Sách giao bài tập - Học phần: Toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN: TOÁN LÝ

PHẠM THANH HIẾU

SÁCH GIAO BÀI TẬP
Học phần
Số tín chỉ
Mã số

: Toán cao cấp
: 02
: MAT121

Thái Nguyên, 2017


CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
1. Nêu khái niệm các loại ma trận, cho ví dụ?
2. Nêu các phép toán về ma trận và các tính chất?
3. Khái niệm định thức và các tính chất, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và
các bước tính?
4. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các loại hệ phương trình tuyến tính đặc
biệt (hệ thuần nhất, hệ Cramer, …).
5. Nêu phương pháp biến đổi sơ cấp để giải hệ phương trình tuyến tính?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài tập 1: Thực hiện phép nhân hai ma trận:

a)

 5 7  1 5 7 



c)  4 0 7   1 9 
 3 6 5  4 0 



Bài tập 2: Tính các định thức sau:
1 2 1
1 2 0

a) 1
3

0

 4 7

 9 5  1
  3 5 
b) 
 4 12 5 

 0 6

  3 4  10 5 




 11 6   2 7 

3;

4 1

b) 3 4 1 ;
1 1 1

1 2 1
c) 0 1 3 ;

2
d) 0

0 2 4

5 3
0

3 1

Bài tập 3: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận (nếu có):
 1  2 3
1 2  5 
 2 2 3







A 4
0 5 ;
B  1  3 3 ; C   1  1 0 
  1 2 3
1 1  2 
 1 2 1






1 2 3 4
 2 1 0 0
1 2 1





 0 1  2 4
 3 2 0 0
3 8 0
D
;

E

;
F

 1 1 3 4
2 2  4
0 0 2 0





 0 0 0 3
 2 1 2 3
 3 8 1
Bài tập 4: Giải phương trình ma trận:

 1 1  2
 0


 
1)  2  1 1  X   2  ;
2)
 4 1  2
 3


 

0  1 1 5 
2 1

 

3) X  3  1 1    2 0  3  ;
 1 3  2  4 1
0 

 

0 
2 1


3

1
1

X
 1 3  2


1 2

4)  2 7
3 9


1

2 ;
6

 2

 4
 3

 6 

1 1 5 


  2 0  3
4 1
1 

0
  1

 
1X   2 
1
0 
 

0 1 5
e) 3

2

7

1 3 6


 1 2  3
 1  3 0




5)  3 2  4  X  10 2 7  ;
 2 1 0 
10 7 8 




1 1 0 
1 2 0 1 




7)  2 1 1  X   0  1 2 3  ;
 0 2  1
 2 1 1  2





Bài tập 5: Tìm hạng của ma trận:

 1 1  1  1  1 3 

 

6) X  2 1
0    4 3 2
1 1 1  1  2 5

 

1  1 1 

  6 2 7 

8) X 1 0  1   
15
2

13

1 1  2  


 4


 2
2) 
2

 4

1

1
4) 
0

1


 1 1 3


1)  1  2 1 
 2 1 2


3 
1 1 4


4 
3 5 6
3) 

4 5 2
3 


 3 8 24  19 


Bài tập 6: Giải hệ phương trình:
1)

2 x1  x2  x3  x4
x  2x  x  x
 1
2
3
4

 x1  x2  2 x3  x4
 x1  x2  x3  2 x4

1
1
1

(I )

1

 x  3 y  2 z  3


3) 2 x  y  3z  6
3x  y  4 z  11

3x1  x2  2 x3  5 x4  1

5)  x1  x2  3x3  x4
0
2 x  3x  8 x  3x  3
2
3
4
 1

 x1  2 x2  x3  2 x4  2
2 x  x  x  x
3
 1 2 3 4
7) 
 x1  3x2  2 x3  x4  5
3x1  x2  2 x3  x4  1
2 x1  3x2  5 x3  2

9) 3x1  2.5 x2  4 x3  10
4 x  3x  2 x  2
2
3
 1

2)

