θA P φ(0),
trong đó θ ∈ [−h, 0] và φ = φ(θ) là một phần tử của không gian hàm Cβ .
18

(3.3)


Định nghĩa 3.1. Đa tạp quán tính của phương trình (3.1) là một họ các đa tạp M = Mt
trong Cβ có dạng
Mt = p˜(θ) + Γt (˜
p(θ)) : p˜(θ) ∈ P Cβ

⊂ Cβ

với mọi t ∈ R

t∈R

(3.4)

trong đó Γt là một ánh xạ từ P X vào (I − P ) Cβ , thỏa mãn các tính chất sau:
(1) Với mọi t ∈ R, Mt là đồ thị của một ánh xạ Lipschitz với hệ số Lipschitz của Γt (·)
không phụ thuộc vào t, tức là, tồn tại một hằng số C không phụ thuộc vào t sao cho
|Γt (p1 ) − Γt (p2 )| Cβ

C p1 − p2

Xβ .

(2) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi u0 ∈ Mt0 tồn tại tương ứng một và chỉ một nghiệm u(t)
của phương trình (3.2) trên nửa đường thẳng (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = u0 và
sup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞.

(3.5)

t t0

(3) Đa tạp M = Mt t∈R là bất biến dương đối với phương trình (3.2), tức là, nếu u(t), t ∈
R là một nghiệm của phương trình (3.2) thỏa mãn điều kiện us ∈ Ms và sup |ut | Cβ < ∞
t s

với s ∈ R thì ta có ut ∈ Mt với mọi t ∈ R.
(4) Đa tạp M = Mt t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tích phân (3.2),

tức là, với mỗi nghiệm u(·) của (3.2) và mỗi s ∈ R cố định, tồn tại một nghiệm ut ∈ Mt ,
và tồn tại một hằng số dương H sao cho
|ut − ut | Cβ

He−γ(t−s)

với t

s

(3.6)

trong đó γ là hằng số được xác định như trong (3.5).

3.2

Phương trình Lyapunov-Perron

Ta sẽ xây dựng nghiệm trên nửa đường thẳng (−∞, t0 ] của phương trình (3.2) mà nó bị
chặn hậu tỉ xích trong bổ đề sau đây:
Bổ đề 3.2. Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và g : R × Cβ → X là ϕ-Lipschitz với ϕ
thỏa mãn Giả thiết D. Với mỗi điểm t0 ∈ R cố định, cho u(t) là một nghiệm của phương
trình tích phân (3.2) sao cho u(t) ∈ Xβ với mọi t ∈ (−∞, t0 ], và supt t0 eγ(t−t0 ) u(t) X < ∞
β

trong đó γ =

µ+κ
.
2

Khi đó, với mọi t ∈ (−∞, t0 ], nghiệm u(t) có thể được viết lại dưới dạng
u(t) = e−(t−t0 )A p +

t0

G(t, τ ) L(τ )uτ + g(τ, uτ ) dτ,
−∞

trong đó p ∈ P X và G(t, τ ) là hàm Green được xác định bởi (1.11).

19

(3.7)


3.3

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

Với mỗi t0 ∈ R ta giới thiệu không gian Banach
L−
γ,t0 :=

γ(t−t0 )
v ∈ C (−∞, t0 ], D(Aβ ) : |v|−
v(t)
γ := sup e
t t0

Xβ

<∞ .

với chuẩn |v|−
γ . Bổ đề sau đây sẽ mô tả sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm trong không gian
hàm có trọng.
Bổ đề 3.3. Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và số hạng phi tuyến g : R × Cβ → X
thỏa mãn Giả thiết D. Nếu < 1 thì với mỗi t0 ∈ R cố định, và mỗi p ∈ P X, tồn tại
duy nhất hàm v(p) ∈ L−
γ,t0 thỏa mãn phương trình tích phân (3.7) với mọi t ∈ (−∞, t0 ] với
P v(p)(t0 ) = p. Ngoài ra,
|v(p)|−
γ < ∞,
|v(p) − v(q)|−
γ

3.4

(3.8)
M2
1−

p−q

Xβ .

