Trắc nghiệm VD VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

MỤC LỤC
NGUYÊN HÀM ...................................................................................................................................... 2
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ ............................................................................... 6
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN .............................................................................. 10
NGUYÊN HÀM HÀM ẨN ................................................................................................................... 14
TÍCH PHÂN ......................................................................................................................................... 18
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN................................................ 26
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ................................................................................... 31
ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 .................................................................................................................... 31
ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 .................................................................................................................... 38
TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ........................................................................ 38
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 ................................................................................... 38
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 ................................................................................... 41
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ................................................................................... 43
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ................................................................................... 45
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ................................................................................... 46
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 ................................................................................... 47

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ................................................................................................................. 49
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: ............................................................................................. 49
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: ............................................................................................. 50
TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN................................................................... 51
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ........................................................................................................................ 58
GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN .................................................................................................... 65
ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH .......................................................................................................... 70
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ .......................................................................................... 83

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................................................................ Error! Bookmark not defined.
BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH .............................. Error! Bookmark not defined.
BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................... Error! Bookmark not defined.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ................................................................. Error! Bookmark not defined.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

NGUYÊN HÀM
A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa
Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là

 



 
Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C .

 



nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x  f x với mọi x  K .

Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x  F x  C



 

 

 

 

cũng là một nguyên hàm của f x trên K .


 
dạng F x   C , với C là một hằng số.

Do đó F  x   C ,C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K .

 

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có

2. Tính chất của nguyên hàm

 f x dx  f x và  f ' x dx  f x  C ; d

  

 

Nếu F(x) có đạo hàm thì:

 
 
  f x  dx   f x  dx
 d F (x )  F (x )  C

 kf  x  dx  k  f x  dx với k là hằng số khác 0 .
  f  x   g x  dx   f x  dx   g x  dx

 

 

Công thức đổi biến số: Cho y  f u và u  g x .
Nếu

 f (x )dx  F (x )  C

thì

 f g(x ) g '(x )dx   f (u)du

 F (u )  C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

 

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
1.  0dx  C
2.  dx  x  C
3.  x dx 
4.

1

x

2

1
x  1  C   1
 1



dx  

1
C
x

1

 x dx  ln x  C
6.  e dx  e  C
5.

x

16.
17.
18.

x

ax
C
ln a
8.  cos xdx  sin x  C

7.  a x dx 



19.
20.
21.



 1



1 ax  b


ax

b
dx

 c ,   1

a  1
x2
xdx

C

2
dx

1
 ax  b  a ln ax  b  c
1 ax b
ax b
 e dx  a e  C
1 a kx b
kx b
a
dx

C

k ln a
1
 cos ax  b  dx  a sin ax  b   C


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
9.

 sin xdx   co s x  C

22.

11.  cot x .dx  ln | sin x | C
1

12.

 cos

13. 

2

x

dx  tan x  C



1
dx


cot ax  b  C
 sin2 ax  b
a



27.

 1  tan ax  b   dx  a tan ax  b   C



 1  cot x  dx  co t x  C



x

2

x a
dx
2

a x
dx

2

2

x 2  a2









x
C
a



x

x

x

x

x

x

a

2

 x2 C

x

x

a

2

 x2  C

 arccos a dx  x arccos a 

a2  x 2  C
a2  x 2  C

 arctan a dx  x arctan a  2 ln a
 arc cot a dx  x arc cot a  2 ln a

1
x
arccos  C
a
a

1 a  x 2  a2


C
 x x 2  a 2 a ln
x
dx



dx

1

 sin ax  b   a ln tan

b

 ln ax  b  dx   x  a  ln ax  b   x eC cos bx dx  e
ax





1

 arcsin a dx  x arcsin a 

 ln  x  x 2  a 2   C
 arcsin





2



dx
1
a x

ln
C
2
2a
a x
x

dx



1
28.  1  cot2 ax  b dx   co t ax  b  C
a

2

2

1



26.

5. Bảng nguyên hàm mở rộng

dx
1
x
 a 2  x 2  a arctg a  C

a





1
dx   cot x  C
sin 2 x

14.  1  tan2 x dx  tan x  C
15.

1

 sin ax  b  dx   a cos ax  b   C

1
23.  tan ax  b  dx   ln cos ax  b   C
a
1
24.  cot ax  b  dx  ln sin ax  b   C
a
1
1

dx  tan ax  b  C
25. 
2
a
cos ax  b

 tan x .dx   ln | cos x | C

10.

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

a 2  x 2 dx 

ax

ax  b
C
2

a cos bx  b sin bx 
a 2  b2

C

x a2  x 2 a2
x
e ax a sin bx  b cos bx 
 arcsin eC
ax

sin
bx
dx

C
2
2
a
a2  b2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Tìm giá trị thực của a để F  x  
A. a  4 .

B. a  5 .

ax  1
là một nguyên hàm của hàm số f  x  
2x  1
C. a  4 .

4x  3

 2 x  1

D. a  5 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 3

3

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 2.

Cho F  x    ax 2  bx  c  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1

khoảng  ;   . Tính S  a  b  c .
2

A. S  3 .
B. S  0 .
Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Cho F  x    ax2  bx  c 

10 x 2  7 x  2
trên
2x 1

C. S  6 .

D. S  2 .
20 x 2  30 x  7
2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x  
trên
2x  3

3

khoảng  ;   . Tính P  abc .
2

A. P  0 .
B. P  3 .
C. P  4 .
D. P  8 .
sin x  cos x
Biết 
dx  a ln sin x  cos x  C . Với a là số nguyên. Tìm a?
sin x  cos x
A. a  1.
B. a  2.

