Toán: Quy tắc tính đạo hàm

Tiết 1,2,3: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I/ Mục tiêu:
1/ Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích các hàm số.
- Nắm được định nghĩa về hàm số hợp , định lý về công thức tính đạo hàm của hàm số hợp từ đó
rút ra công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y= u
n
(x) và y =
)(xu
.
- Nhớ hai bảng tóm tắc về đạo hàm của một số hàm số thường gặp và quy tắc tính đạo hàm của
tổng, hiệu, tích, thương , hàm hợp.
2/ Kỷ năng:
- Giúp học sinh vận dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm và hai công thức tính đạo hàm của
hàm số hợp
y= u
n
(x) và y =
)(xu
.
3/ Về tư duy, thái độ:
- Rèn luyện được các kỹ năng tư duy logic và các đức tính cẩn thận , chính xác.
II/ Chuẩn bị:
1/ Giáo viên: Bảng phụ và giáo án.
2/ Học sinh: Kiến thức cũ
III/ Phương pháp dạy & học:
Đàm thoại, nêu vấn đề đan xen hoạt động nhóm.
IV/ Tiến trình dạy học:
Tiết 1:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: Nhắc lại công thức (c)

’
= ?; (x)
’
= ? ; (x
n
)
’
= ? ; (
x
)
’
= ? ;
áp dụng tính đạo hàm hàm số y = x
5
; y =
x
.
3/ Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu
H Đ1: Hình thành công thức
tính đạo hàm của tổng ( hiệu)
hai hàm số
- Trong tiết trước ta đã xây dựng
được công thjức tính đạo hàm của
các hàm số đơn giản như từ định
nghĩa ta tính được đạo hàm hàm
số y = x
5
và y =
x

. Liệu đối
với hàm số y = x
5
+
x
ta có thể
tính
được không ? Bây giờ chúng ta
cùng đi tìm công thức?
+ Nếu đặt u(x) = x
5
, v(x) =
x

thì hàm số trở thành :
y = u(x) + v(x)
- Nhắc lại các bước tính đạo hàm
bằng định nghĩa
- Hướng dẫn học sinh thực hiện
1/ Đạo hàm của tổng hay
hiệu hai hàm số:
(u + v)
’
= u
’
+ v
’
.
(u – v)
’

= u
’
– v
’

Mở rộng:
( u + v + ...+ w)
’
= u
’
+ v
’
+...+
w
’+
Ví dụ: Tính đạo hàm của các
hàm số sau:
từng bước
H1: Cho x số gia
∆
x ta có số gia
∆
y = ?
+Yêu cầu học sinh thực hiện từng
bước tiếp theo như tính
x
y
x
∆
∆

>−∆
lim
0
+ Kết luận lại công thức tính y
’
=
u
’
(x) + v
’
(x).
H2: Tương tự như cách xây dựng
như trên ta có thể rút ra công
thức tính đạo hàm cho hai hàm số
:
y = u(x) - v(x) không ? Công
thức như thế nào ?
+ GV tổng kết lại hai công thức
và ghi lại hai công thức thu gọn
trên
bảng
- Cho HS rút ra công thức tính
đạo hàm mở rộng.
- GV ghi kết quả lên bảng.
- Cho HS hoạt động nhóm thực
hiện H1 ở SGK.
+ Chia làm 4 nhóm (2 nhóm làm
câu a, 2 nhóm làm câu b)
HĐ2: Giới thiệu đạo hàm của
tích hai hàm số :

- Giới thiệu định lí 2 về công thức
tính đạo hàm của tích hai hàm số .
- H dẫn HS chứng minh
- Đặt f(x) = u(x).v(x)
+ Cho HS tính số gia
∆
y
+ Hdẫn tính được:
∆
y =
vuxuvxvu
∆∆+∆+∆
.)(.)(.
- Nghe, hiểu và thực hiện
nhiệm vụ
- Trả lời câu hỏi
- Ghi nhận hai công thức
- Đọc định lý ở sgk
+ Tính
y
∆
.
+ Tính
x
y
x
∆
∆
>−∆
lim

0
+ Kết luận
a/ y = x
5
-
x
+3
b/ y = x +
x
- 4.
2/ Đạo hàm của tích hai hàm
số :
(u.v)
’
= u
’
v + v
’
u.
(ku)
’
= ku
’