1
3
2
3
2
3
3
1

1
2
3
1
1
2
3
0

 x1  x2  2 x3  3x4
3x  x  x  2 x
 1 2
3
4

2 x1  3x2  x3  x4
 x1  2 x2  3x3  x4

3
0
3

1

1
2 

2
3 
2
2 

 2  3 

1
 4
 6
 4

2 x  y  3z  1

4) 3 x  4 y  2 z  3
5 x  2 y  z  2

4 x  y  z  1
3x  2 y  z  0

6) 
 x  5 y  2 z  0
7 x  7 y  4 z  2
3x1  5 x2  2 x3  4 x4  2


8) 7 x1  4 x2  x3  3x4  5
5 x  7 x  4 x  6 x  3
2
3
4
 1
 x1  3x2  x3  x4  7

10) 2 x1  5 x2  x3  2 x4  22
3x  8 x  x  x  24
2
3
4
 1

2

2

1
3

1 

(I )


 x1  x2  2 x3  2 x4  3
2 x  x  5 x  2 x
6


2
3
4
11)  1
 6 x4  3
 x1  4 x2
 2 x1  4 x2  4 x3  x4  3
 x1  2 x2  3x3  2
x  x  x
0

2
3
13)  1
 x1  3x2  x3  2
3x1  4 x2  3x3  0
 x1  x2  x3  x4  2
x
 x3  2 x4  0

15)  1
 x1  2 x2  2 x3  7 x4  7
2 x1  x2  x3
3

 x1  2 x2  3x3  4 x4  5
2 x  x  2 x  3 x  1

3

4
12)  1 2
3x1  2 x2  x3  2 x4  1
4 x1  3x2  2 x3  x4  5
4 x1  2 x2  x3  7
x  x  x
 2

3
14)  1 2
2 x1  3x2  3x3  11
4 x1  x2  x3  7

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
1. Nêu định nghĩa giới hạn và các tính chất?
2. Nêu một số giới hạn cơ bản và một số dạng giới hạn vô định?
3. Định nghĩa sự liên tục của hàm số? Mối liên hệ với giới hạn?
4. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và các quy tắc tính đạo hàm của một số hàm sơ cấp?
5. Nêu khái niệm hàm số nhiều biến, so sánh với khái niệm hàm số một biến, cho ví
dụ?
6. Nêu khái niệm đạo hàm riêng của hàm số 2 biến? So sánh với đạo hàm của hàm số
một biến?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 2:
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

 x  3
1) lim 


x   x  2 

3x  2

;

 x3  1 
;
4) Lim
x1
 x 1 
x 1 1
7) Lim
;
x0
x

 x2  1

10) lim  2
x   x  1 



 x2  2 

2) Lim 2
x x  1 



x3  8
5) Lim
;
x2 x  2

8) Lim
x2

x2

x 2 5

;

 2  2x 
3) Lim

x  3  2 x 

6) lim

x3

x2
;
x2

x2

 x2  3 


11) lim  2
x   x  2 



3

;

x 2  x  12
;
x3

9) Lim
x2

x 1

x2
.
x2

 2x  1 
13) lim 

x   2 x  3 

x 1

 1  3x 
14) lim 

x   2  3x 

2 x 1

 4x  1 
17) lim 

x   4 x  5 

2 x 3

 4 x3  1 

19) lim 
x   4 x 3  5 

1 3 x

 2x 2  1 

16 ) lim  2
x   2 x  3 



 2x  5 

15) lim 

x  2 x  1 

 4x2  1 

18) lim 
2

x   4 x  5 

x 2 1

2 x 2 3

2 x3 3

3
3  2 x 1

 1  3x

20) lim 
3

x   2  3 x 

 2x  5 
23) lim 


x   2 x  5 

 4x2  7 

26) lim 
2

x   4 x  1 

x 1



21) lim 1  3x
x 0

13 x

2

2

x

2

1 3 x 2

 2x  5 


24) lim 
2

x   2 x  5 

5 3 x 2

2

13 x 3

 2 x3  5 

27) lim 
3

x   2 x  5 

x3  2

 x3  x 3
22) lim 1  
3 
x 0

 4x  7 
25) lim 

x   4 x  1 
 4 x3  7 


28) lim 
3

x   4 x  1 

5 3x

5 3 x 3

5 x2 4

5x  4

 7x2  2 

30) lim  2
x  7 x  5 


Bài tập 2: a) Tìm giới hạn của hàm số (nếu có):
5
x 1
x 1
1) lim
;
2) Lim
;
3) Lim
.