C. a  3.
D. a  4.
x
tan 2

2
Tìm một nguyên hàm của: 1  4.
biết nguyên hàm này bằng 3 khi x  .
2
4
 2x 
 tan 2  1


1
1
A.
B.
C. tan x  2 .
D. cot x  2 .
 3.
 3.
2
cos x
sin 2 x
1
1
Biết 
dx  
 C . Với a là số nguyên. Tìm a?

5
2
a  5x  2 
 25 x  20 x  4 
A. a  4.

B. a  100.
C. a  5.
D. a  25.
a
1 x
Câu 7. Biết  2
dx  ln 2 x  7  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
2x  5x  7
b
A. S  4.
B. S  2.
C. S  3.
D. S  5.
1
a


dx  tan  x    C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
Câu 8. Biết 
b
1  sin 2 x
4

A. S  4.

B. S  2.
C. S  3.
D. S  5.
 

F x
f x
F 0 8
Câu 9. Cho f  x   8sin 2  x   . Một nguyên hàm   của   thỏa  
là:
 12 




A. 4 x  2sin  2 x    9 .
B. 4 x  2sin  2 x    9 .
6
6






C. 4 x  2sin  2 x    7 .
D. 4 x  2sin  2 x    7 .
6
6



2
5x  8x  4
1
Câu 10. Biết F ( x ) là nguyên hàm của  2
dx với 0  x  1 và F    26 . Giá trị nhỏ nhất của
2
 2
x 1  x 
F ( x ) là:
A. 24.
B. 20.
C. 25.
D. 26.
f x  1 x
F x
f x
F 1 1
Câu 11. Cho  
. Một nguyên hàm   của   thỏa  
là:
2

x
1
 x  2  2 khi x  0
A. x 2  x  1
B. 
.
2

 x  x  C khi x  0
2

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 x2
 2  x  C1 khi x  0
C. 
.
2
 x  x  C khi x  0
2

2

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

 x2  x  C1 khi x  0

D. 
.
x2
x


 C2 khi x  0

2


Câu 12. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
1
và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của
e 3
3
x

phương trình 3F  x   ln  x 3  3  2 là:
A. S  2 .
Câu 13.

B. S  2; 2 .

C. S  1; 2 .

D. S  2;1 .

(NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số

1
, thỏa mãn F  3  1 và F 1  2 , giá trị của F  0   F  4  bằng
x2

A. 2ln 2  3 .
B. 2 ln 2  2 .
C. 2 ln 2  4 .
D. 2 ln 2 .
x
Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng x e là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   .
f  x 

Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e x thỏa mãn F  0   1 , giá trị của F  1 bằng

5e
7e
5
7
.
B.
.
C.
.
D. .
2
2
2
2
Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số
A.

f  x 

2cos x 1

trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;  
sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
3
 2 
 
 
A. F    3 3  4 .
B. F 
.
C. F     3 .

 3  2
6
3

là

 5 
D. F 
  3 3.
 6 
Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm

số f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
2

A. 6.
B. 5.

C. 3.
D. 4.
2
x
Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết F  x    ax  bx  c  e là một nguyên hàm của hàm số
f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Giá trị biểu thức f  F  0   bằng:
1
.
B. 3e .
C. 20e2 .
D. 9e .
e
Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F  x   x 2  ax  b e x , f  x   x 2  3 x  4 e x .

A.









Biết a, b là các số thực để F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tính S  a  b .
A. S  6 .
B. S  12 .
C. S  6 .
D. S  4 .
Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F  x  là một nguyên hàm

2x 1
1
trên khoảng  0;   thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức
3
2
x  2x  x
2
S  F 1  F  2   F  3   ...  F  2019  bằng

của hàm số f  x  

A.

2019
.
2020

4

B.

2019.2021
.
2020

C. 2018

1
.
2020

D. 

2019
.
2020

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 20.

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

(Chuyên Vinh Lần 3)Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  
hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. Vô số điểm.
B. 0.

C. 1.

A. Vô số điểm.

C. 1 .

x  cos x

. Hỏi đồ thị của
x2

D. 2.
1
Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  x 2  1 . Hỏi đồ thị
2
của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 0 .

D. 2 .

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ
A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Đổi biến dạng 1
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x   t . Trong đó  t cùng với đạo hàm của nó (  ' t là những hàm







số liên tục) thì ta được :
 f (x )dx   f  t   ' t dt   g(t )dt  G (t )  C .
1.1. Phương pháp chung








Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   ' t  dt .
Bước 3: Biểu thị : f (x )dx  f  t    ' t  dt  g (t )dt .



 Bước 1: Chọn t=  x . Trong đó  x là hàm số mà ta chọn thích hợp .



 Bước 4: Khi đó : I   f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C
1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu
Hàm số mẫu số có



 

 

t  x

Hàm số : f x ;  x

 

Hàm f x 

 

Hàm f x 

Cách chọn
t là mẫu số

a. s inx+b.cosx
c.s inx+d.cosx+e

1

 x  a x  b 


x 
x
t  tan ; cos  0 
2 
2

Với : x  a  0 và x  b  0 .
Đặt : t  x  a  x  b
Với x  a  0 và x  b  0 .
Đặt : t  x  a  x  b

2. Đổi biến dạng 2
Nếu :  f (x )dx  F (x )  C và với u   t là hàm số có đạo hàm thì :



 f (u )du  F ((t ))  C

2.1. Phương pháp chung




Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   ' t  dt
Bước 3: Biến đổi : f (x )dx  f  t    ' t  dt  g t  dt



 Bước 1: Chọn x   t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp .



 Bước 4: Khi đó tính :

 f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C .

