Phân tích và thực nghiệm xác định hình dạng tháp Tensegrity ba tầng

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020. 14 (3V): 118–127

PHÂN TÍCH VÀ THỰC NGHIỆM XÁC ĐỊNH HÌNH DẠNG THÁP
TENSEGRITY BA TẦNG
Bùi Quang Hiếua,∗, Võ Doãn Quâna , Hoàng Quốc Khanha , Dương Minh Luậna ,
Trần Phước Lâma , Nguyễn Hữu Đạta
a

Khoa Xây dựng dân dụng và công nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng,
số 54 đường Nguyễn Lương Bằng, quận Liên Chiểu, Đà Nẵng, Việt Nam
Nhận ngày 30/03/2020, Sửa xong 10/06/2020, Chấp nhận đăng 17/06/2020

Tóm tắt
Kết cấu Tensegrity ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các công trình dân dụng vì độ tin cậy cao, sử dụng
vật liệu hiệu quả, vượt nhịp lớn và có khả năng đóng mở. Đây là loại kết cấu bao gồm các thanh chịu nén không
liên tục nằm trong các dây cáp chịu kéo liên tục. Phân tích hình dạng cho kết cấu này là cần thiết trong giai
đoạn thiết kế ban đầu để tìm ra hình dạng mà tại đó ứng suất trước trong các cấu kiện là tự cân bằng với nhau.
Bài báo này áp dụng phương pháp mật độ lực tương thích trong việc xác định hình dạng của tháp Tensegity ba
tầng. Quy trình thực nghiệm bằng thanh gỗ và dây cáp thép để minh chứng cho kết quả phân tích cũng được
giới thiệu trong bài báo này.
Từ khoá: kết cấu Tensegrity; phân tích hình dạng; phương pháp mật độ lực tương thích; tháp Tensegrity ba tầng.
ANALYSIS AND EXPERIMENT FOR FORM-FINDING OF THREE-LAYER TENSEGRITY TOWER
Abstract
Tensegrity structures are widely used in civil buildings because of their reliability, saving materials, fabrication
of large-scale structures, and deployability. These structures include a set of discontinuous compressive components interacting with a set of continuous tensile components. Form-finding analysis is necessary for these
structures in the preliminary design stage to find the shapes that the prestresses in all components are in the
self-equibilium state. This paper applies the adaptive force density method to find the shape of a three-layer
tensegrity tower. The experiment set-up with timber bars and steel cables to illustrate the results of form-finding
analysis is also introduced.
Keywords: Tensegrity structures; form-finding; adaptive force density method; three-layer Tensegrity tower.
© 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)

1. Giới thiệu
Thuật ngữ Tensegrity được giới thiệu đầu tiên bởi Fuller từ năm 1962 [1]. Fuller mô tả kết cấu
Tensegrity gồm một tập hợp các thanh chịu nén không liên tục trong một hệ các thanh chịu kéo liên
tục. Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa cho hệ kết cấu Tensegrity [2–4], nhưng theo Zhang [5] một hệ
kết cấu được gọi là Tensegrity phải có các đặc tính sau: (1) kết cấu này tự đứng được mà không cần
liên kết nối đất; (2) các cấu kiện là các thanh thẳng; (3) chỉ có hai loại cấu kiện trong hệ kết cấu này:
thanh chịu nén và thanh cáp chịu kéo; (4) thanh chịu nén là gián đoạn, không liên kết trực tiếp với các
thanh chịu nén khác tại mỗi đầu. Với các đặc tính này thì kết cấu Tensegrity được ứng dụng rộng rãi
trong kiến trúc và xây dựng. Hình 1 giới thiệu hai công trình nổi tiếng ứng dụng kết cấu Tensegrity.
∗

Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: (Hiếu, B. Q.)

118


cócác
cácđặc
đặctính
tínhsau:
sau:(1)
(1)kết
kếtcấu
cấunày
nàytựtựđứng
đứngđược
đượcmà
màkhông
khôngcần

cầnliên
liênkết
kếtnối
nốiđất;
đất;(2)
(2)các
các
có
cấukiện
kiệnlàlàcác
cácthanh
thanhthẳng;
thẳng;(3)
(3)chỉ
chỉcó
cóhai
hailoại
loạicấu
cấukiện
kiệntrong
tronghệ
hệkết
kếtcấu
cấunày:
này:thanh
thanhchịu
chịu
cấu
nénvà
vàthanh

thanhcáp
cápchịu
chịukéo;
kéo;(4)
(4)thanh
thanhchịu
chịunén
nénlàlàgián
giánđoạn,
đoạn,không
khôngliên
liênkết
kếttrực
trựctiếp
tiếpvới
với
nén
các
thanh
chịu
nén
khác
tại
mỗi
đầu.
Với
các
đặc
tính
này

thì
kết
cấu
Tensegrity
được
các thanh chịu nén khác tại mỗi đầu. Với các đặc tính này thì kết cấu Tensegrity được
ứngdụng
dụngrộng
rộngrãi
rãitrong
trongkiến
kiếntrúc
trúcvà
vàxây
xâydựng.
dựng.Hình
Hình11giới
giớithiệu
thiệuhai
haicông
côngtrình
trìnhnổi
nổitiếng
tiếng
ứng
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
ứngdụng
dụngkết
kếtcấu
cấuTensegrity.

Tensegrity.
ứng

b.b.
White
Rhino,
NhậtBản
Bản
(b)White
WhiteRhino,
Rhino,Nhật
Nhật
Bản

Cầu
Kurilpa,
a.(a)
Australia
a. Cầu
CầuKurilpa,
Kurilpa,Australia
Australia

Hình
Hình1.1.Một
Mộtsố
sốcông
côngtrình
trìnhsử
sửdụng

dụngkết
kếtcấu
cấuTensegrity
Tensegrity
Hình 1. Một số công trình sử dụng kết cấu Tensegrity
Phân
Phântích
tíchxác
xácđịnh
địnhhình
hìnhdạng
dạngcho
chokết
kếtcấu
cấuTensegrity
Tensegritylàlàgiai
giaiđoạn
đoạnthiết
thiếtkếkếban
banđầu
đầu
thiết
thiếtyếu
yếucho
chokết
kếtcấu
cấunày.
này.Giai
Giaiđoạn
đoạnnày

nàysẽsẽxác
xácđịnh
địnhhình
hìnhdạng
dạngmà
màtại
tạiđó
đóthỏa
thỏamãn
mãncác
các
Phân tích yêu
xác
định
hình
dạng
cho
kết
cấu
Tensegrity
là
giai
đoạn
thiết
kế
ban
đầu
thiết yếu cho
yêucầu
cầucủa