x2 x  2
x1 x  1
x x  1
5
x 1
; y
. Sau đó giải thích kết quả giới hạn
b) Vẽ đồ thị của các hàm số y 
x2
x 1
trên dựa vào đồ thị hàm số.
Bài tập 3: Chi phí của việc loại bỏ đi p% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trong hồ
nhỏ được tính bởi hàm số:
25000 . p
C
; 0  p  100 ;
100  p
Trong đó: C là chi phí (tính bằng đôla); p là phần trăm của tác nhân.
a) Để loại bỏ 50% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trên cần chi phí hết bao
nhiêu?
b) Nếu chi phí 100.000$ thì loại bỏ được bao nhiêu phần trăm tác nhân gây ô
nhiễm nguồn nước.
c) Tính Lim C. Giải thích kết quả đó.

 7x  2 
29) lim 

x   7 x  5 

p100

Bài tập 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó.
5  x  1  x  2
 x  2,  1  x  3
1) y  f ( x)   2
;
2) y  f ( x)  
;
2
2 x3
3 x 5
 x  1,
14  x ,

4


3) y  f ( x)  3  x ;
4) y  f ( x)  x  2;
b) Vẽ đồ thị mỗi hàm số trên và giải thích tính liên tục trên đồ thị hàm số.
Bài tập 5: Chi phí của việc bỏ đi x% tác nhân gây ô nhiễm môi trường từ các ống khói
của các nhà máy có thể mô hình bằng:
2x
C
.
100  x
Trong đó: C là chi phí (tính bằng Triệu đôla), x là phần trăm của tác nhân.
a) Tìm miền xác định của hàm số trên. Miền xác định trên cho chúng ta biết gì về
mức độ ô nhiễm?
b) Vẽ đồ thị hàm số trên. Hàm số đó có liên tục trên miền xác định của nó không?

Giải thích kết quả đó.
c) Để loại bỏ được 75% tác nhân gây ô nhiễm cần chi phí hết bao nhiêu?
Bài tập 6: Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau đây:
2x
1) y  ( x 7  5 x 2 ) 3 ;
2) y  ( x 2  1)(5  3x 2 );
3) y  2
;
x 1
1 x
4) y 
;
5) y  2  5 x  x 2 ;
6) y  x. cot x;
1 x
sin x  cos x
sin x
x
7) y 
;
8) y 

;
9) y  1  2 tan x ;
sin x  cos x
x
sin x
x
10 ) y  sin 1  x 2 ;
11) y  cos

;
12 ) y  tan 2 x  cot 2 x;
x 1
1
13) y  ( x  1)e 2 x ;
14 ) y  x 2 e 4 x  1;
15) y  (e x  e  x );
2
ln( x 2  1)
2
2
2
16 ) y  (3x  1) ln x;
17 ) y  x  1. ln x ;
18) y 
.
x
Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
1
1
1
1) y 
;
2) y 
;
3) y 
;
x 1
1 x
(1  x)(1  x)

1
x2
5
4) y  2
;
5) y  2
;
6) y  2
;
x  2x  3
x  2x  3
2x  x 1
7) y  (3x 2  2 x  1).e3 x ;
8) y  (2 x 3  x)e 2 x ;
9) y  (2 x 2  4 x) sin 2 x.
Bài tập 8: Hệ số góc của tiếp tuyến (hay còn gọi là độ dốc) của hàm số tại một điểm
cho biết gì? Nêu các cách tính hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại một điểm.
Áp dụng giải bài toán thực tế sau:
Từ năm 1998 đến năm 2003, doanh thu R ( Triệu đôla/năm) của công ty
Microsoft Corporation được mô hình bởi hàm số:
R  174 ,343t 3  5630 ,45t 2  63029 ,8 t  218,635, 8  t  13.
Khi t=8 chỉ ra là năm 1998. Doanh thu của công ty đã thay đổi với tốc độ như
thế nào vào thời điểm năm 1999?
Bài tập 9: Ta biết rằng vận tốc trung bình của một vật mà di chuyển trong khoảng thời
gian xác định được đo bởi:
vtb= (quãng đường vật đi được)/ (thời gian để đi được quãng đường trên).