2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 6

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dấu hiệu

Cách chọn

  
Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;
 2 2
với t   0;   .

a2  x2

a
  
. ; với t    ;  \ 0 hoặc x 
sint
cost
 2 2
 
với t  0;   \   .
2
Đặt x 

2

x a

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

2

a



  
Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t
 2 2

a2  x 2

 

với t  0;  .

a x
. hoặc
a x

a x
.
a x

x  a b  x 

Đặt x  acos2t
Đặt x  a  (b – a )sin 2t

  

1
Đặt x  atant ; với t    ;  .
2
a x
 2 2
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
tan x
 
Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của f  x  
, biết F  0   0 , F    1 . Tính
2
4
cos x 1  a cos x
 
 
F F ?
3
4
A. 5  3 .
B. 5  1.
C. 3  5 .
D. 5  2
2

2017

Câu 2.

(Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

b

 x  1
1  x  1
d
x

  x  12019 a .  x  1c  C

với

a , b , c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng

A. 4.2018 .
Câu 3.

D. 5.2018 .

B. 2.2018 .
C. 3.2018 .
1
 2 x  3 dx
Giả sử 

 C ( C là hằng số).
x  x  1 x  2  x  3  1
g  x

Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 .
Câu 4.

 f  x

2

. f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số
B. 3 18 .

A. 2 3 16 .
Câu 5.

D. 3 .
 2;1 thỏa mãn f  0  1 và

A. 1 .
B. 1.
C. 3 .
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn





trên đoạn

 2;1 là

D. 2 3 18 .

C. 3 16 .

Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x   ln x  1  x 2  C .

y  f  x

1
1  x2



trên khoảng  ;  ?



B. F  x   ln 1  1  x2  C .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F  x   1  x 2  C . D. F  x  
Câu 6.

2x
1  x2

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

C

(HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x) 

sin 2 x  cos x
1  sin x

 
và F (0)  2 . Tính F  
2
   2 2 8
  2 2 8
   4 2 8
  4 2 8
A. F   
B. F   
C. F   
D. F   
3
3
3
3
2
2
2
2
7
5

cos 2 x
 C . Với a là số nguyên. Tìm a?
Câu 7. Biết   cos 2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx  
a
A. a  6.
B. a  12.
C. a  7.
D. a  14.
1 2 x
Câu 8. Tìm R   2
dx ?
x 2 x
tan 2t 1 1  sin 2t
1
 x
 ln
 C với t  arctan   .
A. R  
2
4 1  sin 2t
2
 2
tan 2t 1 1  sin 2t
1
 x
 ln
 C với t  arctan   .
B. R  
2
4 1  sin 2t

2
 2
tan 2t 1 1  sin 2t
1
 x
 ln
 C với t  arctan   .
C. R 
2
2
4 1  sin 2t
 2
tan 2t 1 1  sin 2t
1
 x
 ln
 C với t  arctan   .
D. R 
2
4 1  sin 2t
2
 2
3
 3
1 1 3 
a 4 1 1 3
b
x
x
1

dx




Câu 9.
có
dạng
x


x

x

1
 C , trong đó a, b là



x2
2 
4
x
2
3

hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng:
A. 2; 1 .
B. 1; 1 .

C. a, b  
D. 1; 2 .
2
2
a
b
Câu 10.   x  1 e x 5 x 4  e7 x 3  cos 2 x dx có dạng e x 1  sin 2 x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ.
6
2
Giá trị a, b lần lượt bằng:
A. 3; 1 .
B. 1; 3 .
C. 3; 2 .
D. 6; 1 .









Câu 11. Tìm I  

e x  3x  2   x  1





x 1 ex . x 1  1



dx ?





A. I  x  ln e x . x  1  1  C .





B. I  x  ln e x . x  1  1  C .





C. I  ln e x . x  1  1  C .



D. I  ln e x . x  1  1  C .
x

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

ln 1  x 2   2017 x
x
ln  e.x 2  e 


2

1




?

A. ln  x 2  1  1008ln ln  x 2  1  1 .
B. ln  x 2  1  2016 ln ln  x 2  1  1 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

1

ln  x 2  1  2016 ln  ln  x 2  1  1 .
2
1
D. ln  x 2  1  1008ln  ln  x 2  1  1 .
2

C.

3

Câu 13.

(Chuyên KHTN) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có



5

f ( x) dx  8 và

0

 f ( x)dx  4. Tính
0

1

 f ( 4 x  1)dx.

1

A.

9
.
4

11
.
4
2 x 2  1  2ln x  .x  ln 2 x

B.

Câu 14. Tìm G  

x

2

 x ln x 

2

C. 3.

D. 6.

dx ?

1
1
1
1
B. G  

C .
C.
x x  ln x
x x  ln x
1
1
1
1
C. G  
 C . D. G  
C.
x x  ln x
x x  ln x
1  ln x
Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h  x   1 n
?
x .ln x. x n  ln n x

A. G 



1
1

ln x  ln x n  ln n x  2016 .
n
n
1
1
C.  ln x  ln x n  ln n x  2016 .
n
n



1
1
ln x  ln x n  ln n x  2016 .
n
n
1
1
D.  ln x  ln x n  ln n x  2016 .
n
n
1
Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x
và F  0    ln 2e .
e 1
Tập nghiệm S của phương trình F  x   ln e x  1  2 là:

B.

A.



A. S  3 .

B. S  2;3 .

Câu 17. Khi tính nguyên hàm



C. S  2;3 .

1

 2 x  1 x  1



3

dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo biến

x) thì nguyên hàm trở thành  2dt . Biết g  4  

3
, giá trị của g  0   g 1 là:
5

3 6

1 6
2 6
.
B.
.
C.
.
2
2
2
Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn
A.

 f  x 

2

D. S  3; 3 .

23 6
.
2
 2;1 thỏa mãn f  0  3 và
D.