(3.9)

Sự tồn tại của đa tạp quán tính

Định lí 3.4. Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và số hạng phi tuyến g là ϕ-Lipschitz thỏa
mãn Giả thiết D. Nếu
<1
ở đây

và

M M22 N2 eγh
(1 − )(1 − e−α )

Λ1 ϕ

∞

:= eγh k và

N N1 +M1 N2

Λ1 ϕ ∞ + Λ1 L(·) ∞


 1−e−α
k :=
+N {R(ϕ, β, h) + R( L(·) , β, h)}



 M N1 +M1 N2 Λ ϕ + Λ L(·)
1

∞
1
1−e−α
∞

+ Λ1 L(·)

1−β
α(1+β)

1−β
1+β

∞

eαh

+ < 1,

(3.10)

nếu 0 < β < 1,
nếu β = 0,

thì phương trình (3.2) có một đa tạp quán tính.

3.5

Ứng dụng vào phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán

Chúng tôi áp dụng các kết quả thu được để nghiên
trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán

∂ 2w
∂w



−
d
= −ψ(t)w(t − 1, x)(1 + w),
 ∂t
∂x2
w(t, 0) = w(t, π) = 0,




w(θ, x) = φ(θ, x),
trong đó d là một hằng số dương.

20

cứu dáng điệu tiệm cận của phương

t

s,

t

s,

x ∈ (0, π),

θ ∈ [−1, 0], x ∈ (0, π),

(3.11)


Chương 4
ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM
TRUNG TÍNH

Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương
trình đạo hàm riêng hàm trung tính ∂(F∂tut ) + A(F ut ) = Φ(t, ut ), trong đó toán tử đạo hàm
riêng A là xác định dương, có phổ rời rạc thỏa mãn điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn; toán tử sai
phân F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, và toán tử trễ phi tuyến Φ thỏa mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là Φ(t, φ)
ϕ(t)(1 + |φ| Cβ ) và Φ(t, φ) − Φ(t, ψ)
ϕ(t)|φ − ψ| Cβ ,
trong đó ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được xác định trên đường thẳng thực
R. Phương pháp được sử dụng trong chứng minh là dựa vào phương trình Lyapunov-Perron
kết hợp với tính chấp nhận được của không gian hàm và kỹ thuật chọn quỹ đạo F -cảm sinh.
Nội dung của chương này được viết theo công trình [2] trong Danh mục các công trình
khoa học liên quan đến luận án.

4.1

Đặt bài toán

Xét phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng

 ∂ (F u ) + A(F u ) = Φ(t, u ), t > s,
t
t
t
∂t

us = φ,

(4.1)

trong đó A là một toán tử tuyến tính không bị chặn trên một không gian Hilbert X; F : Cβ →
X là một toán tử tuyến tính bị chặn, được gọi là toán tử sai phân, Φ : R × Cβ → X là một
toán tử phi tuyến liên tục, được gọi là toán tử trễ, trong đó ta ký hiệu Cβ := C([−h, 0], Xβ ) là
không gian Banach tất cả ánh xạ liên tục từ tập hợp compact [−h, 0] vào không gian Xβ , với
Xβ := D(Aβ ) là miền xác định của lũy thừa bậc phân thứ Aβ của toán tử A, với 0 β < 1
và ut là hàm lịch sử xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với mọi θ ∈ [−h, 0].
Trong trường hợp không gian trạng thái là vô hạn chiều, thay cho phương trình đạo hàm
riêng hàm trung tính (4.1), chúng tôi xét phương trình tích phân
t

F ut = e−(t−s)A F us +

e−(t−ξ)A Φ(ξ, uξ )dξ

với t

s hầu khắp nơi.

(4.2)

s

Định nghĩa 4.1. Đa tạp quán tính đối với phương trình (4.1) là một họ các đa tạp M =
Mt t∈R trong Cβ có dạng
Mt = p˜(θ) + Γt (˜
p(θ)) : p˜(θ) ∈ P Cβ

⊂ Cβ

với mọi t ∈ R

với Γt là một ánh xạ đi từ P X vào (I − P ) Cβ , thỏa mãn các tính chất
21

(4.3)


(1) Với mọi t ∈ R, Mt là đồ thị của ánh xạ Lipschitz Γt (·) với hệ số Lipschitz không phụ
thuộc vào thời gian t, tức là, tồn tại một hằng số dương C không phụ thuộc vào t sao
cho
|Γt (p1 ) − Γt (p2 )| Cβ C p1 − p2 Xβ .
(2) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi u0 ∈ Mt0 có tương ứng một và chỉ một nghiệm u(t) của
phương trình (4.2) trên nửa đường thẳng (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = u0 và
sup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞.