5

s s(t )  s(t0 )

.
t
t  t0
Khi đó vận tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho mức độ chuyển
động nhanh hay chậm của vật tại 1 thời điểm đó) là giới hạn hữu hạn:
s(t )  s(t0 )
v(t0 )  lim
 s' (t0 ).
t t0
t  t0
Gia tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận
tốc) là giới hạn hữu hạn:
v
a(t )  lim
 v' (t )  s' ' (t ).
t 0 t
Áp dụng giải bài toán sau:
Một vật rơi tự do theo phương trình s  gt 2 , trong đó g  9,8 m / s 2 là gia tốc
trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s)
đến t  t , trong các trường hợp t  0.1s; t  0.05s; t  0.001s.
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s.
c) Tìm gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s.
Bài tập 10: Khái niệm tỷ lệ biến đổi còn được dùng trong kinh tế học. Các nhà kinh tế
học đã chỉ ra rằng lợi nhuận biên, doanh thu biên, chi phí biên (phản ánh tốc độ biến
thiên của lợi nhuận, doanh thu, chi phí đối với x đơn vị sản phẩm được sản suất hay
được bán ra) . Do đó nó được đo bằng giới hạn của tỷ số giữa sự thay đổi về tổng lợi
nhuận (hay tổng doanh thu, tổng chi phí) và sự thay đổi về tổng số đơn vị sản phẩm

được sản suất hay được bán ra, tức là:
Nếu kí hiệu P = tổng lợi nhuận; R = tổng doanh thu; C = tổng chi phí thì ta có:
P = R - C;
và
=

P dP
;

x 0 x
dx

Lợi nhuận biên = Lim

R dR

;
x0 x
dx
C dC

Chi phí biên = Lim
x0 x
dx

Doanh thu biên = Lim

Áp dụng làm bài toán sau:
Lợi nhuận thu được từ bán x cái đồng hồ báo thức được mô hình bởi hàm số:
P = 0.0002 x3  10 x .

a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản suất của 50 chiếc.
b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản suất từ 50 đến 51
chiếc. So sánh con số đó với lợi nhuận biên và rút ra kết luận.
Bài tập 1: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :
1) f ( x, y)  sin(2 x2 y3 )  e xy ;
2) f ( x, y)  cos(x 2 y 4 )  e x ;
2

3) f ( x, y)  e x y  3x4 y5 ;
5) f ( x, y)  e x y  cos(5x2 ) ;
7) f ( x, y)  ( x 2  3 y)5 ;
2

3 3

4) f ( x, y)  e x y  5x4 y 2 ;
6) f ( x, y)  cos(5 y 2 )  (3x2 y  y)2 ;
8) f ( x, y)  2 x  3 y ;
3 3

6


2

10) f ( x, y ) 

9) f ( x, y)  x.e x y ;
11) f ( x, y )  ln

x y
;
x y

13) f ( x, y ) 

xy

12) f ( x, y )  ln x 2  y 2 ;

14) f ( x, y)  ln( x 2  y );

;

x2  y2
x y
15) f ( x, y )  ln
;
( x  y) 2
17) f ( x, y )  ln

xy
;
x  y2
2

16) f ( x, y ) 

xy
;

x y

4 xy
x y
2

2

;

18) f ( x, y)  arctan x 2  y 2 ;
2

19) f ( x, y)  ( x  y)e  ( x  y ) ;
Bài tập 12: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số :

1) z  x 3  4 y 2 ;
4) z 

x
;
x y

2) z  9  x 2  y 2 ;
5) z  xe y  y.e x ;

7) z  ( x  y ) ;
2

3) z 

6) z  ln( x  y );

x2  y2
9) z 
;
2 xy

8) z  ln( x  y  1);

2 23

2

2

10) z = f ( x, y)  arcsin xy ;
x
12) f ( x, y ) 
;
x y

xy
;
x y

11) f ( x, y)  e

x y

;

13) f ( x, y)  ln( x 2  y 2 ) ;

14) f ( x, y)  1  x 2  y 2 ;
15) f ( x, y)  arctan(x  y) ;
Bài tập 13: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến số :
1) f ( x, y)  cos(xyexy ) ;
2) f ( x, y)  sin(xyexy ) ;
3) f ( x, y)  ln x. x  y ;



4) f ( x, y)  ln x 2  y 2 ;

5) f ( x, y)  e

x2  y2

;



6) f ( x, y)  sin xe2 x 3 y .

III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của
đạo hàm, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau
1. Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bò liền nhau có cùng diện tích là
15m2 bằng dây thép gai. Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước
như thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất?