. f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là

A. 2 3 42 .
B. 2 3 15 .
C. 3 42 .

D. 3 15 .
Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F  x  là một nguyên

2cos x  1
trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên
sin 2 x
3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

hàm của hàm số f  x  
khoảng  0;   là

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 
A. F    3 3  4
6

 2
B. F 
 3

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

3



 2

 
 5 
D. F 
C. F     3
  3 3
 6 
3
 
Câu 20. Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn f  0   3 và
 2
 
f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
 2
  
hàm số f  x  trên đoạn  ;  .
6 2
5
21
A. m 
, M  2 2 . B. m  , M  3 .
2
2
5
C. m 
, M  3 . D. m  3 , M  2 2 .
2

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
 u(x ).v '(x )dx  u(x ).v(x )   v(x ).u '(x )dx
Hay

 udv  uv   vdu



 

( với du  u’ x dx , dv  v’ x dx )

1.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I   f (x )dx   f1 (x ).f2 (x )dx

du  f '1(x )dx

v   f2 (x )dx
 Bước 3: Khi đó :  u.dv  u.v   v.du
u  f1(x )

 Bước 2: Đặt : 
dv  f2 (x )
2. Các dạng thường gặp
2.1. Dạng 1

u  P (x )


sin x 




dv  cos x  .dx
e x 





 cos x 


 sin x  .P '(x )dx
e x




sin x 


I   P (x ) cos x  .dx . Đặt
e x 



 cos x 


Vậy: I  P (x ) sin x  e x



2.2. Dạng 2
u  ln x

I   P (x ). ln xdx . Đặt 
dv  P (x )dx

1
Vậy I  lnx .Q x   Q(x ). dx
x

u '.du  P '(x )dx

 cos x 




v  sin x 
e x









1
du  dx

x
v   P (x )dx  Q(x )


 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

2.3. Dạng 3

sin x 
I  ex 
 dx . Đặt
cos x 

u  e x


sin x 
dv


 .dx

cos
x




 cos x 
Vậy I = I  e x 
sin
x



du  e xdx

 cos x 

v





sin x 




  cos x 
x
 sin x e dx



Bằng phương pháp tương tự ta tính được

  cos x 
x
 sin x e dx sau đó thay vào I



B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

  
(ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   x tan 2 x trên khoảng  ;0 là
 2 

x2
x2
B. F  x   x tan x  ln cos x    C.

 C.
2
2
2
2
x
x
C. F  x   x tan x  ln cos x    C.
D. F  x   x tan x  ln cos x   C.
2
2
x
  
Cho f  x  
trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn F  0   0
2
cos x
 2 2
  
. Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a .
 2 2
1
1
1
B.  ln10 .
C. ln10 .
A.  ln10 .
D. ln10 .
2
4

2
3
Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x và F  0   2 . Hãy tính F  1 .
A. F  x   x tan x  ln cos x  

Câu 2:

Câu 3:

15
10
.
B. 4  .
e
e
Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x .

A. 6 
Câu 4:

1 32
f
x
d
x

x  3ln x  2   C .




9
2 32
C.  f  x  dx  x  3ln x  1  C .
9
x 2 dx
Tìm H  
?
2
 x sin x  cos x 
A.

Câu 5:

x
 tan x  C .
cos x  x sin x  cos x 
x
C. H 
 tan x  C .
cos x  x sin x  cos x 

  2x



x 2  1  x ln x dx có dạng

tỉ. Giá trị a bằng:
A. 3 .

B. 2 .

a
3



15
4.
e

B.



D.



D.

10
.
e

2 32
x  3ln x  2   C .
3
2 32
f  x  dx  x  3ln x  2   C .

9

f  x  dx 

x
 tan x  C .
cos x  x sin x  cos x 
x
D. H 
 tan x  C .
cos x  x sin x  cos x 

A. H 

Câu 6:

C.

B. H 



3

x2 1 

b 2
1
x ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số hữu
6

4

C. 1.

D. Không tồn tại.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 7:

Câu 8:

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

ln  2 x  3
c

Biết F  x   a ln x   b   ln  2 x  3 là nguyên hàm của hàm số f  x  
. Tính
x
x2

S  abc .
1
7

4
A. S  1.
B. S  .
C. S  .
D. S   .
3
3
3
2
1
x  ln x
a
(Trần Đại Nghĩa) Cho I  
dx  ln 2  với a, b, c là các số nguyên dương và các
2
b
c
1  x  1
phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức S 

ab
.
c

5
1
2
.
B. S  .
C. S  .

6
3
3
(Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)
Họ
nguyên
2
2 x  x ln x  1
y
là
x

A. S 
Câu 9:



1
.
2
của

D. S 
hàm

hàm

số



x2
 xC .
2
x2
2
C.  x  x  1 ln x   x  C .
2

x2
 xC .
2
x2
2
D.  x  x  1 ln x   x  C .
2
2
 4 x 
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 ln 
?
2 
 4 x 





2
A. x  x  1 ln x 





2
B. x  x  1 ln x 

 4  x2 
 x 4  16   4  x 2 
2
A. x ln 
 2 x . B. 
 2x2 .
 ln 
2 
2 
4 x 
 4   4 x 
 4  x2 
 x 4  16   4  x 2 
2
C. x 4 ln 
.
D.
2
x

 2x2 .

 ln 

2 
2 
4

x
4
4

x



 

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)
 f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
4

 f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C
C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5  C

A.

Câu 12:

Biết

 f  3x  dx  9 x cos  6 x  5   C
D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C
B.