củangười
ngườikiến
kiếntrúc
trúcvà
vàthỏa
thỏamãn
mãncác
cácđặc
đặctính
tínhvề
vềvật
vậtliệu
liệucủa
củacấu
cấukiện,
kiện,đồng
đồngthời
thời
kết cấu này. Giai
đoạn
này
sẽ
xác
định
hình
dạng
mà
tại
đó
thỏa

mãn
các
yêu
cầu
của
người
hình
hìnhdạng
dạngnày
nàyphải
phảiđảm
đảmbảo
bảođiều
điềukiện
kiệnổn
ổnđịnh.
định.Hệ
Hệkết
kếtcấu
cấunày
nàychỉ
chỉổn
ổnđịnh
địnhkhi
khicác
cáccấu
cấu kiến trúc
và thỏa mãn các
đặc
tính

vềsuất
vậttrước,
liệu của
cấu
kiện,
đồng
hìnhtích
dạng
này
phải
đảm
bảo điều kiện
kiện
được
ứng
nên
cách
khác
thì
hình
dạng
sẽsẽtìm
kiện
được
ứng
suất
trước,
nênnói
nóimột
một

cách
khácthời
thìphân
phân
tích
hình
dạng
tìmđược
được
ổn định. Hệ kết
cấu
này
chỉ
ổn
định
khi
các
cấu
kiện
được
ứng
suất
trước,
nên
nói
một
hình
dạng
mà
tại

đó
yêu
cầu
về
hình
học
và
ứng
suất
trước
là
cân
bằng
trong
một
thể
hình dạng mà tại đó yêu cầu về hình học và ứng suất trước là cân bằng trong một cách
thể khác thì
phân tích hìnhthống
dạngnhất.
sẽ tìm
được
dạng
tạisốđó
yêu cầu
hình
học
và cho
ứng
suất

trước là cân
Hiện
nay
các
pháp
phân
tích
hình
dạng
cấu
thống
nhất.
Hiện
nayhình
các phương
phươngmà
pháp
số trong
trong
phânvề
tích
hình
dạng
chokết
kết
cấu

bằng trong một thể thống nhất. Hiện nay các phương pháp số trong phân tích hình dạng cho kết cấu
Tensegrity chia làm bốn nhóm chính: (1) phương pháp
11 mật độ lực tương thích [6, 7]; (2) phương pháp

dao động ảo [8]; (3) phương pháp phân tích phi tuyến [9]; và (4) phương pháp tối ưu [10].
Kết cấu tháp Tensegrity, kết hợp các đơn nguyên Tensegrity dọc theo chiều cao, là một dạng kết
cấu Tensegrity phổ biến nhất. Các tháp Needle Tower và Needle Tower II được thiết kế bởi Kenneth
Snelson là các ví dụ điển hình cho loại kết cấu này [11]. Trong thực tế xây dựng, tháp Tensegrity chủ
yếu được sử dụng như cột chống sét, trụ tháp ăng-ten hoặc tạo điểm nhấn kiến trúc. Tháp Warnow
Tower với chiều cao 49,2 mét ở Rostock, Đức là một ví dụ điển hình cho ứng dụng trong thực tế của
loại kết cấu này. Đây cũng là tháp Tensegrity cao nhất từng được xây dựng từ trước đến nay [12].
Bài báo này áp dụng phương pháp mật độ lực tương thích trong phân tích hình dạng cho tháp
Tensegrity ba tầng với các điều kiện ràng buộc về hình học được áp dụng trực tiếp trong quá trình
phân tích. Một trong các hình dạng tìm được sẽ được thực nghiệm kiểm chứng bằng việc xây dựng hệ
tháp Tensegrity ba tầng bằng các thanh gỗ có đường kính hai mươi milimét và dây cáp có đường kính
một milimét.
2. Phương pháp mật độ lực tương thích trong phân tích hình dạng tháp Tensegrity ba tầng
Phương pháp mật độ lực được giới thiệu bởi Schek vào năm 1974 [13] được áp dụng chủ yếu cho
hệ lưới cáp. Zhang [6, 7] áp dụng phương pháp này cho kết cấu Tensegrity với các điều kiện ràng buộc
về hình học được áp dụng trực tiếp trong quá trình phân tích hình dạng. Trong phần này, phương pháp
mật độ lực tương thích này sẽ được áp dụng trong phân tích hình dạng của hệ kết cấu tháp Tensegrity.

119


2.2.
Núttrong
vàsau
cấu
kiệnđược
các
kíkí
hiệu
đây

sử
nhất
trong
toàn
bộ bài
bài
báosố
này:
làsốsố
=
thanh
chịu
nén
một
tổng
số
nguyên.
Tổng
thanhthanh
chịu
nén
một
đơnnguyên;
nguyên;
tổngtrong
sốđơn
đơn
nguyên.
Tổng
sốnút

nút
nLnthống
3n3làlà
s=trong
các
hiệutrong
sautrong
đâyđơn
được
sử dụng
dụng
thống
nhất
toàn
bộ
báo
này:
nnstrong
44làtrong
L==
chịu
nén
một
đơn
nguyên;
nút
L = 3 là tổng số đơn nguyên. Tổng số
Để
tiện chịu
cho

việc
thể
hiện
phương
pháp
mật
độtổng
lựcm
tương
thích
với
hệcáp
kết
thanh
chịu
nén
trong
một
đơn
nguyên;
làngang
số
đơn
nguyên.
Tổng
sốnày,
nút
hệhệnn,hệ
thanh
nén

sốsốdây
tổng
dây
xiên
,xtrong
mnén
m
,tổng
tổng
số
thanh
chịu
nén
, tổng
dây
cáp
, tổng
số
dây
cápcấu
xiên
,m ,
m
m
m
thanh
chịu
nénthanh
trong
một