2. Một người chăn nuôi bò sữa có 200m rào để quây hai chuồng bò bằng nhau
hình chữ nhật. Hỏi người đó nên quây chuồng có kích thước như thế nào để
diện tích mỗi chuồng là lớn nhất?
3. Một công ty vừa xác định tổng doanh thu (đôla) cho một sản phẩm được cho
bởi hàm số sau:
R   x 3  450 x 2  52500 x

7


Trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất ( x  0) . Hỏi công ty nên đưa
ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu lớn nhất.
4. Sự lây lan của virut có thể được mô hình bởi:
N  t 3  12t 2 ,
0  t  12.
Với N là số lượng người bị nhiễm (hàng trăm người), t là thời gian tính bằng
tuần.
a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên?
b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào?
5. Giá dâu tây trong tuần đầu tiên của vụ thu hoạch là 4$ trên một thùng dâu tây (1
thùng =36 lít). Trong mỗi tuần tiếp theo giá sẽ giảm đi 0,1$ trên mỗi thùng.
Người trồng dâu tây ước tính rằng hiện tại tuần đầu có khoảng 120 thùng dâu
tây trên cánh đồng có thể thu hoạch được và lượng dâu tây đến kì thu hoạch
đang tăng lên với tỷ lệ 4 thùng trên một tuần. Hỏi người trồng dâu tây nên thu
hoạch vào thời điểm nào để nhận được khoản tiền lớn nhất? Thời điểm đó
người ta thu được bao nhiêu thùng dâu tây? Và số tiền lớn nhất mà người trồng
dâu tây có thể nhận được là bao nhiêu?
6. Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy có
trong ao khi rác thải bị oxy hóa được mô hình bởi:
t 2  t 1

O 2
; t  0.
t 1
Với t là thời gian tính bằng tuần.
a) Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu?
b) Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu?

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT:
1.
Nêu khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định, cho ví dụ?
2.
Nêu các phương pháp tính tích phân (tính trực tiếp, tích phân từng phần, đổi
biến)
3.
Nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định, cho ví dụ?
4.
Nêu các phương pháp tính tích phân xác định và so sánh với các phương pháp
tính tích phân bất định?
5.
Nêu các ứng dụng của tích phân xác định trong hình học, vật lý, kinh tế,...?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 3:
8


Bài tập 1: Tính các tích phân

1)



1  x2  1  x2
1 x

4

dx;

2)

4)  x 2 3 x 3  2dx;

7)



3xdx
1  4x2

5) 

13)  e 2 x . cos xdx;

dx
16) 
;
3  2x2

17 )

sin x  cos x
 3 sin x  cos x dx;
dx
22) 
;
1  e 2 x
1
(ln 2 x  )dx
x
25) 
;
ln x

30)



x 3  3x  4

4  x2
dx;
x2



20) 

19)

1  x4
x2  1

x2  1

x 3  3x  4
dx
11) 
;
3  4x2
xdx
14) 
;
1  cos x

10)  4 1  5 xdx;



 4 xdx
;
(1  2 x 2 ) 2

8) 

;

1  x2  1  x2

x7

 x 2  x  6 dx;

cos3 xdx
;
sin 2 x

 e3 x
23) 
dx;
2  e3 x
( x  cos x)dx
26) 
;
sin 2 x



3xdx

dx

28)

dx

31)  5 x.e 0.06 x dx

1  4x

9

2

3) 

2x  1
x

4
3

dx;

6)  x 3 (3x 4  1) 2 dx;

dx;

x3  x  1
 x 4  x3 dx;

9)

12) 

dx
;
4  5x 2

15)  5 x.e 0.06 x dx

18)



1  x2
dx;
x2

21) 

dx
sin 3 x

24) 

dx
;
x. ln 2 x
2

(5 x 2 .e 5 x  x 3 )dx
27 ) 
x

29)  e 2 x . cos xdx


Bài tập 2: Tính các tích phân:
2

1

1)   x   dx;
x
0
1

3 

2)   e 2 x 
dx;
x

1


0
1

e

1

4)  ln x dx;
1





2

2

cos xdx
;
1

sin
x
0

4x  2
dx;
2
10 x  x  2

2x
dx;
x3  1

0

e

1
12

2

5) 

6) 

3

dx
;
1

cos
x
0

7) 

x3  x 2  x
dx;
x

3

3) 