(Ngô Quyền Hà Nội) Cho F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x . Khi đó

 f   x  .e

2x

dx bằng

A.  x 2  2 x  C .
B.  x 2  x  C .
C. 2 x2  2 x  C .
D. 2 x2  2 x  C .
Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F  x  là nguyên hàm trên  của hàm số
1
f  x   x2eax  a  0  , sao cho F    F  0   1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
a
A. 0  a  1 .
B. a  2 .
C. a  3 .
D. 1  a  2 .
x
Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e , x   và f  0  2 . Tất

cả các nguyên hàm của f  x  e2 x là
A.  x  2  e x  e x  C .

B.  x  2  e 2 x  e x  C .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.  x 1 ex  C .
Câu 15:

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

D.  x  1 ex  C .
2

(ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 xf  x   2 xe x , x  và f  0   1 .
2

Tất cả các nguyên hàm của x. f  x  e x là
2
2
2
2
2
1 2
1
x  1 e x  C . C.  x 2  1 e  x  C . D.  x2  1  C .

2
2
(Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

f  x   f   x   x, x   và f  0  1 . Tính f 1 .
2

A.  x 2  1  C .
Câu 16:

B.

2
1
e
.
B. .
C. e .
D. .
e
e
2
x
(PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng x e là một nguyên hàm của f   x 

A.
Câu 17:

x
trên khoảng  ;  . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e thỏa mãn F  0  1, giá trị

của F  1 bằng

7

5e
.
B.
.
2
2
(Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y  f  x  .

A.
Câu 18:

C.

7e
.
2

D.

5
.
2

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx =  f  x  cos x    x cos xdx . Hỏi hàm số

y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. f  x    x ln  .
Câu 19:

B. f  x  

x
.
ln 

x
C. f  x    ln  .

D. f  x   

x
.
ln 

(Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  0;  thỏa
mãn 2 xf   x   f  x   x 2 x cos x, x   0;   ; f  4   0 . Giá trị biểu thức f  9  là:
B. 3  .

A. 0 .
Câu 20:

C.   .

D. 2  .

(Nguyễn Khuyến)Giả sử F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x 

ln  x  3
x2

thỏa mãn

F  2  F 1  0 và F  1  F  2   a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của
3a  6b bằng
A. 4.
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo
x
 
thỏa
mãn
f  x   tan x. f   x  
.
Biết
rằng
 0;  ,
cos3 x
 2
 
 
3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá trị của biểu thức P  a  b bằng
3
6
14
2
7
4
B. 

C.
D. 
A.
9
9
9
9
hàm

trên

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN
2
1

Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f ( x) 
, f (0)  1 và f (1)  2 . Giá trị
2x 1
2
của biểu thức f (  1)  f (3) bằng
A. 4  ln5 .
B. 2  ln15 .
C. 3  ln15 .
D. ln15.
3
1
2
, f  0  1 và f    2 . Giá
Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f   x  
3x  1
3
3
trị của biểu thức f   1  f  3  bằng
A. 3  5ln 2 .
B. 2  5ln 2 .
C. 4  5ln 2 .
D. 2  5ln 2 .
(GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2 thoả
3x 1
, f  0   1 và f  4   2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3 bằng
x2
A. 1 2 .
B. ln 2 .
C. 10  ln 2 .
D. 3  20ln 2 .

4
f x
 \ 2; 2
f 0  1
Cho hàm số   xác định trên
và thỏa mãn f   x   2
; f   3  0 ;
x 4
f 3 2
P  f  4   f  1  f  4 
và  
. Tính giá trị biểu thức
.

mãn f   x  

Câu 4:

A. P  3  ln
Câu 5:

Câu 6:

3
.
25

B. P  3  ln 3 .

5

C. P  2  ln .
3

Cho hàm số f  x  xác định trên  \  2;1 thỏa mãn f   x  

5
D. P  2  ln .
3

1
; f   3   f  3   0 và
x  x2
2

1
f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng
3
1 1
1 4
1 8
A.  ln 2 .
B. 1  ln80 .
C. 1  ln 2  ln .
D. 1  ln .
3 3
3 5
3 5
1
Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f   x   2
. Biết f   3   f  3   0 và

x 1
 1
1
f     f    2 . Giá trị T  f   2   f  0   f  4  bằng:
 2
2

Câu 7:

1 5
1 9
1 9
1 9
A. T  2  ln .
B. T  1  ln .
C. T  3  ln .
D. T  ln .
2 9
2 5
2 5
2 5
(THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn
f '  x  . f  x   x 4  x 2 . Biết f  0   2 . Tính f 2  2  .
313
332
324
323
.
B. f 2  2  
.

C. f 2  2  
.
D. f 2  2  
.
15
15
15
15
(Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  \ 0 thỏa mãn

A. f 2  2  
Câu 8:

f  x
3
 x 2 và f 1  1 . Giá trị của f   bằng
x
2
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

96
64
48
24
(ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2 x3  3 x 2 với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng
A. 5 .
B. 10 .
C. 20 .
D. 15 .
f  x 

Câu 9:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 10:

f  x

f' x
Cho hàm số
thỏa mãn    
f 1
. Giá trị của     là

2

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

 f  x  . f "  x   15 x 4  12 x, x  

và

f  0   f '  0

1

2

5
9
.
D. .
2
2
(Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  1;0 ,

A. 10 .
Câu 11:

B. 8 .

C.

đồng thời thỏa mãn điều kiện
f x
f   x    3 x 2  2 x  e   , x   1;0  . Tính A  f  0   f  1 .

1
B. A  .
C. A  1.
D. A  0.
e
(THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên ,

A. A   1.
Câu 12:

nhận giá trị dương trên khoảng  0;  và thỏa mãn f 1  1, f  x   f '  x  3 x  1 với mọi

x  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 4  f  5   5.
B. 1  f  5   2.