đơn
nguyên;
là
tổng
số
số
nút
nnLLcáp
==
33ngang
s ,s tổng
n ,nđơn
xtrong
n , số
tổng
số
chịu
dây
cáp
ngang
, số
tổng
sốTổng
dây
cáp
xiên
m
mnnguyên.
s , tổng số
x

các kí hiệu sau đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ bài báo này: ns = 4 là số
n
hệ
,
tổng
số
thanh
chịu
nén
,
tổng
số
dây
cáp
ngang
,
tổng
số
dây
cáp
xiên
m
m
m
m
tổng
dây
cáp
đứng
,

tổng
số
dây
cáp
chéo
và
tổng
số
cấu
kiện
trong
hệ
m
m
m
tổngsố
số
dây
cáp
đứng
,
tổng
số
dây
cáp
chéo
và
tổng
số
cấu

kiện
trong
hệ
m
m
n, tổng
hệ nsố
, tổng
thanh
tổng
dâychéo
cáp
số dây
cáptrong
xiên hệ
,x ,
ms ,số
mm
d dchịu
c c ngang
tổng
dây số
cáp
đứng
, tổng
dâysốcáp
tổng
số cấu
kiện
m nén

m và m
n dựng
Hiếu,
B. nguyên;
Q.,svà cs. / Tạp
học Công
nghệnguyên.
Xây
d đơn
thanh chịu nén trong một
là tổng
số cđơn
Tổng số nút trong
n chí
= 3Khoa

x

L
tổng
số
dây
cáp
đứng
,, tổng
số
dây
cáp chéo
chéo m
và tổng số

số cấu
cấu kiện
kiệntrong
tronghệ
hệmm
m
mc và
được
xác
định
theo
công
thức
(1).
đượcđược
xác
định
theo
công
thức
(1).
tổng
số
dây
cáp
đứng
tổng
số
dây
cáp

m
dthức
xác
định
theo
công
(1).
d
c m ,tổng
2.1.
Giới
thiệu
về
hệ
kết
cấu
tháp
Tensegrity
tầng
hệ n , tổng số thanh chịu nén ms , tổng sốba
dây
cáp ngang
tổng
số
dây
cáp
xiên
,
m
n

x
định
theo
công
thức
(1).
được
xác
định
theo
công
thức
(1).
nđược
2n2nxác
n
=
24
Kết
cấu
tháp
Tensegrity
là
một
dạng
đặc
biệt
của
kết
cấu

Tensegrity.
Kết
cấu
tháp
này
được
n==tổng
n
n
=
24
dây
cáp đứng md , tổng số dây cáp chéo mc và tổng số cấu kiện trong hệ m xây
s s=
Lsố
L2n
s nL = 24
dựng dựa trên sự kết hợp của các đơn nguyên dọc theo chiều cao. Hình 2(a) thể hiện kết cấu tháp
nn==xác
22nnsđịnh
nnLL ==theo
24
được
thức (1).
24baocông
Tensegrity
ba tầng
gồm ba đơn nguyên mà mỗi đơn nguyên đặc trưng cho một tầng. Các thanh
mm
=

nm
=n=12s12
s s =
snns Ln=
L
n
=
12
s L
chịu snén
thể
bằng
n==n
2nnshiện
n=
24 đường nét đậm ở Hình 2(b) trong khi đó các thanh cáp chịu kéo được thể hiện
L==
m
12
m
=
n
n
12
s
s
L
s
s
L

bằng
mm
2mn2sncác
= 82đường
8n = 8nét đậm trên Hình 2(c) đến Hình 2(f). Để hệ kết cấu tháp là ổn định, có bốn loại cáp
n n==
s==
là cầnn m
thiết
cho
cấu này [5]: (1) cáp ngang là các dây cáp nối các nút trên cùng một mặt phẳng, chỉ
=
ns s nLkết
= 12
s
m
=
2
n
=
8
m
=
2
n
=
8
n
s
n

s
tồn
dưới
cùng
trên cùng của tháp hay nói cách khác các dây cáp ngang là(1)
các
mm
22(tạin(Ln=ởL-mặt
(1)dây cáp nối
16 =và
x x==
2-1mặt
-s==1=16
16
()1n2n)nLsnsdưới
8) nđơn
x mở
s
cácmnút
nguyên
1 và mặt trên đơn nguyên 3; (2) cáp xiên là các dây cáp nối(1)
các nút
n =
(1)
mmxxdưới
==22((một
nnLL --đơn
11))nnnguyên
(1)
=16

16 và mặt trên một đơn nguyên khác liền kề hay nói cách khác các
ss =
ở mặt
dây cáp
mm
=x n==1212
=nmsnndlà
d d=
m
2L( n=Lcáp
- 1)nối
ns =các
16nút ở mặt trên đơn nguyên 1 với mặt dưới đơn nguyên 2(1)
=Lcác
12
s Ln
xiên
dây
và mặt trên đơn
sn
nssnnLmặt
=
12
mmdd ==2 nvới
=
12
nguyên
dưới
đơn
nguyên

3;
(3)
cáp
đứng
là
các
dây
cáp
nối
các
nút
ở
mặt
trên
và mặt dưới
L
mm=của
+
mm
+
m
+
m
=
64
=n+++
nm
nm
=
12

=mm
+m
m
+
m
+
m
=
64
s cùng
x
d
c
dn một
sm
L
m
+
m
+
m
+
m
=
64
s=
x
d
c
đơn

(4)
s
n nguyên;
x
d cáp
c chéo là các dây cáp nối các nút ở mặt dưới (hoặc mặt trên) của hai
m
mnnkề.
mxx ++ m
mdd + mcc = 64
==mmss ++
m
++m
đơnm
nguyên
liền

m = ms + mn + mx + md + mc = 64

(a) Mặt đứng

(d) Cáp đứng

(b) Thanh nén

(e) Cáp xiên

(c) Cáp ngang

(f) Cáp chéo

Hình 2.
Kết2. cấu
tháptháp
Tensegrity
tầng
Hình
Kết cấu
Tensegrity ba
ba tầng

Hình
2.2.Kết
cấu
tháp
Tensegrity
babatầng
HìnhHình
Kết
cấu
Tensegrity
tầng
2.
cấu
tháp
Tensegrity
batầng
tầng
Hình
2. Kết

Kết tháp
cấu tháp
Tensegrity
ba
Hình 2. Kết cấu tháp Tensegrity ba tầng

2.2. Nút và cấu kiện

3
Để tiện cho việc thể hiện phương pháp mật độ lực tương thích với hệ kết cấu này, các kí hiệu sau
3 3bài báo
đây được sử dụng thống nhất trong toàn bộ
33 này: n s = 4 là số thanh chịu nén trong một đơn
3 trong hệ n, tổng số thanh chịu nén m s , tổng số dây
nguyên; nL = 3 là tổng số đơn nguyên. Tổng số nút
120


Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

cáp ngang mn , tổng số dây cáp xiên m x , tổng số dây cáp đứng md , tổng số dây cáp chéo mc và tổng số
cấu kiện trong hệ m được xác định theo công thức (1).
n = 2n s nL = 24
m s = n s nL = 12
mn = 2n s = 8
m x = 2 (nL − 1) n s = 16

(1)

md = n s nL = 12

mc = 2 (nL − 1) n s = 16
m = m s + mn + m x + md + mc = 64
2.3. Phương pháp mật độ lực tương thích
Trong phần này, các thuật ngữ tương tự trong nghiên cứu của Zhang [6, 7] được sử dụng. Tổng
số nút trong hệ là n = 24 nút và được đánh số thứ tự như Hình 2(b). Các nút này sẽ dịch chuyển
tự do đến khi ứng suất trước trong các thanh chịu nén và các dây cáp chịu kéo là ở trong trạng thái
cân bằng. Trong hệ gồm m = 64 cấu kiện này, ma trận liên kết hay ma trận Topology, C, có kích cỡ
m × n = 64 × 24 với các phần tử được xác định theo công thức (2)


+1 nếu j = l(i)



−1 nếu j = k(i)
C(i, j) = 
(2)


 0 trong các phần còn lại
trong đó i là cấu kiện thứ i liên kết hai nút l và k (l < k); j là cột thứ j trong ma trận C; 1 ≤ i ≤ 64;
T
1 ≤ j, k, l ≤ 24. Tọa độ (x, y, z) của các nút được tập hợp trong các vector x = x1 x2 · · · xn ,
y = y1 y2 · · · yn

T

T

và z = z1 z2 · · · zn . Ứng lực trước và chiều dài của các cấu kiện được

tập hợp trong các vector S = s1 s2 · · · sm
kiện thứ i được xác định theo công thức (3)

T

T

và L = l1 l2 · · · lm . Mật độ lực qi trong cấu

qi =

si
li

(3)

Phương trình cân bằng của hệ Tensegrity không có liên kết nối đất và không có ngoại lực được
xác định bằng phương pháp mật độ lực theo công thức (4)
Ex = 0

(4a)

Ey = 0

(4b)

Ez = 0

(4c)

trong đó ma trận mật độ lực E có kích cỡ n × n được xác định theo công thức (5)
E = CT QC

(5)


 q1 0 · · · 0 
 0 q · · · 0 
2
 là ma trận vuông cỡ m × m chứa mật độ lực của các cấu kiện. Theo
trong đó Q = 
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · qm
Zhang [6, 7], để hệ kết cấu Tensegrity đạt tới trạng thái siêu bền vững trong không gian ba chiều thì
121


Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020

sự khuyết hạng của ma trận E phải thỏa mãn công thức (6)

không gian ba chiều thì sự khuyết hạng
r Ecủa≥ma
4 trận E phải thỏa mãn công thức (6)

(6)

E

(6)
r 4
Phương pháp mật độ
lực tương thích được áp dụng để xác định mật độ lực cho
các cấu kiện của
Phương
pháp
mật
độ
lực
tương
thích
được
áp
dụng
để
xác
định
mật
độ
lực
cho
các
hệ tháp Tensegrity như trong Hình 3.
cấu kiện của hệ tháp Tensegrity như trong Hình 3.

Giả thuyết mật độ lực ban đầu

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020
Phân tích Eigenvalue để tìm

Cập nhật mật độ lực
Kiểm tra công thức (6)

Nq = 0

(8)
Đúng
(8)
Nq = 0
Xác định mật độ lực
T
W là ma trận đường chéo với các phần tử trên
trong đó, ma trận N = C W , ma trận
trong đó, ma trận N = C TW Hình
, ma3. Phương
trận W
là ma trận đường chéo với các phần tử trên
pháp mật độ lực tương thích
đường chéo chính bằng Cz . Công thức
dễ dàng
được
côngthích
thức (4.c).
Hình(8)
3. Phương
phápcó
mật

độ lựctừtương
Czbuộc
đường chéo chính
bằng
. Công
2.4. Điều
kiện ràng
hình họcthức (8) dễ dàng có được từ công thức (4.c).
Hai điều kiện ràng buộc
được
thểmậthiện
a. Điềunày
kiện đối
xứng của
độ lực lại trong công thức (9) và được đưa
Haikiện
điều
kiện
ràng
buộc
này được thể hiện lại trong công thức (9) và được đưa
2.4.
Điều
ràng
buộc
hình
học
Trong
cùngđộ
mộtlực

đơn nguyên,
cấu kiện
thuộc3.
cùng một nhóm, ví dụ như thanh
trực tiếp vào quy trình xác định
mật
tối ưucáctrên
Hình
trực
tiếp
vào
quy
trình
xác
định
mật
độ
lực
tối
ưu
trên
Hình
3. nếu một cấu
chịu
nén
hay
cáp
đứng,
là
đối

xứng
xoay
quanh
trục
z.
Nói một
cách khác,
a. Điều kiện đối xứng của mật độ lực
Sai

z

kiện xoay một góc 90 độ quanh trục z sẽ trùng vị trí với một cấu kiện khác. Hình 4 thể
hiện sự đối xứng này của đơn nguyên 1 cho các thanh chịu nén và dây cáp đứng. Vì vậy,
z 1-5, 2-6, 3-7 và 4-8 là có cùng chiều dài và cùng ứng suất trước, các
các thanh chịu nén
cáp đứng 1-6, 2-7, 3-8 và 4-5 cũng có cùng chiều dài và cùng ứng suất trước. Điều này
có nghĩa là mật độ lực trong các cấu kiện này là như nhau. Sự ràng buộc này được thể
y
hiện trong công thức (7)
y
Fq = 0

trong đó q =  q1 q2

x

(7)

qm  là mật độ lực trong các cấu kiện, ma trận F có m − ncx

T

hàng và m cột, nc là số nhóm cấu kiện có cùng mật độ lực, trong bài báo này nc = 14
sẽ được mô tả cụ thể ở Mục 2.6. Với định nghĩa này trên một hàng của ma trận F chỉ
có hai phần tử khác không và giá trị của nó lần lượt là +1 và -1.
b. Điều kiện ràng buộc về cao độ

(a) Hình không gian

(b) Mặt bằng

Trong thiết kế này cao độ của các đơn nguyên được xác định trước, vì vậy tọa độ

z =  z1

z2
z  của các nút là đã biết. Điều kiện ràng buộc về cao độ này được thể
Hình
4. Sựn đối xứng trong đơn nguyên 1 của tháp Tensegrity
T