8) 

dx
;
sin 2 x

9) 


4


1

1

xdx
10 ) 
;
x
0 1

e

11) 

x

2

e e
x

0

x

12 )  e x . cos xdx;

dx;

0


e

2

13)  x 2 ln xdx;

14 )  3

1

0

sin x  cos x
dx;
sin x  cos x

0

15) 

1

dx
2  3x

2

;



x x  x 3 ln x
dx;
x

e

16 ) 
1

x  sin x
dx;
1

cos
x
0

2x2  x  1
dx.
3

x

1
0

1

2

17 ) 

18) 


a

e

19 )  a  x dx;
2

20 ) 

2

0

1

x  sin 3 x

21) 
dx;
0 1  cos x
2

dx
x 1  ln 2 x

;



x 2 .e  x  x  1
24 ) 
.
x
1

1
sin 3 x  2 cos x  2
xe3 x  x
22 ) 
dx; 23)  x
dx;
1  cos x
0
0 e 1

2

2

1

25)   e
0
 /2



28)

0

2x



0
1

34) 

0

 /2

27)



0

cos x
dx
1  sin x



sin x  cos x
dx ;
3
sin x  cos x
ex

1

31)

12

dx ; 26)  4 x  1 dx ;

2

x2  x  1 
10 x  x  2

3

e  e
x2
dx
x3  1
x

0

x

32)

30)


1

1

dx ;

e

2

29)  e x cos xdx ;

1

0

10

dx
x 1  ln x
2

e

x
x

dx

33)

x
1

2

dx
ln xdx ;


Bài tập 3: Tính các tích phân suy rộng:


1) 

2



1
1
. sin dx;
2
x
x

2) 

0

arctan x
dx;
(1  x 2 ) 3 2



3) 

0

x2 1
dx;
x4 1





4) 

a2



dx
x 1 x2

5) 

;

2

dx
x x2 1



;

2

6)  x.e  x dx
0

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [-a; a] thì

a

a)

 f ( x)dx  0 , nếu

a
a

b)



a

f (x) là hàm lẻ;

a

f ( x)dx  2  f ( x)dx , nếu f (x) là hàm chẵn.
0

Bài tập 4: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x 4 ; trục

hoành và hai đường thẳng x  1; x  2.
Bài tập 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  3x  4 và trục
Ox.
Bài tập 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 và y  x.

III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của
tích phân xác định, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau
1. Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được đo
bởi:
dP
3000

;
dt 1  0.25t
Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày. Khi t = 0 thì số vi khuẩn p =
1000.
a) Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t.
b) Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày.
c) Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con.
2. Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi:
dR
100
 50  0,02 x 
,
dx
x 1
Với x là số lượng hàng hóa đã bán.
a) Tìm hàm doanh thu R biết khi x  0  R  0. .
b) Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm.
c) Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla.
3. Mức lương trung bình cho một người quản lý ( S đôla) ở Mỹ được thay đổi với
tỷ lệ:
dS
 2621,7.e 0,07t ;

dt

11


Với t = 5 tương ứng với năm 1995. Năm 2001, mức lương trung bình cho người
quản lý đã là 118,496 đôla.
a) Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm.
b) Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiêu?
4. Do sự cung cấp thiếu oxy nên cá hồi trong hồ đang bị chết dần. Tỷ lệ thay đổi
của số lượng cá hồi trong hồ được đo bởi:
t

dP
 125 .e 20 .
dt
Với t là thời gian tính bằng ngày. Khi t =0 thì số cá hồi trong hồ là 2500.
a) Viết phương trình mô tả số lượng cá hồi theo thời gian t.
b) Số lượng cá hồi còn là bao nhiêu sau 15 ngày.
c) Sau bao lâu thì toàn bộ số cá hồi bị chết.
5. Một vườn ươm cây xanh thường bán một loại cây bụi sau 5 năm trồng và chăm
sóc. Tỷ lệ phát triển của cây sau 5 năm được đo bởi:
dh
17 ,6t
,