Chứng minh. (sgk)
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức tính đạo hàm của tổng , hiệu, tích
- Làm các bài tập:
1/ Tính y
’
(3) biết y = x

3
– 2x + 1.
2/ Tính y’(1) biết y = 2x
5
– 2x + 3
Tiết 2:
IV/ Tiến trình dạy học:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: - Nêu công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích.
- áp dụng tính đạo hàm của hàm số y =
x
- x
5
+
100
1
3/ Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu
* Định hướng cho HS thực
hiện ví dụ
ở ví dụ a, b ta có thể nhân
vào thành tổng và áp dụng
công thức tính đạo hàm của
tổng để tính (đã luyện tập ở
tiết trước ) .Ngoài ra Ta có
thể dùng công thức tính đạo
hàm của tích để tính .
=> Yêu cầu HS trình bày lời
giải hai câu a, b.
- Câu c: ta đặt u =

)1(
+
xx
;
v = 4 – x
2

=> Yêu cầu HS áp dụng
công thức để tính
* Giáo viên trình bày bài
giải.
- Từ ví dụ trên dẫn dắt HS đi
đến công thức (u.v. w)
’

HĐ3: Tiếp cận công thức
đạo hàm của một thương :
Cho hàm số y =
34
2
−
x
x
H1: Hàm số có dạng thương
của hai hàm số nào ?
H2: Hàm số trở thành y =
)(
)(
xv
xu

. Tìm công thức tính
đạo hàm của nó?
ở ví dụ trên ta không thể áp
dụng công thức đạo hàm của
tổng, hiệu, tích => Công
thức đạo hàm của thương
'






v
u
Yêu cầu HS áp dụng công
thức để thực hiện ví dụ trên.
Tính được:
a/ y
’
= (x)
’
.(x
2
+ 1) + (x
2
+ 1).x
=...
= 3x
2

+ 1.
b/ y
’
= (2x
2
)
’
(
)1
−
x
+(
x
- 1)
’
2x
2
= ... = 5x
x
.
c/ áp dụng được:
y
’
= [
)1(
+
xx
]
’
.(4 – x

2
) +
(4 – x
2
).(x+1).
x
= ...
Ghi chép bài giải
u = 2x ; v = 4x - 3
Theo dõi để tiếp thu kiến thức.
- Trình bày được:
a/ y
’
=
2
''
)34(
2.)34()34.()2(
−
−+−
x
xxxx
=
2
)34(
6
−
−
x
b/ y

’
=
22
''
11..)1(
xx
xx
−
=
−
c/ y
’
=
22
'22'
)52(
1.)52()52.()1(
+
+−+
x
xx
=
22
)52(
4
+
−
x
x
Ví dụ: Tính đạo hàm của

các hàm số sau:
a/ y = x(x
2
+1).
b/ y = 2x
2
(
)1
−
x
. (x>0)
c/ y =
)4)(1(
2
xxx
−+
.
(x>0)
Công thức:(u.v. w)
’
=
u’.v.w+ u.v’.w+u.v. w
’
3/ Đạo hàm của thương
hai hàm số:
)0(
..
2
''
'

≠
−
=






v
v
uvvu
v
u
Ví dụ: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:
a/ y =
34
2
−
x
x
b/ y =
x
1
.
c/ y =
52
1
2

+
x
Hệ quả:
)0(
11
2
'
≠
−
=






x
x
x
.
)0(
1
2
'
'
≠
−
=







u
u
u
u
Từ đó đưa đến Hệ quả
?
1
'
=






x
?
1
'
=







u
Hoạt động nhóm: Chia lớp
thành 6 nhóm để thảo luận
+ Gọi đại diện 3 nhóm trình
bày lời giải .
+ Gọi đại diện 3 nhóm còn
lại để nhận xét và bổ sung
( nếu cần thiết).
2
'
11
x
x
−
=






.
2
'
'
1
u
u
u
−

=






- Thực hiện yêu cầu
Ví dụ: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:(bảng phụ)
a/ y =
x
xx 235
24
+−
b/ y =
1
12
2
+
+−
x
xx
c/ y = (x+5)
2
.
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức đạo hàm của tích, thương và hệ quả .
- Làm bài tập nhanh: tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/ y =
mx

x
x
−+
5
1
5
( m: hằng số)
b/ y =
2
)1(
2
+
x
.
c/ y = (x +2)
2
(2- x).
Tiết 3:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung- Trình chiếu
Nêu vấn đề: Cho hai hàm số: u
= u(x) = x
2
+ 3x +1 và y = f(u)
= u
3