C. 3  f  5   4.

D. 2  f  5   3.
ax  b
Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số a và b để F  x  
 4a  b  0  là một
x4
nguyên hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới
đây đúng và đầy đủ nhất?
B. a  1, b  4 .

C. a  1, b  1 .
D. a  1, b   \ 4 .
A. a  , b .
Câu 14: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2  
f  x   2x  4 f

2

 x   0 . Tính

1
và
15

f 1  f  2   f  3  .

7
11
11
7
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
15
30

30
Câu 15: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi
đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 1.
A.

1
Câu 16: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và f  ln   0 .
 4
Giá trị của biểu thức S  f   ln 16   f  ln 4  bằng

31
9
5
.
B. S  .
C. S  .
D. f  0  . f  2   1 .
2
2
2
Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1
f ' x
và
 2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm
f  x
thực phân biệt.

A. m  e .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  e .
D. 1  m  e .
Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x  . f   x    2 x  1 f 2  x  và
A. S 

f 1   0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2  f  3  ...  f  2017  

a
a
;  a   , b    với
tối
b
b

giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

a
 1 .

D. b  a  4035 .
b
Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với
A. a  b  1 .

B. a    2017; 2017  . C.

1
a
mọi x và thỏa mãn f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết f 1  f  2  ...  f  2019    1
2
b
với a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a  b  2019 .
B. ab  2019 .
C. 2 a  b  2022 .
D. b  2020 .
Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   
f   x    2 x  1 f 2  x   0 ,

, biết

x  0 và

f  2 

1
. Tính giá trị của biểu thức
6

P  f 1  f  2   ...  f  2019  .
2018
.
2019
1
Câu 21: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f '  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0   . Biết tổng
2
a
a
f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018  với a  , b  * và là phân số tối giản. Mệnh đề
b
b
nào sau đây đúng?
a
a
B.  1 .
A.  1 .
b
b
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
 f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0


Câu 22: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn 
. Tính f 1 .
 f   0   0; f  0   1
2
3
6

7
A. .
B. .
C. .
D. .
3
2
7
6
f  x
x
. Khi đó hiệu
Câu 23: Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và
 2
f  x x 1

A.

2021
.
2020



B.

2020
.
2019

C.

2019
.
2020

D.



T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng
A.  2; 3  .

B.  7; 9  .

C.  0;1 .

D.  9;12  .
f x 0
Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số  
với mọi
f 0 1
f x  x  1. f   x 
x  ,  
và  
với mọi x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x   2
B. 2  f  x   4
C. f  x   6
D. 4  f  x   6

Câu 25: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 ,
f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 4  f  5   5 .
C. 3  f  5   4 .

B. 2  f  5   3 .
D. 1  f  5   2 .
2

Câu 26: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1
. Giá trị của f 2 1 bằng
A.

9
.
2

B.

5
.
2

C. 10 .

D. 8 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 27: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn
của hàm số f  2 x  trên tập  là:
x3
x3
C .
A.
B. 2
C.
2
x 4
2  x  4

f





Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
x 1
x 1

 dx  2 

x 1  3

x5

  C . Nguyên hàm



C.

2x  3
C .
4  x 2  1

D.

2x  3
C.
8  x 2  1

(Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  3 và x(4  f '( x))  f ( x)  1 với
mọi x  0 . Tính f (2) .
A. 6 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 3 .
Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , thỏa mãn f  x   0 ,
Câu 28:

x  và f   x   2 f  x   0 . Tính f  1 biết rằng f 1  1 .
B. e3 .
C. e4 .

D. e 2 .
A. e 4 .
Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số a và b để
ax  b
F  x 
 4a  b  0  là một nguyên hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn
x4
2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
B. a  1, b  4 .

A. a  , b .
Câu 31:

C. a  1, b  1 .

D. a  1, b   \ 4 .

(Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số f ( x)  0 ; f   x    2 x  1 . f 2  x  và f 1  0,5 .
Biết tổng f 1  f  2   f  3   ...  f  2017  

a
a
;  a   ; b    với
tối giản. Chọn khẳng
b
b

định đúng.
a
A.  1 .

B. a  b  1 .
C. b  a  4035 .
D. a  b  1 .
b
Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên

 
 
2
 0; 2  , thỏa mãn f  x  . f   x   cos x 1  f  x  với mọi x   0; 2  và f  0   3 . Giá trị của
 
f   bằng
2
B. 1.
C. 2 2 .
D. 0 .
A. 2 .
Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2,
f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng

A. 26 .
B. 24 .
C. 15 .
D. 23 .
Câu 34: (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục trên tập  thỏa
mãn f   x  x2  1  2 x f  x   1 và f  x   1 , f  0   0 . Tính f
B. 9.
A. 3 .
Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số

 3 .

C. 3.
D. 0.
f  x  liên tục trên đoạn  0;4 thỏa mãn

2

 f  x  
2
f   x  f  x   
  f   x  
3
 2 x  1

và

f  x  0

với

mọi

x   0; 4 .

Biết

rằng

f   0   f  0   1 , giá trị của f  4  bằng

A. e2 .

B. 2e .

C. e3 .

D. e 2  1 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 36:

f x
(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số
thỏa mãn
2
f 1  f  1  1
f 2 2
 xf   x    1  x 2 1  f  x  . f "  x   với mọi x dương. Biết  
. Giá trị
bằng
A. f 2  2   2 ln 2  2 .
B. f 2  2   2 ln 2  2 .

