de thi 45 phut c3

BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC :
I. Chứng minh rằng
*
Nn
∈∀
ta luôn có các đẳng thức sau :
1.
2
)1(
...21
+
=+++
nn
n
2.
6
)12)(1(
...21
222
++
=+++
nnn
n
3.
4
)1(
...21
22
333
+

=+++
nn
n
4.
3
)14(
)12(...31
2
222
−
=−+++
nn
n
5.
2
)12(...531 nn
=−++++
6.
2
)1()13.(...7.24.1
+=++++
nnnn
7.
1)1(
1
...
3.2
1
2.1
1

+
=
+
+++
n
n
nn
8.
)1()13(...8.35.22.1
2
+=−++++
nnnn
9.
1)12(2...4321
+=++−+−+−
nnn
10.
nn
nnn
n
2).1(
1
1
2).1((
2
...
2.3.2
4
2.2.1
3

2
+
−=
+
+
+++
11.
3
)12).(1(2
)2(...42
222
++
=+++
nnn
n
II. Chứng minh rằng
*
Nn
∈∀
ta luôn có :
1.
nn 2
3
+
chia hết cho 3
2.
113
−
n
chia hết cho 6

3.
nn 11
3
+
chia hết cho 6
4.
149
2
+
n
chia hết cho 5
5.
410
−
n
chia hết cho 3
6.
11516
−−
n
n
chia hết cho 225
7.
1154
−+
n
n
chia hết cho 9
8.
281810

−+
n
n
chia hết cho 27
9.
nnn
336
22
++
+
chia hết cho 11
10.
1222
32.7
−−
+
nn
chia hết cho 5
11.
1323
32.5
−−
+
nn
chia hết cho 19
12.
nnnn 6116
234
+++
chia hết cho 24

13.
36323.4
22
−+
+
n
n
chia hết cho 64
14.
16
2
−
n
chia hết cho 35
15.
453.2
2
−+
+
n
nn
chia hết cho 25
16.
1412
225
+++
++
nnn
chia hết cho 23
17.

137
−+
n
n
chia hết cho 9
18.
67403
12
−+
+
n
n
chia hết cho 64
19.
nnnnnn 25763
23456
−+−+−
chia hết cho 24
20.
)132.(
2
+−
nnn
chia hết cho 6
NĂM HỌC 2009 - 2010
BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM
21.
121
1211
−+

+
nn
chia hết cho 133
III. Cho số thực
Zkkx
∈≠
,2
π
. Chứng minh rằng
*
Nn
∈∀
, ta luôn có :
1.
2
sin
2
)1(
sin.
2
sin
.sin...2sinsin
x
xnnx
nxxx
+
=+++
2.
2
sin

2
cos.
2
)1(
sin
.cos...2coscos1
x
nxxn
nxxx
+
=++++
IV. Cho số thực
1
−>
x
. Chứng minh rắng :
nxx
n
+≥+
1)1(
,
*
Nn
∈∀
V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt :
1.
n
n
2
1

...
2
1
1
<+++
2.
1
13
1
...
2
1
1
1
>
+
++
+
+
+
nnn
3.
43
1
22
12
...
6
5
.

4
3
.
2
1
+
<
+
+
n
n
n
VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
2
≥
n
, ta luôn có :
n
n
n 2
11
1...
9
1
1.
4
1
1
2
+

=






−






−






−
VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :
24
13
2
1
...
2
1

1
1
>++
+
+
+
nnn
IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
≥
n
, ta luôn có đẳng thức :

( )
1221
....).(
−−−−
++++−=−
nnnn
bbabaababa
X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
3
≥
n
, ta có :
122 +> n
n
XI. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
≥

n
, ta có :
1.
n
n
>++++
1
...
3
1
2
1
1
2.
n
N
<
−
++++
12
1
...
3
1
2
1
1
XII. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
0
≥

thì :
27263
33
−−
+
n
n
chia hết cho 169
XIII. 1. Tính tổng :
[ ]
).()1(
1
...
)2).(1(
1
)1.(
1
nanaaaaa
S
n
+−+
++
++
+
+
=
2. Tính tổng :
n
n
n

aaaa
S
2422
1
2
...
1
4
1
2
1
2
+
++
+
+
+
+
−
=
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :
I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
NĂM HỌC 2009 - 2010
BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM
1. Dãy số
( )
n
u
với
n

n
u
n
32
2
−
=
2. Dãy số
( )
n
u
với
4
sin
π
n
u
n
=
3. Dãy số
( )
n
u
với
nn
n
u 4.)1(
−=
II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
1. Dãy số

)(
n
u
với
nn
n
u 23
−=
2. Dãy số
)(
n
u
với
3
3
n
u
n
n
=
III. Cho dãy số
)(
n
u
với
3
2
cos
4
sin

2
ππ
nn
u
n
+=
. Hãy điền các số thích hợp
vào các ô trống sau đây :
n 1 2 3 4 5
u
n
IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số
12
12
2
+
−
=
x
x
y
có đồ thị (C).
Với mỗi số nguyên dương n, gọi
n
A
là giao điểm của (C) với đường
thẳng d :
nx
=
. Xét dãy số