2
dt
17 ,6t  1
Với t là thời gian tính bằng năm, h là chiều cao của cây tính bằng cm. Biết mầm

cây t rước khi đem ươm cao 6 cm.
a) Tìm hàm số mô tả chiều cao của cây.
b) Khi cây được đem bán thì chúng cao bao nhiêu?
dP
 0,0005 x  12,2.
6. Lợi nhuận biên cho một loại sản phẩm được mô hình bởi:
dx
a) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 101 đơn vị sản
phẩm.
b) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị sản
phẩm.
7. Một tổ chức bảo tồn động vật hoang dã đã công bố rằng có 100 động vật của
một loài động vật nguy hiểm được đưa vào khu vực bảo tồn. Tổ chức này tin
tưởng rằng số lượng động vật của loài sẽ tăng lên với tỷ lệ:

dN
125 .e 0,125t

,
dt (1  9.e 0,125t ) 2
Với N là số động vật, t là thời gian tính bằng tháng. Biết tại t=0 thì N
=100, hãy tìm số động vật của loài sau thời gian 2 năm.
8. Tổng chi phí mua và bảo dưỡng một bộ phận của một thiết bị trong x năm
được mô hình bởi hàm
số

1


x


C  5000 . 25  3. t 4 dt ,


0



Tìm tổng chi phí sau:

12


a) 1 năm;
b) 5 năm;

9. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc
a(t )  3t  t 2 (m / s 2 ). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10
(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT:
1. Nêu các khái niệm phương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi
phân?
2. Nêu khái niệm phương trình vi phân cấp 1 và dạng tổng quát của một
số phương trình vi phân với biến số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính cấp
1?
3. Nêu khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và các bước
giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 4:
Bài tập 1 : Giải các phương trình vi phân cấp 1
1) xdx  ( y 2  1)dy  0;
2) e y dy  2 xdx  0;
2

3) x.e x  y. y '  0;
5) x

dy 1
 ;
dx y

4)

dy x 2  2

;
dx
3y2

6) e x ( y '1)  1;

9) xy'2 y  x 2 ;

dy
 x 2 (1  y ).
dx
10 ) x 3  2 x 2 y '3 y  0;

11) xy' y  xe x ;

12 ) y  1  ( x  1) y ' ;

13) xy' y  x 3 y;
dy y
15)   3 x  4;
dx x

14 ) x  x 2 ( y ' y );

17 ) xy' y  x 2 ln x;

18)

7) x( y  4)  y '  0;

19 ) y '5 y  e 5 x ;

8)

2

16 ) x 3 y '2 y  e1 x ;
dy
 3 y  e 3 x ;
dx
20 ) ( x  1) y ' y  x 2  1;

13

dy x  y

;
dx x  y
dy 3x  y  4
23)

;
dx x  y  5

dy 2 x  3 y  1

;
dx
x y3
dy x  y  1
24 )

;
dx x  y  1

21)

22 )

Bài tập 2: Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân
1) y' y  e x  0;
2) x  y y'  0;

y(0)  4;
y(1)  4;

3) (1  x ) y ' xy  1;

y (0)  0;

4) xy'3 y  x 4 ;

y (1)  0;

2

y
e2
5) y '
 x ln x;
y (e)  ;
x ln x
2
dx
dy
6)

 0;
y (1)  1;
x( y  1) y ( x  2)
7) (1  e 2 x ) y 2 dy  e x dx;
y (0)  0;

Bài tập 3 : Giải các phương trình vi phân cấp 2
1) y ' '4 y '  12 x 2  6 x  4;
2) y ' '5 y '6 y  x.e  x ;

3) y ' ' y '6 y  e 2 x ;

4) y ' '3 y '  e 3 x ;

5) y ' '2 y '4 y  12 x.e 2 x ;

6) y ' '4 y '13 y  9 x.e 2 x ;

7) y ' '6 y '9 y  2e 3 x ;

8) y ' '4 y  ( x  1)e x ;

9) y ' '10 y '11 y  24 e  x ;

10 ) y ' '4 y '4 y  e 2 x ;

11) y ' '3 y '  e 3 x  18 x;

12 ) y ' '8 y '16 y  e 4 x ;

13) y ' '6 y '9 y  (16 x 2  16 x  6)e x ;
14 ) y ' ' y '2 y  e x  x.e 2 x .
Bài tập 4 : Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân
1) y ' '7 y '6 y  x.e x ;
y (0)  1; y ' (0)  6;
2) y ' '4 y '3 y  e5 x ;

y (0)  3; y ' (0)  9;

3) y ' '2 y '15 y  (15 x  13)e 2 x ;

y (0)  1; y ' (0)  4.

14