(a) Hình không
gian
hiện
trong
công thức
(8)
(a) Hình
không
gian

(b) Mặt bằng
(b) Mặt bằng

Trong4.cùng
nguyên, các
kiện thuộc
cùng
mộtTensegrity
nhóm, ví dụ như thanh chịu nén hay
Hình
Sự một
đối đơn
xứng
đơncấu
nguyên
1 của
tháp
Hình
4. Sựtrong
đối xứng
trong đơn
nguyên
1 của tháp Tensegrity

cáp đứng, là đối xứng xoay quanh trục z. Nói một 6cách khác, nếu một cấu kiện xoay một góc 90 độ
z sẽ trùng vị trí với một cấu kiện khác. Hình 4 thể hiện sự đối xứng này của đơn nguyên
ì F üquanh trục
ü
= 0 cácì Fthanh

í ý1q cho
4-8 là có cùng
(9)
0 nén và dây cáp đứng. Vì vậy, các thanh chịu nén 1-5, 2-6, 3-7 và(9)
ý q =chịu
î N þchiều dàiíî N
þ
và cùng ứng suất trước, các cáp đứng 1-6, 2-7, 3-8 và 4-5 cũng có cùng chiều dài và cùng
ứng
suất
trước.
này
là mật độ lực trong các cấu kiện này là như nhau. Sự ràng buộc này
2.5. Xác định
tọa
độđịnh
củaĐiều
các
nútcó
tựnghĩa
do
2.5.
Xác
tọacông
độ
của
các nút tự do
được
thể
hiện trong

thức
(7)
Fqcác
=độ
0nút
Như đã thảo
luận
Mụcluận
2.4b,
cao độ
củacao
là các
đã biết.
tọaVìđộvậy tọa(7)độ
Như
đã ởthảo
ở Mục
2.4b,
của
nút làVìđãvậy
biết.

T
độ
các
cấu kiện,
mađịnh
trận từ
Fxác
cóma

mđịnh
−
nc từ
hàng
m
cácytrong
nút
là các
được
xáclà
trận
x = [ x1 x2trong
= [qy21x ]·T·y·,2 yq!
m ylà
]y2của
của
nút
được
mavàtrận
x!
= đó
=
!lực
[ xx1 qn ]=x,2 qy1!
[ 1ynmật
n
n]
cột, nc là số nhóm cấu kiện có cùng mật độ lực, trong bài báo này nc = 14 sẽ được mô tả cụ thể ở
E sau
mật độ lực mật

đã
được
mậtcóđộđược
lực tối
ưu
và
điều
kiệnvàđối
xứng
của các
thanh các thanh
E có
độkhi
lựcđịnh
sau
khi
đã
mậtcủa
độma
lực
tốiFưu
điều
kiện
Mục 2.6.
Với
nghĩa
này
trên một hàng
trận
chỉ có hai

phần
tử đối
khácxứng
khôngcủa
và giá trị của
chịu nén. nóchịu
lần lượt
nén.là +1 và −1.

T

T

T

122
Công thức (4.a)
(4.b)
được
dướiviết
dạng
ma
trận
nhưma
trong
thức (10)
Côngvàthức
(4.a)
và viết
(4.b)lại

được
lại
dưới
dạng
trậncông
như trong
công thức (10)

éE
ê0
ë

0 ù ì x üé E 0 ù ì x ü
í ý = 0 hay AX==00hay AX = 0
E ûú î y þêë 0 E ûú îí y þý

(10)

(10)


Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

b. Điều kiện ràng buộc về cao độ
Trong thiết kế này cao độ của các đơn nguyên được xác định trước, vì vậy tọa độ z = z1 z2 · · · zn
của các nút là đã biết. Điều kiện ràng buộc về cao độ này được thể hiện trong công thức (8)
Nq = 0

(8)

trong đó ma trận N = CT W, ma trận W là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính
bằng Cz. Công thức (8) dễ dàng có được từ công thức (4c).
Hai điều kiện ràng buộc này được thể hiện lại trong công thức (9) và được đưa trực tiếp vào quy
trình xác định mật độ lực tối ưu trên Hình 3.
F
N

q=0

(9)

2.5. Xác định tọa độ của các nút tự do
Như đã thảo luận ở Mục 2.4b, cao độ của các nút là đã biết. Vì vậy tọa độ x = x1

T

x2 · · · xn ,

T

y = y1 y2 · · · yn của các nút là được xác định từ ma trận mật độ lực E sau khi đã có được mật
độ lực tối ưu và điều kiện đối xứng của các thanh chịu nén.
Công thức (4a) và (4b) được viết lại dưới dạng ma trận như trong công thức (10)
E 0
0 E

x
y

=0

hay

AX = 0

(10)

Lưu ý rằng sự khuyết hạng của ma trận mật độ lực E sau khi đã tối ưu là 4 vì vậy không gian rỗng
của ma trận A sẽ có 8 cột hay nói cách khác tọa độ 4 nút phải được xác định trước để có lời giải thống
nhất cho phương trình (10). Trong bài báo này, điều kiện đối xứng của các thanh chịu nén trong cùng
một đơn nguyên như trên Hình 4 được áp dụng như trong công thức (11)
SX = 0

(11)

trong đó ma trận S được xác định từ điều kiện ràng buộc về đối xứng của các thanh chịu nén trong
cùng một đơn nguyên.
Từ công thức (10) và (11) thì chỉ cần xác định trước tọa độ của 2 nút thì tọa độ của các nút còn lại
sẽ được xác định thống nhất. Điều này sẽ được thể hiện trong ví dụ tính toán trong mục tiếp theo.
2.6. Ví dụ tính toán
Chiều cao của mỗi đơn nguyên được chọn giống nhau là H1 = H2 = H3 = 0, 4 m trong ví dụ tính
toán này. Chiều cao này được chọn để tạo sự thuận lợi cho việc thực nghiệm ở phần 3. Chiều cao lặp
nhau giữa hai đơn nguyên liên tiếp là h = 0, 1 m. Định nghĩa cho H1 , H2 , H3 và h được thể hiện trên
Hình 2(a).
Điều kiện đối xứng về mật độ lực trong ví dụ tính toán này được thực hiện bằng cách chia mật độ
lực trong 64 thanh cấu kiện thành 14 nhóm tương ứng với nc = 14 trong công thức (7): (1) các thanh
chịu nén trong cùng một đơn nguyên có mật độ lực giống nhau và có giá trị lần lượt là q1s , q2s , q3s ;
(2) tương tự mật độ lực của các dây cáp ngang trong cùng một đơn nguyên lần lượt là q1n , q3n ; (3) mật
độ lực của các dây cáp xiên lần lượt là q2x , q3x ; (4) mật độ lực trong các dây cáp đứng lần lượt là q1d , q2d ,
2b 3

q3d ; và mật độ lực của các dây cáp chéo lần lượt là q1c , q2a
c , qc , qc . Lưu ý chỉ số dưới thể hiện loại cấu
123