C. f 2  2   ln 2  1 .
Câu 37:

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

(Chuyên

 f '  x 

2

D. f 2  2   ln 2  1 .

Thái

Nguyên)

Cho

 f  x  . f "  x   15 x  12 x , x  
4

A. 10 .

và

B. 8 .

hàm
số

f  0   f ' 0 

C.

f  x

thỏa

 1 . Giá trị của

5
.
2

D.

 f 1 

mãn
2

là

9
.
2

TÍCH PHÂN
1. Công thức tính tích phân
b

 f (x )dx  F (x )

b
a

 F (b )  F (a ) .

a

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

b

 f (x )dx hay

 f (t )dt. Tích phân đó

a

a

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
2. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f  x và g  x liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có :
a

1.

 f (x )dx  0
a
b

2.

a

 f (x )dx    f (x )dx .
a
b

3.

b

c

b

 f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx
a

a

c

b

4.

b

a
b

5.

b

  f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .
a

a

b

 kf (x )dx  k. f (x )dx .
a

a

b

6.

Nếu f(x)  0, x  a ;b  thì :

 f (x )dx  0x  a;b 

a

b

b

7. Nếu x  a;b  : f (x )  g(x )   f (x )dx   g(x )dx .
a

a

b









8. Nếu x  a;b  Nếu M  f (x )  N thì M b  a   f (x )dx  N b  a .
a

3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến
1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Định lí
Nếu hàm số u  u(x ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b  sao cho
u (b )

b





f (x )dx  g u(x ) u '(x )dx  g(u )du thì: I   f (x )dx 
a



g(u )du .

u (a )

1.2. Phương pháp chung
Bước 1: Đặt u  u(x )  du  u ' (x )dx
Bước 2: Đổi cận :

x b
x a



u  u(b)
u  u(a )

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u
b

u (b )

b

Vậy: I   f (x )dx   g u(x ).u '(x )dx 
a

a

 g(u)du

u (a )

2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Định lí
Nếu

1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục trên  ;  



2) Hàm hợp f (u(t )) được xác định trên  ;   ,


3) u ( )  a, u( )  b
b



Khi đó: I   f (x )dx   f (u(t ))u ' (t )dt .
a



2.2. Phương pháp chung
Bước 1: Đặt x  u t



Bước 2: Tính vi phân hai vế :

x b

Đổi cận:

x a



x  u(t )  dx  u '(t )dt

t 
t 

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t


b

Vậy: I   f (x )dx   f u(t ) u '(t )dt   g (t )dt  G (t )  G ( )  G( )

a





2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lí
Nếu u  x  và v  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a;b  thì:
b
b
b b
b b
'
'
u
(
x
)

v
(
x
)
dx

u
(
x
)
v
(
x
)

v
(
x
)
u
(
x
)
dx
Hay
udv

uv
 vdu
a

a
a a
a a





2.1 Phương pháp chung
Bước 1: Viết f  x  dx dưới dạng udv  uv 'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x làm
u  x  và phần còn lại dv  v '(x )dx

Bước 2: Tính du  u ' dx và v   dv   v '(x )dx
b

Bước 3: Tính

 vu '(x )dx và uv
a

b
a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
b
b
b
Đặt u theo thứ tự ưu tiên:
x
P
(
x
)
e
dx
P
(
x
)ln
xdx
Lốc-đa-mũ-lượng


 P(x )cos xdx
a

u
dv

a

P(x)

a

lnx
P(x)dx

b

e

x

cos xdx

a

ex
cosxdx

P(x)
cosxdx

e x dx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v 'dx là phần của
f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
3.1. Tích phân hàm hữu tỉ
Dạng 1







dx
1 adx
1
I= 
 
 ln ax  b .
a  ax  b a
 ax  b



(với a≠0)



dx
1
1
  (ax  b)k .adx 
.(ax  b )k 1
Chú ý: Nếu I = 
k
a
a(1  k )

 (ax  b )
Dạng 2


I 

 ax



2

dx
 bx  c

a  0




( ax 2  bx  c  0 với mọi x   ;   )



Xét   b 2  4ac .

b  
b  
;x2 
2a

2a
 1
1
1
1
1 




 thì :
2
ax  bx  c a(x  x1 )(x  x 2 ) a(x 1  x 2 )  x  x 1 x  x 2 

 1
1
1 
1
ln x  x1  ln x  x2  
I 


dx 




a(x1  x 2 )   x  x1 x  x2 
a(x1  x2 ) 
x  x1 

1

ln
a(x1  x 2 ) x  x2 
Nếu   0 thì x1 

Nếu   0 thì


thì I =



dx
1
dx
1
 ax 2  bx  c  a  (x  x )2   a(x  x )
0
0


Nếu   0 thì I 

Đặt x 


b 
x0 


2a 


1
1

ax  bx  c a(x  x 0 )2
2

b

2a

dx
 ax 2  bx  c 










dx
2

 



b

a  x 


2a   4a 2


2












1 
tan
t

dx

1  tan2 t dt
2

2
2 a
4a





Dạng 3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A


I 

 ax



mx  n
dx ,
2
 bx  c

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

a  0  .

mx  n
liên tục trên đoạn  ;   )
ax 2  bx  c
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
A(2ax  b )
B
mx  n
A(ax 2  bx  c ) '
B

 2
 2
 2
2
2
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c

(trong đó f (x ) 



Ta có I=


Tích phân











 ax

2



dx
 bx  c



A(2ax  b)
B
dx  
dx
2
2
ax  bx  c

ax  bx  c


A(2ax  b )
dx = A ln ax 2  bx  c
2
ax  bx  c



Tích phân





mx  n
dx 
ax 2  bx  c




thuộc dạng 2.