- Thay biến u bởi u(x) vào f(u)
- Hàm số y(x) = (x
2
+3x +1)

3
được gọi là hàm hợp của hàm
số f qua biến trung gian u
- Nêu định nghĩa và cho HS
đọc lại vài lần.
HĐ4:
1/ Cho f(u) =
u
; u(x) = x – 1
- Tìm hàm hợp y = f[u(x) ] = ?
- Tìm tập xác định
Hàm số y = f(u) = f[u(x) ]
= (x
3
+ 3x + 1)
3

-Thực hiện và trả lời.
4/ Đạo hàm của hàm số hợp:
1/ Khái niệm của hàm số
hợp:
Cho hai hàm số u = u(x) và y =
f(u) . thay u bởi u(x) vào hàm
số f(u) được y = f[u(x) ] gọi là
hàm số hợp của hàm số f qua
biến trung gian u
VD:
f(u) =
u
u(x) = x – 1 => f[u(x) ] =

1
−
x
2/ Cho y = sin(2x +3) có miền
xác định R là hàm hợp. Tìm
hàm u(x) và f(u)
- Đặt vấn đề : Tính đạo hàm
của hàm số y = (x
3
+ 3x + 1)
3
(hàm số hợp)
- Để giải bài toán ta thừa nhận
định lý sau
- Trình bày định lý.
- Từ hàm số y = (x
3
+ 3x + 1)
3
chỉ ra hàm số u(x) và f(u) .
- Tính u
’
(x) và f
’
(u)
- Vận dụng công thức tính
=
'
x
y

f
’
[u(x) ]
- Cho u = u(x) và f(u) = u
n
có
hàm số hợp là y = f[u(x) ] =
[u(x) ]
n

- Tính y
’
(x)
- Hdẫn HS
HĐ5: Hình thành công thức:
Cho hàm số y =
)(xu
là hàm
hợp của hàm số f và hàm trung
gian u= u(x) . Tìm hàm số f.
- Giả sử u(x) có đạo hàm trên J
(u(x) > 0 ; x
∈
J ) . Tìm đạo
hàm của hàm số y =
)(xu
- Gợi ý :
+ Đạo hàm của u = u(x) là
u
’

(x).
+ Đạo hàm của y = f(u) là
x2
1
- Tính đạo hàm của hàm số
sau:
y =
73
24
+−
xx
Trả lời:
u(x) = x
3
+ 3x +1 ; f (u) = u
3

u
’
(x) = 2x + 3; f
’
(u) = 3u
2

y
’
(x) = 3(x
3
+ 3x + 1)
2

.(2x +
3)
Tính:
. u
’
= u
’
(x) ; y
’
= f
’
(u) = f
’
[u(x)
]
. f
’
(x) = n.u
n-1
. u
’
(x)
= n. [u(x) ]
n-1
.u
’
(x)
. y = f[u] =
u
y

’
(x) = f
’
(u).u
’
(x)=
)(.
2
1
'
xu
u
=
)(.
)(2
1
'
xu
xu
- Thực hiện và trình bày
2/ Cách tính đạo hàm của
hàm số hợp:
Nếu u = u(x) có đạo hàm tại x
là u
’
(x) và hàm số y = f(u) có
đạo hàm tại u là f
’
(u) thì: y
’

(x)
= f
’
(u) .u
’
(x)
y = u
n
(x) => y
’
= [u
n
(x) ]
’

= n.u
’
(x).u
n-
1
(x)
( )
0;
2
'
'
>=
u
u
u

u
VD:
(
)
( )
u
u
uxx
2
73
'
'
'
24
==+−
=
732
64
24
3
+−
−
xx
xx
Bảng đạo hàm: SGK
4/ Cũng cố: Hệ thống lại bảng đạo hàm
5/ Dặn d ò: Nắm vững lý thuyết và làm bài tập 19,20 trong sgk.
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
( Chương IV: Giới hạn)
dành cho chương trình nâng cao

Hình thức trắc nghiệm hoàn toàn