)(
n
u
với
n
u
là tung độ của điểm
n
A
. Hãy tìm
công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó .
V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
1. Dãy số (
)
n
u
với
152
3
+−=
nnu
n
2. Dãy số
)(
n
u
với
nu
n
n

−=
3
3. Dãy số
)(
n
u
với
1
2
+
=
n
n
u
n
4. Dãy số
)(
n
u
với
1
2
3
+
=
n
n
n
u
5. Dãy số

)(
n
u
với
1
123
2
+
+−
=
n
nn
u
n
6. Dãy số
)(
n
u
với
1
2
−−=
nnu
n
7. Dãy số
)(
n
u
với
n

n
u
n
11
−+
=
8. Dãy số
)(
n
u
với
12
1
2
2
+
++
=
n
nn
u
n
VI. Xác định số thực a để dãy số
)(
n
u
với
32
1
1

2
+
+
=
n
an
u
n
là :
1. Một dãy số tăng . 2. Một dãy số giảm.
VII. Chứng minh rằng : dãy số
)(
n
u
với
32
1
2
2
−
+
=
n
n
u
n
là một dãy số bị chặn.
VIII. CMR : dãy số
)(
n

u
với
75
57
+
+
=
n
n
u
n
là một dãy số tăng và bị chặn.
NĂM HỌC 2009 - 2010
BAI TẬP TỐN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM
IX. Cho dãy số
)(
n
u
với
n
u
6
cos
3
sin
ππ
nn
+=
1. Hãy tính :
1

u
,
2
u
,
3
u
,
4
u
,
5
u

2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát
n
u
và chứng minh công thức
đó bằng phương pháp quy nạp .
X. Cho dãy số
)(
n
u
xác định bởi :





++−=

=
+
1
2
5
2
3
1
2
1
1
nnn
uuu
u

1
≥∀
n
1. Hãy tính :
2
u
,
3
u
,
4
u
,
5
u

2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát
n
u
và chứng minh công thức đó
bằng phương pháp quy nạp .
XI. Cho dãy số
)(
n
u
xác định bởi :



+=
=
+
7
1
1
1
nn
uu
u

1
≥∀
n
1. Hãy tính :
2
u

,
4
u
,
6
u
2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát
n
u
và chứng minh công thức
đó bằng phương pháp quy nạp .
XII. Cho dãy số
)(
n
u
xác định bởi :



−+=
=
+
123
2
1
1
nuu
u
nn

1
≥∀
n
1. Hãy tính :
2
u
,
3
u
,
4
u
,
5
u
2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát
n
u
và chứng minh công thức đó
bằng phương pháp quy nạp .
XIII. Cho dãy số
)(
n
u
với
3
).12sin(
π
−=
nu

n
1. Chứng minh rằng :
3
+
=
nn
uu

1
≥∀
n
2. Hãy tính 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG :
NĂM HỌC 2009 - 2010
BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM
I. Cho cấp số cộng (u
n
) có : u
1
=1 và u
2
= 6.
1. Hãy tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.
2. Tính u
3
, u
4
, u
5
và u

6.
II. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Hãy xác định
công sai của mỗi cấp số đó.
1. Dãy số (a
n
) xác định bởi a
1
= 1 và a
n+1
= 3 + a
n
với mọi
1
≥
n
2. Dãy số (b
n
) xác định bởi b
1
= 3 và b
n+1
= b
n
– n với mọi
1
≥
n
3. Dãy số (c
n
) mà c

n+1
= c
n
+ 2 với mọi
1
≥
n
III. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) của hàm số y = 3x – 2
Với mỗi số nguyên dương n, gọi A
n
là giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng x = n
Xét dãy số (u
n
) với u
n
là tung độ giao điểm A
n
. Chứng minh dãy số
u
n
là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số
cộng đó.
IV. Xét dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= a và u
n+1
= 5 – u

n
với mọi
1
≥
n
, trong
đó a là một số thực. Hãy xác định tất cả các gía trị của a để dãy số (u
n
)
là một cấp số cộng.
V. Cho một cấp số cộng có 5 số hạng. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3
và số hạng thứ tư bằng 7. Hãy tìm các số hạng còn lại.
VI. Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số
hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối
bằng 140. Hãy tìm cấp số cộng đó.
VII. Cho cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu u
1
= 2 và công sai d = -3
Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A
1
, A
2
, ......sao cho với mỗi số
nguyên dương n, điểm A
n
có toạ độ (n, u
n
). Chứng minh rằng tất cả các

điểm A
n
, ( n = 1,2,3,,,,) cùng nằm trên một đường thẳng . Hãy cho biết
phương trình của đường thẳng đó.
VIII. Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai duơng và số hạng
thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết
rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6.
IX. Cấp số cộng (u
n
) có u
17
– u
20
= 9 và (u
17
)
2
+ (u
20
)
2
= 153. Hãy tìm số
hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
X. Cho cấp số cộng (u
n
) có công sai d > 0, u
31
+

u

34
= 11 và
(u
31
)
2
+ (u
34
)
2
= 101. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
NĂM HỌC 2009 - 2010