T


Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

kiện bao gồm thanh chịu nén (s), cáp ngang (n), cáp xiên (x), cáp đứng (d) và cáp chéo (c). Trong khi
đó chỉ số trên thể hiện số đơn nguyên. Bảng 1 thể hiện điều kiện đối xứng về mật độ lực này trong các
cấu kiện được thể hiện bằng các nút liên kết.
Bảng 1. Điều kiện đối xứng về mật độ lực

Cấu kiện (nút-nút)

Mật độ lực
q1s
q2s
q3s
q1n
q3n
q2x
q3x
q1d
q2d
q3d
q1c
q2a
c

q2b
c
q3c

1-5
9-13
17-21
1-2
21-22
5-9
13-17

2-6
10-14
18-22
2-3
22-23

9-6
17-14

6-10
14-18

5-4
13-12
21-20
1-9
5-13
9-17

13-21

3-7
11-15
19-23
3-4
23-24

10-7
18-15

7-11
15-19

6-1
14-9
22-17
2-10
6-14
10-18
14-22

11-8
19-16

4-8
12-16
20-24
4-1
24-21

8-12
16-20

7-2
15-10
23-18
3-11
7-15
11-19
15-23

12-5
20-13

8-3
16-11
24-19
4-12
8-16
12-20
16-24

Mật độ lực ban đầu (quy trình ở Hình 3) được chọn lần lượt là −1,0 cho các thanh chịu nén và
+1,0 cho các thanh chịu kéo. Sau 354 vòng lặp thì mật độ lực tối ưu cho ví dụ tính toán này được thể
hiện ở Bảng 2.
Bảng 2. Mật độ lực sau khi tối ưu

Thanh chịu nén

Cáp ngang

Cáp xiên

Cáp đứng

Cáp chéo

q1s = q3s

q2s

q1n = q3n

q2x = q3x

q1d = q3d

q2d

q1c = q3c

2b
q2a
c = qc

−1,1691

−1,1168

1,2964

1,5050

0,6760

0,5982

0,6575

0,3458

Kết quả ở Bảng 2 cho thấy mật độ lực trong đơn nguyên 1 và 3 là hoàn toàn giống nhau. Với các
điều kiện ràng buộc về mặt hình học trong ví dụ tính toán này thì vai trò của đơn nguyên 1 và đơn
nguyên 3 là như nhau trong hệ tháp Tensegrity ba tầng này. Vì vậy, kết quả trong bài báo này hợp lý
hơn so với kết quả trong nghiên cứu của Zhang [5] mà trong đó mật độ lực của các thanh chịu nén
trong đơn nguyên 1 và 2 là giống nhau và khác so với đơn nguyên 3.
Hình 5 thể hiện kết quả hình dạng của tháp Tensegrity với mật độ lực tối ưu ở Bảng 2 trong các
trường hợp: (TH1) Tọa độ nút 1 là (0; 0), nút 3 là (0,1; 0,1); và (TH2) tọa độ nút 1 là (0; 0) và nút 3 là
(0,25; 0,25). Như đã thảo luận ở mục 2.5, chỉ cần xác định tọa độ của 2 nút, tọa độ các nút còn lại sẽ
được tự động xác định theo phương pháp mật độ lực tương thích đã được trình bày ở bài báo này. Kết
quả của TH2 ở Hình 5(c), 5(d) sẽ được lựa chọn để thực nghiệm kiểm định ở phần 3.

124


Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020
Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

oa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020

(a) Mặt đứng, TH1

(b) Hình không gian, TH1

Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của th

Sử dụng hệ khung thép bên ngoài để tiến hành cố đ
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳng
định tọa độ của các nút trong hệ tháp này như ở Hình 6. Ti
kính 1 mm có gắn tăng-đơ để liên kết các thanh chịu nén
này được quản lý theo đúng chiều dài đã tối ưu ở Hình 5(

Các dây cáp được căng bằng tăng-đơ và thước kẹp t
ưu ở Bảng 2 và theo công thức (12).
(c) Mặt đứng, TH2
(d) Hình không gian, TH2
Hình 5. Kết quả phân tích hình dạng của tháp
Tensegrity
qcủa
Dtháp
li ln 2Tensegrity
i
Hình 5. Kết
quả
phân
tích
hình
dạng
=của tháp2 Tensegrity
Hình 5.

Kết bên
quả phân
tíchđể
hình
dạng
Sử dụng hệ khung
thép
ngoài
tiến
định toạ độ các thanh chịu nén
qhành
Dlcố
n
n li
Sử
dụng
hệ
khung
thép
bên
ngoài
để
tiến
hành
cố
định
thanh
theo đúng kết quả ở Hình 5(c, d). Dây dọi và mặt phẳngtoạtọađộđộcác
được
sử chịu

dụngnén
để xác
trong
đó,
là
sự
điều
chỉnh
tăng-đơ
của
các dây cáp n
D
l
theo
kếtđộ
quả
Hình
d).
Dây
dọi
vànhư
mặt
độ theo
đượccác
sửdây
dụng
3. đúng
Quy tọa
trình
thực

cho
tháp
Tensegrity
ba tầng
định
củaởnghiệm
các
nút5(c,
trong
hệ
tháp
này
ởphẳng
Hình n6.tọa
Tiếp
cápđểcóxác
đường
định tọa
độ1 của
các
nútnày,
trong
hệ để
tháp
nàynén
như
ởthanh
Hình
6.xoan
Tiếp

theo
các
dây
cáp
có20
đường
sự điều
chỉnh
cho
các
cáp
thứ
i còn lại ứng
kính
mm
có gắn
tăng-đơ
liên
các
nén
lại,
chiều
dài
của
các
dâyĐây
cáplà
Trong
thí nghiệm
các thanh

chịukết
sửlàdụng
gỗchịu
đàotăng-đơ
có đường
kính
làdây
mm.
kính
mm
có gắn
tăng-đơ
để
liên
kết
các
thanh
chịu
chiều
dài
của
cácDây
cáp
loại1này
gỗ
thuộc
nhóm
IVtheo
và tính
chất

cơ lý
của
gỗ
này
lấylại,
gần
đúng
theongang
[14].
cáp
thépthứ
sử i theo kết
chiều
dài
của
các
dây
vàdây
dây
cáp
được
quản
lý
đúng
chiều
dài
đã
tối
ưuđược
ởnén