(4.4)

t t0

(3) Đa tạp M = Mt t∈R là F -bất biến dương đối với phương trình (4.2), tức là nếu
u(t), t ∈ R là một nghiệm của phương trình (4.2) thỏa mãn điều kiện ut0 ∈ Mt0 và
supt t0 ut Cβ < ∞ với t0 ∈ R, thì ta có ut ∈ Mt với mọi t ∈ R, trong đó ut được xác
định như trong Bổ đề 4.2 với t0 được thay thế bởi t, tức là
ut (θ) := F ut−θ

với mọi θ ∈ [−h, 0] và t ∈ R.

(4) Đa tạp M = Mt t∈R có tính chất F -hút cấp mũ tất cả nghiệm của phương trình (4.2),
tức là với mọi nghiệm u(·) của (4.2) và mỗi điểm cố định s ∈ R, tồn tại một nghiệm
ut ∈ Mt , và tồn tại một hằng số dương H sao cho
|ut − ut | Cβ

He−γ(t−s)

với t

s,

(4.5)

với γ là hằng số đã được xác định ở tính chất (4.4).

4.2

Phương trình Lyapunov-Perron

Bổ đề 4.2. Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết A và Φ : R × Cβ → X là ϕ-Lipschitz với
ϕ thỏa mãn Giả thiết D. Với t0 ∈ R cố định, giả sử u(t) là một nghiệm của phương trình
tích phân (4.2) sao cho u(t) ∈ Xβ với mọi t ∈ (−∞, t0 ] và
sup eγ(t−t0 ) u(t)
t t0

trong đó γ =

λn+1 +λn
.
2

Xβ

<∞

Khi đó, với t ∈ (−∞, t0 ], nghiệm u(t) sẽ thỏa mãn

F ut = e−(t−t0 )A p +

t0

G(t, τ )Φ(τ, uτ )dτ

với mọi t ∈ (−∞, t0 ],

−∞

trong đó p ∈ P X và G(t, τ ) là hàm Green được xác định như trong (1.11).

4.3

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

Với mỗi t0 ∈ R ta giới thiệu không gian Banach
Q−
γ,t0 :=

v ∈ C (−∞, t0 ], D(Aβ ) : sup eγ(t−t0 ) v(t)
t t0

22

Xβ

<∞ .

(4.6)


Bổ đề 4.3. Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết A và số hạng phi tuyến Φ : R × Cβ → X
thỏa mãn Giả thiết D. Nếu := eγh k < 1, trong đó

1−β
1+β
 M (β β N1 +λβn+1 N1 +λβn N2 )
1−β
β
Λ1 ϕ ∞ + M β R(ϕ, β, h) α(1+β)
eαh nếu 0 < β < 1,

1−e−α
k :=
 M (N1 +N2 )
Λ1 ϕ ∞
nếu β = 0
1−e−α
thì với mỗi t0 ∈ R cố định và với mỗi p ∈ P X, tồn tại duy nhất hàm v(p) ∈ Q−
γ,t0 thỏa mãn
phương trình tích phân (4.6) với mọi t ∈ (−∞, t0 ] với P v(p)(t0 ) = p. Ngoài ra,
|v(p)|−
γ < ∞,

(4.7)

|v(p) − v(q)|−
γ

4.4

M λβn
1−

Aβ (p − q) .

(4.8)

Sự tồn tại của đa tạp quán tính

Định lí 4.4. Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn Giả thiết A và số hạng phi tuyến Φ là
ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết D. Nếu

<1

và

2γh
M 3 N2 λ2β
n e
Λ1 ϕ
(1 − Ψ − )(1 − e−α )

1
1− Ψ

trong đó

 M (β β N1 +λβn+1 N1 +λβn N2 )
Λ1 ϕ
1−e−α
k :=
 M (N1 +N2 )
Λ1 ϕ ∞
1−e−α

∞

1−β
α(1+β)

β

+ M β R(ϕ, β, h)

∞

1−β
1+β

+

eαh

< 1,

(4.9)

nếu 0 < β < 1,
nếu β = 0

:= eγh k
thì phương trình (4.2) có một đa tạp quán tính.

4.5

Một ví dụ minh họa

Chúng tôi áp dụng các kết quả thu được để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của phương
trình đạo hàm riêng hàm trung tính

0
∂w(x, t)

∂w(x, t − 1)
∂ 2 w(x, t)
∂ 2 w(x, t − 1)

−α|t|


−k
=
−k
+ bte
ln(1 + |w(x, t + θ)|)dθ,


∂t
∂t
∂x2
∂x2

−1









với x ∈ [0, π], t

s

t

s

w(0, t) = w(π, t) = 0,
ws (x, θ) = w(x, s + θ) = ψ(x, θ),

với x ∈ [0, π], θ ∈ [−1, 0],

23