Dạng 4
b

I 

P (x )

 Q(x ) dx

với P  x  và Q  x là đa thức của x .

a

Nếu bậc của P  x  lớn hơn hoặc bằng bậc của Q  x thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P  x  nhỏ hơn bậc của Q  x thì có thể xét các trường hợp:
Q  x
 ,  ,...,  n
Khi
chỉ có nghiệm đơn 1 2
thì đặt
A1
A2
An
P (x )


 ... 
.
Q(x ) x  1 x   2
x  n

Khi Q  x có nghiệm đơn và vô nghiệm







Q(x )  x   x 2  px  q ,   p 2  4q  0 thì đặt

P(x )
A
Bx  C

 2
.
Q(x ) x   x  px  q
Khi Q  x có nghiệm bội
Q(x )  (x   )(x   )2 với    thì đặt

A
P (x )
B
C



Q(x ) x  
x 
x 



2

2



.

3

Q(x )  (x   ) (x   ) với    thì đặt

P(x )
A
B
C
D
E





(x   )2 (x   )3 (x   )2 (x   ) (x   )3 (x   )2 x  
3.2. Tích phân hàm vô tỉ
b

 R(x, f (x ))dx

Trong đó R  x, f  x có dạng:

a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng


a x
R  x,

a x





 Đặt x  acos 2t, t  0;  


 2
x  a sin t
x  a cos t
R x , a 2  x 2 Đặt
hoặc






ax  b
R  x, n

cx  d





 Đặt t  n ax  b
cx  d
1

    (ax  b)

R x, f x

 x 2   x   Với
 x 2   x   '  k ax  b 





1
ax  b
  
Đặt x  a tan t , t   ; 
 2 2

Đặt t   x 2   x   , hoặc Đặt t 







 Đặt x  cos x ,  t  [0; ] \  

R x, a 2  x 2
R x, x 2  a 2

a

2 

R



n1

n

n



x ; 2 x ;...; i x Gọi k  BSCNN  n1 ; n2 ;...; ni  . Đặt x  t k

Dạng 1


I 





1
ax 2  bx  c

dx

a  0


b
2
x
u





b


2a

Từ : f(x)=ax 2  bx  c  a  x 


 du  dx


2a 


4a 2 



K
 2a
Khi đó ta có :
Nếu





  0, a  0  f (x )  a u 2  k 2 

f (x )  a . u 2  k 2

(1)

a  0
2

b 

  0  f (x )  a  x 
b
 
2a 

 f (x )  a x  2a  a . u

Nếu :
(2)


0
Nếu :
.




 f (x )  a . x  x x  x  (3)
Với a  0 : f (x )  a x  x x  x   f (x )  a . x  x x  x  (4)

Với a  0 : f (x )  a x  x 1 x  x 2 
1

1

2

1

2

2

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
Phương pháp :





* Trường hợp :   0, a  0  f (x )  a u 2  k 2 

f (x )  a . u 2  k 2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 22

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Khi đó đặt : ax 2  bx  c  t  a .x
bx  c  t 2

x    t

* Trường hợp :



Khi đó : I 





* Trường hợp :

* Trường hợp :


t2  c
2
;dx 
tdt
x 

b2 a
 2 ax
b2 a


 t 0 , x    t  t1
t2  c

t
a
x
t
a

.



b 2 a

a  0
2

b 

  0  f (x )  a  x 
b
 
2a 


 f (x )  a x  2a  a . u

 1

b 
b

x

0
ln

 :x 

2a 
2a
1
1
1
 a 
dx 
dx  


b
b
a

  1 ln  x  b  : x  b  0
a x

x
 a 
2a
2a
2a  
2a

 x  x1 t
  0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x  x 1 x  x 2  
 x  x 2 t
 x x t
  0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x 1  x x 2  x   1
 x 2  x t



























Dạng 2


I 

mx  n



dx

2

ax  bx  c
Phương pháp :
Bước 1:



a  0

Ad
.

mx  n

Phân tích f (x ) 

ax 2  bx  c



 ax

2

 bx  c

ax 2  bx  c



B
ax 2  bx  c

1

Bước 2:
Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B
Bước 3:
Giải hệ tìm A, B thay vào (1)

Bước 4 :


1
2
Tính I  2A ax  bx  c
 B
dx (2)
2

ax  bx  c








Trong đó





1
ax 2  bx  c

dx

a  0 đã biết cách tính ở trên

Dạng 3


I 





1



mx  n



ax 2  bx  c

dx

a  0

Phương pháp :
Bước 1:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phân tích :

1



mx  n



ax 2  bx  c



1

n
m  x   ax 2  bx  c
m


Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
. (1)

Bước 2:


1 
n
1
dx
y 
 t    dy  
x t 
m
x t
1
n

Đặt :  x 

2
y
m
x  1  t  ax 2  bx  c  a  1  t   b  1  t   c





y
y

y



Bước 3:
'

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I   

'

dy
Ly 2  My  N

. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

Dạng 4



x   
I   R x ; y dx  R  x ; m
 dx



x






( Trong đó : R  x; y  là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết )

Phương pháp :
Bước 1:

 

x  
(1)
x  
Bước 2:
Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x   t 
Đặt : t 

m

Bước 3:
Tính vi phân hai vế : dx   ' t dt và đổi cận



Bước 4:

'

x   
 dx   R  t ; t  ' t dt
Tính :  R  x ; m

 x   

'


3.3. Tích phân hàm lượng giác
Một số dạng tích phân lượng giác

   

b

Nếu gặp I   f  sin x  .cos xdx ta đặt t  sin x .
a

b

Nếu gặp dạng I   f  cos x  .sin xdx ta đặt t  cos x .
a

b

Nếu gặp dạng I   f  tan x 
a

b

Nếu gặp dạng I   f  cot x 
a

dx
ta đặt t  tan x .
cos 2 x

dx
ta đặt t  cot x .
sin 2 x

Dạng 1
I1 =

n
n




sinx
dx
;
I
cosx
dx
2


* Phương pháp
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trang 24