Hình
5(c,
d).cáp
loại
cáp lý
nhiều
và đường
dây5(c,
cáp d).
là 1 mm. Hệ số đàn hồi của dây cáp
nàydụng
được
quản
theosợi,
đúng
chiềukính
dài danh
đã tốinghĩa
ưu ởcủa
Hình
2
dây cáp
và Trong
thước
kẹp
theobên
đúng
tỷ các
lệ
độcáp

lực
tối
thí nghiệm
này,
dâyhành
ngang
được lấy Các
gần đúng
là E được
= 105 căng
N/mmbằng
[15,tăng-đơ
16]. Sử dụng
hệ khung
thép
ngoài
để mật
tiến
cố
định được căn
Các
dây
cáp
được
căng
bằng
tăng-đơ
và
thước
kẹp

theo
đúng
tỷ
lệ
mật
độ
lực
tối
Bảng
và theo
côngđúng
thứckết(12).
đơ 5(c)
một và
đoạn
2 mm
tương
ứng với
dạng
toạưu
độ ởcác
thanh2 chịu
nén theo
quả ở Hình
5(d).làDây
dọi và
mặt phẳng
tọa biến
độ được
sử là 0.8%. B

để xác
tọa2công
độ của
các (12).
nút trong hệ tháp
này
như
ở
Hình
6.
Tiếp
theo
các
dây
cáp
có
đường
ưu dụng
ở Bảng
2 vàđịnh
theo
thức
tăng-đơ cho các dây cáp còn lại trong hệ dựa trên mật đ
Dtháp
li tăng-đơ
ln Tensegrity
phân tích hình
của
kính 1dạng
mmqi có

gắn
để
liên
kết
các
thanh
chịu nén lại, chiều dài của các dây cáp này được(12)
quản
=2
công thức (12). Lưu ý rằng, các dây cáp được
thể hiện bằn
2
qi đúng
D
lni lchiều
q
lý theo
đã
tối
ưu
ở
Hình
5(c)
và
5(d).
n Dln ldài
i
(12)
=
ên ngoài để tiến

hành
toạ độ các thanh chịu nén
đó,kẹp
cáptheo
xiênđúng
được
chia
dây2dài
dây
cáp
được căng bằng tăng-đơ và thước
tỷ lệ
mậtthành
độ lựchai
tối loại
ưu ởlà
Bảng
và và dây ng
qCác
Dln cố
li 2 định
n
trong
đó,
là
sự
điều
chỉnh
tăng-đơ
của

các
dây
cáp
ngang
được
lấy
làm
chuẩn;
D
l
D
l
d). Dây dọi
và
mặt
phẳng
tọa
độ
được
sử
dụng
để
xác
n
i
theo công thức (12).
2
trong
sự điều
chỉnh

tăng-đơ
của
các
dây
cáp
ngang
được
lấy
làm
chuẩn;
Dđiều
ln là
D
l
∆l
l
q
ệ tháp này
nhưlàđó,
ởsự
Hình
6.chỉnh
Tiếp
theo
các
dây
cáp
có
đường
i

tăng-đơ cho các dây cáp
thứi i ncòn lại ứng với mật độ lực q ; l vài l là
=

i

n

i (12)
10

2
qncáp
∆ln llại
iên kết các
thanh
lại,
dài
của
các
qi ; lnd).
là sự
điềuchịu
chỉnh
tăng-đơ
cho
các
dây
cáp
thứ

i còn
ứng với
mật ởđộHình
lực 5(c,
và li là
chiều
dàinén
của
cácchiều
dây
cáp
ngang
vàdây
dây
cáp
thứi i theo
kết quả
iều dài đã
tối
ưu
ởcủa
Hình
d).cáp
trong
∆ln các
là 5(c,
sựdây
điều
chỉnh
tăng-đơ

của các
ngang
làm chuẩn;
∆li là sự điều chỉnh
chiều
dàiđó
ngang
và dây
cápdây
thứcáp
i theo
kếtđược
quảlấy
ở Hình
5(c, d).
Trong
thí nghiệm
các
dây
căng
bằng
cách
điều
chỉnh
tăng-đơ cho
các dây
cáp thứ i này,
còn lại
ứng
vớicáp

mậtngang
độ lực qđược
;
l
và
l
là
chiều
dài
của
các dây
cáptăngngang
i n
i
ằng tăng-đơvàvàdây
thước
kẹp
theo
đúng
tỷ
lệ
mật
độ
lực
tối
Trong
nghiệm
này,
dây
cáp

đượclàcăng
cách
điều
chỉnh
tăngcáp thí
thứ
i theo
quảtương
ởcác
Hình
5(c)
vàngang
5(d).
đơ
một
đoạn
là 2kết
mm
ứng
với
biến dạng
0.8%.bằng
Bảng
3 thể
hiện
sự điều
chỉnh
(12). đơ mộtTrong
thí
nghiệm

này,
các
dây
cáp
ngang
được
căng
bằng
cách
điều
chỉnh
tăng-đơ
một
đoạn
đoạn là
2 mm
tương
là 0.8%.
Bảngđộ3 lực
thể tối
hiện
điềuBảng
chỉnh2 vàlà
tăng-đơ
cho
các dây
cápứng
cònvới
lạibiến
trongdạng

hệ dựa
trên mật
ưusựtrong
2 mm tương ứng với biến dạng là 0,8%. Bảng 3 thể hiện sự điều chỉnh tăng-đơ cho các dây cáp còn
tăng-đơ
cho
các(12).
dây Lưu
cáp ýcòn
lại các
trong
dựa
trênthể
mật
độbằng
lực tối
trong
công
thức
rằng,
dâyhệcáp
được
hiện
nétưu
đậm
trênBảng
Hình 22. và
Trong
(12)
công đó,

thứccáp
(12).
Lưu
ý rằng,
dâyhaicáp
được
thểdài
hiệnvàbằng
nét đậm
Hình
2. Trong
xiên
được
chia các
thành
loại
là dây
dây ngắn
nhưtrên
ở trên
Hình
2(e).
125
đó, cáp xiên được chia thành hai loại là dây dài và dây ngắn như ở trên Hình 2(e).
tăng-đơ của các dây cáp ngang được lấy làm chuẩn; Dli

ác dây cáp thứ i còn lại ứng với mật độ lực qi ; ln và li là 10


Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020

Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2020

Hình
Hình6.6.Thực
Thựcnghiệm
nghiệmxác
xácđịnh
địnhhình
hìnhdạng
dạngtháp
thápTensegrity
Tensegrity
Bảng 3. Sự điều chỉnh tăng-đơ để tạo lực căng cáp trong thí nghiệm
Cáptốixiên
Cápýchéo
lại trong hệ Cáp
dựa ngang
trên mật độ lực
ưu trong Bảng 2Cáp
và đứng
công thức (12). Lưu
rằng, các dây cáp được
thể hiện bằng nét
đậm
trên
Hình
2.

Trong
đó,
cáp
xiên
được
chia
thành
hai
loại
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)là dây dài và dây ngắn
như ở trên Hình 2(e).
Dây dài Dây ngắn ĐN 1&3
ĐN 2
ĐN 1&3
ĐN 2
Hình 6. Thực nghiệm xác định hình dạng tháp Tensegrity
Sự điều chỉnh
thí nghiệm1,7
2,0 Bảng 3. 4,4
1,3tăng-đơ để
3,4tạo lực căng
2,9cáp trong2,8
Bảng 3. Sự điều chỉnh tăng-đơ để tạo lực căng cáp trong thí nghiệm
Sau khi căng cáp, tiến hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp
Cáp
Cáp chéo (mm)
Cáp ngang

Cápxiên
xiên(mm)
CápCáp
đứngđứng (mm) Cáp chéo
Tensegrity
Cáp ngang
(mm) thu được ở Hình 7.
(mm)
(mm)
Dây dài(mm) Dây ngắn
ĐN
1&3
ĐN 2 (mm)
ĐN 1&3
ĐN 2

2,0
2,0

Dây
4,4dài

Dây ngắn
1,3

4,4

1,3

ĐN 1&3 3,4 ĐN 2

3,4

2,9

ĐN 1&3
2,9

ĐN 2
2,8

2,8

1,7

1,7

Sau khi căngSau
cáp,khi
tiến
hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp Tensegrity thu được ở
căng cáp, tiến hành tháo khung thép ngoài và hình dạng của tháp
Hình 7.
Tensegrity thu được ở Hình 7.

Hình 7. Kết quả thực nghiệm hình dạng tháp Tensegrity
11

Hình 7.
7. Kết
Kết quả

quả thực
thực nghiệm
nghiệm hình
hình dạng
Hình
dạng tháp
tháp Tensegrity
Tensegrity
11

126


Hiếu, B. Q., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

4. Kết luận
Bài báo đã trình bày phương pháp mật độ lực tương thích trong việc xác định hình dạng của kết
cấu tháp Tensegrity ba tầng. Các điều kiện ràng buộc về mật độ lực và hình học được kết hợp trong
quá trình xác định mật độ lực tối ưu cho các cấu kiện trong hệ. Kết quả phân tích cho thấy mật độ lực
tối ưu của các cấu kiện trong đơn nguyên một và ba là đối xứng nhau. Hình dạng của tháp Tensegrity
ba tầng được xác định một cách tự động dựa trên kết quả mật độ lực tối ưu có được từ phân tích. Một
trong các hình dạng này được chọn để thực hiện thí nghiệm. Quy trình thực nghiệm tháp Tensegrity
ba tầng với các thanh gỗ có đường kính hai mươi milimét và dây cáp có đường kính một milimét cũng
đã được đề xuất. Kết quả thực nghiệm đã kiểm chứng được kết quả phân tích cho trường hợp tháp
Tensegrity ba tầng. Tuy nhiên, bài báo chưa kiểm chứng được lực nén trong các thanh gỗ trong quá
trình thí nghiệm. Vì vậy, việc sử dụng vật liệu khác kết hợp với các thiết bị đo điện tử để xác định mật
độ lực trong các thanh chịu nén được khuyến khích thực hiện trong các nghiên cứu tiếp theo.
Tài liệu tham khảo
[1] Fuller, R. B. (1962). Tensile-integrity structures. United States Patent 3,063,521, 1962. Filed 31 August
1959, Granted 13 November 1962.

[2] Pugh, A. (1976). An introduction to tensegrity. University of California Press, Berkeley, CA, USA.
[3] Hanaor, A. (1994). Geometrically rigid double-layer tensegrity grids. International Journal of Space
Structures, 9(1):227–238.
[4] Motro, R. (2003). Tensegrity: Structural Systems for the Future. Kogan Page, London-Sterling.
[5] Zhang, J. Y. (2015). Tensegrity Structures: Form, Stability, and Symmetry. Mathematics for Industry 6,
Springer, Tokyo.
[6] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2006). Form-finding of tensegrity structures subjected to geometrical constraints. International Journal of Space Structures, 21(4):183–195.
[7] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2006). Adaptive force density method for form-finding problem of tensegrity
structures. International Journal of Solids and Structures, 43(18-19):5658–5673.
[8] Zhang, J. Y., Ohsaki, M. (2016). Form-finding of complex tengrity structures by dynamic relaxation
method. Journal of Structural and Construction Engineering, 81(1):71–77.
[9] Pagitz, M., Tur, J. M. (2009). Finite element based form-finding algorithm for tensegrity structures.
International Journal of Solids and Structures, 46(17):3235–3240.
[10] Gan, B. S., Zhang, J., Nguyen, D.-K., Nouchi, E. (2015). Node-based genetic form-finding of irregular
tensegrity structures. Computers & Structures, 159:61–73.
[11] Snelson, K., Heartney, E. (2013). Art and ideas. Kenneth Snelson In Association With Marlborough
Gallery, NY.
[12] Gilewski, W., Kłosowska, J., Obara, P. (2015). Applications of tensegrity structures in civil engineering.
Procedia Engineering, 111:242–248.
[13] Schek, H.-J. (1974). The force density method for form finding and computation of general networks.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3(1):115–134.
[14] TCVN 1072:1971. Gỗ-phân nhóm theo tính chất cơ lý. Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn, Việt
Nam.
[15] Boroˇska, J., Pauliková, A., Ivanˇco, V. (2014). Determination of Elastic Modulus of Steel Wire Ropes for
Computer Simulation. Applied Mechanics and Materials, 683:22–27.
[16] Phong, N. H. (2010). Phương pháp tăng khả năng chịu cắt của dầm BTCT gia cường bằng cáp sợi liên
tục. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 4(2).

127